ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532

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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (9) Ricardo Ram´ırez ´ Facultad de F´ısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2006

´ Ricardo Ram´ırez Facultad de F´ısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

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Ejemplo 1 ´ El espectrografo de masa fue´ inventado por Francis Aston en 1919 con el fin ´ ´ determinar las masas de los isotopos. Los isotopos de un elemento tienen el mismo numero de protones en el nucleo pero distinta masa. Por ejemplo el ´ ´ magnesio tiene 78.7 % de 24 Mg, 10.1 % de 25 Mg y 11.2 % de 26 Mg, i.e. con A = 24, 25 y 26 respectivamente.

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B

r V

x Fuente

´ El espectrografo de masa funciona de la siguiente manera. Suponga que un ´ de un potencial V antes de ion de masa m y carga q se acelera a traves ´ ´ entrar a la camara donde hay un campo magnetico B. Entonces la velocidad ´ con que el ion entra a la camara esta´ determinada por: 12 mv 2 = qV .

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´ Entonces, al entrar a la camara los iones describen un semic´ırculo de radio r = mv /qB de donde obtenemos v = rqB/m y por lo tanto: (Br )2 m = q 2V Ejemplo ´ de Un ion de 58 Ni de carga +e y masa 9.62×10−26 Kg es acelerado a traves ´ un potencial de 3 KV y entra a un espectrografo de masa donde hay un campo de 0.12 T. Encuentre la diferencia de las radios de curvatura para los iones 58 Ni y 60 Ni. r58 = 0.501 m

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r60 = 1.017r58

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r60 − r58 = 9 mm

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Ejemplo 2 Un anillo de radio R y masa m que lleva una corriente I, se encuentra sobre ´ una superficie rugosa en presencia de una campo magnetico horizontal. ´ Calcule el maximo valor de la corriente que puede circular antes de el anillo se levante.

B Ι R

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Ejemplo 3 ´ Un anillo de radio r con corriente I se encuentra en una campo magnetico B, ´ ´ ´ del simetrico y radialmente divergente que hace un angulo θ con la direccion eje del anillo. Calcule la fuerza sobre el anillo.

B a I

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θ

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Ejemplo 4 Un cilindro de madera con masa m, radio R y longitud L lleva N vueltas de ´ es la menor corriente I en el alambre enrollado longitudinalmente. ¿ Cual ´ alambre que le impide rodar hacia abajo en un plano inclinado en un angulo ´ θ, en presencia de un campo magnetico vertical B?

Β

I ΝΙ

θ

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´ CAMPO MAGNETICO PRODUCIDO POR CORRIENTES LEY DE BIOT-SAVART ~ = dB

µo Id~l × ˆr 4π r 2

I

r

B

dl

Jean Baptiste Biot 1774 - 1862

La constante µo se llama la permeabilidad del vac´ıo y tiene el valor ´ con el momento magnetico. ´ 4π × 10−7 [MKS]. No tiene relacion ´ Ricardo Ram´ırez Facultad de F´ısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

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´ Campo magnetico en el centro de un anillo El campo en el centro del anillo se calcula a partir de la expresion anterior: ~ = dB

µo Idl sin θ 4π R 2

con sin θ = 1 ya que d~l y ˆr son perpendiculares. Esto nos da: ~ = µo I2πR = µo I B 4π R 2 2R

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´ Campo magnetico en el eje de un anillo

dB dB dB z

r

a

α dl

I Ia2 ~ = µo B kˆ 2 (z 2 + a2 )3/2

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´ ~ Aqu´ı tambien dl y ~r son perpendiculares y por lo tanto: dB =

µo I dl 4π r 2

Ahora obtenemos las componentes de dB paralela y perpendicular al eje del anillo: µo I sin α µo I cos α dl dB⊥ = dl dBk = 4π r 2 4π r 2 √ Considerando que√α y r son constantes y que r = z 2 + a2 y cos α = a/r = a/ z 2 + a2 obtenemos I µo Ia2 ~ = Bk kˆ = µo I cos α B dl kˆ = kˆ 2 2 4π r 2 (z + a2 )3/2

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´ Campo magnetico de un conductor rectil´ıneo infinito ~ = dB

µo Id~l × ˆr 4π r 2

y dB r R

θθα I

dl x

z

~ = µo I kˆ B 2π R dB = Ricardo Ram´ırez

µo I dx sin θ 4π r2

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x

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pero: sin θ =

R R = √ r x 2 + R2

r 2 = x 2 + R2

y

por lo tanto: B=

µo I 4π

Z

∞

−∞

R µo I dx = 4πR (x 2 + R 2 )3/2

» √

x 2 x + R2

y dB r R

θθα I

dl x

z

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x

–x=+∞ = x=−∞

µo I 2π R

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LEY CIRCUITAL DE AMPERE La ley de Biot-Savart se puede escribir como: ~ ~r ) = d B(

µo Id~l × (~r − ~r 0 ) 4π |~r − ~r 0 |3

y por lo tanto ~ ~r ) = B(

µo 4π

I

Id~l × (~r − ~r 0 ) |~r − ~r 0 |3

lo que se puede escribir como: ~ ~r ) = B(

µo 4π

Z ~ 0 J(~r ) × (~r − ~r 0 ) 3 0 d r |~r − ~r 0 |3

´ se puede escribir como: Esta ultima expresion ´ Z ~ 0 J(~r ) 3 0 ~ ~r ) = µo ∇ × B( d r ~ 4π |r − ~r 0 | lo que implica: ~ =0 ∇·B Ricardo Ram´ırez

2da. Ley de Maxwell

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´ se puede demostrar que, debido a que ∇ · ~J = 0, Tambien ~ ~r ) = µo J(~r ) ∇ × B( ´ sobre una superficie S limitada por Podemos integrar esta expresion un circuito C Z Z ~ ~r ) · n ˆ dS = µo ˆ dS ∇ × B( J(~r ) · n S

S

Aplicando el teorema de Stokes: I Z ˆ dS = µo I B(~r ) · d~l = µo J(~r ) · n C

S

Esta es la LEY CIRCUITAL DE AMPERE Ricardo Ram´ırez

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I

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B(~r ) · d~l = µo

C

Z

ˆ dS = µo I J(~r ) · n

o

0

S

La corriente circula por un circuito C 0 que enlaza el circuito C. Si los ´ es cero. circuitos no estan enlazados el lado derecho de esta relacion

C’

C’

C

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C

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PROBLEMA 1 Un disco no-conductor tiene una carga σ uniforme y rota con ´ velocidad angular ω. Calcular el campo magnetico en el eje del disco.

r

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PROBLEMA 2 Dos cables rectil´ıneos paralelos separados por una distancia L llevan corrientes I y I 0 . Calcular la fuerza por unidad de largo entre ellos.

I I’

dF 0 = I 0 Bdl = I 0

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µo I dl 2πL

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→

dF 0 µo II 0 = dl 2π L

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DEFINICION DE AMPERE

Un ampere es la magnitud de una corriente constante que si se mantiene en dos conductores paralelos de longitud infinita y de ´ transversal depreciable, colocados en el vac´ıo y separados seccion un metro, produce una fuerza de 2 × 10−7 newtons por metro de longitud de conductor. Recuerde que: µo = 4π × 10−7 [MKS]

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Campo dentro de un cable rectil´ıneo I

~ · d~l = 2πrB = µo Ienl B Ienl = I

πr 2 πR 2

R r

B=

Fuera del cable Ienl = I y por lo tanto B = µo I/2πr .

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µo Ir 2πR 2

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Campo dentro de un solenoide rectil´ıneo h

d ●

●

●

●

✕

✕

✕

✕

c ●

●

●

●

●

●

●

●

●

✕

✕

✕

✕

✕

✕

✕

✕

✕

a

I

~ · d~l = B

Z a

b

~ · d~l + B

●

●

●

●

●

✕

✕

✕

✕

b

Z

c

~ · d~l + B

b

Z c

d

✕

B

~ · d~l + B

Z

a

~ · d~l = µo Ienl B

d

´ la primera integral es 6= 0 y vale Bh. Si el solenoide tiene n vueltas por Solo unidad de largo, Ienl = inh, y por lo tanto: B = µo in

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Atomo de Bohr ´ ´ En el modelo de Bohr del atomo de hidrogeno el electron circula alrededor del nucleo en una trayectoria circular de radio R = 5.3 × 10−11 m y una ´ frecuencia ν = 6.5 × 1015 Hertz (i.e. revs/seg) ´ es el valor de B en el centro de la orbita? ´ a)¿Cual Corriente: i = eν = 1.6 × 10−19 × 6.5 × 1015 = 10−3 A luego, B=

µo eν 4π × 10−7 × 10−3 µo i = = = 12 T 2R 2R 2 × 5.3 × 10−11

´ es el dipolo magnetico ´ b) ¿Cual equivalente? µ = Ni(AREA) = 1 × 10−3 × π(5.3 × 10−11 )2 = 8.8 × 10−24 Am2

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´ Ejemplo Principio de superposicion. Considere un conductor infinito hueco que lleva una corriente I y cuya ´ transversal se muestra en la figura. Calcule el campo B fuera de seccion conductor a una distancia R del centro del c´ırculo mayor.

a

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b

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´ Potencial Magnetico Vectorial ´ El rotor de campo magnetico es en general distinto de cero, y por lo tanto no ´ es posible introducir un potencial escalar, como se hizo en electrostatica, excepto en la regiones donde la densidad de corriente es nula. Sin embargo ~ es cero, lo que permite definir un potencial magnetico ´ la divergencia de B ~ vectorial A: ~ =∇×~ B A ~ ´ Note que si agregamos a A el gradiente de cualquier escalar la relacion anterior queda invariante, por lo cual es posible colocar condiones ´ utilizados es adicionales a ~ A, que se llaman calibres. Uno de los calibres mas ∇·~ A = 0, el que es llamado calibre de Coulomb, por razones que veremos ´ adelante. mas

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´ ` Ya que en magnetostatica rige la ley de Ampere: ~ = µo ~J = ∇ × ∇ × ~ ∇×B A Utilizando la identidad: ∇×∇×~ A = ∇(∇ · ~ A) − ∇2 ~ A y el calibre de Coulomb, obtenemos: ∇2 ~ A = −µo ~J ´ es Se puede observar que cada componente cartesiana de esta ecuacion ´ de Poisson de la electrostatica. ´ similar a la ecuacion Esta es la razon del nombre calibre de Coulomb.

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´ Usando los resultados de la electrostatica para cada componente de la ´ anterior, podemos escribir: ecuacion µo ~ A(~r ) = 4π

Z V

~J(r 0 ) 3 0 d r ~ |r − ~r 0 |

´ Potencial de un dipolo magnetico Ahora consideremos un circuito con corriente I, entonces haciendo la ´ ~Jd 3 r → Id~r 0 : substitucion I µo I d~r 0 ~ A= 4π |~r − ~r 0 | Si nos colocamos en un punto ~r muy alejado del circuito, podemos desarrollar el denominador en serie de Taylor de |~r 0 /~r |: » – ~r · ~r 0 1 |~r − ~r 0 |−1 = (r 2 + r 02 − 2~r · ~r 0 )−1/2 ' 1 + 2 + ··· r r

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H ´ ´ de algunas El primer termino es proporcional a d~r 0 = 0. A traves ´ del segundo identidades vectoriales se puede demostrar que la contribucion ´ ´ termino es (los terminos de orden superior se desprecian): » I – µo I 1 ~ ~r 0 × d~r 0 × ~r A(~r ) = 4πr 3 2 ´ ´ El parentesis cuadrado representa un vector cuya magnitud es el area del ´ es perpendicular a la superficie del mismo. circuito y su direccion

´ Multiplicado por I es el momento dipolar magnetico µ ~ del circuito, y por lo tanto: ~ × ~r ~ = µo µ A 4π r 3 ´ Este es el potencial magnetico vectorial de un momento dipolar ´ magnetico µ ~.

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Problema 1 Demuestre que para un solenoide muy largo pero finito de n vueltas ´ por unidad de largo y corriente i, campo magnetico en un punto P del eje es: 1 B = µo ni(cos θ1 + cos θ2 ) 2 ´ donde θ1 y θ2 son los angulos subtentidos por las bases del solenoide en el punto P.

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Problema 2 ´ muy pequeno ˜ de momento magnetico ´ µ ~ se coloca en el Un iman centro de un anillo de N vueltas de radio R mucho mayor que las dimensiones del anillo y que lleva una corriente I. El momento ´ ´ ´ es la magnetico µ ~ forma un angulo α con el eje del anillo. ¿Cual ´ y la magnitud del torque sobre el iman? ´ direccion

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Problema 3 ´ en el punto P debido al cicuito de la Encuentre el campo magnetico figura.

I a P

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b