EL DESPEJE Tengo dolor de ecuación no la puedo resolver ni tampoco comprender; ya no me da la razón para poder entender el inverso de la adición. Sergio Gamboa Virgen alumno de 2° Grado de la Esc. Telesec. José María Morelos y Pavón El Zapote, Mpio de Alvarado, ciclo escolar 1998-1999.

El objetivo de la matemática es contar y calcular. Cuando calculamos debemos de determinar si una proposición matemática es válida. En la matemática, la mayor parte del trabajo que hacemos es validar la igualdad. Una proposición es válida si es verdadera y es verdadera si y sólo si es lógica. Una proposición es un enunciado matemático. Hay dos tipos de igualdad matemática: la igualdad por identidad y la igualdad por equivalencia. La igualdad matemática por equivalencia se usa en las fórmulas y adquiere la característica de ecuación, es una igualdad con valor condicionado; en tanto que una identidad matemática es cierta para todo valor. Por ejemplo en la igualdad: 2 = 2 , que leemos dos es igual con dos, es una identidad.

La igualdad 2+3=5 es una equivalencia. Las validamos como ciertas porque son verdaderas y son verdaderas porque son lógicas. La proposición: 2 = 3 ; la validamos como falsa y es falsa porque no es lógica y expresamos: 2=3 ! que significa que es un absurdo.

1

Cabe mencionar que la igualdad tiene implícitos algunos aspectos que a primera vista parecen lógicos y si lo son, pero el educando adolescente no los ve tan lógicos, tangibles o perceptibles a priori; de ahí que sea necesario aclarar sus distintas propiedades usando lenguaje coloquial para elevarnos al nivel del lenguaje formal del álgebra y hacer bien explícito todo aquello que aparente ser explícito y no lo hayamos explicado con propiedad. En el entendimiento de ésta lógica se basa el entendimiento de casi toda la matemática. Una de las habilidades más difíciles de lograr en el alumno de secundaria es el despeje. Son distintas y de muchas índoles las razones por las que no es fácil lograr el desarrollo de esta habilidad sin embargo vamos a analizar aquí algunas de las razones de índole académica por las que resulta de difícil acceso: -

En el despeje es común encontrar la sustitución algebraica escondida en un sin fin axiomas.

-

El discurso matemático, es decir el circuito de la comunicación que se establece en el aula tiene implícito el uso de categorías lógicas como los valores de verdad que se esconden en la sustitución.

-

Uno de los objetivos más comunes en el discurso matemático es la validación del signo igual (=).

-

Es común encontrar miedo a las palabras que nubla u oblitera la comunicación. Cuando queremos comunicarnos con el alumno adolescente usando términos exactos y precisos a veces lo único que logramos es que el alumnado cierre sus accesos a su conocimiento y que se genere un bloqueo muy

cercano

a

lo

que

Gastón

Bachelart

denomina

obstáculos

epistemológicos que puede generar un estado de perplejidad 1 en el discente. Las fórmulas tanto en física como en matemáticas, al usar lenguaje algebraico se expresan en lenguaje formal. Sin embargo es posible y deseable llevar el 1

La perplejidad epistemológica la describe el matemático, astrónomo y médico sefaradí (judeo-español) de la Alta Edad Media Moshé ben Maimóm mejor conocido como Maimónides en su libro La Guía de los Perplejos como un estado que adquiere la mente cuando “El Conocimiento”, como él lo llama, no ha encontrado su verdadero lugar en el entendimiento.

2

entendimiento de toda fórmula como acabamos de mencionar: desde un lenguaje coloquial hasta un lenguaje formal. Por ejemplo en la fórmula de velocidad, que es la primera que se estudia desde primer grado en Introducción a la Física y a la Química, la podemos expresar en lenguaje coloquial y en lenguaje formal de distintas maneras:

d v= , ¿qué pasa si mantenemos constante al tiempo considerando un lapso t imaginario de media hora? en media hora llega un avión de Veracruz a México

v= d y un carro de pasaje de Boca del Río a Veracruz t

d

= , aquí vemos que lo t

v

que cambia es la distancia entre ambas ciudades como consecuencia de los vehículos usados. El tamaño de las letras representa la magnitud de cada variable. Ahora pensemos en mantener constante la distancia. La distancia de Boca del Río a Antón Lizardo es la misma que de Antón Lizardo a Boca del Río; si imagino que voy viajando en un helicóptero sé que haré menor tiempo bicicleta v=

d

t

v= d que si voy en t

. Es recomendable usar colores para ilustrar las distintas variables y

constantes de las fórmulas. En el primer caso hablábamos de una relación directamente proporcional porque a mayor velocidad, mayor distancia y a menor velocidad menor distancia; en tanto que en el segundo caso es una relación inversamente proporcional, o sea la ley de mientras menos burros mas olotes. La siguiente fórmula que se analiza en el avance programático es una fórmula de aceleración en la que hay un problema de entendimiento subyacente a la sustitución algebraica: a=

v . t

d v d Si v= ; y a= , entonces a= t , sustituyendo el valor de igualdad de v de la t t t primera fórmula en la segunda fórmula que me habla de aceleración.

3

El entendimiento de este paso no es fácil ya que requiere cierto nivel de abstracción que no siempre ha logrado el educando adolescente de primer grado y en ocasiones es de dificultad hasta en tercer grado ya que aquí estamos hablando de sustitución de igualdad por equivalencia. Una dificultad intrínseca al despeje de fórmulas como mencionábamos con anterioridad, tiene que ver con los axiomas de los números reales \ (verdades tan obvias que no requieren de demostración), que resumidos son:

n n = n ; por lo tanto n= . 1 1 n × 1=n ; por tanto n=n × 1 , porque a la igualdad la podemos leer tanto de

izquierda a derecha como de derecha a izquierda porque es igualdad.

Poder

entender esto tiene que ver con la reversibilidad del pensamiento a la cual se llega apareada con la maduración de la abstracción en el pensamiento. La operación complementaria a la adición es la sustracción y por lo tanto, de la sustracción la adición, del positivo el negativo y de la multiplicación la división. El inverso multiplicativo de

n 1 es . 1 n

De particular interés resulta la expresión:

n = 1 ya que la unidad, al ser el idéntico n

multiplicativo la podemos ver como un valor “virtual”; existe y siempre está ahí pero no siempre se ve. Otra consideración que debemos de tomar en cuenta es que si sumo, resto multiplico, divido, exponencío o radico en un lado de la igualdad, debo de hacer la misma operación en el otro miembro para que esta continúe teniendo valor de verdad afirmativo. Volviendo a la fórmula de aceleración antes mencionada tenemos que: d d n t a= t ; y como n= , entonces t= ; por lo tanto: a= t . Aplicando la ley de la t t 1 1 1 torta, que me dice que extremos por extremos y medios por medios que es un

4

caso de productos cruzados que es la ley fundamental de las proporciones, sabemos que: d × 1=d , y t × t=t 2 , entonces a=

d . t2

En el despeje existen muchos casos de sustitución algebraica como el ejemplo anterior en el que lo que hacemos es ir al revés del proceso de despeje. El manejo de las propiedades de la igualdad y de la sustitución algebraica es necesario para el despeje y es menester tenerlas en mente; se puede tener una cartulina con ellas en el aula como auxiliar para su aprendizaje y uso. Otro aspecto fundamental con las propiedades de la igualdad es que lo importante no es cómo se llaman dichas propiedades sino cómo se aplican y que queden claras en la mente del educando de la misma manera si mencionamos los axiomas de primera instancia es probable que cierren su entendimiento a que si los usamos sin mencionarlos entendiéndolos. Aunque en los actuales planes y programas no se hace énfasis en el aspecto lógico es importante hacer hincapié en ese importante rubro. Y para despejar es importante ejercitar. Gran parte de la facilidad que pueda tener un individuo para ello depende en cómo y cuánto se haya ejercitado y tratar de que quede claro qué se desea obtener, dicho sea de otra manera: ver a dónde se quiere llegar. Lo básico es que la incógnita o literal a despejar quede en el primer miembro de la igualdad haciendo uso de la propiedad que me dice que si a=b entonces b=a, y luego es importante ver de quién está acompañada la incógnita; porque cuando llevo al cine a mi novia la quiero a ella sola sin acompañantes y al chaperón es necesario ver cómo no nos acompaña de manera que todos quedemos contentos; esa manera es aplicándole a su opuesto; es necesario que el alumno vea por qué cuando está sumando pasa restando o si está restando pasa sumando; es decir, explicar porque le estamos aplicando su inverso aditivo; si está multiplicando por qué le aplicamos su inverso multiplicativo y viceversa y por qué cuando una incógnita o literal está exponenciando pasa radicando y a la inversa. Analicemos con calma la lección 4.66 de Conceptos Básicos volumen II de 3° de Secundaria p. 170.

5

Vamos a despejar vf de la fórmula de aceleración: a= si a=

v f − vi . t

vf − vi v − vi =a entonces f t t

porque hemos usado la propiedad simétrica. Poder usar esta propiedad implica en el alumno el desarrollo del razonamiento bidireccional o reversibilidad del pensamiento para que lea las igualdades en ambos sentidos. Como no quiero a t en el primer miembro aplico el inverso multiplicativo de es

1 que t

t : 1

v f − vi ⎛ t ⎞ ⎛t⎞ = a⎜ ⎟ ⎜ ⎟ t ⎝1⎠ ⎝1⎠ Lo usamos porque en la expresión: v f − vi ⎛ 1 ⎞ ⎛ v f − vi ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ v f − vi ⎞ v f − vi = ⎜ ⎟⎜ . ⎟ y ⎜ ⎟⎜ ⎟= t t ⎝ t ⎠⎝ 1 ⎠ ⎝ t ⎠⎝ 1 ⎠ Lo que hemos hecho es factorizar a

1 y necesitamos hacerle ver al joven cómo t

podemos factorizar esas expresiones para poder encontrar el inverso multiplicativo de t. En esta expresión aparece ese famoso 1 que consideramos “virtual” que habíamos dicho que no se ve pero si existe. Es común que el estudiante no conciba a t en el denominador como que nos queda que

1 . Ese 1 “virtual” es nuestro comodín. Por lo t

t v f − vi ⎛ t ⎞ ⎛t⎞ = a ⎜ ⎟ multiplicando a en ambos miembros de ⎜ ⎟ 1 t ⎝1⎠ ⎝1⎠

la ecuación para no afectar la igualdad y deje de ser cierta. Esta última afirmación es necesaria validarla con el modelo de la balanza 2 ; si quito o pongo lo mismo de ambos lados de la igualdad ( en cada brazo de la balanza ) ésta no se ve afectada en su equilibrio.

2

El modelo de la balanza ayuda a construir el conocimiento en éste rubro. Es conveniente proponer actividades que generen la construcción de conocimientos para cada uno de los aspectos del despeje.

6

t vf − vi ⎛ t ⎞ = ( a) ( t ) porque t= en el segundo miembro. ⎜ ⎟ 1 t ⎝1⎠ En el primer miembro tenemos que:

t v f − vi ⎛ t ⎞ ⎛ 1 ⎞ v f − vi ⎛ t ⎞ = porque t(1)=t y 1(t)=t y como = 1 , nos queda que: ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎝1⎠ ⎝ t ⎠ 1 ⎝t⎠ t v f − vi ⎛ t ⎞ ⎛ 1 ⎞ v f − vi = (1) = vf − vi , donde el 1 “virtual”. 1 ⎜⎝ 1 ⎟⎠ ⎜⎝ t ⎟⎠ 1 v f − vi 1

t ⎛ t ⎞ v f − vi (1) = vf − vi y como =1 tenemos que: ⎜t⎟ = t 1 ⎝ ⎠

vf − vi = a • t Es muy común oír decir que

t = 1 “se va”; y en realidad no “se va”; no se va t

porque no desaparece porque no es igual con cero; no se ve porque es “virtual” y hay que mostrarlo y demostrarlo de esa manera al discente. Esta es otro de los errores metodológicos muy comunes al despejar. Hemos pasado a t del primer miembro al segundo pues al aplicarle su inverso multiplicativo de dividir, pasó a multiplicar. Es importante que el estudiante entienda por qué si estaba dividiendo pasó multiplicando, además es importante tanto expresar en clase así como para sí que es porque se le ha aplicado su inverso y no de manera “mágica”. Como queremos a v f solita le vamos a quitar a −vi aplicándole su inverso que es +vi y nos queda que:

vf − vi + vi = a • t + vi operando en el primer miembro nos queda que, como −vi + vi =0: v f − vi + vi = a • t + vi

vf − 0 = a • t + vi aquí −vi + vi sí “se va”. Puede resultar importante decir que el cero carece de signo.

vf = a • t + vi que es a lo que queríamos llegar. 7

Para despejar a r de V=

4πr3 3

4πr3 = V , por propiedad simétrica. 3 Voy a quitar a 3 porque no lo quiero ahí: 4πr3 3

1 3 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎜ 1 ⎟ = V ⎜ 1 ⎟ ; inverso multiplicativo 3 de 1 y operando: ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4πr3 = V (3) Ahora el que me estorba es el 4 y lo voy a anular del primer miembro:

1 4 ⎛1⎞ ⎛1⎞ de y operando: 4πr 3 ⎜ ⎟ = V (3) ⎜ ⎟ ; inverso multiplicativo 4 1 ⎝4⎠ ⎝4⎠ Ahora voy a pasar a pi (π) al segundo miembro:

πr3 =

V ⋅3 4

1 π ⎛1⎞ V ⋅ 3 ⎛1⎞ πr3 ⎜ ⎟ = ; inverso multiplicativo de y operando: ⎜ ⎟ π 1 4 ⎝π⎠ ⎝π⎠ r3 =

V ⋅3 4 ( π)

Vale la pena resaltar que π no es un símbolo abstracto sino la representación de un número y como número se le pueden aplicar todas las propiedades y operaciones matemáticas. Caso de sustitución; lo que le pueda hacer a un número se lo puedo hacer a su símbolo. En el siguiente paso quiero a r solita sin exponente por tanto: 3

r3 =

V ⋅3 ; si aplico la misma operación a ambos miembros de la igualdad esta 4π

no se altera, le saco raíz cúbica a ambos miembros porque radicar es la operación complementaria de exponenciar. 3

r3 =

3

V ⋅3 factorizando la radicación 4π

8

3

r3 =

r=

3

3

V ⋅3 si obtengo la raíz cúbica de r cúbica me queda que: 4π

V ⋅3 que es lo que queríamos obtener. 4π

Es común observar que no entiendan los muchachos este paso pues no se les facilita entender que la raíz cuadrada o cúbica de un número al cuadrado o al cubo es igual con el mismo número; se les puede aclarar como se les ha aclarado los inversos aditivo y multiplicativo, despacito y por pasos. Es conveniente no plantear la suma y resta, multiplicación y división o exponenciación y radicación como operaciones contrarias sino como operaciones complementarias. Una forma sencilla de despejar fórmulas básicas como v=

d es acomodar arriba t

en el triangulito mágico lo que está arriba en la fórmula:

d

a la izquierda del triangulito lo que esta a la izquierda de la fórmula.

d v y a la derecha del triángulo lo que está a la derecha de la fórmula.

9

d v

t

Si busco a d y veo que v y t están juntas debo de entender que se multiplican:

d= ( v ) ( t ) . d Si buscamos a t, y d está arriba de v estas se dividirán: t= . v En la fórmula de la 2° ley de Newton f=(m)(a) colocaré a m y a a abajo del triángulo y operaré igual. Esta es una forma que aunque se aleja de la metodología de la enseñanza es efectiva y puede usarse con las debidas precauciones metodológicas.

10