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Cap´ıtulo 9 EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD 9.1
Los postulados de la Relatividad
Hemos visto que las ideas cl´ asicas de espacio y tiempo conduc´ıan a dos conclusiones: 1.- La leyes de la Mec´anica Newtoniana se cumplen en una familia completa de sistemas de referencia, cada uno de los cuales se mueve uniformemente respecto a cualquier otro. 2.- S´olo puede haber un sistema de referencia en el cual la luz viaja a la misma velocidad c en todas las direcciones (y, m´as generalmente, en las que todas las leyes del Electromagnetismo son v´alidas). El experimento de Michelson-Morley y otros numerosos experimentos en los u ´ ltimos cien a˜ nos han mostrado que la segunda conclusi´on es falsa. La luz viaja con velocidad c en todas las direcciones en muchos sistemas de referencia diferentes. La teor´ıa de la Relatividad Especial de Einstein est´a basada en la aceptaci´on de este hecho. Einstein propuso dos postulados, o axiomas, expresando su convicci´on de que todas las leyes f´ısicas, incluyendo Mec´anica y Electromagnetismo, deber´ıan ser v´alidas en una familia completa de sistemas de referencia. A partir de estos dos postulados ´el desarroll´o su Teor´ıa Especial de la Relatividad. Antes de establecer los dos postulados de la Relatividad es conveniente ampliar la definici´on de un sistema inercial. Un sistema inercial es cualquier sistema de referencia (es decir, sistema de coordenadas x,y,z y tiempo t) donde se cumplen todas las leyes de la F´ısica en su forma m´as simple. N´otese que a´ un no hemos dicho qu´e son “todas las leyes de la F´ısica”; en gran parte Einstein us´o sus postulados para deducir cu´ales pod´ıan ser las leyes correctas de la F´ısica. Resulta que una de las leyes que sobrevive de la F´ısica Cl´asica a la Relatividad es la primera ley de Newton. As´ı, nuestros recientemente definidos sistemas inerciales son de hecho los familiares sistemas “desacelerados”, donde un 137
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CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
cuerpo sobre el que no act´ ua ninguna fuerza se mueve con velocidad constante. Como antes, un sistema de referencia ligado a la Tierra es un sistema inercial (hasta el grado en que ignoremos las peque˜ nas aceleraciones debidas a la rotaci´on de la Tierra y al movimiento orbital); un sistema de referencia ligado a una mesa giratoria rotando r´apidamente no es un sistema inercial. N´otese tambi´en que al definir un sistema inercial hemos especificado que las leyes de la F´ısica deben cumplirse “en su forma m´as simple”. Esto es porque uno puede algunas veces modificar las leyes f´ısicas de modo que se cumplan tambi´en en sistemas no inerciales. Por ejemplo, introduciendo una fuerza centr´ıfuga ficticia uno puede hacer que las leyes de la Est´atica sean v´alidas en un sistema rotatorio. Es para excluir este tipo de modificaci´on para lo que hemos a˜ nadido la calificaci´on “en su forma m´as simple”. El primer postulado de la relatividad afirma que hay una familia completa de sistemas inerciales: PRIMER POSTULADO DE LA RELATIVIDAD Si S es un sistema inercial y si un segundo sistema inercial S se mueve con velocidad constante respecto a S, entonces S es tambi´ en un sistema inercial. Podemos reenunciar este postulado para decir que las leyes de la F´ısica son invariantes cuando cambiamos desde un sistema de referencia a un segundo sistema que se mueve uniformemente respecto al primero. Esta propiedad es familiar en la Mec´anica Cl´asica, pero en Relatividad se postula para todas las leyes de la F´ısica, no s´olo la Mec´anica Cl´asica. El primer postulado a menudo es parafraseado como sigue: “No hay nada semejante al movimiento absoluto”. Para entender lo que significa, consid´erese un sistema S unido a un cohete movi´endose a velocidad constante respecto a un sistema S anclado a la Tierra. La cuesti´on que queremos preguntar es: ¿Hay alg´ un sentido cient´ıfico con el que podamos decir que S est´a realmente movi´endose y que S es realmente estacionario (o, quiz´as, al rev´es)? Si la respuesta fuese “S´ı”, podr´ıamos decir que S est´a en reposo absoluto y que cualquier cosa movi´endose respecto a S est´a en movimiento absoluto. Sin embargo, el primer postulado de la Relatividad garantiza que esto es imposible: Todas las leyes observables por un cient´ıfico ligado a la Tierra en S son igualmente observables por un cient´ıfico en el cohete S ; cualquier experimento que pueda ser realizado en S puede ser igualmente realizado en S . As´ı, ning´ un experimento puede mostrar que un sistema est´a realmente movi´endose. Respecto a la Tierra, el cohete est´a movi´endose; respecto al cohete, la Tierra est´a movi´endose; y esto es todo lo que podemos decir. A´ un otra forma de expresar el primer postulado es decir que entre la familia de sistemas inerciales no hay “sistema preferido”. Es decir, la F´ısica no elige un sistema inercial particular para ser de alguna manera m´as especial que cualquier otro sistema. El segundo postulado identifica una de las leyes que se cumplen en todos los
´ DEL TIEMPO 9.2. MEDICION
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sistemas inerciales: SEGUNDO POSTULADO DE LA RELATIVIDAD En todos los sistemas inerciales, la luz viaja a trav´ es del vac´ıo con la misma velocidad, c = 299792.458 m/s en cualquier direcci´ on. Este postulado es, por supuesto, la expresi´on formal del resultado de MichelsonMorley. Podemos decir brevemente que se afirma la universalidad de la velocidad de la luz c. El segundo postulado va en contra de nuestra experiencia normal. Sin embargo, es ahora un hecho experimental firmemente establecido. Cuando exploremos las consecuencias de los dos postulados de la Relatividad vamos a encontrar varios efectos inesperados que pueden ser dif´ıciles de aceptar al principio. Todos estos efectos (incluyendo el segundo postulado en s´ı mismo) tienen la peculiar propiedad de que llegan a ser importantes s´olo cuando los cuerpos viajan a velocidades razonablemente cercanas a la velocidad de la luz. Bajo condiciones normales, a velocidades terrestres, estos efectos simplemente son de magnitud despreciable. En este sentido, ninguna de las sorprendentes consecuencias de la Relatividad de Einstein contradice realmente nuestra experiencia diaria.
9.2
Medici´ on del tiempo
Antes de que comencemos a explorar las consecuencias de los postulados de la Relatividad tenemos que decir algo sobre la medici´on del tiempo. Vamos a encontrar que el tiempo de un suceso puede ser diferente cuando se mide desde diferentes sistemas de referencia. Siendo este el caso, debemos primero estar bastante seguros de que sabemos lo que queremos decir por medici´on del tiempo en un u ´ nico sistema. Est´a impl´ıcito en el segundo postulado de la Relatividad, con su referencia a la velocidad de la luz, que podemos medir distancias y tiempos. En particular, suponemos admitido que tenemos acceso a varios relojes precisos. Estos relojes no tienen que ser todos iguales; pero cuando todos son llevados al mismo punto en el mismo sistema inercial y son sincronizados deben, por supuesto, coincidir. Consideremos ahora un u ´nico sistema inercial S, con origen O y ejes OXY Z. Imaginemos una observadora sentada en O y equipada con uno de nuestros relojes. Usando su reloj, la observadora puede cronometrar f´acilmente cualquier suceso, como una peque˜ na explosi´on, en la proximidad inmediata de O, puesto que ver´a (o escuchar´a) el suceso en el momento que ocurra. Cronometrar un suceso lejos de O es m´as dif´ıcil, ya que la luz (o el sonido) del suceso tiene que viajar a O antes de que nuestra observadora pueda sentirlo. Para evitar esta complicaci´on, dejamos a nuestra observadora contratar un gran n´ umero de colaboradores, a cada uno de los cuales equipa con un reloj preciso y le asigna una posici´on fija y conocida en el sistema de coordenadas S, como se muestra en la figura 9.2. Una vez que los ayudantes est´an en posici´on, ella puede comprobar que sus relojes siguen sincronizados haciendo a cada ayudante enviar un rayo de luz en un momento
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Figura 9.1: La observadora O da a cada uno de sus ayudantes un reloj. determinado; como la luz viaja a la velocidad conocida c (segundo postulado), ella puede calcular el tiempo en el que la luz alcanza O y, por lo tanto, comprobar el estado del reloj del ayudante. Con suficientes ayudantes, estacionados lo suficientemente cerca unos de otros, podemos decir que hay un ayudante cerca de cualquier suceso para cronometrarlo, efectiva e instant´aneamente. Una vez que lo ha cronometrado puede, en su tiempo libre, informar a todos los dem´as del resultado por cualquier medio conveniente (por tel´efono, por ejemplo). De esta forma, a cada evento se le puede asignar un tiempo t, como medido en el sistema S. Cuando hablamos de un sistema inercial S siempre tendremos en mente un sistema de ejes OXY Z y un equipo de observadores que est´an estacionados en reposo a lo largo de S y equipados con relojes sincronizados. Esto nos permite hablar de la posici´on R = (x, y, z) y el tiempo t de cualquier suceso, respecto al sistema S.
9.3
La Relatividad del tiempo. tiempo
Dilataci´ on del
Estamos ahora listos para comparar medidas de tiempos hechas por observadores en dos sistemas inerciales diferentes. Para este fin imaginamos dos sistemas familiares, S (ligado a tierra) y S (ligado a un tren que se mueve a velocidad constante v respecto a tierra). Consideremos un “experimento imaginario” en el que hay un observador en reposo en el tren, sentado en el suelo del vag´on, bajo un espejo montado en el techo, que se encuentra a una altura h. Visto desde el sistema S (fijado al tren) un pulso de luz viaja directo al espejo y es reflejado al llegar a este, volviendo a su punto de partida en el suelo. Podemos imaginar una c´elula fotoel´ectrica preparada para dar un “beep” audible cuando la luz vuelve. Nuestro objetivo es averiguar el tiempo, medido en cada sistema, entre los dos sucesos: el “f lash” cuando la luz deja el suelo y el “beep” cuando vuelve. Nuestro experimento, visto desde el sistema S , se muestra en la figura 9.2. Puesto que S es un sistema inercial, la luz viaja una distancia total 2h a velocidad c. Por consiguiente, el tiempo del viaje completo es:
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Figura 9.2: Experimento visto desde el suelo del tren.
Figura 9.3: El mismo experimento visto desde tierra.
2h . (9.1) c Este es el intervalo de tiempo que un observador en el sistema S medir´a entre el “f lash” y el “beep”. El mismo experimento, visto en el sistema inercial S (tierra), se muestra en la figura 9.3. En este sistema la luz viaja a lo largo de los dos lados AB y BC del tri´angulo mostrado. Si denotamos como ∆t el tiempo del viaje completo, medido en S, el tiempo para ir desde A hasta B es ∆t/2. Durante este tiempo el tren viaja una distancia v∆t/2, y la luz, movi´endose con velocidad c, viaja una distancia c∆t/2. N´otese que es aqu´ı donde aparecen los postulados de la Relatividad; hemos tomado la velocidad de la luz como c tanto en S como en S . Las dimensiones del tri´angulo rect´angulo ABD son, por consiguiente, como se muestra en la figura 9.4. Aplicando el teorema de Pit´agoras vemos que1 : ∆t =
( 1
c∆t 2 v∆t 2 ) = h2 + ( ), 2 2
(9.2)
Aqu´ı estamos considerando que la altura h del tren es la misma medida en cada sistema, S o S . Probaremos que esto es correcto en un apartado posterior.
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Figura 9.4: Dimensiones del tri´angulo ABD. o, resolviendo para ∆t, 2h 1 2h √ ∆t = , = c 1 − β2 (c2 − v 2 )
(9.3)
donde de nuevo hemos introducido la raz´on v (9.4) β= , c de la velocidad del tren, v, a la velocidad de la luz, c. El tiempo ∆t es el que los observadores en S medir´an entre el “f lash” y el “beep”. Lo m´as importante y sorprendente sobre las dos respuestas (9.1) y (9.3) es que no son iguales. El tiempo entre los dos sucesos, el “f lash” y el “beep” es diferente, medido en los sistemas S y S . Espec´ıficamente, ∆t = √
∆t . 1 − β2
(9.5)
Hemos alcanzado este resultado para un “experimento imaginario” que consistiera en un haz de luz reflejado hasta una fotoc´elula. Sin embargo, la conclusi´on se aplica a cualesquiera dos eventos que ocurran en el mismo sitio en el tren, no hace falta que se trate de luz. Suponed, por ejemplo, que dejamos caer un cuchillo en la mesa y un momento despu´es dejamos caer un tenedor. En principio, al menos, podr´ıamos preparar un haz de luz para que surgiera en el momento que el cuchillo aterriza, y podr´ıamos colocar un espejo para reflejar la luz de modo que llegase justo cuando el tenedor aterriza. La relaci´on (9.5) debe, entonces, aplicarse a estos dos sucesos. Ahora bien, las ca´ıdas del cuchillo y del tenedor no pueden estar afectadas por la presencia o ausencia de una l´ampara de flash y una fotoc´elula; as´ı, ninguno de los tiempos ∆t o ∆t pueden depender de si realmente hicimos el experimento con la luz y la fotoc´elula. Por tanto, la relaci´on (9.5) se mantiene para cualesquiera dos sucesos que ocurran en el mismo lugar del tren. La diferencia entre los tiempos medidos ∆t y ∆t es una consecuencia directa del segundo postulado de la Relatividad (en F´ısica Cl´asica, ∆t = ∆t , por supuesto). Se deber´ıa evitar pensar que los relojes en uno de nuestros sistemas deben estar funcionando mal de alguna manera; al contrario, era una parte central de nuestra argumentaci´on el que todos los relojes estaban bien. M´as a´ un, nuestra argumentaci´on no hac´ıa referencia al tipo de relojes usados. As´ı, la diferencia (9.5) se aplica
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a todos los relojes. En otras palabras, el “tiempo en s´ı” medido en los dos sistemas es diferente. Discutiremos la evidencia experimental de este hecho sorprendente en breve. Varias propiedades de la relaci´on (9.5) merecen comentario. Primero, si nuestro tren est´a realmente en reposo (v = 0), entonces β = 0 y (9.5) nos dice que ∆t = ∆t . M´as a´ un, a velocidades terrestres normales, v c y β 1; as´ı, la diferencia entre ∆t y ∆t es muy peque˜ na. EJEMPLO 9.1 El piloto de un jet que viaja a 300 m/s constantes env´ıa un timbrazo a la cabina para que suene a intervalos de exactamente 1 hora (medida en el avi´on). Cu´ al ser´a el intervalo entre dos timbrazos sucesivos medidos por dos observadores convenientemente situados en tierra? (Ignorar los efectos del movimiento de la Tierra; es decir, considerar la Tierra como un sistema inercial). El intervalo requerido entre dos timbrazos viene dado por (9.5), con ∆t = 1 hora y β = v/c = 10−6 . As´ı ∆t = √
∆t ≈ 1 0000000000005 horas. 1 − β2
(9.6)
La diferencia entre los dos tiempos medidos es 5 10−13 horas o 1’8 nanosegundos (un nanosegundo, o ns, es 10−9 s). Es f´acil ver por qu´e los f´ısicos cl´ asicos no se han dado cuenta de este tipo de diferencia! La diferencia entre ∆t y ∆t crece cuando v aumenta. En los modernos aceleradores de part´ıculas es normal obtener electrones y otras part´ıculas con velocidades de 0 99c y m´as. Si imaginamos repetir nuestro experimento con el sistema S ligado a un electr´on con β = 0 99, entonces (9.5) da ∆t ∆t = ≈ 7∆t . 2 1 − (0 99)
(9.7)
Diferencias tan grandes como ´esta son observadas rutinariamente por los f´ısicos de part´ıculas, como discutiremos en la pr´oxima secci´on. Si pusi´eramos v = c (es decir, β = 1), en la ecuaci´on (9.5) obtendr´ıamos el absurdo resultado ∆t = ∆t /0; y si pusi´eramos v > c (es decir, β > 1), obtendr´ıamos una respuesta imaginaria. Estos resultados rid´ıculos indican que v siempre debe ser menor que c: v < c.
(9.8)
Este es uno de los resultados m´as profundos de la Relatividad de Einstein: “La velocidad de cualquier sistema inercial respecto a cualquier otro sistema inercial siempre debe ser menor que c”. En otras palabras, la velocidad de la luz, adem´as de ser la misma en todos los sistemas inerciales, emerge como l´ımite universal de velocidad para el movimiento relativo de sistemas inerciales.
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√ El factor 1/ 1 − β 2 que aparece en (9.5) surge en tantas f´ormulas relativistas que tradicionalmente se le da su propio s´ımbolo, γ: γ≡√
1 1 = . 2 1−β 1 − (v/c)2
(9.9)
Puesto que v es siempre m´as peque˜ na que c, el denominador en (9.9) es siempre menor o igual a 1 y, por tanto: γ ≥ 1.
(9.10)
El factor γ es igual a 1 si v = 0. Cuanto mayor hagamos v, mayor llega a ser γ; y si v se aproxima a c, el valor de γ aumenta sin l´ımite. En t´erminos de γ, (9.5) puede ser reescrita: ∆t = γ∆t ≥ ∆t .
(9.11)
Es decir, ∆t es siempre mayor o igual a ∆t . Esta asimetr´ıa puede parecer sorprendente, e incluso violar los postulados de la Relatividad, puesto que sugiere un papel especial para el sistema S . De hecho, sin embargo, as´ı es justo como deber´ıa ser. En nuestro experimento, el sistema S es especial, puesto que es el u ´ nico sistema inercial donde los dos sucesos -el “f lash” y el “beep”- ocurren en el mismo lugar. Esta simetr´ıa estaba impl´ıcita en las figuras 9.2 y 9.3, que mostraban un observador midiendo ∆t (puesto que ambos sucesos ocurr´ıan en el mismo lugar en S ) y dos observadores midiendo ∆t (puesto que los dos sucesos eran en lugares diferentes en S). Para enfatizar esta asimetr´ıa el tiempo ∆t puede ser renombrado como ∆t0 y (9.11) reescrita como ∆t = γ∆t0 ≥ ∆t0 .
(9.12)
El sub´ındice 0 en ∆t0 indica que ∆t0 es el tiempo indicado por un reloj que est´a en reposo en el sistema especial donde los dos sucesos ocurr´ıan en el mismo lugar. Este tiempo es llamado a menudo tiempo propio ∆t0 . El efecto que se da en (9.12) es llamado dilataci´on del tiempo. El tiempo propio ∆t0 es el tiempo indicado por el reloj en el tren en movimiento (movimiento respecto a S), es decir, ∆t es el tiempo mostrado por los relojes en reposo en tierra (sistema S). Puesto que ∆t0 ≤ ∆t, la relaci´on (9.12) puede ser parafraseada diciendo que “un reloj que se mueve se observa que funciona m´as lentamente”. Finalmente deber´ıamos resaltar la simetr´ıa fundamental entre cualesquiera dos sistemas inerciales. Elegimos llevar a cabo nuestro experimento con el “f lash” y el “beep” en un punto del tren (sistema S ), y encontramos que ∆t > ∆t . Sin embargo, podr´ıamos haber hecho las cosas al rev´es: si un observador ligado a tierra (en reposo en S) hubiera realizado el mismo experimento con un haz de luz y un espejo, el “f lash” y el “beep” hubieran ocurrido en el mismo punto en tierra y
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habr´ıamos encontrado que ∆t ≥ ∆t. El gran m´erito de escribir la f´ormula de la dilataci´on del tiempo en la forma (9.12), ∆t = γ∆t0 , es que evita el problema de recordar qu´e sistema es S y cu´al S ; el sub´ındice 0 siempre identifica el tiempo propio, medido en el sistema en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto.
9.3.1
Evidencia experimental de la dilataci´ on del tiempo
En su art´ıculo original sobre la Relatividad, Einstein predijo el efecto que ahora es llamado dilataci´on del tiempo. En esa ´epoca no hab´ıa evidencia para apoyar la predicci´on, y pasar´ıan muchos a˜ nos antes de que alguna estuviera pr´oxima. De hecho, s´olo recientemente, con la llegada de los relojes at´omicos, la verificaci´on directa usando relojes hechos por el hombre ha sido posible. La primera prueba de este tipo fue llevada a cabo en 1971. Cuatro relojes at´omicos port´atiles fueron sincronizados con un reloj de referencia en el Observatorio Naval de EE.UU. en Washington. Estos cuatro relojes fueron llevados alrededor del mundo en un avi´on y devueltos al Observatorio Naval. La discrepancia entre el reloj de referencia y los relojes port´atiles despu´es de su viaje fue predicha (usando la Relatividad) como 275 ± 21ns,
(9.13)
mientras que la discrepancia observada (promediada entre los cuatro relojes port´atiles) era2 273 ± 7ns.
(9.14)
Debemos mencionar que el excelente acuerdo entre (9.13) y (9.14) es m´as que una prueba de la diferencia del tiempo (9.12), predicha por la Relatividad Especial. Los efectos gravitacionales, que requieren del empleo de la Relatividad General, contribuyen en gran parte a la discrepancia predicha (9.13). As´ı, este bonito experimento es una confirmaci´on de la Relatividad General y de la Especial. Pruebas mucho m´as simples de la dilataci´on del tiempo, y pruebas incluyendo dilataciones mucho mayores, son posibles usando los relojes naturales dados por part´ıculas subat´omicas inestables. Por ejemplo, el mes´on cargado π, o pi´on, es una part´ıcula que se forma en colisiones entre muchos n´ ucleos at´omicos movi´endose r´apidamente. El pi´on tiene un tiempo medio de vida definido, tras el cual se desintegra en otras part´ıculas subat´omicas, y uno puede usar esta vida media como un tipo de reloj natural. 2
La prueba realmente fue llevada a cabo dos veces, volando una vez al Este y otra al Oeste, con acuerdo satisfactorio en ambos casos. Los resultados dados aqu´ı son del m´ as decisivo vuelo hacia el Oeste. Para m´as detalles, ver J. C. Hafele y R. E. Keating, Science, vol. 177, p.166 (1.972). Puesto que la precisi´on de este experimento original ha sido cuestionada, debemos enfatizar que el experimento ha sido repetido muchas veces, con precisi´ on mejorada, y ahora no hay duda de que las observaciones apoyan las predicciones de la Relatividad
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Una forma de caracterizar la duraci´on de la vida de una part´ıcula inestable es la semivida3 t1/2 , que es el tiempo tras el cual la mitad de una gran cantidad de las part´ıculas en cuesti´on habr´a desaparecido. Por ejemplo, la semivida del pi´on es t1/2 = 1 8 10−8 s.
(9.15)
Esto significa que si uno empieza en t0 con N0 piones, entonces tras 1 8 10−8 s la mitad de ellos se habr´an desintegrado y s´olo quedar´an N0 /2. Tras otros 1 8 10−8 s, la mitad de esos N0 /2 habr´an desaparecido y s´olo quedar´an N0 /4. Tras otros 1 8 10−8 s, s´olo N0 /8 quedar´an. Y as´ı sucesivamente. En general, despu´es de n umero de part´ıculas que quedan ser´a N0 /2n . semividas, t = n t1/2 , el n´ En los laboratorios de f´ısica de part´ıculas los piones son producidos en gran n´ umero de colisiones entre protones (los n´ ucleos de los a´tomos de hidr´ogeno) y otros n´ ucleos varios. Es normalmente conveniente llevar a cabo los experimentos con los piones a una buena distancia de donde son producidos, y a los piones se les permite, por tanto, ir por una tuber´ıa de evacuaci´on al a´rea experimental. En el Fermilab, cerca de Chicago, los piones se hacen viajar muy cerca de la velocidad de la luz, siendo un t´ıpico valor v = 0 9999995c, y la distancia que deben viajar hasta el ´area experimental es sobre L = 1km. Vamos a considerar el vuelo de estos piones, primero desde la (incorrecta) visi´on cl´asica sin dilataci´on del tiempo, y luego desde la (correcta) visi´on relativista. Visto desde el laboratorio, el tiempo de vuelo de los piones es: T =
L 103 m ≈ = 3 33 10−6 s. v 3 108 m/s
(9.16)
Un f´ısico cl´asico, despreocupado por cualquier noci´on de la relatividad del tiempo, comparar´ıa ´este con la semivida (9.15) y calcular´ıa que T ≈ 183t1/2 . Es decir, el tiempo requerido para que los piones alcancen el a´rea experimental es 183 semividas. umero original de piones, el n´ umero que sobrevivir´a Por consiguiente, si N0 es el n´ 183 −56 al viaje ser´ıa N = N0 /2 ≈ (8 2 10 )N0 . Para prop´ositos pr´acticos ning´ un pi´on alcanzar´ıa el a´rea experimental. Esto ser´ıa obviamente un modo absurdo de hacer experimentos con piones, y no es lo que ocurre realmente. En Relatividad, lo sabemos ahora, el tiempo depende del sistema en el que se mide, y debemos considerar cuidadosamente los sistemas a los que se refieren los tiempos T y t1/2 . El tiempo T en (9.16) es, por supuesto, el tiempo de vuelo de los piones medido en un sistema ligado al laboratorio. Para enfatizar esto reescribimos (9.16) como Tlaboratorio = 3 3 10−6 s.
(9.17)
Por otra parte, la semivida t1/2 = 1 8 10−8 s se refiere al tiempo “visto” por los piones; es decir, t1/2 es la semivida medida en un sistema ligado a los piones, 3
Una caracterizaci´on alternativa es la vida media τ , que difiere de t1/2 por un factor constante: τ = t1/2 / ln 2.
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el sistema de reposo de los piones (este es un hecho experimental: las semividas dadas por los f´ısicos son las semividas propias, medidas en el sistema en el que las part´ıculas est´an en reposo). Para enfatizar esto, escribimos (temporalmente): t1/2( reposo π ) = 1 8 10−8 s.
(9.18)
Vemos que el argumento cl´asico anterior usaba dos tiempos T y t1/2 , medidos en sistemas inerciales diferentes. Un argumento correcto debe funcionar consistentemente en un sistema u ´ nico, por ejemplo, el sistema del laboratorio. La semivida medida en el sistema del laboratorio viene dada por la f´ormula de la dilataci´on del tiempo como γ veces la semivida (9.18). Con β = 0 9999995 es f´acil ver que γ = 1000 y por tanto que t1/2 laboratorio = γ t1/2( reposo π ) = 1000 (1 8 10−8 s) = 1 8 10−5 s.
(9.19)
Comparando (9.17) y (9.19) vemos que T laboratorio ≈ 0 2 t1/2 laboratorio. Es decir, el vuelo de los piones por la tuber´ıa dura s´olo un quinto de la semivida relevante. En este tiempo se pierden muy pocos piones, y casi todos alcanzan el a´rea experimental (el n´ umero que sobrevive es N = N0 /20 2 ≈ 0 9 N0 ). Esto es lo que pasa realmente en todos los laboratorios de F´ısica de Part´ıculas, y que constituye una fuerte evidencia de la relatividad del tiempo, como predijo primeramente Einstein en 1.905. EJEMPLO 9.2 La part´ıcula lambda (Λ) es una part´ıcula subat´omica inestable que se desintegra en un prot´on y un pi´on (Λ → p + π) con una semivida de t1/2 = 1 7 10−10 s. Si varias lambdas son creadas en una colisi´ on nuclear, todas con an antes de que la mitad de ellas desaparezcan? velocidad v = 0 6c, cu´anto viajar´ La semivida medida en el laboratorio es γ t1/2 (puesto que t1/2 es la semivida propia, medida en el sistema en reposo de Λ). Por tanto, la distancia pedida es vγ t1/2 . Con β = 0 6, γ=√
1 = 1 25. 1 − β2
(9.20)
y la distancia requerida es distancia = vγt1/2 = (1 8 108 m/s)1 25(1 7 10−10 s) = 3 8 cm.
(9.21)
N´ otese c´ omo incluso con velocidades tan grandes como 0 6c el factor γ no es mucho mayor que 1, y el efecto de la dilataci´ on del tiempo no es dram´ atico. N´ otese tambi´en que una distancia de unos pocos cent´ımetros es mucho m´ as f´acil de medir que un tiempo del orden de 10−10 s; as´ı, la medida de la longitud recorrida por una part´ıcula inestable es a menudo la forma m´ as f´ acil de hallar su semivida.
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CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
Figura 9.5: Visto desde S el tren se mueve una distancia v∆t hacia la derecha. Visto desde S el sistema S y el observador Q se mueven una distancia v∆t hacia la izquierda.
9.4
Contracci´ on de la longitud
Los postulados de la Relatividad nos han llevado a concluir que el tiempo depende del sistema de referencia en el que se mide. Ahora podemos usar este hecho para mostrar que lo mismo debe aplicarse a las distancias. La distancia medida entre dos sucesos depende del sistema de referencia respecto al que se mide. Mostraremos esto con otro “experimento imaginario”. En el an´alisis de este experimento ideal ser´a importante reconocer que, incluso en Relatividad, la familiar relaci´on cinem´atica distancia = velocidad×tiempo es v´alida en cualquier sistema inercial (con todas las cantidades medidas en ese sistema), puesto que es s´olo la definici´on de la velocidad en ese sistema. Imaginemos de nuevo nuestros dos sistemas, S fijo al suelo y S fijo a un tren que viaja a velocidad v respecto al suelo; y ahora imaginemos observadores en S y en S midiendo la longitud del tren. Para un observador en S esta medida es f´acil puesto que para ´el el tren est´a en reposo y puede tomarse todo el tiempo que necesite para medir la longitud l con una regla precisa. Para un observador Q en el suelo la medici´on es m´as dif´ıcil, puesto que el tren est´a movi´endose. Quiz´as, el procedimiento m´as simple es cronometrar el tren mientras pasa por Q: Si t1 y t2 son los tiempos a los cuales el principio y el final del tren pasan por Q y si ∆t = t2 − t1 , entonces Q puede calcular la longitud l (medida en S) como l = v∆t.
(9.22)
Para comparar esta respuesta con l notamos que los observadores en el tren podr´ıan haber medido l por un procedimiento similar. Visto desde el tren, el observador Q en el suelo est´a movi´endose hacia la izquierda con velocidad4 v, y los observadores en el tren pueden medir el tiempo para que Q se mueva del principio al final del tren como se observa en la figura 9.4. 4
Estamos suponiendo que la velocidad de S respecto a S es la misma que la de S respecto a S. Esto viene de la simetr´ıa b´ asica entre S y S requerida por los postulados de la Relatividad
´ DE LA LONGITUD 9.4. CONTRACCION
149
Esto requerir´ıa dos observadores en el tren, uno en el frente (Q1 ) y otro al final tiempo que marca el reloj de Q1 cuando Q pasa frente a ´el, y el reloj de Q2 al pasar Q por su lado, entonces ∆t = t2 − t1 es el tiempo que tarda Q (con velocidad v) en recorrer la longitud del tren. Por tanto
(Q2 ). Si llamamos t1 al t2 al tiempo que marca
l = v∆t .
(9.23)
Comparando (9.22) y (9.23) vemos inmediatamente que puesto que los tiempos ∆t y ∆t son diferentes, lo mismo debe ser cierto de las longitudes l y l . Para calcular la diferencia necesitamos relacionar ∆t y ∆t usando la f´ormula de la dilataci´on del tiempo. En este experimento los dos sucesos de inter´es, Q al principio del tren y Q al final del tren, ocurren en el mismo sitio en S (donde Q est´a en reposo). Por consiguiente, ∆t es el tiempo propio y la f´ormula de dilataci´on del tiempo implica que ∆t = γ∆t. Comparando (9.22) y (9.23) vemos que l=
l ≤ l . γ
(9.24)
La longitud del tren medida en S es menor (o igual, aunque la igualdad s´olo se da si v = 0) a la longitud medida en S . Como la dilataci´on del tiempo, este resultado es asim´etrico, reflejando la asimetr´ıa de nuestro experimento: el sistema S es especial puesto que es el u ´ nico sistema donde el objeto medido (el tren) est´a en reposo (podr´ıamos, por supuesto, haber hecho el experimento al rev´es; si hubi´esemos medido la longitud de una casa en reposo en S los papeles de l y l en (9.24) se habr´ıan invertido). Para resaltar esta asimetr´ıa y para evitar confusi´on sobre cu´al sistema es cu´al, es buena idea reescribir (9.24) como lo l = ≤ l0 , (9.25) γ donde el sub´ındice 0 indica que l0 es la longitud de un objeto medido en su sistema de reposo mientras l se refiere a la longitud medida en cualquier otro sistema. La longitud l0 suele ser llamada longitud propia del objeto. Puesto que l ≤ l0 , al efecto implicado por (9.25) se le llama a menudo contracci´ on de la longitud (o contracci´on de Lorentz, o contracci´on de Lorentz-Fitzgerald, por los dos f´ısicos que sugirieron por primera vez que deb´ıa haber alg´ un efecto semejante). El efecto puede ser libremente descrito diciendo que “un objeto en movimiento se observa como contra´ıdo”.
9.4.1
Evidencia experimental de la contracci´ on de la longitud
Como la dilataci´on del tiempo, la contracci´on de la longitud es un efecto real que est´a bien establecido experimentalmente. Quiz´as la evidencia m´as simple viene del
150
CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
mismo experimento discutido en conexi´on con la dilataci´on del tiempo, en el que los piones inestables volaban por una tuber´ıa desde la colisi´on que los produce hasta el ´area experimental. Visto desde el sistema del laboratorio observamos que la dilataci´on del tiempo aumenta la semivida de los piones por un factor γ, de t1/2 a γt1/2 . En el ejemplo discutido era este aumento lo que permit´ıa a la mayor´ıa de los piones completar el viaje al a´rea experimental antes de que desaparecieran. Sup´ongase, sin embargo, que vi´esemos el mismo experimento desde el sistema de reposo de los piones. En este sistema los piones est´an estacionarios y no hay dilataci´on del tiempo para aumentar su semivida. As´ı que, ¿c´omo alcanzan el a´rea experimental? La respuesta es que en este sistema la tuber´ıa est´a movi´endose, y la contracci´on de la longitud reduce su longitud por el mismo factor γ, de L a L/γ. As´ı, los observadores en este sistema dir´ıan que es la contracci´on de la longitud lo que permite a los piones alcanzar el a´rea experimental. Naturalmente, el n´ umero de piones que completan el viaje es el mismo cualquiera que sea el sistema que usemos para el c´alculo. EJEMPLO 9.3 Un explorador del espacio de una era futura viaja a la estrella m´as cercana, Alfa-Centauro, en un cohete con velocidad v = 0 9c. La distancia de la Tierra a la estrella, medida desde la Tierra, es L = 4 a˜ nos-luz (o 4c a˜ nos). ¿Cu´al es la distancia vista por el explorador, y cu´ anto dir´ıa ´el que dura el viaje a la estrella? La distancia L = 4c a˜ nos es la distancia propia entre la Tierra y la estrella (que asumimos que est´ an en reposo relativo). As´ı que la distancia vista desde el cohete viene dada por la f´ ormula de contracci´ on de longitud como: LT ierra . γ
(9.26)
4c a˜ nos = 1 7c a˜ nos. 23
(9.27)
Lcohete = Si β = 0 9 entonces γ = 2 3, as´ı que Lcohete =
Podemos calcular el tiempo T del viaje de dos formas: visto desde el cohete, la estrella est´ a inicialmente a 1 7c a˜ nos y est´ a aproxim´ andose con velocidad v = 0 9c. Por tanto, Tcohete =
1 7c a˜ nos Lcohete = = 1 9a˜ nos. v 0 9c
(9.28)
(N´ otese que los factores c se cancelan convenientemente cuando usamos c a˜ nos y medimos las velocidades como m´ ultiplos de c). Alternativamente, medido desde el sistema Tierra, el viaje dura un tiempo TT ierra =
4c a˜ nos LT ierra = = 4 4a˜ nos, v 0 9c
(9.29)
pero debido a la dilataci´on del tiempo este es γ veces Tcohete , que es por tanto:
´ DE LA LONGITUD 9.4. CONTRACCION
Tcohete =
TT ierra = 1 9 a˜ nos, γ
151
(9.30)
de acuerdo con (9.28), por supuesto. N´ otese que la dilataci´on del tiempo (o la contracci´ on de la longitud), permite un ahorro apreciable al piloto del cohete. Si vuelve puntualmente a la Tierra, entonces como resultado del viaje completo habr´ a envejecido s´ olo 3 8 a˜ nos, mientras que su gemelo que se qued´o habr´a envejecido 8’8 a˜ nos. Este resultado sorprendente, a veces conocido como la paradoja de los gemelos, es ampliamente verificado por los experimentos discutidos en la secci´ on que trataba sobre la dilataci´ on del tiempo. En principio, la dilataci´ on del tiempo permitir´ıa a los exploradores hacer en el tiempo de una vida viajes que requerir´ıan cientos de a˜ nos vistos desde la Tierra. Puesto que esto requiere cohetes que viajan muy cerca de la velocidad de la luz, no es posible que pase pronto!
9.4.2
Longitudes perpendiculares al movimiento relativo
Hasta ahora hemos discutido longitudes que son paralelas a la velocidad relativa, tales como la longitud de un tren en su direcci´on de movimiento. ¿Qu´e les pasa a las longitudes perpendiculares a la velocidad relativa, como la altura del tren? Es f´acil mostrar que para tales longitudes no hay contracci´on o expansi´on. Para ver esto, consid´erense dos observadores, Q en reposo en S y Q en reposo en S , y sup´ongase que Q y Q son igual de altos en reposo. Ahora asumamos por un momento que hay una contracci´on de alturas an´aloga a la contracci´on de la longitud (9.25). Si esto es as´ı, entonces visto desde Q, Q ser´a m´as bajo cuando se mueva. Podemos probar esta hip´otesis haciendo que Q sostenga un cuchillo afilado exactamente nivelado con la parte superior de su cabeza; si Q es m´as bajo, Q se encontrar´a pelado (o algo peor) cuando el cuchillo pase. Este experimento es completamente sim´etrico entre los dos sistemas S y S : Hay un observador en reposo en cada sistema y la u ´nica diferencia est´a en que cada uno 5 ve moverse al otro . Por tanto, tambi´en debe ser verdad que visto por Q , es Q quien es m´as bajo. Pero esto implica que el cuchillo no alcanzar´a a Q. Puesto que no puede ser cierto que Q est´e tanto pelado como no, hemos llegado a una contradicci´on. Por un razonamiento similar no puede haber expansi´on y, de hecho, el cuchillo sostenido por Q simplemente roza la cabeza de Q, visto en cualquier sistema. Concluimos que las longitudes perpendiculares al movimiento relativo son fijas; y la f´ ormula de la contracci´on de Lorentz (9.25) se aplica s´olo a longitudes paralelas al movimiento relativo. 5
N´otese que nuestros dos experimentos ideales anteriores eran asim´etricos, requiriendo dos observadores en uno de los sistemas, pero s´olo uno en el otro.
152
CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
Figura 9.6: En f´ısica cl´asica las coordenadas de un suceso est´an relacionadas como se muestra en la figura.
9.5
La Transformaci´ on de Lorentz
Estamos ahora listos para contestar una importante cuesti´on general: si sabemos las coordenadas x,y,z y el tiempo t de un suceso, medido en un sistema S, ¿c´omo podemos averiguar las coordenadas x ,y ,z y t del mismo suceso medido en un segundo sistema S ? Antes de que veamos la respuesta correcta relativista a esta cuesti´on, examinaremos brevemente la respuesta cl´asica. Consideraremos nuestros dos sistemas normales, S y S , S ligado al suelo y S ligado a un tren que viaja con velocidad v respecto a S, como se muestra en la figura 9.6. Puesto que las leyes de la F´ısica son todas independientes de nuestra elecci´on del origen y la orientaci´on, somos libres de elegir ambos ejes OX y O X a lo largo de la misma recta, paralela a v, como se muestra. Podemos incluso elegir los or´ıgenes del tiempo de modo que t = t = 0 en el momento en el que O pasa O. Nos referiremos a veces a esta colocaci´on de sistemas S y S como la configuraci´on est´andar. Ahora consideraremos un suceso, como la explosi´on de un peque˜ no petardo, que sucede en la posici´on x,y,z y tiempo t medido en S. Nuestro problema es calcular, en t´erminos de x,y,z,t, las coordenadas x ,y ,z ,t del mismo suceso, medido en S -aceptando en principio las ideas cl´asicas de espacio y tiempo. Primero, puesto que el tiempo es una magnitud universal en la F´ısica Cl´asica, sabemos que t = t . Lo siguiente, de la figura 9.6 se ve f´acilmente que x = x − vt e y = y (e igualmente, z = z , aunque la coordenada z no se muestra en la figura). As´ı, de acuerdo con las ideas de la F´ısica Cl´asica, x = x − vt, y = y, z = z, t = t.
(9.31)
Estas cuatro expresiones son llamadas la Transformaci´ on de Galileo. Trans-
´ DE LORENTZ 9.5. LA TRANSFORMACION
153
Figura 9.7: La coordenada x es medida por S’. Las distancias x y vt son medidas en el mismo instante por S. forman las coordenadas x,y,z,t de cualquier suceso observado en S en las correspondientes coordenadas x ,y ,z ,t observadas en S . Si se nos han dado las coordenadas x ,y ,z ,t y queremos hallar x,y,z,t, podr´ıamos resolver las ecuaciones (9.31) para dar x = x + vt, y = y , z = z , t = t .
(9.32)
N´otese que las ecuaciones (9.32) pueden ser obtenidas directamente de (9.31) cambiando x,y,z,t por x ,y ,z ,t y reemplazando v por −v. Esto es porque la relaci´on de S a S es la misma que la de S a S excepto por un cambio en el signo de la velocidad relativa. La transformaci´on de Galileo (9.31) no puede ser la relaci´on relativista correcta entre x,y,z,t y x ,y ,z ,t . (Por ejemplo, sabemos de la dilataci´on del tiempo que la ecuaci´on t = t no puede ser correcta). Por otra parte, la transformaci´on de Galileo se adec´ ua perfectamente con nuestra experiencia diaria y por tanto debe ser correcta (en una aproximaci´on excelente) cuando la velocidad v es peque˜ na comparada con c. As´ı, la relaci´on correcta entre x,y,z,t y x ,y ,z ,t tendr´a que reducirse a la relaci´on de Galileo (9.31) cuando v/c es peque˜ no. Para hallar la relaci´on correcta entre x,y,z,t y x ,y ,z ,t , consideramos el mismo experimento que antes, que se muestra de nuevo en la figura 9.7. Hemos dicho antes que las distancias perpendiculares a v son las mismas medidas en S y en S . As´ı que y = y ; z = z,
(9.33)
´ til preparar exactamente como en la transformaci´on de Galileo. Para encontrar x es u la explosi´on cuyas coordenadas estamos discutiendo para que produzca una peque˜ na quemadura en la pared del tren en el punto P donde ocurre. La distancia horizontal
154
CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
del origen O a la marca en P , medida en S , es precisamente la coordenada deseada x . Mientras tanto, la misma distancia, medida en S, es x − vt (puesto que x y vt son las distancias horizontales de O a P y de O a O en el instante t, medidas en S). As´ı que, de acuerdo con la f´ormula de la contracci´on de la longitud (9.25), x − vt = x /γ,es decir x = γ(x − vt). (9.34) Esto da x en t´erminos de x y t y es la tercera de nuestras cuatro ecuaciones requeridas. N´otese que si v es peque˜ na, entonces γ ≈ 1 y la relaci´on (9.34) se reduce a la primera de las relaciones de Galileo (9.31), como se ped´ıa. Finalmente, para hallar t en t´erminos de x,y,z,t usamos un truco simple. Podemos repetir el argumento que nos condujo a (9.34) pero con los papeles de S y S invertidos. Es decir, dejamos a la explosi´on hacer una marca en el punto P de una pared fijada a S y, razonando como antes, tenemos que x = γ(x + vt ).
(9.35)
(Esto se puede obtener directamente de (9.34) cambiando x,t por x ,t y reemplazando v por −v). La ecuaci´on (9.35) no es a´ un el resultado buscado, pero podemos combinarlo con (9.34) para eliminar x y hallar t . Insertando (9.34) en (9.35), obtenemos x = γ[γ(x − vt) + vt ].
(9.36)
γ2 − 1 x t = γt − γv
(9.37)
Despejando t tenemos
o, despu´es de algo de ´algebra
vx ). (9.38) c2 Esta es la expresi´on requerida para t en t´erminos de x y t. Cuando v/c es mucho menor que 1 podemos despreciar el segundo t´ermino y, puesto que γ ≈ 1, obtenemos t ≈ t de acuerdo con la transformaci´on de Galileo como se pide. Reuniendo (9.33), (9.34) y (9.38) obtendremos nuestras cuatro ecuaciones requeridas: t = γ(t −
x = γ(x − vt), y = y, z = z, t = γ(t − vx ). c2
(9.39)
Estas ecuaciones son llamadas la Transformaci´ on de Lorentz, o la Transformaci´ on de Lorentz-Einstein, en honor al f´ısico holand´es Lorentz, que las propuso
´ DE LORENTZ 9.6. APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION
155
por primera vez, y de Einstein, que fue el primero que las interpret´o correctamente. La transformaci´on de Lorentz es la modificaci´on relativista correcta de la transformaci´on de Galileo (9.31). Si uno quiere saber x,y,z,t en t´erminos de x ,y ,z ,t , se pueden permutar las variables con prima por aqu´ellas sin prima, y viceversa, y cambiar v por −v, para dar x = γ(x + vt ), y = y , z = z , t = γ(t + vx ). c2
(9.40)
Estas ecuaciones, a veces, son denominadas la transformaci´on inversa de Lorentz. La transformaci´on de Lorentz expresa todas las propiedades de espacio y tiempo que siguen de los postulados de la Relatividad. De ellas uno puede calcular todas las relaciones cinem´aticas entre medidas hechas en sistemas inerciales diferentes. En las pr´oximas dos secciones damos algunos ejemplos de tales c´alculos.
9.6
Aplicaciones de la transformaci´ on de Lorentz
En esta secci´on damos tres ejemplos de problemas que pueden ser analizados f´acilmente usando la transformaci´on de Lorentz. En los dos primeros retomamos dos resultados familiares; en el tercero analizamos una de las muchas “paradojas” de la Relatividad. EJEMPLO 9.4 Comenzando con las ecuaciones (9.39) de la transformaci´ on de Lorentz, hallar la f´ ormula de contracci´ on de la longitud (9.25). N´ otese que la f´ormula de contracci´ on de la longitud fue usada en nuestra obtenci´on de la transformaci´ on de Lorentz. As´ı, este ejemplo no dar´ a una nueva prueba de contracci´ on de la longitud; ser´ a, m´ as bien, una prueba consistente sobre la transformaci´ on de Lorentz, para verificar que devuelve el resultado del que fue obtenida. Sin embargo, uno puede tambi´en tomar la visi´ on de que la transformaci´ on de Lorentz es en s´ı misma un hecho experimental bien establecido, del cual uno puede derivar leg´ıtimamente la f´ormula de contracci´ on de la longitud. Imaginemos, como antes, medir la longitud de un tren (sistema S ) que viaja a velocidad v respecto al suelo (sistema S). Si las coordenadas del final y del principio del tren son x2 y x1 , medidas en S , entonces la longitud propia del tren (su longitud medida en su sistema de reposo) es l0 = l = x2 − x1 .
(9.41)
Para hallar la longitud l medida en S colocamos cuidadosamente dos observadores en el suelo para observar las coordenadas x1 y x2 del final y el principio del tren en
156
CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
Figura 9.8: Si dos observadores miden x1 y x2 en el mismo instante (t1 = t2 ) entonces l = x2 − x1 . un tiempo t conveniente (estas dos medidas deben, por supuesto, hacerse al mismo tiempo t). En t´erminos de estas coordenadas, la longitud l medida en S es l = x2 − x1 ,
(9.42)
tal y como se muestra en la figura 9.8. Ahora consid´erense los dos sucesos siguientes, con sus coordenadas medidas en S: Suceso Descripci´ on Coordenadas en S 1 Final del tren para el primer observador x1 , t1 2 Principio del tren para el segundo observador x2 , t2 = t1 Podemos usar la transformaci´on de Lorentz para calcular las coordenadas de cada suceso observado en S : Suceso Coordenadas en S’ 1 x1 = γ(x1 − vt1 ) 2 x2 = γ(x2 − vt2 ) (No hemos listado los tiempos t1 y t2 puesto que no nos conciernen aqu´ı). La diferencia de estas coordenadas es x2 − x1 = γ(x2 − x1 ).
(9.43)
(N´ otese que los tiempos t1 y t2 se cancelan puesto que son iguales). Dado que las dos diferencias en (9.43) son respectivamente l = l0 y l, concluimos que l0 = γl ´o l=
l0 , γ
(9.44)
como se ped´ıa. EJEMPLO 9.5 Usar la transformaci´ on de Lorentz para reconseguir la f´ ormula de la dilataci´on del tiempo (9.12).
´ DE LORENTZ 9.6. APLICACIONES DE LA TRANSFORMACION
157
En nuestra discusi´on de la dilataci´ on del tiempo consideramos dos sucesos, un “f lash” y un “beep”, que ocurr´ıan en el mismo lugar en el sistema S , xf lash = xbeep .
(9.45)
El tiempo propio entre los dos sucesos era el tiempo medido en S , ∆t0 = ∆t = tbeep − tf lash .
(9.46)
Para relacionar esto con el tiempo ∆t = tbeep − tf lash ,
(9.47)
medido en S, es conveniente usar la transformaci´ on inversa de Lorentz (9.40), que da tbeep = γ(tbeep + y
vxbeep ), c2
(9.48)
vxf lash ), (9.49) c2 Si tomamos la diferencia de estas dos ecuaciones, las coordenadas xbeep y xf lash se cancelan (puesto que son iguales) y obtenemos el resultado deseado, tf lash = γ(tf lash +
∆t = tbeep − tf lash = γ(tbeep − tf lash ) = γ∆t0 .
(9.50)
EJEMPLO 9.6 Una serpiente relativista de longitud propia 100 cm est´ a mo vi´endose a velocidad v = 0 6c hacia la derecha por una mesa. Un ni˜ no travieso, deseando molestar a la serpiente, sostiene dos hachas separadas 100 cm y planea soltarlas sobre la mesa simult´ aneamente de modo que el hacha izquierda caiga inmediatamente detr´ as de la cola de la serpiente. El ni˜ no razona como sigue: “La serpiente se mueve con β = 0 6. Por tanto, su longitud se contrae por un factor γ=√
1 5 1 , =√ = 2 4 1−β 1 − 0 36
(9.51)
y su longitud (medida en el sistema del ni˜ no) es 80 cm. Esto implica que el hacha derecha caer´a 20 cm enfrente de la serpiente, y la serpiente saldr´ a ilesa”. La visi´on del ni˜ no queda reflejada en la figura 9.9. Por otra parte, la serpiente razona as´ı: “Las hachas se acercan a m´ı con β = 0 6, y la distancia entre ellas est´ a contra´ıda a 80cm. Puesto que yo mido 100 cm, ser´e cortada en piezas cuando caigan”. Usar la transformaci´ on de Lorentz para resolver esta paradoja. Elijamos dos sistemas coordenados como sigue: la serpiente est´ a en reposo en el sistema S con su cola en el origen x = 0 y su cabeza en x = 100. Las dos hachas
158
CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
Figura 9.9: Visto por el ni˜ no las dos hachas caen simult´aneamente en t = 0 separadas 100 cm. Dado que la serpiente mide 80 cm, ´esta escapa ilesa.
Figura 9.10: Observado por la serpiente, las dos hachas se est´an moviendo hacia la izquierda: El hacha izquierda cae antes que la derecha; a´ un cuando las hachas est´en separadas s´olo 80 cm, esto les permite caer con una separaci´on de 125 cm. est´an en reposo en el sistema S, la izquierda en el origen x = 0 y la derecha en x = 100 cm. Observados en el sistema S las dos hachas caen simult´ aneamente en t = 0. En este tiempo la cola de la serpiente est´ a en x = 0 y su cabeza debe, por tanto, estar en x = 80cm (Puedes comprobar esto usando la transformaci´ on x = γ(x − vt), con x = 80cm y t = 0; hallar´as que x = 100cm como debe ser). As´ı, observado en S, el experimento es como se muestra en la figura 9.9. En particular, la predicci´ on del ni˜ no es correcta y la serpiente sale ilesa. Por tanto, el razonamiento de la serpiente debe estar mal. Para entender qu´e est´ a mal en el razonamiento de la serpiente, debemos examinar las coordenadas, especialmente los tiempos, en los cuales las dos hachas caen, observados en el sistema S . El hacha izquierda cae en tL = 0 y xL = 0. De acuerdo con la transformaci´ on de Lorentz (9.39), las coordenadas de este suceso, visto desde S , son tL = γ(tL − vxc2L ) = 0, xL = γ(xL − vtL ) = 0.
(9.52)
Como se esperaba, el hacha izquierda cae inmediatamente detr´ as de la cola de la serpiente, en tiempo tL = 0, como se muestra en la figura 9.6. Por otra parte, el hacha derecha cae en tR = 0 y xR = 100cm. As´ı, visto en S cae en un tiempo dado por la transformaci´ on de Lorentz como:
´ ´ DE LA VELOCIDADES 9.7. LA FORMULA DE ADICION
159
(0 6c)(100cm) vxR 5 (0 − ) = ) = −2 5ns. (9.53) 2 2 c 4 c aneamente. Puesto que Vemos que, medidos en S , las dos hachas no caen simult´ el hacha derecha cae antes que la izquierda, no tiene necesariamente que golpear a la serpiente, a´ un cuando estuvieran separadas 80cm (en este sistema). De hecho, la posici´on en la que cae el hacha derecha es dada por la transformaci´ on de Lorentz como tR = γ(tR −
5 (9.54) xR = γ(xR − vtR ) = (100cm − 0) = 125cm, 4 y en realidad el hacha no alcanza a la serpiente, como se muestra en la figura. La resoluci´on de esta paradoja, y de muchas paradojas similares, consiste en ver que dos sucesos que son simult´aneos observados en un sistema, no son necesariamente simult´ aneos cuando se observan en un sistema diferente. Tan pronto como se reconoce que las dos hachas caen en tiempos diferentes en el sistema en reposo de la serpiente, no hay m´ as problema en comprender c´ omo ambos pueden no alcanzar a la serpiente.
9.7
La f´ ormula de adici´ on de la velocidades
´ En el Cap´ıtulo 2 discutimos la f´ormula cl´asica de adici´on de velocidades. Esta relaciona la velocidad u de alg´ un cuerpo o se˜ nal, respecto a un sistema S, y su valor u respecto a un segundo sistema S : u = u + v , o equivalentemente: u = u − v.
(9.55)
Aqu´ı v es la velocidad respecto de S respecto a S, y la f´ormula afirma que en la F´ısica Cl´asica las velocidades relativas se suman y restan como vectores. N´otese que aqu´ı, como en todos sitios, usamos u y u para las velocidades de un cuerpo o se˜ nal respecto a los dos sistemas, mientras que v denota la velocidad relativa entre los dos sistemas. La f´ormula cl´asica (9.55) no puede ser correcta, puesto que contradice la universalidad de la velocidad de la luz. En esta secci´on usaremos la transformaci´on de Lorentz para obtener la f´ormula relativista correcta de adici´on de velocidades. Imaginemos un objeto m´ovil cuya velocidad queremos discutir (por ejemplo, este objeto podr´ıa ser un cohete, una part´ıcula subat´omica, o una se˜ nal de luz). Consideramos dos puntos vecinos en su camino, como se muestra en la figura 9.11 Denotamos por r1 = (x1 , y1 , z1 ) y r2 = (x2 , y2 , z2 ) las coordenadas de estos dos puntos, medidos en S, y por t1 y t2 los tiempos en los que el objeto pasa por ellos. La velocidad u = (ux , uy , uz ) medida en S viene entonces dada por ux =
∆x ∆y ∆z , uy = , uz = , ∆t ∆t ∆t
(9.56)
160
CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
Figura 9.11: La velocidad de un cuerpo es el cociente entre el desplazamiento ∆r y el tiempo empleado en recorrerlo, en el l´ımite ∆t → 0. donde ∆x = x2 − x1 , etc. (y estas ecuaciones deben, estrictamente hablando, ser v´alidas s´olo en el l´ımite en el que los dos puntos est´an juntos, ∆t → 0). La velocidad u respecto a S se define de la misma forma usando las coordenadas y el tiempo medidos por S . Ahora podemos usar la transformaci´on de Lorentz para relacionar las coordenadas y tiempos de S con los de S , y entonces, usando la definici´on (9.56), relacionar las velocidades correspondientes. Primero, de acuerdo con la transformaci´on de Lorentz (9.39): x2 = γ(x2 − vt2 ), y2 = y2 , 2 ), t2 = γ(t2 − vx c2
(9.57)
x1 = γ(x1 − vt1 ), y1 = y1 , 1 t1 = γ(t1 − vx ). c2
(9.58)
y
(Omitimos las ecuaciones para z, cuyas transformaciones son como las de y). Restando estas ecuaciones, hallamos que: ∆x = γ(∆x − v∆t), ∆y = ∆y, ∆t = γ(∆t −
v∆x ). c2
(9.59)
De aqu´ı podemos calcular las componentes de u. Primero ux =
∆x γ(∆x − v∆t) , = ∆t γ(∆t − v∆x ) c2
(9.60)
´ ´ DE LA VELOCIDADES 9.7. LA FORMULA DE ADICION
161
o cancelando los factores γ y dividiendo arriba y abajo por ∆t, ux − v . 1 − ucx2v
(9.61)
∆y ∆y , = ∆t γ(∆t − v∆x ) c2
(9.62)
ux = Igualmente, uy =
o dividiendo arriba y abajo por ∆t, uy =
uy . γ(1 − ucx2v )
(9.63)
N´otese que uy no es igual a uy , aunque ∆y = ∆y; esto es porque los tiempos ∆t y ∆t no son iguales. Las ecuaciones (9.61) y (9.63), (y una ecuaci´on similar a la de la uy para uz ) son las f´ ormulas relativistas de adici´ on de velocidades, o transformaci´on de velocidad. N´otese que si u y v son mucho menores que c, podemos ignorar el t´ermino ux v/c2 en ambos denominadores y poner γ ≈ 1 para dar u x ≈ ux − v y uy ≈ uy . Estas son, por supuesto, las componentes de la f´ormula cl´asica de adici´on u = u −v . La transformaci´on inversa de velocidad, dando u en t´erminos de u , puede ser obtenida de (9.61) y (9.63) intercambiando las variables “prima” y no “prima” y cambiando v por −v, de la forma normal.
EJEMPLO 9.7 Un cohete que viaja a velocidad 0’8c respecto a la Tierra dispara hacia delante un rayo de part´ıculas con velocidad 0’9c respecto al cohete. ¿Cu´ al es la velocidad de las part´ıculas respecto a la Tierra? Sea S el sistema en el que la Tierra est´a en reposo y S el del cohete, con ejes x y x alineados con la velocidad del cohete. La velocidad relativa de los dos sistemas es v = 0 8c. Se nos da que las part´ıculas viajan a lo largo del eje x con velocidad u = 0 9c (respecto a S ), y queremos hallar su velocidad u respecto a S. La respuesta cl´ asica es, por supuesto, que u = u + v = 1 7c; es decir, puesto que las dos velocidades son colineales, u y v simplemente se suman en F´ısica Cl´asica. La respuesta relativista correcta viene dada por la inversa de (9.61) (de la cual omitimos los sub´ındices x, puesto que todas las velocidades son a lo largo del eje x): u=
u + v 0 9c + 0 8c 1 7 = = c ≈ 0 99c. uv 1+09 08 1 72 1 + c2
(9.64)
La caracter´ıstica principal de esta respuesta es que cuando “sumamos” u = 0 9c a v = 0 8c relativistamente, obtenemos una respuesta que es menor que c. De hecho, es f´acil mostrar que para cualquier valor de u menor que c, la velocidad de u tambi´en es menor que c; es decir, una part´ıcula cuya velocidad es menor que c en un sistema, tiene velocidad menor que c en cualquier otro sistema.
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CAP´ITULO 9. EL ESPACIO Y TIEMPO DE LA RELATIVIDAD
EJEMPLO 9.8 El cohete del ejemplo 9.7 dispara hacia delante una se˜ nal (por ejemplo, un pulso de luz) con velocidad c respecto al cohete. Cu´al es la velocidad de la se˜ nal respecto a la Tierra? En este caso u = c. As´ı que de acuerdo con (9.64), u=
c+v u + v = c. = u v 1 + v/c 1 + c2
(9.65)
Es decir, cualquier cosa que viaje a la velocidad de la luz en un sistema, viaja tambi´en a la velocidad de la luz observado desde cualquier otro sistema (hemos probado esto aqu´ı s´olo para el caso de que u tenga la misma direcci´ on que v . Sin embargo, el resultado es cierto para cualquier direcci´ on). Podemos parafrasear esto diciendo que la velocidad de la luz es invariante cuando pasamos de un sistema a otro. Este es, por supuesto, el segundo postulado de la Relatividad, que nos condujo a la transformaci´ on de Lorentz.