Solucionario

8

Óptica física EJERCICIOS PROPUESTOS

8.1

Calcula la energía de los fotones que puede intercambiar la luz que procede del Sol, cuya longitud de –7 onda es λ = 1,5 · 10 m. ¿Cuánto aumenta la energía de los fotones si se duplica la intensidad de la luz que llega? A partir de la fórmula que para la energía de los fotones proporciona el efecto fotoeléctrico, tenemos: E = hν = h

c 3,00 · 108 = 6,63 · 10 −34 = 1,3 · 10 −18 J λ 1,5 · 10 −7

Como se puede observar, la energía de los fotones no depende de la intensidad de la luz, sino de su frecuencia. Por lo tanto, no varía la energía de los fotones si se duplica la intensidad de la luz.

8.2

Calcula el número de vueltas que da un rayo de luz alrededor de la Tierra en un segundo si el radio de la Tierra mide 6370 km. Calculamos la longitud de la Tierra: L = 2πr = 2π · 6,37 · 10 6 = 4,0 · 10 7 m Dividiendo entre esa distancia la que recorre la luz en un segundo, se obtendrá el número de vueltas que da alrededor de la Tierra en un segundo. n=

8.3

e 3,00 · 108 = = 7,5 vueltas L 4,0 · 107

Lo curioso del experimento de Fizeau es la forma de medir el tiempo. Calcula el valor de dicho tiempo y explica por qué en 1850 este método se podía considerar ingenioso. A. Fizeau calcula el tiempo dividiendo el ángulo que gira la rueda dentada entre la velocidad angular que lleva. t=

ϕ 0,5π / 180 8,7 · 10 −3 = = = 5,5 · 10 −5 s ω 2π · 25,2 158,3

Lo ingenioso del método es la forma de calcular el tiempo y la medida que de este se obtiene, que no se puede obtener con ningún aparato de medida de la época.

8.4

Las medidas obtenidas para los índices de refracción de dos medios diferentes son n1 = 1,25 y n2 = 0,97. Calcula la velocidad de la luz en cada medio y, a la vista de los resultados, analiza la veracidad de los datos obtenidos.

Aplicando la definición de índice de refracción:

  v1 = c c    n= ; v= v n v =  2

c 3,00 · 108 = = 2,40 · 108 m s-1 n1 1,25 c 3,00 · 108 = = 3,09 · 108 m s-1 n2 0,97

El segundo resultado es falso, ya que se obtiene una velocidad superior a la de la luz. De modo que el segundo índice de refracción no puede tener ese valor. De hecho, los índices de refracción tienen siempre un valor igual o superior a la unidad.

114

Solucionario

8.5

El brillo de las piedras preciosas se debe a las múltiples reflexiones que se producen en su interior. Calcula a partir de qué ángulo se produce la reflexión total entre el diamante y el aire si sus índices de refracción son: nD = 2,42 y nA = 1.

La reflexión total se produce cuando en el segundo medio el ángulo que forma el rayo con la normal es de 90º. Aplicando la ley de Snell a estos datos: nD sen αL = nA  sen αL =

8.6

 1  αL = arc sen   = 24,4º  2,42 

nA 1 ; = nD 2,42

Si un rayo incide desde el aire (na = 1) con un ángulo de 60º con respecto a la normal, calcula el índice de refracción del segundo medio para que el ángulo refractado sea la mitad.

Aplicamos los datos del problema a la ley de Snell de la refracción: nasen 60º = n sen 30 º ;

8.7

n=

sen 60 º = 1,73 sen 30º

Calcula el espesor de la lámina del ejercicio anterior para que el desplazamiento sea de 1 cm cuando el rayo incide con el mismo ángulo.

Aprovechando los resultados obtenidos en el ejercicio resuelto (ya que las condiciones del problema son las mismas) calculamos la longitud que debe recorrer el rayo por el interior de la lámina. d = AB sen 17º ;

AB =

1 = 3,42 cm sen 17º

Sustituyendo este resultado en la expresión del espesor de la lámina: h = AB cos 28º = 3,42 · cos 28 º = 3,02 cm

8.8

Considera dos láminas de caras plano paralelas de espesor 1,5 cm cada una, unidas por una de sus caras. El índice de refracción de la primera es 1,4 y el de la segunda, 1,8. Calcula la desviación que sufre un rayo que incide en la primera de las caras con un ángulo de 60º, desde el aire.

Se aplica la ley de Snell a la primera refracción:

 sen 60º  1· sen 60º = 1,4 · sen αr1  αr1 = arc sen   = 38,2º  1,4  Se aplica de nuevo la ley de Snell a la segunda refracción:

 1,4 · sen 38,2º  1,4 · sen 38,2º = 1,8 · sen αr 2  αr 2 = arc sen   = 28,8º 1,8   Calculamos el ángulo del rayo emergente de la tercera refracción:

n=1 n1 = 1,4

n2 = 1,8 n=1

1,8 · sen 28,8º = 1· sen α e  α e = arc sen(1,8 · sen 28,8º ) = 60º El rayo que sale tiene la misma dirección que el incidente.

d

A

Como se puede apreciar en la imagen, la desviación total es la suma de las desviaciones: 1,5 = 1,9 cm  d = AB sen (60 º − 38,2º ) = 0,71cm cos 38,2º 1,5 BC = = 1,7 cm  D = BC sen (60 º − 28,8º ) = 0,88 cm cos 28,8º AB =

La desviación total es: D + d = 1,59 cm

Solucionario

115

B D

C

Solucionario onario 8.9

Sobre un prisma de 45º e índice de refracción 1,6 incide un rayo que forma un ángulo de 40º con la normal de la primera cara del prisma. Calcula el ángulo de salida del rayo emergente y el ángulo de desviación.

Aplicando la ley de la refracción a la primera cara:

 n · sen αi   sen 40 º  = na · sen αi = np sen αr1  αr1 = arc sen  a  = 23,7º   1,6   np   Del triángulo formado por las normales y el rayo, se tiene: αr1 + αi2 + 135 º = 180º  αi2 = 180 º − 135º − 23,7º = 21,3º Aplicando de nuevo la ley de la refracción de Snell:

 np · sen αi2   = arcsen (1,6 · sen 21,3º ) = 35,5º np · sen αi2 = na sen αr 2  αr 2 = arc sen  na   El ángulo de desviación será: δ = αi1 + αr 2 − ϕ = 40º + 35,5º − 45º = 30,5º 8.10 Cuando en un prisma el rayo refractado viaja paralelo a la base se produce la desviación mínima. En este caso, el rayo incidente y el emergente forman el mismo ángulo con sus normales. Calcula el ángulo de desviación mínima para un prisma de 90º con un índice de refracción de n = 1,3.

Como el rayo refractado es paralelo a la base del prisma, y este es de 90º, los ángulos interiores αr1 = αi2 = 45º. Aplicando la ley de Snell de la refracción, calculamos el ángulo que el rayo emergente forma con la normal, que será el mismo que el formado por el incidente y su normal.

90º 45º 45º

 np sen 45 º   1,3 · sen 45 º   = arc sen  np sen 45 º = na sen αr 2 ; αr 2 = arc sen   = 66,8º na 1    

La desviación será: δ = 66,8º + 66,8º − 90º = 43,6º

8.11 Calcula el ángulo que forman entre si, los rayos rojo y violeta después de atravesar una lámina de caras plano paralelas de 3 cm de longitud si el índice de refracción para cada color es: nr = 1,32; nv = 1,35 y el ángulo de incidencia es de 30º.

Al salir de la lámina, los rayos de los dos colores son paralelos. Aplicamos la ley de Snell a cada rayo para comprobarlo. na sen30º = nr sen αr  sen 30º  αr = arc sen   = 22,26º  1,32  na sen30 º = nv sen α v  sen 30 º  α v = arc sen   = 21,74 º  1,35 

A la salida de los rayos, se aplica de nuevo la ley de la refracción de Snell. nr sen αr = na sen βr  nr sen αr   1,32 sen 22,26º   = arc sen  βr = arc sen   = 30º na 1     nv sen α v = na sen βv  nv sen α v βv = arc sen  na 

  1,35 · sen 21,74 º   = arc sen   = 30 º 1   

Entre si formarían 0º

116

Solucionario

8.12

Calcula el ángulo que forman los rayos rojo y violeta después de atravesar un prisma cuyo ángulo es 90º si los índices de refracción para cada color son: nr = 1,32; nv = 1,35 y el ángulo de incidencia es de 60º.

Comenzamos calculando el ángulo con el que sale del prisma el color rojo. na sen 60 º = nr sen αr1;

 sen 60º  αr1 = arc sen   = 41º  1,32 

Esto supone que el ángulo de incidencia en la segunda cara sea: αr1 + αi2 + 180 º − ϕ = 180;

αi2 = 90 − αr1 = 90º − 41º = 49 º

Aplicando de nuevo la ley de la refracción:  nr sen αi2   1,32 · sen 49 º   = arc sen  nr sen αi2 = na sen αr 2  αr 2 = arc sen   = 85 º na 1    

Procedemos de igual forma para el color violeta: na sen 60 º = nv sen αr1;

 sen 60º  αr1 = arc sen   = 39,9º   nv

El ángulo de incidencia en la segunda cara es: αr1 + αi2 + 180 º − ϕ = 180 º ;

αi2 = 90 − αr1 = 90º − 39,9º = 50,1º

El ángulo de salida es:  nr senαi2   1,35 · sen 50,1º   = arc sen  nv sen αi2 = na sen αr 2  αr 2 = arc sen   = arc sen 1,03 na 1    

No hay ningún ángulo cuyo seno sea 1,03. La explicación de este resultado es que se ha sobrepasado el ángulo límite y se produce una reflexión total para este color. Se puede considerar que la desviación es: 90º – 85º = 5º

8.13

Se realiza un experimento de doble rendija con d = 1 mm; la distancia del foco de luz a la pantalla es de 1 m y tiene una longitud de onda de 640 nm. Calcula la posición de la primera franja oscura.

Aplicando directamente la expresión:

d

8.14

y (2n + 1) = λ D 2



1  Dλ  1  1· 640 ·10 −9  y oscura =  n +  = 0 +  = 3,2 · 10 − 4 m 2 d 2 10 − 3  

En el experimento del ejercicio anterior, un punto está situado a una altura de 0,48 m. Indica si se encuentra en una posición de mínimo o de máximo.

Comprobamos si el producto d

y es un múltiplo entero de longitudes de onda o es un múltiplo impar de D

semilongitudes de onda. d

y 0,48 = 10 − 3 = 4,8 · 10 − 4 m D 1

Dividimos esta cantidad entre la longitud de la onda y entre la semilongitud de onda: 4,8 · 10 −4 6,4 · 10 − 7

= 750;

4,8 · 10 −4 3,2 · 10 − 7

= 1500

Podemos comprobar que es múltiplo par de longitudes de onda y no es múltiplo impar de semilongitudes de onda; por tanto, se encuentra en un máximo.

Solucionario

117

Solucionario onario 8.15

¿Se puede producir luz polarizada por reflexión tanto si la luz viaja de un medio a otro con índice de refracción mayor como si lo hace a uno con índice de refracción menor? Justifica la respuesta.

Sí. Para que se produzca la polarización por reflexión es necesario que el ángulo refractado y el reflejado formen un ángulo de 90º. No existe ningún impedimento físico para que esto suceda tanto cuando la luz incide desde un medio con un índice de refracción mayor que el primero como cuando este es menor. Matemáticamente, podemos decir que como la tangente puede tomar cualquier valor entre 0 e ∞, cualquier n valor posible de la relación 2 tendrá solución. n1

8.16

Calcula el ángulo de Brewster cuando la luz viaja entre el agua, cuyo índice de refracción es nA = 1,33, y el diamante, cuyo índice de refracción es nD = 2,4.

tg ϕB =

8.17

nD 2,4 = = 1,8  ϕB = arc tg 1,8 = 61º n A 1,33

¿Por qué se ve el cielo negro cuando se observa desde el espacio?

Porque no hay atmósfera que cause la dispersión de la luz que hace que se vea el cielo azul desde la Tierra.

8.18

¿Cuál es el motivo por el que el arco iris secundario es más tenue que el primario?

Para que se produzca el arco iris secundario, en cada gota se deben producir dos reflexiones internas. En cada una de estas reflexiones, se produce también una pequeña refracción, de modo que se pierde parte de la intensidad de la luz. La consecuencia de este hecho es que el arco iris secundario se ve mucho más tenue.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS NATURALEZA Y PROPAGACIÓN DE LA LUZ

8.19 A pesar de los muchos seguidores de la teoría corpuscular, parecía evidente que la luz debía ser una onda. ¿En qué se basaban fundamentalmente los seguidores de Newton para desechar el modelo ondulatorio y defender el corpuscular?

En que el único tipo de ondas conocidas hasta la época, que eran las del sonido, presentaban unas propiedades, por ser longitudinales y por su longitud de onda, que no se daban en las ondas luminosas. Por ejemplo, las ondas sonoras se propagan en todas las direcciones y bordean obstáculos, y las luminosas no parecía que presentaran estas características.

8.20 ¿Cuál fue el fenómeno que determinó definitivamente que la luz se trataba de un movimiento ondulatorio y no de uno corpuscular?

Fueron los fenómenos de interferencia y difracción observados por Young y Grimaldi.

8.21 Con el descubrimiento del efecto fotoeléctrico se comprueba que la energía de los fotones que forman la luz depende de la frecuencia de estos. Ordena de mayor a menor la frecuencia de los colores del arco iris.

El color de mayor frecuencia y por tanto de mayor energía es el violeta; a partir de él decrecen ambas magnitudes. Violeta, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

118

Solucionario

8.22

Una onda electromagnética que se propaga en el vacío tiene una longitud de onda de 5 · 10–7 m. Calcula su longitud de onda cuando penetra en un medio de índice de refracción 1,5.

La única magnitud que no varía es la frecuencia; apoyándonos en este dato: λν = v ;

ν=

v1 v 2 = λ1 λ 2 v2 =

v λ

c 3 · 108 = = 2 · 108 n 1,5

3 · 108 2 · 108 = −7 λ2 5 · 10 λ 2 = 3,3 ·10 −7 m

8.23

Una lámpara de sodio emite luz monocromática de longitud de onda en el vacío λ0 = 5,89 · 10–7 m (luz amarilla) que se propaga en el agua, cuyo índice de refracción es 1,34. Halla: a)

La velocidad de propagación de la luz en el agua.

b)

La frecuencia y la longitud de onda de dicha luz en el agua.

a)

El índice de refracción de un medio permite conocer la velocidad de desplazamiento en dicho medio. n=

c c 3,00 · 108 v = = = 2,24 · 108 m s−1 v n 1,34

Al cambiar de medio, varía la longitud de onda y la velocidad, pero no la frecuencia. De este modo, en el vacío:

λ0ν0 = c  ν0 =

c = 5,09 · 1014 Hz λ0

En el medio: λmνm = v m  λm =

8.24

vm 2,24 · 108 = = 4,40 · 10 − 7 m νm 5,09 · 1014

Realiza un esquema en el que quede representado un eclipse de Sol y un eclipse de Luna. ¿En cuál de los dos es mayor la zona de penumbra?

Sombra Luna Sol

Luna

Sombra Tierra

Tierra

Sol

Penumbra

Penumbra Eclipse de Sol.

8.25

Eclipse de Luna.

Calcula la energía de un fotón de luz roja de 7600 Å en el vacío, si su velocidad es c = 3,0 · 108 m s–1. Dato. h = 6,63 · 10–34 J s

Aplicando la fórmula obtenida en el efecto fotoeléctrico: E = hν = h

Solucionario

119

c 3,00 · 108 = 6,63 · 10 − 34 = 2,62 · 10 −19 J λ 7600 · 10 −10

Solucionario onario 8.26 Calcula la diferencia de energía que existe ente los fotones que transporta una onda electromagnética del rango de las infrarrojas y una onda de rayos gamma. Datos. λinfrarroja = 1 mm; λgamma = 10–12 m

Calculamos la energía de cada onda: Einf = hν = h

c 3 · 108 = 6,63 · 10 −34 = 2 ·10 − 22 J λ 10 −3

Egam = hν = h

c 3 · 108 = 6,63 · 10 −34 = 2 ·10 −13 J λ 10 −12

ΔE = Egam − Einf = 2 ·10 −13 − 2 ·10 −22 = 2 ·10 −13 J

8.27 Calcula el valor en el vacío de la longitud de onda asociada a un fotón de energía 3 keV. Datos. h = 6,63 · 10–34 J · s; 1 eV = 1,60 · 10–19 J

A partir de la energía calculamos el valor de la frecuencia. En primer lugar, pasamos la energía a unidades del sistema internacional. E = 3 keV = 3 · 103 · 1,60 · 10 −19 = 4,8 · 10 −16 J 

E = hν

ν=

E 4,8 · 10 −16 = = 7,24 · 1017 Hz h 6,63 · 10 − 34

λ=

c 3,00 · 108 = = 4,14 · 10 −10 m ν 7,24 · 1017

La velocidad del fotón es la de la luz: λν = c



8.28 Si en un medio la luz se propaga con una velocidad de 250 000 km s–1, ¿cuál es el índice de refracción de este medio en relación con el del vacío?

A partir de la definición de índice de refracción: n =

c 3 · 108 = = 1,2 v 2,5 · 108

REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

8.29 Justifica por qué el índice de refracción de una sustancia debe tener un valor mayor que la unidad.

El índice de refracción se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el medio. Teniendo en cuenta que la velocidad en el vacío es la mayor a la que pueden viajar las ondas, el resultado de dividir por una cantidad igual o menor debe ser la unidad o mayor que la unidad.

8.30 Comprueba que si la longitud de onda de una radiación en el vacío es λ, el valor de la longitud de onda λ de esa misma radiación λ’ en un medio de índice de refracción n es: λ ' = n

A partir de la expresión de una onda electromagnética, se tiene: λν = c;

λ=

c ν

y

λ' =

v ν

Aplicando a la expresión de la longitud de onda en un medio la definición de índice de refracción: c v n c λ' = = = ν ν νn Como

c c λ es la longitud de onda en el vacío, queda: λ' = = ν νn n

120

Solucionario

8.31

Calcula el valor de la velocidad de la luz en el diamante y en el agua si sus índices de refracción respectivos son ndiam = 2,5 y nagua = 1,33.

A partir de la definición de índice de refracción:

n=

8.32

c v



 c 3,00 · 108 = = 1,2 · 108 m s−1  v diam = ndiam 2,5 c  v = ; c 3,00 · 108 n  v agua = = = 2,26 · 108 m s−1  nagua 1,33

Se tienen dos espejos A y B planos y perpendiculares entre sí. Un rayo luminoso contenido en un plano perpendicular a ambos espejos incide sobre uno de ellos con el ángulo α mostrado en la figura. Calcula la relación entre las direcciones de los rayos incidente en A y reflejado en B.

Como se puede comprobar en la construcción gráfica, el ángulo incidente y el reflejado son paralelos. B 90º _ α

α

A α

8.33

90º _ α 90º _ α

Explica por qué al mirar el fondo de un estanque en calma parece menos profundo de lo que en realidad es (nagua > naire). Para ayudarte, obtén la imagen de un objeto puntual situado en el fondo. N

Cuando un rayo pasa de un medio a otro con mayor índice de refracción, los rayos se desvían acercándose a la normal. Este fenómeno unido a que nosotros en nuestro cerebro percibimos que los rayos nos llegan en línea recta hace que veamos que lo que se encuentra en el segundo medio esté en distinta posición de la que realmente ocupa. En la imagen se ve con claridad. El rayo que penetra en el ojo está desviado al cambiar de medio y el cuerpo situado en el punto A esta siendo visto por el ojo como si estuviese situado en A’.

8.34

A’ A

Un haz de luz que viaja por el aire incide sobre un bloque de vidrio. Los haces reflejado y refractado forman ángulos de 30º y 20º, respectivamente, con la normal a la superficie del bloque. a)

Calcula la velocidad de la luz en el vidrio y el índice de refracción de dicho material.

b)

Explica qué es el ángulo límite y determina su valor para al caso descrito.

a)

A la vista del esquema de rayos y sabiendo que el índice de refracción del aire es na = 1, podemos aplicar la ley de la refracción de Snell.

N 30º 30º

na sen 30º = nv sen 20 º 1⋅ sen 30 º nv = = 1,46 sen 20º La velocidad de la luz en el vidrio será: n=

20º

c c 3,00 · 108 v = = = 2,05 · 108 m s−1 v n 1,46

El ángulo límite es el ángulo a partir del cual no se produce rayo refractado. Esto sucede cuando la luz pasa de un medio a otro con menor índice de refracción, porque en ese caso el ángulo que forma el rayo refractado con la normal es mayor que el que forma el incidente. En este caso, la luz debería pasar del vidrio al aire. nv sen ˆi L = na sen 90º

 1  sen ˆi L = arcsen  = 43,23º  1,46 

Solucionario

121

Solucionario 8.35 Un rayo de luz roja que se propaga por el aire incide sobre un vidrio y forma un ángulo de 30° con la dirección normal a la superficie del vidrio. El índice de refracción del vidrio para la luz roja es nv = 1,5 y el del aire es na = 1. Calcula el ángulo que forman entre sí el rayo reflejado y el rayo refractado.

Aplicando la ley de Snell para la refracción, calculamos el valor del ángulo de refracción: na sen ˆi = nv sen rˆ

 n sen ˆi   rˆ = arcsen a  nv    1 · sen 30º   rˆ = arcsen   = 19,47º 1,5  

N 30º 30º

α

Para calcular el ángulo que forman los rayos reflejado y refractado, calculamos el valor de α y β:

β r

α = 90º − 30º = 60 º   α + β = 130,53º β = 90º − 19,47º = 70,53º  REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

8.36 Un rayo de luz verde pasa de una placa de vidrio de índice de refracción n = 1,5 al aire. La longitud de onda de la luz en la placa es 333 · 10–9 m. Calcula: a)

La longitud de onda de la luz verde en el aire.

b)

El ángulo crítico a partir del cual se produce la reflexión total.

a)

Como la frecuencia es una magnitud que no varía, se producirá una variación de la longitud de onda que será: λ0 = n λ = 1,5 · 333 · 10–9 = 500 nm

b)

Aplicando la ley de Snell: nv sen ˆi = na sen rˆ

La reflexión total se produce cuando el ángulo refractado es de 90º. 1,5 · sen ˆi = 1 1 sen ˆi = 1,5 ˆi = arcsen  1  = 41,8º  1,5   

8.37 Un rayo de luz monocromática que se propaga por el aire incide sobre una superficie de agua. Determina el ángulo de incidencia para el que el rayo reflejado es perpendicular al refractado (el índice de refracción del agua vale 1,33).

Sabemos que el ángulo reflejado es igual que el incidente, de modo que hasta la superficie del líquido el ángulo vale 90º – ˆi .

N

En el agua, el ángulo desde la superficie del líquido hasta el rayo refractado es 90º – rˆ :

i

90º – ˆi + 90º – rˆ = 90º

r

180º – ˆi – rˆ = 90º ˆi + rˆ = 90º; rˆ = 90º – ˆi

Sustituyendo en la ley de Snell: na sen ˆi = naq sen rˆ

(

)

sen ˆi = 1,33 · sen 90º − ˆi  sen ˆi = 1,33 · cos ˆi tg ˆi = 1,33  ˆi = 53,06º

122

90º _ i 90º

Solucionario

8.38

Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción distintos n1 y n2. Un rayo de luz incide desde el medio de índice n1. Razona si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes. a)

El ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión.

b)

Los ángulos de incidencia y de refracción son siempre iguales.

c)

El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en el mismo plano.

d)

Si n1 > n2, se produce reflexión total para cualquier ángulo de incidencia.

a)

Según la segunda ley de la reflexión de Snell, el ángulo de incidencia es siempre igual que el de reflexión, luego es falsa la afirmación.

b)

Los ángulos de incidencia y refracción solo pueden ser iguales cuando los medios son iguales, n1 = n2. Si los medios son iguales no estamos frente a un cambio de medio, luego es falsa.

c)

Esta afirmación coincide con el enunciado de la primera ley de Snell de la refracción, “El rayo incidente el reflejado y refractado están en el mismo plano”, luego es verdadera.

d)

La reflexión total se produce cuando la luz viaja de un medio a otro de índice de refracción menor y el ángulo de incidencia es superior a aquel que cumple: n1 sen ˆi = n2 sen 90º ;

8.39

sen ˆi =

ˆi = arc sen  n2  Luego la afirmación es falsa. n   1

n2 ; n1

Sabiendo que el ángulo límite definido entre un medio material y el aire es 60º, determina la velocidad de la luz en dicho medio.

Analizando la ley de la refracción de la luz, se deduce que un rayo se acerca a la normal cuando pasa de un medio a otro con índice de refracción mayor, y que el rayo se aleja de la normal cuando pasa de un medio de mayor índice de refracción a otro de menor. En este último caso, debe existir una dirección para la que el rayo refractado forme un ángulo de 90º con la normal y los rayos que inciden con un ángulo superior a él, no pasen al segundo medio. Este ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es de 90º se conoce como ángulo límite. n1 sen αL = n2 sen 90 º



sen αL =

n2 ; n1

n  αL = arc sen  2   n1 

El valor del índice de refracción en el medio material a partir de la misma expresión es: n1 sen αL = n2 sen 90º 1 n1 sen 60º = 1 ; n1 = = 1,155 sen 60 º La velocidad de la luz en el medio es: n =

8.40

c c 3,00 · 108 v= = = 2,60 · 108 m s−1 v n 1,155

Un rayo monocromático incide en la cara vertical de un cubo de vidrio de índice de refracción n’ = 1,5 sumergido en agua. ¿Con qué ángulo debe incidir para que en la cara superior del cubo haya reflexión total?

r i α

Según están pintados los ángulos rˆ e ˆi , se pueden relacionar mediante: rˆ + ˆi + 90º = 180º  ˆi = 90º – rˆ Aplicamos la ley de Snell al segundo cambio de medio y calculamos los valores de los ángulos en sentido naq 1,33 = = 0,89 contrario al recorrido por el rayo: nv sen ˆi = naq sen 90º  sen ˆi = nv 1,5

naq

ˆi = arc sen 0,89 = 62,73 º rˆ = 90 º − 62,73 º = 27,27 º nv sen 27,27 º sen α = nv sen 27,27 º  sen α = = 0,52; α = arc sen 0,52 = 31,33 º naq

Solucionario

123

Solucionario 8.41

Un rayo de luz roja se propaga por un vidrio e incide en la superficie que separa el vidrio del aire con un ángulo de 30,0º respecto a la dirección normal a la superficie. El índice de refracción del vidrio para la luz roja es 1,60 y el índice de refracción del aire es 1. Calcula: a)

El ángulo que forma el rayo refractado con respecto a la normal.

b)

El ángulo de incidencia máximo para que el rayo de luz roja pase al aire.

c)

Indica si aumentan o disminuyen las siguientes magnitudes al pasar el rayo del vidrio al aire: velocidad de propagación, energía de los fotones, longitud de onda de los fotones.

a)

Aplicando la ley de Snell: 1,6 · sen30º = 1 · sen α; α = arcsen 0,8 = 53,1º

b)

Calculamos el ángulo límite:

 1  1,6 · sen α L = 1 · sen 90º ; α L = arcsen   = 38,7º  1,6  c)

La velocidad es inversamente proporcional al índice de refracción; al disminuir n la velocidad aumenta. E = h · ν; como la frecuencia no varía la energía tampoco. La longitud de onda es proporcional a la velocidad, λ = un aumento de la longitud de onda.

8.42

v ; luego un aumento de velocidad supone ν

a) Un rayo luminoso incide sobre una superficie plana de separación aire-líquido. Cuando el ángulo de incidencia es de 45º el de refracción vale 30º. ¿Qué ángulo de refracción se produciría si el haz incidiera con un ángulo de 60º? b) Un rayo de luz incide sobre una superficie plana de un vidrio con índice de refracción 1,5. Si el ángulo formado por el rayo reflejado y el refractado es de 90º, calcula los ángulos de incidencia y de refracción.

a) Aplicamos la ley de la refracción para calcular el valor del índice de refracción: na · sen 45 º = nl · sen 30º ;

nl =

sen 45 º = 1,41 sen 30º

Aplicamos la ley para un ángulo de incidencia de 60º.

 sen 60º  na · sen 60 º = 1,41 · sen rˆ ; rˆ = arcsen   = 37,9º  1,41  b) El ángulo reflejado es igual al incidente; hasta la superficie del líquido el ángulo vale 90º – ˆi . En el agua, el ángulo desde la superficie del líquido hasta el rayo refractado es 90º – rˆ . 90º – ˆi + 90 – rˆ = 90º

 180º – ˆi – rˆ = 90º

Sustituyendo en la ley de Snell:

na sen ˆi = nv sen rˆ sen ˆi = 1,5 sen 90 º − ˆi ; tg ˆi = 1,5



124

i

90º _ i 90º r

ˆi + rˆ = 90º  rˆ = 90 – ˆi

(

N

)

ˆi = 56,3º

sen ˆi = 1,5 cos ˆi 

rˆ = 90 − ˆi = 33,7º

Solucionario

8.43

Una onda que viaja por un medio con velocidad v1 = 10 m s–1 incide sobre la frontera con otro medio diferente con ángulo de incidencia αi = 30º. La velocidad de propagación de la onda en el segundo –1 medio es v2 = 17 m s . Calcula el ángulo de transmisión, αt. Si la frecuencia de la onda es ν = 10 Hz, calcula su longitud de onda en cada medio.

Aplicando las leyes de la refracción: c c sen αi = sen α t v1 v2

n1 sen αi = n2 sen α t ; sen α t =

v2 sen αi v1

v   17  α t = arcsen  2 sen αi  = arcsen  sen 30 º  = 58,21º  10   v1  Para calcular la longitud de onda, aplicamos: λ · ν = v;

λ=

v ν

v1 10   medio 1 : λ1 = ν = 10 = 1 m  medio 2 : λ 2 = v 2 = 17 = 1,7 m  ν 10

8.44

Un haz luminoso de longitud de onda 550 · 10–9 m, que viaja a través del vacío, incide sobre un material transparente. El haz incidente forma un ángulo de 40º con la normal a la superficie, mientras que el refractado forma un ángulo de 26º. Calcula el índice de refracción del material y la longitud de onda del haz que se propaga en su interior.

Calculamos en primer lugar la frecuencia del haz luminoso, ya que es invariante ante el cambio de medio: c =λ·ν ν=

c 3,00 · 108 = = 5,45 · 1014 Hz λ 550 · 10 − 9

Ahora calculamos el índice de refracción del material a partir de la ley de la refracción de Snell: na sen ˆi = nm sen rˆ nm =

1 · sen 40º = 1,466 sen 26º

Podemos calcular la velocidad en el medio: vm =

c 3,00 · 108 = = 2,05 · 108 m s−1 nm 1,466

Ya conocemos todos los datos necesarios para calcular la longitud de onda en el medio: v m = λm · ν λm =

vm 2,05 · 108 = = 3,76 · 10 −7 m ν 5,45 · 1014 λm = 376 nm

Solucionario

125

Solucionario onario 8.45

Se considera un vaso cilíndrico lleno de agua hasta el borde. En el fondo hay un espejo plano. Un rayo de luz monocromática incide con un ángulo de 30º sobre la superficie. El rayo llega al espejo del fondo, se refleja y vuelve a salir a la superficie. a) Completa el esquema adjunto de la marcha del rayo. b) Calcular el ángulo que se ha desviado en total el rayo incidente. c) Para algún ángulo de incidencia, ¿puede ocurrir una reflexión total del rayo al pasar del agua al aire? Justifícalo.

a) El rayo incidente se refracta en el agua, sufre una reflexión especular y después se vuelve a refractar al pasar del agua al aire.

30º 30º

Como el ángulo de incidencia del segundo cambio de medio (agua-aire) es igual que el de refracción del primer cambio (aire-agua), el ángulo de refracción que se observa cuando el rayo pasa al aire es igual que el ángulo con que incidió, pero medido hacia el otro lado de la normal.

60º

120º

El resultado final es el mismo que si hubiera sufrido una reflexión especular. b) Analíticamente se puede ver sin necesidad de resolver la ecuación de Snell. Aire – agua → na sen 30º = naq sen rˆ Reflexión:

→ →

Agua – aire Como: rˆ = rˆ ’

rˆ = rˆ ’ naq sen rˆ ’ = na sen α

 naq sen rˆ ’ = na sen 30º

 α = 30º; δ= 120º

c) La reflexión especular se produce para todos los ángulos de incidencia superiores al ángulo límite, que es el ángulo para el que el ángulo de refracción es 90º. n naq sen ˆi = na sen 90º  sen ˆi = a naq Como na < naq, habrá un ángulo ˆi cuyo seno tome ese valor. Solamente se puede observar el fenómeno de la reflexión total cuando pasamos de un medio a otro con menor índice de refracción. Si lo que queremos es que el rayo incida desde el aire al agua, se refleje en el fondo del vaso y a la salida se produzca la reflexión total, el proceso no se puede producir, ya que, como hemos visto en el apartado b), el proceso de entrada y salida del rayo es geométricamente simétrico. De este modo, para que no salga al aire, no debería haber entrado desde el aire. 8.46

Un buceador enciende una linterna debajo del agua (índice de refracción 1,33) y dirige el haz luminoso hacia arriba formando un ángulo de 40º con la vertical. a)

¿Con qué ángulo emergerá la luz del agua?

b)

¿Cuál es el ángulo de incidencia a partir del cual la luz no saldrá del agua?

Realiza esquemas gráficos en la explicación de ambos apartados.

a)

N

Aplicamos la ley de Snell con los datos del problema.

ε

naq sen 40º = nasen ε 1,33 · sen 40 º = sen ε

40º

ε = arcsen (1,33 · sen 40º ) = 58,75º b)

Para conocer con qué ángulo incidente se produce la reflexión total haremos que el ángulo emergente valga 90º.

N

 1  1,33 · sen ˆi = 1 · sen 90º  ˆi = arcsen   = 48,75º  1,33  48,75º

126

Solucionario

LÁMINAS Y PRISMAS

8.47

Una lámina de vidrio (índice de refracción n = 1,52) de caras planas y paralelas y espesor d se 14 encuentra entre el aire y el agua. Un rayo de luz monocromática de frecuencia 5 · 10 Hz incide desde el agua en la lámina. Determina: a)

Las longitudes de onda del rayo en el agua y en el vidrio.

b) El ángulo de incidencia a partir del cual se produce reflexión total interna en la segunda cara. Datos. nagua = 1,33; c = 3 · 108 m s–1

a)

Buscamos una expresión de la longitud de onda en función del índice de refracción:

c  c  v  λν = n λν = v 

n=

λ agua =

b)

3 · 108 = 4,5 · 10 −7 m; 5 · 1014 · 1,33

 λ=

c νn

3 · 108 = 3,95 · 10 −7 m 5 · 1014 · 1,52

λ vidrio =

Calculamos para qué ángulo de incidencia en la segunda cara se produce reflexión total. nvidrio ⋅ sen ˆi2 = naire · sen 90 º ;

ˆi = arcsen  1  = 41,1º 2  1,52 

Este es el mismo ángulo que se refracta en la primera cara, luego el ángulo de incidencia es: nagua · sen ˆi1 = nvidrio · sen 41,1º ;

8.48

ˆi = arcsen 1,52 · sen 41,1º  = arc sen 0,75 = 48,6º 1 1,33  

Un haz de luz blanca incide sobre una lámina de vidrio de grosor d con un ángulo θi = 60º. a)

Dibuja esquemáticamente las trayectorias de los rayos rojo y violeta.

b)

Determina la altura, respecto al punto de incidencia, del punto por el que la luz roja emerge de la lámina si d = 1 cm.

c)

Calcula el grosor d que debe tener la lámina para que los puntos de salida de la luz roja y de la luz violeta estén separados 1 cm.

Datos. nR = 1,4 y nV = 1,6

a)

Como el índice de refracción del color rojo es menor que el del violeta, se acercará menos a la normal, es decir, sufrirá menos desviación.

b)

Aplicamos la ley de Snell de la refracción para encontrar el ángulo con que penetran en el vidrio cada uno de los rayos.

38º 60º

32,8º

 sen 60 º  θr = arcsen   = 38,2º  1,4   sen 60 º  θv = arcsen   = 32,8º  1,6 

na · sen 60º = nr · senθr ; na · sen 60º = nv · senθv ;

Del triángulo que forman la normal, el rayo y la cara posterior del prisma conocemos el ángulo θ y la anchura del vidrio, de modo que calculamos la tangente de dicho ángulo y encontramos el valor de la altura sobre O’. hr = d tg θr = 0,01 · tg 38,2º = 7,87 · 10

−3

hv = d tg θv = 0,01 · tg 32,8º = 6,44 · 10 c)

Rojo Violeta

h θ

m

−3

O’ d

m

Escribimos la diferencia entre hr y hv en función de la distancia d y hacemos que la diferencia de las alturas sea de 1 cm. hr = d tg θr  hr − hv 0,01 = = 0,07 m   hr − hv = d ( tg θr − tg θv )  d = hv = d tg θv  tg θr − tg θv tg 38,2º − tg 32,8º

Solucionario

127

Solucionario onario 8.49

Sobre una lámina transparente de índice de refracción 1,5 y 1 cm de espesor, situada en el vacío, incide un rayo luminoso formando un ángulo de 30º con la normal a la cara. Calcula: a)

El ángulo que forma con la normal el rayo que emerge de la lámina. Efectúa la construcción geométrica.

b)

La distancia recorrida por el rayo dentro de la lámina.

a)

Al aplicar dos veces la ley de Snell, una para entrar en la lámina y otra para salir de la misma, se obtiene el mismo resultado para el ángulo de salida que para el de entrada.

1 cm i

Aplicando la ley de Snell para la refracción: n1 sen ˆi1 = n2 sen rˆ

30º r

30º

Entrada a la lámina: 1· sen 30 º = 1,5 · sen rˆ Salida de la lámina con un ángulo de 30º: 1,5 · sen rˆ = 1· sen 30º b)

Calculamos el valor del ángulo rˆ :

 sen 30º  rˆ = arcsen   = 19,47º  1,5 

d

r

Observando el triángulo formado, se tiene: cos rˆ =

8.50

0,01 d



d=

0,01 ; cos 19,47º

1 cm

d = 0,0106 m

Sea el dispositivo óptico esquematizado en la figura, que está formado por dos prismas idénticos de índice de refracción 1,65, con bases biseladas a 45º y ligeramente separados. Se hace incidir un rayo láser perpendicularmente a la cara A del dispositivo. Discute si es de esperar que exista luz emergente por la cara B, en los casos: 45º A

B

45º

a)

El espacio separador entre los prismas es aire de índice de refracción 1.

b)

El espacio separador es agua de índice 1,33.

a)

Para que exista luz emergente, el rayo de luz debe salir refractado por la primera cara biselada, por lo que el ángulo de incidencia debe ser menor al ángulo límite, pues de lo contrario se reflejaría.

n ni · sen L = nr sen 90º  L = arcsen r  ni

ni sen ˆi = nr sen rˆ ;

   

Al incidir el rayo de luz perpendicularmente a la cara A, ángulo de incidencia 0º, el rayo no se desvía, por lo que incide en la cara biselada con un ángulo de incidencia de 45º.

 1  En el primer caso, medio separador aire nr = 1, el ángulo límite es: L = arcsen   = 37,3º  1,65  Al ser el ángulo de incidencia, 45º, superior al ángulo límite, toda la luz se refleja en la cara biselada: no habrá luz emergente por la cara B. b)

En el segundo caso, el índice del medio separador es 1,33, por lo que el ángulo límite sería:

 1,33  L = arcsen   = 53,7º  1,65  Al ser el ángulo de incidencia menor del ángulo límite, sí existe rayo refractado, que saldría de la primera cara biselada con un ángulo de refracción de:

 1,65 · sen 45 º  1,65 · sen 45º = 1,33 · sen rˆ  sen rˆ =   = 0,877  rˆ = 61,3º 1,33   Este rayo de luz incidiría en la cara biselada del otro prisma con un ángulo de incidencia de 61,3º, sufriendo una refracción con un ángulo de salida de 45º, es decir, paralelo al rayo inicial.

128

Solucionario

8.51

Sobre un prisma de ángulo 80° situado en el vacío, incide un rayo luminoso monocromático que forma un ángulo de 74,61° con la normal a la cara lateral izquierda. Sabiendo que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la base: a)

Calcula el índice de refracción del prisma.

b)

Realiza el esquema gráfico de la trayectoria seguida por el rayo a través del prisma.

c)

Determina el ángulo de desviación del rayo al atravesar el prisma.

a)

El triángulo formado por las caras del prisma y el rayo tiene un ángulo de 80º y dos de 50º. El ángulo que forma el rayo refractado con la normal es: rˆ = 90º − 50º = 40º Aplicando la ley de Snell de la refracción, calculamos el valor del índice de refracción del prisma: n1sen ˆi = n2sen rˆ;

n2 = 1 ·

n2 = n1

sen ˆi sen rˆ

sen 74,61º = 1,5 sen 40º

b)

δ F D

74,61º

c)

40º

E

40º

74,61º

D = 74,61º − 40º = 34,61º ; E = 74,61º − 40 º = 34,61º ; F = 180 º − 2 · 34,61º = 110,78º δ = 180 º − 110,78 = 69,22º

8.52

Se tiene un prisma óptico de índice de refracción 1,5 inmerso en el aire. La sección del prisma es un triángulo rectángulo isósceles, como muestra la figura. a)

B

Explica si se produce o no reflexión total en la cara BC del prisma cuando incide un rayo perpendicularmente en AB.

A

C

b) Haz el esquema gráfico de la trayectoria del rayo. ¿Cuál es la dirección del rayo emergente?

a)

Al incidir perpendicularmente en la primera cara, no sufre refracción, de modo que llega a la segunda cara formando un ángulo de 45º con la normal. Aplicamos la ley de Snell para la refracción de salida. nv sen ˆi = na sen rˆ 1,5 · sen 45º = 1 · sen rˆ  sen rˆ = 1,06 No se puede calcular, porque no hay ningún ángulo cuyo seno sea mayor que la unidad. Calculamos cuál será el ángulo límite: 1,5 · sen ˆi L = 1 · sen 90º 

ˆi = arcsen  1  = 41,8º L  1,5 

n = 1,5

Al incidir con un ángulo superior al ángulo límite, se produce la reflexión total. b)

No emergerá ningún rayo por la base del prisma, dado que sufre reflexión total. Se reflejará en la base del prisma con un ángulo de reflexión de 45º y emergerá al exterior perpendicularmente a la siguiente cara sin sufrir desviación en esta refracción.

Solucionario

129

45º

N

Solucionario onario 8.53

Un rayo de luz monocromática incide sobre una cara lateral de un prisma de vidrio, de índice de refracción n = 2 . El ángulo del prisma es 60º. Determina: a)

El ángulo de emergencia a través de la segunda cara lateral si el ángulo de incidencia es de 30º. Efectúa un esquema grafico de la marcha del rayo.

b)

El ángulo de incidencia para que el ángulo de emergencia del rayo sea 90º.

a)

Se aplica la ley de Snell a la primera refracción:

 sen 30º   = 20,7º 1 · sen 30 º = 2 · sen α  α = arc sen  2  

60º

De la suma de los ángulos del triángulo formado por el rayo refractado y las dos caras del prisma, se obtiene α’.

90º _ α

30º

90º – α + 60º + 90º – α’ =180º; α’ = 39,3º

α

α’

Aplicando de nuevo la ley de Snell:

2 · sen 39,3º = sen eˆ; b)

eˆ = arc sen

e

( 2 · sen 39,3º) = 63,6º

El rayo emergerá con un ángulo de 90º si α’ es:

 1   = 45º  α' = arc sen    2

2 · sen α' = 1

El ángulo refractado en la primea cara α del prisma valdrá: 90º – α + 60º + 90º – 45º = 180º; α = 15º Ahora se calcula el ángulo de incidencia en la primera cara del prisma:

1 · sen ˆi = 2 · sen 15º ;

8.54

ˆi = arc sen

( 2 · sen 15º) = 21,47º

Un rayo luminoso se propaga por un medio de índice de refracción n = 1,5 e incide sobre la frontera de separación con otro medio de índice de refracción n’ = 1. Calcula los ángulos de reflexión y refracción del rayo en los casos: a)

El ángulo de incidencia del rayo es 20º.

b)

El ángulo de incidencia es 60º. Justifica, desde un punto de vista físico, este resultado.

a)

Aplicamos en cada caso la ley de Snell para la refracción.

N 20º

n1 sen ε1 = n2 sen ε 2 n1

ε2 = arcsen (n1 · sen ε1 ) = arcsen (1,5 · sen 20º ) = 30,9º b)

n2

Aplicamos las mismas ecuaciones con 60º como ángulo de incidencia.

60º ε2

60º ε3

ε3 = arcsen (1,5 · sen 60º ) = arcsen 1,3 No puede existir ningún ángulo cuyo seno sea este valor, ya que el seno de cualquier ángulo debe estar comprendido entre –1 y 1. Físicamente significa que no se produce refracción: el rayo se queda en el primer medio, produciéndose el fenómeno que se conoce como reflexión total. FENÓMENOS ONDULATORIOS

8.55

Calcula el ángulo con que debe incidir un rayo de luz en la superficie del diamante para que en la reflexión se obtenga luz polarizada (ndiam = 2,4).

Para que esto ocurra se debe incidir con el ángulo de Brewster, que es aquel que cumple que la suma de los ángulos formados por el rayo incidente y el refractado es 90º: ϕB + αr = 90º  sen α r = cos ϕ B n1 sen ϕB = n2 sen αr ; n1 sen ϕB = n2 cos ϕB  tg ϕB = n  Para el caso del diamante y el aire: ϕB = arc tg  2  = arc tg 2,4 = 67,38º  n1 

130

Solucionario

n2 n1

8.56

¿Es posible aprovechar el fenómeno de la refracción de la luz para generar un arco iris iluminando las gotas de lluvia con un haz láser de luz roja?

No, ya que la luz roja es monocromática y no puede dividirse en haces de luz de otros colores. Para observar el fenómeno del arco iris se debe realizar la refracción con luz blanca. 8.57

Una fuente de luz coherente se encuentra con dos rendijas a una distancia de 0,08 mm. La luz que atraviesa las rendijas se encuentra con una lámina a 4 m de las mismas. La primera franja iluminada (n = 1) esta a 3 cm de la línea central. a)

Calcula la longitud de onda de la luz.

b) Calcula la distancia entre dos franjas iluminadas consecutivas.

a)

A partir de la expresión de la posición de un franja iluminada, despejamos el valor de λ cuando n = 1. d

b)

yilu min ada = nλ  D

λ=d

yilu min ada 3 · 10−2 = 8 · 10− 5 = 6 · 10 −7 m nD 4

La distancia entre dos franjas iluminadas la podemos expresar como: λD  n  λD λD 6 · 10− 7 · 4 d (n + 1 − n) = = = 0,03 m . Se sitúan a distancias de 3 cm.  yn +1 − yn = λD d d 8 · 10−5 yn +1 = (n + 1)  d yn =

PROBLEMA DE SÍNTESIS 8.58

Se quiere construir un dispositivo que permita que un rayo de luz monocromática que incida horizontalmente sobre el mismo salga desviado 90º. Para ello se cuenta con un vidrio con forma de un cuarto de círculo, como el de la imagen. El vidrio tiene un radio de 1 m y N un índice de refracción para la luz utilizada de n = 1,6. N α’ Sabemos que cuando la luz incide horizontalmente sobre la pieza de vidrio, r’ α el ángulo que forma el rayo incidente con la normal (que es en todo R momento el radio de la pieza) depende de la altura a la que se realice el r i contacto con el vidrio. H R Debemos calcular cuál será la altura a la que debe lanzarse el rayo sobre la pieza para que el rayo salga en la dirección perpendicular.

Para que se produzca reflexión total: n · sen ˆi = 1 ;

ˆi = arc sen  1  = arc sen  1  = 38,68º n  1,6      N

Del triángulo ACB, obtenemos una relación ente α1 y rˆ1 .

[(90º−α1 ) + rˆ1 ] + ˆi + 90º = 180º



α1 A 90º _ α1

α1 = ˆi + rˆ1

r1

La refracción que se produce en el punto A es:

H

( )

C

sen α1 = n sen rˆ1  sen ˆi + rˆ1 = n sen rˆ1

i

O

Desarrollando esta expresión: sen ˆi · cos rˆ1 + cos ˆi · sen rˆ1 = n sen rˆ1;

Dividiendo por sen ˆi :

B

R

sen ˆi · cos rˆ1 cos ˆi · sen rˆ1 n sen rˆ1 + = ; sen rˆ1 sen rˆ1 sen rˆ1

sen ˆi

1 + cos ˆi = n tg rˆ1

1 1 1 n 1 + = ; tg rˆ1 = = = 0,76  rˆ1 = arctg (0,76 ) = 37,23º tg rˆ1 tg ˆi sen ˆi  n 1  2,56 − 1,25    sen ˆi − tg ˆi   

Aplicando de nuevo la ley de Snell: sen α1 = n sen rˆ1  α1 = arc sen (1,6 · sen37,23º ) = 75,50º El ángulo formado por el rayo y la normal es el mismo que el formado por el radio y la horizontal. H Resolviendo este triángulo, se calcula la altura H: sen α1 =  H = R sen α1 = 0,968 m R

Solucionario

131