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ELEMENTOS DE GEOMETRIA
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Jaime Escobar Acosta12
1 Profesor
Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en Matem´aticas de la Universidad Nacional. 2 Con la colaboraci´ on de los profesores: Jaime Chica E., Abelardo Espinal, Alberto Casta˜ no.
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Agradecimientos
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M´as que un agradecimiento estas notas son un reconocimiento a los Profesores Alberto Casta˜ no, Abelardo Espinal, Jaime Chica quienes junto con quien escribe estas notas , elaboramos en 1990 para el curso de Geometria Euclidiana los temas correspondientes a los Capitulos 1 y 2. Tambi´en tengo que agradecer a los estudiantes de F´ısica y Matem´aticas quienes me animaron a reescribir, completar y precisar las viejas notas de 1990. A Eliana Mu˜ noz Saraz, qui´en con su paciencia y consejos supo digitar en LATEX estas notas.
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Prof. Jaime Escobar A. Dpto. de Matem´aticas, U.deA.
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CONTENIDO
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´ 1 INTRODUCCION 1.1 COMENTARIOS INICIALES . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 1.2 METODOS DE DEMOSTRACION . . . . . . . . . . . .
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2 AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL ´ 2.1 ELEMENTOS GEOMETRICOS . . . . . . . . . . . . . 2.2 AXIOMAS DE INCIDENCIA . . . . . . . . . . . . . . 2.3 AXIOMAS DE ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 AXIOMAS DE CONGRUENCIA . . . . . . . . . . . . 2.4.1 LA RELACION DE CONGRUENCIA . . . . . 2.4.2 AXIOMAS DE CONGRUENCIA . . . . . . . . 2.4.3 PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO 2.5 AXIOMAS DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . ´ 2.6 MEDIDA DE ANGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 AXIOMA DE PARALELISMO . . . . . . . . . . . . . . ´ 2.8 DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO . . . . . . 2.9 POLIGONALES Y POL´IGONOS . . . . . . . . . . . .
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iv CONTENIDO
CAPITULO 1 atic atem
COMENTARIOS INICIALES
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1.1
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´ INTRODUCCION
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Un sistema axiom´atico es la forma acabada que toma hoy una teor´ıa deductiva. Es un sistema donde todos los t´erminos u objetos no definidos y las proposiciones no demostradas se enuncian expl´ıcitamente, siendo estas u ´ltimas, fijadas como hip´otesis a partir de las cuales pueden construirse las dem´as proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas l´ogicas perfecta y expresamente determinadas. El encadenamiento l´ogico que se hace a partir de las hip´otesis, constituye la demostraci´on. La necesidad de t´erminos no definidos y proposiciones no demostradas se debe a que es imposible llevar la definici´on y la demostraci´on indefinidamente. Mediante la demostraci´on, se establecen nuevas proposiciones o relaciones entre los objetos a partir de las relaciones dadas como axiomas; luego se hace necesario nombrar o definir los nuevos objetos que verifican estas propiedades; es as´ı como la demostraci´on y la definici´on corren de la mano.
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Definici´on y demostraci´on son en consecuencia, las dos operaciones fundamentales mediante las cuales se desarrolla una teor´ıa deductiva. Dentro del desarrollo axiom´atico griego, las nociones y principios se constru´ıan con fundamentaci´on en el mundo exterior, es decir, se pretend´ıa que los axiomas respondieran a la realidad y fueran as´ı mismo auto-evidentes; este tipo de axiom´aticas se han denominado gen´eticas o materiales, aqu´ı los axiomas tienen un contenido y un sentido. En la geometr´ıa desarrollada por Euclides, los t´erminos primitivos como son: punto, recta, relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un contenido “material” e intuitivo evidente, sin embargo, en el desarrollo de su 1
´ CAPITULO 1. INTRODUCCION
2
fundamentaci´on se prescinde de este desarrollo material e intuitivo.
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En oposici´on a la axiom´atica material, se estructura lo que se ha denominado un sistema axiom´atico formal, en el cual los elementos primitivos carecen en absoluto de contenido y son las piezas de un puro juego sin sentido material en s´ı mismo. El sentido viene definido impl´ıcitamente por las reglas del juego constru´ıdas por los axiomas y las reglas l´ogicas de demostraci´on.
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En un sistema formal, los axiomas no tienen caracter´ısticas de autoevidentes, son simplemente premisas, puntos de partida para el desarrollo de resultados posteriores. En este sentido, de las proposiciones que se concluyen de los axiomas por medio de reglas l´ogicas, diremos que son formalmente v´alidas, es decir, que existe una filiaci´on l´ogica entre los axiomas y dichas conclusiones.
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De otra manera, podemos entender la “verdad” matem´atica como una verdad implicada, donde el antecedente est´a constitu´ıdo por los axiomas y el consecuente por las conclusiones.
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En s´ıntesis, una teor´ıa deductiva bien estructurada, debe cumplir las siguientes condiciones:
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1. Enunciar expl´ıcitamente los t´erminos primeros, con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros.
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2. Enunciar expl´ıcitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone demostrar todas las dem´as. Estas proposiciones se denominan axiomas.
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Los axiomas deben verificar a su vez tres propiedades: • Consistencia: se refiere a la no introducci´on de contradicciones entre ellos en la teor´ıa. • Suficiencia: implica el hecho de que los resultados requeridos en la teor´ıa, puedan concluirse de ellos. • Independencia: esta caracter´ıstica establece que ning´ un axioma debe deducirse a partir de los otros. 3. Que las relaciones establecidas entre los t´erminos sean u ´nicamente relaciones l´ogicas, permaneciendo independiente del sentido concreto que pueda darse a los t´erminos.
´ ´ 1.2. METODOS DE DEMOSTRACION
3
4. Que en las demostraciones s´olo intervengan estas relaciones, lo que prohibe “tomar prestado algo” a la consideraci´on de las figuras.
´ ´ METODOS DE DEMOSTRACION
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1.2
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Debe aclararse que la condici´on de independencia entre los axiomas, no es requisito indispensable en el desarrollo de una teor´ıa axiom´atica, simplemente asegura que la teor´ıa tenga el m´ınimo de supuestos te´oricamente necesarios (axiomas). En la pr´actica, esta condici´on no se respeta, ya que no introduce contradicciones y permite agilizar el desarrollo de la teor´ıa.
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Hemos dicho que en matem´aticas la verdad esta constitu´ıda como la validez de una implicaci´on de la forma H ⇒ T , donde H es el conjunto de hip´otesis y T la conclusi´on a la cual se desea llegar. Esta implicaci´on, esta regida por un principio filos´ofico que establece que: “De la verdad no se puede seguir la falsedad”. Este principio constituye la fundamentaci´on del m´etodo de demostraci´on denominado “directo”, el cual consiste en partir de unas proposiciones que se admiten como ciertas, denominadas premisas, llegar mediante una cadena de implicaciones l´ogicas, a una proposici´on final llamada conclusi´on o t´esis.
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Se puede establecer una equivalencia entre las proposiciones H ⇒ T y ¬T ⇒ ¬H llamada esta u ´ltima, el contrarrec´ıproco de la proposici´on inicial. Este hecho permite establecer un m´etodo indirecto de demostraci´on, denominado m´etodo de demostraci´on por el contrarrec´ıproco. El m´etodo consiste en demostrar ¬T ⇒ ¬H, en lugar de H ⇒ T . La demostraci´on de ¬T ⇒ ¬H generalmente se hace usando el m´etodo directo, o sea, asumiendo la negaci´on de la tesis (¬T ) para concluir la negaci´on de la hip´otesis (¬H). Se dice que dos proposiciones son contradictorias cuando una es la negaci´on de la otra. Una contradicci´on, entonces, es la conjunci´on de una proposici´on y su negaci´on (Q ∧ ¬Q), por tanto, una contradicci´on siempre ser´a una proposici´on falsa. Cuando en una demostraci´on se establece una implicaci´on de la forma ¬P ⇒ Q ∧ ¬Q, por el contrarrec´ıproco podemos establecer como v´alida la proposici´on Q ∨ ¬Q ⇒ P . Esta implicaci´on tiene como antecedente una proposici´on verdadera denominada tercero excluido y, por tanto, de dicha implicaci´on se puede concluir que P es verdadera. Esta situaci´on permite estructurar otro m´etodo de demostraci´on indirecto llamado “Reducci´on al
´ CAPITULO 1. INTRODUCCION
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absurdo” o´ “M´etodo de contradicci´on”. Para la aplicaci´on del m´etodo se utilizan los siguientes pasos: 1. Introducir la negaci´on de la conclusi´on deseada como una nueva premisa (axioma). 2. De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradicci´on.
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3. Establecer la conclusi´on deseada como una inferencia l´ogica deducida de las premisas originales.
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Este m´etodo es uno de los cl´asicos en las demostraciones matem´aticas y en particular, en la Geometr´ıa frecuentemente se usa esta forma de razonamiento en la demostraci´on de los teoremas.
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CAPITULO 2
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AXIOMAS DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
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En este cap´ıtulo, comenzaremos dando los t´erminos y relaciones primitivas de la geometr´ıa, y su conexi´on por medio de los axiomas. A medida que se van presentando los axiomas, se deducen los teoremas que se desprenden de ellos, como tambi´en las definiciones necesarias para caracterizar los nuevos objetos.
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En la formulaci´on que adelantaremos, asumiremos el manejo de la l´ogica y de la teor´ıa de conjuntos, aunque en algunos puntos haremos hincapi´e en el proceso l´ogico de las demostraciones.
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´ ELEMENTOS GEOMETRICOS
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2.1
1.1 T´erminos primitivos: punto, recta, plano, espacio.
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1.2 Relaciones primitivas: estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estos t´erminos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como: El punto A est´a en la recta l. El punto B esta entre los puntos A y C en la recta l. 1.3 Axiomas. Los axiomas se dividen en cinco grupos a saber: Grupo I. Axiomas de incidencia. Grupo II. Axiomas de orden. 5
6
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Grupo III. Axiomas de congruencia. Grupo IV. Axiomas de continuidad. Grupo V. Axiomas de paralelismo.
2.2
AXIOMAS DE INCIDENCIA
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I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa al menos una recta.
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I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.
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I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no est´a en la recta.
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I.4 Tres puntos distintos que no est´an en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual pertenecen. Por dos puntos distintos pasa al menos un plano.
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Definici´ on 1 . Puntos colineales son aquellos que est´an en una misma recta.
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I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos distintos no colineales.
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I.6 Si dos puntos de una recta est´an en un plano, la recta est´a contenida en el plano.
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I.7 Si dos planos diferentes se cortan, su intersecci´on es una recta.
Un ive
Observaci´on: el axioma I.7 establece que si dos planos tienen un punto en com´ un, tienen un segundo punto en com´ un y en consecuencia, una recta com´ un. Definici´ on 2 . Puntos coplanares son aquellos que est´an en un mismo plano. I.8 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no est´a en el plano. Notaci´on: i) Para designar puntos, utilizaremos letras latinas may´ usculas.
2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA
7 ←→
←→
ii) Para A, B puntos distintos, notaremos por AB o´ BA la recta a la cual pertenecen estos puntos, o tambi´en por letras min´ usculas latinas. ←→
B
l
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A
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As´ı, por ejemplo, nos referiremos a la recta AB o´ a la recta l . (ver figura 1).
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Figura 1
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Teorema 1 . Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersecci´on es un solo punto.
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Figura 2
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Demostraci´ on (Figura 2). Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducci´on al absurdo). Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B. Por el axioma I.1 por los puntos A y B pasa una recta u ´nica. Luego l y m son la misma recta. Contradicci´on, ya que l y m son rectas diferentes. Teorema 2 . Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano u ´nico que las contiene. Demostraci´ on (Figura 3). Sean l y m dos rectas diferentes que se intersectan. Sea A el punto de intersecci´on (Teorema 1). Por el axioma I.2
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CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
existen otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente de A en m. Por el Teorema 1, A, B, C son no colineales ya que B no est´a en la recta m y C no est´a en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano u ´nico. Por el axioma I.6 las rectas l y m est´an contenidas en ese plano. Este es el u ´nico plano que contiene a ambas. Si existiera otro, A, B y C estar´ıan en ´el. Contradicci´on con el axioma I.4.
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m A
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Figura 3
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Teorema 3 . Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano u ´nico que contiene a la recta y al punto.
Figura 4
Demostraci´ on (ver figura 4). Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los tres puntos no colineales A, B y C determinan un plano u ´nico. A est´a en ese plano y por el axioma I.6 la recta l est´a contenida en el plano. Este plano es u ´nico, si no, los tres puntos A, B y C estar´ıan en otro plano. Contradicci´on con el axioma I.4.
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
2.3
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AXIOMAS DE ORDEN
Intuitivamente en Geometr´ıa, el orden establece la forma como se relacionan tres puntos distintos pertenecientes a una misma recta, esta relaci´on es la que hemos denominado dentro de las relaciones primitivas, “estar entre”.
C
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B
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A
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II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A y el punto C, entonces A, B y C son puntos diferentes de una misma recta y B se encuentra asi mismo entre C y A. (ver figura 5).
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Figura 5
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II.2 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B sobre ←→
C
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B
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A
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AC tal que B est´a entre A y C. (ver figura 6)
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de
Figura 6
II.3 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto D sobre ←→
A
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AC, tal que C est´a entre A y D. (ver figura 7)
C
D
l
Figura 7
II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos est´a entre los otros dos.
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CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Observaci´on: el axioma II.4, establece que por ejemplo, si A est´a entre B y C, entonces B no est´a entre A y C y C no est´a entre A y B. Definici´ on 3 (Segmento). Sean A y B dos puntos. Al conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B se le llama segmento AB y se nota AB o´ BA. A y B se llaman extremos del segmento y se dice que ellos determinan al segmento. Los puntos que est´an entre A y B se llaman puntos in-
as
←→
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teriores del segmento AB. Los dem´as puntos de AB se llaman puntos exteriores. En consecuencia :
es un punto que est´a entre A y
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AB = {A, B} ∪ {X/X
B}.
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Los puntos interiores a AB los denotamos por IntAB; por tanto
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IntAB = {X/X es un punto que est´a entre A y B}.
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Si A y B representan el mismo punto diremos que AB es un segmento nulo.
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X
C
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II.5 Si D est´a entre A y C y X est´a entre D y C, entonces X est´a entre A y C. (ver figura 8).
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Figura 8
Observaci´on: de II.2 y II.5 se sigue que un segmento tiene infinitos puntos y lo propio para una recta. Definici´ on 4 . Un conjunto no vac´ıo de puntos se denomina figura. Definici´ on 5 . Diremos que una figura es convexa si dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento determinado por estos puntos, est´a contenido en la figura. En caso de no cumplirse este enunciado, diremos que la figura es no convexa. (ver figuras 9 y 10)
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
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A
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as
B
Figura 10. Figura no convexa
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Figura 9. Figura Convexa
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Teorema 4 . La intersecci´on no vac´ıa de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo.
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An
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Demostraci´ on. Sean A y B conjuntos convexos. Sean X, Y ∈ A ∩ B. Probemos que XY ⊂ A ∩ B. Sea Z ∈ XY ; esto es: Z es X o´ Z es Y o´ Z est´a entre X y Y . Si Z es X o´ Z es Y , entonces Z ∈ A ∩ B. Si Z est´a entre X y Y , como X, Y ∈ A ∩ B, X, Y ∈ A luego XY ⊂ A ya que A es convexo; en consecuencia Z ∈ A. En forma an´aloga podemos concluir que Z ∈ B. Luego Z ∈ A ∩ B; por tanto, XY ⊂ A ∩ B.
B
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A
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Observaci´on: la uni´on de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo. Veamos un contraejemplo.
C
D
l
Figura 11
Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta l; tales que: AB ∩ CD = φ (ver figura 11). B, C ∈ AB ∪ CD y BC 6⊂ AB ∪ CD Luego, AB ∪ CD es no convexo.
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CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
B
B
A
O
O
A
O
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A
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Definici´ on 6 . Sea O un punto de la recta l, A, B otros dos puntos diferentes de la misma. Si O no est´a entre A y B, diremos que los puntos A y B est´an sobre l a un mismo lado del punto O. Si O est´a entre A y B diremos que los puntos A y B est´an sobre la recta l en lados diferentes con respecto al punto O. (ver figura 12).
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B
l l
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Figura 12
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II.6 Axioma de separaci´on de la recta.
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Ilustraci´on: (ver figura 13).
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An
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Un punto O de una recta l divide a todos los dem´as puntos de ´esta en dos conjuntos no vac´ıos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto est´an a un mismo lado de O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se encuentran en lados diferentes de O.
Un ive
i) A, B est´an a un mismo lado de O. C, D est´an en un mismo lado de O. ii) B, C est´an en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C; A y D; B y D iii) A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto que contiene a C y D. Definici´ on 7 (Semirecta). Decimos que un punto O de una recta l, conjuntamente con alg´ un otro punto A de la misma, determina la −→ semirrecta OA, que notaremos OA; los puntos que est´an del mismo lado que A con respecto a O se llaman puntos de la semirrecta OA; el punto O, origen de la semirrecta OA (ver figura 14).
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
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O
A
B
C
D
l
Figura 13 A
l
as
O
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Figura 14
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En consecuencia: −→ OA = {X/X es un punto que est´a entre O y A} ∪ {A} ∪ {X/A es un punto que est´a entre O y X} Observaciones:
est´a entre A y X}
An
O
A
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de
X
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−→ l = {O} ∪ OA ∪ {X/O
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• El axioma II.6 nos permite, dada una recta l, O y A puntos distintos, establecer una partici´on de la recta en tres conjuntos convexos y disjuntos as´ı: (ver figura 15)
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Figura 15
• Si O, A, B son puntos de una recta y O est´a entre A y B diremos −→ −−→ que OA y OB son semirrectas opuestas. (ver figura 16).
B
O
Figura 16
A
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CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
II.7 Axioma de separaci´on del plano.
π
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Cada recta l contenida en un plano , divide los puntos de este plano que no le pertenecen, en dos conjuntos no vac´ıos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y A0 de conjuntos diferentes determinan un un punto de la recta l, mientras que segmento AA0 , que contiene alg´ dos puntos arbitrarios A y A00 de un mismo conjunto determinan un segmento AA00 , dentro del cual no hay ning´ un punto de l. (ver figura 17) A
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l
π
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A”
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A’
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Figura 17 Observaciones:
π
←→
π
An
←→
←→
←→
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π
de
i) Dados: AB⊂ , Q ∈ , Q 6∈AB, entonces el axioma II.7 nos permite definir dos conjuntos no vac´ıos que denominaremos semiplanos y que notaremos as´ı: (ver figura 18 ) o AB /Q y que leeremos: semiplano de borde AB y que AB: Q contiene al punto Q. ←→
Un ive
π
←→
←→
o AB / ∼ Q y que leeremos: semiplano de borde AB y AB:∼Q que no contiene al punto Q. ←→
ii) Con las condiciones establecidas en i), el axioma II.7 nos permite en tres conjuntos convexos establecer una partici´on del plano y disjuntos as´ı:
π
π =π
←→
←→
AB: Q
∪ AB ∪
π
←→
AB: ∼Q
o
←→
←→
←→
π =AB /Q ∪ AB ∪ AB∼ Q
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
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Q
l
B
A
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π
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Figura 18
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II.8 Axioma de separaci´on del espacio.
π
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Todo plano divide los puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no vac´ıos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes, determinan un segmento AB dentro del cual hay alg´ un punto del plano , mientras que dos puntos cualesquiera A y A0 de un mismo conjunto, determinan un segmento AA0 dentro del cual no hay puntos comunes con el plano .
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π
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Observaciones:
de
i) Los conjuntos definidos por el axioma II.8 se denominan semiespacios.
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ii) El axioma II.8 establece una partici´on del espacio en tres conjuntos convexos y disjuntos.
Un ive
Definici´ on 8 (Angulo). El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen, incluyendo este punto, se llama a´ngulo. Si las dos semirectas coinciden, entonces el a´ngulo que determinan se llama nulo. Si las dos semirrectas no coinciden pero est´an sobre una misma recta, el a´ngulo se llama llano. −→ −−→ Notaci´on: si OA y OB son dos semirrectas distintas, entonces el a´ngulo que forman se denotar´a por cualquiera de los s´ımbolos (Ver Figura 19): → −−→ −−→ −→ [ o´ BOA; [ ]AOB o´ ]BOA; ](− AOB OA, OB) o´ ](OB, OA) −→ −−→ OA y OB se denominan lados del a´ngulo. O se denomina v´ertice del a´ngulo.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
B
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A
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Figura 19
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Definici´ on 9 . Un a´ngulo no-nulo y no-llano divide al plano en dos regiones de tal manera que en una y s´olo una de las regiones, cualesquiera dos puntos siempre pueden unirse por un segmento que no intersecta el a´ngulo. La regi´on que posee esta propiedad se llama interior del a´ngulo y la otra regi´on se llama exterior del a´ngulo. (ver figura 20).
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B
[ Interior del a´ngulo AOB
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Figura 20 Observaciones:
i) De acuerdo con la definici´on 9, podemos concluir que el interior de un a´ngulo es un conjunto convexo. [ lo notaremos: Int(AOB). [ ii) El interior de AOB ←→
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←→
[ = OA /B ∩ OB /A. iii) Int(AOB) Teorema 5 . Si P es un punto sobre una recta l y Q es un punto que no est´a en −→ dicha recta, entonces la semirrecta P Q est´a contenida en l : Q.
π
π
Demostraci´ on (Ver figura 21). Sea el plano determinado por l y −→ Q y sea T un punto de la semirrecta P Q distinto de Q.
2.3. AXIOMAS DE ORDEN Q
P
T
P’
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Figura 21
π π
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Claramente T es un punto del plano . Veamos que T est´a en el semiplano l : Q. Razonando por reducci´on al absurdo: supongamos que T est´a en el ←→
π
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semiplano l :∼ Q. Por consiguiente la recta T Q pasa por el punto P 0 de l, tal que P 0 est´a entre T y Q (Axioma de separaci´on del plano)
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←→
←→
←→
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y como adem´as T est´a en la recta P Q, entonces las rectas P Q y T Q coinciden y por lo tanto, P y P 0 son el mismo punto; de lo cual se sigue −→ que P est´a entre T y Q, o sea que T no est´a en la semirrecta P Q en contradicci´on con el supuesto inicial. Lo anterior nos permite concluir que T est´a en el semiplano l : Q como se quer´ıa demostrar.
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de
An
Corolario 1 . La semirrecta que tiene su origen en el v´ertice de un a´ngulo no nulo y no llano y un punto en el interior de dicho a´ngulo, est´a contenida en el interior del a´ngulo. (ver figura 22)
Un ive
B
O
D
A Figura 22
−−→ [ Veamos que la semirrecta OD Demostraci´ on: sea D ∈ Int(AOB). [ est´a contenida en Int(AOB).
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
π
Est´a claro por la hip´otesis que D es un punto del semiplano tambi´en es un punto del semiplano ←→ . OB: A −−→ Por el Teorema 5 la semirrecta OD est´a contenida en −−→ [ tambi´en en ←→ ; esto es OD est´a contenida en lnt(AOB).
π
π
π
←→
OA: B
←→
OA: B
y y
OB: A
atic
as
Teorema 6 . [ (no-nulo y no llano), los puntos interiores del Dado un a´ngulo BAC segmento BC est´an en el interior de dicho a´ngulo.
C
o. d
eM
atem
Demostraci´ on (ver figura 23). Supongamos que D es un punto interior a CB. Vamos a demostrar que D es un punto interior al a´ngulo [ BAC.
,D
ept
D
An
tioq
Figura 23
uia
B
A
de
De la hip´otesis tenemos que D est´a entre B y C; por lo tanto, estos dos puntos est´an en lados distintos respecto a D y en consecuen←→
←→
←→
←→
rsid ad
cia C 6∈ BD. Afirmamos que BD ∩ AC= φ, en efecto, puesto que BD ⊂BC y BC ∩ AC= {C} y como C 6∈ BD, queda sustentado lo afirmado. Por tanto: BD ⊂ ←→ (1)
π
Un ive
18
AC: B
De la hip´otesis tambi´en se infiere que B 6∈ DC y afirmamos que ←→
←→
←→
←→
DC ∩ AB= φ, en efecto, puesto que DC ⊂BC y BC ∩ AB= {B}; pero B 6∈ DC. En Consecuencia: DC ⊂ ←→ (2)
π
AB: C
π
De (1) y (2) podemos concluir que D ∈ [ pertenece al interior del a´ngulo BAC.
←→
AB: C
∩
π
←→
AC: B
esto es: D
2.3. AXIOMAS DE ORDEN
19
Teorema 7 . [ un a´ngulo no nulo y no llano; D un punto interior a dicho Sea BAC a´ngulo. Si F es un punto tal que A est´a entre F y C, entonces los puntos B y F est´an en el mismo semiplano determinado por la recta ←→
AD.
A
ept
Figura 24
,D
G
o. d
C
eM
F
atem
D
atic
as
B
uia
Demostraci´ on (Ver Figura 24): esta consistir´a en demostrar que el ←→
An
tioq
segmento BF no tiene puntos en la recta en AD. Dividiremos la prueba en tres puntos, a saber: i) Veremos que el punto A no puede estar en el segmento F B.
rsid ad
de
−−→ ii) Veremos que ning´ un punto de F B est´a en la semirecta AD.
Un ive
−→ iii) Veremos que ning´ un punto de F B est´a en la semirrecta AG, siendo −−→ G un punto en la semirrecta opuesta a AD. La prueba de estas tres partes permite afirmar que F B no corta a la ←→
recta AD y por tanto, que los puntos F y B est´an en un mismo semi←→
plano respecto de la recta AD. Para probar i) comencemos por afirmar que la hip´otesis del enunciado garantiza que A es un punto distinto de B y F . Razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que A es un punto ←→
en el interior de F B. Puesto que F se tom´o en la recta AC, las rectas ←→
←→
AC y F B tienen en com´ un los puntos A y F y por tanto dichas rectas
20
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL coinciden (Axioma I.1), de donde se concluye que el punto B est´a en ←→
la recta AC, lo cual lleva a la contradicci´on con la hip´otesis de que el [ es no nulo y no llano. En esta forma queda demostrada a´ngulo BAC la parte i). Para probar las partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que la semirrecta → [ (Corolario) y por AD est´a contenida en el interior del a´ngulo BAC, tanto, est´a contenida en el semiplano ←→ como tambi´en en el semiAB: C plano ←→ .
as
atic
AC: B
atem
π
π
Para probar ii) afirmamos que los puntos F y C est´an en semiplanos ←→
eM
opuestos respecto a la recta AB, ya que A est´a entre F y C y estos ←→
π
ept
π
π
π
tioq
uia
,D
π
o. d
puntos no est´an en AB. Seg´ un lo anterior, F est´a en el semiplano −−→ ←→ y por el Teorema 5, es claro que la semirecta F B est´a en el AB: ∼C −−→ semiplano ←→ . Por otra parte, ya se afirm´o que la semirrecta AD AB: ∼C est´a en el semiplano ←→ . AB: C y ←→ y siendo B 6= A, se Siendo disjuntos los semiplanos ←→ AB: ∼C AB: C −−→ sigue que ning´ un punto de F B est´a en la semirrecta AD.
π
←→
AC: ∼B
π
AC: B
←→
. Por otra parte, como F est´a en AC y
rsid ad
est´a en el semiplano
de
An
Para demostrar la parte iii) tomamos en consideraci´on que las se−−→ −→ mirrectas opuestas AD, AG est´an en semiplanos opuestos respecto a ←→ −→ −−→ la recta AC y como AD est´a en el semiplano ←→ , entonces AG ←→
π
π
Un ive
B es un punto que no est´a en AC, por el Teorema 5, se sigue que la −−→ semirecta F B est´a en el semiplano ←→ . Siendo disjuntos los semiAC: B y ←→ y siendo B 6= A, se concluye que el segmento planos ←→ AC: ∼B AC: B −→ F B no tiene puntos en la semirrecta AG.
π
[ un a´ngulo no nulo y no llano; D un punto Corolario 2 . Sea BAC en el interior de dicho a´ngulo. Si F es un punto tal que A esta entre −→ \ F y C, entonces AB ⊂ IntF AD.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
21
F
atem
D C
eM
atic
B
as
Teorema 8 (Teorema de la barra transversal). [ (no nulo y no Si D es un punto que est´a en el interior de BAC −−→ llano), entonces AD intersecta a BC.
o. d
A
ept
Figura 25
uia
,D
Demostraci´ on (ver figura 25). Razonando por reducci´on al absurdo. −−→ Supongamos que AD ∩ BC = φ. En consecuencia, B y C est´an en el ←→
mismo semiplano con respecto a la recta AD (Axioma de separaci´on
tioq
←→
del plano). Tomemos F ∈ AC tal que A est´a entre F y C, por tanto ←→
An
F B ∩ AD= φ por el Teorema 7; esto es, F y B est´an en el mismo ←→
de
semiplano respecto a la recta AD, concluy´endose por tanto que F y ←→
Un ive
rsid ad
C est´an en el mismo semiplano respecto a AD; esto es contradictorio puesto que A est´a entre F y C. −−→ Conclusi´on: AD ∩ BC 6= φ.
2.4
AXIOMAS DE CONGRUENCIA
2.4.1
LA RELACION DE CONGRUENCIA
Cuando se piensa en la forma y tama˜ no de las figuras geom´etricas, surge de un modo natural la posibilidad de que dos o m´as figuras coincidan. El paso siguiente de nuestro trabajo, consiste en establecer una relaci´on que incluye esta posibilidad en el tratamiento geom´etrico. Vamos a denominar congruencia a esta nueva relaci´on. Ser´a suficiente
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL establecer sin definici´on dicha relaci´on para segmentos y a´ngulos, y despu´es extenderla mediante definiciones para otras figuras u objetos geom´etricos. En adelante podremos hacer afirmaciones como: [ es congruente con DEF \. AB es congruente con CD, o bien, ABC
atic
as
La relaci´on de congruencia ser´a denotada por el signo primitivo ∼ = y as´ı las anteriores afirmaciones se podr´an escribir:
atem
[ ∼ \ AB ∼ = CD, ABC = DEF
AXIOMAS DE CONGRUENCIA
eM
2.4.2
III.1 Axioma de la construcci´on del segmento
uia tioq
B
//
An
A
,D
ept
o. d
−−→ Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen −−→ C. Entonces existe en CE un u ´nico punto D tal que AB ∼ = CD (ver figura 26).
//
D
E
rsid ad
de
C
Figura 26
En t´erminos pr´acticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un segmento haciendo uso, por ejemplo, de regla y comp´as.
Un ive
22
Las construcciones geom´etricas se hacen con regla y comp´az, el comp´az sirve para trasladar la magnitud del segmento y la regla (sin numeraci´on) para trazar rectas. Construcci´ on b´ asica: construir con regla y compaz un segmento −−→ en una semirecta dada OX, dado el segmento.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA III.2
23
i) Propiedad reflexiva: cada segmento es congruente consigo mismo, es decir: AB ∼ = AB para todo segmento AB. ii) Propiedad de simetr´ıa: si AB ∼ = CD, entonces CD ∼ = AB.
atem
atic
as
iii) Propiedad transitiva: si AB ∼ = CD y CD ∼ = EF , entonces ∼ AB = EF .
o. d
eM
III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A0 , B 0 , C 0 puntos de a o´ de otra recta b, tales que B est´a entre A y C y B 0 entre A0 y C 0 . i) Si AB ∼ = A0 B 0 y BC ∼ = B 0 C 0 , entonces AC ∼ = A0 C 0
ept
ii) Si AB ∼ = A0 B 0 y AC ∼ = A0 C 0 , entonces BC ∼ = B0C 0
,D
(ver figura 27).
A
/// //
B’
B
/
///
a
b
//
C
A’
Un ive
C’
rsid ad
An
/
de
tioq
uia
El anterior axioma expresa que la “suma” y la “diferencia” de segmentos congruentes, dan lugar a segmentos congruentes.
Figura 27
III.4 Axioma de la construcci´on del a´ngulo −→ −−→ Sea ](OA, OB) un a´ngulo cualquiera y O 0 un punto de una recta l situada en un plano . Sea l uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a y −− 0 →0 0 O C una de las semirrectas en que O divide a l. Entonces existe −−→ una semirrecta u ´nica O0 D situada en el semiplano l tal que:
π
π
π
π
24
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
−−→ −−→ −→ −−→ ](OA, OB) ∼ = ](O0 C 0 , O0 D) (ver figura 28)
O’
B
C’
l
as
atic
A
D
atem
πl
eM
O
o. d
Figura 28
uia
,D
ept
Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un a´ngulo haciendo uso por ejemplo, del comp´as y la regla.
de
An
tioq
III.5 El siguiente axioma expresa que la relaci´on de congruencia entre a´ngulos verifica las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva, en t´erminos similares a los del axioma III.2, es decir: −→ −−→ −→ −−→ i) Reflexiva: ](OA, OB) ∼ = ](OA, OB)
rsid ad
−→ −−→ ii) Sim´etrica: si ](OA, OB) −−→ −−→ −→ −−→ ](O0 X, O0 Y ) ∼ = ](OA, OB)
∼ =
−−→ −−→ ](O0 X, O0 Y ), entonces
Un ive
iii) Transitiva: −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ si ](OA, OB) ∼ = ](U C, U D) y ](U C, U D) ∼ = ](W X, W Y ), −→ −−→ −−→ −−→ entonces ](OA, OB) ∼ = ](W X, W Y ) −−→ −−→ −→ III.6 Sean OH, OK, OL semirrectas con un mismo origen O y situadas en un mismo plano α. −−→ −−→ −−→ Sean O0 R, O0 S, O0 T semirrectas con un mismo origen O 0 y situadas en α o´ en otro plano α0 . −→ −−→ −−→ Supongamos adem´as que OL est´a en el interior de ](OH, OK) y −−→ −−→ −−→ O0 T en el interior de ](O0 R, O0 S) (ver figura 29). Entonces: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ i) Si ](OH, OL) ∼ = ](O0 R, O0 T ) y ](OL, OK) ∼ = ](O0 T , O0 S), −−→ −−→ −−→ −−→ entonces ](OH, OK) ∼ = ](O0 R, O0 S)
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
25
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ ii) Si ](OH, OL) ∼ = ](O0 R, O0 T ) y ](OH, OK) ∼ = ](O0 R, O0 S), −−→ −−→ −→ −−→ entonces ](OL, OK) ∼ = ](O0 T , O0 S)
as
L
S
atem
K
eM
O’
ept
o. d
Figura 29
tioq
uia
,D
Este axioma, lo mismo que el III.3, expresa que lo “suma” y la “diferencia” de a´ngulos congruentes, dan como “resultado”, a´ngulos congruentes.
de
An
Definici´ on 10 (Tri´ angulo). Sean A, B, C, tres puntos no colineales. Los segmentos AB, BC, CA determinan el tri´angulo de 4
rsid ad
v´ertices A, B y C que denotaremos: 4ABC o´ ABC.
Los segmentos AB, BC y CA se llaman lados del tri´angulo. Los [ BAC [ y ACB [ se llaman a´ngulos interiores o simplea´ngulos ABC, mente, a´ngulos del tri´angulo 4ABC y tambi´en ser´an denotados b B, b C. b por sus v´ertices, o´ sea, A,
Un ive
O
T
R
atic
H
b es el a´ngulo opuesto al En un tri´angulo 4ABC, diremos que A byC b son a´ngulos adyacentes a dicho lado. Rec´ıprocalado BC y B b y el mismo lado BC mente, BC se llama lado opuesto al a´ngulo A b como a C. b (ver figura 30). se llama lado adyacente tanto a B Esta misma terminolog´ıa es aplicable a los otros a´ngulos y lados del tri´angulo.
26
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL A Angulo opuesto al lado BC
as
Angulos adyacentes a BC
C
atem
b Lado opuesto al ´ angulo A
atic
B
eM
Figura 30
o. d
Definici´ on 11 (Congruencia de tri´ angulos)(Ver figura 31). El tri´angulo 4ABC es congruente al tri´angulo 4A0 B 0 C 0 si:
ept
AB ∼ = A0 B 0 , AC ∼ = A0 C 0 , BC ∼ = B0C 0
tioq
uia
,D
0 B 0 C 0 , BAC 0 A0 C 0 , BCA 0 C 0 A0 [ ∼ [ ∼ [ ∼ ABC = A\ = B\ = B\
A’
!
Un ive
B
rsid ad
de
An
A
C
B’
!
C’
Figura 31 Escritura simb´olica: 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 La definici´on anterior establece que dos tri´angulos son congruentes si tanto los lados como los a´ngulos se presentan en pares congruentes.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
27
El siguiente axioma establece condiciones m´ınimas para la con´ gruencia de dos tri´angulos y se denomina axioma LADO-ANGULOLADO, en s´ımbolos: L-A-L. III.7 Axioma L-A-L
eM
atem
atic
as
Si los tri´angulos 4ABC y 4A0 B 0 C 0 presentan las congruencias: 0 A0 C 0 , entonces (ver figura [ ∼ AB ∼ = A0 B 0 , AC ∼ = A0 C 0 y BAC = B\ 32) 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 .
A’
B’
C’
An
C
rsid ad
de
Figura 32
Seg´ un el axioma L-A-L, dos tri´angulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el a´ngulo comprendido (entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el a´ngulo comprendido (entre dichos lados), en el otro tri´angulo. E1 siguiente teorema establece que la relaci´on de congruencia entre segmentos (respectivamente entre a´ngulos), mantiene la disposici´on de los puntos en una recta (respectivamente, la disposici´on de las semirrectas que tienen el origen en el v´ertice de un a´ngulo).
Un ive
B
tioq
uia
,D
ept
o. d
A
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Teorema 9 . Sean A, B, C tres puntos de una recta a y A0 , B 0 , C 0 tres puntos de una recta b tales que, AB ∼ = A0 B 0 y AC ∼ = A0 C 0 . Si B est´a entre A y C y B 0 est´a del mismo lado que C 0 con respecto a A0 (ver figura 33), entonces B 0 est´a entre A0 y C 0 .
A’
/
#
#$#
B’
//
as
C
C’ C”
a b
o. d
#
//
B
atem
A
"
atic
"
/
eM
"
ept
Figura 33
An y
BC ∼ = B 0 C 00
de
De las congruencias: AB ∼ = A0 B 0
tioq
uia
,D
Demostraci´ on: por el axioma de construcci´on del segmento, existe un punto C 00 en b tal que B 0 est´a entre A0 y C 00 y adem´as BC ∼ = B 0 C 00 . (ver figura 33). El teorema quedar´a demostrado si se logra probar que C 00 coincide con C 0 .
rsid ad
se obtiene AC ∼ = A0 C 00 (“Suma” de segmentos), y como AC ∼ = A0 C 0 0 0 0 00 ∼ (hip´otesis), se concluye A C = A C (transitividad). De donde se sigue, como una consecuencia del axioma de construcci´on del segmento, que C 0 y C 00 coinciden, pues est´an en la recta b y del mismo lado de A0 . Ya que C 00 se tom´o de modo que B 0 est´a entre A0 y C 00 , se concluye que B 0 est´a entre A0 y C 0 , como se quer´ıa demostrar.
Un ive
28
Tiene lugar un teorema, an´alogo al anterior, para a´ngulos.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
29
atic
as
Teorema 10 . Supongamos que en cierto plano fijo se tienen las semirrectas −−→ −−→ −→ OH, OK y OL y que en el mismo plano o en otro cualquiera, se −−−→ −−−→ −−→ tienen las semirrectas O0 H 0 , O0 K 0 y O0 L0 . Supongamos adem´as que ←→ −−→ −→ las semirrectas OK y OL est´an al mismo lado de la recta OH y que −−−→ −−→ las semirrectos O0 K 0 , O0 L0 tienen disposici´on an´aloga con respecto a ←→ −−−→ −−−→ −−→ −−→ O0 H 0 . Entonces, si ](OH, OK) ∼ = ](O0 H 0 , O0 K 0 ), −−−→ −−→ −−→ −→ ](OH, OL) ∼ = ](O0 H 0 , O0 L0 ),
eM
atem
−−→ −−→ −→ Si la semirrecta OK est´a en el interior de ](OH, OL) (Ver −−−→ figura 34), la semirrecta O0 K 0 estar´a as´ı mismo en el interior de −−−→ −−→ ](O0 H 0 , O0 L0 ). L’
o. d
H
,D
L
O’
H’
An
tioq
Figura 34
uia
O
ept
K
K’
rsid ad
de
Teorema 11 (Caso a ´ngulo-lado-´ angulo: A-L-A). 0 0 0 Sean 4ABC y 4A B C dos tri´angulos tales que: 0 B 0 A0 Entonces 4ABC ∼ 0 A0 C 0 , CBA [ ∼ [ ∼ AB ∼ = = C\ = A0 B 0 , BAC = B\ 0 0 0 4A B C
Un ive
Demostraci´ on (Ver figura 35). Esta consistir´a en demostrar que 0 0 AC ∼ A C con lo cual se tiene 4ABC ∼ = = 4A0 B 0 C 0 (por el axioma L-A-L). −→ Sea D un punto en la semirrecta AC tal que: AD ∼ = A0 C 0 (axioma de construcci´on de segmento). Por tanto, 4ABD ∼ = 4A0 B 0 C 0 (axioma L-A-L). (ver figura 36). 0 B 0 A0 y como CBA 0 B 0 A0 , (hip´ \ ∼ [ ∼ Luego DBA otesis), se tiene = C\ = C\ ∼ \ = CBA [ por tanto (por el Ax. de construcci´on por transitividad, DBA −−→ −−→ de a´ngulo) BC ≡ BD luego (por T.1) C ≡ D; luego AC ∼ = A0 C 0
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
C
B
A’
B’
atic
as
A
C’
atem
Figura 35
eM
C
C’
B
A’
An
tioq
Figura 36
B’
uia
A
,D
ept
o. d
D
rsid ad
de
Definici´ on 12 . i) Se llama tri´angulo is´osceles a aquel que tiene dos lados congruentes. (Ver figura 37). ii) Si el tri´angulo 4ABC es is´osceles con AB ∼ = AC, se llama base del tri´angulo al tercer lado BC.
Un ive
30
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
31
C
eM
base
atem
B
atic
as
A
o. d
Figura 37
tioq
uia
,D
ept
Teorema 12 . En todo tri´angulo is´osceles, los a´ngulos adyacentes a la base son congruentes.
de
An
Demostraci´ on: sea 4ABC un tri´angulo is´osceles con AB ∼ = AC. b b Veamos que los a´ngulos de la base, B y C son congruentes.
Un ive
rsid ad
Sean D y E puntos tales que B est´a entre A y D, C entre A y E y BD ∼ = CE. (ver figura 38). A
B
C
D
E Figura 38
32
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Por suma de segmentos, AE ∼ = AD. Entonces en los tri´angulos 4ABE, 4ACD se tiene: [ ∼ \ AB ∼ = AC, AE ∼ = AD, BAE = CAD (el a´ngulo del v´ertice en A es com´ un para ambos tri´angulos).
as
Se concluye que dichos tri´angulos son congruentes (L-A-L). De donde:
atic
\∼ \ BE ∼ [ ∼ \ BDC = BEC, = CD, ABE = ACD
ept
o. d
eM
atem
Consideremos ahora los tri´angulos 4BDC, 4CEB. En dichos tri´angulos se tiene: \∼ \ BD ∼ = CE, CD ∼ = BE, BDC = BEC \∼ \ luego 4BDC ∼ = DCB = 4CEB (axioma L-A-L), de donde, EBC \ se sigue por diferencia de [ ∼ y puesto que ya se ten´ıa ABE = ACD, ∼ [ [ a´ngulos que ABC = ACB que era lo que se quer´ıa demostrar.
tioq
uia
,D
Definici´ on 13 : i) Dos a´ngulos se llaman adyacentes si tienen el mismo v´ertice, un lado com´ un y ninguno de los lados de uno de ellos est´a en el interior del otro (ver figura 39).
de
An
ii) Dos a´ngulos hacen un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes forman semirectas opuestas (ver figura 40).
C B
Un ive
rsid ad
iii) Dos a´ngulos se llaman opuestos por el v´ertice si tienen el mismo v´ertice y los lados de ambos a´ngulos forman semirectas opuestas (ver figura 41).
D B
C O
O
A C Figura 39 Adyacentes
O Figura 40 Par lineal
B
A A Figura 41 Opuestos por el v´ertice
[ BOC \ son adyacentes. En la Figura En la Figura 39, los a´ngulos AOB, [ y BOC \ hacen un par lineal. En la Figura 41, los 40, los a´ngulos AOB
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
33
[ y BOD \ son opuestos por el v´ertice. a´ngulos AOC Observaciones: i) Todo a´ngulo hace un par lineal con, exactamente, dos de sus [ hace un a´ngulos adyacentes. En la Figura 41, el a´ngulo AOB \ y tambi´en con AOC. [ par lineal con BOD
atem
atic
as
ii) Cuando dos rectas se cortan, hacen, alrededor del punto com´ un, cuatro a´ngulos que son opuestos por el v´ertice de dos en dos. En [ y COD, \ as´ı como AOC [ y BOD \ la Figura 42, las parejas AOB son respectivamente a´ngulos opuestos por el v´ertice.
eM
B
ept
o. d
A
D
uia
,D
O
tioq
C
de
An
Figura 42
Un ive
rsid ad
Teorema 13 (Teorema del par lineal). Si uno de los a´ngulos de un par lineal, es congruente a uno de los a´ngulos de otro par lineal, entonces los otros dos a´ngulos tambi´en son congruentes. [ Demostraci´ on: sean AOB, [ otro par lineal tales que AOB
0 O0 B 0 , A 0 O0 C 0 [ un par lineal y A\ \ AOC 0 O 0 B 0 (Figura 43). Veamos que ∼ = A\
0 O0 C 0 . [ ∼ AOC = A\
Supongamos que los puntos A0 , B 0 , C 0 se tomaron de tal modo que: OA ∼ = O0 A0 , OB ∼ = O0 B 0 , OC ∼ = O0 C 0 (Ver Figura 44) Se tiene por tanto, 4AOB ∼ = 4A0 O0 B 0 , (L-A-L) y CB ∼ = C 0 B 0 (Suma de segmentos congruentes).
34
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL A
C
A’
B C’
O
B’
O’
Figura 43 A
B
C’
O’
B’
eM
O
,D
0 B 0 A0 y AB ∼ [ ∼ De donde, OBA = A0 B 0 = O\
ept
o. d
Figura 44
tioq
uia
Ahora se puede concluir que: 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 (L-A-L), 0 C 0 B 0 y AC ∼ [ ∼ Luego, ACB = A\ = A0 C 0
rsid ad
de
An
De estas dos u ´ltimas relaciones junto con OC ∼ = O0 C 0 podemos afirmar que 4AOC ∼ = 4A0 O0 C 0 (L-A-L) y por tanto concluir que: 0 O 0 C 0 como se quer´ [ ∼ AOC ıa. = A\ Corolario 3 . Todos los a´ngulos llanos son congruentes.
Un ive
C
atem
atic
as
A’
Corolario 4 . Dos a´ngulos opuestos por el v´ertice, son congruentes. [ y COD \ a´ngulos opuestos por el v´ertice, Demostraci´ on: sean AOB −→ −−→ luego las semirrectas OC y OB son semirectas opuestas, lo mismo que −→ −−→ las semirrectas OA y OD. (ver figura 45) [ y COD \ son congruentes. Veamos que los a´ngulos AOB Esto resulta como una consecuencia del teorema anterior, ya que el [ hace un par lineal con cada uno de dichos a´ngulos. a´ngulo AOC
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
35 C
A O B
D
atic
as
Figura 45
eM
atem
El Teorema 13 permite demostrar el rec´ıproco del Teorema 12, como se ver´a a continuaci´on.
o. d
Teorema 14 . Todo tri´angulo que tenga dos de sus a´ngulos congruentes, es is´osceles.
,D
ept
Demostraci´ on: consideremos en el tri´angulo 4ABC, los a´ngulos [ y ACB [ congruentes y veamos que AB ∼ ABC = AC (Figura 46).
tioq
uia
Para ello, sean D y E puntos tales que B est´a entre A y D, C entre A y E y BD ∼ = CE.
rsid ad
de
An
[ ∼ [ y adem´as ABC [ Por el Teorema 13, y en vista de que ABC = ACB \ hacen un par lineal y ACB [ y BCE \ hacen otro par lineal, se y CBD tiene: \∼ \ CBD = BCE
Un ive
A
B
C
D
E Figura 46
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Siendo BC un lado com´ un para los tri´angulos 4CBD y 4CBE, se concluye que dichos tri´angulos son congruentes (L-A-L). De donde: \∼ \ EBC \∼ \ BE ∼ = CD, BDC = BEC, = DCB
atem
atic
as
[ ∼ [ y EBC \∼ \ se Como se tienen las congruencias, ABC = ACB = DCB, [ ∼ \ (Suma de a´ngulos congruentes) y por lo tanto sigue que ABE = ACD \ ∼ \ y los tri´angulos 4ABE, 4ACD que tienen adem´as BEC = BDC BE ∼ = CD, son congruentes (A- L-A), de donde AB ∼ = AC como se quer´ıa demostrar.
eM
Observaci´on: los Teoremas 12 y 14 se pueden reunir en un solo enunciado, as´ı:
,D
ept
o. d
Teorema 15 (Teorema del tri´ angulo is´ osceles). Un tri´angulo es is´osceles si y solo si dos de sus a´ngulos son congruentes.
tioq
uia
Definici´ on 14 . Un tri´angulo 4ABC se llama equil´atero si sus tres lados son congruentes, es decir, AB ∼ = AC ∼ = BC.
An
Una consecuencia del Teorema 15 es la siguiente:
rsid ad
de
Corolario 5 . Un tri´angulo es equil´atero si y solo si sus a´ngulos interiores son congruentes. Observaci´on: la demostraci´on del corolario anterior se propone al lector. El teorema que sigue es un tercer caso de congruencia de tri´angulos.
Un ive
36
Teorema 16 (Caso lado-lado-lado: L-L-L). Si un tri´angulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de otro tri´angulo, entonces estos dos tri´angulos son congruentes . Demostraci´ on: sean 4ABC y 4A0 B 0 C 0 dos tri´angulos que tienen: (Figura 47), AB ∼ = A0 B 0 ,
AC ∼ = A0 C 0 ,
BC ∼ = B0C 0
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
37
A
P
C
C’
B’
atic
as
B
A’
atem
A”
o. d
eM
Figura 47
←→
uia
,D
ept
Consideremos en el semiplano BC / ∼ A el punto A00 tal que: 0 B 0 C 0 , A00 B ∼ \00 ∼ CBA = A0 B 0 (Axiomas de construcci´on del segmento = A\ y el a´ngulo). Seg´ un el axioma de separaci´on del plano, el segmento AA00 tiene un ←→
de
An
tioq
punto P en la recta BC. Para dicho punto P se presentan tres opciones: 1. P est´a en el interior de BC, como en la Figura 47. 2. P coincide con uno de los extremos, como en la Figura 48. 3. P est´a en el exterior de BC, como en la Figura 49. A
Un ive
rsid ad
A
B
A”
C
Figura 48
P
A”
B
Figura 49
Vamos a demostrar el caso 1. Los otros dos se dejan al lector.
C
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Los tri´angulos 4A0 B 0 C 0 y 4A00 BC son congruentes por tener: A00 B ∼ = A0 B 0 ,
BC ∼ = B0C 0,
0 B 0 A0 \00 ∼ CBA = C\
(L-A-L).
as
Veamos ahora que los tri´angulos 4ABC y 4A00 BC son congruentes. Por una parte se tiene AB ∼ = A00 B, luego AB ∼ = A0 B 0 y A 0 B 0 ∼ = A00 B 00 (transitividad), de donde el tri´angulo 4ABA es is´osceles y por tanto 00 A (Teorema 12). \00 ∼ \ BAA = BA
atic
En la misma forma, el tri´angulo 4ACA00 es is´osceles y por tanto:
atem
00 A. \00 ∼ \ CAA = CA
ept
o. d
eM
Por otra parte, el segmento AA00 pasa por P , punto entre B y C, luego (por Teorema 6 y T. de la barra transversal), dicho segmento est´a 00 C, y por el axioma de “Suma” [ y BA \ en el interior de los a´ngulos BAC 00 C. [ ∼ \ de a´ngulos congruentes se tiene: BAC = BA
,D
Finalmente, los tri´angulos 4ABC y 4A00 BC tienen:
tioq
uia
00 C [ ∼ \ AB ∼ = A00 B, AC ∼ = A00 C, BAC = BA
rsid ad
de
An
y por el axioma L-A-L se concluye, 4ABC ∼ = 4A00 BC. Como ya se ten´ıa 4A0 B 0 C 0 ∼ = 4A00 BC entonces, por transitividad, (ver la siguiente observaci´on de este teorema), 4ABC ∼ = 4A0 B 0 C 0 como se quer´ıa demostrar. Construci´ on b´ asica: construir un a´ngulo dado, conociendo el lado del a´ngulo y el semiplano determinado por el lado dado.
Un ive
38
Observaci´on: la transitividad para la congruencia entre tri´angulos es un resultado que se obtiene f´acilmente a partir de la transitividad de la congruencia tanto entre segmentos como entre a´ngulos. Notaci´on: vamos a denotar a las semirrectas que un punto determina en una recta a, por a y a’ . En consecuencia, a y a’ son semirrectas opuestas de una misma recta a. (ver figura 50). El a´ngulo formado por dos semirrectas a y b lo denotaremos: ](a, b) (Ver Figura 51).
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
39
a A
a a
A A
as
atic
](a, b) Figura 50
Figura 51
atem
a0
b
ept
o. d
eM
Definici´ on 15 . i) Dados dos segmentos AB, A0 B 0 se dice que AB es mayor que A0 B 0 , o bien que A0 B 0 es menor que AB, si existe un punto C en el interior de AB tal que AC ∼ = A0 B 0 . (Figura 52).
C
B
A’
B’
de
A
An
tioq
uia
,D
ii) Dados dos a´ngulos: ](a, b), ](c, d) se dice que ](a, b) es mayor que ](c, d), o bien que ](c, d) es menor que ](a, b), si existe una → − semirrecta h en el interior y con origen en el v´ertice de ](a, b) tal que (ver Figura 53): ](a, h) ∼ = ](c, d).
Un ive
b
rsid ad
Figura 52
h
d
a
c
Figura 53 Observaci´on: i) Para expresar que un segmento es mayor que otro se emplea el s´ımbolo >. Dicho s´ımbolo tambi´en ser´a empleado para expresar
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL que un a´ngulo es mayor que otro. ii) Para la expresi´on menor que ser´a empleado el s´ımbolo CD
atic
AB < CD
as
Teorema 17 (Ley de tricotomia para segmentos). Dados dos segmentos cualesquiera AB y CD, siempre se cumple una de las tres relaciones siguientes:
atem
y cada una de ellas excluye las otras dos.
eM
Demostraci´ on: por el axioma de construcci´on del segmento, sobre la −→ −→ semirrecta AB existe un punto X de la semirrecta AB tal que:
o. d
AX ∼ = CD
ept
De acuerdo con el axioma II.4 se presentan tres posibilidades:
uia
,D
1. Puede ocurrir que X est´e entre A y B en cuyo caso: AB > CD.
tioq
2. Puede ocurrir que B est´e entre A y X en cuyo caso: AB < CD.
An
3. Puede ocurrir que X coincida con B en cuyo caso: AB ∼ = CD.
rsid ad
de
Veamos ahora que cualquiera de las posibilidades que se de, excluye las otras dos. Supongamos por ejemplo AB < CD. Entonces existe un punto X en el interior de CD tal que: CX ∼ = AB. ∼ Si tambi´en fuera posible AB = CD, entonces se tendr´ıa por transitividad, CX ∼ = CD, de donde X coincidir´ıa con D (por el Ax. de construcci´on de a´ngulo), contradicci´on, ya que X esta en el interior de CD .
Un ive
40
Tampoco puede tener lugar AB > CD sim´ ultaneamente con AB < CD ya que si ambas relaciones se dieran, se tendr´ıa un punto Y entre A y B tal que: AY ∼ = CD. Puesto que ya se ten´ıa AB ∼ = CX se tiene por una aplicaci´on del Teorema 9 que D est´a entre C y X, lo cual contradice la afirmaci´on hecha antes de que X es un punto interior de CD.
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
41
Teorema 18 (Propiedad transitiva). Sean AB < CD y CD < EF . Entonces AB < EF .
as
Demostraci´ on: puesto que CD < EF , existe un punto Y entre E y F tal que: CD ∼ = EY De la misma manera, puesto que AB < CD, existe un punto X entre C y D tal que: AB ∼ = XC (ver figura 54).
B
C
X
E
P
,D
ept
A
o. d
eM
atem
atic
Aplicando el axioma de construcci´on del segmento, sea P un punto de −→ la semirrecta EF tal que: EP ∼ = CX. Entonces por el Teorema 9, se sigue que P est´a entre E y Y . Adem´as, por transitividad se tiene AB ∼ = EP .
Y
F
de
An
tioq
uia
D
rsid ad
Figura 54
Un ive
En conclusi´on (por el Ax. II.5), se tiene un punto P entre E y F tal que: AB ∼ = EP lo cual significa que AB < EF . Los siguientes corolarios son de f´acil demostraci´on, la cual se deja para el lector. Teorema 19 . Si AB ∼ = CD y CD < EF , entonces AB < EF . Corolario 6 . Si el segmento CD est´a contenido en el segmento AB, entonces CD < AB.
42
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Observaci´on: an´alogos a los dos u ´ltimos teoremas y a los anteriores corolarios, tienen lugar resultados relativos a a´ngulos, 1os cuales se enuncian a continuaci´on. Teorema 20 .
y cada una de ellas excluye las otras dos.
](a, b) ∼ = ](c, d)
atic
](a, b) < ](c, d),
atem
](a, b) > ](c, d),
as
i) Dados dos a´ngulos cualesquiera, ](a, b) y ](c, d), siempre se cumple una de las relaciones siguientes:
<
](e, f), entonces
,D
ept
iii) Si ](a, b) ∼ = ](c, d) y ](c, d) ](a, b) < ](e, f)
o. d
eM
ii) Propiedad transitiva: sean ](a, b) < ](c, d) y ](c, d) < ](e, f). Entonces, ](a, b) < ](e, f)
PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO
de
2.4.3
An
tioq
uia
iv) Si el a´ngulo ](c, d) tiene el mismo v´ertice y est´a en el interior del a´ngulo ](a, b), entonces ](c, d) < ](a, b)
Un ive
rsid ad
Definici´ on 16 . Si los a´ngulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama a´ngulo recto. (Ver figura 55). Para indicar que un a´ngulo es recto vamos a emplear la siguiente representaci´on gr´afica: ⊥ El siguiente teorema garantiza que existen a´ngulos rectos: Teorema 21 (Existencia del a ´ngulo recto). Sean O y A puntos de una recta l. A partir de O se trazan segmentos congruentes OC y OD situados en semiplanos opuestos respecto a l, [ ∼ \ (Ver Figura 56). Entonces las rectas l y tales que: AOC = AOD ←→
CD se cortan formando a´ngulo recto. Demostraci´ on: puesto que los puntos C y D est´an en lados opuestos ←→
a la recta l, el axioma de separaci´on del plano asegura que la recta CD
43
atem
atic
as
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
eM
Figura 55
,D
ept
o. d
[ \ pasa por un punto P de l. Adem´as los a´ngulos OP C, OP D hacen un par lineal ya que tienen un lado com´ un OP y los otros dos est´an en l´ınea recta.
uia
[ Veamos que el a´ngulo OP C es recto. Para ello se tiene que los a´ngulos \ P[ OC y P OD, son congruentes por hacer pares lineales con respectivos
An
tioq
C
A
l
rsid ad
O
Un ive
D
de
P
Figura 56
[ y AOD \ (Teorema 13). a´ngulos congruentes AOC Se tienen as´ı los tri´angulos congruentes 4OP C y 4OP D, por tener: \ P[ OC ∼ OD, OC ∼ un (L-A-L). =P = OD, OP lado com´ [ \ Se concluye as´ı que los a´ngulos del par lineal OP C, OP D son congruen[ \ tes y, de acuerdo a la definici´on 16, se sigue que tanto OP C como OP D
44
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL son a´ngulos rectos. Teorema 22 (Unicidad). Todos los a´ngulos rectos son congruentes entre s´ı.(ver figura 57)
as
Demostraci´ on: por la ley de tricotom´ıa pueden suceder tres casos:
atem
atic
0 O0 B 0 [ < A\ i) AOB o´ 0 0 0 ∼ [ = A\ ii) AOB O B o´ 0 O0 B 0 [ > A\ iii) AOB
eM
ept
,D
%C’
% B’ % X
O’
%A’
tioq
O
%A
uia
%C
Y%
o. d
%B
An
Figura 57
Un ive
rsid ad
de
−−→ 0 O 0 B 0 , entonces existe O 0 X ⊂ IntA 0 O 0 B 0 tal que [ < A\ \ Caso i) Si AOB 0 O0 X ∼ [ A\ = AOB. −−→ Por el Axioma de construcci´on de a´ngulo, existe O0 Y ⊂ Π ←0→0 0 tal C O :B −−→ 0 O0 Y ∼ 0 O 0 X; como O 0 X ⊂ IntA 0 O0 B 0 y A 0 O0 X ∼ 0 O0 Y y \ \ que C\ = A\ = C\ 0 O0 B 0 ∼ 0 O 0 B 0 (por hip´ A\ otesis) entonces por el Teorema 10, = C\ −−0→ 0 O0 B 0 , O Y ⊂ IntC\
0 O0 Y luego C\ −− 0 →0 O B ⊂ Π ←0→
O X:B
0 O 0 B 0 ; por el Corolario 2 al Teorema 7, < C\ 0 O0 B 0 < C 0 O 0 X y por transitividad \ , luego C\ 0 0 O0 Y < C 0 O0 X \ C\
(∗).
0 O0 X ∼ \ ( por Teorema del par lineal) Pero C\ = COB \∼ [ ( por def. de a´ng. recto) y COB = AOB
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
45
0 O0 X ∼ 0 O0 Y [ ∼ y AOB = A\ = C\ luego 0 O0 X ∼ 0 O0 Y C\ = C\
(∗∗).
Pero (*) y (**) es un absurdo.
atem
0 O0 B 0 [ ∼ AOB = A\
atic
Por el Teorema 19 i), se concluye que es cierto ii):
as
iii) Se hace en forma similar a i)
o. d
eM
Definici´ on 17 (Angulo agudo y obtuso). i) Decimos que un a´ngulo es agudo si es menor que un a´ngulo recto.
ept
ii) Decimos que un a´ngulo es obtuso si es mayor que un a´ngulo recto.
uia
,D
Definici´ on 18 (Tri´ angulo rect´ angulo). Un tri´angulo se llama rect´angulo si alguno de sus a´ngulos es recto.
de
An
tioq
Observaciones: 1) M´as adelante se podr´a demostrar que un tri´angulo no puede tener m´as de un a´ngulo recto.
Hip
sa u n ote
Cateto Figura 58
Cateto
Un ive
rsid ad
2) En un tri´angulo rect´angulo los lados adyacentes al a´ngulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al a´ngulo recto, se le llama hipotenusa. (ver figura 58)
46
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Teorema 23 (Existencia del Punto Medio). Todo segmento no nulo tiene un punto interior que divide al segmento en dos segmentos congruentes. Demostraci´ on (ver figura 59). Sea AB un segmento no nulo. Veamos que existe un punto O tal que a). O esta entre A y B y b). OA ∼ = OB ←→
π
π
atem
atic
π
as
Veamos a). Sea X 6∈AB, por el Teorema 3., existe un u ´nico plano ←→ −−→ que contiene a X y AB, por el Teorema 5, AX ⊂ ←→ . Por el Ax. AB: X de construcci´on de a´ngulo, existe en el ←→ una u ´nica semirrecta AB:∼X −−→ [ ∼ \ BY tal que ABY = BAX.
←→
O ∈ AB,
\0 ∩ IntXBY \0 O ∈ IntXAY
An
Pero
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
−−→ Por el Ax. de construcci´on de segmento, existe en BY un punto Y 0 ←→ ←→ tal que BY 0 ∼ = AX, por tanto existe O ∈ AB tal que XY 0 ∩ AB= {O} (Ax. de separaci´on del plano), luego O ∈ IntXY 0 . \0 y IntXY 0 ⊂ IntXBY \0 , luego Por el Teorema 6., IntXY 0 ⊂ IntXAY d0 ⊂ IntXAY \0 ∩IntXBY \0 y por tanto O ∈ IntXAY \0 ∩IntXBY \0 . IntXY −→ − − → \0 y BO ⊂ IntXBY \0 , entonces Como, por Corolario 1, AO ⊂ IntXAY −→ −−→ −→ −→ \0 ∩ IntXBY \0 AO ∩ BO = AB ∩ BA = IntAB ⊂ IntXAY
\∼ \0 ; XAB = ABY
AX ∼ = BY 0
Un ive
Como AB ∼ = AB;
rsid ad
de
\0 ∩ IntXBY \0 entonces O ∈ IntAB, por lo tanto e IntAB ⊂ IntXAY O esta entre A y B (A − O − B) b) Veamos que OA ∼ = OB
entonces 4XAB ∼ = 4ABY 0 (L-A-L) \∼ \0 luego XB ∼ = AY 0 y XBA = BAY \0 ∼ \0 ( suma de a´ngulos congruentes es congruente). luego XAY = XBY luego 4XAY 0 ∼ = 4XBY 0 (L-A-L) 0B \∼ \ luego AXO = OY
2.4. AXIOMAS DE CONGRUENCIA
47
X
O
B
atic
as
A
atem
Y’ Y
o. d
eM
Figura 59
ept
luego 4AXO ∼ = 4BOY 0 (A-L-A)
uia
,D
luego AO ∼ = OB
An
tioq
Teorema 24 (Unicidad del Punto Medio). El punto medio de un segmento no nulo es u ´nico.
de
O
O”
rsid ad
O’ A
B
Un ive
Figura 60
Demostraci´ on (ver figura 60). Sean O y O 0 puntos medios de AB, luego O0 A ∼ = O0 B y OA ∼ = OB. Con OA y O 0 A pueden suceder tres casos: i) O0 A < OA o´ ii) O 0 A ∼ = OA o´ iii) O 0 A > OA i) Si O 0 A < OA, entonces por definici´on de CD, entonces m AB > m CD.
Un ive
[ > A\ [ \ 4. Si ABC 1 B1 C1 , entonces m (ABC) > m (A1 B1 C1 ). 5. Los puntos medios de segmentos congruentes determinan segmentos congruentes. 6. Las bisectrices de a´ngulos congruentes determinan a´ngulos congruentes. 7. La medida de un par lineal es constante e igual a la medida de un a´ngulo llano.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL b y B: b Definici´ on 26 . Dados los angulos A b + m(B) b = 1800 , diremos que el a´ngulo A b es suplemento del 1. Si m(A) b o´ que A byB b son suplementarios. a´ngulo B
as
b + m(B) b = 900 , diremos que los a´ngulos A byB b son comple2. Si m(A) mentarios.
atem
atic
Teorema 30 . a) Los suplementos de a´ngulos congruentes son congruentes. b) Los complementos de a´ngulos congruentes son congruentes.
ept
,D
(1)
uia
b + m(D) b = 1800 Por hip´otesis: m(A) b + m(E) b = 1800 (2) m(B) b = m(E) b (3) m(D)
o. d
eM
byB b a´ngulos respectivamente suplementaDemostraci´ on: a) Sean A b yE b y tales que D b∼ b rios a los a´ngulos D = E.
An
tioq
b = m(B) b y de aqu´ı se concluye De (1), (2) y (3) se sigue que : m(A) b∼ b que A = B.
de
La parte b) de este teorema se hace en forma an´aloga a a).
rsid ad
Observaci´on: l. Tambi´en usaremos para la medida de un a´ngulo letras griegas como α, β, γ, θ, etc. 2. Abusando de la notaci´on, y entendiendo por el contexto lo que se quiere decir, usaremos indistintamente el a´ngulo o su medida.
Un ive
62
Definici´ on 27 (Rectas Paralelas). Sean l y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y lo denotamos como l k r, si: i) l es la misma recta r o´ ii) l es diferente a r y l ∩ r = φ
´ 2.6. MEDIDA DE ANGULOS
63
Definici´ on 28 (Angulos alternos internos ). Dadas dos rectas distintas y coplanares cualesquiera cortadas en puntos distintos por una secante, se llaman a´ngulos alternos internos aquellos que: 1. Tienen un segmento com´ un.
as
2. Sus interiores no se intersectan.
atic
3. No son adyacentes.
'
'
C’
eM
D’ B’
'
ept ,D
'
B
uia
'D
tioq
C
An
A
o. d
A’
'
atem
0B0B y B 0 BC son alternos internos. \ \ En la Figura 78: los a´ngulos A
de
Figura 78
Un ive
rsid ad
Dadas dos rectas distintas y coplanares cortadas en puntos distintos por una secante, los a´ngulos que tienen sus v´ertices en estos puntos distintos, que estan a un mismo lado de la secante, tienen un lado sobre la secante y uno de los lados que esta sobre la secante contiene al lado del otro a´ngulo, se les llama ´ angulos correspondientes. Dadas dos rectas distintas y coplanares cortadas en puntos distintos por una secante, los a´ngulos que tienen sus v´ertices en estos puntos distintos, que estan a un mismo lado de la secante y tienen un segmento com´ un se les llaman ´ angulos interiores. 0B0C 0 y B 0 BC son correspondientes y \ En la Figura 78: los a´ngulos D\ 0 B 0 B y CBB \0 son a´ngulos interiores. los a´ngulos C\
64
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Teorema 31 (Teorema de a ´ngulos alternos internos). Si dos rectas distintas coplanares cortadas por una secante en puntos distintos, hacen con ella una pareja de a´ngulos alternos internos congruentes, entonces son paralelas.
E
t
(
atem
r
atic
as
Demostraci´ on: sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en puntos B y B 0 respectivamente 0B0B ∼ \ \0 y de modo que: A = CBB
A’
eM o. d ept
A
(
B
C
D
(
,D
(
tioq
Figura 79
uia
l
( C’
B’
rsid ad
de
An
Vamos a demostrar que l k r, o lo que es lo mismo l ∩ r = φ. Razonemos por reducci´on al absurdo, esto es, supongamos que los a´ngulos alternos internos son congruentes y que l no es paralela a r.
Un ive
Entonces se cortar´an en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano respecto a t en que est´an C y C 0 (ver figura 79). 0B0B ∼ \ \0 (hip´otesis), Consideremos el tri´angulo 4BB 0 D. Como A = CBB 0D ∼ 0 BA (1), (Teorema 30). Ahora, por el axioma \ \ entonces, BB =B −−→ de construcci´on de segmentos, existe E en la semirecta B 0 A0 tal que B0E ∼ = BD. Unamos B con E. Los tri´angulos 4BB 0 D y 4BB 0 E son congruentes (L-A-L), de donde: 0D \0 ∼ \ EBB = BB 0D ∼ 0 BA por (1). Luego, EBB 0 BA \ \ \0 ∼ \ pero BB =B =B
´ 2.6. MEDIDA DE ANGULOS
65
−−→ −→ Y como BE y BA est´an en el mismo semiplano respecto a t, por el −−→ −→ axioma de construcci´on del a´ngulo BE ≡ BA, lo que nos dice a la vez −→ que E ∈ BA, es decir, E pertenece a la recta l . Pero tambi´en D ∈ l. ←→
←→
as
Luego l ≡DE y como la recta DE es la misma r, se tiene finalmente que r ≡ l . Contradicci´on con la hip´otesis ya que hab´ıamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes.
atem
atic
Corolario 7 . Si dos rectas distintas cortadas por una secante en puntos distintos, forman con ella a´ngulos correspondientes congruentes, entonces son paralelas.
o. d
eM
Corolario 8 . Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre s´ı.
ept
Demostraci´ on (ver figura 80): sean l ⊥ t y r ⊥ t. Demostremos que l k r. t
)
r
)
l
,D
)
C’
A’
de
An
tioq
uia
B’
rsid ad
B
A
Un ive
Figura 80
\0 es recto. Como l ⊥ t, entonces ABB 0 B 0 B es recto y por lo tanto su a \ Como r ⊥ t, entonces A ´ngulo adya0 0 0 0 0 ∼ \ = C\ cente C\ B B es recto. As´ı que ABB B B por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas l y r a´ngulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de a´ngulos alternos internos, l k r. Construcci´on b´asica: por un punto exterior a una recta trazar una paralela a la recta.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Definici´ on 29 (Angulo exterior a un tri´ angulo). Si en un a´ngulo de un tri´angulo se prolonga uno de los lados, el a´ngulo que hace par lineal con el a´ngulo interior adyacente se le llama a´ngulo exterior del tri´angulo.
atic
as
Teorema 32 (Teorema del a ´ngulo exterior. T.] E.). Todo a´ngulo exterior de un tri´angulo es mayor que cualquiera de los a´ngulos interiores no adyacentes.
*
D
An
tioq
uia
*
C
de
B
*G *M
,D
ept
o. d
eM
atem
Demostraci´ on (ver figura 81). En un tri´angulo 4ABC consideremos b del \ Dicho a´ngulo es adyacente al a´ngulo C el a´ngulo exterior ACD. tri´angulo. A
Vamos a demostrar: b < ACD \ i) A b < ACD \ ii) B
rsid ad
Figura 81
Un ive
66
Veamos i). Basta demostrar que no puede darse que: b b y ACD \ DE ii) DE > AB
o´
Un ive
Supongamos que AB no es congruente a DE(AB 6∼ = DE). Entonces:
Veamos que en cualquiera de los casos se llega a una contradicci´on. i) Si AB > DE, entonces existe un M entre A y B de modo que AM ∼ = DE. Por tanto, 4AM C ∼ = 4DEF (por Ax. L-A-L), de donde ∼ b b b luego CM b y se tiene en \ \ CM A = E. Pero por hip´otesis B ∼ A∼ = E, =B
72
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL \ el tri´angulo 4CM B que el a´ngulo exterior CM A es congruente con el b b a´ngulo B, donde B es a´ngulo interior en contradicci´on con el T.] E.
as
ii) Un razonamiento similar para el caso en que DE > AB conduce de nuevo a una contradicci´on.
atem
atic
Teorema 36 (Los cuatro casos de congruencia de tri´ angulos rect´ angulos).
eM
i) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes.
ept
o. d
ii) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes un cateto y un a´ngulo agudo, son congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al a´ngulo agudo).
uia
,D
iii) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes la hipotenusa y un a´ngulo agudo, son congruentes.
An
tioq
iv) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son congruentes.
B
Un ive
rsid ad
de
Demostraci´ on: i) (ver figura 89). Sean 4ABC y 4DEF tal que ∼ b∼ b (por ser rectos), AC = DE y AB ∼ = DF . Como A =D 4BAC ∼ = 4F DE (L-A-L). F
A
C
D Figura 89
E
´ 2.6. MEDIDA DE ANGULOS
73
atem
atic
as
Figura 92
ept
o. d
eM
Demostraci´ on: ii)(Figuras 90 y 91). En efecto, en un caso se tiene congruencia por A-L-A y en el otro caso, se tiene congruencia por L-A-A.
Para el caso iii) se tiene la figura 92.
Figura 91
uia
,D
Figura 90
An
tioq
Demostraci´ on: iv).(Figura 93). En efecto, sean los tri´angulos rect´angulos 4ABC y 4EDF tales que: AB ∼ = DE y AC ∼ = DF . D
B
Un ive
G
rsid ad
de
A
C
E
F
Figura 93
←→
Tomemos G ∈BC de modo que B est´e entre G y C y adem´as BG ∼ = EF . Entonces 4ABG ∼ = 4DEF (catetos congruentes) (1). ∼ De donde DF ∼ AG pero DF = = AC (hip´otesis). Luego, AC ∼ = AG, ∼ ∼ b=C b y por lo tanto : 4ABC = 4ABG (L-A-A de aqu´ı se sigue que G o´ caso iii)) (2). De (1) y (2) se concluye que 4ABC ∼ = 4DEF .
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Corolario 10 : [ cualquier punto de su bisectr´ız equidista 1. Dado un a´ngulo AOB, de los lados del a´ngulo, e inversamente, cualquier punto en el interior del a´ngulo que equidista de los lados pertenece a la bisectr´ız del a´ngulo.
atem
atic
as
2. Dado un segmento AB, cualquier punto de la mediatr´ız del segmento equidista de los extremos del segmento y reciprocamente, cualquier punto en el plano del segmento y la mediatr´ız que equidiste de los extremos del segmento pertenece a la mediatr´ız del segmento.
eM
Nota:
ept
o. d
1. Decimos, en el caso 1., que la bisectr´ız de un a´ngulo es el lugar geom´etrico de todos los puntos que equidistan de los lados del a´ngulo.
uia
,D
2. Decimos en el caso 2., que la mediatr´ız es el lugar geom´etrico de todos los puntos que equidistan de los extremos del segmento.
rsid ad
de
An
tioq
Demostraci´ on: (ver figura 94). Basta aplicar los casos (iii) y (iv) de congruencia de tri´angulos rect´angulos.
Un ive
74
Figura 94
P
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
2.7
75
AXIOMA DE PARALELISMO
V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.) Si dos rectas distintas l y r, coplanares cortadas por una secante t en puntos distintos, forman con ella en el semiplano t dos a´ngulos interiores, de tal manera que la suma de sus medidas sea menor que 1800 , entonces las dos rectas se cortan en alg´ un punto del semiplano t . (Figura 95).
as
π
o. d
πt β
tioq
Figura 95
Q
uia
,D
ept
α
l
atem
t
eM
r
atic
π
π
Un ive
rsid ad
de
An
O sea : si α + β < 1800 entonces l y r se cortan en t . El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un enunciado equivalente, llamado el postulado de la paralela u ´nica de Playfair, el cual dice as´ı: “por un punto exterior a una recta pasa una paralela a la recta y s´olo una”. ´ NOTA HISTORICA.
El quinto postulado caus´o un trastorno considerable desde la ´epoca de los griegos. Muchos ge´ometras pensaron que tal vez podr´ıa deducirse como teorema a partir de los restantes axiomas o postulados. Euclides mismo trato de evitarlo mientras pudo, pues no lo utiliz´o en sus demostraciones sino hasta que lleg´o a la proposici´on 120. Durante m´as de 2.000 a˜ nos fueron ofrecidas diferentes “demostraciones” del postulado, pero cada una se basaba en una suposici´on equivalente al mismo.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as
Los esfuerzos realizados, sin embargo, condujeron a que en la primera mitad del siglo XIX, se inventara una geometr´ıa que difer´ıa radicalmente de la de Euclides. Antes de este hecho se pensaba que exist´ıa solo una geometr´ıa posible. La independencia del postulado de las paralelas, qued´o establecida cuando fue demostrada la compatibilidad de las otras geometr´ıas donde el V Postulado se negaba o cambiaba por otro. Cualquier geometr´ıa cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclides, es llamada no Euclidiana. La primera de ellas que se invent´o es la llamada Geometr´ıa lobachvsquiana. Gauss (1777-1855) en Alemania, Bolyai (1802-1860) en Hungr´ıa y Lobachevsky (1793-1856) en Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair (17481819) del postulado, considerando tres posibilidades: Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse m´as de una, u ´nicamente una, o ninguna paralela a la recta. Suponiendo la infinidad de la recta, el tercer caso fue eliminado. Estableciendo una geometr´ıa compatible con la primera hip´otesis, los tres matem´aticos realizaron extensos desarrollos geom´etricos y trigonom´etricos. Debido a la prioridad de Lobachevsky en la publicaci´on, la geometr´ıa as´ı constru´ıda recibi´o su nombre. En 1854 Riemann (1826 - 1866), demostr´o que si se descarta la infinitud de la recta, entonces, con algunas ligeras modificaciones de los postulados restantes, se podr´ıa desarrollar una geometr´ıa compatible con la tercera hip´otesis. Al trabajo de Riemann se debe una generalizaci´on considerable del concepto de espacio, que ha encontrado aplicaciones en la teor´ıa f´ısica de la relatividad.
rsid ad
de
El descubrimiento de las geometr´ıas no euclidianas no solo liber´o a la geometr´ıa de su molde tradicional, sino que modific´o considerablemente los conceptos de la matem´atica en general y condujo a un estudio profundo de los fundamentos de esta materia y a un desarrollo m´as amplio del m´etodo axiom´atico.
Un ive
76
El desarrollo de la geometr´ıa euclidiana, con el quinto postulado suprimido, recibe el nombre de geometr´ıa absoluta, contiene las proposiciones que son comunes a las geometr´ıas de Euclides y de Lobachevsky. Vamos, en la proposici´on que sigue, a demostrar la equivalencia del V.P.E. con el postulado de la paralela u ´nica de Playfair.
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
77
Teorema 37 . El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela u ´nica de Playfair. Demostraci´ on: 1. Asumamos que se cumple el postulado de la paralela u ´nica de Playfair, es decir, que para toda recta l y todo P 6∈ l, existe una u ´nica recta r tal que: P ∈ r y r k l. Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que:
atic
as
α1 + α2 < 1800
atem
Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano π t (ver figura 96).
eM
t
o. d
πt
α2
,D uia
α3
tioq
α1
α2 B
r
de
C
l
An
0
m
ept
B’
rsid ad
Figura 96
Un ive
Es claro que α1 + α3 = 1800 , de donde, α1 = 1800 − α3 . Como α1 + α2 < 1800 , entonces 1800 − α3 + α2 < 1800 , de donde α2 < α3 . Luego por el axioma de construcci´on del a´ngulo, existe una −−→ −−→ 0 BC ∼ \ u ´nica semirecta BC tal que: B c2 . Por tanto, = ](B 0 B, m) ∼ = α ←→
m kBC.
Ahora B est´a en l; B ∈ r y r k m. Pero por el postulado de Playfair, por B solo pasa una paralela a m. Por tanto, toda recta distinta de r que pase por B corta a m. Como l pasa por B y es distinta a r corta a m. Veamos ahora que se cortan en t . Supongamos que se cortan en l (ver figura 97).
π
π
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL En el tri´angulo 4ABB 0 , α2 es a´ngulo exterior del tri´angulo 4ABB 0 . Luego, por T .].E., α2 > α3 . Contradicci´on, ya que ten´ıamos que α2 < α3 . Por lo tanto l y m se cortan en el semiplano t .
π
t
m
B’
atic
atem
B
πl
l
o. d
A
α1
eM
α3
as
α2
ept
Figura 97
uia
,D
2. Supongamos ahora que es v´alido el V.P.E. Sea l una recta dada y P 6∈ l (ver figura 98).
An
P
tioq
t
rsid ad
de
α1
Un ive
78
Q
r R
n
l
Figura 98
Sea t la perpendicular por P a l y r la perpendicular por P a la recta t. Por el teorema de a´ngulos alternos internos, ya tenemos que r k l. Bastar´a con demostrar que toda otra recta que pase por P corta a l. Sea pues n otra recta que pasa por P y paralela a l, n distinta a r.
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
79
Llamemos α1 , al a´ngulo agudo que hace n con t. Como α1 < 900 entonces α1 + 900 < 900 + 900 = 1800 y por el V.P.E. n y l se cortan del lado en que se forma el a´ngulo agudo. (Absurdo, porque l y n son paralelas).
atic
as
Vamos a estudiar ahora algunas consecuencias del V.P.E. o de su equivalente, el postulado de la paralela u ´nica de Playfair.
eM
atem
Teorema 38 . Si dos rectas distintas y coplanares son paralelas, toda secante que corta a una de ellas corta a la otra.
tioq
uia
,D
ept
o. d
Demostranci´ on: supongamos l k r y que s corta a la recta l en un punto A. Por tanto la recta s es distinta a la recta l. Veamos que s corta a r. En efecto, si s no cortara a r se tendr´ıa s k r, con s pasando por A. En conclusi´on tendr´ıamos dos rectas pasando por A (s y l) ambas paralelas a r. Luego, por el postulado de Playfair se tendr´a que s ≡ l. Contradicci´on, ya que s es distinta a l.
rsid ad
de
An
Teorema 39 . El paralelismo de rectas es una relaci´on de equivalencia, o sea que es: reflexiva, sim´etrica y transitiva. Demostraci´ on. 1. Reflexiva: es claro que l k l.
Un ive
2. Sim´etrica: tambi´en es claro que si l k r, entonces r k l. 3.Transitiva: supongamos que l k r y r k s con l, r y s todas distintas. Veamos que l k s . Razonemos por reducci´on al absurdo. Si l 6k s, l y s se cortaran en A (Figura 99) y por A se tendr´ıan dos paralelas distintas l y s a r, lo que contradice el axioma de la paralela u ´nica. Por tanto, l k s.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
l r
A
s
atem
atic
as
Figura 99
o. d
eM
Teorema 40 . Si dos rectas distintas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas lo es a la otra.
1
C’
1
C
r
rsid ad
de
B
An
tioq
uia
,D
ept
Demostraci´ on: supongamos l k r, l 6≡ r y sea n ⊥ l en A (A ∈ l). Es claro que n corta a l en A. Luego por el Teorema 38, n corta a r. Llamemos B el punto donde n corta a r (Figura 100). [ es recto. Razonemos por reducci´on al absurdo, esto Veamos que CBA [ no es recto. es, supongamos que CBA n
A
l
Un ive
80
Figura 100
[ es agudo, entonces r y l har´ıan con la secante n una pareja 1. Si CBA de a´ngulos internos de un mismo lado cuya suma ser´ıa menor que 1800 y por el V.P.E. r y l se cortar´ıan, contradicci´on ya que por hip´otesis l k r. 0 BA es agudo y las dos rectas se cor[ es obtuso, entonces C \ 2. Si CBA 0 tar´ıan del lado de C , lleg´andose de nuevo a una contradicci´on. Por lo
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
81
[ es recto. tanto, CBA
Corolario 11 . Las rectas perpendiculares a dos rectas que se cortan tambi´en se cortan.
m
2 2
A
eM
o. d ept
O
Y
,D
n
x
uia
B
y
atem
atic
as
Demostraci´ on: sean x, y, dos rectas que se cortan en O. Tomemos −−→ −−→ A ∈ OX y B ∈ OY . −−→ −−→ Sean n ⊥ OX por A y m ⊥ OY por B. (Figura 101). Demostremos que m y n se cortan. Razonemos por reducci´on al absurdo.
tioq
X
An
Figura 101
←→
rsid ad
de
−−→ Si m y n no se cortaran, ser´ıan paralelas, es decir, m k n. Pero OX ⊥ n, −−→ entonces OX ⊥ m (por teorema anterior) (1).
Un ive
Ahora, por hip´otesis OY ⊥ m (2)
En (1) y (2) se tienen dos rectas perpendiculares a una tercera, luego ←→
←→
se concluye que OXkOY , lo que es una contradicci´on. Recu´erdese que hab´ıamos demostrado en el Teorema 31 que “si dos rectas hacen con una secante una pareja de a´ngulos A.I. congruentes, las rectas son paralelas”. El rec´ıproco de este enunciado lo daremos en la siguiente proposici´on.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Teorema 41 (Alternos internos entre paralelas). Dadas dos rectas distintas y paralelas, los a´ngulos A.I. que hacen con cualquier secante son congruentes.
as
Demostraci´ on: sean l k r y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. (Figura 102). Sea O punto medio de AB.
atem
Q
atic
t
r
o. d
eM
A
l
tioq
uia
H
,D
B
ept
O
An
Figura 102 ←→
←→
de
←→
rsid ad
Bajemos desde O, OH⊥ l. Como OH⊥ l y l k r, entonces OH⊥ r. ←→
As´ı que si llamamos Q al punto de encuentro de OH con r se tendr´a [ es recto. que OQA [ ∼ Ahora: 4OBH ∼ = 4OQA (hipotenusa- a´ngulo agudo). Luego OAQ = \ lo que demuestra el teorema. OBH
Un ive
82
Corolario 12 . Dadas dos rectas paralelas, los a´ngulos correspondientes que hacen con cualquier secante son congruentes. Incluimos ahora dos proposiciones cuya demostraci´on la dejamos al lector. Proposici´ on 1. i) Dos a´ngulos que tengan sus lados respectivamente paralelos, o son
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
83
congruentes o son suplementarios. ii) Dos a´ngulos que tengan sus lados respectivamente perpendiculares, o son congruentes o son suplementarios.
←→
←→
←→
atic
as
Proposici´ on 2. Si dos rectas paralelas son cortadas por otras dos paralelas, los segmentos opuestos que se determinan son congruentes (Figura 103). ←→
eM
atem
Seg´ un la figura si ABkDC y ADkBC, entonces AB ∼ = DC y AD ∼ BC. = s t B
r
uia
,D
ept
o. d
A
C
l
tioq
D
rsid ad
de
An
Figura 103
Un ive
Corolario 13 . Si l k r, entonces para todo punto P perteneciente a l, la distancia del punto P a r es constante. A la constante dada se le llama la distancia entre las paralelas l y r.
Definici´ on 31 (Lugar Geom´ etrico). Se llama lugar geom´etrico a la figura cuyos puntos cumplen una o varias condiciones geom´etricas. Ejercicio: determinar el Lugar Geom´etrico de los puntos que est´an a una distancia r de una recta fija l.
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Teorema 42 ( Suma de los a ´ngulos interiores de un tri´ angulo). 0 La suma de los a´ngulos interiores de todo tri´angulo vale 180 . ←→
Demostraci´ on. (ver figura 104). Sea l kAB trazada por C. ←→
←→
←→
←→
Como l kAB y BC secante, entonces: β = β2 .
C
l
eM
β1
atem
atic
as
Como l kAB y AC secante, entonces: α = β1 Adem´as es claro β1 + γ + β2 = 1800 . Luego: α + β + γ = 1800 .
β2
ept
o. d
γ
β
uia
,D
α A
B
An
tioq
Figura 104
rsid ad
de
Corolario 14 . Todo a´ngulo exterior de un tri´angulo es igual a la suma de los a´ngulos interiores no adyacentes.
Un ive
84
β
γ
α A
B
Figura 105
Demostraci´ on. (ver figura 105). (1) + γ = 1800
C
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
85
(2) α + β + γ = 1800 De (1) y (2) se tiene que: = α + β. Corolario 15 . En todo tri´angulo rect´angulo los a´ngulos agudos suman 900 .
atem
atic
as
Corolario 16 . Si dos tri´angulos tienen dos pares de a´ngulos respectivamente congruentes, entonces los otros dos a´ngulos son respectivamente congruentes.
o. d
eM
Teorema 43 (Paralela media de un tri´ angulo). i) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida su mitad.
,D
ept
ii) Si por el punto medio de un lado de un tri´angulo se traza una paralela a un lado, dicha paralela biseca al otro lado.
An
tioq
uia
Demostraci´ on. (ver figura 106) i) Sean M y N puntos medios de AC y CB, respectivamente. Demostremos que: M N k AB y que M N = 12 AB. Prolonguemos M N tal que: M N ∼ = NT. Los tri´angulos 4M N C y 4T N B son congruentes por L-A-L.
M
rsid ad
α
Un ive
γ
de
C
N
A
T
α1 γ1 B
Figura 106
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Luego los a´ngulos: α = α1 MC ∼ = BT (2)
(1)
←→
←→
luego de (1), las rectas T B y CA son paralelas por hacer a´ngulos al←→
ternos congruentes con la secante M T .
atem
atic
as
\ [ Como M C ∼ AT ∼ B (] A.I entre = M A, entonces M A ∼ = BT y M = AT ∼ paralelas) y adem´as, AT = AT . Luego, 4M AT ∼ = 4AT B (L-A-L). \ Luego, M TA ∼ AB (por definici´on de congruencia de tri´angulos); = T[ ←→ luego, M T k AB (Teorema 31: T.de los ] A.I.) y M T ∼ = AB.
o. d
eM
N es el punto medio de M T , entonces: M N k AB y M N = 21 AB.
,D
ept
ii) (Figura 107). Sea el tri´angulo 4ABC, M punto medio de AC. M N k AB, por N tracemos una paralela a AC.
tioq
uia
Tenemos: 4M N C ∼ = 4T BN , ya que ∼ \ \ [ \ CM N = N T B, ACB ∼ T (por correspondientes) y = BN
An
AM = N T = M C.
rsid ad
de
Entonces CN = N B. C
M
A
Un ive
86
N
T Figura 107
B
2.7. AXIOMA DE PARALELISMO
87
Corolario 17 . En todo tri´angulo rect´angulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa. Demostraci´ on. (ver figura 108) AM mediana del tri´angulo rect´angulo 4BAC.
atic
as
C
D Figura 108
B
,D
ept
A
o. d
eM
atem
M
An
tioq
uia
Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior M D k CA \ y por lo tanto M DB es recto. Luego el tri´angulo 4AM B es is´osceles. De aqu´ı concluimos que: AM ∼ = M B y como M es punto medio de BC se tiene que: AM ∼ = BM ∼ = MC
Un ive
rsid ad
de
Teorema 44 . Si el pie de una mediana de un tri´angulo equidista de los v´ertices del tri´angulo entonces el tri´angulo es rect´angulo.
A
α1
α2
γ
β B
M Figura 109
C
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL Demostraci´ on. (ver figura 109). Sea AM la mediana relativa a BC b es recto. y adem´as BM ∼ = MC ∼ = AM . Demostremos que el a´ngulo A Como BM ∼ = AM , 4AM B es is´osceles y por lo tanto: β = α1 .
atic
as
Como M C ∼ = AM , 4AM C es is´oceles y por lo tanto : α2 = γ. b Pero m(A) b = α 1 + α2 . Luego: α1 + α2 = β + γ = 1800 − m(A). b = 1800 − m(A), b de donde 2m(A) b = 1800 y Por tanto: m(A) b = 900 . m(A)
eM
atem
Teorema 45 (T. del circuncentro). Las mediatrices de un tri´angulo son concurrentes en un punto. (A este punto se le llama el circuncentro).
o. d
Demostraci´ on: (Se deja como ejercicio).
uia
,D
ept
Teorema 46 (T. del incentro). Las bisectrices de un tri´angulo son concurrentes en un punto. (A este punto se le llama el incentro).
tioq
Demostraci´ on: (Se deja como ejercicio).
rsid ad
de
An
Teorema 47 (T. del ortocentro). Las rectas que contienen las alturas en un tri´angulo son concurrentes en un punto. (A este punto se le llama el ortocentro). Demostraci´ on. (Ver figura 110) Por hip´otesis se tiene que AD, BE, CF ←→
←→
←→
son alturas. Veamos que AD, BE, CF son concurrentes en un punto O. Por Playfair, por A pasa m k BC, por C pasa n k AB y por B pasa l k AC. T T T Sean {A0 } = m l; {B 0 } = m n; {C 0 } = l n; y como segmentos
Un ive
88
←→
paralelos comprendidos entre rectas paralelas son congruentes y m kBC ←→ y n kAB, entonces por la (Proposici´ on 2) AB 0 ∼ = BC. ←→
←→
Similarmente, como BCk m y l kAC, entonces BC ∼ = A0 A, y por tanto A es punto medio de A0 B 0 . Como BC k m y AD ⊥ BC por hip´otesis, entonces AD ⊥ m y por ←→
tanto AD es mediatr´ız de A0 B 0 .
´ 2.8. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO
89
n A
A’
B’
m
E
F
O
D
C
eM
l
atem
C’
atic
as
B
o. d
Figura 110
←→
←→
tioq
uia
,D
ept
Similarmente se demuestra que BE es mediatr´ız de A0 C 0 y CF es mediatr´ız de C 0 B 0 . ←→ ←→ ←→ Por lo tanto en el 4A0 B 0 C 0 se tiene que AD, BE, CF son mediatrices de los lados del 4A0 B 0 C 0 y por el teorema del circuncentro, estas rectas son concurrentes en un punto O.
de
An
Observese que O es el circuncentro del 4A0 B 0 C 0 y O es el ortocentro del 4ABC.
´ DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO
rsid ad
2.8
Un ive
Teorema 48 . En un mismo tri´angulo, si dos lados no son congruentes, entonces los a´ngulos opuestos a estos lados no son congruentes y el a´ngulo mayor es el opuesto al lado mayor. Hip´otesis: AB 6∼ = BC, m(AB) < m(BC) b 6∼ b Tesis: A = C,
b γ, luego θ > γ. Como el a´ngulo BDA
tioq
uia
,D
−−→ Ahora, como D est´a entre B y C, entonces AD est´a en el interior del b (Teorema 6 y T.barra transversal). Luego, θ < α y en consea´ngulo A cuencia α > γ.
de
An
B
A
Un ive
α
θ
rsid ad
δ
Figura 112
D
γ C
´ 2.8. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO
91
Teorema 49 . En un mismo tri´angulo, si dos a´ngulos no son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al a´ngulo mayor. De otro modo: En cualquier tri´angulo 4ABC, si γ > β, entonces: m(AB) > m(AC).
atem
atic
as
A
γ
o. d
Figura 113
C
ept
B
eM
β
An
tioq
uia
,D
Demostraci´ on. (ver figura 113). Razonemos por reducci´on al absurdo. Sea γ > β y supongamos que m(AB) ≤ m(AC). Si m(AB) = m(AC), entonces, el tri´angulo 4ABC es is´osceles y por tanto γ = β. Absurdo!. Si m(AB) < m(AC), entonces, por el teorema anterior, γ < β Absurdo!. Luego, m(AB) > m(AC).
rsid ad
de
Observaci´on : Los Teoremas 48 y 49 nos dicen que en un mismo tri´angulo a mayor lado se opone mayor a´ngulo y viceversa.
Un ive
Teorema 50 (Teorema de las oblicuas). Si desde un punto exterior a una recta se trazan un segmento perpendicular y dos segmentos oblicuos, entonces: i) El segmento perpendicular es el de menor longitud. ii) De los segmentos oblicuos es mayor el que se aparta m´as del pie de la perpendicular. iii) Si los dos segmentos oblicuos no tienen la misma longitud, el de mayor longitud se aparta m´as del pie de la perpendicular. Demostraci´ on: i) Sea Q el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta l, y sea R cualquier otro punto de l. (ver figura 114).
92
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
Veamos que: m(P Q) < m(P R). En efecto, sea S un punto de l, tal que Q est´e entre S y R.
β
atem
Q
Figura 114
R
l
o. d
S
γ
eM
α
atic
as
P
tioq
uia
Los numerales ii) y iii) se dejan al lector.
,D
ept
Entonces P[ QS es exterior a el tri´angulo 4P QR, luego α > γ. Como α = β, entonces β > γ y por el Teorema 49, m(P R) > m(P Q).
de
An
Observaci´on: el teorema anterior nos permite afirmar que la distancia de un punto a una recta es el segmento de menor medida que se puede trazar entre el punto y la recta.
Un ive
rsid ad
Teorema 51 (Desigualdad Triangular). La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un tri´angulo es mayor que la longitud del tercer lado. Demostraci´ on. (ver figura 115). Tomemos un punto D sobre la recta BC, tal que B est´e entre D y C y DB ∼ = AB. Como m(DC) = m(DB) + m(BC), entonces: ←→
m(DC) = m(AB) + m(BC) (1). \ Ademas, θ < α (2), (ya que B est´a en el interior de DAC). Como 4DAB es is´osceles, entonces θ = δ (3). Por (2) y (3) δ < α y en consecuencia, en 4ADC, m(AC) < m(DC) (4) y por (Teorema 49).
´ 2.8. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO
93
D δ
B
as
θ
C
Figura 115
atem
A
atic
α
uia
,D
ept
M
o. d
eM
B
tioq
A
C
An
Figura 116
rsid ad
de
De (1) y (4) se deduce que:
m(AC) < m(AB) + m(BC)
Un ive
Corolario 18 . La longitud de un lado cualquiera de un tri´angulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados. En efecto, como m(AC) < m(AB) + m(BC), entonces, m(BC) > m(AC) − m(AB). Corolario 19 . Sea M un punto interior del tri´angulo 4ABC. Entonces, m(AM ) + m(M C) < m(AB) + m(BC) (ver figura 116).
94
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
Teorema 52 (Criterio L-A-L en desigualdades). Si dos lados de un tri´angulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo tri´angulo, y el a´ngulo comprendido en el primer tri´angulo es mayor que el a´ngulo comprendido en el segundo, entonces el lado opuesto del primer tri´angulo es mayor que el lado opuesto del segundo. B
α
δ C
atem
A
atic
as
E
D
o. d
eM
Figura 117
F
ept
Hip´otesis: AB ∼ = DE, AC ∼ = DF , α > δ
,D
Tesis: m(BC) > m(EF )
tioq
uia
−→ Demostraci´ on. (ver figura 118). Como α > δ, existe una semirecta AQ [ ∼ \ interior a α b tal que CAQ = EDF
de
An
−→ Sobre AQ tomemos un punto K tal que AK ∼ = DE. ∼ El tri´angulo 4AKC = 4DEF (L-A-L), Por tanto:
Un ive
rsid ad
CK ∼ = EF (1). \ sea M el punto donde la bisectr´ız corta Tracemos la bisectr´ız de BAK, ∼ al lado BC. Ya que AB = DE y AK ∼ = DE, entonces AB ∼ = AK. Luego B
3Q
M
K
A
Figura 118
C
´ 2.8. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO B
E
α A
95
δ C
D
F
atic
as
Figura 119
eM
atem
4ABM ∼ = 4AKM (L-A-L) y en consecuencia, BM ∼ = M K (2). En el 4CKM, m(CK) < m(M K) + m(M C). (Teorema 51). De (1) y (2), m(EF ) < m(BM ) + m(M C). Pero, m(BM ) + m(M C) = m(BC), entonces
o. d
m(EF ) < m(BC).
tioq
uia
,D
ept
Teorema 53 ( Criterio L-L-L para desigualdades). Si dos lados de un tri´angulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo tri´angulo, y el tercer lado del primer tri´angulo es mayor que el tercer lado del segundo tri´angulo, entonces el a´ngulo comprendido en el primer tri´angulo es mayor que el a´ngulo comprendido en el segundo.
An
Hip´otesis: AC ∼ = DF , AB ∼ = DE, m(BC) > m(EF )
de
Tesis: α > δ
Un ive
rsid ad
Demostraci´ on. (ver figura 119). Razonemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que α ≤ δ. Si α = δ, entonces 4ABC ∼ = 4DEF (L-A-L) y en consecuencia BC ∼ = EF . Absurdo!. Si α < δ, entonces m(BC) < m(EF ). Absurdo!. Luego, α > δ
96
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
POLIGONALES Y POL´IGONOS
2.9
Definici´ on 32 . Sean en el plano los puntos A1 , A2 , . . . , An con n ≥ 3, con la condici´on de que tres puntos consecutivos no son colineales.
as
La uni´on de los segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An , se llama POLIGONAL (Figura 120a).
atem
atic
´ Los puntos A1 , A2 , . . . , An se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL. Los segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An se llaman LADOS DE LA POLIGONAL.
o. d
eM
´ Si se une An con A1 se obtiene una poligonal cerrada llamada POLIGONO (Figura 120b,...,120g). Los lados del pol´ıgono constituyen EL CONTORNO O LA FRONTERA DEL ´ POLIGONO.
A4
A3
A1 A5
(b)
A1
A2
A2
A1
(e)
A3
A5
Un ive
A3 A4
A2
A5
A1 A4
A4
A2
de
(a)
A4
A6 A2
A3
A1
rsid ad
A6
A1
An
A2
A5
tioq
A3
uia
,D
ept
´ La suma de las medidas de los lados del pol´ıgono se llama PER IMETRO ´ DEL POLIGONO.
(c)
A6
A3
(d)
A3
A1 A4
(f)
A2
(g)
Figura 120
Definici´ on 33 (Poligono simple). Un pol´ıgono se llama SIMPLE si: i) Todos los v´ertices son distintos. (la Figura 120d no lo es).
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS
97
ii) Los lados se intersectan solamente en los v´ertices. (la Figura 120c no lo es). iii) Ning´ un v´ertice est´a en el interior de un lado. (la Figura 120b no lo es).
as
Nota: a no ser que se especifique lo contrario, de aqu´ı en adelante usaremos la palabra pol´ıgono en lugar de pol´ıgono simple.
ept
o. d
eM
atem
atic
Definici´ on 34 . i) Un pol´ıgono simple se llama CONVEXO si para todo lado del poligono se cumple que la recta l que contiene al lado determina un semiplano que contiene a los dem´as v´ertices del poligono. (Figura 121a). La intersecci´on de todos estos semiplanos se le llama el interior del poligono. Un punto perteneciente al interior del poligono se le llama punto interior del poligono. ´ ii) Un pol´ıgono no convexo, se llama CONCAVO (Figura 121b).
4
,D
l
D
uia tioq
4
C
Q
An
4
P
Q C P
4
B (a) Convexo
B
de
A
A
rsid ad
l
D
(b) Concavo
Un ive
Figura 121
iii) Un pol´ıgono convexo que tiene sus a´ngulos y lados congruentes se llama REGULAR (Figura 122a). Si no cumple alguna de estas condiciones es IRREGULAR (Figura 122b y 122c). iv) Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR de un pol´ıgono convexo, si no es punto frontera y si no es punto interior. v) El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR del pol´ıgono.
98
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
5
(b) Irregular
(c) Irregular
atem
(a) Regular
atic
as
5
o. d
eM
Figura 122
de
An
tioq
uia
,D
ept
Ejercicio: demostrar que el interior de un pol´ıgono convexo es un conjunto no vac´ıo. Ejercicio: para todo P, Q en el interior de un poligono convexo se cumple que P Q es subconjunto del interior del pol´ıgono.(Ver figura 121 (a)) Ejercicio: para todo X, Y pertenecientes al pol´ıgono convexo se cumple que Int{XY } intersectado con el pol´ıgono es el conjunto vacio.
rsid ad
Definici´ on 35 . i) Al segmento que une dos v´ertices no consecutivos de un pol´ıgono se llama DIAGONAL DEL POL´IGONO.
Un ive
ii) El a´ngulo formado por dos lados consecutivos de un poligono convexo se le llama ANGULO DEL POLIGONO. iii) Los a´ngulos que forman un par lineal con los a´ngulos de un pol´ıgono convexo se llaman ANGULOS EXTERIORES DEL POLIGONO.
[ HCB, \ GDC, \ As´ı, en la Figura 123, AC y BD son diagonales; F[ AE, IBA, etc. son a´ngulos exteriores del pol´ıgono.
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS I
99
B
H C
A F
G
as
D
atic
E
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
Nombres de algunos poligonos Nombre N´umero de lados Tri´angulo 3 lados Cuadril´atero 4 lados Pent´agono 5 lados Hex´agono 6 lados Hept´agono 7 lados Oct´agono 8 lados Non´agono 9 lados Dec´agono 10 lados Endodec´agono 11 lados Dodec´agono 12 lados
atem
Figura 123
rsid ad
Teorema 54 . El n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados es: n(n − 3) 2
Un ive
d=
Demostraci´ on. Por cada v´ertice P de un pol´ıgono de n v´ertices se pueden trazar (n − 3) diagonales. Como hay n v´ertices se obtienen en total n(n − 3) diagonales. Por el m´etodo de conteo que adoptamos, cada diagonal . se cuenta dos veces, por lo tanto se tiene: n(n−3) 2 Luego: d =
n(n−3) 2
Ejemplos: n=5 ⇒d=
5(5−3) 2
= 5 (ver figura 124).
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
as
100
atem
7(7−3) 2
= 14 (ver figura 124).
eM
n=7 ⇒d=
atic
Figura 124
uia
P2
,D
s = 180(n − 2)
ept
o. d
Teorema 55 . La suma de las medidas de los a´ngulos interiores de un pol´ıgono convexo, es igual a tantas veces dos rectos como lados tiene el pol´ıgono menos dos. Es decir, si n es el n´ umero de lados del pol´ıgono, entonces:
P3
An
tioq
P1
rsid ad
de
P0
Un ive
Pn−1
P4
Pn−2
Figura 125
Demostraci´ on: (ver figura 125).
N´ umero de tri´angulos de v´ertice P0
4P0 P1 P2 4P0 P2 P3 4P0 P3 P4 .. .
4P P 0 n−2 Pn−1
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS
101
Total: (n − 2) tri´angulos. Luego, suma de los a´ngulos interiores del pol´ıgono: P0 P1 P2 . . . Pn−2 Pn−1 = 180(n − 2)
atic
as
Corolario 20 . Si un pol´ıgono es equi´angulo, entonces el valor de un a´ngulo interior es: 1800 (n − 2) n
atem
Corolario 21 . En un pol´ıgono convexo, la suma de los a´ngulos exteriores tomados en un mismo sentido es dos llanos.
uia
,D
ept
1. Seg´ un sus lados: ´ a) ISOSCELES: tiene dos lados congruentes. ´ b) EQUILATERO : tiene tres lados congruentes. c) ESCALENO : no tiene lados congruentes.
o. d
eM
´ DE TRIANGULOS ´ CLASIFICACION
rsid ad
de
An
tioq
2. Seg´ un sus a´ngulos: ´ a) EQUIANGULO: sus tres a´ngulos son congruentes. ´ b) RECTANGULO: tiene un a´ngulo recto. ´ c) ACUTANGULO: tiene sus tres a´ngulos agudos. ´ d) OBTUSANGULO: uno de sus a´ngulos es obtuso.
Un ive
Definici´ on 36 . a) TRAPECIO : es un cuadril´atero convexo con un par de lados paralelos (Figura 126a). b) PARALELOGRAMO : es un cuadril´atero convexo con dos pares de lados paralelos (Figura 126b). c) RECTANGULO : cuadril´atero convexo que tiene sus cuatro a´ngulos congruentes (Figura 126c). d) ROMBO : cuadril´atero convexo que tiene sus lados congruentes (Figura 126d). e) CUADRADO: cuadril´atero convexo que es equi´angulo y equil´atero a la vez (Figura 126e).
102
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
d a
e
atic
as
b
atem
c
eM
Figura 126
,D
ept
o. d
El significado de la Figura 126 es el siguiente: las propiedades del cuadril´atero las hereda el trapecio; las propiedades del trapecio las hereda el paralelogramo y as´ı sucesivamente.
Rombos
de
angulos Rect´
An
tioq
uia
ateros Cuadril´ Trapecios Paralelogramos
Un ive
rsid ad
Cuadrados
Figura 127 El significado de la Figura 127 es el siguiente: el cuadrado tiene las propiedades del rect´angulo y del rombo. El rombo y el rect´angulo tienen las propiedades del paralelogramo y as´ı sucesivamente.
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS
103
Teorema 56 . Todo rect´angulo y todo rombo es paralelogramo. Demostraci´ on. (ver figura 128). Demostraremos que todo rombo es paralelogramo. Se deja al lector la demostraci´on de que todo rect´angulo es paralelogramo.
atic
eM
(1)
o. d
\∼ \ De donde: ADB = CBD \∼ \ (2) CDB = ABD
atem
AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = DA por definici´on. Tracemos la diagonal DB, entonces: 4ADB ∼ = 4CBD, (L − L − L)
as
Sea ABCD un rombo, luego:
ept
un (2), AB k DC, luego el rombo es un Seg´ un (1), AD k BC y seg´ paralelogramo.
An
tioq
uia
,D
A
B
Un ive
rsid ad
de
D
C
Figura 128
Corolario 22 . i) El rect´angulo es un paralelogramo equi´angulo. ii) El rombo es un paralelogramo equil´atero. iii) El cuadrado es rect´angulo y rombo a la vez.
104
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
Teorema 57 (Propiedades del paralelogramo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´atero convexo es un paralelogramo. 2. Un par de lados opuestos del cuadril´atero son paralelos y congruentes.
atic
as
3. Los lados opuestos del cuadril´atero son congruentes.
atem
4. Las diagonales del cuadril´atero se bisecan.
5. Los a´ngulos opuestos del cuadril´atero son congruentes.
o. d
eM
6. Un par de lados del cuadril´atero son paralelos y un par de a´ngulos opuestos son congruentes.
ept
7. Si para cada lado los a´ngulos adyacentes son suplementarios.
de
An
6
rsid ad
6
tioq
uia
,D
NOTA: (ver figura 129). Identifique cada caso.
Un ive
Figura 129 La demostraci´on de este teorema consiste en probar la siguiente cadena de implicaciones, as´ı: 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ ... ⇒ 7 ⇒ 1 Haremos aqu´ı la prueba de la primera y la u ´ltima implicaciones. i) 1 ⇒ 2 (Figura 130). Sea ABCD un paralelogramo con AD k BC y AB k CD. Se traza la diagonal AC y se obtienen dos tri´angulos congruentes 4ABC y
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS
105 B
C
eM
atem
Figura 130
atic
D
as
A
o. d
4DCA por tener:
uia
,D
ept
\∼ [ (alternos internos). CAD = ACB \∼ [ (alternos internos). DCA = CAB AC (lado com´ un).
tioq
Luego AD ∼ = BC y AD k BC (por hip´otesis).
de
An
De la misma congruencia de tri´angulos se concluye tambi´en que: AB ∼ = CD y AB k CD (por hip´otesis).
A
B
Un ive
X
rsid ad
ii) 7 ⇒ 1 (ver figura 131).
C
D
Y
Figura 131
106
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
Supongamos que en el cuadril´atero convexo ABCD los a´ngulos adya\ y ADC \ son suplementarios, es decir: centes DAB \ + m(ADC) \ = 2 rectos m(DAB) (1) −→ Sea X un punto en BA, con A entre X y B, por tanto: \ + m(DAB) \ = 2 rectos m(DAX)
as
(2)
atem
atic
\ + m(ADC) \ = m(DAX) \ + m(DAB) \ , de donde: De (1) y (2): m(DAB) \∼ \ y por ser alternos internos se concluye que AB k DC. ADC = DAX
o. d
eM
−−→ En la misma forma se toma Y en la semirecta BC, tal que C est´a entre \∼ \ B y Y y se llega a la conclusi´on de que ADC CD y por la misma raz´on =Y se concluye que AD k BC, luego la figura es un paralelogramo.
tioq
uia
,D
ept
Teorema 58 (T. del baricentro). Las medianas en un tri´angulo son concurrentes en un punto, que est´a a un tercio de la base y a dos tercios del v´ertice sobre cada mediana. (A este punto se le llama el baricentro).
B
rsid ad
de
L
7V
Un ive
N
7R V’ 7
An
A
M
7S C
Figura 132 Demostraci´ on. (ver figura 132). La estrategia de la demostraci´on ser´a: i) Mostrar que dos medianas se cortan en un punto V , el cual est´a a un tercio de la base y a dos tercios del v´ertice en cada mediana.
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS
107
ii) Tomar la mediana que no se tuvo en cuenta en i) y una de las medianas que si se tomo en cuenta en i) y suponer que se cortan en V 0 , para finalmente concluir que V ≡ V 0 .
1 1 AM = ma 3 3 2 2 AA = AM = ma , 3 3
,D
ept
VM =
o. d
eM
atem
atic
as
Veamos i). Sea R el punto medio de AV y S el punto medio de CV ; M el punto medio de BC y N el punto medio de AB. Por el t. de la paralela media en el 4AV C: RS k AC. Por el t. de la paralela media en el 4ABC: N M k AC. Luego, RS k N M . Por el t. de la paralela media en el 4BV C: SM k BV . Por el t. de la paralela media en el 4BV A: N R k BV . Luego, SM k N R. De lo anterior se concluye que N RSM es un paralelogramo y como en un paralelogramo las diagonales se bisecan, entonces V S ∼ = VN y VR ∼ = VM y ∼ ∼ como R es punto medio de AV , entonces AR = RV = V M , por tanto:
de
An
tioq
uia
Tambi´en, como S es punto medio de V C, entonces CS ∼ = SV ∼ = VN y por tanto 1 1 V N = CN = mc 3 3 2 2 V C = CN = mc 3 3
Un ive
rsid ad
Veamos ii): Supongamos que la mediana AM se intercepta con la nueva mediana BL en V 0 . Como el resultado de la parte i) es valedero para estas dos medianas que se cortan en V 0 , entonces AV 0 = 32 ma y por la parte i) AV = 32 ma , entonces AV 0 = AV , o sea que AV 0 ∼ = AV y por el t. de la 0 barra transversal, V y V est´an del mismo lado con respecto a A, entonces por el Ax. de construcci´on de segmento V ≡ V 0 .
108
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL
Teorema 59 (Propiedades del rect´ angulo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´atero convexo es un rect´angulo. 2. Todos sus a´ngulos son rectos.
as
3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.
atic
Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 3 ⇒ 1.
D
eM
atem
i) 1 ⇒ 2 (ver figura 133).
C
o. d
γ
ept
δ
,D
β
uia
α
B
tioq
A
de
An
Figura 133
Un ive
ii) 3 ⇒ 1 (ver figura 134).
rsid ad
Por hip´otesis tenemos que α = β = γ = δ. Como α + β + γ + δ = 3600 , resulta entonces que: α = β = γ = δ = 900 .
Tenemos por hip´otesis que:
OA ∼ = OB ∼ = OC ∼ = OD. c2 ∼ c2 y B c2 ∼ c2 . Si 4AOB ∼ = 4COD (L-A-L), resulta que A =C =D
c1 ∼ c1 y A c1 ∼ c1 . Si 4AOD ∼ = 4COB (L-A-L), resulta que D =B =C
c2 ) + m(A c1 ) = m(C c2 ) + m(C c1 ) y Sumando: m(A c1 ) + m(D c2 ) = m(B c1 ) + m(B c2 ), m(D
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS
109
D
C 1
2
2
1
2
1
O 2
B
atic
A
as
1
atem
Figura 134
c2 ∼ c2 , se yB =A
o. d
eM
b∼ byD b ∼ b pero como D c9 ∼ c1 resulta entonces que A =C = B, =A b byD b∼ b∼ concluye que A = B. =C
tioq
uia
Se deja al lector la prueba de que 2 ⇒ 3.
,D
ept
c1 ∼ c1 y B c2 ∼ c2 , se concluye que A b∼ b∼ b∼ b pues Pero como D =A =A =B =C = D, c1 ∼ c1 ∼ c1 y B c2 ∼ c2 ∼ c2 . D =A =B =A =D
de
rsid ad
1. Un paralelogramo es un rombo.
An
Teorema 60 (Propiedades del rombo). Los siguientes enunciados son equivalentes:
2. Las diagonales del paralelogramo bisecan los a´ngulos opuestos.
Un ive
3. Las diagonales del paralelogramo son perpendiculares. 4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 4 ⇒ 1. i) 1 ⇒ 2 (ver figura 135). Por hip´otesis tenemos que ABCD es paralelogramo con AB ∼ = BC ∼ = ∼ CD = DA. Como 4DCB ∼ = 4DBA por (L-L-L) y
110
CAPITULO 2. AX. DE LA GEOMETRIA ELEMENTAL C
D
B
atem
atic
as
O
o. d
eM
A Figura 135
ept
4CDA ∼ = 4CBA por (L-L-L), resulta:
,D
\ (Porque \ BAO [ ∼ [ DCO \ ∼ \ CBO \∼ \ ∼ CDO = DAO. = BCO, = ABO, = ODA,
tioq
uia
?)
de
An
ii) 4 ⇒ 1. Tenemos por hip´otesis que ABCD es paralelogramo y que AD ∼ = AB. Entonces, por ser ABCD paralelogramo se tiene: AD ∼ = BC y AB ∼ = DC, ∼ pero como AD = AB, resulta:
rsid ad
AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = DA.
Un ive
Teorema 61 (Propiedades del trapecio). i) La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio), es paralela a las bases y su medida es la semisuma de las medidas de las bases. ii). El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo a las bases y su medida es la semidiferencia de las medidas de las bases (Demostrarlo). iii) En un trapecio is´osceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las diagonales son congruentes, los a´ngulos de la base mayor son congruentes, los a´ngulos de la base menor son congruentes. El punto de intersecci´on de las diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersecci´on de las rectas que contienen los lados no paralelos, estan alineados. Las mediatrices de las bases coinciden. (Demostrarlo).
2.9. POLIGONALES Y POL´IGONOS D
111
C
A
as
E
B
F
atem
Figura 136
atic
K
o. d
eM
Demostraci´ on i) (ver figura 136). Por hip´otesis, DC k AB, DK ∼ = KA ∼ y CE = EB. Demostremos que: 1 (DC + AB). 2 Si unimos D con E y prolongamos hasta encontrar la prolongaci´on de AB, tal que B est´a entre A y F , resulta que 4DCE ∼ = 4F BE por (A-L-A), entonces DE ∼ = EF y DC ∼ = BF . En 4DAF se tiene KD ∼ = KA y DE ∼ = EF , por lo tanto KE k AF y
de
1 1 (AF ) = (AB + DC). 2 2
Un ive
ii) y iii) se dejan como ejercicio.
rsid ad
KE =
An
tioq
uia
,D
ept
KE =