IES Padre Poveda (Guadix)

Matemáticas II

EJERCICIOS UNIDAD 7: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1. Clasifique y resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

⎧x + 3 y − 2z = 4 ⎪ a ) ⎨2 x + 2 y + z = 3 ⎪3 x + 2 y + z = 5 ⎩

⎧ x − 2 y − 3z = 3 ⎪ b) ⎨ 2 x − y − 4 z = 7 ⎪3 x − 3 y − 5 z = 8 ⎩

⎧ 3x + y − z = 1 ⎪ c ) ⎨2 x − y + 2 z = 2 ⎪ x − 3 y + 6z = 3 ⎩

⎧2 x − 6 y + 2 z = 10 ⎪ d ) ⎨ − x + y − 2 z = −3 ⎪ 2x − 2 y + 4z = 5 ⎩

⎧2x − y + 2z = 1 ⎪ e) ⎨3 x + 2 y + z = 3 ⎪ x + 3y − z = 2 ⎩

⎧ x + 3 y + 2z = 5 ⎪ f ) ⎨ x + 5 y + 3 z = 10 ⎪2 x + 8 y + 5 z = 15 ⎩

Soluciones:

a ) S .C.D. x = 2; y = 0; z = −1 b) S .C.D. x = 2; y = 1; z = −1 c) S .C.D. x = 53 ; y = − 54 ; z = 0 d ) S .I . e) S .C.I . x = 5−75λ ; y = 4 λ7+3 ; z = λ ; λ ∈ ℜ f ) S .C.I . x = − λ2−5 ; y = 5−2λ ; z = λ ; λ ∈ ℜ

2. (2015-M1-A-3) Considera el sistema dado por AX = B

⎛α ⎜ A=⎜0 ⎜3 ⎝

a) b) c)

2 − 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 1 2 ⎟ , B = ⎜α − 2 ⎟ y X = ⎜ y ⎟ . ⎜ 3 ⎟ ⎜z⎟ 4 α ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene solución única. (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema no tiene solución. (1 punto) Determina, si existen, los valores de α para los que el sistema tiene al menos dos soluciones. Halla todas las soluciones en dichos casos.

3. (2015-M3;Sept-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones

⎧2 x + y + (α − 1)z = α − 1 ⎪ 1 = ⎨ x − αy − 3 z ⎪ x + y + 2z = 2α − 2 ⎩

a) b)

(1 punto) Resuelve el sistema para α = 1 . (1.5puntos) Determina, si existe, el valor de α para el que (x, y , z ) = (1, − 3,α ) es la única solución del sistema dado.

4. (2015-M4;Jun-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones

⎧λx + y − z = − 1 ⎪ ⎨ λx + λz = λ ⎪ x + y − λz = 0 ⎩

a) b)

(1.5 puntos) Discute el sistema según los valores de λ . (1 punto) Resuelve el sistema para λ = 0 .

⎧ λ x + λy + λ z = 0 ⎪ 5. (2015-M5-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones ⎨λx + 2 y + 2 z = 0 ⎪ λx + 2 y + z = 0 ⎩ a) b)

(1.75 puntos) Discute el sistema según los valores de λ . (0.75 puntos) Determina, si existen, los valores de λ para los que el sistema tiene alguna solución en la que z ≠ 0 .

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6. (2015-M6-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones a) b)

= 2 x + αz ⎧ ⎪ 2 x + αy = α +4 ⎨ ⎪3 x + y + (α + 4 )z = 7 ⎩

(1.75 puntos) Discute el sistema según los valores de α . (0.75 puntos) Resuelve el sistema para α = 2 .

7. (2014-M1;Jun-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales

x + 2 y − 3z = 3⎫ ⎬ 2 x + 3 y + z = 5⎭ a) (1.5 puntos) Calcula α de manera que al añadir una tercera ecuación de la forma αx + y − 7 z = 1 el sistema resultante tenga las mismas soluciones que el original. b) (1 punto) Calcula las soluciones del sistema dado tales que la suma de los valores de las incógnitas sea 4.

x + (m +1) y + 2z = 8. (2014-M2-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales mx+ y + z =

−1 ⎫ ⎪ m ⎬ (1− m)x + 2y + z = − m−1⎪⎭ a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Resuélvelo para m = 2 . Para dicho valor de m, calcula, si es posible, una solución en la que z = 2. x − y + mz = 0⎫ ⎪ 9. (2014-M4;Sept-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones mx + 2 y + z = 0⎬ − x + y + 2mz = 0⎪⎭ a) (0.75 puntos) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. b) (1 punto) Halla los valores del parámetro m para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula. c) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para m = −2.

λy + (λ + 1)z = λ ⎫ ⎪ 10. (2014-M5-A-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones λx + z = λ⎬ = λ ⎪⎭ x + λz a) (1.5 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro λ . b) (0.5 puntos) Resuelve el sistema para λ = 1. c) (0.5 puntos) Para λ = 0, si es posible, da tres soluciones distintas.

mx − 2 y + z =

1⎫ ⎪ 11. (2014-M6-B-3) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, x − 2my + z = − 2⎬ x − 2 y + mz = 1 ⎪⎭ a) (1.75 puntos) Discute el sistema según los valores del parámetro m. b) (0.75 puntos) Si es posible, resuelve el sistema para m = −2. 12. (2013-M3-A-3) Sean

−3 ⎞ ⎛− 2 1 ⎛1⎞ ⎛ x⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 m m − 2⎟ , B = ⎜1⎟ y X = ⎜ y ⎟ . ⎜m 0 ⎜0⎟ ⎜z⎟ 2 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a) (1.25 puntos) Determina el rango de A según los valores del parámetro m . b) (0.75 puntos) Discute el sistema AX = B según los valores del parámetro m . c) (0.5 puntos) Resuelve el sistema AX = B para m = 1 . Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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13. (2012-M3;Jun-A-3) Considera el sistema de ecuaciones con dos incógnitas

kx + 2 y = 2⎫ ⎪ 2 x + ky = k ⎬ x − y = −1⎪⎭

a) (0.5 puntos) Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k . b) (1 punto) Especifica para qué valores del parámetro k es determinado y para cuáles indeterminado. c) (1 punto) Halla las soluciones en cada caso.

=λ⎫ ⎪ 14. (2012-M3;Jun-B-3) Considera el sistema de ecuaciones con tres incógnitas 2λy + λz = λ ⎬ − x − y + λz = 0 ⎪⎭

x− y

a) (1.25 puntos) Clasifícalo según los distintos valores del parámetro λ . b) (1.25 puntos) Resuélvelo para λ = 0 y λ = −1.

y + z = λ +1 ⎫ ⎪ 3 y + 2 z = 2λ + 3⎬ 3 x + (λ − 1) y + z = λ ⎪⎭ x

15. (2012-M4;Sept-B-3) Considera el sistema de ecuaciones

+

a) (1 punto) Resuelve el sistema para λ = 1. b) (1 punto) Halla los valores de λ para los que el sistema tiene una única solución. c) (0.5 puntos)¿Existe algún valor de λ para el que el sistema admite la solución

1⎞ ⎛ −1 ⎜ , 0, ⎟ ? 2⎠ ⎝ 2 x + ky + 2 z = k + 1⎫ ⎪ 16. (2012-M5-A-3) Considera el sistema de ecuaciones x + 2 y + kz = 3 ⎬ (k + 1)x + y + z = k + 2⎪⎭ a) (1.25 puntos) Determina los valores de k para los que el sistema tiene más de una solución. b) (0.5 puntos) ¿Existe algún valor de k para el cual el sistema no tiene solución? c) (0.75 puntos) Resuelve el sistema para k = 0. 17. (2012-M6-A-3) Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería por la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. a) (1.25 puntos) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? Razona las respuestas. b) (1.25 puntos) Si el precio del libro, la calculadora el estuche hubieran sufrido un 50%, un 20% y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo.

2 x − 2 y + 4 z = 4⎫ ⎪ 2x + z = a⎬ 18. (2011-M4-A-3) Considera el sistema de ecuaciones − 3 x − 3 y + 3z = −3 ⎪⎭ a) (1.75 puntos) Discútelo según los valores del parámetro a. b) (0.75 puntos) Resuélvelo cuando sea posible. 19. (2009-M1-A-3) Tratamos de adivinar, mediante ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. • Pista 1: Si compramos una unidad de A, dos de B y una de C gastamos 118 euros. • Pista 2: Si compramos n unidades de A, n + 3 de B y tres de C gastamos 390 euros. a) (1.5 puntos) ¿Hay algún valor de n para el que estas dos pistas sean incompatibles? b) (1 punto) Sabiendo que n = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro

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20. (2009-M5-A-3)

+ z = 2⎫ ⎪ a) (1.25 puntos) Resuelve el sistema de ecuaciones − x + y + 2 z = 0 ⎬ − x + 2 y + 5 z = 2 ⎪⎭

x

b) (1.25 puntos) Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado (a)

x + y + z = 1⎫ ⎪ − x + y + 3z = 1 ⎬ x + 2 y + λz = −3⎪⎭ x+ y

= m + 1⎫ ⎪ 21. (2009-M6-B-3) Sea el sistema de ecuaciones x + my + z = 1 ⎬ mx + y − z = m ⎪⎭ a) (1.5 puntos) Determina los valores de m para los que el sistema es compatible. b) (1 punto) Resuelve el sistema en el caso m = −1. 22. (2008-M3;Jun-A-3) Un cajero automático contiene sólo billetes de 10 , 20 y 50 euros. En total hay 130 billetes con un importe de 3000 euros. a) (1.25 puntos) ¿Es posible que en el cajero haya el triple número de billetes de 10 que de 50 ? b) (1.25 puntos) Suponiendo que el número de billetes de 10 es el doble que el número de billetes de 50 , calcula cuantos billetes hay de cada tipo.

⎛1 1 ⎜ 23. (2008-M3;Jun-B-3) Considera la matriz A = ⎜ m m 2 ⎜m m ⎝

1 ⎞ ⎟ m2 ⎟ . m 2 ⎟⎠

a) (1 punto) Halla los valores del parámetro m para los que el rango de A es menor que 3.

⎛ x ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ b) (1.5 puntos) Estudia si el sistema A ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜1⎟ tiene solución para cada uno de los ⎜ z ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ valores de m obtenidos en el apartado anterior.

x +y 24. (2008-M4-A-3) Dado el siguiente sistema de ecuaciones

=1

⎫ ⎪ +z=0 ⎬ ky x + (k + 1) y + kz = k + 1⎪⎭

a) (1.25 puntos) Determina el valor del parámetro k para que sea incompatible. b) (1.25 puntos) Halla el valor del parámetro k para que la solución del sistema tenga

z = 2.

25. (2008-M4-B-3) (2.5 puntos) Halla los valores del parámetro m que hacen compatible el sistema de ecuaciones:

− x + 2 y − 2z = 2 ⎫ ⎪ 2x + y + z = m ⎬ x + 3 y − z = m 2 ⎪⎭

26. (2005-M5-A-3) (2.5 puntos) Álvaro, Marta y Guillermo son tres hermanos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quinta parte del dinero que tengo, los tres hermanos tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres juntan 84 euros.

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27. (2005-M6;Sept-A-3) (2.5 puntos) En una excavación arqueológica se han encontrado sortijas, monedas y pendientes. Una sortija, una moneda y un pendiente pesan conjuntamente 30 g. Además, 4 sortijas, 3 monedas y 2 pendientes han dado un peso total de 90 g. El peso de un objeto deformado o irreconocible es de 18 g. Determina si el mencionado objeto es una sortija, una moneda o un pendiente, sabiendo que los objetos que son del mismo tipo pesan lo mismo. 28. (2004-M3-B-3) Un tendero dispone de tres tipos de zumo en botellas que llamaremos A, B y C . El mencionado tendero observa que si vende a 1 € las botellas del tipo A , a 3 € las del tipo B y a 4 € las del tipo C , entonces obtiene un total de 20 €. Pero si vende a 1 € las del tipo A , a 3 € las del B y a 6 € las del C , entonces obtiene un total de 25 €. a) (0.75 puntos) Plantea el sistema de ecuaciones que relaciona el número de botellas de cada tipo que posee el tendero. b) (1 punto) Resuelve dicho sistema. c) (0.75 puntos) ¿Puede determinarse el número de botellas de cada tipo de que dispone el tendero? (Ten en cuenta que el número de botellas debe ser entero y positivo). 29. (2003-M6-B-3) (2.5 puntos) Una empresa cinematográfica dispone de tres salas, A, B y C . Los precios de entrada a estas salas son de 3, 4 y 5 euros, respectivamente. Un día la recaudación conjunta de las tres salas fue de 720 euros y el número total de espectadores fue de 200 . Si los espectadores de la sala A hubieran asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A , se hubiese obtenido una recaudación de 20 euros más. Calcula el número de espectadores que acudió a cada una de las salas. 30. (2002-M1-A-3) (2.5 puntos) En el sector de las aceitunas sin hueso, tres empresas A, B y C , se encuentran en competencia. Calcula el precio por unidad dado por cada empresa sabiendo que verifican las siguientes relaciones: - El precio de la empresa A es 0.6 euros menos que la media de los precios establecidos por B y C . - El precio dado por B es la media de los precios de A y C . - El precio de la empresa C es igual a 2 euros más 2 5 del precio dado por A más 1 3 del precio dado por B . 31. (2002-M2-A-4) (2.5 puntos) Sean:

1 ⎛α ⎜ A = ⎜ −1 3 ⎜ 2 1−α ⎝

1⎞ ⎛α − 1 0 ⎟ ⎜ −1 2⎟ , B = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −α 3⎠ ⎝ 0

− 1⎞ ⎛ −1⎞ ⎛ − 2⎞ ⎛ x⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ , b = ⎜ − 5⎟ , c = ⎜ 5 ⎟ , X = ⎜ y ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜z⎟ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Determina α , si es posible, para que los sistemas de ecuaciones (dados en forma matricial) AX = b y BX = c tengan infinitas soluciones (cada uno de ellos).

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