ELABORACIÓN DE CALENDARIOS DEPORTIVOS MEDIANTE TEORÍA DE EMPAREJAMIENTOS José Pedro Gil Román 4º Curso: Matemáticas, cotidianidad y belleza Profesor tutor: Ramón Piedra Sánchez Área de conocimiento: Ciencias Experimentales

INTRODUCCIÓN La mayor parte de las veces, la cotidianidad con la que las matemáticas intervienen en la vida diaria, las hace pasar inadvertidas o simplemente las observamos con una aparente facilidad que no es cierta. Y me refiero a esto como experiencia personal más que probada. Hace años me interesé en averiguar cómo se hacían los calendarios deportivos. En principio comencé la tarea considerándolo algo simple y al alcance de cualquiera, pero según se iban sucediendo las jornadas, la cosa se complicaba hasta volverse imposible. De una u otra manera siempre sobraba un equipo o se repetía un enfrentamiento hasta que la dificultad me hizo desistir de seguir intentándolo. A partir de este momento empecé a pensar que este tipo de trabajo, debería utilizar alguna fórmula, procedimiento o método matemático que facilitara la labor y a sentir, quizás por primera vez, como las matemáticas influían en las cosas más elementales de la vida. Durante años he preguntado a numerosas personas de mi entorno sobre la resolución de este problema, sin haber obtenido respuesta. Los calendarios que se utilizaban en los clubs de ocio, donde existían competiciones deportivas, se copiaban de otros ya elaborados, se cambiaban los nombres de los equipos y problema resuelto. Naturalmente, es obvio decir que en el entorno en el que me movía, no tenía la suerte de contar con ningún matemático. Afortunadamente, en este último curso y al contar con una asignatura de matemáticas, he vuelto a sentir la inquietud por conocer la solución de este problema y me dirigí a D. Ramón Piedra, con la esperanza de obtener una respuesta, pero como todo buen maestro, D. Ramón no me dio el pez ya cocinado, me enseñó a pescar. Me habló del algoritmo de Round Robin, me dijo que investigara por ese camino y apareció la solución. En principio, investigando los proyectos fin de carrera de dos ingenieros informáticos: Aida Olalla Fernández y Miguel Martínez Conde Rubio que en sus proyectos fin de carrera de Ingeniería Informática en ICAI, dirigidos por Doña María Luisa Guerrero Lerma y Don Javier Rodrigo Hitos (1y2), proponían soluciones al problema utilizando distintos algoritmos basados en la teoría de grafos. El estudio matemático realizado para poder llevar a cabo los calendarios deportivos, se centra fundamentalmente en la relación existente entre los emparejamientos y los ciclos de Hamilton. De esta manera, mediante un solo método, se pueden obtener calendarios para cualquier competición en la que los equipos se enfrenten dos a dos sin repetir rival, sea cual sea el número de equipos que la compongan. Para la realización de estos calendarios, usan el lenguaje de programación Visual Basic y los recursos de Windows. (1) No obstante, no era exactamente eso lo que yo buscaba. Para la creación de los calendarios tal y como proponían los autores del proyecto, habría que crear un programa -1-

informático que lo ejecutaría un ordenador y mi intención era encontrar algo más simple y al alcance de cualquiera para realizar manualmente los calendarios. De esta manera, llegué al algoritmo de Round Robin. EL ALGORITMO Y SU JUSTIFICACIÓN Este algoritmo, muy utilizado en las tareas de computación informática, resultó la solución a aplicar para obtener los resultados requeridos y que consisten básicamente en mantener un número fijo, mientras los demás van rotando tal y como se expone a continuación: Supongamos que planificamos una liga de 10 equipos en la que naturalmente, todos tendrían que jugar contra todos. En general y como se puede apreciar, empezamos con un número par de equipos. Los equipos los nombraremos numeralmente del 0 al 9 ambos incluidos. La primera jornada la podemos establecer mediante sorteo, en este ejemplo hemos enfrentado al equipo n, con el equipo n+5. Manteniendo el equipo 1 fijo, y rotando los demás, siguiendo el ciclo X = (6,2,3,4,5,0,9,8,7), se celebrarían 9 jornadas que quedarían como sigue: Jornada 1 1- 6 2- 7 3- 8 4 -9 5-0 Jornada 6 1–5 0–4 9–3 8–2 7-6

Jornada 2 1–7 6–8 2–9 3–0 4–5 Jornada 7 1–4 5–3 0–2 9–6 8-7

Jornada 3 1–8 7–9 6–0 2–5 3–4 Jornada 8 1–3 4–2 5- 6 0–7 9–8

Jornada 4 1–9 8–0 7–5 6–4 2-3 Jornada 9 1–2 3–6 4–7 5–8 0-9

Jornada 5 1–0 9–5 8–4 7–3 6-2

Cada jornada se celebrarán 5 encuentros y los equipos jugarían de la siguiente manera: Equipo 1 contra: 6, 7, 8, 9, 0, 5, 4, 3 y 2. Equipo 2 contra: 7, 9, 5, 3, 6, 8, 0, 4 y 1. Equipo 3 contra: 8, 0, 4, 2, 7, 9, 5, 1 y 6. Equipo 4 contra: 9, 5, 3, 6, 8, 0, 1, 2 y 7. Equipo 5 contra: 0, 4, 2, 7, 9, 1, 3, 6 y 8. Equipo 6 contra: 1, 8, 0, 4, 2, 7, 9, 5 y 3. Equipo 7 contra: 2, 1, 9, 5, 3, 6, 8, 0 y 4. Equipo 8 contra: 3, 6, 1, 0, 4, 2, 7, 9 y 5. Equipo 9 contra: 4, 2, 7, 1, 5, 3, 6, 8 y 0. Equipo 0 contra: 5, 3, 6, 8, 1, 4, 2, 7 y 9. Como se puede observar, cada equipo juega 9 partidos, uno con cada uno de sus rivales, sin repetición alguna como se pretendía inicialmente: Para justificar el algoritmo, designaremos por T, al ciclo T = (6,7,8,9,0,5,4,3,2), inverso del ciclo X. Nótese, que este ciclo corresponde a los sucesivos rivales del equipo 1. -2-

Los rivales del equipo 2, que ocupa el segundo lugar en X, son: el equipo que está en el segundo lugar de T, el 7, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 9,5,3,6,8,0,4,1. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 2, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 3, que ocupa el tercer lugar en X, son: el equipo que está en el tercer lugar de T, el 8, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 0,4,2,7,9,5,1,6. Obsérvese que al alcanzar el T, el nº 3, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 4, que ocupa el cuarto lugar en X, son: el equipo que está en el cuarto lugar de T, el 9, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 5,3,6,8,0,1,2,7. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 4, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 5, que ocupa el quinto lugar en X, son: el equipo que está en el quinto lugar de T, el 0, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 4,2,7,9,1,3,6,8. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 5, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 6, que ocupa el primer lugar en X, son: el equipo que está en el primer lugar de T, el 1 (sustitución habitual), y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 8,0,4,2,7,9,5,3. Los rivales del equipo 7, que ocupa el noveno lugar en X, son: el equipo que está en el noveno lugar de T, el 2, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 1,9,5,3,6,8,0,4. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 7, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 8, que ocupa el noveno lugar en X, son: el equipo que está en el noveno lugar de T, el 3, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 6,1,0,4,2,7,9,5. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 8, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 9, que ocupa el séptimo lugar en X, son: el equipo que está en el séptimo lugar de T, el 4, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 2,7,1,5,3,6,8,0. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 9, lo sustituimos por el nº fijo=1. Los rivales del equipo 0, que ocupa el sexto lugar en X, son: el equipo que está en el sexto lugar de T, el 5, y los sucesivos equipos que se obtienen saltando de 2 en 2 en T, es decir, 3,6,8,1,4,2,7,9. Obsérvese que al saltar en T y alcanzar el nº 0, lo sustituimos por el nº fijo=1. En resumen, en todos los casos distintos al equipo nº 1, cuyos rivales son los del ciclo T, los rivales del equipo que ocupa el lugar N en X son: el que ocupa la misma posición N en T, y a partir de ahí van saltando en T de dos en dos en cada jornada, Como el orden de T es impar, con 8 saltos pares se recorren todos los elementos de T, sin repetir. Otro problema a resolver sería una liguilla en la que los equipos fueran impares, para ello, cada jornada tendría que descansar un equipo y para designar al que lo haría, se procedería a incluir un equipo al que llamaríamos E. posteriormente aplicaríamos el algoritmo como si los equipos fueran pares y a quien le tocara jugar con el equipo E, sería el que descansaría cada jornada. En este ejercicio no se aborda el problema de la alternancia de jugar como local o visitante ni se plantea la posibilidad de más de un equipo en la misma localidad.

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OTRAS INTERACCIONES ENTRE EL DEPORTE Y LAS MATEMÁTICAS Pero esto solo es una pequeña aproximación a la afinidad que tienen las matemáticas con el deporte y más concretamente con el futbol. Aparte de los calendarios, existen las clasificaciones. En ellas, se utilizan normas tan simples como las que maneja la liga española, en la que obtiene 3 puntos el equipo que gana el partido, 1 para cada uno si empatan y 0 puntos para el que pierde. Quien tiene más puntos está el primero y en caso de empates a puntos, deciden los goalaverages particulares entre ellos, y si en estos también empatan, el goalaverage general. Pero para otro tipo de clasificaciones, por ejemplo el de los equipos a nivel mundial o las selecciones nacionales, se usa otro tipo de parámetros en los que se tienen en cuenta conceptos como la clasificación histórica de los equipos, constante adjudicada al continente al que pertenece, etc. Según estas constantes, para obtener una clasificación mundial, se han de tener en cuenta unos coeficientes que se otorgan en cada enfrentamiento: no es igual que España gane a Italia (5 veces campeón del mundo), que gane a Panamá, que con todo respeto es un equipo sin historia futbolística y totalmente desconocido. Otro aspecto en el que las matemáticas tienen una estrechísima relación con el deporte son las estadísticas. Hoy en día, no solo se controla quien gana o pierde. El deporte, sobre todo en el multimillonario negocio de las apuestas, necesita datos en los que basar las predicciones y conforme a esos datos, se establecen las ganancias. Los datos controlan el tiempo de posesión de balón que tiene cada equipo, el número de pases acertados, las veces que tira a puerta, las faltas que comete y recibe, el número de lesiones que tienen sus jugadores más carismáticos, los goles marcados, recibidos etc. Con todo ello se confeccionan unas clasificaciones que dan lugar a predicciones muy certeras, que si bien, no son infalibles, sí hacen ganar muchísimo dinero a las casas de apuestas y a algunos de los apostantes. El portugués Luís Amaral (7) y sus compañeros de la Universidad de Northwestern, por ejemplo, propusieron una nueva técnica para evaluar el juego de un equipo de fútbol, teniendo en consideración la contribución de cada jugador al resultado final y las complejas interacciones entre ellos. Con todos estos datos desarrollaron un software que fue capaz de calcular el nivel de profesionalidad que tiene cada equipo y sus jugadores individualmente y para nuestro asombro (no el de los científicos que realizaron las predicciones), una vez analizados los partidos de la Eurocopa de 2008, la clasificación elaborada con los datos que introdujeron los matemáticos en el programa informático, elaborado para hacer los cálculos, coincidió al 100% con el resultado final del torneo. Esto no quiere decir que tenga que ser siempre así. Si algún encanto tiene el futbol u otros deportes competitivos y en los que la afición es un componente que pone pasión y sentimiento en la frialdad del juego, es la posibilidad que estos deportes tienen para romper la lógica y hacer realidad la posibilidad más remota, pero la realidad se impone en la mayoría de los casos y es precisamente de lo que trata esta ciencia, de predecir con la mayor fiabilidad posible el resultado final. LA INFLUENCIA EN LOS EQUIPAMIENTOS Dada la tecnificación que se ha producido en los últimos años en el deporte y la altísima profesionalidad que existe en algunos de ellos como el futbol, las técnicas en los equipamientos asociados al mismo se están tratando con todos los medios necesarios -4-

para hacerlos más precisos y dejar cada vez menos espacio al azar. Así pues, la construcción de un balón, que debe asemejar lo más posible la esfera perfecta, para ello, las partes de cuero que forman el balón deben ser estudiadas matemáticamente de manera que su golpeo obtenga el máximo de aprovechamiento de la potencia imprimida por el pie y su dirección responda lo mejor posible a la que el jugador ha querido darle en el momento del golpe. El balón de futbol utilizado en la actualidad, responde a una figura geométrica denominada icosaedro truncado. Esta figura no es nueva y se conoce desde la más remota antigüedad. (observar la piedra central de la fig.1)

FIGURA 1: Piedras neolíticas. El balón de futbol es un poliedro semirregular, es decir, de los que no contienen en cada cara polígonos regulares e iguales, o bien no concurren el mismo número de ellos en cada vértice. Existen 13 y se denominan Sólidos Arquimedianos, en honor a Arquímedes (287-212 a.C.) que fue el primero en describirlos en sus trabajos. Siete de estos poliedros arquimedianos se pueden obtener truncando sólidos platónicos, entre ellos el icosaedro o balón de futbol, como lo llamamos todos los que practicamos o somos admiradores de este noble deporte. El icosaedro truncado, es de hecho el que contiene más volumen en su esfera circunscrita. (fig.2)

Fig.2. Desarrollo de un icosaedro truncado o balón de futbol. Este poliedro formado por 12 pentágonos y 20 hexágonos regulares, en el que las caras no son completamente planas, sino ligeramente curvas y que con la presión adecuada, entre 0.6 y 1.1 bares, llegan a alcanzar una precisión del 96% de la esfera perfecta. Su medida (según normativa), debe estar comprendida entre los 68 y 70 cm. de diámetro y el peso oscilar entre los 410 y 450 gramos. Pero según un estudio (4) de los profesores Manuel Ceballos González y Juan Núñez Valdés, del Dto. De Geometría y Topología de la Universidad de Sevilla, aun se puede mejorar la esfericidad del balón. Y en ese camino se trabaja en las investigaciones de hoy en día, aunque la industria no haya adoptado esta solución porque aumenta bastante la complejidad de la fabricación (120 costuras, frente a las 90 del icosaedro truncado).

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En efecto, para conseguir un balón más esférico, habría que usar otro poliedro que ocupa más del 94% de la esfera. El rombicosidodecaedro, que consta de 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos. (fig.3)

Rombicosidodecaedro

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Aida Olalla Fernández. Junio de 2007. Emparejamientos aplicados a la elaboración de calendarios deportivos. Proyecto fin de carrera de ingeniería informática. ICAI (UP Comillas). Bertram Huppert, Wolfgang Willems. 2006. Lineare Algebra. Teubner Verlag. Blaze Randicap. Marzo de 2.012. Futbol y matemáticas. Artículo de 3 páginas publicado en www.futbolymates.blogspot.com Ceballos González y M. Núñez Valdés J. 2013. El desconocido mundo de los poliedros. Departamento de Geometría y Topología de la Universidad de Sevilla. Libro en preparación. Miguel Martínez Conde Rubio. 2006. Elaboración de calendarios deportivos mediante teoría de emparejamientos. Proyecto fin de carrera de ingeniería informática. ICAI (UP Comillas) www.catedu.es/matematicas_mundo/. Duch J, Waitzman JS, Amaral LAN. Quantifying the performance of individual players in a team activity. PLoS ONE 5, (2010)

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