Electromagnetismo 2014 Simon Casassus Astronom´ıa, Universidad de Chile http:://www.das.uchile.cl/∼simon ´ I Electrostatica ´ II Magnetostatica ´ y ondas electromagneticas. ´ III Induccion

.1

Parte III ´ y ondas Induccion ´ electromagneticas

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

´ electromagnetica ´ 1 Induccion

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

´ 2 Energ´ıa magnetica

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

3 Circuitos 4 Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion

´ 5 Radiacion

Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.2

´ y ondas electromagneticas ´ Induccion

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

Consideramos el caso de corrientes variables. Cuando I ~ que resultan cambia se generan variaciones temporales en B, ´ en campos electricos inducidos.

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.3

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.4

1.1-f.e.m.

´ Induccion ´ electromagnetica

La fuerza electromotriz entre los bornes A y B de una bater´ıa es Z B ~ · d~l. E fem = V = ϕA − ϕB = A

H ~ · d~l = 0. Veremos casos de ´ estacionaria, E En una situacion fem 6= 0 para circuitos cerrados.

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.5

f.e.m. mocional, ejemplo 1 Consideremos el siguiente dispositivo experimental: 111 000 a 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 111 000 000 v 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 b 000 111 000 111

1 0 0 1 0 1 0L 1 B 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 000 111

~ = q~v × B ~ en direccion ´ Los e- en la barra (azul) sufren F b → a. Cuando los e- llegan a a, no se acumulan ah´ı mismo, sino que son conducidos de a hacia b completando un circuito con corriente H I. ~ · d~l = qvBL 6= 0, y la fem es Tenemos F I 1 ~ · d~l = vBL, con I = /R = vBL/R. fem ≡  = F q Esto es un ejemplo de fem mocional porque hay partes en movimiento en el circuito.

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.6

f.e.m. mocional, ejemplo 2 Consideremos un circuito r´ıgido rectangular que atraviesa una ~ constante, entrando en t = 0. ´ de B region ´ Induccion ´ electromagnetica

l 111 000

v

B

1 0 0 1 0 1 0 1 L 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos

´ del Si x es la coordenada del brazo delantero en direccion movimiento, vemos que  = BLv = BL

dx dφ dφ = ⇒ = , dt dt dt

´ en que φ es el flujo del campo magnetico. Esto nos lleva a enunciar la Ley de Faraday.

Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.7

Ley de Faraday

Resulta experimentalmente que siempre que cambia el flujo ´ ´ de un circuito se induce una fem: magnetico a traves I ~ · d~l = − dφ .  = fem = E dt ´ de la corriente inducida es tal que produce un La direccion ~ cuyo flujo por el circuito tiende a oponerse al cambio campo B ~ constante. externo, i.e. tiende a mantener el flujo de B

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.8

´ Ejemplos de induccion

~ variable en circuito circular plano. • B • Lector/grabador de cinta magnetica ´ y disco duro.

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.9

Forma diferencial de la Ley de Faraday

De la Ley de Faraday, I

~ · d~l = − d E dt Γ

Z S

~ ⇒ ~ · d S, B

Z

~ =− ~ · dS ~ × E) (∇

S

Z S

~ ∂B ~ · d S, ∂t

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

~ = − ∂ ~B . ~ ×E para cualquier superficie S y su contorno Γ ⇒ ∇ ∂t ~ no es conservativo cuando hay dependencia Notamos que E ~ ~ Recordamos ´ que solo ´ un ∇φ. en t ⇒ E deriva de algo mas ~ =∇ ~ de manera que ~ × A, que B

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

~ ~ = − ∂ (∇ ~ ⇔ ∇ ~ + ∂ A ) = 0, ~ × A) ~ × (E ~ ×E ∇ ∂t ∂t

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

~ = − ∂~A − ∇ϕ ~ . ⇒ E ∂t

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.10

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.11

´ del solenoide 1.2-Inductancia a: Autoinduccion

Consideremos un solenoide de largo h, con intensidad de corriente I variable y n vueltas por u. de largo. B = µ◦ nI en cualquier punto dentro del solenoide.

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

2

⇒ φ = µ◦ nIπr nh. Si cambia I existe una fem inducida : =−

dφ dI dI = −µ◦ n2 πr 2 h ⇔  = −L , dt dt dt

´ del solenoide, con donde L = µ◦ n2 πr 2 h es la autoinduccion unidades de “Henry” (s´ımbolo H en S.I.), y valores de ∼mH.

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.12

´ de cualquier circuito. 1.2-Inductancia b: Autoinduccion

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

Para cualquier circuito cerrado,

Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

=−

dφ dφ dI dI dφ =− ⇒  = −L , con L ≡ . dt dI dt dt dt

´ φ ∝ I, entonces L = φ/I. Si ademas

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.13

1.2-Inductancia c: Inductancia mutua. ´ Consideremos dos solenoides S1 y S2 , enrollados sobre el ´ de S2 . mismo cilindro de largo h. Sea φ2 el flujo de B1 a traves Tenemos una fem V2 en los bornes de S2 , I ~ · d ~s = − dφ2 , generada por el campo B1 de S1 . V2 = E dt

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

dI1 V2 = −M12 , con M12 = µ◦ n1 n2 hπr 2 , rec´ıprocamente, dt dI2 , con M21 = µ◦ n2 n1 hπr 2 ⇒ M12 = M21 = M. V1 = −M21 dt M es la inductancia mutua de los dos circuitos. En general, ´ V2 = −

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell

dφ2 dI1 dI1 = −M . dI1 dt dt

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion

Vemos que para los solenoides L1 = µ◦ n12 hπr 2 , L2 = µ◦ n22 hπr 2 ⇒ M =

´ Energ´ıa magnetica

Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting

p

L1 L2

´ Ondas electromagneticas

.14

Ejemplo inductancia mutua ´

El circuito de encendido de auto es un ejemplo familiar de inductancia mutua con 2 solenoides, uno de ∼ 16000 vueltas, ´ otro de ∼ 400, con radio de 3 cm y largo 10 cm. Pasan 3 A por el primer solenoide, en ∼ 10−4 s, de manera a generar V2 = −M12 dI1 /dt, suficientemente grande para provocar una chispa en las bug´ıas.

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.15

´ 2-Energ´ıa magnetica

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

• Energ´ıa elctrostatica: ´ energ´ıa requerida para un arreglo

´ de cargas electricas. • Energ´ıa magnetica: ´ energ´ıa requerida para un arreglo de corrientes.

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.16

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.17

2.1-Energ´ıa almacenada en inductores

´ Inductor: algun tal que VL = −LdI/dt, en ´ dispositivo electrico RB ~ que VL = − A E · d ~s. ´ de signos: Convencion

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

• fems:

Energ´ıa almacenada en inductores

R+

~ · d~l = ϕ+ − ϕ− = . • bater´ıas: V = − − E • Una vez establecido el sentido positivo de la corriente, de + a −, definimos el signo para inductores: VL = −LdI/dt.

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos

• elementos: resistencias, condensadores: R

V =−

+ −

~ · d~l = ϕ+ − ϕ− (= RI), con ϕ+ > ϕ− . E

Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.18

Energ´ıa almacenada en inductores Para el circuito L, R,

A

C L

R B

dI ´ del circuito. + RI, ecuacion dt El trabajo requerido de la bater´ıa para levantar R una corriente I en el tiempo T , con I = 0 en t = 0, es W = δW , con ´ δW = dQ, en que dQ es un elto de carga electrica que va de A a C. dq ⇒ dW =  dt = Idt. dt Z T Z T Z T dI ⇒W = Idt = L I dt + R I 2 dt. dt 0 0 0  + VL = VR ⇔  = L

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.19

Energ´ıa almacenada en inductores Tenemos entonces el trabajo W necesario para levantar la corriente I en el tiempo T : W =

1 2 LI + R 2

Z

T

I 2 dt,

0

´ en que el segundo termino es la ernerg´ıa disipada en la R resistencia (= Pdt, con P = RI 2 ). Si en un tiempo t > T hacemos corto circuito sacando la bater´ıa, dI R L + RI = 0 ⇒ I = IT exp(− (t − T )). dt L Se puede verificar (tarea ) que Z ∞ Z ∞ 1 PR dt = RI 2 (t)dt = LI 2 . 2 T T ⇒ la energ´ıa disipada es igual a la energ´ıa almacenada en el inductor, por lo tanto se puede ver como energ´ıa almacenada ´ reversiblemente en el campo magnetico creado por I(t) .

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.20

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.21

´ 2.2-Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos Consideremos n circuitos estacionarios con intensidades ´ ´ del i-esimo circuito. La {Ii (t)}, con flujo magnetico φi a traves potencia que debe ejercer la bater´ıa que genera la corriente Ii contra las fems inducidas es ´ Induccion ´ electromagnetica

Pi = dWi /dt = Vi dqi /dt = Vi Ii = Ii dφi /dt,

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

en que la diferencia de potencial que provee la bater´ıa es Vi = − = dφi /dt. En un tiempo dt, el trabajo ejercido por todas las bater´ıas contra las fems inducidas es

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos

n X dφi dW = dt, en ausencia de resitencias disipativas. Ii dt i

Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento

´ La energ´ıa magnetica es entonces Z XZ U = dW = Ii (dφi /dt)dt.

Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

i .22

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Sabemos que la energ´ıa magnetica almacenada en inductores en el tiempo T es independiente del detalle de Ii (t). Supongamos que las corrientes se incrementan linealmente: ´ Induccion ´ electromagnetica

Ii = Ii (T )t/T .

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

Si las inductancias son lineales en Ii , φi (t) = φi (T )t/T ⇒

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores

U=

XZ i

Ii

X Ii (T )φi (T ) dφi dt = dt T2

T

Z

tdt = 0

1 2

n X

Ii (T )φi (T ),

i=1

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos

y como

Circuitos R , L, C

φi (T ) = Li Ii (T ) +

X

Mij Ij (T ),

j6=i

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

n

1X 2 1 XX U= Li Ii (T ) + Mij Ii (T )Ij (T ). 2 2 i=1

Ecuaciones de Maxwell

i

j6=i

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.23

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.24

´ 2.3-Energ´ıa magnetica en materiales. Ejemplo.

´ Consideremos la energ´ıa magnetica almacenada en un solenoide vac´ıo: B = µ◦ nI, H = nI,

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

1 1 1 V . U = LI 2 = µ◦ n2 πr 2 hI 2 = BH |{z} 2 2 2 πr 2 h

Como B y H son uniformes, definimos una densidad de ´ energ´ıa magnetica

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos

2

1B 1~ ~ u= B ·H = si µ = 1. 2 2 µ◦

Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.25

´ Energ´ıa magnetica en materiales. Medios no lineales. ~ ·H ~ no es valida ´ u = 12 B en casos no-lineales (como ferromagnetismo). En estos casos volvemos al trabajo ejercido por una bater´ıa para levantar una corriente I: dWb = Vdq = VIdt,

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ el trabajo de las con V = dφ/dt para tomar en cuenta solo R ~ ~ en que S es ´ fems de induccion. Escribimos φ = B · d S cualquier superficie cuyo perimetro es el circuito, y tenemos Z ~ · d BdV ~ dWb = H (ver demo en clase). V

El trabajo requerido de la bater´ıa para lleguar a un campo final ~ ◦ es B Z Z B◦ ~ · d BdV. ~ Wb = H V

0

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.26

´ Energ´ıa magnetica en materiales. Medios no lineales.

Entonces la energ´ıa almacenada en los inductores es Z Z Wb = V

B◦

~ · d BdV. ~ H

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

0

Inductancia

Cuando reducimos el campo B◦ a 0, recuperamos la energ´ıa ~ B) ~ es univaluada. Pero en el caso de Fe no se ´ magnetica si H( recupera toda la energ´ıa, ya que

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Z 0

B◦

~ · dB ~ 6= − H

Z

0

~ · d B. ~ H

B◦

´ La diferencia, que se disipa en calor, es igual al area contenida ´ ´ en una curva de histeresis. El Fe tiene una curva de histeresis ´ con menor area que el acero, por ejemplo. Por lo tanto es mas conveniente usar Fe para construir transformadores.

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.27

´ ´ general Energ´ıa magnetica en materiales. Expresion ´ densidad de eneg´ıa magnetica en medios lineales. ~ ·H ~ . Consideremos el conjunto de Probaremos que u = 1 B 2

´ corrientes {Ii }ni=1 . El flujo por el i-esimo circuito es R ~ ~ ~ ~ φi = Si B · dS, con B = ∇ × A. Entonces Z I ~ ~ · d ~s. ~ ~ φi = (∇ × A) · d S = A Si

Usando que U = 1/2 1 U= 2

Γi

Pn

i=1 I◦,i φ◦,i ,

n I X i=1

Γi

~ · (Ii d ~s) = A

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

para el tiempo t◦ , tenemos Z

´ Induccion ´ electromagnetica

1~ ~ A · jl dV, 2

donde pasamos a una integral de volumen en todo el espacio usando que jl = 0 afuera de los circuitos. Usando la ley de ~ ~ × H, ` ~jl = ∇ Ampere, Z Z Z 1 ~ ~ ~ 1 1 ~ ~ ~ H)dV, ~ ~ ~ A× U= A·(∇× H)dV = H ·(∇× A)dV − ∇·( 2 2 2 R R ~ · BdV, ~ ~ × H) ~ · dS = 0. o sea U = 12 H ya que ∞ (A

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.28

3-Circuitos

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

Queremos determinar las corrientes en circuitos R, L, C dado ´ un voltaje aplicado. Por el teorema de Fourier, toda funcion V (t) se puede descomponer en sin(t) y cos(t), ⇒ estudiaremos V (t) sinusoidal.

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.29

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.30

3.1-Elementos:Generadores La potencia generada es dW dq =V = VI. dt dt Para un generador de corriente alterna (i.e. una d´ınamo), la ´ ´ potencia electrica deriva de potencia mecanica: ω

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores

ωt B

m

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

B

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos

I

Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell

dφ φ = Ba2 sin(ωt) ⇒ V = − = −ωBa2 cos(ωt). dt ´ El trabajo mecanico requerido deriva del torque, π ~ ×m ~ | = ωBa2 I sin(ωt − ). Pm = ωΓ = ω|B 2

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.31

´ 3.1 Elementos basicos

• R:

V = RI • C:

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

dV I V = Q/C ⇔ = dt C

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

• L (es fem):

dI dt ´ compleja para V y I: Se suele usar la notacion V = −L

V = Re {V◦ exp(jωt)}

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.32

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.33

3.2- Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

VR + VC = V + VL ⇔ RI +

d 2I dI I dV ´ del circuito. L 2 +R + = , ecuacion dt dt C dt Si V ∝ exp(jωt), I ∝ exp(jωt), y −ω 2 LI + RjωI +

Inductancia

Q dI =V −L ⇒ C dt

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

(1)

I = jωV , C

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

o sea IZ = V , con j Z = R + jωL − , en que Z es la impedancia del circuito. ωC

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.34

3.2- Circuitos R, L, C ´ general de la ecuacion ´ de circuito, Ec. 1, es La solucion ) ( 1 ωL − ωC R V◦ exp(jωt). I=
−j
1 2 1 2 R 2 + ωL − ωC R 2 + ωL − ωC La potencia disipada en R es PR = RI 2 , y tomando promedio temporal1 (tarea)

· ·i = l´ım

1 T

RT 0

dt · ··

Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

donde θ es el argumento de la impedancia compleja Z , ´ se puede escribir I◦ = V◦ /Z . La potencia promedio tambien como 1 R hPR i = V◦ h
i, 1 2 2 R 2 + ωL − ωC

1 h·

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

Energ´ıa almacenada en inductores

1 R hPR i = |Z | cos(θ)I◦2 , con cos(θ) = , 2 Z

destacando la resonancia (el peak en PR ) en ω◦ = un FWHM ∆ω = R/C (tarea).

´ Induccion ´ electromagnetica

√1 , LC

y con

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.35

4- Ecuaciones de Maxwell

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ completamos el conjunto de las ecuaciones En esta seccion ~ ~ que definen los campos E(t) y B(t).

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.36

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.37

4.1- Corriente de desplazamiento

´ de carga electrica ´ Vimos que la conservacion se escribe localmente como ∂ρ ~ ~ ´ de continuidad. + ∇ · j = 0, ecuacion ∂t

´ Induccion ´ electromagnetica

(2)

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

Veamos que la Ec. 2 revela una inconsistencia con la Ley de ` Ampere, ~ = µ◦~j. ~ ×B ∇ (3)

´ Energ´ıa magnetica

Tomando la divergencia de la Ec. 3, tenemos

Circuitos

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Elementos Circuitos R , L, C

~ · ~j, 0 = µ◦ ∇ ´ con la ecuacion ´ de continuidad si tenemos una contradiccion ∂ρ ` ∂t 6= 0. Claramente hay que corregir la Ley de Ampere para ´ ´ situacion dinamicas (con dependencia en t).

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.38

Corriente de desplazamiento

Volvamos a la Ley de Gauss, ~ =0 ⇒ ∂∇ ~ = ∂ρ ⇔ ~ ·E ~ · (◦ E) ∇ ∂t ∂t

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

~ ~ ~ · ◦ ∂ E = ∂ρ ⇒ ∇ ~ ·  ◦ ∂ E = −∇ ~ · ~j. ∇ ∂t ∂t ∂t ` sumandole Vemos que podemos arreglar la Ley de Ampere ´ una termino adicional de densidad de corriente, la “corriente ~

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos

de desplazamiento” ◦ ∂∂tE : 1 ~ ~ (∇ × B) = ~j + µ◦

Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

Elementos Circuitos R , L, C

~ ∂E ◦ | {z∂t}

corriente de desplazamiento

Ecuaciones de Maxwell

.

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.39

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.40

4.2- Ecuaciones de Maxwell. Vac´ıo.

´ En resumen, el set completo de ecuaciones de Maxwell que ´ determinan el campo electromagnetico es ´ Induccion ´ electromagnetica

~ ~ ·E ∇ ~ ~ ·B ∇ ~ ~ ×E ∇ ~ ~ ×B ∇

= = = =

ρ , Gauss, ◦ ´ ´ 0, ausencia de monopolos magneticos, ~ ∂B − , Faraday, ∂t ~ ∂E ` , Ampere-Maxwell, µ◦~j + µ◦ ◦ ∂t

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

(4)

Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

(5)

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

(6)

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos

(7)

´ Este set de ecuaciones es valido “en vac´ıo” - o sea se aplica a todas las circunstancias en que no hay un medio material cuya ´ influencia se implementa mediante un promedio macroscopico.

Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.41

Ecuaciones de Maxwell en medios materiales En medios materiales tomamos en cuenta las corrientes ~ para medios magneticos. ~ ×M ´ ´ microscopicas con ~jM = ∇ ´ existe una densidad de carga de polarizacion, ´ Ademas ~ ~ · P. ρ P = −∇ ´ no-estatica ´ ´ una Veamos que en una situacion existe tambien ∂P ~ ´ , jP = ∂t . Apliquemos continuidad de corriente de polarizacion carga, en ausencia de cargas libres,

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores

d dQP = dt dt

Z ρP dV = −

d dt

Z

~ ~ · PdV ∇ =−

Z

~ ∂P ~ · d S. ∂t

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos

´ ~jP = ⇒ existe una densidad de corriente de polarizacion Entonces la corriente total se escribe, ~j = ~jM + ~jP + ~jl , con ∂ρ + ∇ ~ · ~j = 0, ∂t ∂ρP ~ · ~jP = 0, y ∂ρl + ∇ ~ · ~jl = 0, y ∇ ~ · ~jM = 0. y +∇ ∂t ∂t

∂P ∂t .

Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.42

Ecuaciones de Maxwell en medios materiales tomando en cuenta todas las fuentes de carga y corrientes, la ´ de Ampere-Maxwell ` ecuacion se escribe ~ 1 ~ ~ ∂E (∇ × B) = ~jM + ~jP + ~jl + ◦ , µ◦ ∂t

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

~ = con H

~ B µ◦

~ yD ~ = ◦ E ~ + P, ~ lleguamos a −M ρl , ◦

~ ~ ·D ∇

=

~ ~ ·B ∇

= 0,

~ ~ ×E ∇ ~ ~ ×H ∇

~ ∂B = − , ∂t ~ ∂D = ~jl + . ∂t

~ = ◦ E ~ yB ~ = µµ◦ H. ~ Para medios lineales, D

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

(8)

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos

(9) (10)

Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

(11)

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.43

´ 5-Radiacion

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

Veremos que las ecuaciones de Maxwell describen un ´ fenomeno ondulatorio de transporte de energ´ıa ´ electromagnetica. Para longitudes de onda del orden de ˚ estas ondas se identifican con luz visible. 4000-8000 A,

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.44

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.45

´ 5.1-Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting Combinamos las ecuaciones de Maxwell Ec. 11 y Ec. 10: ~ ~ E·(Ec. 11)+H·(Ec 10): " # ~ ∂D ~ ~ ~ ~ E· = ∇ × H − jl ∂t " # ~ M ∂ B ~ ~ , ~ ×E H· = −∇ ∂t ~ ~ ~ · ∂D + H ~ · ∂B E ∂t ∂t

=

~ · (∇ ~ −H ~ · (∇ ~ −E ~ · ~jl . ~ × H) ~ × E) E

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos

´ vectorial Y usamos las relacion ~ × H) ~ = (∇ ~ ·H ~ − (∇ ~ · E, ~ ~ · (E ~ × E) ~ × H) ∇

Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

para lleguar a i 1 ∂ h~ ~ ~ ·B ~ = −∇ ~ × H) ~ −E ~ · ~jl .. ~ · (E E ·D+H 2 ∂t

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.46

´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting Reescribimos la Ec. 47, i 1 ∂ h~ ~ ~ ·B ~ = −∇ ~ × H) ~ −E ~ · ~jl , ~ · (E E ·D+H 2 ∂t ´ identificando las densidades de energ´ıas electricas y 1~ ~ 1~ ~ ´ magneticas, u = E ·D+ H ·B , 2

2

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

∂u ~ ~ ~ =E ~ con S ~ ×H ~ vector de Poynting. + ∇ · S = −~jl · E, ∂t (12) ´ de continuidad para la Veamos que la Ec. 12 es la ecuacion ~jl · E ~ es la potencia ´ densidad de energ´ıa u. El termino ~ ~ ejercidad por E, B por unidad de volumen: la fuerza de Lorentz ejercida en un volumen dV es ~ = ρl dV(E ~ + ~v × B), ~ dF donde ~v (~r ) es la velocidad del fluido de cargas libre. La ~ es potencia asociada a d F ~ = ~v ρl dV · E ~ ⇒ dP = ~v · d F

dP ~ ~ = jl · E, ya que ~jl = ρl ~v . dV

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.47

´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting

Integrando la Ec. 12 en un volumen V,   Z ∂u ~ ~ ~ , + ∇ · S = −~jl · E dV ∂t Z Z Z ∂u ~ ~jl · EdV ~ ~ dV S · dS − =− ∂t | {z } | {z } | {z } dU dt

´ de energ´ıa EM ,variacion

flujo de energ´ıa

potencia disipada en las cargas

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

.

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.48

Outline ´ electromagnetica ´ 1 Induccion Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia ´ 2 Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales 3 Circuitos

Elementos Circuitos R, L, C

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

4 Ecuaciones de Maxwell

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell ´ 5 Radiacion ´ Densidad de energ´ıa electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.49

´ 5.2-Ondas electromagneticas. Vac´ıo Veamos que las ecuaciones de Maxwell dan lugar a una ~ y B. ~ En el vac´ıo, ten´ıamos ´ de ondas para E ecuacion

~ ~ ×E ∇ ~ ~ ×B ∇

= =

~ ∂B , Faraday, Ec. 6, ∂t ~ ∂E ` µ◦~j + µ◦ ◦ , Ampere-Maxwell, Ec. 7 ∂t −

~ · (Ec. 7), y en ausencia de cargas y corrientes, Tomando ∇

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

  2~ ~ = ◦ µ◦ ∂ ∇ ~ = −◦ µ◦ ∂ B ~ × (∇ ~ × B) ~ ×E ∇ | {z } ∂t ∂t 2 ~ ∇· ~ ~ ∇( B)−∇2 ~ B

~ − ◦ µ◦ ⇒ ∇2 B

2~

∂ B = 0, ∂t 2

~ con velocidad ´ de ondas para B, y reconocemos una ecuacion √ ´ c = 1/ ◦ µ◦ . de propagacion ~ satisface la misma ecuacion ´ (tarea). E

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.50

´ 5.2-Ondas electromagneticas. Medios lineales y aislantes

´ Induccion ´ electromagnetica

´ El desarrollo es identico al caso vac´ıo: ~ − ◦ µµ◦ ∇2 E

2~

∂ E = 0, (tarea) ∂t 2

⇒ c = c◦ /n, donde c◦ es la velocidad de la luz en el vac´ıo, y n ´ es el ´ındice de refraccion.

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.51

Ondas planas Llamamos “ondas planas” soluciones de la ec. de ondas del ´ de tipo “d’Alembert”: f (kˆ · ~r ± ct), en que kˆ es la direccion ˆ ´ Por ejemplo si tomamos k = xˆ , f (x − ct) propagacion. ˜ viajando hacia +xˆ . representa una senal ~ Para E, ~ = 0 = ∂Ex ⇒ EX es constante, ~ ·E ∇ ∂x ´ i.e. Ex solo puede venir de una componente electrostatica,

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

~ = Ey yˆ + Ez zˆ , ⊥ ~x , la direccion ´ de propagacion. ´ E

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

´ De manera generica, ponemos 

 0 ~ =  f (x − ct) + g(x + ct)  E F (x − ct) + G(x + ct)

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.52

~ yB ~ en ondas planas ´ entre E Relacion ~ Estudiemos primero el caso Ez = 0. Calculemos B:   0 ~ ~ ∂ B ∂B ~ =− ~ ×E de la Ec. 6, ∇ ⇔ 0 =− ⇒ ∂t ∂t ∂Ey

´ Induccion ´ electromagnetica

∂x

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday

´ Bx = By = 0, o componentes magnetostaticas, y, −

Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

∂Ey ∂Bz = . ∂t ∂x

Pongamos Bz = p(x − ct) + q(x + ct), ⇒

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

∂Bz = cp0 − cq 0 . ∂t

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

´ tenemos Ademas

∂Ey = f 0 + g 0 ⇒ cp0 − cq 0 = f 0 + g 0 ∂x

(13)

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

~ ~ = 1 ∂ E , tenemos − c 2 ∂Bz = ∂Ey ~ ×B Ahora de la Ec. 7, ∇ c 2 ∂t ∂x ∂t

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

⇒ −c 2 (p0 + q 0 ) = −cf 0 + cg 0 ,

(14) .53

~ yB ~ en ondas planas ´ entre E Relacion

Combinando las Ecs. 13 y 14, f = cp y g = −cq ⇒ cBz = f (x − ct) − g(x + ct).

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

Tarea: ver el caso Ey = 0 y superponer vectorialmente con Ez = 0, para obtener que si     0 0 ~  f (x − ct) + g(x + ct)  ⇒ c B ~ −F (x − ct) + G(x + ct) . E F (x − ct) + G(x + ct) f (x − ct) + g(x + ct) ~ ⊥B ~ ⊥ kˆ ⇒E

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.54

Ejemplo/tarea: calcular u y vector de Poyting para una onda plana

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

~ = ◦ c 2 E ~ ×B ~ =E ~ × H, ~ y u = 1 ◦ |E| ~ 2 + 1 ◦ c 2 |B| ~ 2 S 2 2

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

~ = uc kˆ −→ u = ◦ E 2 y S

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.55

´ espectral: Repaso Fourier. Decomposicion

Las ecuaciones de Maxwell son lineales ⇒ pasamos a C. Z ∞ ∀F (x) ∈ C en el espacio L2 , tal que kF (x)k2 dx es finita, −∞

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores

existe f (k) tal que f (k) =

´ Induccion ´ electromagnetica

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos

1 2π

Z

∞

F (x) exp(−ikx)dx, y −∞

´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Z

∞

F (x) = −

f (k ) exp(+ikx)dk . −∞

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.56

´ espectral Decomposicion

´ Por ejemplo, para el campo el electrico, Z ∞ ~ − ct) = E(x ~(k ) exp(ik(x − ct))dk, −∞

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica

~ con ~(k) = xˆ x eiφx + yˆ y eiφy espectro de E. ´ Tarea: mostrar que para una onda plana monocromatica (OPM),

Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

~ = B

1ˆ ωk

ˆ . ×E

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.57

´ Polarizacion Para cantidades f´ısicas hay que tomar parte real. Para una OPM, h i h i ~ k = Re xˆ x eiφx exp (i(kx − ωt)) + yˆ y eiφy exp (i(kx − ωt)) Re E ´ Induccion ´ electromagnetica

• Polarizacion ´ lineal: φy − φx = 0. • Polarizacioh ´ circular: |φy − φx | =

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

π 2

y y = x .

• El caso general es el´ıptico, con tan(χ) =

x cos(φx ) y cos(φy ) .

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

y

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

χ Ecuaciones de Maxwell

x

Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.58

´ Parametros de Stokes ´ es usar Una manera conveniente de describir la polarizacion ´ los parametros de Stokes: =

2x + 2y

Q

=

2x

U

=

2x y cos(φy − φx )

V

=

2x y sin(φy − φx )

I

−

´ Induccion ´ electromagnetica

2y

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores

´ lineal, φy = φx . I es equivalente El caso V = 0 es polarizacion ´ direccional (i.e. kˆ ) al vector de Poynting, pero la informacion esta implementada mediante una dependencia expl´ıcita en coordenadas angulares. Por ejemplo, para una fuente puntual ´ en el centro de coordenadas esfericas, ´ de radiacion con ~ k kˆ◦ , I(kˆ ) = δ(kˆ − kˆ◦ )kSk. ~ S Notar que se cumple I2 = Q2 + U 2 + V 2

(15)

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.59

Luz natural ´ de trenes de Para luz natural, observamos una superposicion ˜ ondas (muchas funciones L2 ). Para N senales L2 , observamos ~ y B, ~ y si ´ vectorial de los N campos E la superposicion ´ sumamos las componentes monocromaticas con numero de ´ onda k , I(k) =

N X n=1

In (k ) Q(k) =

N X

Qn (k) U(k ) =

n=1

N X

Un (k) V (k ) =

n=1

N X n=1

Si bien para cada componente n se cumple la Ec. 15, por la desigualdad de Shwartz I2 ≥ Q2 + U 2 + V 2.

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia Vn (k ).

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

Definimos entonces la intensidad polarizada, p IP = Q 2 + U 2 + V 2 ,

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ y la intensidad no-polarizada o ‘natural’, In = I − IP . La fraccion ~ = 0, t) ´ es f = IP /I. Para luz natural f = 0 y E(x de polarizacion ~ 2 ´ en un c´ırculo con kEk cambia aleatoriamente de direccion ´ constante, el resultado de la superposicion aleatoria de ∞ trenes de ondas con fases distintas.

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.60

´ de propagacion-absorpci ´ ´ Ecuacion on

´ de una onda EM en un medio Consideramos la propagacion ~ Las ecuaciones de que cumple la Ley de Ohm, ~jl = σ E. Maxwell permiten escribir (tarea)

´ Induccion ´ electromagnetica Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

2~ ´ Energ´ıa magnetica ~ ~ 1 ∂ E −σµµ◦ ∂ E = 0, Ecuacion Energ´ıa almacenada en ´ ´ ´ de propagaci on-absorpci on.. ∇2 E− inductores ∂t c12 ∂t 2 ´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos (16) ´ Energ´ıa magnetica en materiales ´ Si buscamos soluciones en ondas planas monocromaticas, Circuitos

2

2

−k + ◦ µµ◦ ω + iωσµ◦ µ = 0, ⇒ k 2 = ◦ µµ◦ ω 2 [1 + i

σ ´ de dispersion. ´ ], ecuacion ◦ ω

Elementos Circuitos R , L, C

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.61

Ejemplo: espesor de piel y caja de Faraday

Consideremos un medio conductor que llena el espacio en x > 0, donde ~k = ~kR + i ~kI . ´ Induccion ´ electromagnetica

~ =E ~◦ e En x > 0, E | {z } e (kR x − ωt). −kI x

i

Fuerza electromotriz inducida y ley de Faraday Inductancia

´ atenuacion

´ Energ´ıa magnetica Energ´ıa almacenada en inductores

´ El “espero de piel” es la distancia t´ıpica de atenuacion,

´ Energ´ıa magnetica en un sistema de circuitos ´ Energ´ıa magnetica en materiales

δ = 1/kI .

Circuitos Elementos Circuitos R , L, C

2

2

• Para un medio aislante, σ = 0, k = µ◦ µ◦ ω = ω

2

/c12 .

• Para un medio conductor, σ → ∞, k 2 = iσµωµ◦ .

El espesor de piel para una onda radio de ν = 1 MHz incidente sobre una placa de cobre (σ = 6 107 ω −1 m−2 ) es δ = 65 µm.

Ecuaciones de Maxwell Corriente de desplazamiento Ecuaciones de Maxwell

´ Radiacion Densidad de energ´ıa ´ electromagnetica, vector de Poynting ´ Ondas electromagneticas

.62