ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos

Dimensiones adecuadas - sin interferencia

- esfuerzos por Ntransmitida

- grado recubr. adecuado

- choques

- bajo nivel ruido

- desgaste

Cálculo geométrico

Cálculo resistente

Dext, Dint

Dp, b, Z, M,

Grado recub.

tratam. Sup.

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Geometría

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Paso circunferencial

pc =

πDp z1

=

πd p z2

Módulo (normalizado)

pc Dp d p M= = = π z1 z 2 Paso Diametral (Diametral Pitch)

z1 z 2 pd = = Dp d p

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Geometría: normalización

Diámetro exterior:

De = Dp + 2 a

para a = M:

Dext = (Z + 2) M

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Geometría: Interferencia

El problema de interferencia o socavación aparecerá cuando el contacto se intente producir por debajo de la circunferencia base. En este caso la trayectoria del punto de contacto, punto "C", al ser el punto "I" centro instantáneo de rotación relativo, intenta penetrar en el diente de la otra rueda produciendo la interferencia y si el punto "C" fuese de la herramienta, produciría la socavación.

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La circunferencia de cabeza de la rueda "1" no debe pasar más allá del punto "T2". En la figura se representa el radio máximo de cabeza de la rueda "1" para que no le produzca interferencia o socavación a la rueda "2". Esta interferencia limita la altura de la cabeza del diente.

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Para engrane sin interferencia, contacto debe realizarse dentro de los límites g-e de la línea de presión. Analizado geométricamente el diámetro máximo exterior Ae, de la cabeza del diente del engranaje conducido A está dado por la expresión:

(Ag)2 + (ge)2

Ae = R + ht =

R 2 cos 2α+ (R + r )2 sen 2α

R=

MZ R 2

r=

MZ r 2

ht = a M

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos Para una relación conocida de a y conociendo el ángulo de presión α, se puede obtener el número mínimo de dientes Zr del piñón que puede engranar con una rueda de ZR dientes, sin interferencia entre ambos. Para el mismo piñón de Zr dientes, solo podrán engranar con él ruedas de menor número de dientes que ZR, ya que para ruedas de mayor cantidad de dientes habrá interferencia. Para un piñón de Zr dientes y una cremallera ZR = ∞

4a (z R + a ) z + 2z r z R = sen 2α 2 r

2a zr = sen 2α

La curva que expresa estos valores es una hipérbola de asíntota horizontal para ZR = ∞ (cremallera), que para el caso de un diente de altura completa (a = 1) y un ángulo de presión de 20° vale 17, lo que significa que un piñón con 17, o más dientes, no tendrá interferencia con una cremallera o con cualquier otra rueda.

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Tipos de fallas

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2 Zonas de altas tensiones:

- Raíz del diente (tensión de flexión)

-Punto de contacto (tensión superficial)

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Fuerzas y tensiones en los dientes y

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N = Ft V

V=WR=2∏Rn

Para N en HP, R en cm y v en m/s resultan Ft, Fr y Fn en kg:

2πR n v= 60.100

Ft .v N= 75

Ft .R.n N= 71620

71620 N Ft = R n 71620 N Fr = tgα R n 71620 N 1 Fn = R n cosα

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Métodos de cálculo: Flexión en la base Lewis Lewis-Barth Buckingham Norma AGMA Métodos de cálculo: fatiga superficial Buckingham Norma AGMA

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Métodos de cálculo: FLEXIÓN

Como el esfuerzo de compresión es pequeño comparado con el de flexión, su efecto sobre la resistencia del diente se suele omitir en los cálculos

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Métodos de cálculo: Wilfred Lewis (1892)

Hipótesis simplificativas: - Diente empotrado en cuerpo del engrane - Solicitación estática de flexión - Carga uniforme en el ancho - Carga aplicada en el extremo del diente

Objetivo: Determinar la fuerza tangencial máxima que puede transmitir.

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Momento flector:

Mf = Ft h = W σf W (módulo resistente a la flexión, para rectángulo = b t² / 6)

b. t 2 Ft.h = σ 6 f p/sólido de igual resistencia: σ=cte Y como b=cte

h= Sólido de igual resistencia a la flexión determina la sección de empotramiento

σ.b 2 t = Cte t 2 6.Ft

que es la ecuación de una parábola

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b. t 2 Ft.h = σ 6 f Como t y h son funciones del paso:

t²/6h = y p y: factor de forma función de Z p/valor particular de α y del punto de aplicación de carga

tabulado p/perfiles normalizados

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Z 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 23 25 27 30 34 38 43 50 60 75 100 150 300 Cremallera

Ø = 14.5° 0.056 0.067 0.070 0.072 0.075 0.077 0.080 0.083 0.087 0.090 0.092 0.094 0.097 0.100 0.102 0.104 0.107 0.110 0.112 0.114 0.116 0.118 0.120 0.122 0.124

Ø = 20° 0.064 0.078 0.083 0.088 0.092 0.094 0.096 0.098 0.100 0.102 0.104 0.106 0.108 0.111 0.114 0.118 0.122 0.126 0.130 0.134 0.138 0.142 0.146 0.150 0.154

Stub Ø = 20° 0.083 0.099 0.103 0.108 0.111 0.115 0.117 0.120 0.123 0.125 0.127 0.130 0.133 0.136 0.139 0.142 0.145 0.147 0.151 0.154 0.158 0.161 0.165 0.170 0.175

Ø = 25° 0.076 0.088 0.093 0.098 0.102 0.106 0.109 0.112 0.115 0.118 0.120 0.124 0.128 0.131 0.135 0.140 0.144 0.148 0.152 0.156 0.161 0.166 0.171 0.176 0.180

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Con:

b. t 2 Ft.h = σ 6 f

y

t²/6h = y p

F t = y b σf p

Para obtener fuerza tangencial máxima admisible:

σf = σadm ≈ σrot/3 Fb = b y p σadm

Para un diseño adecuado

Fb ≥ Ft

71620 N Ft = R n

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Estimación del tamaño del engrane:

DISEÑO

Estimación de tamaño (prediseño)

Formulas empíricas, recomendaciones, experiencia, métodos simples (Lewis)

Verificación

Formulas más exactas (Buckingham), normas (AGMA, ISO)

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos ecuación de Lewis para cálculos preliminares de diseño

Fb ≥ Ft Partimos de la igualdad:

Fb = b[cm] y p[cm] σadm[Kg/cm2] = Ft [Kg] = 71620 N[HP] / (n[rpm] R[cm]) se considera como buena la siguiente proporción:

2.5 p < b < 4 p ó

como Dp = ( p / π ) Z

8 M < b < 12.5 M

Es decir, b = r p

Fb = r y p2 σadm

Ft = 71620 N / [ n ( p Z / 2 π ) ]

Ft = 450.000 N / ( n p Z )

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Fb = r y p2 σadm

Fb = F t

Ft = 450.000 N / ( n p Z )

p = 76,6

3

N ρ y σadm n Z

- N y n, así como i, son condiciones a cumplir por el diseño - Adoptar: α (generalmente 20°), material para el engranaje y Z (según recomendaciones o criterios adecuados, por ejemplo, adoptar el número mínimo de dientes necesarios para que no se produzca interferencia a fin de obtener las mínimas dimensiones exteriores)

Con p se calcula M, se redondea hasta el valor estandarizado inmediato superior; después, por los valores de r y Z, se determinan los diámetros de las ruedas y su ancho, luego de acuerdo a las proporciones estándar se obtienen las restantes dimensiones: diámetro exterior e interior, etc. ya se tienen los engranajes para realizar las verificaciones según Buckingham o AGMA

ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos Esfuerzos en los apoyos No importa la perfección con que se diseñe y fabrique un engranaje, éste debe ser montado correctamente para tener un funcionamiento libre de fallas. La función de un engrane es transmitir movimiento y/o potencia. La función del soporte es crear un estado de equilibrio. Como un engrane es un cuerpo que gira o está en movimiento, debe obtenerse un estado de “equilibrio dinámico”, es decir, la totalidad de las fuerzas de trabajo y momentos de entrada deben ser igualados por la totalidad de fuerzas y trabajo de salida.

“la suma de todas las fuerzas debe ser igual a cero y la suma de todos los momentos debe ser igual a cero”

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todas las reacciones de los engranajes pueden ser descompuestas en fuerza tangencial, fuerza radial o separadora y empuje axial

sin importar el número de momentos o de fuerzas que actúen sobre un engrane, todos pueden concretarse a dos tipos básicos de carga que son: axial y radial

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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – Cálculo de engranajes rectos Hay dos tipos básicos de estructuras de montaje: doble soporte o entre apoyos (izquierda) y voladizo o cantilever (derecha).

Las reacciones de los apoyos actúan en dirección opuesta a la de las cargas producidas por los engranajes

Las cargas no actúan en el mismo sentido, la reacción en el apoyo más cercano al punto de carga es opuesta a dicha carga, la reacción en el más distante actúa en el mismo sentido que el de la carga aplicada.