ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 1

Elementos de geometría plana 1. Elementos básicos de la Geometría atenex Los elementos básicos de la geometría son los puntos, las rectas y los planos. PUNTO El punto es la mínima expresión de la extensión, y, por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio. Los puntos se nombran con letras mayúsculas A, B, C, … Estudia esta página: https://www.mathsisfun.com/geometry/point.html RECTA Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados. Se representan mediante líneas y no tiene ni origen ni fin: su longitud es infinita. Se nombran con las letras r, s, t, ...

enlace: https://www.mathsisfun.com/geometry/line.html

r

SEMIRRECTA Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y derecha del mismo. Tiene origen pero no tiene fin

SEGMENTO Un segmento rectilíneo es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B.

Su llongitud es la distancia entre sus extremos A y B.

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2 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

Actividades

1 Un rayo láser, ¿qué elemento geométrico te sugiere? ¿Y un folio? 2 ¿Es posible dibujar una línea recta en toda su extensión? ¿Y un plano? 3 ¿Puedes dar ejemplos reales que te sugieran la idea de segmento rectilíneo? MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Página 38 del libro de texto.

2. Ángulos Ángulo es la parte de plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice:

MEDIDA DE ÁNGULOS El ángulo formado por dos semirrectas alineadas se llama ángulo llano. La mitad de un ángulo llano se llama ángulo recto.

2.1 El sistema sexagesimal En este sistema 60 unidades de un orden forman una unidad del orden superior. Cada unidad es sesenta veces mayor que la unidad de orden inmediato inferior y sesenta veces menor que la unidad de orden inmediato superior.

La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado (º). Un grado es la medida del ángulo que resulta de dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Por tanto, en un ángulo recto hay 90º: 1 recto = 90º Los submúltiplos del grado son el minuto (') y el segundo ('').

×60 →

Grado (º)

Minuto (')

:60 ←

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Segundo ('')

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 3

Se tienen las siguientes equivalencias: 1º = 60’ =3600” 1’ = 60” El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador de ángulos.

Ejemplos







Expresa en segundos: - 125’ ► 125 · 60’ = 7.500” - 45º ► 45 · 60’ = 2.700’  2.700 · 60” = 162.000” Expresa en grados: - 240’ ► 240:60º =4º - 32.400’ ► 32.400:60’ =540’  540:60º = 9º Dibuja un ángulo de 47º. Se coloca el transportador sobre una recta haciendo coincidir el vértice del transportador con un punto marcado en la recta. A continuación, se hace una marca en 47º. Finalmente, utilizando una regla, se une el vértice del ángulo con la marca efectuada.

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4 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

Ejercicios

4 Dibuja los siguientes ángulos con un transportador: a) 30º; b) 45º; c) 160º; d) 180º 5 Expresa en segundos: (a) 12’ y 30”

(b) 5º y 25’

(c) 10º y 20’

2.2 El sistema internacional La unidad de ángulo plano en el SI es el radián. Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco coincide con el radio. Enlaces de interés: Mathisfun: https://www.mathsisfun.com/geometry/radians.html http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/angulos/medang.htm Relación entre el radián y el grado sexagesimal: Un ángulo completo (circunferencia) mide:

360 º=2 π rad Las equivalencias entre los dos sistemas se establecen mediante la proporción:

grados sexagesimales radianes = π 180 La medida de un ángulo es positiva si se mide girando en sentido contrario a las agujas del reloj y negativa si se mide en el mismo sentido que las agujas del reloj. Un ángulo puede estar situado en cualquier parte del plano, pero a veces, nos será útil trasladarlo a un sistema cartesiano de coordenadas de modo que el vértice del ángulo caiga sobre el origen de coordenadas y el lado inicial sobre el eje positivo de abscisas.

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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 5

Actividades 6 Completa la siguiente tabla: Grados 0º

45º

Radianes

π 3

π 2

150º

270º

π

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS Según la mayor o menor abertura de un ángulo, éste puede ser recto, agudo u obtuso. El ángulo agudo es el que mide menos que un recto, mientras que el ángulo obtuso mide más que un recto.

Dos ángulos son complementarios si su suma es 90º, o sea, un recto. Cada uno es complemento del otro. Dos ángulos son suplementarios si su suma vale 180º, o sea, un llano. Cada uno es suplemento del otro.

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ejercicios

7 Calcula el complementario y el suplementario de 30º 28’ 16” en grados y en radianes 8 ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo de amplitud ¾ de un recto? ¿Cuánto mide su ángulo suplementario? (Contesta en grados y en radianes).

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6 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO (página 38 del libro de texto) La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo, y que divide a éste en dos partes iguales. El trazado de la bisectriz, mediante regla y compás se muestra en la figura adjunta, donde el punto P se obtiene trazando arcos de igual radio con centros en A y en B. Al unir P con O se obtiene la bisectriz

̂ AOB

TEOREMA DE TALES (página 42 del libro de texto) Ejercicios

9 Utiliza el teorema de Tales para situar de forma precisa en la recta numérica cualquier número racional. 10 Ejercicio número 4 de la página 39.

3. Figuras geométricas Una figura geométrica es la porción del plano limitada por una línea cerrada. La línea puede ser poligonal dando lugar a los polígonos o curva dando lugar a los círculos, sectores circulares y elipses.

3.1 Polígonos Una línea poligonal es la que se forma cuando se unen segmentos de recta de un plano. Las líneas poligonales puedes ser abiertas o cerradas, tal como muestran las figuras:

Un polígono es una figura geométrica limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y esta compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). En la figura adjunta se observan los elementos básicos de un polígono: vértices, lados, diagonales, ángulos interiores y exteriores: Los lados son los segmentos que forman la línea poligonal.

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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 7

Los vértices son los puntos donde se unen dos lados consecutivos. Los ángulos interiores son los ángulos que forman dos lados consecutivos. Las diagonales don los segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Los ángulos exteriores son los ángulos formados por un lado y la prolongación de otro contiguo hacia la región exterior. CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Según el número de lados, los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos, … El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En éstos, aparecen dos nuevos elementos:



el centro, que es el punto interior que se halla a igual distancia de los vértices.



el apotema, que es el segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de los lados, o bien, el segmento que une el centro con el punto medio de uno cualquiera de los lados...

La amplitud de cada ángulo de un polígono regular de

(n−2)·180 º n

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n

lados es:

8 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

3.1.1 Triángulos Un triángulo es un polígono de tres lados y, por tanto, es el polígono más sencillo que se puede construir. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Atendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser equiláteros (tienen los tres lados iguales), isósceles (tienen dos lados iguales y uno desigual) escalenos (sus tres lados son desiguales).

Por otra parte, atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser rectángulos (tienen un ángulo recto), obtusángulos (tienen un ángulo obtuso) o acutángulos (los tres ángulos son agudos).

En los triángulos rectángulos los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa. Suma de los ángulos de un triángulo

La suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.

Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano.

Teorema de Pitágoras © Fernando Moya Molina

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 9

En un triángulo rectángulo cualquiera, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. 2

2

2

b +c =a

3.2 Circunferencia y círculo Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo O que se llama centro de la circunferencia. El conjunto de puntos del plano interiores a la circunferencia es una figura plana que le llama círculo.

4. Semejanzas Dos figuras son semejantes si sus segmentos correspondientes, u homólogos, son proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; o son iguales, o tienen "la misma forma" y sólo se diferencian en su tamaño.

Cada longitud en una de las figuras se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra por un número fijo que se llama razón de semejanza. (recursostic ; MathIsFun) LA RAZÓN EN LA NORMA DIN DEL PAPEL ESTÁNDAR Con el fin de optimizar el uso del papel en los años veinte del s. XX se establecieron las dimensiones que debía tener de forma que a partir de una superficie de 1 m² al doblar el papel por la mitad, el resultado fuera semejante al original. Para ello, si el largo y el ancho del papel original son respectivamente x e y, el correspondiente largo y ancho que se obtiene al doblar la página por la mitad será respectivamente y y x/2. Estableciendo la proporcionalidad por el Teorema de Tales (largo es a largo como ancho a ancho), se obtiene:

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10 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

x y x 2y = → = y x y x 2 2

Es decir:

Y por tanto:

x =2 y2 x = √2 y

Es decir, la razón de proporcionalidad entre el largo y el ancho en el papel debería ser de √ 2 si se quiere que al doblar sucesivamente por la mitad el pliego original, se obtenga un rectángulo semejante (que mantenga las proporciones originales).

En la serie A, su base (formato A0) tiene una superficie de 1 m² de superficie y la medida de su lado mayor es de

√4 2≃1,189 m=1189 mm

y las de su lado menor es

1 ≃0,841 m=841 mm ¿por qué? √2 4

Las siguientes divisiones, que reducen su superficie (aproximadamente) a la mitad del anterior, reciben sucesivamente los nombres de A1, A2, A3, A4, A5, A6, ... etc., indicando con ellos el número de cortes a la mitad desde la hoja original, ayudando así su nombre a hacerse una idea de su superficie (1 m² dividido por 2 elevado al nº de orden del formato).

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5. Introducción a la trigonometría (MathIsFun) El origen de la trigonometría se atribuye a Hiparco de Nicea (190-125 a.C) quien la aplicó a sus cálculos astronómicos y confeccionó las primeras tablas trigonométricas. Surgió ante la necesidad de predecir con exactitud la ocurrencia de determinados fenómenos coo los eclipses, las inundaciones del Nilo, etc.. Ha tenido gran utilidad en la astronomía en la confección de calendarios, en la navegación y en la agrimensura. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Consideremos el ángulo agudo α del triángulo rectángulo de la figura de la derecha. Se llaman razones trigonométricas del ángulo α a las siguientes razones entre los lados del triángulo OAB: Seno del ángulo α es la razón (cociente) entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se expresa por “sen α”.

Coseno del ángulo α es la razón (cociente) entre el cateto contiguo (adyacente) al ángulo y la hipotenusa. Se expresa por “cos α”:

Tangente del ángulo α es la razón (cociente) entre el cateto opuesto y el cateto contiguo (adyacente) al ángulo. Se expresa por “tan α” ó “tg α”:

Ejemplo: figura.

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo de la

3 sen α= =0,6 5

4 cos α= =0,8 5

3 tan α= =0,75 4

4 sen β= =0,8 5

3 cos β= =0,6 5

4 tan β= =1,3333 3

Observa que el seno y el coseno de un ángulo agudo son menores que 1; esto se debe a que la hipotenusa es siempre mayor que cualquiera de sus catetos.

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12 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

Cálculo del ángulo Cuando se conoce el seno, el coseno o la tangente de un ángulo, para obtener la medida del ángulo es necesario conocer las funciones recíprocas. La función recíproca del seno se denomina arcoseno. En un triángulo rectángulo, el arcoseno equivale a la expresión en grados o radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y la hipotenusa:

sen α=

b b → α=arcsen a a

La función recíproca del coseno se denomina arcocoseno. En un triángulo rectángulo, el arcocoseno equivale a la expresión en grados o radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto contiguo y la hipotenusa:

cos α=

c c → α=arccos a a

La función recíproca de la tangente se denomina arcotangente. En un triángulo rectángulo, el arcotangente equivale a la expresión en grados o radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto contiguo:

tan α=

b b → α=arctan c c

En las calculadoras científicas las funciones arcsen, arccos y arctan se expresan respectivamente, mediante sin-1, cos-1 y tan-1. 11 Calcula las razones trigonométricas del ángulo que se indica, el valor del ángulo en grados sexagesimales y en radianes y la distancia de A a C (lado b).

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6. Aplicaciones de la trigonometría Las razones trigonométricas y su definición proporcionan herramientas matemáticas muy útiles en el cálculo de áreas y longitudes en situaciones que puedan esquematizarse mediante triángulos rectángulos.

^ ^ C=90 B+ º

Los ángulos agudos suman 90º:

Teorema de Pitágoras:

^ sen B=

^ c sen C= a

2

2

y C^ :

B^

Razones de

2

a =b +c

^ cos C=

b a

b a

^ cos B=

c a

^ b tan B= c

^ c tan C= b

Observa que el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario y viceversa. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Calcula el área de un pentágono regular de perímetro 25 cm. Si el perímetro tiene 25 cm, cada uno de los lados medirá 5 cm. Cada ángulo del pentágono regular mide:

α=180 º·

(n−2) 180 º·(5−2) = =108 º n 5

Para calcular el área nos falta conocer el apotema:

cos 54 º =

2,5 →r·cos 54 º=2,5 r

Despejando, obtenemos el valor de r:

r=

2,5 2,5 = =4,25 cm cos 54 º 0,5878

El apotema:

a=r·sen54 º =4,25 · 0,8090=3,44 cm

El área del pentágono es:

A=

P·a 5 · 5 ·3,44 2 = =42,98 cm 2 2

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14 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

Ejemplo 2: Calcula la altura de un edificio si desde el otro lado de la calle, a 30 m de su base, vemos su extremo superior con un ángulo de 60º. Sabemos que:

tan 60 º=

h →h=30· tan 60 º =51,96 m 30

El edificio mide aproximadamente 52 m de altura.

Ejemplo 3: El mástil de un velero se halla unido a la proa y a la popa del mismo por dos cables que forman con la cubierta ángulos de 45º y 60º, respectivamente. Si el barco tiene una longitud de 100 m, ¿cuál es la altura del mástil? Longitud del mástil a la popa: x Longitud del mástil a la proa: (100-x) Para obtener la altura del mástil es necesario plantear y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

x·tan60 º=h (100−x)· tan 45 º=h

}

Que resolvemos por igualación:

x·tan60 º=(100− x)· tan 45 º →1,7321 x=(100−x )· 1=100−x →1,7321 x + x=100→2,7321 x=100 De donde,

x=

100 =36,60 m 2,7321

Sustituyendo este valor en la primera de las ecuaciones, obtenemos el valor de h:

h=x·tan 60 º=36,60 · 1,7321=63,39 m La altura del mástil es de 63,39 m

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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 15

Ejemplo 4: Desde un barco se ve la luz de un faro con una inclinación de 55º. Al avanzar 20 millas en esa dirección, el ángulo de inclinación es de 70º. ¿A qué distancia se encuentra el barco del faro? ¿Cuál es la altura del acantilado? ¿A qué distancia está el barco de la base del acantilado? Distancia del barco al faro: x De la figura podemos establecer el siguiente sistema de ecuaciones:

(20+ x )· tan55 º=h x·tan60 º=h

}

que resolvemos por igualación:

(20+ x )· tan 55 º=x·tan 70º

→(20+ x )· 1,4281=x· 2,7475 →34,64+1,4281 x=2,7475 x

→2,7475 x −1,4281 x=34,64 →1,3194 x=34,64 →x =

34,64 =26,25 millas 1,3194

Sustituyendo este valor en la segunda de las ecuaciones del sistema, obtenemos la altura del acantilado:

h=x·tan 70 º →h=26,25 · 2,7475=72,12 m La distancia del barco al faro:

h=x·tan 70 º →d=√ 26,252 +72,122=76,748 milas

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16 - Matemáticas de Nivel I: ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA

Ejercicios

12 Un repetidor de telefonía móvil se halla sujeto por dos cables separados 50 m tal como indica la figura. Halla la altura que tiene el repetidor y calcula la longitud los cables.

de

Solución:

(50−x) · tan 50º =h x·tan 40º =h

}

0,8391 x+1,1918 x=50 · 1,1918⇒ 2,0309 x=59,59

x=

59,59 =29,34 m ; h=x·tan 40 º=29,34 · 0,8391=24,62 m 2,0309

La altura del repetidor es:

8+24,62=32,62 m

La longitud de los cables:

l 1=

h 24,62 = =38,30 m sen 40º 0,6428

l 2=

h 24,62 = =32,14 m sen 50 º 0,7660

13 Calcula la cantidad de chapa necesaria para fabricar una señal de STOP de forma octogonal, sabiendo que la diagonal marcada mide 1,25 m. Solución: Un octógono está formado por ocho triángulos isósceles cuyos lados iguales medirán:

1,25: 2=0,625 m Para calcular la apotema utilizaremos la función seno teniendo en cuenta que cada uno de los ángulos del octógono regular es:

180 º·(8−2) =135º 8 sen 67º 30 '=

a 0,625

⇒ a=0,625 · 0,9239=0,5774 m

El lado:

l=2 √ 0,6252−0,5774 2=0,4783 m

El área:

A=

p·a 0,4783· 8 · 0,5774 = =1,10 m2 2 2

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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA - 17

14 Calcula la altura de una torre si situándonos a 25 metros de su pie, observamos la parte más alta con un ángulo de 45º. Solución:

tan 45º =

h → h=25 · tan 45 º=25· 1=25 m 25

15 Halla el área y el perímetro del siguiente trapecio rectángulo.

Solución: Calculemos los lados:

tan 55 º=

l1 ⇒ l =60 · tan 55º =60 ·1,4281=85,69 cm 60 1

tan 75 º=

l2 ⇒ l =60 · tan 75 º=60 · 3,7321=223,92 cm 60 2

El cálculo del tercer lado lo haremos utilizando el teorema de Pitágoras:

l 3=√ (60)2 +( 223,92−85,69)2=150,60 cm Perímetro:

Área:

A=

60+223,92+150,69+85,69=530,31cm

(B+ b)· h 223,92+ 85,69 = · 60=9268 cm 2 2 2

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