EJERCICIOS RESUELTOS DE: Ecuaciones Diferenciales

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS ESCUELA DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN Y ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD DE LA SALLE BAJIO

ECUACIONES DIFERENCIALES CAPITULO 6 19.- Seleccionar entre las siguientes ecuaciones las que son lineales, establecer la variable dependiente y resolverlas. dy / dx + y = 2 + 2 x a) Sol. y = 2 x + Ce − x

y; F .I ., e x

dρ / dθ + 3ρ = 2 b) Sol.

ρ ; F .I ., e3ϑ

3ρ = 2 + Ce −3ϑ

dy / dx − y = xy 2 c) Sol. No es Lineal xdy − 2 ydx = ( x − 2)e x dx

d) Sol. y = e x + Cx 2

y; F .I .,1 / x 2

e)

di - 6i = 10sen2t dt Sol. i

F .I ., e − 6t

i = −1 / 2(3 sen2t + cos 2t ) + Ce − y

dy / df + y = y 2 e x f) Sol. No es Lineal ydx + ( xy + y − 3 y )dy = 0 g) Sol. x; F .I ., ye y

xy = 3( y − 1) + Ce − y

(2s − e 2t )ds = 2( se 2t − cos 2t )dt h) Sol. No es Lineal

i)

xdy + ydx = x 3 y 6 dx Sol. No es Lineal

dr + (2r j)

ctg θ + sen2θ )dθ = 0

Sol. r ; F .I ., sen 2θ

2rsen 2θ + sen 4θ = C

y (1 + y 2 )dx = 2(1 − 2 xy 2 )dy

k) Sol. x; F .I ., (1 + y 2 ) 2

l)

(1 + y 2 ) 2 x = 2 ln y + y 2 + C

yy'− xy 2 + x = 0 Sol. No es Lineal xdy − ydx = x x 2 − y 2 dy

m) Sol. No es Lineal

φ1 (t )dx / dt + xφ2 (t ) = 1 n) Sol. x; F .I ., e ∫ φ2 (t )dt / φ1 (t );

xe

∫ φ (t )dt / φ (t ) 2

1

=

xy' = y (1 − xtgx) + x 2 cos x p) Sol. 1 y = x 2 cos x + Cx cos x y; F .I ., xcox (2 + y 2 )dx − ( xy + 2 y + y 3 )dy = 0 q) Sol.

(1 + y 2 )dx = (arc r) Sol. x; F .I ., e arctgy

x = 2 + y2 + C 2 + y2 tg

x = arc

y − x)dy tg

y − 1 + Ce −arctg

2

1

2dx / dy − x / y + x 3 cos y = 0 o) Sol. No es Lineal

x; F .I .,1 / 2 + y 2

1

∫ φ (t ) ∫ φ (t )dt / φ (t )dt + C

y

e

1

(2 xy 5 − y )dx + 2 xdy = 0 s) Sol. No es Lineal

t)

(1 + seny)dx = [2 y cos y − x(sec y + tgy )]dy Sol. x; F .I ., sec y + tgy; x(sec y + tgy ) = y 2 + C

20.- De las ecuaciones que queden del problema 19 resolver las que pertenecen al tipo Bernoulli. dy / dx − y = xy 2 c) Sol. y −1 = υ ; 1 / y = 1 − c + Ce − x dy / df + y = y 2 e x f) Sol. y −1 = υ ; (C + x) ye x + 1 = 0 xdy + ydx = x 3 y 6 dx i) Sol. y −5 = υ ; 2 / y 5 = Cx 5 + 5 x 3

yy'− xy 2 + x = 0 l) Sol. y 2 = υ;

y 2 = 1 + Ce x

2

2dx / dy − x / y + x 3 cos y = 0

o) Sol. x −2 = υ ; x −2 y = cos y + yseny + C (2 xy 5 − y )dx + 2 xdy = 0 s) Sol. y −4 = υ ; 3 x 2 = ( 4 x 3 + C ) y 4

21.- Resolver las ecuaciones h) y m) que son las que quedan del problema 19 (2s − e 2t )ds = 2( se 2t − cos 2t )dt

h) Sol. s 2 − se 2t + sen2t = C

22.Resolver:

xdy − ydx = x x 2 − y 2 dy m) Sol. y = xsen( y + C )

con la condición y =0 para x=1

xy ' = 2 y + x 3 e x dy = 2 y + x 3e x dx dy 2 y x 3 e x = + a) dx x x 2 x dy ⎡ 2 y x e ⎤ dx = 0 − dx ⎢⎣ x 1 ⎥⎦ x

2 x μ ( x) = e ∫ p ( x ) dx = − x 2 p ( x) =

Solución:

y = x 2 ( e x − e)

di donde L,R,E son constantes, con la condición i=0 para t=0. + Ri = Esen2t dt di Esen2t Ri = − dt L L ⎡ Ri Esen2t ⎤ di ⎢ − dt = 0 L L ⎥⎦ ⎣ b) Ri p( X ) = L Esen2t f (X ) = L ERsen2t 2 E cos 2t μ ( x) = e ∫ p ( x ) dx = − L2 L E ⎛⎜ Rsen2t − 2 cos 2t + 2 Le − Rt L ⎞⎟ Solución: i = 2 ⎠ R + 4 L2 ⎝ L

23. Resolver dy x 2 cos y = 2 xseny − 1, empleando sen y = z dx dy x 2 cos y = 2 xz − 1 dx dy = 2 xz − 1 . a) x 2 z 2 dx dy 2 xz − 1 = dx x2 z 2 dy dx 2 xz − 1 = z+x = dx dz x2 z 2

(

) (

)

4 x 2 yy ' = 3 x 3 y 2 + 2 + 2 3 y 2 + 2 empleando 3y2 + 2 = z. dy = 3 xz + 2 z 3 dx 3 b) dy = 3 xz + 2 z dx 4x2 y 4x2 y

dy dx 3 xz + 2 z 3 = z+x = dx dz 4x2 y

(xy − y − x e )dx + 3 xy dy = 0, empleando y c) (x(vx) − (vx) − x e )dx + 3 xy dy = 0 x((vx − v − xe )dx + (3 y dy )) = 0 3

3

2 x

2

2 x

= vx

2

2

x

dy

3

+ x( x + y ) = x 3 (x + y ) − 1. 3

dx dy dx

+ xv = x 3 v 3 − 1

d) dy

= x 3 v 3 − xv − 1 dx x dv = x 3v 3 − xv − v − 1 dx 1 1 dx = 3 3 dv x x v − xv − v − 1

sol a) = 3xseny = Cx 3 + 1

(

)(

sol b) = 4 x 9 = C − 3 x 8 3 y 2 + 2 sol c) = 2 y 3 e x = xe 2 x + Cx

)

sol d) = 1 ( x + y ) = x 2 + 1 + Ce x 2

2

2

CAPITULO 8

22.-Un muchacho se mueve en una linea recta de modo que su velocidad excede en 2 a su distancia respecto de un punto fijo de la recta si r = 5 cuando t = 0 hallar la ecuación de movimiento Sol. x = 5e t − 2

23.-halla el tiempo necesario para que una cantidad de dinero aumente al doble al 5% por año interes compuesto continuo sugerencia: dx / dt} = 0.05 x donde x es la suma al cabo de t años Sol. 13.9años 24.-el radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si la otra mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años hallar el porcentaje de perdida de 100años Sol. 4.2%

25.- en un cultivo de levadura la cantidad de fermento activo crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si se duplica la cantidad en 1 hora cuantas veces puede esperarse que se tenga la cantidad original desaparece en 1600 años hallar el porcentaje de perdida en 100años Sol. 6.73veces 26.-si cuando la temperatura de aire es 20 ° C se enfría una sustancia desde 100 ° C hasta 60 ° C en 10 minutos hallar la temperatura depuse de 40minutos Sol. 25 °C 27.Un tanque contiene100dl de salmuera obtenida disolviendo 60kg de sal en agua .se introduce en el tanque a una velocidad de 2dl/min agua que contiene 1kg de sal por decalitro y la mezcla conservada homogenea mediante agitación sale a una velocidad de 3dl/min halla la cantidad de sal en el tanque al cabo de una hora sugerencia dx / dt 2 − 3 x / (100 − t ) Sol. 37.4 28.- Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque de seccion cuadrada de 6 cm y 9 1 dm de radio practicando en el dm de profundidad, a travez de un agujerocircular de 12 ) sol. 137 min. fondo. (supongase, como en el problema 9, v = 4.8 h dm seg 29.- Una pared de ladrillo ( k = 0.0012) tiene un espesor de 30 cm. Si el parámetro interior esta a 20° C y el exterior a 0°C, hallar la temperatura en la pared como una funcion de la distancia del parámetro exterior y la perdida de calor por dia a travez de un metro cuadrado. Sol. T = 2 x ;691.000cal 3 30.- Un hombre y su embarcación pesan 320 lb. Si la fuerza ejercida remando en la direccion del movimiento es de 16 lb y si la resistencia (en lb) al movimiento es el doble de la velocidad (pies/seg), hallar la velocidad 15 seg después de que la embarcación haya empezado a moverse. Sol. 7,6 pies/seg = 2.32 m/seg 34.- Hallar el tiempo que se necesita para vaciar un tanque cilíndrico de radio 8dm y altura 10dm a través de un orificio redondo de radio 1/12dm situado en el fondo del tanque, sabiendo que por un orificio de este tipo sale el agua a una velocidad aproximada v = 4.8 h dm , donde h es la altura del agua en el tanque, seg Se puede asimilar el volumen de agua que sale por segundo a un cilindro de radio 1 dm y 12 altura v. Por lo tanto, el volumen que sale al cabo de “dt” segundos es Π 1 Π ( ) 2 (4.8 h )dt = (4.8 h )dt 12 144

Designando por dh la correspondiente caída de nivel de agua en el tanque, el volumen de agua que sale también se puede dar por 64Π . Luego Π 64(144) dh dh (4.8 h )dt = −64Π dh de donde dt = − = −1920 . 144 4.8 h h Integrando Entre t = 0, h = 10 y t = t, h = 0. t

0

0

10

∫ dt = −1920 ∫

dh , y t = −3840 h = 3840 10 seg = 3h22 min h

35.- Según la ley de Newton de enfriamiento, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire es 30° y la sustancia se enfría de 100 a 70° en 15 minutos. ¿Cuándo será 40° la temperatura de la sustancia? T es la temperatura de la sustancia a t minutos dT = −k (T − 30) dt dT = − kdt T − 30 70

15

40

t

dT ∫100T − 30 = −k ∫0 dt , In 40 – In 70 = - 15k = In 4/7 y 15k = In 7/4 = 0.56

15In7 dT ∫100T − 30 = −k ∫0 dt In10 − In70 = −kt , 15kt = 15In7, t = 0.56 = 52 min 36.- Bajo ciertas condiciones la cantidad constante Q calorías/segundo de calor que pasa a través de una pared está dada por Q = − kA

dT dx

Donde k es la conductividad del material, A (cm2) es la superficie de una cara se la pared perpendicular a la dirección del flujo y T es la temperatura a x(cm.) de esa cara, de forma que T disminuye cuando x aumenta. Hallar el numero de calorías por hora del calor que pasa a través de 1 m2 de la pared de una habitación frigorífica de 125 cm. de espesor y k = 0,0025, si la temperatura de la cara interior es de -5° C. Sea x la distancia a que está de la cara exterior un punto interior de la pared. −5 125 Q 80kA 80(0,0025)(100) 2 cal Q = Q 80 ( 125 ), y = = = 16 . dT = − dx , ∫75 ∫ kA 125 125 seg kA 0

CAPITULO 9 17.

x 2 p 2 + xyp − 6 y 2 = 0 xp − 2 y 2 xp + 3 y x + xyp − 6 y 2 − x 2 − 3 yxp 0... − 2 yxp − 6 y 2 ..... + 2 yxp + 6 y 2 ( xp − 2 y )( xp + 3 y ) ( xC − 2 y )( xC + 3 y ) 18.

xp 2 + ( y − 1 − x 2 ) p − x( y − 1) = 0 xp 2 + yp − p − x 2 p − xy − x = C (2 y − x 2 + C )( xy − x + C ) 19.

xp 2 − 2 yp + 4 x = 0 xp 2 = 2 py − 4 x xp =

py − 4 x 2

x= p−

py − 4 x 2

py − 4 x 2 2 2 Cy = x + C C = x− p

20.3 px + 6 p 2 y 2 − y = 0 y 3x = − 6 py 2 p 3 1 dp y dp = − 2 − 6y2 − 12 py p p p dy dy (1 + 6 p 2 y )(2 p + y py 2 = C y 3 = 3Cx + 6C 2

dp )=0 dy

21.8x 2 + 2 p 2 y − p 3 x = 0 2 y = px − 8 2p = p + x

x2 p2

dp 16 x 16 x 2 dp − 2 + dx p p 3 dx

p( p 3 + 16 x ) − x( p 3 + 16 x )

dp =0 dx

p 3 + 16 x = 0 dp dx = p x p = Kx 8 x 2 + 2K 2 x 2 y − K 3 x 4

22.2 px + p 4 x 2 − y = 0 y = 2 px + p 4 x 2 dp dp + 2 p + 2 p4 x + 4 p3 x2 dx dx dp ( p + 2 x )(1 + 2 p 3 x) = 0 dx dp p + 2x =0 dx xp 2 = C C C 2C x= 2 ,y = + C2, x = 2 p p p p = 2x

xp 2 = C y − p 4 x 2 = 2 px ( y − p4 x2 )2 = 4 p 2 x2 ( y − C 2 ) 2 = 4Cx

23.- p2 - xp + y = 0 Y = xp - p2 Y = Cx – C2 24.- 16y3p2 – 4xp + y = 0

(y = - 16y3p2 + 4xp)( y4) Y5 = - 16y7p2 + 4 y4xp Y5 = u , 16y7p2 = dv/dx u = x du/dx + 7/16 (dv/dx)2 y 4 = Cx – C2 y 4 = C(x – C) 25.- xp5 – yp4 + (x2 + 1)p3 – 2xyp2 + (x + y2)p – y = 0 (y – px – p3) (p2x – py + 1 ) y = px + p3 ,

p2x= py - 1

(y – Cx – C3) (C2x – Cy + 1 ) = 0

26. xp2 - yp - y = 0 27. y = 2px +

2

y p

3

2 2 dp + 2p + 2 y p + 4 y dx 2 dp ( p + 2 x )(1 + 2 y p) = 0 dx dp p + 2x =0 dx

p = 2x

x

p

x=

2

=c c

p

2

y = 2cp + c

y

2

28.

2

= 2cx + c

p

2

3

− xp − y = 0

p

2

dp dx

y = xp − y

x =

p 1

p =

3

p

p

p

−p y dp

−

p

dy

3

dx

∫ y

dp

y

+

p

dp

3

p

2

dx dp

)

+ y+

−p

p

2

−1

−p 2

x = −p −

=

p

∫

ln( p +

−1

2

p

= 0

−1 2

−1

p dp

= − ln( p +

p

2

−1

p

2

− 1) +

⎛ ln⎜ p + 2 −1 ⎝

1

p

2

p

( p − p) =

p

= 0

dy

3

p

p

dy

dp

−

= −

p

y=

2

− p + (y +

( p − p) dy

2

2

2

−1+ c

c

p p

p

2

⎞ −1⎟ + ⎠

−1 c

p

2

−1

29.- Y = (1 + p)x + p2 Derivando respecto x. P = 1 + p + (x + 2p) dp dx xe1/2p = -ƒ pe1/2pdp = -2pe1/2p + 4e1/2p + C Sol. X = 2(1- p) + Ce-p, y =2 – p2 + C(1 + p)e-p 30.- Y = 2p +

1 + p2

y = 2p + (( 1 + p2 ))1/2 y = 2 ln p + ln (p + y = 2p +

1 + p2

1 + p2) + C

Sol. X = 2 ln p + ln (p +

1 + p2) + C, y = 2p +

1 + p2

31.- Yp2 – xp + 3y = 0

Derivamos respecto a x, 1 = 1p dp - p + 3 ( 1 – y dp) = ( p – y dp) (2y2 – p2) = 0, p x dx x p p2 dx dx

Integrando ( p – y dp) = 0 Dx Cp½ (p2 + 3)(p2 + 2)-1/3+4/4 = Cp1/2+2/2(p2 + 2)-1/3+4/4 Sol. X = Cp1/2 (p2 + 3)(p2 + 2)-5/4 , y Cp3/2 (p2 + 2)-5/4

CAPITULO 10 Investigar las soluciones singulares y los lugares Geométricos extraños. 10.- y = px − 2 p 2 La solución es la siguiente: Para sacar la primitiva en este caso se sustituye en la Ecuación de Clairaut. Por lo que el resultado es el siguiente: y = Cx − 2C 2 La Solución Singular es la siguiente:

y = cx − 2c 2

y=

( )

y = cx − 2c 2 4

cx − 8c 2 F (x )

− 8c 2 y= F (x )

y = cx − 8c 2

8y = c2 c=x 8y = x2

y 2 p 2 + 3xp − y = 0

11.-

En este caso para poder sacar la primitiva se hizo el siguiente procedimiento.

y 2 p 2 + 3 xp − y = 0 y = y 2 p 2 + 3 xp * y2 y 3 = y 4 p 2 + 3 xy 2 p dv 3y 2 p = dx ⎛ dv ⎞ 9y4 p2 = ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠

2

1 ⎛ dv ⎞ y p = ⎜ ⎟ 9 ⎝ dx ⎠ 4

2

2

y3 = v dv = 3 y 2 pdx dv =k dx

2

dv 1 ⎛ dv ⎞ v= ⎜ ⎟ +x dx 9 ⎝ dx ⎠ 1 v = k 2 + xk 9 1 y 3 = k 2 + kx 9 1 y 3 − k 2 − kx = 0 9 3 y − c 2 − 3cx = 0

1 c= k 3 1 c2 = k 2 9

La solución singular es la siguiente:

y 2 p 2 + 3 xp − y = 0

p=x y − 9x x= 3y 2

p 2 + p y − 3x = F (x ) y2 p 2 + p 3 y − 9x = F (x ) 3y 2 y − 9x p= 3y 2 12)

0 = y − 9x − x + 3 y 2 4 y 2 − 10 x 2 = 0

xp 2 − 2 yp + 4 x = 0

y=−

2 4x 2 p 2

(1 − x 2 p 2 )(2 p + x 2p + x

dp =0 dx

dp )=0 dx

1− x2 p2 = c

Sol. Prim.,= c 2 x 2 − cy + 1 = 0

xc 2 − 2 yc 2 + 4 x = 0 S.S.,= − 4 x 2 + y 2 = 0

13)

xp 2 − 2 yp + x + 2 y = 0. − 2 y = xp 2 − 2 yp + x xp 2 − 2 yp + x Resolviendo −2 y = xp 2 − 2 yp + x (2) dp y = 2 xp 2 − 4 y + x(2) dy y=

Sol. Prim. = 2 x 2 + 2c( x − y ) + C 2 = 0

2 x 2 + 2c( x − y ) + c 2 = 0 x 2 + 2c( x − y ) + c 2 =0 2 S.S.,= x 2 + 2 xy − y 2 = 0

14.- (3 y − 1) p 2 = 4 y 2

4y= -(3y-1) 2 p 2 1 4y 3 12 = ( x - 1 x 2)/p 2 p 2

y=3cx-c 2 p+ y

dp =0 dy

15.- y = -xp+x 4 p 2

y=-

1 + xp xp

(1-x 2 p 2 )(4p+x

dp )=0 dx

xy= C+C 2 x 16.- 2 y = p 2 + 4 xp

Solucion Prim.,( 4 x 3 + 3xy + C ) 2 = 2(2 x 2 + y ) 3 = ninguna; l.p. retroceso, 2 x 2 + y = 0

17.- y (3 − 4 y ) 2 p 2 = 4(1 − y )

Solucion Prim.,( ( x − C ) 2 = y 3 (1 − y ); s.s., y = 1 = 1; l.p. retroceso, y=0; l. de ch., y=3/4

3

4

3

18.-P – 4 x p + 8 x y = 0 3

F(x,y,p) =

4

3

P–4x p+ 8x y = 0 2

3

2

∂f / ∂p = 3p - 16 x + 24x = 0 3

4

3

f - p ∂f / ∂p = 3p -12xp+24 x y 2

3

Sol y = C x – C 2

2

2

19.- (p + 1) (x - 4) = (x + y p) 2

2

2

(p + 1) (x-y) - (x +y p) = 0 2 p( x y + y + p)=0

1 p = ________ 2 xy+y+p 2

2

Sol: (X -C ) + (y-C) = C

2