Bolet´ın de la Asociaci´ on Matem´atica Venezolana, Vol. IX, No. 2 (2002)

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´ MATEMATICAS RECREATIVAS

El Problema Bovinum de Arqu´ımedes Douglas Jim´enez Cuando un joven estudiante manifiesta inclinaci´ on por la matem´ atica, la gente suele expresar “¡Ah! Le gustan los n´ umeros”. Desde el propio ejercicio de la matem´atica a uno le gustar´ıa decir que esta es una apreciaci´on equivocada, pero m´as bien habr´ıa que calificarla de incompleta, pues el ejercicio matem´atico implica formas de pensamiento que van m´ as all´ a del c´alculo simple. Si a uno le gustan los n´ umeros podr´ıa dedicarse por igual a la estad´ıstica pr´ actica o a la contabilidad, actividades que un matem´ atico profesional no considera de su competencia. Sin embargo, no se puede negar que el trabajo con n´ umeros es central en la actividad matem´ atica, aunque m´ as que las cuentas el matem´atico prefiere las propiedades; introduce as´ı conceptos como estructuras, simetr´ıas y otros que se pueden aplicar tanto a los n´ umeros como a entes variados que no se parecen a los n´ umeros en absoluto, salvo por los parentescos que establecen esos mismos conceptos. Los n´ umeros conducen casi que de manera natural a una idea que est´ a en la esencia misma del quehacer matem´atico: el infinito. Una forma, quiz´ a la m´as superficial entre otras, de aproximarse al concepto de infinito es el estudio de los grandes n´ umeros. Arqu´ımedes, matem´atico del siglo III a.C. y uno de los m´ as grandes de la historia toda, dedic´ o al tema un art´ıculo que es todo un cl´ asico: El arenario, ensayo en el que demuestra al rey Gel´on que no es infinito el n´ umero de granos de arena del cosmos; en donde por cosmos suscribe Arqu´ımedes la idea de Aristarco de Samos de un universo helioc´entrico, con estrellas fijas y la tierra girando alrededor del sol. En este memorable art´ıculo, Arqu´ımedes hace uso de una habilidad notacional excelente para demostrar que s´olo hace falta darle un nombre adecuado a las cosas para identificar el n´ umero buscado de granos de arena y se˜ nala que tal n´ umero debe ser menor a lo que, en nuestra notaci´ on actual, es 1063 . El art´ıculo puede leerse completo en el tomo 4 de la Enciclopedia Sigma, El mundo de las matem´ aticas, de James R. Newman, Edit. Grijalbo, 1976 (p´ aginas 4 a 17). Pero a lo que aqu´ı queremos hacer alusi´on es a otro problema de Arqu´ımedes en el que tambi´en maneja n´ umeros de gran tama˜ no y que se conoce con el nombre de Problema de las reses. El problema fue planteado en verso, supuestamente por el propio Arqu´ımedes aunque algunos califican de ap´ ocrifa esta atribuci´ on. Lo que s´ı parece cierto es que Arqu´ımedes se ocup´o del problema.

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Podemos revisar el poema parte por parte para ver c´ omo su lectura avanza desde matem´atica bastante elemental hasta terrenos de complejidad algo mayor. La versi´on que presentaremos tambi´en fue obtenida de la Enciclopedia Sigma, esta vez del tomo 1, p´aginas 124 y 125. Mide la cantidad de reses del Sol, oh extranjero, aplicando tu esfuerzo, si participas de la sabidur´ıa; de la reses que pastaban en las llanuras de la isla de Sicilia Trinaquia divididos en cuatro reba˜ nos de colores distintos: el uno blanco como la leche, otro brillando con un color azul, otro amarillo, y otro variado.... Obs´ervese que el poema comienza como un reto intelectual: el lector debe demostrar su sabidur´ıa calculando el n´ umero de reses que el dios Sol tiene en la llanura de Trinaquia, y para ello, como en todo problema, el c´ alculo debe hacerse a partir de unos datos dados. En este caso, tenemos cuatro reba˜ nos de reses de colores distintos: blanco, azul, amarillo y variopinto. (Reses azules y amarillas no parecen ser usuales, y menos en los n´ umeros que conseguiremos aqu´ı. Claro que trat´ andose del dios Sol, o de cualquier otro dios, no debe haber mayor problema con eso. Otras traducciones los describen negros y marrones, pero nosotros mantendremos fidelidad a nuestro texto.) Es importante ver que las reses est´an distribuidas en n´ umeros diferentes de machos y hembras repartidos en cada color, esto es lo que le dar´a forma al planteamiento del problema: ... En cada reba˜ no hab´ıa toros potentes en n´ umero componiendo esta simetr´ıa... “Potentes en n´ umero” significa que la cantidad de toros es un n´ umero que sorprender´ a al lector. Una forma de ir prepar´ andose para un desenlace sorprendente. ... Imagina, ¡oh extranjero!, a los de pelo blanco iguales a la mitad y un tercio de los toros azules, y a todos los amarillos, ¡Atenci´ on! He aqu´ı un enunciado cl´ asico para ser expresado en forma matem´atica. Designemos por T B, T A, T Y y T V , respectivamente, al n´ umero de toros blancos, azules, amarillos (¡perd´ on!: Y de yellow, para no repetir la A) y variopintos. Entonces los versos anteriores dicen que
 1 1 TB = + T A + T Y, 2 3 y contin´ uan de esta manera

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pero los azules iguales a la cuarta y quinta parte de los mezclados y, adem´ as, a todos los amarillos. Y ve que los restantes de color variado igualan una sexta y s´eptima parte de los blancos junto con todos los amarillos. ¡Aj´ a!, m´ as ecuaciones; por un lado
 1 1 TA = + T V + T Y, 4 5 y por el otro


TV =

1 1 + 6 7

 T B + T Y,

lo que puede resumirse en 5 TA + TY 6 9 TA = TV + TY 20 13 TV = TB + TY 42 Lo anterior es un sistema de ecuaciones lineales indeterminado, es decir, que admite infinitas soluciones. Pero lo m´ as importante es que es de naturaleza diof´ antica, en otras palabras: ha de resolverse en n´ umeros enteros. Si se mantiene a T Y como una constante del problema lo que queda es un sistema de tres ecuaciones lineales en las tres inc´ognitas T B, T A y T V que puede resolverse con las t´ecnicas que se aprendieron en el noveno grado (o tercer a˜ no de bachillerato, para los de mayor edad). El resultado, como es natural, depende de T Y y es TB

=

742 178 1580 T Y, TA = T Y, TV = T Y. 297 99 891 Que hay infinitas soluciones se ve directamente del hecho de que el n´ umero de blancos, azules y variopintos depende del n´ umero de amarillos. Sin embargo, para que tenga sentido la soluci´ on y quede todo en n´ umeros enteros como se espera, T Y debe tener un valor m´ ultiplo de todos los denominadores de las fracciones anteriores. Pero esto significa que el menor n´ umero de toros que satisfacen las condiciones anteriores se obtiene cuando T Y es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 287, 99 y 891, es decir que el n´ umero de toros amarillos sea 891, lo que da 2226 toros blancos, 1602 toros azules y 1580 toros variopintos: 6299 toros. ¡Un reba˜ nito nada despreciable, ¿no?! ¡Ya va! ¡Ya va! Pero no todo queda aqu´ı, porque no hemos metido a las vacas en la cuenta. Y es que el poema sigue: TB =

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Las proporciones de las vacas eran ´estas: las blancas eran iguales exactamente a una tercera parte y un cuarto de todo el reba˜ no de las azules; y las azules igualaban a su vez a un cuarto junto con una quinta parte de las mezcladas cuando iban a pastar todas con los toros. ¡Ah! O sea que los n´ umeros de vacas en el reba˜ no est´an relacionadas entre s´ı y tambi´en con los n´ umeros de toros del reba˜ no, pero por colores. Porque si V B, V A, V Y y V V son los n´ umeros respectivos de vacas, los versos anteriores se pueden traducir en
 1 1 VB = + (V A + T A) 3 4 y
VA=

1 1 + 4 5

 (V V + T V ).

Faltan, por supuesto, condiciones sobre las vacas de los reba˜ nos de colores faltantes: Las variadas ten´ıan igual n´ umero divididas en cuatro partes a una quinta parte y un sexto del reba˜ no de las amarillas. Las amarillas eran en n´ umero iguales a la mitad de una tercera parte del reba˜ no blanco y una s´eptima parte. Es decir,
VV =

1 1 + 5 6

 (V Y + T Y )

y
VY =

1 1 + 6 7

 (V B + T B).

Y ahora, la primera parte del reto: Di t´ u exactamente, ¡oh extranjero!, el n´ umero de las reses del Sol, por un lado el n´ umero de los robustos toros y por otro las vacas seg´ un el color de cada una, y no se te llamar´ a ignorante o imperito en n´ umeros,

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De manera que para ganarse esta distinci´ on, el lector sin olvidar las condiciones que ya hab´ıa establecido para los n´ umeros de los toros, estaba obligado a resolver el siguiente sistema de ecuaciones VB

=

VA

=

VV

=

VY

=

7 (V A + T A) 12 9 (V V + T V ) 20 11 (V Y + T Y ) 30 13 (V B + T B) 42

el que, despu´es de un tedioso trabajo, debe conducirlo a VB =

2402120 TY ; 1383129

VA=

543694 TY ; 461043

604357 TY ; 461043

VV =

106540 TY ; 125739

VY =

en donde se ve que la soluci´ on depende nuevamente del n´ umero de toros amarillos, el cual debe seleccionarse –para obtener la soluci´ on en los valores m´as peque˜ nos– igual al m´ınimo com´ un m´ ultiplo de 891, 1383129, 461043 y 125739, es decir, 4149387. Sustituyendo este valor en las f´ ormulas obtenidas anteriormente, se llega a la siguiente tabla contable: Blancos Azules Amarillos Variopintos

Toros 10366482 7460514 4149387 7358060 28934443

Vacas 7206360 4893246 5439213 3515820 20854639

17572842 11953760 9588600 10873880 49789082

¡Debe haber sido algo extensa la llanura de Trinaquia para poder meter en ella 49789082 reses! (Al margen: el diccionario Larousse afirma que el territorio actual de Sicilia es de 25708 Km2 , es decir, 25708000000 m2 .) Bueno... de acuerdo al testimonio del propio poema ya no se nos puede llamar “imperitos en n´ umeros”, pero por aqu´ı nos viene algo pues el poema todav´ıa no termina: pero tampoco se te contar´ a entre los sabios. Pero ven y comprende todas estas proporciones de las reses del Sol: ¡Una sorpresita! El problema contin´ ua: faltan datos. Pues bien, sigamos:

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Cuando los toros blancos mezclaron su n´ umero con los azules, se mantuvieron firmes con igual n´ umero en profundidad y anchura, y todas las largas llanuras de Trinaquia se llenaron en cuadro. Entonces es un cuadrado el n´ umero total de toros blancos y azules: T B + T A = C 2, condici´ on que no cumple la soluci´ on que hemos obtenido hasta ahora. Mas hay que observar que nuestra soluci´ on parcial es la m´ınima para los datos que hasta ese momento ten´ıamos, pero cualquier m´ ultiplo entero fijo de ellas tambi´en satisface al problema; as´ı que podemos volver al momento en que s´olo nos ocup´ abamos de los toros, de manera que si H es un n´ umero entero, cada uno de los n´ umeros que obtuvimos en ese momento se puede multiplicar por H y la soluci´ on es v´alida. Con relaci´ on a nuestra u ´ltima ecuaci´on esto significa que 2226H + 1602H = C 2 , de donde 3828H = C 2 . Aunque todav´ıa queda por leer en el poema: Adem´ as, cuando los amarillos se reunieron junto con los variados se dispusieron de manera que empezando desde uno creci´ o su n´ umero hasta formar una figura triangular, y no hab´ıa toros de otros colores, ni faltaba ninguno. El poeta introduce ahora el concepto de n´ umero triangular: estos son n´ umeros que se obtienen sumando los enteros positivos en secuencia 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· hasta un n´ umero entero determinado. Quiz´ as el lector conozca la f´ormula siguiente: 1 + 2 + 3 + ··· + ∆ =

∆(∆ + 1) , 2

por lo cual los versos anteriores matem´aticamente se pueden traducir como TY + TV =

∆(∆ + 1) , 2

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o, aplicando los comentarios anteriores, 4942H = ∆2 + ∆ Ahora, para no olvidar que las vacas nos cambiaron el n´ umero original de toros que hab´ıamos encontrado, obs´ervese que el n´ umero de toros de cada color que aparecen en la tabla contable anterior es igual a cada uno de los n´ umeros originales multiplicados por 4657, el cual es un n´ umero primo. Lo que significa que podemos hacer H = 4657h, en donde h es cierto n´ umero entero. Adem´as 3828 = 22 · 3 · 11 · 29 = 4 · 957, raz´on por la cual la ecuaci´ on 3828H = C 2 , se transforma en C 2 = 4 · 957 · 4657h. Esto obliga a que h tenga como factores a 957, 4657 y alg´ un otro t´ermino cuadr´ atico, es decir h = 957 · 4657y 2 . Si todo esto se incorpora a la ecuaci´ on 4942H = ∆2 + ∆, entonces esta se modifica como 4942 · 957 · 46572 y 2 = ∆2 + ∆, o, lo que es lo mismo ∆2 + ∆ = 102571605819606y 2 . Si esta igualdad la multiplicamos por 4 y completamos el cuadrado, entonces queda como (2∆ + 1)2 = 410286423278424y 2 + 1, lo que con la asignaci´ on x = 2∆ + 1 se transforma en x2 − 410286423278424y 2 = 1.

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Las ecuaciones diof´anticas del tipo x2 − dy 2 = 1, donde d debe carecer de cuadrados, se conocen como ecuaciones de Fermat, pues fue este abogado con inclinaciones matem´aticas (y de las buenas), quien por primera vez las propuso en 1657. Su soluci´ on hace uso de matem´atica de muy altos quilates y quiz´ a quede para un posterior art´ıculo. De todas formas, dado que en nuestro caso particular, d es un n´ umero muy grande, las soluciones m´ınimas implican n´ umeros de 206541 cifras. Queda por lo tanto la duda de si Arqu´ımedes termin´o de resolver este problema: tal n´ umero de reses no caben en la tierra toda... ni siquiera en toda la extensi´on del Sol. De manera que entonces, no tenemos m´as remedio que admitir humildemente nuestra imposibilidad de recibir la distinci´ on que el poema reserva para su final: Si encuentras todo esto, extranjero, y lo re´ unes en tu mente y das todas las medidas de las cantidades marchar´ as con la gloria de la victoria y sabr´ as que se te considera perfecto en esta ciencia.

´nez Douglas Jime ´ticas Departamento de Matema UNEXPO Venezuela