Cap´ıtulo 4 ´ CINEMATICA 4.1. Introducci´on La cinem´atica es la parte de la mec´anica que estudia el movimiento de los cuerpos, sin atender a las causas que lo producen. De otra forma diremos que estudia la evoluci´on de la posici´on de los cuerpos en el espacio en relaci´on con el tiempo. Para definir la posici´on de los cuerpos en el espacio ser´a necesaria la introducci´on de una referencia, la cual estar´a constituida por un punto 0 y una base vectorial de dicho espacio. As´ı una referencia cartesiana estar´a formada por (0, ~i, ~j, ~k), en donde 0 es un punto tomado arbitrariamente como origen, e ~i, ~j y ~k son los versores de Hamilton. El espacio que es objeto de nuestra atenci´on es el espacio puntual o eucl´ıdeo. Cada punto del mismo vendr´a biunivocamente ligado a un vector de posici´on ~r que podr´a ser expresado en la referencia elegida. En cuanto al tiempo nos referimos al tiempo newtoniano o absoluto. Una dificultad que se plantea es la congruencia del tiempo en sistemas referenciales distintos. Ello es objeto de estudio en la cinem´atica relativista y no de la cl´asica, que es la que ser´a aqu´ı tratada.

91

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

92

4.2. Cinem´atica del punto 4.2.1. Cinem´atica del punto en coordenadas cartesianas − → Sea un punto P que est´a efectuando un movimiento en el espacio eucl´ıdeo, y sea ~r = 0P el vector de posici´on del mismo, el cual tiene su origen en el punto 0, origen del sistema referencial y su extremo en el punto P . Dado que el punto P se est´a moviendo, el vector de posici´on ser´a variable en funci´on del tiempo, lo cual podr´a expresarse como: ~r = ~r(t) Expresi´on que podr´a denominarse ley vectorial del movimiento. Esta expresi´on vectorial podr´a ser descompuesta en tres expresiones escalares: ~r = x ~i + y ~j + z ~k = ~r(t) = x(t) ~i + y(t) ~j + z(t) ~k Y por tanto: 

x = x(t)   y = y(t)  z = z(t) 

Ecuaciones que nos permiten determinar la posici´on del punto en un instante cualquiera por medio de sus tres coordenadas cartesianas. Por ello diremos que estas tres ecuaciones son la expresi´on param´etrica de la trayectoria en funci´on del par´ametro escalar tiempo. Para determinar la ecuaci´on anal´ıtica de la trayectoria bastar´ıa eliminar el escalar tiempo entre ellas lo que dar´ıa lugar a dos ecuaciones en coordenadas cartesianas: f1 (x, y, z) = 0 f2 (x, y, z) = 0

)

Las cuales representan evidentemente una l´ınea, la trayectoria, definida como intersecci´on de dos superficies. Definimos la velocidad de la part´ıcula P como la derivada del vector de posici´on con respecto del tiempo: ~v =

d~r dt

En general el vector velocidad ser´a tambi´en una funci´on del tiempo: ~v = ~v (t)

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

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Esta expresi´on vectorial podr´a ser descompuesta en tres expresiones escalares: ~v = vx ~i + vy ~j + vz ~k = ~v (t) = vx (t) ~i + vy (t) ~j + vz (t) ~k vx = vx (t) = dx dt = x˙

         

vy = vy (t) = dy = y˙  dt        

vz = vz (t) = dz = z˙ dt Definimos la hod´ografa del movimiento como el lugar geom´etrico de los puntos que sucesivamente ocupa el extremo del vector velocidad trasladado e´ ste en forma equipolente al origen de referencia. Sus ecuaciones anal´ıticas las obtendremos eliminando el par´ametro tiempo en: x = vx (t) y = vy (t) z = vz (t)

    

Definimos la aceleraci´on como la derivada del vector velocidad con respecto del tiempo, lo que equivale a la derivada segunda del vector de posici´on: ~a =

d~v d2~r = 2 dt dt

En general tambi´en ser´a una funci´on vectorial del tiempo: ~a = ~a(t) Y que como en los casos anteriores admitir´a una descomposici´on en tres ecuaciones escalares: ~a = ax ~i + ay ~j + az ~k = ~a(t) = ax (t) ~i + ay (t) ~j + az (t) ~k 

ax = ax (t) = v˙ x = x¨   

ay = ay (t) = v˙ y = y¨ az = az (t) = v˙ z = z¨

          

Es f´acil ver que por este camino se podr´ıan definir mediante derivaciones sucesivas nuevas funciones vectoriales. As´ı a la derivada primera de la aceleraci´on, es decir, a la segunda de la velocidad y tercera del vector de posici´on, se la denomina superaceleraci´on. Otra posible definici´on del movimiento, previo conocimiento de la trayectoria, habr´ıa sido expresar la posici´on del punto m´ovil P en la misma mediante una ley: s = s(t)

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

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Donde s es la coordenada curvil´ınea que expresa la distancia medida sobre la propia trayectoria del punto m´ovil P a un punto fijo y arbitrario de la misma, tomado como origen. Esta ley es la denominada ley escalar del movimiento. El problema cinem´atico puede estar planteado en una de estas tres formas: Forma directa: Conocida la ley del movimiento ~r = ~r(t) determinar la velocidad y la aceleraci´on. Esto se logra de forma inmediata mediante derivaciones sucesivas tal y como ya se ha visto. Forma inversa: Conocida la aceleraci´on ~a = ~a(t) determinar la velocidad y la ley del movimiento. Esto se lograr´a mediante el proceso inverso, es decir, mediante integraci´on. En efecto: d~v (t) = ~a · dt

Z

d~v (t) =

Z

~a(t) · dt

Establecida como condici´on de contorno que para el instante t 0 la velocidad toma como valor ~v0 : ~v (t) = ~v0 +

Z

t t0

~a(t) · dt

En cuanto al vector de posici´on: d~r(t) = ~v · dt

Z

d~r(t) =

Z

~v (t) · dt

Tomando como como condici´on de contorno que para el instante t 0 la posici´on viene definida por ~r0 : ~r(t) = ~r0 +

Z

t t0

~v (t) · dt

Como es sabido, la resoluci´on de cada una de estas integrales con funci´on subintegral vectorial, implica la resoluci´on de tres integrales escalares. Forma general: Conocida una funci´on que relaciona las magnitudes cinem´aticas del tipo: F (~r, ~v , ~a, t) = 0 El problema implicar´a la resoluci´on de una ecuaci´on diferencial vectorial de segundo orden, que se traducir´a en la resoluci´on de tres ecuaciones diferenciales escalares tambi´en en general de segundo orden.

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95

4.2.2. Cinem´atica del punto en coordenadas cil´ındricas En el sistema referencial cil´ındrico, la posici´on de un punto viene dada por las coordenadas (ρ, θ, z). Dado que nuestro punto es m´ovil, estas coordenadas ser´an en general funci´on del par´ametro escalar tiempo: ρ = ρ(t) θ = θ(t) z = z(t) El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referencia cil´ındrica y en funci´on param´etrica del tiempo. La relaci´on existente entre las coordenadas cil´ındricas y las coordenadas cartesianas es: x = ρ · cos θ y = ρ · sin θ z=z Fij´andonos en la Figura 4.1 podremos obtener la relaci´on existente entre los vectores unitarZ

uz

uθ r z

uρ Y

θ

ρ

X

Figura 4.1: Coordenadas cil´ındricas ios cartesianos (~i, ~j, ~k) y los vectores unitarios cil´ındricos (~uρ , ~uθ , ~uz ): ~uρ = cos θ ~i + sen θ ~j + 0 ~k ~uθ = −sen θ ~i + cos θ ~j + 0 ~k ~uz = 0 ~i + 0 ~j + 1 ~k

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Ecuaciones que admitir´an la siguiente expresi´on matricial: 





   ~i ~uρ cos θ sen θ 0       ~  uθ  =  −sen θ cos θ 0  ·   ~  j  ~k ~uz 0 0 1

Siendo: 



cos θ sen θ 0  {Gcil } =   −sen θ cos θ 0  0 0 1 La matriz que permite el paso de un vector de componentes cartesianas a cil´ındricas.

Velocidades La velocidad expresada en referencia cartesiana ya sabemos que es: ~v = x˙ ~i + y˙ ~j + z˙ ~k , en donde: x˙ = ρ˙ cos θ − ρ θ˙ sen θ y˙ = ρ˙ sen θ + ρ θ˙ cos θ z˙ = z˙ El vector velocidad expresado en la referencia cil´ındrica lo obtendremos mediante: ~vcil = {Gcil } · ~v Esto es: 

     vρ cos θ sen θ 0 ρ˙ cos θ − ρ θ˙ sen θ        vθ  =  −sen θ cos θ 0  ·  ρ˙ sen θ + ρ θ˙ cos θ  vz 0 0 1 z˙

Efectuando esta operaci´on resulta: vρ = ρ˙ vθ = ρ · θ˙ vz = z˙ Que son las componentes del vector velocidad en expresi´on cil´ındrica. El vector velocidad expresado en forma cil´ındrica ser´a: ~vcil = vρ ~uρ + vθ ~uθ + vz ~uz = ρ˙ ~uρ + ρ · θ˙ ~uθ + z˙ ~uz

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Aceleraciones La aceleraci´on expresada en la referencia cartesiana sabemos que es: ~a = x¨ ~i + y¨ ~j + z¨ ~k , en donde: x¨ = ρ¨ cos θ − 2 ρ˙ θ˙ sen θ − ρ θ¨ sen θ − ρ θ˙2 cos θ y¨ = ρ¨ sen θ + 2 ρ˙ θ˙ cos θ + ρ θ¨ cos θ − ρ θ˙2 sen θ z¨ = z¨ Lo que habremos obtenido como derivaci´on segunda en la expresi´on de las coordenadas cartesianas en funci´on de las coordenadas cil´ındricas. El vector aceleraci´on expresado en la referencia cil´ındrica lo obtendremos mediante: ~acil = {Gcil } · ~a Esto es: 

     aρ cos θ sen θ 0 ρ¨ cos θ − 2 ρ˙ θ˙ sen θ − ρ θ¨ sen θ − ρ θ˙ 2 cos θ        aθ  =  −sen θ cos θ 0  ·  ρ¨ sen θ − 2 ρ˙ θ˙ cos θ + ρ θ¨ cos θ − ρ θ˙ 2 sen θ  az 0 0 1 z¨

Efectuando esta operaci´on resulta: aρ = ρ¨ − ρ θ˙ 2 aθ = 2 ρ˙ θ˙ + ρ θ¨ az = z¨ Que son las componentes del vector aceleraci´on en expresi´on cil´ındrica. El vector aceleraci´on expresado en forma cil´ındrica ser´a: ¨ ~uθ + z¨ ~uz ~acil = aρ ~uρ + aθ ~uθ + az ~uz = (¨ ρ − ρ θ˙ 2 ) ~uρ + (2 ρ˙ θ˙ + ρ θ)

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4.2.3. Cinem´atica del punto en coordenadas esf´ericas En el sistema referencial esf´erico la posici´on de un punto viene dada por las coordenadas (r, ϕ, θ). Dado que nuestro punto es m´ovil, estas coordenadas ser´an en general funci´on del par´ametro escalar tiempo: r = r(t) ϕ = ϕ(t) θ = θ(t) El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referencia esf´erica y en funci´on param´etrica del tiempo. La relaci´on existente entre las coordenadas esf´ericas y las coordenadas cartesianas es: x = r sen ϕ cos θ y = r sen ϕ sen θ z = r cos ϕ Observando la Figura 4.2 podremos obtener la relaci´on existente entre los vectores uniZ




ur


ϕ

uθ r uϕ Y

θ X

Figura 4.2: Coordenadas esf´ericas tarios cartesianos (~i, ~j, ~k) y los vectores unitarios esf´ericos (~ur , ~uϕ , ~uθ ): ~ur = sen ϕ cos θ ~i + sen ϕ sen θ ~j + cos ϕ ~k ~uϕ = cos ϕ cos θ ~i + cos ϕ sen θ ~j − sen ϕ ~k ~uθ = −sen θ ~i + cos θ ~j + 0 ~k

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Ecuaciones que admitir´an la siguiente expresi´on matricial: 



   ~i sen ϕ cos θ sen ϕ sen θ cos ϕ ~ur       ~  uϕ  =  cos ϕ cos θ cos ϕ sen θ −sen ϕ  ·   ~  j  ~k ~uθ −sen θ cos θ 0 

Siendo: 



sen ϕ cos θ sen ϕ sen θ cos ϕ   {Gesf } =  cos ϕ cos θ cos ϕ sen θ −sen ϕ  −sen θ cos θ 0 La matriz que permite el paso de un vector de componentes cartesianas a esf´ericas.

Velocidades La velocidad de un punto expresada en la referencia cartesiana ya sabemos que es: ~v = x˙ ~i + y˙ ~j + z˙ ~k , en donde: x˙ = r˙ sen ϕ cos θ + r ϕ˙ cos ϕ cos θ − r θ˙ sen ϕ sen θ y˙ = r˙ sen ϕ sen θ + r ϕ˙ cos ϕ sen θ + r θ˙ sen ϕ cos θ z˙ = r˙ cos ϕ − r ϕ˙ sen ϕ El vector velocidad expresado en la referencia esf´erica lo obtendremos mediante: ~vesf = {Gesf } · ~v Efectuada la correspondiente operaci´on matricial, obtendremos: vr = r˙ vϕ = r ϕ˙ vθ = r θ˙ sen ϕ Que son las componentes del vector velocidad en expresi´on esf´erica. El vector velocidad expresado en forma esf´erica ser´a: ~vesf = vr ~ur + vϕ ~uϕ + vθ ~uθ = r˙ ~ur + r ϕ˙ ~uϕ + r θ˙ sen ϕ ~uθ

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100

Aceleraciones La aceleraci´on del punto expresada en la referencia cartesiana sabemos que es: ~a = x¨ ~i + y¨ ~j + z¨ ~k Determinadas por derivacion x¨, y¨ y z¨, y aplicando: ~aesf = {Gesf } · ~a Obtendremos: ar = r¨ − r ϕ˙ 2 − r θ˙2 sen2 ϕ aϕ = 2 r˙ ϕ˙ + r ϕ¨ − r θ˙2 senϕ cos ϕ aθ = 2 r˙ θ˙ sen ϕ + 2 r ϕ˙ θ˙ + r θ¨ sen ϕ Que son las componentes del vector aceleraci´on en coordenadas esf´ericas. El vector aceleraci´on expresado en forma esf´erica ser´a: ~aesf = ar ~ur + aϕ ~uϕ + aθ ~uθ ~aesf = (¨ r − r ϕ˙ 2 − r θ˙2 sen2 ϕ) ~ur + (2 r˙ ϕ˙ + r ϕ¨ − r θ˙2 senϕ cos ϕ) ~uϕ + + (2 r˙ θ˙ sen ϕ + 2 r ϕ˙ θ˙ + r θ¨ sen ϕ) ~uθ

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101

4.2.4. Cinem´atica del punto en componentes intr´ınsecas Curvatura y torsi´on. F´ormulas de Frenet. Triedro intr´ınseco Sea un punto P que en su movimiento en un espacio tridimensional describe una cierta trayectoria. La posici´on de este punto en todo instante viene dada por un vector de posici´on ~r cuyo origen es el origen del sistema referencial empleado, y cuyo extremo es el propio punto m´ovil P . Podemos considerar una coordenada curvil´ınea s que determina la posici´on del punto P en la trayectoria midiendo la distancia a lo largo de esta trayectoria del punto a un punto arbitrario y fijo P0 situado en la misma. Este planteamiento aparece reflejado en la Figura 4.3. Z

∆s s P Po

∆r

r r + ∆r

Y

X

Figura 4.3: Trayectoria de un punto en el espacio En estas condiciones podremos decir que el vector de posici´on ~r es funci´on de la coordenada curvil´ınea escalar s. Es decir: ~r = ~r(s) Si el vector ~r es fuci´on de la coordenada curvil´ınea s , tambi´en lo ser´an sus componentes, y podremos decir: ~r(s) = x(s) ~i + y(s) ~j + z(s) ~k

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102

Derivando este vector con respecto del escalar s: ∆~r(s) d~r dx ~ dy ~ dz ~ = = i+ j+ k ∆s→0 ∆s ds ds ds ds l´ım

Como la curva ∆s, y la cuerda |∆~r | tienden a coincidir para valores de ∆s suficientemente peque˜nos, podremos decir: |d~r | |∆~r | = =1 ∆s→0 ∆s ds l´ım

r Con lo cual, el m´odulo del vector d~ es la unidad y se trata por tanto de un vector unids tario. La direcci´on de este vector ser´a adem´as la de la tangente a la curva en ese punto, ya que e´ sta es la direcci´on l´ımite de la cuerda. Este vector es el denominado vector unitario en la direcci´on tangencial ~τ .

~τ =

d~r ds

Por ser su m´odulo la unidad, las componentes de este vector cumplir´an: 

dx ds

2

 2  2 + dy + dz = 1 ds ds

Derivemos ahora el vector unitario tangencial ~τ con respecto de s: 2 d~τ = d2~r = d2 x ~i + d y ~j + d2 z ~k 2 2 ds ds ds ds2 ds2

Por ser el vector ~τ de m´odulo constante, el vector

d~ τ ds

ser´a ortogonal a e´ l. 1

Denominamos vector unitario en la direcci´on normal principal al vector unitario en la direcτ ci´on de d~ , y lo representamos como ~η . ds d~τ ~η = ds τ d~ ds

; o bien:





d~ d~τ τ = · η~ ds ds

1

La derivada de un vector de m´odulo constante es un vector ortogonal al vector derivado. En efecto, si ~r es un vector de m´odulo constante: ~r · ~r = norma ~r = |~r |2 = Kte. Derivando esta expresi´on: d~r · ~r + ~r · d~r = 0 dt dt

→

r 2 · ~r · d~ dt = 0

Luego dado que en general ~r y ortogonales.

d~ r dt

→

r ~r · d~ dt = 0

no son nulos, al ser nulo su producto escalar, ambos vectores ser´an

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103

Sean A y B dos puntos de la trayectoria separados por un valor de coordenada curvil´ınea ∆s; y consideremos en cada uno de esos puntos los vectores tangentes unitarios ~τ . Ambas tangentes, al igual que las normales forman entre s´ı un a´ ngulo ∆α. ( Ver la Figura 4.4 ) τ ( A) A

∆s

B

τ ( B)

τ ( A) ∆α

∆α

∆τ

τ ( B)

Figura 4.4: Puntos A y B en la trayectoria, y sus respectivos vectores tangentes unitarios

La variaci´on de ~τ al pasar del punto A al punto B se obtiene restando ambos vectores unitarios, verific´andose que |∆~τ | = ∆α, ya que |~τ | = 1. Dividiendo por ∆s y tomando el l´ımite cuando ∆s tiende a cero: l´ım

∆s→0

∆α |∆~τ | = l´ım ∆s→0 ∆s ∆s

Definimos curvatura de la trayectoria como: ∆α ∆s→0 ∆s l´ım

Y denominamos radio de curvatura ρ a su valor inverso. Nos queda entonces: |d~τ | dα 1 = = ds ds ρ Y teniendo en cuenta que:



d~ d~τ τ = · ~η ds ds

Nos quedar´a:

d~τ 1 = · ~η ds ρ

(Primera f´ormula de Frenet)

Definimos el vector unitario en la direcci´on binormal en un punto de la trayectoria como: ~b = ~τ ∧ ~η

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104

Siendo por tanto ortogonal a los vectores ~τ y ~η. Los vectores ~τ , ~η y ~b forman un triedro trirrect´angulo caracter´ıstico para cada punto de la trayectoria, denominado triedro intr´ınseco. Derivando la expresi´on del vector unitario en la direcci´on binormal, con respecto a la coordenada curvil´ınea s, y teniendo en cuenta la primera f´ormula de Frenet: d~b d~τ d~η 1 d~η d~η = ∧ η~ + ~τ ∧ = ~η ∧ η~ + ~τ ∧ = ~τ ∧ ds ds ds ρ ds ds ~

db es un vector ortogonal a ~τ , y como ~b es un vector de m´odulo Lo que demuestra que ds d~b constante, su derivada tambi´en ser´a ortogonal a ~b; lo que forzosamente hace que ds tenga la direcci´on normal principal, y podamos escribir:

d~b 1 = − η~ ds t

(Tercera f´ormula de Frenet)

Al escalar 1t se le denomina torsi´on de la trayectoria, y es positivo cuando el triedro intr´ınseco gira en sentido positivo alrededor de la tangente al desplazarse el punto a lo largo de la trayectoria en sentido positivo. Derivando la expresi´on ~η = ~b ∧ ~τ con respecto al escalar s, y teniendo en cuenta las f´ormulas de Frenet 1a y 3a , obtendremos: d~b d~τ 1 1 d~η = ∧ ~τ + ~b ∧ = − ~η ∧ ~τ + ~b ∧ ~η ds ds ds t ρ d~η 1 1 = ~b − ~τ ds t ρ

(Segunda f´ormula de Frenet)

Las tres f´ormulas de Frenet pueden condensarse en una u´ nica expresi´on matricial, que puede servir como regla nemot´ecnica: 

d~τ   ds             

d~η ds d~b ds

         



=

 0           

−

1 ρ

0

1 ρ 0 1 − t



0  

1 t 0

         ·       

~τ ~η ~b

       

La terna de vectores unitarios ~τ , η~ y ~b conforman un triedro trirrect´angulo caracter´ıstico de cada punto P de la trayectoria; es el denominado triedro intr´ınseco. El plano conformado por las direcciones ~τ y ~η es el denominado plano osculador. Dicho plano osculador contiene la trayectoria en el punto P y en los inmediatamente anteriores y

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105

posteriores a e´ l. El elemento diferencial de trayectoria que est´a contenido en el plano osculador ser´ıa asimilable a un arco diferencial de circunferencia. El radio de esa circunferencia denominada circunferencia osculatriz es el radio de curvatura de la trayectoria, que se encontrar´a dirigido seg´un la direcci´on de ~η y hacia la parte c´oncava de la misma. El plano conformado por las direcciones η~ y ~b es el denominado plano normal principal. Es el plano que contiene a todas las ortogonales a la trayectoria en el punto P . El plano conformado por ~b y ~τ es el plano rectificante. La trayectoria en la zona diferencial pr´oxima a P podr´ıa ser desarrollada y rectificada sobre dicho plano. Una representaci´on del triedro intr´ınseco se puede observar en la Figura 4.5: Plano rectificante

b Plano normal

τ η Plano osculador

Figura 4.5: Triedro intr´ınseco

Componentes intr´ınsecas del vector velocidad y del vector aceleracio´ n El vector velocidad podr´a expresarse como: ~v =

d~r d~r ds = · = ~τ · v dt ds dt

En donde v es el m´odulo del vector velocidad, llamado tambi´en celeridad, siendo: v=

ds dt

Por lo tanto, el vector velocidad expresado en la referencia intr´ınseca nos queda: ~v = v · ~τ Lo que nos indica que la velocidad est´a alineada siempre con la direcci´on tangencial, no dando componentes ni en la direcci´on normal principal ni en la direcci´on binormal.

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106

En cuanto a la aceleraci´on, recordemos que fu´e definida como: ~a =

d~v dt

La obtendremos derivando la expresi´on de la velocidad en referencia intr´ınseca: ~a =

dv d~τ · ~τ + v · dt dt

Para obtener la derivada del vector unitario en la direcci´on tangencial τ con respecto del tiempo haremos: d~τ ds d~τ = · dt ds dt Teniendo en cuenta la primera f´ormula de Frenet, y que la derivada con respecto del tiempo de la coordenada curvil´ınea s es el m´odulo del vector velocidad: d~τ v = ~η dt ρ Con lo que la expresi´on del vector aceleraci´on en componentes intr´ınsecas ser´a: ~a =

dv v2 · ~τ + ~η dt ρ

Con lo que llegamos a la siguiente conclusi´on: El vector aceleraci´on referido al triedro intr´ınseco s´olo tiene componentes seg´un las direcciones tangencial y normal principal, siendo e´ stas: dv d2 s = 2 dt dt 2 v aη = ρ

aτ =

Es un vector que se encuentra siempre contenido en el plano osculador, por no tener componente en la direcci´on binormal. La componente de la aceleraci´on tangencial aτ indica la variaci´on del m´odulo de la velocidad, en tanto que la componente normal aη que se encuentra ligada a la geometr´ıa de la trayectoria mediante el radio de curvatura ρ, indica la variaci´on en la direcci´on del vector velocidad.

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107

Ley del movimiento en coordenada curvil´ınea Si el movimiento del punto m´ovil en su trayectoria estuviese definido por una ley que nos diese el valor de la coordenada curvil´ınea s medida desde un punto arbitrario de la trayectoria P0 en funci´on del tiempo, del tipo: s = s(t) Dir´ıamos que hemos establecido la ley escalar del movimiento o ley del movimiento en coordenada curvil´ınea. Una primera derivaci´on con respecto al tiempo nos permite determinar el m´odulo de la velocidad: v=

ds dt

Una segunda derivaci´on nos determina la componente tangencial de la aceleraci´on: aτ =

d2 s dt2

El conocimiento completo del vector aceleraci´on ~a deber´a efectuarse a partir del conocimiento de la geometr´ıa de la trayectoria, y por tanto de ρ ; con lo que se podr´ıa determinar a η y por tanto ~a. Es decir, que teniendo como dato la ley s = s(t) no se podr´ıa entender todo el movimiento si no se conoce asimismo la trayectoria.

4.2.5. Cinem´atica plana Consideremos ahora el movimiento de un punto dentro de un plano; es decir el movimiento de un punto en el que su trayectoria es una curva plana. Veamos entonces cuales ser´an las expresiones del vector velocidad y del vector aceleraci´on seg´un el tipo de referencia empleado: Cinem´atica plana en coordenadas cartesianas Supuesto que el movimiento tiene lugar dentro de un plano XY , el an´alisis se reducir´a simplemente a considerar el caso tridimensional sin m´as que tener en cuenta que z = kte = 0. Por tanto: ~r = x ~i + y ~j Velocidad: ~v =

d~r dx ~ dy ~ = i+ j = vx ~i + vy ~j dt dt dt

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dx vx = = x˙ dt

108

     

   dy  vy = = y˙  dt Aceleraci´on:

~a =

d2 x ~ d2 y ~ d2~r = i + 2 j = ax ~i + ay ~j dt2 dt2 dt

d2 x ax = 2 = x¨ = v˙ x dt d2 y ay = 2 = y¨ = v˙ y dt

            

Cinem´atica plana en coordenadas polares En un sistema referencial polar en el plano la posici´on de un punto P viene definida por el par (ρ, θ); donde ρ es la distancia del punto P al punto fijo de referencia 0, y el a´ ngulo θ es el que forma 0P con una direcci´on de referencia dada. Sin m´as consideraciones que las meramente geom´etricas, que podremos deducir en la Figura 4.6, las ecuaciones que nos permiten el paso de las coordenadas polares a cartesianas son :

Y

uθ

uρ P

ρ

y

j

θ 0

X

i x

Figura 4.6: Sistema referencial plano polar y cartesiano

x = ρ cos θ y = ρ sin θ

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109

Y las ecuaciones que permiten efectuar el paso inverso son: ρ=

q

x2 + y 2

θ = arc tg

y x

El an´alisis de la cinem´atica plana en polares, puede deducirse como una particularizaci´on de la cinem´atica espacial en coordenadas cil´ındricas, sin m´as que considerar que en todo momento z = kte = 0 . De esta forma deduciremos: Expresi´on de la velocidad en polares: ~v = vρ ~uρ + vθ ~uθ     

vρ = ρ˙ ( Componente radial ) vθ = ρ θ˙ ( Componente transversal )

Expresi´on de la aceleraci´on en polares: ~a = aρ ~uρ + aθ ~uθ     

aρ = ρ¨ − ρ θ˙2 ( Componente radial ) aθ = 2 ρ˙ θ˙ + ρ θ¨ ( Componente transversal )

A id´entico resultado hubi´eramos llegado particularizando las expresiones de la cinem´atica espacial en coordenadas esf´ericas para r = ρ y ϕ = π2 = kte. Cinem´atica plana en coordenadas intr´ınsecas En el movimiento del punto P en una trayectoria plana, el triedro intr´ınseco asociado al punto evoluciona en tal forma que el plano osculador permanece constantemente coincidente con el plano que contiene a la trayectoria plana, dado que una l´ınea plana tiene torsi´on cero. Por tanto el vector aceleraci´on: ~a = aτ ~τ + aη ~η Estar´a contenido permanentemente en el propio plano de la trayectoria. Igualmente, el vector velocidad: ~v = v ~τ Tangente a la trayectoria, siempre estar´a contenido en el plano de la misma.

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110

4.2.6. Estudio particular de algunos movimientos Movimiento rectil´ıneo Un movimiento rectil´ıneo es aqu´el cuya trayectoria es una l´ınea recta. En la l´ınea recta el vector unitario ~τ tiene la misma direcci´on en todos los puntos de la misma. El m´odulo de ~τ es tambi´en constante, por tanto: d~τ 1 = ~η = 0 ds ρ

=⇒

Curvatura = 0

=⇒

ρ = infinito

Por tanto en un movimiento rectil´ıneo, la aceleraci´on, caso de existir, carece de componente normal, ya que al ser el radio de curvatura ρ igual a infinito: v2 v2 aη = = =0 ρ ∞ Con lo que la u´ nica componente posible del vector aceleraci´on es la componente tangencial aτ . Por tanto, en los movimientos rectil´ıneos, caso de haber aceleraci´on, e´ sta siempre ser´a colineal con la velocidad. Movimiento rectil´ıneo uniforme Es aqu´el cuya trayectoria es una l´ınea recta, y cuya velocidad ~v es constante. −→ ~v = v · ~τ = kte v=

ds = kte. dt

=⇒

v =kte.

=⇒

ds = v · dt

Integrando:

s = s0 + v · t

La componente tangencial de la aceleraci´on ( La u´ nica posible en un movimiento rectil´ıneo ) es nula, ya que : aτ =

dv =0 dt

Las leyes de este movimiento rectil´ıneo uniforme quedan gr´aficamente expresadas en los siguientes diagramas ( Figura 4.7 ) : a = aτ

s

v

so t

t

Figura 4.7: Diagramas del movimiento rectil´ıneo uniforme

t

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111

Movimiento rectil´ıneo uniformemente variado Es aqu´el cuya trayectoria es una l´ınea recta, y cuya aceleraci´on es constante. −→ ~a = aτ ~τ = kte aτ =

=⇒

d2 s dv = = kte 2 dt dt

aτ =kte

=⇒

dv = aτ dt

Integrando:

v = v 0 + aτ t

Y teniendo en cuenta que: v=

ds dt

=⇒

ds = v0 + aτ t dt

=⇒

ds = v0 dt + aτ t dt

E integrando de nuevo: s = s 0 + v0 t +

1 a τ t2 2

Las leyes de este movimiento rectil´ıneo uniformemente variado quedan gr´aficamente expresadas en los siguientes diagramas ( Figura 4.8 ) : a = aτ

s

v

vo

so t

t

t

Figura 4.8: Diagramas del movimiento rectil´ıneo uniformemente variado

Movimiento lineal arm´onico simple Es un movimiento de trayectoria rectil´ınea en el que la coordenada curvil´ınea s medida a partir de un punto fijo de la propia trayectoria viene dada por la siguiente ley: s = A sen(wt + ϕ) En donde los siguientes valores constantes presentan este significado: A : Amplitud o m´aximo valor de la coordenada curvil´ınea s. w : Pulsaci´on. w = 2 π ν =

2π ; T

ϕ : Angulo de desfase inicial.

donde ν es la frecuencia, y T es el periodo.

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112

En cuanto a la velocidad y la aceleraci´on: ds = A w cos(wt + ϕ) dt d2 s aτ = 2 = −A w 2 sen(wt + ϕ) = −w 2 s dt

v=

Las leyes de este movimiento lineal arm´onico simple se expresan gr´aficamente en los siguientes diagramas ( Figura 4.9 ) : s v

t

a = aτ

Figura 4.9: Diagramas del movimiento lineal arm´onico simple

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113

Movimiento circular Un punto est´a animado de movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia plana. Una circunferencia posee en todos sus puntos un radio de curvatura ρ = R = Kte. La direcci´on normal principal ~η es en todos los puntos la direcci´on del radio de la circunferencia y est´a dirigida hacia el centro de la misma. Considerando una referencia polar cuyo origen sea el centro de la trayectoria circunferencial, y trabajando en valores escalares, denominamos velocidad angular de rotaci´on w a: w=

dθ dt

En donde θ representa el a´ ngulo que un radio vector trazado desde el centro 0 hasta el punto m´ovil forma con una direcci´on dada fija. Con este planteamiento, denominaremos aceleraci´on angular ξ a: ξ=

dw d2 θ = 2 dt dt

Por una relaci´on propia de la geometr´ıa circunferencial ( Figura 4.10 ) sabemos que: s=θR Y derivando:

v=

ds =wR dt

y

aτ =

d2 s =ξR dt2 τ

s

η θ o

Figura 4.10: Movimiento circular

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114

Movimiento circular uniforme Se trata de un movimiento de trayectoria circular, en el cual w = kte. dθ = kte dt

w=

=⇒

dθ = w dt

Integrando:

θ = θ0 + w t

Relacionando el a´ ngulo barrido con la coordenada curvil´ınea recorrida: s=θR

=⇒

s = θ0 R + w R t

=⇒

s = s0 + w R t

Dado que la velocidad angular w es constante, la aceleraci´on angular ξ ser´a nula: ξ=

dw =0 dt

En cuanto a la velocidad lineal del punto, su m´odulo ser´a constante: v = w R = kte. Siendo esta velocidad un vector con direcci´on tangente a la trayectoria en cada punto: ~v = w R ~τ El cambio de direcci´on del vector velocidad da lugar a la existencia de aceleraci´on, aunque como hemos visto, el m´odulo de la velocidad es constante. Las componentes intr´ınsecas de la aceleraci´on ser´an: dv =0 dt v2 v2 aη = = = w 2 R = kte ρ R aτ =

Y el vector aceleraci´on ser´a: ~a =

v2 ~η = w 2 R ~η R

En el movimiento circular uniforme el m´odulo de la velocidad es constante, no si´endolo su direcci´on, la cual es en todo momento tangente a la trayectoria circular descrita. Este cambio en la direcci´on del vector velocidad da lugar a la aparici´on de una aceleraci´on cuya direcci´on est´a dirigida hacia el centro de la trayectoria circular, y cuyo m´odulo es a su vez constante. Las leyes de este movimiento circular uniforme se expresan gr´aficamente en los siguientes diagramas ( Figura 4.11 ):

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

v

115

aτ

s

aη

so t

t

t

t

Figura 4.11: Diagramas del movimiento circular uniforme

Movimiento circular uniformemente variado Se trata de un movimiento de trayectoria circular, en el cual ξ = kte. dw = kte =⇒ dw = ξ dt Integrando: w = w0 + ξ t dt dθ 1 w= = w0 + ξ t =⇒ dθ = w0 dt + ξ t dt Integrando: θ = θ0 + w0 t + ξ t2 dt 2

ξ=

De donde: s = θ R =⇒ s = θ0 R + w0 R t +

1 1 ξ R t2 =⇒ s = s0 + v0 t + aτ t2 2 2

En cuanto a la velocidad lineal del punto: v = w R = w 0 R + R ξ t = v 0 + aτ t Las componentes intr´ınsecas de la aceleraci´on son: aτ = ξ R = kte aη =

v2 v2 w 2 R2 = = = w 2 R ( Variable ) ρ R R

En resumen, en el movimiento circular uniformemente variado, el m´odulo del vector velocidad es creciente linealmente con el tiempo. Ya sabemos que la direcci´on de este vector es variable y en todo momento tangente a la trayectoria circular. En cuanto al vector aceleraci´on, su componente tangencial, es constante; y su componente normal dirigida hacia el centro de la trayectoria, es creciente en forma cuadr´atica en relaci´on al tiempo. Las leyes de este movimiento se expresan en forma gr´afica en los siguientes diagramas ( Figura 4.12 ):

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v

116

aτ

s

vo

R.ξ

so t

aη

t

t

Figura 4.12: Diagramas del movimiento circular uniformemente variado

t

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117

4.3. Cinem´atica de los sistemas indeformables 4.3.1. Concepto de sistema indeformable Un sistema material continuo o discreto, diremos que es indeformable cuando la distancia relativa entre los puntos del mismo no var´ıa, es decir, permanece constante con el transcurso del tiempo. Siendo A y B dos puntos cualesquiera de este sistema material indeformable, se deber´a cumplir que: d −→ norma AB = 0 dt El sistema material continuo e indeformable recibe el nombre de so´ lido r´ıgido. La posici´on en el espacio tridimensional de un sistema indeformable queda perfectamente determinada al conocer la localizaci´on de tres puntos del mismo no alineados. Si A, B y C son tres puntos del sistema que cumplen dicha condici´on: A (xA , yA , zA )

B (xB , yB , zB )

C (xC , yC , zC )

El conocimiento de la localizaci´on de estos tres puntos implicar´ıa el conocimiento de nueve par´ametros, es decir, las nueve coordenadas cartesianas de los mismos. Sin embargo, estos par´ametros no son independientes entre s´ı, ya que al ser sus distancias mutuas invariables podr´ıamos expresar: −→ norma AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 = kte −−→ norma BC = (xC − xB )2 + (yC − yB )2 + (zC − zB )2 = kte −→ norma CA = (xA − xC )2 + (yA − yC )2 + (zA − zC )2 = kte Lo cual supone la presencia de tres ecuaciones de condici´on. Luego de los nueve par´ametros s´olo seis son realmente independientes. Por tanto, la posici´on de un sistema indeformable en el espacio tridimensional viene definida por el conocimiento de seis par´ametros lagrangeanos o coordenadas generalizadas. Pensando en un espacio bidimensional, un sistema indeformable de tipo laminar, tiene su posici´on determinada si se conoce la posici´on de dos puntos A y B del mismo; es decir si se conocen cuatro coordenadas cartesianas: A (xA , yA )

B (xB , yB )

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118

Pero de estos cuatro param´etros s´olo tres son realmente independientes ya que al suponer indeformable el sistema, la distancia entre A y B es constante. −→ norma AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 = kte Por tanto, la posici´on de un sistema indeformable en un espacio bidimensional viene definida por el conocimiento de tres par´ametros lagrangeanos o coordenadas generalizadas.

4.3.2. Teorema de la proyecci´on de las velocidades Dados dos puntos A y B de un sistema indeformable, el cual se mueve en el espacio con un movimiento cualquiera, las proyecciones de las velocidades de dichos puntos sobre la l´ınea AB que los une, en un instante dado, son las mismas.

vB

vA B A




Proy AB v B


Proy AB v A

0

Figura 4.13: Teorema de la proyecci´on de la velocidades

En efecto, dada la definici´on de sistema indeformable, podremos expresar: −→ −→ d d(AB · AB) −→ norma AB = 0 =⇒ =0 dt dt −→ −→ −→ d AB −→ d AB 2 · AB · = 0 =⇒ AB · =0 dt dt

=⇒

−→2 d AB =0 dt

− → −→ Considerando ahora un punto fijo 0, y trazando desde e´ l los vectores de posici´on 0A y 0B que determinan la localizaci´on de los puntos A y B del sistema indeformable, podremos decir: −→ − → −→ 0B = 0A + AB

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

119

Y derivando esta expresi´on con respecto al tiempo: −→ − → −→ d 0B d 0A d AB = + dt dt dt

=⇒

−→ d AB ~vB = ~vA + dt

Proyectamos ahora esta expresi´on sobre la l´ınea AB, para lo cual bastar´a multiplicarla es−→ calarmente por el vector unitario en la direcci´on de AB. −→ AB ~uAB = −→ |AB|

=⇒

−→ −→ AB d AB ~vB · ~uAB = ~vA · ~uAB + −→ · dt |AB|

El u´ ltimo t´ermino como hemos visto es nulo, luego por tanto: → vB = P roy−→ ~ P roy− AB ~ AB vA

Recordemos que esta propiedad tambi´en la cumplen los momentos resultantes de un sistema de vectores deslizantes, que ya estudiamos en el Cap´ıtulo 1. 2 Como consecuencia del teorema de la proyecci´on de las velocidades podemos plantear la siguiente aplicaci´on pr´actica: Sea un s´olido r´ıgido indeformable que se mueve en un espacio bidimensional, y del cual en un instante dado conocemos la velocidad de dos puntos, siendo v~A la velocidad del punto A, y v~B la velocidad del punto B. En estas condiciones podremos determinar la velocidad de cualquier otro punto P del s´olido procediendo de la siguiente forma: ( Ver Figura 4.14 ) Unimos mediante una l´ınea los puntos A y P , y proyectamos sobre la misma la velocidad de A. Dicha proyecci´on la trasladamos sobre la l´ınea AP al punto P . Trazamos una perpendicular a AP indefinida por el extremo de la proyecci´on trasladada. Procedemos en forma semejante con los puntos B y P , es decir, trazamos la l´ınea BP y proyectamos sobre la misma la velocidad del punto B, trasladamos sobre esta l´ınea la velocidad proyectada al punto P , y por el extremo de la proyecci´on trasladada trazamos otra perpendicular indefinida a BP . 2

En efecto, la relaci´on que liga los momentos resultantes en dos puntos distintos del espacio A y B, generados por un sistema de vectores deslizantes es : ( Ver § 1.23.5 ) − → −− → → − − → M A = AB ∧ R + M B Proyectando esta expresi´on sobre la linea AB, es decir multiplic´andola escalarmente por el vector unitario en al direcci´on de AB: −− → AB ~uAB = −− → |AB|

=⇒

− − → AB − → −− → → − − → M A · ~uAB = (AB ∧ R ) · − − → + M B · ~uAB |AB|

Y teniendo en cuenta que el producto mixto que aparece es nulo por presentar dos vectores colineales, nos queda: − → − → → −→ P roy− AB M A = P royAB M B

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120

proy AP v A vP P proy BP v B

vA proy BP v B A proy AP v A

B vB

Figura 4.14: Aplicaci´on del teorema de la proyecci´on de las velocidades

El punto de intersecci´on de ambas perpendiculares define el extremo del vector velocidad de P que tiene su origen en el propio punto P . Te´oricamente, pero sin operatividad pr´actica, se podr´ıa plantear que para un s´olido r´ıgido indeformable que se mueve en un espacio tridimensional, con el conocimiento de las velocidades de tres puntos del mismo A, B y C es posible determinar en un instante dado, la velocidad de cualquier otro punto P de dicho s´olido. En este caso las desproyecciones sobre las l´ıneas AP , BP y CP deben efectuarse mediante planos ortogonales a las mismas. La intersecci´on de estos tres planos definir´ıan el extremo del vector velocidad de P buscado.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

121

4.3.3. Movimientos que puede presentar un sistema indeformable en un instante dado 1. Traslaci´on: Diremos que en un instante dado, un sistema indeformable est´a en traslaci´on si su campo de velocidades es uniforme. Es decir, todos los puntos del sistema ese instante considerado tienen la misma velocidad. Recordemos que el concepto de velocidad es un vector que comporta m´odulo, direcci´on y sentido. 2. Rotaci´on: Diremos que en un instante dado un sistema indeformable est´a en rotaci´on cuando las l´ıneas vectoriales del campo de velocidades del mismo, es decir, las curvas tangentes en el punto de aplicaci´on a los vectores velocidad que presentan igual m´odulo, son circunferencias, cuyos centros est´an todos en una recta denominada eje instant´aneo de rotaci´on. Los m´odulos de las velocidades de los puntos son proporcionales a la distancia R al eje de rotaci´on, seg´un la relaci´on: v = w · R. 3. Helicoidal: Un sistema indeformable presenta en un instante dado un movimiento helicoidal si las l´ıneas del campo de velocidades son h´elices. El eje de estas h´elices se denomina eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento.

4.3.4. Vector velocidad angular. Velocidad de un punto de un sistema indeformable sometido a rotaci´on Para un sistema indeformable sometido a un movimiento de rotaci´on, definimos el vector velocidad angular de rotaci´on w ~ c´omo un vector deslizante cuya l´ınea de acci´on es el eje instant´aneo de rotaci´on y caracterizado por: M´odulo: w =

dθ ´ ( Angulo girado por unidad de tiempo, en rad/s ) dt

Direcci´on: La del eje de rotaci´on. Sentido: Tal que la terna de vectores (~r, ~r + d~r, w) ~ conforme un triedro directo. Lo cual se ajusta a la conocida regla nemot´ecnica de la “ley del sacacorchos”. Es decir, el sentido del vector w ~ coincide con el del avance de un sacacorchos que gira c´omo el s´olido en movimiento. ( Ver Figura 4.15 )

ω

r +d r dθ r

Figura 4.15: Direcci´on y sentido del vector w ~

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122

La relaci´on que liga la velocidad de un punto P perteneciente a un sistema s´olido indeformable en rotaci´on en torno a un eje fijo, con la velocidad angular de dicho sistema es: − → ~vP = w ~ ∧ ~r = w ~ ∧ 0P Donde ~r es el vector de posici´on que localiza al punto P a partir de un punto cualquiera 0 situado en el eje de rotaci´on. ( Ver Figura 4.16 )

ω v r o

Figura 4.16: Velocidad l´ıneal del punto P

Observemos el paralelismo que existe entre esta expresi´on, y aquella con la que definimos el → − momento de un vector deslizante F con respecto de un punto . ( Ver Figura 4.17 ) − → − → → − → − − → M P = P 0 ∧ F = F ∧ 0P


F

O P

Figura 4.17: Momento de un vector deslizante con respecto a un punto P

Es decir, podr´ıamos considerar la velocidad ~vP de un punto P perteneciente a un s´olido r´ıgido en rotaci´on como el momento con respecto a P del vector deslizante velocidad angular de rotaci´on w ~. Evidentemente, como ya se demostr´o para los momentos, el resultado de ~v es independiente de cual sea el punto 0 en el que consideramos aplicado w ~ siempre que sea de su l´ınea de acci´on.

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123

4.3.5. Vector aceleraci´on angular. Aceleraci´on de un punto de un sistema indeformable sometido a rotaci´on ~ como: Definimos el vector aceleraci´on angular ξ, dw ~ ξ~ = =w ~˙ dt Como hemos visto en el apartado anterior, la velocidad de un punto P perteneciente a un s´olido indeformable que rota alrededor de un eje fijo es: ~vP = w ~ ∧ ~r, por tanto: d~vP =w ~˙ ∧ ~r + w ~ ∧ ~r˙ = ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ ~vP = ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) dt En esta expresi´on, el primer sumando [ξ~ ∧ ~r] representa la aceleraci´on tangencial, y es un vector que tiene la direcci´on de la tangente a la trayectoria descrita por el punto P .

~aP =

El segundo sumando [w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r)] representa la componente normal de la aceleraci´on. Descomponiendo este doble producto vectorial mediante la ya conocida relaci´on de Lagrange: w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) = (w ~ · ~r) · w ~ − (w ~ · w) ~ · ~r = (w ~ · ~r) · w ~ − w 2 · ~r Tomando como origen del vector de posici´on ~r el punto del eje que es la intersecci´on con el mismo de un plano que pase por P y sea ortogonal a dicho eje, se verificar´a entonces que w ~ · ~r = 0 al ser los vectores w ~ y ~r perpendiculares entre s´ı. Nos quedar´a entonces como expresi´on para el vector aceleraci´on de un punto P perteneciente a un s´olido indeformable que gira alrededor de un eje fijo: ~aP = ξ~ ∧ ~r − w 2 · ~r Lo que nos define las dos componentes de la aceleraci´on de este punto en su trayectoria circunferencial, la tangencial y la normal.

4.3.6. Campo instant´aneo de velocidades en el movimiento general de un sistema indeformable La velocidad de cada punto del sistema indeformable es un vector que en general depender´a de la posici´on y del instante del tiempo considerados: ~v = ~v (~r, t)

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

124

Para un instante dado, la velocidad de los puntos del sistema, ser´a funci´on s´olo de su posici´on: ~v = ~v (~r) Consideremos un sistema referencial fijo (01 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ). As´ı mismo, y solidaria en su movimiento con el sistema indeformable m´ovil consideremos una segunda referencia (0, ~i, ~j, ~k). Ver Figura 4.18. Un punto P del sistema material, quedar´a situado con respecto a la referencia m´ovil mediante el vector de posici´on ~r : ~r = x ~i + y ~j + z ~k

Donde;

− → ~r = 0P

−−→ −→ Llamando ~r0 = 01 0 y ~r1 = 01 P ; En todo instante se verificar´a que: ~r1 = ~r0 + ~r

Z

P

Z1

r1




r k O j

ro

k1

Y

i

O1 i1

Y1

j1 X

X1

Figura 4.18: Referencia fija y referencia m´ovil ligada al s´olido indeformable

Para determinar la velocidad del punto P en la referencia fija, bastar´a calcular: ~vP =

d~r1 d~r0 d~r = + dt dt dt

El vector de posici´on ~r0 tiene su origen en la referencia fija, por tanto su derivada ser´a:

(4.1)

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

125

d~r0 = ~v0 dt El vector ~r tiene su origen en la referencia m´ovil (0, ~i, ~j, ~k). Como esta referencia se mueve solidariamente con el sistema material, las coordenadas del punto P (x, y, z) permanecen constantes, y podremos expresar: d~i d~j d~k d~r =x +y +z dt dt dt dt

(4.2)

Recordemos que la derivada de un vector de m´odulo constante, como es el caso de los vecd~i tores ~i, ~j y ~k, es un vector ortogonal al vector derivado. Luego el vector dt podr´a ser expresado como el producto vectorial de un vector desconocido p~ de componentes p 1 , p2 y p3 ~ ~ por el propio vector ~i. Podemos efectuar el mismo planteamiento para los vectores ddtj y ddtk considerando ahora los vectores desconocidos q~ y ~s : d~i = (p1 ~i + p2 ~j + p3 ~k) ∧ ~i = p3 ~j − p2 ~k dt d~j = (q1 ~i + q2 ~j + q3 ~k) ∧ ~j = q1 ~k − q3 ~i dt d~k = (s1 ~i + s2 ~j + s3 ~k) ∧ ~k = s2 ~i − s1 ~j dt Con lo que los valores de los escalares p1 , q2 y s3 pueden ser arbitrarios. Sabemos que los vectores ~i, ~j y ~k por ser ortogonales entre s´ı cumplen: ~i · ~j = 0 ~j · ~k = 0 ~k · ~i = 0 Y derivando con respecto del tiempo: d~i ~ ~ d~j j+i =0 dt dt d~j ~ ~ d~k k+j =0 dt dt d~k ~ ~ d~i i+k =0 dt dt Eliminando entre las nueve u´ ltimas ecuaciones planteadas los versores ~i, ~j y ~k y sus derivadas obtendremos:

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

126

p3 = q 3 q1 = s 1 s2 = p 2 Y teniendo en cuenta que p1 , q2 y s3 son arbitrarios, podr´ıamos decir: p1 = q 1 = s 1 p2 = q 2 = s 2 p3 = q 3 = s 3 Con lo que los tres vectores p~, q~ y ~s planteados a priori, coinciden en un vector u´ nico, que denominaremos w. ~ Las tres ecuaciones que expresan la derivaci´on de los vectores unitarios adoptar´an entonces la forma: d~i =w ~ ∧ ~i dt d~j =w ~ ∧ ~j dt d~k =w ~ ∧ ~k dt Sustituyendo estas expresiones en (4.2) : d~r = x (w ~ ∧ ~i) + y (w ~ ∧ ~j) + z (w ~ ∧ ~k) = w ~ ∧ (x ~i + y ~j + z ~k) = w ~ ∧ ~r dt Y sustituyendo finalmente en (4.1) : ~vP = ~v0 + w ~ ∧ ~r

(4.3)

(4.4)

Expresi´on que nos determina la velocidad de un punto gen´erico P perteneciente a un sistema indeformable que se encuentra en movimiento. Anotemos las siguientes consideraciones: 1. La velocidad de un punto P del sistema indeformable consta de dos sumandos. El primero es la velocidad de un punto 0 perteneciente al propio sistema, y nos determina la traslaci´on del mismo. 2. El segundo sumando w ~ ∧ ~r, es el momento del vetor w ~ aplicado en 0 con respecto del punto P . Indica la existencia de una rotaci´on. Es de hacer notar que en la generaci´on del vector w ~ no ha intervenido el punto P considerado.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

127

En resumen concluiremos diciendo: El movimiento m´as general de un sistema indeformable se puede considerar como la suma de una traslaci´on de velocidad igual a la de uno de los puntos 0 del sistema elegido arbitrariamente como origen de la referencia m´ovil ligada al sistema, m´as una rotaci´on en torno a un eje que pasa por dicho punto 0. El conjunto formado por los dos vectores (~v0 , w) ~ se denomina grupo cinem´atico del movimiento del sistema indeformable en el punto 0.

4.3.7. Invariantes cinem´aticos El vector velocidad angular w ~ no depende del punto 0 del s´olido indeformable considerado. Pensemos en un sistema indeformable en movimiento, y en e´ l dos puntos, 0 0 y 000 . Supondremos que para el punto 00 el grupo cinem´atico es (~v00 , w ~ 00 ), y para el punto 000 el grupo cinem´atico es (~v000 , w ~ 000 ). Ver Figura 4.19.

ω o′ P v o′

O′

r′

ro

r ′′

ω o′′

O ′′

v o′′

Figura 4.19: Sistema indeformable con dos puntos de referencia 0 0 y 000

Tomando como base el punto 00 , la velocidad de un punto cualquiera P del sistema ser´a: ~vP = ~v00 + w ~ 00 ∧ ~r 0 Tomando como base ahora el punto 000 , la velocidad del mismo punto P se expresar´a: ~vP = ~v000 + w ~ 000 ∧ ~r 00 Como la velocidad del punto P en un instante dado ser´a u´ nica:

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

128

~v00 + w ~ 00 ∧ ~r 0 = ~v000 + w ~ 000 ∧ ~r 00 Expresando la velocidad de 000 en funci´on de 00 : ~v00 + w ~ 00 ∧ ~r 0 = ~v00 + w ~ 00 ∧ ~r0 + w ~ 000 ∧ ~r 00 Y teniendo en cuenta que ~r0 = ~r 0 − ~r 00 : ~v00 + w ~ 00 ∧ ~r 0 = ~v00 + w ~ 00 ∧ (~r 0 − ~r 00 ) + w ~ 000 ∧ ~r 00 Operando: w ~ 00 ∧ ~r 0 = w ~ 00 ∧ ~r 0 − w ~ 00 ∧ ~r 00 + w ~ 000 ∧ ~r 00 Y de aqu´ı: ~0 = (w ~ 000 − w ~ 00 ) ∧ ~r 00 Para que este producto vectorial sea cero, alguno de los vectores que intervienen en e´ l debe ser nulo, o bien, deben ser paralelos. El vector ~r 00 puede tomar cualquier valor o direcci´on por tratarse del vector de posici´on de un punto gen´erico, por tanto, la u´ nica posibilidad es que: w ~ 000 − w ~ 00 = ~0

⇒

w ~ 000 = w ~ 00

Por lo tanto, el vector velocidad angular de rotaci´on w ~ adopta un valor u´ nico en cualquier punto del s´olido indeformable en un instante dado. Diremos que es un invariante. Tomamos ahora la ecuaci´on que relaciona la velocidad del punto 0 00 con la del punto 00 : ~v000 = ~v00 + w ~ ∧ ~r0 Y la multiplicamos escalarmente por w ~ en sus dos t´erminos: ~v000 · w ~ = ~v00 · w ~ + (w ~ ∧ ~r0 ) · w ~ El producto mixto que aparece en el segundo t´ermino es nulo por tener dos vectores iguales. Por tanto: ~v000 · w ~ = ~v00 · w ~ Lo que se podr´ıa enunciar de la siguiente forma: El producto escalar de los vectores velocidad y velocidad angular de rotaci´on que constituyen el grupo cinem´atico, es un invariante en cualquier punto de un sistema indeformable en un instante dado.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

129

La u´ ltima ecuaci´on, atendiendo a la definici´on del producto escalar, podr´ıa expresarse como: |w| ~ · P royw~ ~v000 = |w| ~ · P royw~ ~v00 P royw~ ~v000 = P royw~ ~v00 = vd Lo que enunciaremos como: La proyecci´on del vector velocidad ~v de cualquier punto del sistema indeformable, sobre el vector velocidad angular w ~ es un invariante, que denominaremos vd o velocidad de deslizamiento. En resumen, en el campo instant´aneo de velocidades de un sistema indeformable, se presentan con referencia a los grupos cinem´aticos los siguientes invariantes: 1. El vector velocidad angular w ~ 2. El producto escalar (~v · w) ~ 3. La proyecci´on del vector velocidad ~v sobre la direcci´on de w ~ : P roy w~ ~v = vd

4.3.8. Semejanza entre el campo de velocidades y el campo de los momentos de un sistema de vectores deslizantes Recordando los sistemas de vectores deslizantes, la relaci´on que liga los momentos resultantes en dos puntos distintos del espacio es: − → − → −→ → − − → → − −→ M A = M B + AB ∧ R = M B + R ∧ BA En nuestro estudio del campo instant´aneo de velocidades de un sistema indeformable en movimiento, hemos obtenido: −→ ~vA = ~vB + w ~ ∧ ~r = ~vB + w ~ ∧ BA Fij´emonos por otra parte en los invariantes:

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

130

Sistema de vectores deslizantes Campo instant´aneo de velocidades ~ ( Resultante ) R

w ~ ( Velocidad angular )

− → → − M·R

~v · w ~

− → P roy− →M =m R

P royw~ ~v = vd

En resumen, se podr´a suponer que el campo instant´aneo de las velocidades de un s´olido indeformable en movimiento, es el campo de los momentos de un sistema de vectores deslizantes ( rotaciones ) que act´uan sobre e´ l. La resultante de todas estas rotaciones es w ~ , que es un vector invariante. Tambi´en aqu´ı existir´a un eje central, que en este caso denominaremos eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento. Tambi´en aqu´ı ser´a posible efectuar una clasificaci´on en funci´on de los invariantes. El conjunto de las velocidades, al igual que el de los momentos, presentar´a tambi´en en su disposici´on geom´etrica la ya conocida simetr´ıa cil´ındrica en torno en este caso, al eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento. Ver Figura 4.20.

Eje instantaneo de rotacion − deslizamiento

π

Figura 4.20: Distribuci´on de las velocidades en torno al eje instant´aneo de rotaci´ondeslizamiento

4.3.9. Clasificaci´on de los movimientos del sistema indeformable en funci´on de los invariantes cinem´aticos 1. w ~ 6= ~0

;

vd 6= 0

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

131

Movimiento helicoidal instant´aneo. Es el caso m´as general. En los puntos del eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento, el vector velocidad angular w ~ y el vector velocidad ~v , que coincide en este caso con la velocidad de deslizamiento, son colineales. 2. w ~ 6= ~0

;

vd = 0

Movimiento de rotaci´on instant´anea. En este caso las velocidades de los puntos del sistema indeformable resultan ser ortogonales a w. ~ El movimiento podr´a ser considerado como generado por un conjunto de rotaciones concurrentes, coplanarias o paralelas que act´uan sobre el sistema. Los puntos del eje instant´aneo de rotaci´on en este caso, presentan velocidad nula. La distribuci´on de las velocidades de los puntos del sistema est´a expresada en la Figura 4.21. Eje instantaneo de rotacion

ω

π

Figura 4.21: Distribuci´on de las velocidades en la rotaci´on instant´anea. (w ~ 6= ~0 y vd = 0) 3. w ~ = ~0

;

vd 6= 0

Movimiento de traslaci´on instant´anea. Al faltar el elemento rotaci´on, s´olo queda la traslaci´on. El campo de velocidades es uniforme. Este movimiento puede considerarse generado por un par de rotaciones, es decir, dos rotaciones iguales y de sentidos opuestos. En efecto: Consideremos las rotaciones opuestas w ~ y −w. ~ Ver Figura 4.22. La velocidad de un punto P de este sistema material ser´a: ~vP = w ~ ∧ ~r1 + (−w ~ ∧ ~r2 ) = w ~ ∧ ~r1 − w ~ ∧ ~r2 = w ~ ∧ (~r1 − ~r2 ) = w ~ ∧ ~r0 Con lo que la velocidad del punto P , ~vP , es independiente de su posici´on, por tanto todos los puntos del sistema indeformable tienen la misma velocidad, es decir, el

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

132

P

ω

r2 r1

B

ro A

−ω

Figura 4.22: Par de rotaciones aplicado a un sistema material indeformable

campo de velocidades es uniforme. Esto es lo que ha sido definido como movimiento de traslaci´on. 4. w ~ = ~0

;

vd = 0

Se trata del movimiento nulo, o situaci´on de inmovilidad.

4.3.10. Reducci´on a un punto del movimiento de un sistema indeformable Sea un sistema indeformable sometido a un conjunto de n rotaciones w ~ 1, w ~ 2, . . . , w ~ n. Recordemos que si existe alguna traslaci´on, e´ sta se puede considerar compuesta por un par de rotaciones. La velocidad de un punto cualquiera P del sistema material ser´a: X −−→ −−→ −→ −−→ i=n −→ ~ 1 ∧ 01 P + w ~ 2 ∧ 02 P + · · · + w ~ i ∧ 0i P + · · · + w ~ n ∧ 0n P = w ~ i ∧ 0i P ~vP = w i=1

En donde 0i representa a un punto de aplicaci´on del vector deslizante w ~ i en su recta de acci´on. La resultante de todas las rotaciones ser´a: w ~ =w ~1 + w ~2 + · · · + w ~i + · · · + w ~n =

i=n X

w ~i

i=1

Por tanto, en un punto P el movimiento del s´olido indeformable queda reducido por los dos t´erminos del grupo cinem´atico, que son: Una traslaci´on ~vP . Esta velocidad es propia de cada punto del sistema considerado. Una rotaci´on resultante w. ~ Esta rotaci´on es invariante para todos los puntos del sistema.

4.3.11. Eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento Definimos el eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento como el lugar geom´etrico de los puntos del sistema en que para los cuales, y en un instante dado, el vector velocidad y el vector rotaci´on son colineales. Dada la invarianza de la proyecci´on del vector velocidad ~v

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

133

sobre la rotaci´on w, ~ tambi´en podr´ıamos decir que los puntos del eje instant´aneo de rotaci´on deslizamiento poseen la velocidad de m´ınimo deslizamiento v~d . Determinaremos la ecuaci´on anal´ıtica de este eje central referida a estos dos sistemas referenciales: ( Ver Figura 4.23 ) 1. Sistema referencial fijo (01 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ). 2. Sistema referencial m´ovil y ligado al movimiento del sistema material (0, ~i, ~j, ~k). Z Z1

k O j

k1 j1

O1

Y

i Y1

i1 X

X1

Figura 4.23: Sistema referencial fijo y sistema referencial m´ovil

En el sistema referencial fijo En la referencia fija las coordenadas de P y 0 ser´an: P (x1 , y1 , z1 )

0(x01 , y01 , z01 )

Y las velocidades de dichos puntos se obtendr´an mediante la derivaci´on: ~vP = ~v1 = (vx1 , vy1 , vz1 ) = (x˙ 1 , y˙ 1 , z˙1 ) ~v01 = (v0x1 , v0y1 , v0z1 ) = (x˙ 01 , y˙ 01 , z˙01 ) La rotaci´on w ~ la expresamos en el sistema fijo como: w ~ 1 = (wx1 , wy1 , wz1 )

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

134

− → La velocidad de un punto P del sistema material ~vP = ~v0 + w ~ ∧ 0P , se expresar´a anal´ıticamente en el sistema referencial fijo como: 

Es decir:









~k1 ~i1 ~j1 v0x1 v x1      vy1  =  v0y1  + w x1 wy1 wz1 x1 − x 0 y 1 − y 0 z 1 − z 0 v z1 v0z1 1 1 1

vx1 = v0x1

vy1 = v0y1

vz1 = v0z1

+

+

+





wy1 wz1 y1 − y 01 z1 − z 01 wz1 w x1 z 1 − z 0 1 x1 − x 0 1 w x1 wy1 x1 − x 0 1 y 1 − y 0 1





Expresando ahora la caracter´ıstica propia de los puntos del eje instant´aneo de rotaci´ondeslizamiento, es decir, la colinealidad en los mismos entre la velocidad ~v 1 y la rotaci´on w ~ 1:

vy vz v x1 = 1 = 1 w x1 wy1 wz1 Esto es:

v0x1

+

wy1 wz1 y1 − y 01 z1 − z 01 w x1



v0y1 =

+

wz1 w x1 z 1 − z 0 1 x1 − x 0 1 wy1



v0z1 =

+

w x1 wy1 x1 − x 0 1 y 1 − y 0 1 wz1

Que es la ecuaci´on del eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento expresada en la referencia fija (01 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ). En el sistema referencial m´ovil En el triedro referencial m´ovil y ligado al sistema material en movimiento tanto las coordenadas de P , como las de 0 son constantes, y por tanto en esta referencia ~v P = ~0 y ~v0 = ~0. Sin embargo, lo que nosotros vamos a expresar son las velocidades de estos puntos P y 0 con respecto a la referencia fija, pero con sus componentes en la referencia m´ovil. Esto lo



´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

135

haremos mediante una matriz de transformaci´on {G} que realiza el paso de vectores de un sistema referencial a otro: ~v = {G} ~v1

~v0 = {G} ~v01

En donde: ~v = (vx , vy , vz )

~v0 = (v0x , v0y , v0z )

Siendo las componentes del vector rotaci´on w ~ en el sistema referencial m´ovil (w x , wy , wz ), − → y expresando ~vP = ~v0 + w ~ ∧ 0P en este sistema referencial m´ovil: 











~i ~j ~k vx v0x      vy  =  v0y  + wx wy wz x vz v0z y z

Es decir:

vx = v0x

vy = v0y

vz = v0z

+

+

+



wy wz y z

wz wx z x

wx wy x y

Y expresando el paralelismo entre los vectores ~v y w ~ propio de los puntos del eje central: vy vz vx = = wx wy wz Esto es:

v0x

+











w w w wy wz z x wy x v + v + 0y 0z z x y z x y = = wx wy wz

Que es la ecuaci´on del eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento expresada en la referencia m´ovil (0,~i, ~j, ~k).

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

136

4.3.12. Axoides Lo visto hasta ahora hace referencia a un an´alisis del movimiento del s´olido indeformable en un instante dado. Veamos lo que ocurre a lo largo del transcurso del tiempo. El eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento ir´a cambiando su posici´on con el paso del tiempo, y podremos suponer que en esa evoluci´on va generando una superficie reglada, que denominaremos axoide. Si la evoluci´on del eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento se observa desde la referencia fija, el axoide generado ser´a el denominado axoide fijo. Si la evoluci´on del eje se considera vista desde la referencia m´ovil ligada al movimiento del s´olido indeformable, el axoide generado ser´a el axoide m´ovil. En un momento dado, el eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento es u´ nico, por tanto en ese instante ambos axoides coinciden en una recta com´un que es el eje instant´aneo de rotaci´ondeslizamiento en ese instante. A lo largo del transcurso del tiempo podremos considerar que el axoide m´ovil rueda sobre el fijo alrededor de su recta com´un ( El eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento ) con una velocidad angular w, ~ y adem´as desliza en la direcci´on del eje con la velocidad de m´ınimo deslizamiento v~d . En esta te´orica composici´on, el axoide m´ovil arrastra al s´olido indeformable reproduciendo su movimiento real. La obtenci´on anal´ıtica de las ecuaciones de los axoides se har´ıa expresando las ecuaciones anal´ıticas del eje instant´aneo de rotaci´on-deslizamiento en funci´on del tiempo. Eliminando el par´ametro tiempo en la expresi´on de la referencia fija, obtendr´ıamos el axoide fijo, y eliminando el par´ametro tiempo en la ecuaci´on del eje en la referencia m´ovil, obtendr´ıamos el axoide m´ovil. La forma geom´etrica de los axoides puede ser muy variada, pero en todo caso siempre se tratar´a de superficies regladas. Ver Figura 4.24.

4.3.13. Aceleraci´on de un punto de un sistema indeformable con movimiento general Retomamos ahora la expresi´on de la velocidad de un punto P perteneciente a un s´olido indeformable (4.4) que aparece en la p´agina 126: ~vP = ~v0 + w ~ ∧ ~r

Para obtener la aceleraci´on del punto P bastar´a con efectuar la derivaci´on de dicha expresi´on:

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

Eje instantaneo de rotacion − deslizamiento

137

Axoide Movil

Axoide Fijo

Figura 4.24: Axoide fijo y axoide m´ovil

~aP =

d~vP d~v0 dw ~ d~r = + ∧ ~r + w ~∧ dt dt dt dt

Teniendo en cuenta que: d~v0 = ~a0 dt dw ~ = ξ~ dt Y que como vimos en (4.3), tambi´en en la p´agina 126: d~r =w ~ ∧ ~r dt Con lo que nos queda: ~aP = ~a0 + ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) Observamos que en esta expresi´on aparece ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r), que se corresponde exactamente con el vector aceleraci´on de un punto de un sistema indeformable que rota alrededor de un eje fijo, tal y como vimos en el apartado 4.3.5. Por tanto podr´ıamos decir: La aceleraci´on de un punto P perteneciente a un s´olido indeformable que se mueve con movimiento general en un instante dado, es igual a la aceleraci´on de otro punto 0 perteneciente a ese sistema material, m´as la aceleraci´on de ese punto P en su rotaci´on alrededor de un eje que pasa por 0. Y desarrollando el doble producto vectorial nos queda: ~aP = ~a0 + ξ~ ∧ ~r + (w ~ · ~r) · w ~ − w 2 · ~r Que es la expresi´on general de la aceleraci´on del punto P en funci´on de los vectores del grupo cinem´atico en 0 y de sus derivadas con respecto del tiempo.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

138

4.3.14. Movimiento relativo entre dos sistemas indeformables en contacto. Deslizamiento, rodadura y pivotamiento. Sean dos sistemas indeformables S1 y S2 que se mueven estando permanentemente en contacto. En un instante dado el punto de contacto es 0. Dada la tangencia entre los dos sistemas, el punto 0 geom´etricamente es u´ nico, pero dentro de e´ l, podr´ıamos distinguir mec´anicamente dos puntos diferenciados, el 01 perteneciente al sistema S1 , y el 02 , perteneciente al sistema S2 . El movimiento del sistema S1 podr´ıa ser definido mediante el grupo cinem´atico en 01 , (~v01 , w ~ 1 ), y el movimiento del sistema S2 , mediante el grupo cinem´atico en 02 , (~v02 , w ~ 2 ). Definimos el plano π tangente com´un a ambos sistemas en el punto 0, y la direcci´on ~η perpendicular al plano π en el punto 0 como plano del contacto y direcci´on normal al contacto en 0 respectivamente. Como nuestro inter´es est´a en el movimiento relativo entre ambos sistemas, podremos fijar uno de ellos, por ejemplo el S1 , aplicando en 01 su grupo cinem´atico con signo contrario. El movimiento relativo del sistema S2 con respecto al sistema S1 vendr´a entonces expresado al agregar igualmente al sistema S2 el par cinem´atico del sistema S1 en 01 con el signo cambiado. Nos quedar´a entonces: ~vrel = ~v02 − ~v01 w ~ rel = w ~2 − w ~1 Observando la Figura 4.25, haremos las siguientes consideraciones:

Si el contacto entre ambos sistemas es permanente, es decir, se mantiene a lo largo del tiempo, el vector velocidad relativa ~vrel , en el punto 0 ser´a un vector que est´a contenido en el plano de contacto tangente com´un a ambos sistemas π. La existencia de una velocidad relativa ~vrel nos expresa el deslizamiento entre los puntos 02 y 01 de ambos sistemas materiales en contacto. Si el contacto entre ambos sistemas materiales es sin deslizamiento, en ese caso ~vrel = ~0, y por tanto : ~v01 = ~v02 En cuanto a la velocidad angular de rotaci´on relativa w ~ rel entre ambos sistemas, la podremos descomponer en dos sumandos vectoriales, uno en la direcci´on normal al contacto ~η , que denominaremos componente de pivotamiento w ~ p , y otro contenido en el plano π de contacto, que denominaremos componente de rodadura w ~ r . Evidentemente se verificar´a que w ~ rel = w ~p + w ~r

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

139

η ωp

ω rel

S2

π

02 01

ωr

v rel

S1

Figura 4.25: Velocidades relativas entre los sistemas S2 y S1

Si el vector velocidad angular relativa w ~ rel se encuentra alineado con la direcci´on ~η, la componente de rodadura ser´ıa nula, y en este caso hablar´ıamos de un pivotamiento puro. Por contra, si la velocidad angular relativa se encuentra contenida en el plano de contacto π, la componente de pivotamiento ser´ıa nula, y entonces estar´ıamos frente a una rodadura pura. En principio, las aceleraciones de los puntos en contacto 01 y 02 pertenecientes a los dos sistemas materiales en contacto son distintas. Pero si el contacto es sin deslizamiento podremos afirmar que las proyecciones de las aceleraciones de ambos puntos sobre el plano π de contacto coinciden. Este hecho se encuentra reflejado en la Figura 4.26. Esto es: ~a01 (En la componente tangencial al contacto) = ~a02 (En la componente tangencial al contacto)

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

140

η


a o2 S2

π

02

ao1 τ = a o2 τ


01




S1


ao1

Figura 4.26: Aceleraciones en el contacto sin deslizamiento

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

141

4.4. Cinem´atica del movimiento relativo 4.4.1. Sistemas de referencia m´oviles En el estudio de la cinem´atica visto hasta ahora se supone la existencia de un sistema referencial fijo. En la realidad pr´actica, la obtenci´on de un sistema referencial de estas caracter´ısticas es sumamente compleja. No valdr´ıa, por ejemplo, un sistema referencial ligado a la Tierra, pues sabemos que e´ sta presenta movimiento con respecto del Sol. Tampoco ser´ıa fija una referencia ligada al Sol, pues e´ ste se mueve en la Galaxia. En resumen, no se dispone de un sistema referencial realmente fijo, al cual referir los movimientos. La mejor precisi´on se puede obtener empleando ejes ligados a estrellas fijas. ( Son estrellas de nuestra Galaxia que se mueven con una lentitud aparente tal que se requieren grandes periodos de tiempo para apreciar cambios aparentes en su posici´on vistas desde la tierra ). El problema que se va a considerar aqu´ı est´a en la relaci´on existente entre la posici´on de un punto y las componentes de los vectores velocidad y aceleraci´on, referidas a un sistema referencial considerado aqu´ı arbitrariamente como fijo, y las referidas a otro sistema referencial m´ovil con respecto del considerado fijo.

4.4.2. Derivaci´on de los vectores unitarios de los ejes m´oviles Consideremos el sistema referencial fijo (01 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ), y el sistema referencial m´ovil (0,~i, ~j, ~k) que se mueve con una velocidad angular w ~ respecto del primero. Ver la Figura 4.27. Z1

Z

ω Y

k k1 O1

j

O j1

i Y1

i1

X X1

Figura 4.27: Sistema referencial fijo y sistema referencial m´ovil Se trata de determinar la variaci´on de los vectores unitarios ~i, ~j y ~k con el tiempo. Por

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

142

supuesto, ya sabemos que su m´odulo no variar´a, pues al ser unitarios, ser´a constantemente la unidad. Sin embargo, si habr´a una variaci´on al existir cambio en la orientaci´on de los mismos. Como ya determinamos en el estudio del campo de velocidades de un sistema indeformable en la p´agina 126: d~i =w ~ ∧ ~i dt

;

d~j =w ~ ∧ ~j dt

;

d~k =w ~ ∧ ~k dt

Para obtener las derivadas segundas, bastar´a derivar las expresiones anteriores: d~i ~ ∧ ~i) ~¨i = d(w =w ~˙ ∧ ~i + w ~∧ =w ~˙ ∧ ~i + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~i) dt dt Y analogamente: ~¨j = w ~˙ ∧ ~j + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~j) ~k¨ = w ~˙ ∧ ~k + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~k)

4.4.3. Derivada de un vector en ejes m´oviles Sea el vector ~r, funci´on del tiempo, que expresado en sus componentes referidas a los ejes m´oviles ser´a: ~r = rx ~i + ry ~j + rz ~k Derivamos este vector con respecto del tiempo, teniendo en cuenta que sus componentes rx , ry y rz son variables con el tiempo, y que los versores ~i, ~j y ~k tambi´en var´ıan con el tiempo: d~r d~i d~j d~k = r˙x ~i + r˙y ~j + r˙z ~k + rx + ry + rz dt dt dt dt Los tres primeros t´erminos del segundo miembro no representan otra cosa que la derivada del vector ~r suponiendo que los vectores ~i, ~j y ~k son fijos, y los denominamos derivada relativa a los ejes m´oviles: d~r dt

!

= r˙x ~i + r˙y ~j + r˙z ~k rel

Para los otros tres t´erminos hacemos: rx

d~i d~j d~k ~ ~ ~ +ry +rz = rx ·(w∧ ~ ~i)+ry ·(w∧ ~ ~j)+rz ·(w∧ ~ ~k) = w∧(r ~ ~ r x i+ry j +rz k) = w∧~ dt dt dt

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

143

Por tanto nos quedar´a: d~r dt

d~r = dt

!

rel

+w ~ ∧ ~r

(4.5)

Que nos da la expresi´on general de la derivada de un vector cuyas componentes est´an referidas a unos ejes m´oviles. Si se tratase de derivar precisamente el vector w ~ , el u´ ltimo t´ermino resulta ser nulo, por ~ ser w ~ ∧w ~ = 0. dw ~ = dt

dw ~ dt

!

rel Z1

Z

r

ω Y

k k1 O1

j

O j1

i Y1

i1

X X1

Figura 4.28: Vector en ejes m´oviles

4.4.4. Velocidad en ejes m´oviles − → Sea un punto m´ovil P cuyo vector de posici´on 0P = ~r se refiere a la referencia m´ovil (0,~i, ~j, ~k). ~r = rx ~i + ry ~j + rz ~k Pero la posici´on del punto P tambi´en podr´a referirse a la referencia fija (0 1 ,~i1 , ~j1 , ~k1 ) medi−−→ ante el vector de posici´on 01 P = ~r1 . Observando la Figura 4.29. podemos establecer la siguiente relaci´on vectorial: −−→ −→ − → 01 P = 01 0 + 0P

Esto es:

~r1 = ~r0 + ~r

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

144

Z1

Z

P

ω r

Y

k r1 ro

k1

j

i

O1 i1

O

j1

Y1

X X1

Figura 4.29: Punto m´ovil P en la referencia fija y en la referencia m´ovil

Derivando esta expresi´on con respecto del tiempo: d~r1 d~r0 d~r = + dt dt dt En donde podremos hacer las siguientes consideraciones: El vector fija.

d~r1 dt

es la velocidad absoluta ~v1 del punto P , es decir, referida a la referencia

An´alogamente, el vector d~dtr0 expresa la velocidad absoluta ~v0 del punto 0, origen del sistema referencial m´ovil. r En cuanto a d~ , dado que se trata de la derivada de un vector expresado en una refdt erencia m´ovil, podremos utilizar la expresi´on (4.5) obtenida en el apartado anterior: d~r r = ( d~ ) +w ~ ∧ ~r = ~vrel + w ~ ∧ ~r dt dt rel

Por tanto, nos quedar´a: ~v1 = ~v0 + ~vrel + w ~ ∧ ~r

(4.6) Si ahora consideramos que el punto P y los ejes m´oviles son solidarios, entonces ~v rel = ~0, y la velocidad absoluta del punto P ser´ıa la que tendr´ıa u´ nicamente en funci´on del movimiento de la referencia m´ovil. A esta velocidad la denominaremos velocidad de arrastre ~v s : ~vs = ~v0 + w ~ ∧ ~r Sustituyendo este valor en la expresi´on (4.6) nos quedar´a: ~v1 = ~vs + ~vrel

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

145

Lo que podemos enunciar como: La velocidad absoluta de un punto en movimiento con respecto a una referencia que a su vez se mueve con respecto a otra referencia que consideramos fija, es igual a la suma vectorial de la velocidad de arrastre ( la debida al movimiento de los ejes m´oviles ), m´as la velocidad relativa del punto con respecto a dichos ejes m´oviles.

4.4.5. Aceleraci´on en ejes m´oviles Con el mismo planteamiento del apartado anterior, vamos a tratar de determinar ahora la aceleraci´on del punto P . Para ello derivaremos la expresi´on (4.6) anteriormente obtenida: ~v1 = ~v0 + ~vrel + w ~ ∧ ~r Esta derivaci´on ser´a: d~v1 d~v0 d~vrel d(w ~ ∧ ~r) = + + dt dt dt dt Veamos lo que representan los t´erminos que aparecen en esta ecuaci´on: El vector d~dtv1 = ~a1 ser´a la aceleraci´on absoluta del punto P , es decir, la que presenta con respecto a la referencia absoluta o fija. An´alogamente, el vector d~dtv0 = ~a0 representa la aceleraci´on absoluta del punto 0, origen del sistema referencial m´ovil. Por su parte, d~vdtrel la obtendremos teniendo en cuenta que ~vrel es un vector expresado en la referencia m´ovil: d~vrel = dt

d~vrel dt

!

rel

+w ~ ∧ ~vrel = ~arel + w ~ ∧ ~vrel

En donde hemos llamado aceleraci´on relativa ~arel a la derivada de la velocidad relativa respecto de los ejes m´oviles, considerando a e´ stos como fijos. En cuanto al u´ ltimo sumando

d(w∧~ ~ r) dt

haremos:

d(w ~ ∧ ~r) d~r =w ~˙ ∧~r + w ~∧ =w ~˙ ∧~r + w ~ ∧(~vrel + w ~ ∧~r) = w ~˙ ∧~r + w ~ ∧~vrel + w ~ ∧(w ~ ∧~r) dt dt Sustituyendo todo tendremos: ~a1 = ~a0 + ~arel + w ~ ∧ ~vrel + w ~˙ ∧ ~r + w ~ ∧ ~vrel + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) Y agrupando: ~a1 = ~a0 + ~arel + w ~˙ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) + 2 w ~ ∧ ~vrel

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

146

Si consideramos ahora que el punto P se mueve solidario con los ejes m´oviles, lo cual equivale a anular la velocidad y la aceleraci´on relativas: ~vrel = ~0 y ~arel = ~0, obtendremos la aceleraci´on del punto P debida al arrastre ~as : ~as = ~a0 + w ~˙ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) La cual se corresponde exactamente con la expresi´on de la aceleraci´on de un punto de un s´olido indeformable que ya hab´ıamos determinado en el apartado 4.3.13. Sustituyendo ahora en la expresi´on de la aceleraci´on absoluta del punto P nos quedar´a: ~a1 = ~as + ~arel + 2 w ~ ∧ ~vrel Expresi´on que es an´aloga a la obtenida para las velocidades, con la particularidad que ahora aparece el t´ermino 2 w ~ ∧ ~vrel denominado aceleraci´on complementaria o de Coriolis. Atendiendo a las condiciones de nulidad del producto vectorial, este t´ermino complementario se anular´a cuando concurra alguna de estas circunstancias: 1. Que los ejes de referencia m´oviles no posean velocidad angular de rotaci´on, es decir, w ~ = ~0. Si los ejes m´oviles s´olo tienen movimiento de traslaci´on, no existe aceleraci´on de Coriolis. 2. Que el punto P presente velocidad nula con respecto a la referencia m´ovil, es decir, que ~vrel = ~0 3. Que la velocidad relativa ~vrel y la rotaci´on de la referencia m´ovil w ~ sean vectores paralelos

P v rel acor

ω o

Figura 4.30: Ejemplo que pone de manifiesto la existencia de la aceleraci´on de Coriolis

Para comprender cu´al es el significado de la aceleraci´on de Coriolis pensemos en el siguiente ejemplo indicado en la Figura 4.30:

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147

Un disco gira en el plano en sentido antihorario con velocidad angular w ~ alrededor de su centro geom´etrico 0. Un punto P se mueve a lo largo de uno de los radios del mismo hacia el centro 0 con velocidad ~vrel . Este punto m´ovil ir´a pasando por puntos del disco que cada vez poseen menos velocidad generada por la rotaci´on. Esto equivale a una disminuci´on en el m´odulo de la velocidad absoluta, es decir, una aceleraci´on dirigida hacia la izquierda, lo cual como podemos comprobar coincide plenamente con el sentido obtenido en la expresi´on 2 w ~ ∧ ~v rel . En resumen, la aceleraci´on de Coriolis se produce por el hecho de que el punto m´ovil atraviesa en su recorrido por la referencia m´ovil un campo de velocidades de arrastre no uniforme. As´ı, la aceleraci´on de Coriolis no es ya un t´ermino inesperado, sino perfectamente previsible y necesario.

4.4.6. Efecto de la rotaci´on de la Tierra Para el movimiento de un punto P que tiene lugar en la superficie terrestre normalmente se utilizar´a una referencia ligada a la misma. Pero sabemos que la Tierra no es fija, por lo que todo movimiento referido a ella ser´a un movimiento relativo, y as´ı las velocidades y aceleraciones que observemos ser´an relativas. Entonces, la ecuaci´on: ~a1 = ~as + ~arel + 2 w ~ ∧ ~vrel Ser´a conveniente ponerla en la forma: ~arel = ~a1 − ~as + 2 ~vrel ∧ w ~ En donde la aceleraci´on relativa, que es la observada por nosotros, aparece en funci´on de la absoluta, de la de arrastre y de la de Coriolis, cambiadas estas dos u´ ltimas de signo. En primer lugar, ~a1 es la aceleraci´on absoluta del punto P generada por una acci´on exterior. Si este punto material est´a aislado de toda acci´on exterior que no sea la atracci´on gravitatoria de la Tierra, ~a1 = ~g0 , siendo un vector en direcci´on radial y dirigido hacia el centro de la Tierra. ( Ver la Figura 4.31 ) La aceleraci´on de arrastre ser´a generada por el movimiento terrestre de rotaci´on alrededor de su eje. La trayectoria de arrastre ser´a un paralelo terrestre, por lo que esta aceleraci´on ser´a un vector contenido en el plano del paralelo, y dirigido hacia el eje de rotaci´on ( aceleraci´on centr´ıpeta ). Su m´odulo ser´a: |~as | = (w 2 R cos λ) En donde R es el radio de la Tierra, y λ la latitud del lugar. La aceleraci´on de arrastre cambiada de signo, ser´a este mismo vector pero dirigido en sentido contrario ( aceleraci´on centr´ıfuga ). ( Ver la Figura 4.32 )

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148

ω

go

P

λ

Figura 4.31: Aceleraci´on absoluta generada por la acci´on gravitatoria

− as


P

ω


λ

Figura 4.32: Aceleraci´on de arrastre cambiada de signo

Podemos efectuar una descomposici´on de este vector seg´un una direcci´on radial, vertical para el lugar, y una direcci´on tangente al meridiano del lugar, contenida en el plano del horizonte del lugar y en la direcci´on del meridiano. Los m´odulos de estas componentes ser´an: Vertical: (w 2 R cos2 λ) Su valor es nulo en los Polos y m´aximo en el Ecuador. Tiende a restar a la aceleraci´on absoluta ~g0 . Horizontal en la direcci´on del meridiano: (w 2 R cos λ senλ) Su valor es nulo en los Polos y en el Ecuador. Tiende a llevar al punto al Sur en el hemisferio norte, y al Norte en el hemisferio sur. 1. Si el punto estuviese inm´ovil sobre la Tierra, en ese caso ~vrel = ~0 y entonces podr´ıamos simplemente plantear: ~arel = ~a1 − ~as + 2 ~vrel ∧ w ~ = ~g0 − ~as = ~g

( Ver la Figura 4.33 )

Dado el valor variable de −~as con la latitud λ, observamos como la aceleraci´on ~g

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149

con que la Tierra atrae a los cuerpos no es constante para todos los puntos de la superficie terrestre. En geodesia se suele emplear la siguiente F´ormula:

P

ω

− as

go

λ

g −a

Figura 4.33: Aceleraci´on ~g con que la Tierra atrae a los cuerpos

|~g | = 9, 80629 (1 − 0, 002637 · cos 2λ − 0, 000000315 · h) [m/s 2 ] En donde λ es la latitud y h es la altitud expresada en metros. En las aplicaciones pr´acticas m´as usuales esta influencia del arrastre sobre la acci´on gravitatoria es considerada despreciable 2. Si por el contrario el punto estuviese en movimiento sobre la superficie terrestre, es decir su ~vrel 6= ~0, aparecer´ıa entonces el sumando correspondiente a la aceleraci´on de Coriolis. Consideremos estos dos posibles movimientos: El punto P se mueve en la direcci´on vertical del lugar. ( Radial para la esfera terrestre ) Como observamos en la Figura 4.34 atendiendo a a la reglas del producto vectorial, el t´ermino (2 ~vrel ∧ w) ~ , es decir, la aceleraci´on de Coriolis con el signo cambiado, desviar´a la trayectoria vertical del punto hacia el Este o hacia el Oeste seg´un que el sentido sea descendente o ascendente. El punto P se mueve en un plano horizontal. Descomponemos la velocidad angular de rotaci´on w ~ de la Tierra en dos componentes, una radial, correspondiente a la vertical del lugar, w ~ v , y otra sobre el plano horizontal del lugar, en la direcci´on del meridiano w ~ h . ( Ver la Figura 4.35 )

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150

v rel

v rel

ω

ω 2 v rel ∧ ω 2 v rel ∧ ω

λ

λ

Figura 4.34: Movimiento en la vertical del lugar, descendente y ascendente ω


ωh


λ

ωv


λ

Figura 4.35: Descomposici´on de la velocidad angular de rotaci´on de la Tierra

w ~ =w ~v + w ~h

En donde: |w ~ v | = w · sen λ

|w ~ h | = w · cos λ

Podremos expresar entonces la aceleraci´on de Coriolis cambiada de signo como: 2 ~vrel ∧ w ~ = 2 ~vrel ∧ (w ~v + w ~ h ) = 2 ~vrel ∧ w ~ v + 2 ~vrel ∧ w ~h Considerando el movimiento del punto P en un plano horizontal y tal que el vector ~vrel forma un a´ ngulo α con la direcci´on Este, pasamos a efectuar un an´alisis de la actuaci´on de los dos sumandos en que ha quedado descompuesta la aceleraci´on de Coriolis cambiada de signo. ( Ver la Figura 4.36 ) En esta Figura 4.36 observamos que (2 ~vrel ∧ w ~ v ) es un vector que estar´a contenido en el plano horizontal del lugar, cuyo m´odulo vale (2 vrel wv sen 90o ) = (2 vrel w sen λ) y que estar´a dirigido hacia la derecha del movimiento si nos encontramos en el hemisferio Norte, y hacia la izquierda si nos encontramos en el hemisferio Sur, ya que en este caso, w ~ v ser´ıa un vector entrante en el plano del horizonte del lugar.

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151

ω ωv N

λ ωh O

α

v rel E

S

Figura 4.36: Movimiento de un punto en el plano horizontal del lugar

Vemos tambi´en que su valor en m´odulo es independiente de la direcci´on del movimiento para un lugar geogr´afico dado, y que es funci´on de la latitud del lugar y del valor de la velocidad relativa. Su efecto ser´a provocar una desviaci´on lateral a la derecha en el hemisferio Norte, y hacia la izquierda en el hemisferio Sur. Por otra parte, (2 ~vrel ∧ w ~ h ) es un vector ortogonal al plano horizontal del lugar, es decir, con direcci´on seg´un la vertical, cuyo m´odulo ser´a [2 v rel wh sen (90o − α)] = (2 vrel w cos λ cos α) y estar´a dirigido en direcci´on saliente al plano horizontal si (− π2 < α < π2 ), y por el contrario, estar´a dirigido en direcci´on entrante al plano horizontal si ( π2 < α < 32π ). Su efecto ser´a sustraer o incrementar el valor de la gravedad seg´un la orientaci´on del movimiento. La acci´on de la aceleraci´on de Coriolis cambiada de signo sobre el movimiento de los cuerpos sobre la esfera terrestre se denomina Efecto geostro´ fico.

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152

4.5. Movimiento plano-paralelo 4.5.1. Definici´on y generalidades Diremos que un sistema indeformable est´a animado de un movimiento plano-paralelo si existe un plano de puntos del sistema que se mantiene constantemente coincidente consigo mismo a lo largo de la evoluci´on del movimiento en el tiempo. Como consecuencia, las velocidades de todos los puntos del sistema indeformable pertenecientes a ese plano, son vectores contenidos en el mismo. En efecto: Si la velocidad de un punto P , contenido en ese plano π, ~vP , no estuviera contenida en e´ l, admitir´ıa una descomposici´on sobre el plano π y en la direcci´on perpendicular a e´ l. Esta u´ ltima componente indicar´ıa que el punto P abandona el plano π, lo cual est´a contra la hip´otesis definitoria del movimiento. Por lo tanto, las trayectorias de todos los puntos del plano π, son curvas planas contenidas en el mismo. El eje instant´aneo de rotaci´on es perpendicular en todo momento al plano π. En efecto: Observando la Figura 4.37 consideraremos: Sean P y A dos puntos pertenecientes al sistema material y contenidos en el plano π. Podremos expresar: −→ ~vP = ~vA + w ~ ∧ AP = ~vA + w ~ ∧ ~r ω π

P r A

vP vA

Figura 4.37: El eje instant´aneo de rotaci´on es ortogonal al plano π

Como ~vP y ~vA son vectores contenidos en el plano π, el vector (w ~ ∧ ~r) tambi´en estar´a contenido en π. Como por otra parte (w ~ ∧ ~r) es ortogonal a w ~ y ~r, y ~r est´a contenido en π, se deduce que w ~ es ortogonal al plano π. Por tanto, el eje instant´aneo de rotaci´on es ortogonal en todo instante al plano π.

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153

Pensemos ahora en otro punto B del sistema indeformable contenido en la perpendicular al plano π por el punto A; y sea π 0 el plano paralelo al π que contiene a este punto B. ( Ver la Figura 4.38. )

π′ B

vB

ω π

A

vA

Figura 4.38: Velocidades iguales en puntos situados en normales al plano π

Podremos expresar: −→ ~vB = ~vA + w ~ ∧ AB −→ Pero w ~ ∧ AB = ~0 por ser ambos vectores colineales. Por tanto: ~vB = ~vA Lo que indica que las velocidades de los puntos pertenecientes a rectas perpendiculares al plano π son id´enticas, y que si existe un plano que coincide consigo mismo durante todo el movimiento, esta propiedad tambi´en la tendr´an una infinidad de planos paralelos a e´ l. Bastar´a por tanto, con estudiar el movimiento en uno de esos planos del haz de planos paralelos, al que denominaremos plano director, ya que el movimiento se reproduce en forma id´entica a s´ı mismo en todos los planos del haz.

4.5.2. Centro instant´aneo de rotaci´on. Base y ruleta Al ser la velocidad de cualquier punto del sistema material ortogonal a la velocidad instant´anea de rotaci´on w, ~ el invariante cinem´atico (~v · w) ~ se anula, por tratarse de vectores ortogonales. As´ı mismo, la velocidad de deslizamiento m´ınimo v d = P royw~ ~v se anular´a tambi´en. Por tanto, el movimiento plano-paralelo es de los clasificados como de 2 a clase en la clasificaci´on que efectuamos en el apartado 4.3.9. siempre que w ~ 6= ~0.

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154

El movimiento plano-paralelo ser´a entonces una rotaci´on pura alrededor del eje instant´aneo de rotaci´on siempre que w ~ 6= ~0. Los axoides son dos cilindroides de generatrices perpendiculares al plano director. ( Ver Figura 4.39 ) Axoide Fijo Axoide Movil

Eje Instantaneo de Rotacion

Polar Fija (Base) P

π

Polar Movil (Ruleta )

Figura 4.39: Axoides en el movimiento plano-paralelo

El movimiento se podr´a materializar entonces en una rodadura sin deslizamiento, por ser vd = 0, del axoide m´ovil sobre el fijo, siendo en cada instante la generatriz com´un de tangencia entre ambos axoides el eje instant´aneo de rotaci´on. La intersecci´on de ambos axoides con el plano director, determina las denominadas curvas polares; la polar fija o base, y la polar m´ovil o ruleta. Ambas son tangentes en el punto P , que es la intersecci´on del eje instant´aneo de rotaci´on con el plano director π, denominado centro instant´aneo de rotaci´on, o centro de velocidades. Este punto en ese instante tiene velocidad nula. El movimiento puede materializarse ahora en el plano director como la rotaci´on sin deslizamiento de la polar m´ovil o ruleta, solidaria con el sistema material, sobre la polar fija o base.

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155

4.5.3. Distribuci´on de las velocidades en el movimiento plano-paralelo Estudiando el movimiento plano-paralelo en un plano director, consideramos en un instante dado la base y la ruleta, tangentes en el centro instant´aneo de rotaci´on P . ( Ver Figura 4.40 ) La velocidad de un punto cualquiera M del sistema material y contenido en el plano director ser´a: ~vM = ~vP + w ~ ∧ ~r Pero como sabemos: ~vP = ~0; luego: ~vM = w ~ ∧ ~r Tal y como se deduce del producto vectorial, el vector ~vM es perpendicular a ~r y est´a contenido en el plano director, su sentido depender´a del de la rotaci´on w, ~ y dado que w ~ y ~r son vectores perpendiculares, su m´odulo ser´a: |~vM | = |w| ~ · |~r | · sen 90o = |w| ~ · |~r | Lo que nos indica que: Dentro del plano director del movimiento plano-paralelo, la velocidad de un punto del sistema material, es un vector perpendicular al vector de posici´on del punto trazado desde el centro instant´aneo de rotaci´on, y su m´odulo es proporcional a su distancia a dicho centro P . Con esto, la distribuci´on de las velocidades nos quedar´a tal y como se encuentra expresada en la Figura 4.40. M vM R

P B

Figura 4.40: Distribuci´on de las velocidades en el movimiento plano-paralelo

Se deduce entonces que si conoci´eramos la direcci´on de las velocidades de dos puntos del sistema indeformable se podr´ıa determinar la posici´on del centro instant´aneo de rotaci´on P , sin m´as que trazar por los puntos sendas rectas ortogonales a las mismas, siendo el centro instant´aneo de rotaci´on el punto de intersecci´on de ambas rectas. Si adem´as se conociera

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156

el valor del m´odulo de una de ellas se podr´ıa determinar w, y por tanto, la velocidad de cualquier otro punto del sistema material. ( Ver Figura 4.41 ) vB B vA

A

P

Figura 4.41: Determinaci´on del centro instant´aneo de rotaci´on P

w=

|~vA | |~vB | = PA PB

La direcci´on del vector w ~ es evidentemente ortogonal al plano director, y su sentido viene dado por el de el giro que efect´uan los vectores velocidad frente al punto P . Casos particulares: Las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del s´olido indeformable son paralelas, y los puntos A y B no est´an alineados seg´un una direcci´on ortogonal a las mismas. En este caso, las ortogonales por A y B a las direcciones de las velocidades resultan ser dos rectas paralelas ( Ver Figura 4.42 ), y su punto de corte P se encuentra en el infinito. El sistema se encuentra en ese instante en traslaci´on, y las velocidades de todos sus puntos son iguales. En efecto: w=

|~vB | |~vA | |~vB | |~vA | = = = =0 PA PB ∞ ∞

Recordemos que en la traslaci´on, el campo de las velocidades es uniforme.

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157

vA

A

vB

B

P⇒∞

Figura 4.42: Velocidades paralelas en puntos no alineados en la ortogonal a las mismas

Las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B del s´olido indeformable son paralelas, y los puntos A y B est´an alineados seg´un una direcci´on ortogonal a las mismas. En este caso, las ortogonales por A y B a las direcciones de las velocidades resultan ser dos rectas coincidentes ( Ver Figura 4.43 ). Para romper la indeterminaci´on en la determinaci´on de P se unen los extremos de los vectores ~v A y ~vB , dibujados a escala, y la intersecci´on de esta recta con la que une A y B determina P , ya que as´ı se cumple que : |~vB | |~vA | = =w PA PB




vA

A




B

vB

P

Figura 4.43: Velocidades paralelas en puntos alineados en la ortogonal a las mismas

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158

4.5.4. Velocidad de cambio de polo A lo largo del transcurso del movimiento en el tiempo, la posici´on del centro instant´aneo de rotaci´on se ir´a trasladando sobre la polar fija. A su velocidad en un instante dado en este movimiento la denominaremos velocidad de cambio de polo ~v s . N´otese que esta velocidad no tiene nada que ver con la velocidad del punto P como perteneciente al sistema indeformable, que como sabemos en todo instante es nula. En un instante dado, las polares base y ruleta son tangentes en el punto P . Al cabo de un tiempo dt el nuevo centro instant´aneo ser´a el punto del s´olido P 10 que habr´a pasado a ocupar la posici´on P1 sobre la polar fija o base, con lo que al movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, habr´a supuesto el giro de un a´ ngulo dθ. Los puntos C B y CR son los centros de curvatura de la base y la ruleta, siendo RB y RR sus radios de curvatura. ( Ver Figura 4.44 ) CR

RR R

dϕ R

dθ P′1

P B

dϕ B

P1

vs

RB

CB

Figura 4.44: Velocidad de cambio de polo

El m´odulo de la velocidad de cambio de polo ser´a: P P1 ∆t→0 ∆t

vs = l´ım

El vector ~vs ser´a en todo momento tangente a la base, ya que e´ sa es la trayectoria que recorre el polo a lo largo del desarrollo del movimiento. Por otra parte, seg´un vemos en la Figura 4.44: dθ = dϕB + dϕR

(4.7)

Puesto que en un tri´angulo, un a´ ngulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no ayadcentes.

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159

Como la ruleta rueda sobre la base sin deslizamiento, los elementos de arco sobre ambas curvas ser´an iguales, es decir: Pd P1 = Pd P 01 = RB · dϕB = RR · dϕR

(4.8)

Dividiendo por dt la expresi´on 4.7: dθ dϕB dϕR = + dt dt dt Teniendo en cuenta 4.8: w=

RB · dϕB RR · dϕR vs vs + = + RB · dt RR · dt RB RR

Y de aqu´ı: vs = w ·

RB · RR RB + R R

Expresi´on que nos permite determinar la velocidad de cambio de polo v s en funci´on de la rotaci´on w y de los radios de curvatura de base y ruleta. Existe el denominado procedimiento gr´afico de Hartmann que permite determinar la velocidad de cambio de polo si se conocen las velocidades y las trayectorias, es decir, los radios de curvatura de las mismas, de dos puntos del sistema.

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160

4.5.5. Distribuci´on de las aceleraciones en el movimiento plano-paralelo. Centro instant´aneo de aceleraciones Determinaremos la aceleraci´on de un punto M perteneciente a un sistema material indeformable con movimiento plano-paralelo derivando la expresi´on de su velocidad a partir del punto P , centro instant´aneo de velocidades. Utilizaremos unas coordenadas polares cuyo polo es el centro instant´aneo de velocidades P , y como eje origen de a´ ngulos, la tangente com´un a base y ruleta orientada por el sentido de la velocidad de cambio de polo ~vs . El punto M tendr´a entonces definida su posici´on en el plano director por las coordenadas polares (r, ϕ). ( Ver Figura 4.45 ) ϕ

− ω ∧ vs M

ξ ∧r

O

−ω 2r

R

r

P

ϕ

ω

vs

B

Figura 4.45: Aceleraci´on del punto M Velocidad del punto M : ~vM = w ~ ∧ ~r Obtendremos su aceleraci´on derivando: d~vM dw ~ d~r = ∧ ~r + w ~∧ dt dt dt −→ − → Pero ~r = 0M − 0P ; siendo 0 un punto arbitrario fijo.

~aM =

−→ − → d~r d0M d0P = − = ~vM − ~vs dt dt dt

Sustituyendo este valor en la expresi´on de la aceleraci´on de M : ~aM = ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ ~vM − w ~ ∧ ~vs = ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) − w ~ ∧ ~vs = ξ~ ∧ ~r − |w| ~ 2 · ~r − w ~ ∧ ~vs Sobre cada uno de estos sumandos podremos indicar: ~ r ) es un vector perpendicular a ~r y por tanto tangente a la trayecEl primer t´ermino (ξ∧~ toria del punto M . Representa la aceleraci´on tangencial del punto M en su rotaci´on alrededor del punto P .

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161

El segundo t´ermino (−|w| ~ 2 · ~r) es normal a la trayectoria de M , y est´a dirigido hacia P . Representa la aceleraci´on normal de M en su movimiento alrededor de P . Estos dos t´erminos son funciones lineales de la distancia de P a M , anul´andose por tanto cuando ~r = ~0. ( Ver Figura 4.46 ) El u´ ltimo t´ermino (−w ~ ∧ ~vs ) es constante en todos los puntos, pues no depende de ~r. Representa la aceleraci´on del centro instant´aneo de rotaci´on P , ya que en este punto se anulan los dos primeros t´erminos.

− ω ∧ vs

ξ ∧r −ω 2r R

P

ω

B

Figura 4.46: Distribuci´on de las aceleraciones en torno a P en el movimiento plano-paralelo

En resumen, podr´ıamos expresar que: ~aM = ~aP + ~aM Pτ + ~aM Pη Proyectando ahora la aceleraci´on del punto M sobre las direcciones tangente y normal a la trayectoria, obtendr´ıamos las componentes intr´ınsecas: aτ = ξ · r − w · vs · cos ϕ aη = −w 2 · r + w · vs · sen ϕ Veamos si existe alg´un punto en el cual la aceleraci´on es nula, lo que implicar´ıa que sus componentes deber´an ser as´ı mismo nulas. Plantearemos por tanto: (

ξ · r − w · vs · cos ϕ = 0 −w 2 · r + w · vs · sen ϕ = 0

⇒

(

ξ · r = w · vs · cos ϕ w 2 · r = w · vs · sen ϕ

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162

Sistema de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, ϕ y r cuya soluci´on es:

ϕ = arc tg

w2 ξ

r=√

w · vs aP =√ 4 4 2 w +ξ w + ξ2

Las cuales son las coordenadas polares en la referencia definida de un cierto punto Q, que denominaremos centro instant´aneo de aceleraciones, el cual es un punto del sistema indeformable cuya aceleraci´on es nula en un instante dado. La aceleraci´on de un punto cualquiera del sistema M , vendr´a expresada en funci´on de la de otro punto del mismo 0, seg´un la expresi´on general ya vista: ~aM = ~a0 + ξ~ ∧ ~r + w ~ ∧ (w ~ ∧ ~r) = ~a0 + ~aM 0τ + ~aM 0η = ~a0 + ~aM 0 Si consideramos como polo 0 el punto Q, centro instant´aneo de aceleraciones, el cual presenta aceleraci´on nula, podremos expresar la aceleraci´on del punto M como: −−→ −−→ ~aM = ~aQ + ~aM Q = ~aM Q = ~aM Qτ + ~aM Qη = ξ~ ∧ QM − |w| ~ 2 · QM Observando la Figura 4.47 deducimos que: −−→ 1. El a´ ngulo µ que forma el vector QM con la aceleraci´on del punto M es constante para todos los puntos del sistema indeformable: −→ ~ ~ · |− |ξ| |ξ| QM | = tg µ = −−→ |w| ~2 |w| ~ 2 · |QM | 2. El m´odulo de la aceleraci´on de un punto M del sistema indeformable es proporcional −−→ a la distancia |QM | que lo separa del centro instant´aneo de aceleraciones. En efecto: −→ −−→ ~ 2 · |− |~aM |2 = |ξ| QM |2 + |w| ~ 4 · |QM |2 −−→ Esto es: |~aM | = |QM | ·

q

~ 2 + |w| |ξ| ~4

=⇒

|~aM | =

q

−→ −−→ ~ 2 · |− |ξ| QM |2 + |w| ~ 4 · |QM |2

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163

M − ω 2 QM

µ aM

ξ ∧ QM

Q

ξ

Figura 4.47: Disposici´on de la aceleraci´on del punto M frente al centro de aceleraciones Q

4.5.6. Circunferencias de las inversiones y de las inflexiones Recordamos que las componentes tangencial y normal de la aceleraci´on de un punto M perteneciente a un sistema indeformable en movimiento plano-paralelo son: aτ = ξ · r − w · vs · cos ϕ aη = −w 2 · r + w · vs · sen ϕ En donde r es la distancia del punto M al centro instant´aneo de rotaci´on P , y ϕ es el a´ ngulo que forma el vector ~r con la direcci´on del vector velocidad de cambio de polo ~v s . Definimos Circunferencia de las inversiones como el lugar geom´etrico de los puntos pertenecientes al sistema indeformable y al plano director tales que poseen aceleraci´on tangencial nula. Aplicando esta condici´on obtendremos: 0 = ξ · r − w · vs · cos ϕ

=⇒

r=

w · vs cos ϕ ξ

Ecuaci´on que en el sistema referencial de coordenadas polares elegido, representa efectis vamente una circunferencia de di´ametro ( w·v ), que tiene su centro en la direcci´on de la ξ tangente com´un base-ruleta y que pasa por el punto P . ( Ver la Figura 4.48 ) En los puntos de esta circunferencia el vector aceleraci´on es ortogonal al vector velocidad. Definimos ahora Circunferencia de las inflexiones como el lugar geom´etrico de los puntos pertenecientes al sistema indeformable y al plano director tales que poseen aceleraci´on normal nula.

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164

A a A = aηA R

r

vA

ϕ vs

P B

ω vS ξ

Figura 4.48: Circunferencia de las inversiones

Aplicando esta condici´on obtendremos: 0 = −w 2 · r + w · vs · sen ϕ

=⇒

vs sen ϕ w

r=

Expresi´on que representa la ecuaci´on en polares de una circunferencia, la cual tiene como di´ametro ( vws ), su centro est´a en la direcci´on normal a la tangencia entre base y ruleta, y que pasa por el punto P . ( Ver la Figura 4.49 )

A

vS ω

a A = aτA


r







vA

R

ϕ


P

vs

B

Figura 4.49: Circunferencia de las inflexiones

En los puntos de esta circunferencia la velocidad y la aceleraci´on son vectores colineales. La intersecci´on de estas dos circunferencias ser´a un punto en el que se anulan simult´aneamente las aceleraciones normal y tangencial, y por tanto el vector aceleraci´on. Dicho punto ser´a evidentemente el centro instant´aneo de aceleraciones Q. El otro punto de intersecci´on ser´a el P , centro instant´aneo de velocidades, en el cual no se anula la aceleraci´on por ser un punto singular al ser en e´ l r = 0.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

165

4.5.7. Cinema de velocidades Sea un sistema indeformable animado de un movimiento plano-paralelo cuyo centro instant´aneo de rotaci´on es P , y sean ~vA , ~vB y ~vC las velocidades de tres puntos del mismo A, B y C. ( Ver la Figura 4.50 ) vC

P

vB

C

B

A vA

Figura 4.50: Velocidades en un sistema indeformable con movimiento plano-paralelo Desde un punto cualquiera 0 del plano, trazaremos vectores equipolentes a los vectores velocidad ~vA , ~vB y ~vC . Sean a, b y c los extremos de estos vectores. Obtendremos as´ı el denominado cinema de velocidades cuyo polo es el punto 0, representado en la Figura 4.51. b c




vC


vB O




vA

a

Figura 4.51: Cinema de velocidades A cada punto M del sistema m´ovil le corresponde otro punto m del cinema tal que: −→ ~vM ≡ 0m La correspondencia entre los puntos del sistema m´ovil y los del cinema es una proyectividad en la que el hom´ologo de cada punto M es el m seg´un hemos indicado, siendo el hom´ologo del centro instant´aneo de rotaci´on P el polo del cinema 0.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

166

Los tri´angulos formados por tres puntos cualesquiera del sistema indeformable m´ovil y por sus hom´ologos del cinema son semejantes con una raz´on de semejanza w. En efecto: vA = w · P A = 0a vB = w · P B = 0b vC = w · P C = 0c Despejando en todas ellas w e identificando: w=

0a 0b 0c = = PA PB PC

Y como P A es perpendicular a 0a, P B es perpendicular a 0b, y P C es perpendicular a 0c, resulta que existe una semejanza entre los tri´angulos y tambi´en entre los cuadril´ateros, ya que un cuadril´atero siempre se puede descomponer en la suma de dos tri´angulos. As´ı por ejemplo, el tri´angulo ABC es semejante al tri´angulo abc, y el cuadril´atero P ABC lo es al 0abc. La figura del cinema aparece adem´as girada 90o con respecto a la figura del sistema m´ovil en el sentido de la rotaci´on w. ~ Por medio del cinema se puede determinar gr´aficamente la velocidad de cualquier punto del sistema, si conocemos previamente las velocidades de otros dos puntos del mismo. El cinema de velocidades nos permite tambi´en determinar las velocidades relativas entre puntos del mismo sistema material. En efecto, la velocidad relativa de A con respecto de B ser´ıa: − → − → − → ~vA/B = ~vA − ~vB = 0a − 0b = ba → − El vector ba que une los puntos b y a del cinema de velocidades representa la velocidad de A con respecto de B.

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

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4.5.8. Cinema de aceleraciones Sea un sistema indeformable animado de un movimiento plano-paralelo cuyo centro instant´aneo de aceleraciones es Q , y sean ~aA , ~aB y ~aC las aceleraciones de tres puntos del mismo A, B y C. ( Ver la Figura 4.52 ) C

µ

aC

B

A

µ

aB

µ

aA

Q

Figura 4.52: Aceleraciones en un sistema indeformable con movimiento plano-paralelo Desde un punto 00 cualquiera del plano trazamos vectores equipolentes a los vectores aceleraci´on ~aA , ~aB y ~aC . Sean a0 , b0 y c0 los extremos de estos vectores. Se obtiene as´ı el denominado cinema de aceleraciones, representado en la Figura 4.53, siendo 0 0 el polo de este cinema. a′




aA O′




aC




aB b′

c′

Figura 4.53: Cinema de aceleraciones A cada punto M del sistema m´ovil le corresponde otro punto m0 del cinema tal que: −−→ ~aM = 00 m0 La correspondencia entre los puntos del sistema m´ovil y los del cinema es una proyectividad en la que el hom´ologo de cada punto M es el m0 seg´un hemos indicado, siendo el hom´ologo del centro instant´aneo de aceleraci´on Q el polo del cinema 00 . Los tri´angulos formados por tres puntos del sistema indeformable m´ovil y por√ sus hom´ologos del cinema de aceleraciones son semejantes, siendo la raz´on de semejanza ξ 2 + w 4 .

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

aA = QA

√

aB = QB

√

aC = QC

√

168

ξ 2 + w 4 = 0 0 a0 ξ 2 + w 4 = 0 0 b0

ξ 2 + w 4 = 0 0 c0

Despejando en todas ellas q

ξ 2 + w4 =

√

ξ 2 + w 4 e identificando:

00 a0 0 0 b0 0 0 c0 = = QA QB QC

Lo cual demuestra lo enunciado. Por otra parte, los a´ ngulos que forman 00 a0 con QA, 00 b0 con QB, y 00 c0 con QC son todos ellos iguales, y de valor : µ =arc tg

ξ w2

El tri´angulo ABC de los puntos del sistema indeformable m´ovil y el a 0 b0 c0 del cinema de aceleraciones est´an girados uno con respecto al otro un a´ ngulo µ. An´alogamente al cinema de velocidades, es posible en este caso determinar las aceleraciones relativas entre dos puntos A y B : −→ −→ −→ ~aA/B = ~aA − ~aB = 00 a0 − 00 b0 = b0 a0 Visto todo esto, un m´etodo gr´afico muy sencillo para determinar el centro instant´aneo de aceleraciones de un sistema indeformable en movimiento plano-paralelo del que se conocen las aceleraciones de dos puntos del mismo ser´ıa el siguiente: Sean ~aA y ~aB las aceleraciones de dos puntos del sistema indeformable: ( Ver la Figura 4.54 )

A

B

aA

µ

µ

aB

Q

Figura 4.54: Aceleraci´on en dos puntos y centro instant´aneo de aceleraciones Q

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169

Construimos ahora el cinema de aceleraciones: ( Ver la Figura 4.55 ) O′

aA aB

a′

b′

Figura 4.55: Cinema de aceleraciones

Todo lo que habr´a que hacer ahora es construir sobre el sistema indeformable en movimiento ( Sobre la Figura 4.54 ) un tri´angulo ABQ semejante al a0 b0 00 . El punto Q as´ı determinado es el hom´ologo del 00 del cinema. Pudiera darse el caso de que s´olo conoci´eramos la aceleraci´on de uno de los puntos del sistema, por ejemplo del A, y de otro punto del mismo, el B, que conoci´eramos su trayectoria, o lo que es lo mismo, su radio de curvatura ρ en ese instante. Se nos supone as´ı mismo, en conocimiento del cinema de velocidades, y por tanto, de todas las velocidades de los puntos del sistema indeformable. La forma de proceder ser´ıa la siguiente: Dado que los puntos A y B pertenecen al mismo sistema indeformable podemos plantear: ~aB = ~aA + ~aB/A = ~aA + ~aB/Aη + ~aB/Aτ Como conocemos la trayectoria del punto B, su aceleraci´on se puede expresar como: ~aB = ~aBη + ~aBτ En estas ecuaciones: ~aA : Es dato conocido. ~aB/Aη : Es un vector dirigido de B hacia A, y cuyo m´odulo es

2 vB/A

BA

~aB/Aτ : Es un vector ortogonal al anterior, de m´odulo desconocido por el momento. ~aBη : Es un vector dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria del punto B, y cuyo m´odulo es

2 vB ρ

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170

~aBτ : Es un vector ortogonal al anterior, y de m´odulo desconocido por el momento. Con estas dos ecuaciones se puede realizar una composici´on gr´afica tal y como se indica en la Figura 4.56. Como resultado de esta composici´on se obtiene la aceleraci´on del punto B, ~aB ; la aceleraci´on tangencial de B, ~aBτ ; y la aceleraci´on tangencial de B con respecto de A, ~aB/Aτ . Esta u´ ltima nos permitir´ıa determinar la aceleraci´on angular ξ~ del sistema indeformable. Trayectoria del punto B aB / A η

A

B aBη

aB

Dirección de la a B τ

aB τ

ρ aB / A τ

aA

aA

aB / A η Dirección de la a B / A τ

CB

Figura 4.56: Composici´on gr´afica de la aceleraci´on en el punto B Una vez determinada la aceleraci´on del punto B, ~aB ; ya estamos en las condiciones anteriores que nos permiten determinar el centro instant´aneo de aceleraciones Q del sistema indeformable al que pertenecen los puntos A y B. Por u´ ltimo, veremos un procedimiento exclusivamente gr´afico que nos permite determinar la aceleraci´on normal de un punto M conociendo el centro de curvatura de de su trayectoria CM , y su velocidad ~vM . Bastar´a para ello efectuar la construcci´on gr´afica indicada en la Figura 4.57: Se construye una circunferencia con centro en la mitad de M y CM . Con centro en M se traza un arco cuyo radio sea el m´odulo de ~vM . Se proyecta el punto de intersecci´on de la circunferencia y el arco sobre M CM . El vector con origen en M y extremo en la proyecci´on obtenida es el vector aceleraci´on normal de M , ~aMη . La demostraci´on de la validez de este procedimiento gr´afico es simple. Basta con aplicar el teorema del cateto para los tri´angulos rect´angulos, que nos indica que un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyecci´on sobre la misma. ( Ver la Figura 4.58 ) En efecto, aplicando dicho teorema: 2 vM = M C M · a Mη

⇒

a Mη =

2 vM v2 = M M CM ρ

Procediendo de forma an´aloga se obtendr´ıa la aceleraci´on normal de B con respecto de A, ~aB/Aη . ( Ver la Figura 4.59 )

´ ´ CAPITULO 4. CINEMATICA

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M a Mη

vM

CM

Figura 4.57: M´etodo gr´afico para la determinaci´on de la aceleraci´on normal de M

M

a Mη

vM MC M = ρ

CM

Figura 4.58: Teorema del cateto

En este caso, se ha tenido que utilizar ~vB/A , la cual se puede obtener a partir del cinema de velocidades.

B


aB / A η




vB/ A

A

Figura 4.59: M´etodo gr´afico para la determinaci´on de la aceleraci´on normal de B con respecto de A