El problema de las 13 esferas. Parte I Guillermo Javier Flores

El “problema de las 13 esferas”, responde a la pregunta, de cu´al es el mayor n´ umero, posible de acomodar, de esferas del mismo tama˜ no no superpues´ tas, en dimensi´on tres, que est´en en contacto con una esfera central fija. Este planteamiento, fue un tema de controversia entre los cient´ıficos Isaac Newton y David Gregory que tuvo lugar en la Universidad de Cambridge, en Mayo del a˜ no 1694. En el a˜ no 1950, H. W. Turnbull, un inspector de escuela de ingl´es, estaba haciendo una investigaci´on sobre la vida de Isaac Newton. En el transcurso de este trabajo analiz´o numerosas ponencias, papers, cartas y distintas notas, dentro de los cuales se encontr´o con dos documentos que le servir´ıan de base para el problema de las 13 esferas. Uno de ellos, era un memorando de una discusi´on que los dos cient´ıficos de Cambridge habr´ıan tenido con respecto al problema. Y el otro, era un cuaderno no publicado el cual conten´ıa algunas notas escritas por Gregory, donde respond´ıa la misma pregunta del problema, primero en dimensi´on dos y luego en dimensi´on tres. David Gregory, un buen partidario de Newton, fue a la Universidad de Cambridge para trabajar con ´el. Durante varios d´ıas dialogaban sobre interminables tema cient´ıficos. Gregory tomaba notas del gran maestro que libraba sus pensamientos sin parar saltando de una disciplina en otra, desde curvatura de los objetos geom´etricos, el “humo” despedido por 28

un cometa, las velocidades de los diferentes colores de la luz, secciones c´onicas, la interacci´on entre distintos planetas, etc. En un momento, ellos estaban discutiendo la distribuci´on de estrellas de varias magnitudes que giran alrededor de un sol central. Entre sus deliberaciones se plante´ o la cuesti´on de que si una esfera central pod´ıa estar en contacto con otras trece esferas del mismo tama˜ no, sin superposici´on. Y aqu´ı es donde sus opiniones discern´ıan, Newton afirmaba que el l´ımite era 12, mientras que Gregory cre´ıa que 13 pod´ıa ser posible. En la actualidad, el problema de las 13 esferas, se puede interpretar de una manera m´as general. El n´ umero de contacto, n´ umero de osculaci´on o “kissing number” k(n), es el n´ umero m´aximo de esferas en Rn de igual tama˜ no no superpuestas que pueden estar en contacto simult´ aneamente con otra esfera del mismo tama˜ no (fija). En tres dimensiones, el n´ umero de contacto k(3), es prescisamente el planteamiento que se hicieron los grandes matem´aticos Newton y David Gregory. ´ Este es conocido como el “problema de las trece esferas” en honor a la famosa discusi´on entre ellos. La primera prueba que k(3) = 12, fue dada por Sch¨ utte y Van Der Waerden en el a˜ no 1953. En 1956 John Leech da una demostraci´on elegante y compacta (de s´olo dos p´aginas) de este problema, pero para poder comprender esta prueba, se necesita de resultados sofisticados de trigonometr´ıa esf´erica. El problema de las trece esferas, sigue siendo de gran inter´es en la actualidad para muchos matem´aticos y nuevas demostraciones son publicadas, como ser las de Hsiang, Maehara, Anstreicher y B¨or¨ oczky. Algo para destacar de este problema, es que siendo tan geom´etrico y representativo f´ısicamente, no existe todav´ıa una demostraci´on sencilla, es decir, con herramientas b´asicas de la matem´atica. Todas las demostraciones conocidas de este problema, requieren de conocimientos espec´ıficos y complejos de la matem´atica. Nosotros presentaremos un breve estudio de la demostraci´on de Oleg Musin dada en el a˜ no 2004, basada en el m´etodo de Philippe Delsarte.

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Introducci´on En dimensi´on 1 el n´ umero de contacto es 2 y es muy f´acil de calcular. En dimensi´on 2, se puede ver de manera sencilla que k(2) = 6. Podemos apreciar gr´aficamente, en dimensi´on 1:

En dimensi´on 2:

Cuando queremos plantear el problema para obtener k(3), se nos presenta una dificultad que no tenemos en las dimensiones 1 y 2. Si acomodamos siete bolas de villar sobre una mesa, como en el dibujo anterior, podemos colocar por la parte superior exactamente tres bolas m´as que est´en en contacto con la bola central. Y si hacemos lo mismo en la parte inferior, obtenemos de manera sencilla doce bolas tocando la bola central. Esta manera de acomodar las esferas es conocida como la configuraci´on de Johannes Kepler. La cual nos dice que k(3) es mayor o igual que doce. Existe una manera particular de acomodar doce bolas en contacto con una bola central, llamada configuraci´on icosaedro. Un icosaedro regular es un s´olido 30

limitado por 20 caras, las cuales son todas tri´angulos equil´ateros iguales.

Figura 1: icosaedro regular

Colocando una esfera en cada v´ertice del icosaedro, de radio la mitad de un lado entre dos v´ertices, y colocando una esfera en el centro del s´olido, podemos obtener doce esferas que est´an en contacto con la esfera central, pero no se tocan entre ellas. Esta manera de acomodar las esferas, se conoce como configuraci´on icosaedro.

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Figura 2: configuraci´on icosaedro

Una obeservaci´on importante es que si uno toma una de las esferas que no sea la central, puede moverla libremente sin que toque una de las otras esferas. Lo cual nos dice, que en realidad existen infinitas maneras de acomodar doce esferas alrededor de una fija. Y adem´as, el espacio que “sobra” no es para nada despreciable con respecto a la superficie de una esfera. Es por esto, que David Gregory se preguntaba si existiese alguna manera especial de acomodar las doce esferas y que sobre lugar para encajar una m´as. Si retomamos la configuraci´on de Kepler, podemos darnos cuenta que esta configuraci´on es r´ıgida en el siguiente sentido: las esferas que est´an en contacto con la bola central, est´an simult´ aneamente en contaco con otras, entonces si quisi´eramos mover una de las bolas que no sea la central, como en la configuraci´on icosaedro, entonces el esquema se rompe. Otro resultado que en alg´ un sentido convenc´ıa a David Gregory que “k(3) = 13” es el siguiente. Un primer an´alisis matem´atico que podemos realizar sobre el problema, tiene que ver con el ´area de las esferas. Consideremos tres esferas de radio uno no superpuestas, que tomadas de a dos est´en en contacto, como se muestra en la siguiente figura En cierto modo, ´esta es la manera m´as densa de juntar tres esferas. Como el radio de las esferas es 1, el tri´angulo equil´atero formado por ABC tiene lado L = 2, y luego h = 1. 32

Ahora, supongamos que en el problema de las trece esferas, colocamos algunas esferas en contaco con la bola fija, y luego las enumeramos. La esfera Si2 tiene un punto xi que est´a en contacto con la esfera central, es decir xi ∈ S 2 . Luego, estos puntos de contacto, tomados de a pares, digamos (xi , xj ), satisfacen φi,j ≥ 60◦ , di,j ≥ h = 1,

distancia angular, o bien distancia eucl´ıdea.

Supongamos que colocamos una esfera en el polo norte de la bola central, entonces podemos tener en cuenta el conjunto H ⊂ S 2 en forma de “casco”, dado por √ ¾ ½ 3 2 ≤z≤1 , H = (x, y, z) ∈ S : 2 √ notar que cos(30◦ ) = cos(π/6) = 3/2.

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Figura 3:

Para calcular el ´area de H, usaremos un resultado de Arqu´ımedes sobre la esfera incrustada en el cilindro (como en la figura), el cual nos afirma que √ ¶ µ 3 a ´rea(H) = 1 − 2π ≈ 0, 841787214 2 y a ´rea(S 2 ) = 4π ≈ 12, 56637061; como

√ ¶ µ 3 15 1 − 2 > 4, 005 2

entonces 15 a ´rea(H) > 4π. Por lo tanto, tenemos que k(3) ≤ 14. 34

k(3) = 12 Consideremos la familia de polinomios de Legendre {fk }k∈N , definida de manera recurrente como sigue f0 (t) = 1,

f1 (t) = t,

fk (t) =

f2 (t) =

3 2 1 t − ,... 2 2

2k − 1 k−1 tfk−1 (t) − fk−2 (t), k k

o equivalentemente 1 dk 2 (t − 1)k . 2k k! dtk Esta u ´ltima igualdad, es conocida como la f´ormula de Rodrigues. fk (t) =

Lema 1 Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } subconjunto de puntos contenidos en S 2 . Denotamos φi,j = dist(xi , xj ) la distancia angular entre xi y xj , entonces n n X X

¡ ¡ ¢¢ fk cos φi,j ≥ 0

para todo k ≥ 0.

i=1 j=1

Ahora, tomamos el siguiente polinomio de grado 9:

f (t) =

2431 9 1287 7 18333 5 343 4 83 3 213 2 1 1 t − t + t + t − t − t + t− , 80 20 400 40 10 100 10 200

el cual nos permite enunciar los dos siguientes resultados. Lema 2 Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ S 2 , entonces n

n

¡ ¢¢ . XX ¡ f cos φi,j ≥ n2 . s(X) = i=1 j=1

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Lema 3 Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ S 2 tal que φi,j ≥ 60◦ , para todo i, j, entonces n X n X ¡ ¡ ¢¢ s(X) = f cos φi,j < 13n. i=1 j=1

Teorema k(3) = 12. Demostraci´on: Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ S 2 , y supongamos que k(3) = n, donde xj es el punto de contacto sobre S 2 al apoyar la esfera j-´esima sobre la esfera fija. As´ı, X est´a bajo las codiciones del Lema 2 y del Lema 3, esto implica n2 ≤ s(X) < 13n, entonces tenemos que n < 13, o bien n ≤ 12. Por otro lado, sabemos que k(3) ≥ 12. ¤ Analizaremos los puntos m´as importantes de las demostraciones de los lemas. Usando la definici´on de recurrencia de los polinomios de Legendre, podemos calcular los primeros diez: f0 (t) = 1,

f1 (t) = t,

5 3 3 t − t, 2 2 63 5 35 3 15 f5 (t) = t − t + t, 8 4 8 f3 (t) =

f7 (t) = f8 (t) = f9 (t) =

35 8 231 f6 (t) = 16 f4 (t) =

3 2 1 t − , 2 2 15 2 3 t4 − t + , 4 8 315 4 105 2 5 t6 − t + t − , 16 16 16

f2 (t) =

429 7 693 5 315 3 245 t − t + t − t, 16 16 16 112

35 6435 8 3003 6 3465 4 315 2 t − t + t − t + , 128 32 64 32 128

12155 9 6435 7 9009 5 1155 3 315 t − t + t − t + t. 128 32 64 32 128

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Es f´acil de verificar que el polinomio f (t) que definimos despu´es del Lema 1, lo podemos escribir como 9

8 87 33 49 1 8 . X f = f0 + f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f9 = ck fk , 5 25 20 25 10 25 k=0

y notar que los coeficientes ck son mayores o iguales que cero. Prueba del Lema 2: Como podemos expresar a f en t´erminos de las funciones {fk }9k=1 9 X f= ck fk , k=0

donde c0 = 1 y ck ≥ 0 para k = 1, 2 . . . 9. Usando el Lema 1 , tenemos que ¸ n X n n X n ·X 9 X ¡ ¡ ¢¢ X ¡ ¡ ¢¢ s(X) = f cos φi,j = ck fk cos φi,j = i=1 j=1 9 X k=0

ck

n X n X

i=1 j=1

fk

¡

k=0

n X n ¡ ¢¢ X cos φi,j ≥ c0 f0 = n2 . i=1 j=1

i=1 j=1

Por lo tanto s(X) ≥ n2 . ¤ Para entender las demostraciones de los otros dos lemas, usaremos un resultado b´asico y simple de geometr´ıa esf´erica, que es la ley de los cosenos en tri´angulos esf´ericos. La intersecci´on de una esfera con un plano que contenga su centro genera un c´ırculo m´aximo y una circunferencia m´axima sobre la esfera. Un c´ırculo m´aximo divide la esfera en dos hemisferios iguales. Si tres puntos de la superficie esf´erica son unidos por arcos de c´ırculo m´aximo menores a 180◦ , la figura obtenida se denomina tri´angulo esf´erico. Los lados del pol´ıgono as´ı formado se expresan por conveniencia como ´angulos cuyo v´ertice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. Observemos el siguiente tri´angulo esf´erico, como muestra la Figura 3, y definamos: sean O el centro de la esfera, u el vector desde el origen hasta C, v el 37

vector desde el origen hasta A y w el vector desde el origen hasta B. Adem´as consideremos a como el arco formado por AC, b el arco formado por CB y c el arco formado por AB. Sabemos que se cumple en general u · v = |u| |v| cos(a), como u, v y w son vectores unitarios, tenemos que   u · v = cos(a) w · u = cos(b)  w · v = cos(c)

Figura 4: tri´angulo esf´erico Para obtener γ en t´erminos de u, v y w, necesitamos los vectores tangentes unitarios a u, ta y tb , a lo largo de las direcciones de los arcos a y b respectivamente. Luego

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ta =

v − u(u · v) v − u cos(a) = |v − u(u · v)| sin(a)

tb =

w − u(u · w) w − u cos(b) = |w − u(u · w)| sin(b)

y

por lo tanto cos(γ) = ta · tb =

cos(c) − cos(a) cos(b) , sin(a) sin(b)

o bien, podemos obtener, lo que llamamos ley de los cosenos en tri´angulos esf´ericos cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(γ). Observaci´on: notar que en los tri´angulos esf´ericos se satisface que 180◦ < α + β + γ < 540◦ . Prueba del Lema 1: Los polinomios de Legendre, satisfacen la siguiente igualdad, que es conocida como una de las propiedades adicionales de ´esta familia de polinomios, ¡ ¢ fk cos(θ1 ) cos(θ2 ) + sin(θ1 ) sin(θ2 ) cos(ϕ) = fk (cos(θ1 ))fk (cos(θ2 )) + 2

k X (k − m)! m f (cos(θ1 ))fkm (cos(θ2 )) cos(mϕ) = (k + m)! k

m=1 k X

cm,k fkm (cos(θ1 ))fkm (cos(θ2 )) cos(mϕ),

m=0

donde m

fkm (t) = (1 − t) 2

dm fk (t) dtm

y

cm,k =

(k − m)! > 0. (k + m)!

Sea X = {x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ S 2 y xi tiene coordenadas esf´ericas (θi , ϕi ). Luego por la ley de los cosenos cos(φi,j ) = cos(θi ) cos(θj ) + sin(θi ) sin(θj ) cos(ϕi,j ),

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. ϕi,j = ϕi − ϕj ,

por lo que obtenemos X

fk (cos(φi,j )) =

k XX

cm,k fkm (cos(θi ))fkm (cos(θj )) cos(mϕi,j ) =

i,j m=0

i,j

X k

cm,k

X

um,i um,j cos(mϕi,j ),

. um,i = fkm (cos(θi )).

i,j

Ahora veamos que si u1 , u2 . . . un ∈ R entonces X ui uj cos(mϕi,j ) ≥ 0. i,j

Tomamos v1 , v2 . . . vn ∈ R2 con coordenadas vi = (cos(mϕi ), sin(mϕi )), y consideramos v = u1 v1 + u2 v2 + . . . + un vn , entonces X ui uj cos(mϕi,j ). 0 ≤ ||v||2 = < v, v > = i,j

¤ Con estos resultados, finalizamos esta Parte I del trabajo. En la siguiente edici´on de la revista, continuaremos con un breve estudio de la prueba del Lema 3, que se basa en c´alculos puramente t´ecnicos donde se usan propiedades particulares que tiene la funci´on f y la ley de cosenos en tri´angulos esf´ericos. Adem´as presentaremos algunas soluciones conocidas sobre el problema de n´ umero de osculaci´on en dimensiones mayores que 3; las relaciones de estos problemas con la teor´ıa de “Ret´ıculos” (o conocidos como Lattices) y problemas semejantes que son estudiados actualmente y se derivan del problema de las trece esferas. Tambi´en haremos algunos comentarios sobre el resultado de Arqu´ımedes de la esfera incrustada en el cilindro; propiedades de la familia de polinomios de Legendre, que en realidad son un caso especial de una familia de polinomios m´as general conocida como la flia. de Gegenbauer. Y concluiremos con una tabla en donde podemos apreciar algunas soluciones para k(d) con d ≥ 4, o las mejores aproximaciones que son conocidas actualmente.

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Referencias [1] J.Leech, The problem of the thirteen spheres, Math. Gazette 41 (1956), 22-23. [2] O. R. Musin, The Kissing problem in three dimensions, cite as: arXiv:math/0410324v3 [math.MG]. [2] O. R. Musin, The kissing number in four dimensions, preprint, September 2003, math. MG/0309430. [4] G. G. Szpiro, Newton and the kissing problem, http://plus.maths.org/issue23/features/kissing/.

Facultad de Matem´atica, Astronom´ıa y F´ısica. FaMAF. Universidad Nacional de C´ordoba. [email protected]

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