EJERCICIOS DE REPASO DE LA PRIMERA EVALUACIÓN - SOLUCIONES 2º ESO

TEMA 1: DIVISIBILIDAD Y NÚMEROS ENTEROS 1. Los alumnos de 2º A y 2º B que son 28 y 24 respectivamente van a hacer un trabajo en grupos para la clase de tecnología. Los grupos de las dos clases tienen que tener el mismo número de alumnos y estos han de ser lo más grades posibles. ¿Cuántos alumnos tendrán que haber en cada grupo? ¿Cuántos grupos habrá en cada clase? Solución: DATOS

OPERACIÓNES

Grupo A: 28 alumnos

RESPUESTA Todos los grupos tendrán 4 estudiantes; en 2º A habrá 7 grupos y en 2º B, 6 grupos

Grupo B: 24 alumnos Nº de alumnos por grupo

M.C.D. (24, 28) = 4 alumnos

Nº grupo por clase

2º A: 28 : 4 = 7 grupos 2º B: 24 : 4 = 6 grupos

2. Encontrar los siguientes números: a) Números comprendidos entre 150 y 200 que sean divisibles por 3 y por 7 a la vez Solución: Tendríamos que encontrar números múltiplos de 21, ya que 3 x 7=21 y los números son 168 y 189

b) Si el producto de dos números es 90 y su m.c.d es 6. ¿Cuál es su m.c.m? Solución: Sabemos que: m.c.m(a,b) x m.c.d (a,b) = a.b = 90 , entonces m.c.m (a,b) = 90:6 = 15

3. Escribe cada uno de los siguientes números como producto de sus factores primos y halla el m.c.d. y el m.c.m.: a) 75, 30 Solución: 75= 3.52 30 = 2.3.5

luego el m.c.m ( 75,30 ) = 2.3.52 = 150 y el m.c.d ( 75, 30 ) = 3.5 = 15

b) 66 , 44 , 144 66 = 2.3.11 44 = 22.11 144 = 24. 32

luego el m.c.m ( 66 , 44 , 144 ) = 24.32.11 = 1584 y el m.c.d ( 66 , 44 , 144 ) = 2

1

4. Calcula los siguientes productos y divisiones de números enteros: Solución: a) (+5) · (-4) : (+3) = -60

b) (+5) · (- 4) : (-2) =

c) (-500) : 10 = -50

d) (+150) : (-30) = -5

-20 : (-2) = 10

5. Resuelve escribiendo el proceso paso a paso: Solución: a) (-3) · [(+3) + (+5) – (5 + 4 – 2)] = (-3) · (8 – 7) = (-3) · 1 = - 3 b) (-6) · (+2) – [(-4) + (-3) – (-3)] · (-2) = -12 – (-7 + 3) · (-2) = -12 – (-4) · (-2) = -12 – 8 = -20

6. Un avión que vuela a 5 400 metros de altura, debe descender 500 metros para evitar una tormenta. Desde esa altura detecta en su vertical a un submarino que está sumergido a 70 metros de profundidad y que, a su vez, asciende 25 metros. ¿Qué distancia separa el avión del submarino después del movimiento de ambos? Solución: Altura del avión sobre el nivel del mar: 5400 m, luego desciende 500 m, entonces tendrá 4900 m sobre n.m. Profundidad del submarino: 70m luego asciende 25m, entonces tendrá una profundidad de 45m. La distancia que separa el avión del submarino después del movimiento de ambos es de 4900m + 45m = 4945m.

7. Un electricista tiene tres rollos de cable de 96, 120 y 144 metros de longitud. Desea cortarlos en trozos iguales de la mayor longitud posible, sin que quede ningún trozo sobrante. ¿Qué longitud deberá tener cada trozo? Solución: DATOS

OPERACIÓNES

Rollos de cable: 96, 120, 144 m Longitud de cada trozo:

M.C.D. (96, 120, 144) = 23 · 3 = 24 m

RESPUESTA La longitud máxima de cada trozo será de 24 m

8. Silvia visita a su abuela cada 8 días y su hermano Alberto, cada 14 días. Hoy han coincidido en la visita. ¿Cuándo volverán a coincidir? ¿Cuántas visitas habrá hecho cada uno a su abuela? Solución: DATOS

OPERACIÓNES

Silvia cada 8 días y Alberto cada 14 días ¿Cuándo volverán a coincidir?

m.c.m (8, 14) = 23 · 7 = 56

¿Cuántas visitas hace cada uno?

56 : 8 = 7;

RESPUESTA Cada 56 días coinciden en visitar a su abuela; durante esos días, Silvia visitará 7 veces a su abuela y Alberto 4 veces

56 : 14 = 4

2

9. Ayer por la tarde el termómetro marcaba 12º C. Esta mañana marcaba -3º C. Contesta a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos grados descendió la temperatura? Solución: 15º

b) A mediodía ha subido 10º la temperatura ¿Cuánto marca el termómetro? Solución: 7º

10. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de potencia: Solución:

(

)( )

a) 58 ·5 4 : 5 2

5

[

][

b) (− 2) ·(+ 2) : (+ 2)

= 512 : 510 = 5 2

6

3

] = (2 ·2 ) : 2

3 2

6

3

6

= 29 : 26 = 23

TEMA 2: SISTEMAS DE NUMERACIÓN DECIMAL Y SEXAGESIMAL 1. Dispongo de 72€ y quiero comprar dos libros y todos los cómics que pueda adquirir. Uno de los libros me cuesta 12,10€, el otro 14,40€. Si cada cómic me cuesta 11,25€, ¿cuántos podré comprar? Solución: (72-12,10-14,40):11,25=4,04444…

Es decir, podré comprar 4 cómics y me sobrará dinero (50 céntimos)

2. Indica que nombre reciben los siguientes números decimales a)5,66666…… b)5,666 c)5,667667667… d)5,67777…… e)5,676776777… f)5,676677666777… Solución: a) periódico puro

b)exacto

c)periódico puro

d)periódico mixto

e)irracional

f)irracional

3. Ordena de menor a mayor estos números: Solución:

4. Completa la siguiente tabla en la que debes redondear los números decimales dados Solución: Número decimal 1,43667 2,5555… 22,353535…. 6,218888….

Π

A las décimas 1,4 2,6 22,4 6,2 3,1

A las centésimas 1,44 2,66 22,35 6,22 3,14

A las milésimas 1,467 2,666 22,354 6,219 3,142

3

5. I) El número de pulgadas de un televisor es la longitud (en pulgadas) de su diagonal. Cada pulgada equivale a 2,54 cm, entonces: a) ¿Qué longitud tendrá la diagonal de un televisor de 27 pulgadas? ¿Y uno de 42 pulgadas? b) ¿Cuántas pulgadas son 55,88 cm?

II) Mis padres compran un televisor de 40 pulgadas que cuesta 1230,96€ a plazos. Han contratado tres plazos. En el primero pagan la mitad, en el segundo la tercera parte y en el tercero el resto. Calcula cuanto pagarán en cada plazo. Solución: Ia) 27 · 2,54 = 68,58 Ib) 42 · 2,54 = 106,68 II) En el primer plazo pagarán 1230,96 : 2 = 615,48 En el segundo plazo pagarán 1230,96 : 3 = 410,32 En el tercer plazo pagarán 1230,96 – 615,48 – 410,32 = 205,16

6. Expresa en forma compleja las siguientes medidas de tiempo a) 458 min b) 34567 s c) 8010 s d)13590 s Solución:

e) 5681 min

f) 477 s

4

7. Completa esta igualdad. Solución:

8. Mis padres me han dicho que este mes de diciembre, he hablado por teléfono 23 h 15 min 47s. Me han dicho que, si soy capaz de calcular el tiempo medio diario que hablo por teléfono no se enfadarán tanto conmigo. Calcúlalo. Solución: 23h 15min 47s : 31 = 0h 45min 1,5s ¡Te das cuenta de la cantidad de tiempo diario que dedicas al teléfono! (me han comentado)

9. En mi USB puedo grabar hasta seis horas de series o películas en una calidad normal. Actualmente tengo dos películas: Los muertos vivientes (1h 32min 40s) y Los muertos vivientes salen de la tumba (1h 56min 13s). Quiero completar el USB con capítulos de mi serie favorita Los muertos vivientes atacan de nuevo. Cada capítulo dura 45 min pero tiene un corte publicitario de 17 min. ¿Puedo grabar 2 capítulos completos? ¿Cuánto tiempo me sobrará en el USB? Solución: En el USB me quedan 6h – 1h 32min 40s – 1h 56min 13s = 2h 31min 7s Dos capítulos ocuparán 2 · 62min = 124min = 2h 4min, luego los puedo grabar Me sobrará 2h 31min 7s – 2h 4min =27min 7s

10. Realiza estas operaciones: Solución: a)(200 30’ 45’’) · 4 = 820 3’ c)(2110 55’ 47’’) · 3 = 6350 47’ 21’’ e) (200 30’ 45’’) : 4 = 50 7’ 41’’ g)(2110 55’ 47’’) : 3 = 700 38’ 36’’

b)(340 23’ 56’’) · 6 = 2060 23’ 36’’ d)(870 53’ 23’’) · 5 = 4390 26’ 55’’ f)(340 23’ 56’’) : 6 = 50 43’ 59’’ h)(870 53’ 23’’) : 5 = 170 34’ 41’’

TEMA 3: LAS FRACCIONES 1. Calcula: Solución:

1 1 10 8 4 1 26 10 8 + 4 + 1 26 − 10 13 16 16 1. a) ⎛⎜1 + + ⎞⎟·⎛⎜ 2 − ⎞⎟ = ⎛⎜ + + ⎞⎟ ⎛⎜ − ⎞⎟ = = · = =2 · 13 ⎠ ⎝ 8 8 8 ⎠ ⎝ 13 13 ⎠ 8 13 8 13 8 ⎝ 2 8⎠⎝

b) c)

1 ⎛1 2⎞ 2 7 4 35 48 35 − 48 13 ⎛ 3⎞ 1 ⎛ 3 4⎞ ⎛5 3⎞ 1 7 − = − = =− ·⎜ + ⎟ − 2·⎜1 − ⎟ = ⎜ + ⎟ − 2⎜ − ⎟ = · − 2 · = 2 ⎝2 3⎠ 5 12 5 60 60 60 60 ⎝ 5⎠ 2⎝6 6⎠ ⎝5 5⎠ 2 6

3 1⎡ 7 ⎛ 2 ⎞⎤ 3 1 ⎡ 7 ⎛ 14 2 ⎞ ⎤ 3 1 ⎡ 7 16 ⎤ 3 1 ⎛ 16 ⎞ 3 − ·⎢ 2 − ·⎜ 2 + ⎟⎥ = − ⎢ 2 − ⎜ + ⎟ ⎥ = − ⎢ 2 − · ⎥ = − ⎜ 2 − ⎟ = − 11 3 ⎣ 11 ⎝ 7 ⎠⎦ 11 3 ⎣ 11 ⎝ 7 7 ⎠ ⎦ 11 3 ⎣ 11 7 ⎦ 11 3 ⎝ 11 ⎠ 11 3 2 1 ⎛ 22 16 ⎞ 3 1 6 =⎜ − ⎟= − · = − = ⎝ 11 11 ⎠ 11 3 11 11 11 11

5

2. Reduce a una única potencia y calcula: 2

2

1 1 a) 25 2 ·⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜ 25 · ⎞⎟ = 5 2 = 25 5⎠ ⎝5⎠ ⎝ 2

[

⎡ 1 ⎤ 3 c) ⎢ = (− 2 ) −3 ⎥ ⎣ (− 2) ⎦

]

2

1 b) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠

2

⎛1⎞ ·⎜ ⎟ ⎝2⎠

−4

=

1 · 24 = 22 = 4 2 2

= (− 2 ) = 2 6 = 64 6

3. Expresa en notación científica los siguientes números: Solución: a) 62 851 600 000 ≈ 6,29 · 1010

b) 0,00017452 ≈ 1,75 · 10-4

4. En la clase de 2º A hay 6 alumnos y alumnas más que en la clase de 2º B. La clase de 2º B

contiene

4 del total de los alumnos y alumnas de 2º. ¿Cuántos alumnos y alumnas hay en cada 9

clase? Solución:

5 4 del total de alumnos en 2º A deben haber del total de alumnos; La diferencia entre 9 9 1 ambos grupos es de y a esta fracción le corresponden 6 alumnos que hay más en 2º A que en 2º B; por lo 9 Como en 2º B hay

tanto en 2º A hay 6 · 5 = 30 alumnos y en 2º B hay 4 · 6 = 24 alumnos

5. En un frasco de jarabe caben

3 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con cuatro litros y 8

medio de jarabe? Solución: Como 4,5 =

9 9 3 9·8 , tendremos que el número de frascos será: : = = 12 frascos 2 2 8 3· 2

6. Un hortelano planta

1 2 de su huerta de tomates, de alubias y el resto, que son 280 m2, de 4 5

patatas. ¿Qué fracción ha plantado de patatas? ¿Cuál es la superficie total de la huerta? Solución: Entre tomates y alubias planta 1 + 2 = 5 + 8 = 13 , por lo tanto le quedan 4

5

20

20

20

7 para las patatas. 20

Si x es el total, será:

7 x = 280 20

→

x=

20 · 280 20 · 7 · 40 2 = = 800 m 7 7

La superficie total de la huerta es de 800 m2.

6

7. Un camión cubre la distancia entre dos ciudades en tres horas. En la primera hora hace

trayecto, en la segunda hora hace los

3 del 8

2 de lo que queda, y en la tercera, los 80 kilómetros restantes 3

¿Cuál es la distancia total recorrida? ⎧2 ⎪3 En la primera hora recorre 3 por lo tanto le quedan 5 ⎪⎨ 8 8 ⎪1 ⎪ ⎩3

de

5 8

en

la

2

hora

de

5 8

en

la

3

hora

Si x es el total: 1 3

de

5 8

de

x = 80

;

5 24

de

x = 80

;

x=

80 ⋅ 24 = 384 5

La distancia total recorrida es de 384 km.

8. De las 24 horas que tiene el día, Roque Ronquidos pasa la mitad en la cama. Del resto del tiempo, pasa la mitad bostezando en el pupitre del colegio y, del tiempo que le queda, pasa la mitad dormitando mientras “hace los deberes”. Y aún pasa la mitad del tiempo que le queda apoltronado en el sofá delante de la tele, y la mitad de lo que le queda cabeceando en el autobús. El resto del tiempo que le queda, el bueno de Roque lo emplea en leer cuentos a su abuela para que concilie el sueño ¿Cuántos minutos al día dedica Roque a leerle a su abuela? Solución:

1 · 24 = 12 horas; entonces le quedan 24 – 14 = 12 horas 2 1 Bostezando: · 12 = 6 horas; entonces le quedan 12 – 6 = 6 horas 2 En la cama:

1 · 6 = 3 horas; entonces le quedan 6 – 3 = 3 horas 2 1 Viendo la tele: · 3 = 1.5 horas 2 Dormitando:

Cabeceando en el autobús:

1 · 1,5 = 0,75 horas; le queda 1,5 – 0,75 = 0,75 horas 2

Así, finalmente, dedica 0,75 horas = 45 min a leerle a su abuela

9. Con los números 1, 2, 3, 4 y 6, ¿cuántas fracciones distintas (es decir, que no sean equivalentes) puedes formar? Solución: Podemos formar las siguientes:

10. Los

1 1 1 1 2 3 3 4 , , , , , , , 2 3 4 6 3 2 4 3

5 2 de lo gastado por una familia este fin de semana son 85 € ¿Cuánto supone los de los 6 3

gatos de es misma familia? 5 x = 85 6 Ahora

2 ·102 = 68 € 3

→

x=

85 · 6 = 17 · 6 = 102 € es todo el dinero gastado 5

Los 2/3 de los gastos suponen 68 €.

7

TEMA 4: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 1. Resuelve los siguientes problemas de proporcionalidad. Recuerda indicar las magnitudes con sus correspondientes unidades. a) Un tren cubre la distancia de Madrid a Barcelona en 6 horas, a una velocidad media de 100 km/h. ¿En cuánto tiempo realizará el mismo recorrido a una velocidad media de 160 km/h? Expresa el resultado en horas y minutos. Solución: Tiempo (h)

Velocidad (km/h)

6

100

x

160

Proporcionalidad inversa

x 100 = 6 160

;x=

6 ⋅ 100 = 3,75 160

3,75 h = 3h + 0,75h = 3h + 0,75 ⋅60 min= 3h 45min Por lo tanto, a 160 km/h el tren llega a Barcelona en 3h 45min.

b) Cinco vacas consumen 600 kg de pienso a la semana. Si se compran dos vacas más, ¿cuánto pienso a la semana se necesitará para alimentarlas a todas? Solución: Vacas

Pienso (kg)

5

600

7

x

Proporcionalidad directa

5 600 = 7 x

;x=

7 ⋅ 600 = 840 5

Así, si se compran 2 vacas más se necesitarán 840 kg de pienso.

c) Con un grifo que vierte un caudal de 1,5 litros por minuto se tardan 4 horas y 18 minutos en llenar un depósito. ¿Qué caudal debería tener el grifo para llenarlo en 2 horas y 30 minutos? Solución: 4h 18min = 4h + 18:60 h = 4h + 0,3h = 4,3h 2h 30min = 2,5 h Caudal (l/min) Tiempo (h) 1,5

4,3

x

2,5

Proporcionalidad inversa

x 4,3 = 1,5 2,5

;x=

1,5 ⋅ 4,3 = 2,58 2,5

Por lo tanto, el grifo debería tener un caudal de 2,58 litros por minuto.

2. Un agricultor piensa vender su cosecha de 12 toneladas de naranjas a 60 céntimos el kg, pero le roban una de las furgonetas con 700 kg de naranjas. ¿A cuánto deberá venderlas ahora para obtener los mismos ingresos? Solución:

8

Naranjas (kg)

Precio (céntimos)

12000

60

11300

x

Proporcionalidad inversa

11300 60 = 12000 x

;x=

12000 ⋅ 60 = 63,7168 11300

de donde resulta que para obtener los mismos ingresos deberá vender las naranjas a 63,72 céntimos el kilo.

3. Completa la tabla siguiente: Solución: Porcentaje

15%

Fracción

3 20

Decimal

0,15

 33,3 %

1 3  0,3

16,16 %

20%

0,5%

225%

16 99

1 5

1 200

9 4

0,16

0,2

0,005

2,25

 114,4% 103 90  1,14

4. Calcula el valor de x: Solución:

a) 50% de 1200 = x Se puede hacer mentalmente ya que el 50% es la mitad, x = 600 También se puede hacer x = 0,5 ⋅ 1200 = 600

d) 20% de x = 150 0,2 ⋅ x = 150 ; x = 150 : 0,2 = 75

e) 7% de x = 350

b) 25% de 8000 = x El 25% equivale a dividir entre 4, por lo tanto x = 2000 También se puede hacer x = 0,25 ⋅ 8000 = 2000

0,07 x = 350 ; x = 350 : 0,07 = 5000

f) x% de 200 = 50 x=

c) 10% de x = 87 El 10% equivale a la décima parte, por lo tanto x = 870 También 0,1 ⋅ x = 87 ; x = 87 : 0,1 = 870

50 ⋅ 100 = 25% 200

g) x% de 850 = 120 x=

120 ⋅ 100 = 14,12% 850

5. En una ciudad hay 27 000 menores de 18 años, lo que supone un 36% del total. ¿Cuántos habitantes tiene la ciudad? Solución: x = total 36 % de x = 27000 ; 0,36 x = 27000 ; x = 27000 = 75000 0,36 La ciudad tiene 75000 habitantes

6. Juan ha hecho el 85% de los ejercicios de matemáticas. Le quedan 3 para acabarlos todos. ¿Cuántos problemas le han mandado?

9

Solución: Si ha hecho el 85% entonces le queda por hacer el 15% x = total 15% de x = 3 ; 0,15 x = 3 ;

x=

3 = 20 0,15

Le han mandado 20 problemas

7. Calcula el valor de x: CANTIDAD INICIAL

AUMENTO

CANTIDAD FINAL

a)

800

20%

x

b)

750

6%

x

c)

x

8%

540

d)

300

x%

360

e)

2800

x%

3136

CANTIDAD INICIAL

DISMINUCIÓN

CANTIDAD FINAL

f)

1000

35%

X

g)

X

12%

132

h)

2500

x%

2125

i)

130

x%

117

Solución: Aplicamos el (100 + aumento)% a) 120% de 800 = 1,2 ⋅ 800 = 960 b) 106% de 750 = 1,06 ⋅ 750 = 795 c) 108% de x = 540 ; 1,08 x = 540 ; x = 540 = 500 1,08

d)

360 cantidad final ⋅ 100 = ⋅ 100 = 120% que corresponde a un aumento del 20% 300 cantidad inicial

e)

3136 cantidad final ⋅ 100 = ⋅ 100 = 112% que corresponde a un aumento del 12% 2800 cantidad inicial

Aplicamos el (100 - disminución)% f)

65% de 1000 = 0,65 ⋅ 1000 = 650

g) 88% de x = 132 ; 0,88x = 132 ; x = 132 = 150 0,88

10

h)

2125 cantidad final ⋅ 100 = ⋅ 100 = 85% que corresponde a una disminución del 15% 2500 cantidad inicial

i)

117 cantidad final ⋅ 100 = ⋅ 100 = 90% que corresponde a una disminución del 10% 130 cantidad inicial

8. La producción de trigo de una explotación agraria durante el año 2014 ha sido un 2% menor que la del 2013, obteniendo un total de 14,7 toneladas. ¿De cuánto fue la producción del año 2013? Solución: Cantidad inicial = x 98 % de x = 14,7 ;

Cantidad final = 14,7 toneladas 0,98x = 14,7 ;

x=

disminución = 2%

14,7 = 15 0,98

La producción del año 2013 fue de 15 toneladas de trigo.

9. Un terreno que costaba 24300 euros ha aumentado su precio de venta en un 3%. ¿Cuánto cuesta ahora? Solución: Cantidad inicial = 24300

Cantidad final = x

aumento = 3%

103 % de 24300 = 1,03 ⋅ 24300 = 25029 El precio actual del terreno es de 25029 euros.

10. Jaime se compró un piso en el año 1995. Durante los diez años siguientes el valor del piso se revalorizó un 350%, llegando a alcanzar los 315 000 euros. ¿Cuánto pagó Jaime por su piso? Cantidad inicial = x

Cantidad final = 315000

aumento 350%

450% de x = 315000 ; 4,5x = 315000 ; x = 315000 = 70000 4,5 Jaime pagó 70000 euros por su piso

11