EJERCICIOS DE DISEÑO DE INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL (Práctica) Curso 1999/2000

Contenido: i) Respuestas ejercicios apuntes teoría ii) 8 Ejercicios prácticos (resueltos)

Prof. Manuel Perea

2 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS DE LOS APUNTES DE TEORÍA (páginas 3.20, 3.21, 3.22 y 5.18) EJERCICIO 1. a) El procedimiento a elegir es el de Bonferroni, dado que las comparaciones son planificadas y el número de comparaciones es pequeño (sólo 3 de los 10 posibles contrastes simples). b) Con 13 participantes por grupo, los grados de libertad del denominador son de 60 (65-5). El valor crítico de Bonferroni para poner a prueba 3 contrastes con un alpha de experimento de 0'05 y 60 gl en el denominador es de 6'07. c) Dado que esta comparación ha sido propuesta a posteriori y es una comparación simple, el procedimiento para elegir el valor crítico es el de Tukey. d) El valor de q cuando tenemos 5 grupos, 60 gl en el denominador y un alpha de experimento de 0'05 es de 3'98. El valor crítico correspondiente es (3'98)2/2=7'92. e) El valor crítico de Bonferroni para poner a prueba 3 comparaciones planificadas es substancialmente menor que el valor crítico de Tukey para poner a prueba todas las comparaciones simples. De esta manera, el precio a pagar por "revisar" las comparaciones tras haber examinado los datos es un incremENto del valor crítico, lo que desemboca en un descenso en la potencia para cada una de las comparaciones. EJERCICIO 2. Promediando las 4 cuasivarianzas tenemos la media cuadrática de error (media cuadrática del denominador), que es 100. La MC del numerador es 800. Así que la F observada es 800/100=8 El valor crítico con Scheffé es: (a-1)F0'05;a-1;N-a que para este diseño implica un valor crítico de (4-1)F0'05;4-1;100-4

3 Tal valor es 3(2'696)=8'09. Es decir, el contraste no ha resultado significativo con el método de Scheffé, como indicó el investigador. (Hemos mirado 100 gl en el denominador, al no haber el 96.) b) El procedimiento de Tukey es el empleado en este caso, dado que los contrastes a posteriori son simples. El valor de la F observada es, evidentemente, el mismo de antes, 8, mientras que el valor crítico de Tukey viene dado por la expresión 2

(q 0'05;a;N −a) /2 El valor crítico de Tukey vale 6'83. Es decir, la diferencia de medias es significativa con el procedimiento de Tukey. Ello ilustra que el procedimiento de Tukey es más potente que el de Scheffé para poner a prueba los contrastes simples. EJERCICIO 3. a) Hagamos primero el escenario de emplear la Media Cuadrática global (de los cuatro grupos), vemos que es 5. La SC del numerador es 2

5(6 − 8) SCnum = = 10 2

por lo que la F observada es

10/1 10/1 F = MCerror = 5 = 2 El valor crítico de Tukey (el apropiado en este caso, al ser comparaciones simples y a posteriori; tenemos 14 grupos y 6 grados de libertad en el denominador: 20-4=16) es de (4'046)2/2=8'185. Es claro que la F observada es menor que el valor crítico, por lo que mantenemos la hipótesis nula (es decir, no hay diferencias significativas de medias entre los grupos 3 y 4). Hagamos ahora el escenario de emplear la Media Cuadrática de los dos grupos implicados, y vemos que es 9 (el promedio de 9 y 9; las cuasivarianzas de ambos grupos). La SC del numerador es, lógicamente, la de antes: 2

5(6 − 8) SCnum = = 10 2

4 y la F observada es

10/1 10/1 F = MCerror = 9 = 1'11 El valor crítico de Tukey (el apropiado en este caso, al ser comparaciones simples y a posteriori; tenemos 4 grupos y 8 grados de libertad en el denominador: 10-2=8) es de (4'529)2/2=10'26. Es claro que la Fobs es menor que el valor crítico, por lo que mantenemos la hipótesis nula (es decir, no hay diferencias de medias entre los grupos 3 y 4). En conclusión, ambos términos de error dan lugar al mantenimiento de la hipótesis nula. b) Hagamos primero el escenario de emplear la Media Cuadrática global (de los cuatro grupos), vemos que es 5. La SC del numerador es 2

5(4 − 6) SCnum = = 10 2

que lógicamente es la misma que en el apartado a (la diferencia de medias era de 2 unidades en ambos casos) así que la F observada es

10/1 10/1 F = MCerror = 5 = 2 dado que la Fobservada es la misma que antes, y el valor crítico es también de 8'185, mantenemos la hipótesis nula. Pasemos ahora al segundo escenario, empleando la media cuadrática de error de los grupos implicados (grupos 1 y 2). La media cuadrática de error es de 1 (promedio de 1 y 1) y la suma de cuadrados del numerador sigue siendo 10. La razón F será

10/1 10/1 F = MCerror = 1 = 10 El valor crítico en este caso es de 10'26, así que tampoco varían las conclusiones, aunque en este caso la F observada ha estado muy cercana a la significatividad. Es más,

5 si las 2 comparaciones (grupo 1 v. grupo 2 y grupo 3 vs. grupo 4) hubieran sido a priori, el ajuste de Bonferroni hubiera producido que esta última diferencia fuera significativa. c) Hay que fijarse que no hay homogeneidad de varianzas entre los grupos, lo cual es un supuesto del ANOVA. (Las varianzas de los grupos 3 y 4 son nueve veces la varianza de los grupos 1 y 2.) Por ello, a la hora de efectuar los contrastes simples bajo heterogeneidad de varianzas resulta aconsejable emplear la media cuadrática de los grupos implicados en el contraste más que la MCerror del ANOVA global. EJERCICIO 4. a) Sí que es posible efectuar el ANOVA global. Dado que este conjunto de contrastes es ortogonal, la suma de cuadrados atribuible a los 3 contrastes es aditiva. Por tanto la suma de cuadrados del numerado vendrá dada por: SCnum = E R − E C = SC ψ + SC ψ + SC ψ 1

2

3

SCnum = 75 + 175 + 125 = 375 y la F observada es:

375/(4 − 1) F = MCerror = 375/3 25 = 5 El valor crítico con 3 gl en el numerador y 40 en el denominador es 2'84. Por tanto, se rechaza la hipótesis nula de que las 4 medias son iguales. b) las Fs observadas serán

75/1 ψ 1: F = 25 = 3 ψ 2: F =

175/1 25 = 7

ψ 3: F =

125/1 25 = 5

El valor crítico apropiado viene dado por el ajuste de Bonferroni, dado que sólo tenemos 3 contrastes a priori. Con 40 gl en el denominador, tal valor es de 6'24. Por tanto, únicamente el segundo contraste es significativo.

6

NOTA DE INTERÉS: Observa que la F observada del ANOVA global es igual al promedio de las F observadas de los 3 contrastes ortogonales. De hecho, el valor F del ANOVA global puede ser conceptualizado como un valor F promedio a través de un conjunto de a-1 contrastes ortogonales: a

ANOVA global: F =

å Fψ

j=1

j

a−1

donde los a-1 contrastes sean ortogonales

EJERCICIO 5. a) Efectuando el ANOVA global vemos que a

2

n å (Y j − Y) j=1

F=

a−1 a 2 å~ s /a j=1

11(16 + 16 + 64) 2 = = 3'52 150

j

El valor crítico con 2 gl en el numerado y 30 en el denominador es de 3'32. Así que el rechazamos la hipótesis nula del ANOVA global (la hipótesis nula en el ANOVA lgobal indica que las medias poblacionales de los 3 grupos son iguales). b) Si hacemos la diferencia mayor (10 vs 22; grupos 1 vs 3) tenemos como suma de cuadrados 11(10 − 22) SCnum = = 792 2 2

y la razón F será

792/1 F = 150 = 5'28 El valor crítico de Tukey (al ser las comparaciones que queremos simples y a posteriori) es de (3'49)2/2=6'09, por lo que mantenemos la hipótesis nula respecto al contraste de medias entre los grupos 1 y 3. Tal resultado cabe catalogarlo como inconsistente con el del ANOVA global, dado que es evidente que las otras 2 comparaciones simples restantes (grupo 2 vs grupo 3; o

7 grupo 1 vs grupo 2) tampoco darán valores de F observada mayores al valor crítico, mientras que sí se rechazó la hipótesis nula en el ANOVA global. Esta inconsistencia sucede con relativa frecuencia con la prueba de Tukey (cuando el ANOVA global es significativo, pero por poco). b) El aspecto a recalcar es que un rechazo de la hipótesis nula en el ANOVA global (con un número de grupos de 3 o más) no implica necesariamente que se pueden encontrar diferencias significativas en alguna de las comparaciones simples. Lo que sí ocurre es que al menos un contraste será estadísticamente significativo con el método de Scheffé. Claro está, tal comparación no tiene por qué ser simple. En nuestro caso, veremos que obtenemos diferencias significativas cuando el contraste se refiere a si el promedio de las medias poblacionales de los grupos 1 y 2 es igual a la media poblacional del grupo 3: (µ +µ )

H 0: ψ=

1

2

2 (µ +µ ) 1

2

2

= µ3 − µ 3 = 0'5µ 1 + 0'5µ 2 + (− 1)µ 3

la suma de cuadrados del numerador es: 2

(ψ)

SCnum =

a

c2j/n j j= 1

(0'5 ⋅ 10 + 0'5 ⋅ 10 − 1 ⋅ 22) = = (0'25)/11 + (0'25)/11 + (1)/11 2

y la F observada es: F=

1055'7/1 150

= 7'04

El valor crítico con la prueba de Scheffé es (a-1)F0'05;a-1;N-a que para este diseño implica un valor crítico de (3-1)F0'05;3-1;33-3

que es 2(3'316)=6'63

144 0'1364

= 1055'7

8 Por tanto, se rechaza la hipótesis nula referida al contraste complejo anteriormente indicado. (Observa en todo caso que el valor crítico de Scheffé ha sido mayor que el obtenido con Tukey.) EJERCICIO 6. Página 5.18 (diseños univariados intra-sujeto) a)

Sujeto 1 1 2 3 4 5

2 10 2 5 12 16

Nivel 3 12 5 6 15 17

Medias

9

11

Medias 14 12 5 4 10 7 18 15 18 17 13

11

La suma de cuadrados del efecto (suma de cuadrados del numerador) es:

SC A = SCnum =

a

(Y .j − Y ..) = 5 (9 − 11) + (11 − 11) + (13 − 11) ùû = 40 2

2

2

2

j= 1

La suma de cuadrados del error (suma de cuadrados del denominador) en los diseños intra-sujetos univariados es: n

a

SC AxS = SC error = å å (Y ij − Y .j − Y i. + Y ..)

2

i =1j=1

que en nuestro caso resulta

SC AxS = (10 − 9 − 12 + 11) + (12 − 11 − 12 + 11) +...+ (18 − 13 − 17 + 11) = 8 2

por tanto, la F observada será

SC /gl F = SC A/gl A = 8/40/2 (4 ⋅ 2) = 20 AxS AxS

2

2

9 los gl del numerador son a-1=3-1=2 (número niveles menos 1). Los gl del denominador son los de la interacción. Así que gl de la interacción AxB son los gl de A por los gl de B (2*4=8). El valor crítico de la F con 2 gl en el numerador y 8 en el denominador es de 4'46. Por tanto se rechaza la hipótesis nula global (es decir, aquella hipótesis que indica que todas las medias poblacionales son iguales). b) la suma de cuadrados del numerador, suponiendo que tengamos 15 sujetos diferentes (5 sujetos en cada grupo) sería a

2 2 2 2 SC A = SCnum = n å (Y j − Y) = 5éë(9 − 11) + (11 − 11) + (13 − 11) ùû = 40 j= 1

que es el MISMO valor que cuando el diseño era intra-sujetos. Lo que varía entre un diseño entre-sujetos y uno intra-sujetos es el DENOMINADOR (el término de error). c) En este caso, la suma de cuadrados del denominador es SC error =

a

n

(Y ij − Y j) = (10 − 9) + (2 − 9) +...+ (18 − 13) = 362 2

2

2

2

j=1 i= 1

(Evidentemente, podrías haber calculado las cuasivarianzas en cada nivel del factor, y el promedio de las mismas hubiera dado la Media Cuadrática de Error.) y la F observada es

SC A/gl A 40/2 F = SC = 362/(15 − 3) = 0'66 /gl error error Ahora los gl del denominador son N-a (15-3=12) Como la F observada es menor de 1, se mantiene la hipótesis nula (NO HACE FALTA IR A TABLAS con Fs