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ELEMENTOS DE MATEMATICA

ELEMENTOSDEMATEMATICA Propietario: F u n d a c i ó n C A E C E Publicación didáctico científica editada por la Universidad C A E C E - Trimestral

PUBLICACION

DIDACTICO-CIENTIFICA

DE LA UNIVERSIDAD CAECE

Redacción y Administración Tte. Gral. J.D. Perón 2 9 3 3 - C.P. 1198 Tel.: 4 8 6 7 - 2 8 2 8 i n t . 3 1 4 F A X : 4867-2828 int.376

Director: Prof. R o b e r t o P.J. H e r n á n d e z

Secretaria de Edición: Prof. M a r i a n a A. O r t e g a

Colaboradores Permanentes: Dr. L u i s S a n t a l ó Prof. J o r g e B o s c h Lic. N i c o l á s Patetta Dr. N a t a l i o H é c t o r G u e r s e n z v a i g Lic. L u c r e c i a Iglesias Prof. J u a n F o n c u b e r t a Lic. Francisco Villaverde Prof. M a r i o Cozzani C : n el a u s p i c i o del C o m i t é A r g e n t i n o de E d u c a c i ó n M a t e m á t i c a

Suscripción anual: Argentina: $25.Ex.erior: u$s30.- o el e q u i v a l e n t e en m o n e d a de cada país. E j e m p l a r atrasado: $7.Exterior: $7.? e ¿istro N a c i o n a l de la P r o p i e d a d Intelectual N°42.128

Impresión: Piscis I m p r e s o r a Castillo 2 5 9 - ( 1 4 1 4 ) B u e n o s A i r e s

Diagramación:

VOLUMEN XV

NUMERO LVIII

Diciembre 2000

SUMARIO Editorial

3

Posibilidades didácticas de un puzzle de estrellas y navetas Dr. Manuel Fernández Reyes 5 La Biblioteca Lic. Francisco Villaverde ...

16

Sistemas Dinámicos Discretos Lic. Francisco Villaverde

17

Los Problemas en el Aula Prof. Juan Angel Foncuberta

33 o

Problemas propuestos para 3 C. EGB y polimodal Prof. Mario J. Cozzani 37 Propuesta Didáctica Coordinadora: Lic. Lucrecia D. Iglesias

43

Problemas y soluciones para publicar Dr. Natalio Héctor Guersenzvaig

47

WWW.matemática... Lic. Francisco Villaverde

51

RELME15 - Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa 52

Mariana A. Ortega ISSN 0326-8888

Estimado

1

colega:

Con el número LVIII que entregamos finaliza el año 2000, que es a su vez el fin del milenio y del siglo XX. En él tenemos el enorme placer de publicar un hermoso trabajo del colega español Manuel Fernández Reyes titulado "Posibilidades didácticas de un puzzle de estrellas y navetas". Este artículo fue publicado en el N"19 de la Revista "Números", que publica la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton", de La Laguna, Tenerife, Islas Canarias, España y por gentileza de su autor, fue autorizada su inclusión en nuestra revista. Deseamos que esto sea el comienzo de un vínculo sin discontinuidades con los colegas de Islas Canarias, que nos enriquece. Además de las secciones permanentes -en el caso de Problemas y Soluciones para publicar, el Dr. Guersenzvaig, por última vez comenta soluciones recibidas, según se anticipó en el número LVII- se incluye la Io parte del trabajo "Sistemas Matemáticos Discretos" del Profesor Francisco Villaverde que esperamos promueva inquitudes en nuestros esforzados colegas. Finalmente, con carácter informativo se incluye un anuncio sobre la Decimoquinta Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. Queda sólo expresar el deseo de la mayor fortuna para nuestros colegas en el comienzo de este nuevo siglo.

El Director

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1

^ ^ - ^

I

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ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XV, Nro. 58, Diciembre de 2000

5

Posibilidades didácticas de un puzzle de estrellas y navetas de M a n u e l F e r n á n d e z Reyes(*)

1.-INTRODUCCIÓN Esta lección de Geometría ha sido preparada con un múltiple propósito: . Con el soporte de un material de fácil elaboración, ayudar a descubrir relaciones interesantes entre figuras, expresarlas en lenguaje ordinario y demostrarlas formalmente. . Aprovechar el interés que pueda despertar este proceso, para efectuar cálculos que, propuestos en frío, sin un objetivo atractivo, suelen resultar tediosos. . Dar oportunidad de usar la regla y el compás, magníficos instrumentos de ayuda y refuerzo, generalmente poco utilizados en nuestras clases. . Y, por último, utilizar problemas geométricos no rutinarios para hacer insursiones en campos diversos de la Matemática. En este trabajo, concretamente, pretendemos cubrir este objetivo tendiendo puentes entre Geometría euclídea, Geometría analítica y Cálculo integral. Está concebida para ser desarrollada antes de abordar el cálculo de áreas por integración, una vez que el alumno domine los conocimientos básicos de Analítica \ de resolución de integrales sencillas. En definitiva, lo que proponemos a continuación quizás sirva de ejemplo de cómo organizar clases más dinámicas y con participación activa del alumnado. 2.- ÁREA DELA ESTRELLA Dado un cuadrado de lado /, si se trazan en su interior arcos de radio r -1/2, con centros en los vértices, resulta un cuadrilátero curvilíneo, con aspecto de astroide, que llamaremos estrella (fig. 1).

/

Figura 1 " Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemática.

MANUEL FERNANDEZ REVE-

6

Liberemos nuestra estrella y dispongamos convenientemente los triángulos mixtilíneos que la aprisionan. Así:

r = 7/2 1

Figura 2

Hemos descompuesto el cuadrado en una estrella y un círculo de radio r - l / 2 . Por tanto: El área Ae de la estrella

es igual a la del cuadrado

disminuida

en la del

círculo. Esta igualdad nos va a permitir obtener una fórmula que nos déA directamente, esto es, sólo en función de / (o de r). Veamos: A, =l2 - nr2 = ...=

=

O bien:

l2(4-n)

(1)

4

4rH4-n)=

}

(2)

4

3.- LA NAVETA Y SU AREA Se conoce con el nombre de naveta (cada uno de los recintos rayados de la figura 3) la figura determinada por la intersección de dos arcos de radio r - U2, uno centrado en un vértice del cuadrado, y el otro con centro en el del círculo.

í

¿ C ó m o son las áreas de A t y A 2 ? P a r e c e n iguales, ¿no?. Pero no nos f i e m o s , e s t u d i e m o s m a t e m á t i c a m e n t e la cuestión.

V

\

/

y

Figura 3

A, = ( / / 2f

nr

Al2 - ni2

Z 2 (4-ti)

, A=A2

_

4 2

(4-tc)

16

(cuarto de estrella)

(II)

POSIBILIDADES DIDÁCTICAS DE UN PUZZLE DE ESTRELLAS Y NAVETAS

7

Resumiendo: _ l2(4-ftLr2(4-7t) 2

16

(4)

4

Es evidente que: El área de la naveta es la diferencia 1/2 y la suma de las áreas At y A .

entre

la del cuadrado

de

lado

T e n i e n d o en cuenta la igualdad (3), resulta: r- {%-2) (5)

lo

Si q u e r e m o s A;¡ en f u n c i ó n del radio r, basta sustituir en (5) / por 2 r . Se obtiene: r2

(tc — 2 )

(6)

Por último, es conveniente disponer de una f ó r m u l a para el cálculo directo del área de una n a v e t a conocido su eje mayor d. V a m o s a deducirla: r2+r2

= d2 = > r 2

=d2/2

Sustituyendo en (6), se tiene A

_

{d2/2)(n-2)

d2 ( t i - 2 )

2

(V)

4. UNA FORMULA PARA EL ÁREA DE UNA CÚPULA L l a m a r e m o s cúpula a la curva que resulta al cruzar dos navetas según las diagonales de un c u a d r a d o (figura 5) y eliminar ciertos recintos. La s u p e r f i c i e s o m b r e a d a en la f i g u r a 6 es una cúpula. Por construcción, los triángulos ABO y OBC son equiláteros y congruentes. Su lado es el del c u a d r a d o , /. El área de uno de ellos es

I 2 a/3

. 4 C o m o puede observarse, el sector circular OAC es un tercio del círculo. Por tanto, su área es ni2/3 . C o m o los s e g m e n t o s circulares que delimitan los arcos AB y BC tienen la misma superficie, fácil es ver que: El área de la cúpula se los triángulos.

es la de un tercio

de círculo,

menos

la de

uno

6 MANUEL FERNÁNDEZ RE YE 5

A figura 5

figuras

5. ¿ Q U E S U P E R F I C I E A B A R C A N DOS N A V E T A S E N C R U Z ?

4a + 4¿> + c = / 2 (cuadrado)

(cúpula)

2a + b + c =

R e s o l v i e n d o este sistema, resulta: a = l2 ( - 1 + 71/12 + V 3 / 2 ) b = l2 (l-7i/6-V3/4) c = í~ (l +

n/3-V5)

Y el área buscada es: A = 4a + c = --- = l 2 (-3 + 2m/3 + V3)

3a + 2b + c = ni214

(cuadrante)

POSIBILIDADES DIDÁCTICAS DE UN PUZZLE DE ESTRELLAS Y NAVETAS

9

6. EL HACHA DE DOBLE FILO Desde dos vértices opuestos de un cuadrado de lado /, tracemos, en su interior, dos arcos de radio r = 1/2. A continuación, tracemos, con igual radio \ centro en el del cuadrado, sendos arcos que unan los extremos de los .interiores. D a r e m o s el n o m b r e de hacha de doble filo al c u a d r i l á t e r o resultante (figura 10). C o m p l e t a n d o la c i r c u n f e r e n c i a a la que pertenecen los a r c o s - f i l o , se r btiene la f i g u r a 11.

/

figura 10

figuraU

D e s p i e c é m o s l a , aislando el hacha y cortando por las líneas discontinuas, eamos qué d e s c u b r i m i e n t o s p o d e m o s hacer con este nuevo puzzle.

C o m o si de la mitosis celular se tratara, el cuadrado ha dado lugar a dos "iz'r.is gemelas. En otras palabras: £' área Ah del hacha

es igual

a la mitad

de la del

cuadrado.

P r o b e m o s m a t e m á t i c a m e n t e esto. De la f i g u r a 1 1 se desprende que: -Wa £ ;

del hacha

= Area

del circulo

- Area de dos

navetas

consecuencia: A,

Kl2 4

21'

(re-2) 8

r-{2n-2{2vi-2)) 8

_ l2

2

(10)

MANUEL FERNANDEZ REVE-

10

Otra forma de comprobar experimentalmente que el hacha es la mitad del cuadrado, es disponer las piezas de la figura 13 dentro del cuadrado, como a continuación se indica:

figura 14 7. E L P R O B L E M A D E L A N C L A

Con centro en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo isósceles (figura 15), se traza el arco CB, de radio / (igual a la longitud de los catetos) y extremos en los de la hipotenusa. Luego, se trazan dos semicircunferencias cuyos diámetros sean los catetos y que corten a la hipotenusa. En la especie de ancla resultante vamos a demostrar que el área de la caña es igual a la de los brazos. A

figura 15

La caña es una naveta cuyo eje mayor, AD, es la altura de la hipotenusa que. como se sabe, es media proporcional entre los segmentos CD y DB que determina. Según esto, es: AD = -jCD • DB =

4CBI2-CBI2

V/2+/2 _/V2 2 2

Y aplicando la fórmula (7), el área de la caña es:

(II)

POSIBILIDADES DIDÁCTICAS DE UN PUZZLE DE ESTRELLAS Y NAVETAS 9

El área de los brazos se puede obtener restando a la del segmento circular de cuerda CB = 1 • V 2 / 2 y radio /, la de dos seminavetas de ejes CD y DB, siendo CD = DB = / • -J2 / 2 . Resulta: _ / 2 (71- 2)

l 2 (TC-2)

l2{71-2)

(12)

Queda, pues, d e m o s t r a d a la equivalencia de áreas.

8. DE LA ESTRELLA A LA ASTROIDE. La familia de la astroide. En el segundo apartado aludíamos al parecido del cuadrilátero curvilíneo 1 estrella) resultante en el interior del cuadrado base de nuestro puzzle, con una de las hipocicloides, la denominada astroide. Antes de establecer la diferencia entre una y otra, recordemos algunas definiciones de interés. Se llaman curvas epicicloidales a las engendradas por un punto de una curva, o de su plano, al rodar, sin deslizar, sobre otra curva. La curva generatriz se suele denominar "ruleta"; la fija, "base de la ruleta". Si ambas son circunferencias, y la ruleta se desplaza por el interior de la base, la curva generada es una hipoc.icloide\ si lo hace por el exterior, recibe el nombre de epicicloide. Si es R el radio de la circunfernecia base y r el de la ruleta, y si es r = 4,-, se genera la HIPOCICLIDE DE 4 RETROCESOS o ASTROIDE.

T r a z a d o g e o m é t r i c o de la a s t r o i d e . La astroide puede también considerarse generada por la trayectoria de un z^.ento rectilíneo de longitud constante R, igual al radio de la circunferencia :;:í, cuyos extremos se desplazan sobre los ejes de coordenadas.

MANUEL FERNÁNDEZ RE YE 5

12

Esta interpretación nos permite trazar por puntos dicha curva, sin tener que recurrir a su ecuación. A tal efecto, haremos uso de un sencillo proce-dimiento cuya justificación puede verse, por ejemplo, en A.DONEDDU, Analyse et Geometrie differenciale, Dunod, Paris, 1970, pag. 394-, que consiste en lo siguiente: Io Considerando el segmento generador en una posición cualquiera, se determina el cuarto vértice V del rectángulo del que dicho segmento es diagonal. 2° Se traza la perpendicular al segmento por V. El piede de estaperpen-dicular es un punto de la astroide. Y

B \ \ f i g u r a 17

0

/' / I / | / . ^ N J A

La figura siguiente muestra la obtención de algunos puntos de un arco de la astroide engendrada por un segmento de 5 unidades. Como la astroide es simétrica respecto a ambos ejes, a partir del arco trazado pueden obtenerse los otros tres que la cierran.

D e t e r m i n a c i ó n a n a l í t i c a de p u n t o s Para dar cumplimiento a uno de nuestros objetivos, el de aprovechar un problema o cuestión para hacer incursiones en campos diversos de la Matemática, lo que consideramos altamente formativo, vamos a utilizar aquí nociones básicas de Geometría Analítica para valorar los puntos de la astroide anteriormente localizados.

POSIBILIDADES DIDÁCTICAS DE UN PUZZLE DE ESTRELLAS Y NAVETAS

13

1° Empezaremos por calcular las ordenadas de los vértices V , V , ... de los rectángulos determinados por las posiciones A B , del segmento generador (figura 18): V, :y = ^5z-2,252

= -^9315=4,5

= 9/2

V2 : y = 4 (terna pitagórica 3, 4, 5) V,:y = ^]52 -3,52 = JÍ2J5

= 3,6 = 18/5

V 4 :y = 3 2 o Coordenadas de P : Ecuación de la recta que corta a los ejes en A, (9/4, 0) y —— 1 —— = 1 : 9/4 9/2

(0, 9 / 2 ) :

•=> y = -2x+ 9 / 2

Ecuación de su perpendicular por V¡ ( 9 / 4 , 9 / 2 ) : y - 9 / 2 = 1/2 (x-9/4)=>

•••=> y = l / 2 x + 27/8 .

Resolviendo el sistema, se obtiene el punto P, de intersección de ambas rectas. Resulta: P, = (9/20 = 0,5, 36/10 = 3,6). 3 o Con este mismo proceso, obtenemos: P (=1 = 2,6) P3 (= 1,7, = 1,8) P 4 (=2,6, = l) E c u a c i ó n de la a s t r o i d e A) Forma

paramétrica

Como se sabe, es conveniente en ocal e s expresar los puntos de una curva función de una tercera variable denomi- i i a parámetro". Se obtienen así las *r l u i c i o n e s paramétricas" de la curva en - - r ::ón. Las correspondientes a la astroi: r . c a e no es el caso demostrar aquí, son: I=R

y

X

cos36

= /?sen0

(0 < | < 2TC)

(13) Y'

figura 19

: r : el parámetro I i r :_idio de la circunferencia base o la longitud del segmento generador.

MANUEL FERNÁNDEZ RE YE 5

14

B) F o r m a c a r t e s i a n a El siguiente proceso t r a n s f o r m a las ecuaciones p a r a m é t r i c a s en e c u a c i c r cartesiana: x = R- c o s > |

(1)

x2/3=fl2/3-cos2^]

(2)

y2'3 = Rm -sen 2 ^ I

y = R- s e n > J +

= R¿

(14)

(1) E l e v a n d o a 2/3 los dos m i e m b r o s de ambas ecuaciones. (2) S u m a n d o miembro a m i e m b r o . C o m o e j e m p l o de empleo de las ecuaciones p a r a m é t r i c a s , c a l c u l e m o s las c o o r d e n a d a s del punto medio del arco superior derecho de nuestra astroide (figura 18), esto es, el correspondiente a un valor del p a r á m e t r o de 45°: (¡) = 45°1

x = 5 - c o s 3 4 5 = 5 ( y 2 / 2 ) 3 = 5 - ^ 2 / 4 = 1,8

P =5 J

y =

5-sen 3 45 = 5 ( V 2 / 2 ) 3 = 5 - V 2 / 4 = l,8

Y, por último, para no dejar f u e r a de j u e g o a la ecuación cartesiana, v e r i f i q u e m o s que estos valores la satisfacen: x = 5 - ^ 2 / 4 =y

x2n + y2n=2-(5j2/4)2n

=--- = \j¥

R =5 Y también: R2"

=52'3

9. ÁREA DE LA ASTROIDE. DIFERENCIA CON LA DE LA ESTRELLA Llegando aquí, es preciso echar mano del Cálculo Integral, y abandonar el camino intuitivo hasta ahora seguido. Consideramos que merece la pena hacerlo, para rematar un ejemplo de cómo estructurar la presentación de ceustiones diversas partiendo de un tema sencillo y manipulable. Para determinar el área A de la astroide, consideraremos sólo la variación del a parámetro (f> en el intervalo de 0 a n / 2 . Basta luego multiplicar por 4. Veamos:

x = R • eos 3 dx = -3Rcos2 y = R- sen 3 j; = 0j

sen(j) d§ ¡

15

POSIBILIDADES DIDÁCTICAS DE UN PUZZLE DE ESTRELLAS Y NAVETAS

Por tanto:

AJ4 = J* y dx =

R sen3]; For[b={};k=l, k para n —> 00 si x > 1 Si 0 < x < 1 , la iteración de F produce una respuesta diferente. Sucesivas elevaciones al cuadrado de tales números producen resultados positivos cada vez menores, de modo que: F{" (x) 0 para n —> si 0 < x < 1. (n Claro que F (x) jamás es exactamente igual a 0 para algún valor de n, ya que e: único número cuyo cuadrado es 0 es 0; las sucesivas iteraciones de F a partir ¿e x simplemente se diferencian de 0 en una cantidad arbitrariamente pequeña con :_! de tomar n lo suficientemente grande. Es cierto que la calculadora exhibirá el número 0,0000... cuando se calculan repeticiones, pero ello simplemente significa que esos resultados obtenidos han ido reduciéndose hasta ser demasiado pequeños para ser representados por la calculadora. Finalmente, si x = 1, es evidente que f ( n (x) = 1 para todo valor ¿e Este valor de x es el punto fijo de F, el transformado de x por F jamás cambia 7 : : las sucesivas iteraciones de F. Resumiendo: la iteración de F determina tres n a c i o n e s diferentes, que dependen de que 0 0 y luego x + 1 = a x[ (mod m) donde a > 1 y m un número 'grande' (por ejemplo 231 - 1) y con mod se indica que se debe considerar el resto de a x. al dividirlo por m (para más detalle consultar [Knuth]).Con estealgortimo se presenta la forma iterativax. +1 = F(x\) (¡un sistema dinámico discreto!). Por ejemplo, con a = 13, m = 31,y x() = 1, los primeros términos de la sucesión son: 1 13 14 27 10 6 16 22 7 29 5 como puede verificarse con Matlab : » x(1)=1; » a=13;c=0;m=31; » for k=l:10 x(k+l)=re:m(a*x(k)+c,m);

end »

x

1

13

14

27

10

6

16

22

7

29

5

¿Cuál es el próximo término de la sucesión? Parecería impredecible, pero se puede calcular 13 5 mod(31). que es 3. Los primeros 30 términos de la secuencia son una permutación de los enteros de 1 a 30 y luego la secuencia se repite. Tiene un período igual a m - 1. A partir de esta secuencia de enteros seudoaleatorios se puede obtener una secuencia de números en coma flotante en [0,1}. En el ejemplo presentado, resulta » format

short

x(l:8)/m ans = Colunms 1 through 8 3.0323

0.4194

0.4516

0.8710

0.3226

0.1935

0.5161

0.7097

Sólo hay un número finito de posibles resultados: 30 en este caso. El menor tí 1/31, el mayor es 30/31. La función generadora de números aleatorios en la ersión 4.x de Matlab tiene una estructura similar a la del ejemplo. Es un generador le congruencia multiplicativo con parámetros a=7 5 = 16807,777-231 -1 = 2147483647.

30

2.5 PUNTOS FIJOS Y PERIÓDICOS Existen tipos de órbitas de interés para analizar en un sistema d i n á m : : : discreto, distintas de los puntos fijos y las órbitas que tienden a éstos (o al infin:: Es indudable que el más importante tipo de órbita es un punto fijo. Recorder que un punto x() es llamado punto fijo para F si F(x(J = x(|. Tengamos en cuenta c c ; los puntos fijos jamás cambian cuando son argumento de la función que se i t t - Dado que F(xQ) = xQ, entonces F(F(x fl )) = F(x 0 ) = xQ, y, en general, F " (x, = Por ejemplo, como hemos visto en las anteriores secciones, tanto 0 como 1 ser puntos fijos para S(x) = Vx y T(x) = x2. De modo similar, 0 es un punto fijo SfxJ^sen x mientras que 0.739085 es una aproximación al punto fijo para la función eos x . Otro tipo de órbita es la órbita periódica o ciclo. La órbita de x() es periódi: si hay un entero N tal que F(N(x()J = x(). El punto xQ se denomina entonces pur.:: periódico de período N. A modo de ejemplo consideremos la función R(x) = con x^O . Nótese que x= 1 y x = -1 son ambos puntos fijos para R, dado que R(l) = 1 y R(-\) =-1. Sin embargo, cualquier otro valor de x genera un ciclo c : período 2. Sin duda que si x es distinto de 1, - 1 y 0, tendremos R(x) = \/x 12

R

con x ± 0

(x) = R( 1/x) = l/(l/x) = x

de donde x y R(x) se hallan en la misma órbita periódica para la función R. Una situación similar se tiene para la función N(x)=-x. Evidentemente 0 es ur. punto fijo para N, pero todos los demás puntos se ubican en un ciclo de período do-. Veamos algunas propiedades de las órbitas periódicas. Supongamos que x > 0 se ubica en una órbita que es un ciclo de período 4. Podemos escribir: xi = F(x () ) x2 = F(x,) = F{2 (x 0 ) x3 = F(x2) = F' 3 (xH) x4 = F(x 3 ) = F (4 (xfl) dado que x tiene período 4. En consecuencia la órbita de x(¡ resulta x 0 , x , , x2, x 3 , x() x¡, x 2 , x 3 , xQ ¿Cómo resultan las órbitas de x , x , x,? También ellas son ciclos, dado que sabemos, por ejemplo, que x¡ = F(x(j) = F (4 (x ) o sea que la órbita de x, es X j , X 2 , X 3 , X() ^ X j , A , , X 3 , X() ^ ^

Por consiguiente, cada punto de un ciclo de período 4 para la función F será también punto fijo para F (4 así como también para F(fl- F I Er forma análoga el lector podrá analizar el sistema dinámico caracterizadc ? : F{x) = cos(x) (ya presentado como ejemplo). 2.7 PUNTOS PERIODICOS ATRACTORES Y REPULSORES Al igual que los puntos fijos, las órbitas periódicas pueden también ser a l t e r a damente atractoras o repulsoras. Consideremos, porejemplo, la función F(x)=Los puntos 1 y -1 corresponden a un ciclo de período 2. Este ciclo es una órb::_ periódica repulsora. Puede comprobarse fácilmente que si lxl>l, \Fin(x)\ —> dc Por otra parte, si bel < 1 es \F'"(x)\ —>0. De ahí que cualquier punto cercan : a +1 ó a -1 tiene una órbita que tiende a alejarse de esos puntos. Finalmente, también podemos deducir que el ciclo es repulsor operando cor F^-(x). Tenemos F{2 (x) = F(-x3) = - (-x3J3 = xv. Tanto x = 1 como x = -1 son punte fijos para F{2, y ambos son claramente repulsores. Puesto que ninguno de ellos son puntos fijos de F, deben por consiguiente determinar un ciclo de período 2. ——

33

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XV, Nro. 58, Diciembre de 2000

Los Problemas en e! Aula de Juan Ángel Foncuberta

LA SEÑORA SOPHIE GERMAIN (1776-1831) Por aquellos años era muy mal visto que una mujer se dedicara a las matemáticas. Por esta razón, Sophie no tuvo acceso a la famosa École Polytechnique de París y se vio obligada durante mucho tiempo a firmar sus trabajos con el seudónimo de Monsieur Le Blanc. Fue discípula de Lagrange y trabajó con Gauss aportando notables contribuciones a la matemática y la física. Más información e interesantes anécdotas sobre esta mujer singular pueden encontrarse en el libro de Simón Singh "El último teorema de Fermat" 1 . - C o m p e t e n c i a e n t r e t r e s especies. Si suponemos que tres especies compiten por los mismos recursos tendremos el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias:

X(t + l)-X(t)= A n X(t)- A lz x(t)x(t)- A13X(t)Y(t)-A14X(t)z(t) Y(t + 1) - Y(t)= A 21 Y(t)- A22Y(t)Y(t)- A 23 Y(t)x(t)- A24Y(t)z(t) z(t + 1)-Z(t) = A„Z(t)-A 32 z(t)z(t)-A„z(t)x(t)-A 34 Z(t)Y(t) Obsérvese que cada especie compite consigo misma y con las demás. En las - guras se ilustran las marchas de las poblaciones a través del tiempo para los Siguientes valores de los coeficientes: A, = 0,2

AJ2 = 0,0001

. 4 . 0 , 0 0 0 2 A24 = 0,0003

A r =0,0001

A,, = 0,0003

A)4 = 0,0004

A,, = 0,3

Ait = 0,2

A}2 = 0,000i

A,,= 0,0001 A =0,0003

:r_ los valores iniciales: X(0)=70, Y(0)=60, X(0) = 50 -Población s u j e t a a explotación. Hemos visto en un artículo anterior que un modelo sencillo pero adecuado de e a m i e n t o de una población cuando se tiene en cuenta la disponibilidad de cursos puede simbolizarse mediante la ecuación diferencial : ¿x dt = r x ( l - x / K )

(1). K mide la capacidad de saturación del medio.

Vemos que para x = K la población detiene su crecimiento y que si x > K ,1a ee crecimiento es negativa. E: máximo de f ( x ) = r x ( l - x / K ) es x = K / 2

y = rx/4

31 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA

Especie Y

3500 3000 2500 2000

- Seriel

1500 1000 500

0 T-^l-NOC C D— CO — i O «•— iC O— tC MC\JL OCM C\J

Especie Z

200

Seriel "|

35

LOS PROBLEMAS EN EL AULA

E j e m p l o : Sea una población de peces descripta por d x / d t = x ( 2 0 - x ) . Este modelo no tiene en cuenta la disminución ocasionada por la pesca. Agregaremos un término que corresponda a las capturas. Por razones de simplicidad supondremos que el nuevo término es una constante. dx /dt = x(20 - x ) - C El segundo miembro simboliza una familia de parábolas. Para hallar los valores de x para los cuales se detiene el crecimiento resolvemos la ecuación y obtenemos: x = (20+ - 7 ( 4 0 0 - 4 0 ) ) / 2 51*20 *• x*2"í-1) * (-1001 **20 + tfTi'Vt * C*50f, ¿"SO * C 100

Raíces 10

80

5,53; 14,47

60

3,68; 16,32

40

2,25;17,75

20 0

1,06; 18,9 0;20

Si C < 1 0 0 hay dos raíces reales. Si C = 100 la parábola representativa de dx/dt es tangente al eje x de la población. Para C > 1 0 0 la curva no tiene puntos comunes con el eje de las x lo que carece de sentido en este problema. Para una pesca C = 100, cualquier pequeña variación puede determinar la marcha hacia la extinción de la especie. También, algún estímulo favorable alienta la recuperación de la población. Estas variaciones pueden suceder por azar, impuestas por resolución de las autoridades limitando las capturas o bien por razones económicas: al disminuir la población resulta más costoso aumentar la cosecha. Si se tiene en cuenta esta última circunstancia el modelo podría mejorarse empleando una función no constante de cosecha. Por ejemplo: d x / d t = r x ( 2 0 - x ) - ( C +0,1 x). Observamos que la captura sólo puede aumentarse si aumenta el número de peces.

JUAN ÁNGEL FONCUBERTA

36

Continuamente se desarrollan modelos como los vistos y otros más complicados donde se tienen en cuenta factores como las utilidades generadas por la pesca D.N.Burghes cita el modelo de 1964 para la Ballena Azul con r = 0,114y K =-2100000 Los puntos como C = 100 se denominan de bifurcación porque pequeñas modificaciones en las cercanías del punto pueden determinar rumbos muy dispares en el curso de los acontecimientos. BIBLIOGRAFIA - Burghes David N. Renewable resource depletion:the conservation problem. (Int J o u r n a l Math.Sci. Technol. (Abril-junio 1980) - Blanchard P., Devaney R.,Hall G.- Ecuaciones diferenciales (International Thomson Editores (1999) RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DEL NÚMERO ANTERIOR 1.- Probar que lH

1 2

+

5

3"

/

1 2

1

1

1

2-

3"

4

Consideramos: f

1+A44+2

3

4

1+1+1+,

3

1+v

2-

\

1

, 1

32

A2

+

y

f

1+1 52

62

1+1+^7

+ -

V

5

por lo tanto:

l \ +f

1

4

2

3

1

+

2

+

1 + 3

= 1

+

3

1

+

1

+

5

Todas las propiedades aplicadas (asociatividad, suma y multiplicación por constante) son lícitas por tratarse de series convergentes. 2.- Resolver la ecuación en diferencias: X(f + l ) - X ( í ) = 6 si x(o) = 2 Solución: X(2n)=4

y

X{2n-í)=2

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.- Hallar una curva para la cual el segmento de la normal en cualquier punto de la misma, comprendido entre los ejes coordenados, esté dividido por ese punto en partes iguales. 2.- Hallar la curva cuya subtangente sea el doble de la abscisa del punto de contacto.

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XV, Nro. 58, Diciembre de 2000

37

Problemas Propuestos para 3 9 ciclo E . 3 . B y Polimodal de Mario C o z z a n i

INTRODUCCIÓN He decidido introducir como variante en esta sección de problemas algunas soluciones propuestas por mis alumnos del "Colegio Secundario Santo Tomás de Aquino". Esto creo que puede ser de utilidad y resultar beneficioso para nosotros, co-mo docentes. Algunas soluciones están personalizadas, porque las considero sencillamente originales. Otras no, porque fueron realizadas en conjunto, entre los alumnos y el profesor.La matemática desde lo elemental hasta lo más complicado requiere de una actitud, creativa y es fundamental el manejo y la utilización de los objetos matemáticos que se han inventado, se inventan o están por inventarse. Ejercicio 1. i) Hallar el área y el volumen de un cubo sabiendo que su diagonal (distancia entre vértices opuestos) vale 8 cm. ii) Hallar el ángulo que forman las diagonales de un cubo, i i i > Hallar las coordenadas de los vértices del cubo. - i v) Verificar la relación entre el número de vértices, aristas y caras de un cubo: V - A + C = 2. v Hallar el área del triángulo AB'C. Clasificarlo. vii Hallar la ecuación del plano que contiene a A, B' y C, siendo A(1,0,0), B'(l,l,l)yC(0,l,0). ñ i Hallar la distancia del punto B al plano obtenido en el punto anterior. *iii Calcular el volumen del tetraedro de base AB'C y vértice B de dos formas distintas. i\

\ li tii

Probar que el plano determinado por O A ' C ' es paralelo al plano determinado por AB'C. Verificar que las rectas A ' B ' y BC son alabeadas. Verificar que las rectas OB' y O'B son coplanares. Mostrar que el punto de intersección re las rectas OB' y O'B es el centro re sravedad del cubo.

38

MARIO COZZANI

SOLUCION: 8cm = OB' = Jx2 + x2 + . r

i)

(8cm)2 = ~OB' = 3x2 64cm 2 = 3x 2 => x = 4,6188 A = 128cm 2

ii)

El vector 0 5 ' = (1,1,l) coscp =

OB'CTB OB

O'B

y

0'fl = ( l , l - l )

1 + 1-1

1

V3-V3

3

f

Í64 A

[64

y

Si el vector OB' f u e r a entonces

V =98,5344cm 3

¡64 O'B,

164

T"vT'

(ps70°,5.

iv) V = vértices = 8 A = aristas = 12 C = caras = 6

-12

+ 6 = 2

Esta relación entre los vértices, aristas y caras de un poliedro se llama relación de Euler (1707-1783). Vale para los poliedros c o n v e x o s , y aún para los no convexos, siempre y cuando no tengan agujeros que vayan de un lado al otro. v)

Área ACB'=-

ACxAB'\ 2

vi)

x+y-z

=l

= -• ¡

S

2

~N = (l,l,-l)= í + ] - k

vii) d = 2 •Jl viii) VT =--V,J =— ( V ' volumen del paralelepípedo) 6 6 Otra f o r m a : VT = 3 Sbase altura:

d{B) =

x+y-z-1 4~3

l.Jl. J_ 3 2 \Í2

=

i 6 1

1+1-0-1 S

^ S

(5(l,l,0))

PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL

ix)

0(000) -x-y

39

c'(on)

a'(ioi) +z =0

N' = (-1,-1,1 ) =

-T-j+k

Ñ//N' entonces se demuestra que los planos son paralelos. x)

La recta A'B'

es

(I)

(xyz)= (lOl)+ A,(010) A'(lOl)

La recta BC es

fi'(lll). (II)

(xyz)= (010)+/(-100)

5(110)

c(oio).

De (I) y (II) obtenemos:

y = 0 + l-X

x = 0-1-1

l = -t

y = 1 + 0-?

X = 1

z = 0 + 0-/

1 = 0 Absurdo

.

Las rectas son alabeadas. ¿Por qué? Tenga en cuenta t = — 1, A,= l . ) 0(0,0,0)

5*(l,l,l)

0'(0,0,l)

5(1,1,0)

La recta OB'

(x, y, z) = A,(l,l,l)

La recta O ' B

(x, y, z)= (0,0,1)+í(l, 1,-1)

De (I) y (II):

x=X

x=t

X=t=\-t

y=X

y=t

2t = 1

z=1

z = l-t

f = 1/2

(I)

1

1

1

(II)

A

Las rectas se cortan en el punto \

J

xii) El centro de gravedad del cubo es: GA + GO + GC + G 5 + GA' + GB' + GC1 + GO' = 0 A + O + C + B + A'+B'+C'+0'= 8 G (1,0,0)+ (0,0,0)+ (0,1,0)+ (1,1,0)+ (1,0,1)+ (1,1,1)+ (0,1,1)+ (0,0,1)= 8 • ~ (4,4,4) = (xG G=

(xc,yG,zG)

,ya,za) ' l v

1

P

2' 2' 2

y

(xG,y0,za)

40

MARIO COZZANI

E j e r c i c i o 2. (*) Calcular el área del triángulo A B C .

y

B'

B

A(-2,0) B(2,4) C(3,-l)

A

C SOLUCIONES a) Solución p r o p u e s t a por la Srta. M a r í a Martha Solé, a l u m n a de 2do. B.O. "A simple vista muevo tres partes del triángulo: AMR AOC' MSCR

hacia hacia hacia

M'R'B C'BB' M'R'ST

L u e g o q u e d a f o r m a d o el rectángulo bxh. 3.4 = 12 equivalente al Área del triángulo ABC." b) El m i s m o p r o b l e m a f u e propuesto en 5to B.O. (Bachillerato orientado) del " C o l e g i o Santo T o m á s de A q u i n o " , equivalente a un 4to año de la escuela clásica. Por Pitágoras calcularon: AB = V4 2 + 4 2 = V32 = 2 2 BC = y¡ f - + 5 2 = V 2 6 AC = Vi 2 +5 2 = a/26 U s a n d o la f ó r m u l a de Herón: A=

p{p - a)(p -b\p

- c)

+ 2V26

'

1

Se propone este ejercicio en 2do B.O. (Bachillerato orientado) equivalente a un 1er año de la escuela clásica del "Colegio Secundario Santo Tomás de Aquino".

PROBLEMAS PARA 3 o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL

41

p = 2V2 + V26 A = V (2V2 + a/26 )• (2V2 + V26 - 4A/2 )• (2V2J A = 7(a/26 + 2A/2)-(A/26-2A/2)-8=V(26-8)-8=A/Í8^8 A = A/Í44 =12

c) Como se observa que BC = AC es ABC un triángulo isósceles. Se calcula el módulo del producto vectorial A = ~ CBxCA CB = (-1,5)

.

C4 = (-5,l) T

j

k

CBxCA = - 1 5 -5 CBxCA

•^24f

0 = & ( - ! + 25) =24-le 1

0 = 24

A = 12 E j e r c i c i o 3 ( t ) Transformar en producto x 2 + 7x + 12 y hallar los ceros. SOLUCIÓN propuesta por el alumno Matías Vicens. x2 +lx+ 12 = x2 +lx +12,25-0,25

= x2 +lx + (3,5)2 -(0,5) 2 =

= x 2 + 2 • 3,5x + (3,5)2 - (0,5)2 = (x + 3,5)2 - (0,5)2 = = (x + 3,5 + 0,5) • (x + 3,5 - 0,5) = (x + 4) • (x + 3) Luego, los ceros son -4 y -3. E jercicio 4(* Calcular la altura de un triángulo equilátero que tiene 27 cm i s perímetro. SOLUCIONES a Propuesta por los alumnos alumnos Juan Ignacio Barreiro y Luis Federico Barutta. 5 ; propone en 3ero B.O. que equivale a 3er. aliño del "Colegio Secundario Santo T o m á s de Aqnino" 5 ; r : ? p o n e en lero B.O. que equivale a 7mo. grado de la escuela clásica del "Colegio Secundario 5 r a : ; Tomás de A q u i n o "

MARIO COZZANI

42

Usando la f ó r m u l a de Herón:

A-

A=

27

\3

27

b) h :

/ n \

3-9

v2y

2

81-V3 _ b a s e x h _ 9 x h 4

h=

27

= 2 7 / 2 , a = b = c = 9cm

2

81-a/3-2 _ 9V3

9-4

~

2

•V3 .

E j e r c i c i o 5. Se p r o p o n e realizar un r a z o n a m i e n t o para probar el f a m o s o T e o r e m a de Pitágoras. S o l u c i ó n del alumno Jorge Drestein (Colegio Nacional Buenos Aires, año 1 972) quien sugiere usar el T e o r e m a de P t o l o m e o . Le p r e g u n t o qué dice dicho teorema y me r e s p o n d e : «en todo cuadrilátero inscriptible en una circunferencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las dos diagonales'. dd'=mq + np» Entonces le pregunto ¿ Q u é r a z o n a m i e n t o utiliza para llegar al T e o r e m a de P i t á g o r a s ? El alumno me responde: Si el cuadrilátero ABCD fuera un rectángulo, como sabemos que todo rectángulo es inscriptible en una circunferencia, entonces estamos en condiciones de elaborar el Teorema de Pitágoras, ya que las dos diagonales son iguales y los lados opuestos también. Luego queda: d2

P'+q2

43

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XV, Nro. 58, Diciembre de 2000

Propuesta Didáctica Coordinadora: Lic. Lucrecia D. Iglesias Autora: Lic. Elisa Quastler

En el presente trabajo la Lic. Quastler propone el estudio de la parábola como forma de representación de una función de segundo grado. La introducción del tema ante los alumnos debe mencionar el gran interés del mismo por las aplicaciones en física, en particular en la mecánica. Pueden citarse como ejemplos la trayectoria de un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba y la trayectoria de un cuerpo que se mueve con movimiento uniformemente variado. En la GUÍA DE TRABAJO que sigue se ofrecen distintos casos particulares para analizar cómo las características de la forma de la parábola corresponden a las características específicas de la función de segundo grado que representa. Para abordar la tarea es necesario que los alumnos dispongan de conocimientos y habilidades previas: - Concepto de función, su fórmula, su representación. - Habilidades para construir gráficos cartesianos. - Habilidades para realizar transformaciones algebraicas elementales con números racionales. - Concepto de simetría, de eje de simetría. - Habilidad para determinar la fórmula de una relación cuya representación es una recta paralela al eje de ordenadas. GUIA DE T R A B A J O 1 Ejercicio 1 a) Lee la siguiente definición: Se llama función

cuadrática

a toda función cuya fórmula puede

ser llevada a la forma: y = ax2 + bx + c,

donde a, b y c son

números racionales y a * 0 . ¿Cuáles de las que siguen son fórmulas que corresponden a funciones cuadráticas? y+ 2 = 3x2 - x

x y = 36

w,2 5

+

z2

1

5

25

y = 0,25 + 0 , 5 0 * + x.2: i

.2

44

LUCRECIA DELIA IGLESIAS

b) En las f u n c i o n e s c u a d r á t i c a s halladas en a) d e t e r m i n a v a l o r e s de a, b y c.

los

c) J u s t i f i c a por qué d e b e ser a * 0 . Ejercicio 2 a) D a d a la f ó r m u l a y = x2 indica qué v a l o r e s de a, b y x le c o r r e s p o n d e n y r e p r e s e n t a la f u n c i ó n c u a d r á t i c a . b) O b s e r v a la r e p r e s e n t a c i ó n , ¿crees que es s i m é t r i c a ? Si es así, indica cuál es el eje de s i m e t r í a y escribe su f ó r m u l a . Ejercicio 3 a) En un m i s m o s i s t e m a de c o o r d e n a d a s r e p r e s e n t a las f u n c i o n e s d a d a s por las f ó r m u l a s : y=x2,

y = 2x2,

y = 3x2,

y = 4x2

b) C o m p a r a los g r á f i c o s : a m e d i d a que el valor de a a u m e n t a ¿qué v a r i a c i ó n ocurre en las p a r á b o l a s ? c) En un s i s t e m a a n á l o g o al de a) r e p r e s e n t a las f u n c i o n e s d a d a s por las f ó r m u l a s : y = -x2,

y = -2x2,

y = -3x2,

y =-4x2

d) C o m p a r a c a d a parábola con la del punto a) que tiene el coeficiente o p u e s t o . ¿Qué relación t i e n e n los gráficos? Si te h a c e falta usa papel de calcar para c o n f i r m a r tus o b s e r v a c i o n e s . Ejercicio 4 a) En el gráfico del ejercicio 3a) r e p r e s e n t a y = 1/2- x2.

¿ C ó m o es

la n u e v a p a r á b o l a en c o m p a r a c i ó n con las a n t e r i o r e s ? b) ¿ C r e e s que p o d r í a s usar papel de calcar para r e p r e s e n t a r t a m bién y = - 1 / 2 - x 2 ? Si es así, hazlo en el gráfico de 3c). c) Para e s t a b l e c e r el c o m p o r t a m i e n t o de las p a r á b o l a s que repres e n t a n f ó r m u l a s del tipo y = ax2

con —1 a 1, elige otros

v a l o r e s de a, c o n s t r u y e los gráficos y a n o t a si se c o n f i r m a lo que o b s e r v a s t e en a) y b) de este ejercicio.

U n a p u e s t a en c o m ú n d e los r e s u l t a d o s d e los e j e r c i c i o s d e la GUÍA 1 d e b e s e r v i r p a r a o r g a n i z a r u n a s í n t e s i s a c e r c a d e las f u n c i o n e s c u y a f ó r m u l a es del t i p o y = ax2,

su c o m p a r a c i ó n c o n y = x2,

etc.

C o m o tarea de síntesis individual cada alumno puede completar un cuadro, e n el q u e las c o l u m n a s s e a n : • condición sobre a (están dadas)

45

PROPUESTA DIDÁCTICA

• fórmula (el alumno escribe un ejemplo no usado antes de una fórmula del tipo y = ax2 que cumple la condición). • gráfico con el de y = x2 (el alumno hace un bosquejo de la representación de su ejemplo de fórmula en un sistema que ya tiene dibujada y = x2). • y = 0 (el alumno indica para qué valor o valores de x es y = 0 )• • signo de y ^ 0 (el alumno indica el o los intervalos en los que y es mayor que 0 y también en los que y es menor que 0). • máximo (el alumno indica si lo hay o no, y si lo hay en qué valor de x ocurre). • mínimo (análogo a máximo). F Ó R M U L A S D E T I P O y = ax2 condición sobre a

a=1

ejemplo de gráfico con fórmula

el de y = x 2

y=0

signo de

máximo

mínimo

y * 0

VY-

a1

Vj

0 a1

V

-1 a 0

V\L

a-1

Vy

Cuando todos hayan completado satisfactoriamente el cuadro el profesor puede institucionalizar el concepto de vértice de una parábola y usar la nomenclatura en preguntas del tipo: ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola que es ejemplo en el segundo renglón del cuadro? ¿Es un máximo o un mínimo? ¿En qué casos del cuadro el vértice es un máximo? ¿En qué casos es un ziínimo?

LUCRECIA DELIA IGLESIAS

46

GUIA DE T R A B A J O 2 Ejercicio 1 ¡A continuación vamos a considerar las funciones cuadráticas en que las fórmulas son del tipo y = x 2 + c (c

0) o y = - x 2 + c (c

0) •

¿Cuáles de las fórmulas que siguen se pueden llevar a la forma y = x 2 + c o y = - x 2 + c con (c ^ 0) ? ¿Qué número es c en cada una?

y = x2 - 1 y = 1 — x2

-x2=^-y *

2

= y ~

y + 4 = (x-2)2

2x2+2y = 2

y - 4 x = (x-2f

2y-(x + 2)z=0

Ejercicio 2 a) Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones dadas por:

y - x2

y = x2 +2

y = x2+4

y = x2 - 1

y = x2 - 3

b) Observa los gráficos de a) y anota cómo influye la variación del coeficiente c e n las parábolas. c) Escribe para cada parábola las coordenadas del vértice, indica si es máximo o mínimo y analiza la simetría. Ejercicio 3 a) Escribe tres fórmulas del tipo y = - x 2 + c y represéntalas en un mismo sistema de coordenadas junto con y = - x 2 . b) y c) Repite los pasos b) y c) del ejercicio 2. d) Compara las observaciones de b) en los ejercicios 2 y 3 y anota conclusiones.

La puesta en común de los resultados de los ejercicios de la guía 2 es un momento adecuado para que los alumnos, organizados en pequeños grupos, propongan qué columnas y qué líneas debiera tener un cuadro de resumen para las características de las funciones dadas por las fórmulas del tipo y = x1 + c (c -t- 0) o del tipo y = - x 2 + c, (c * 0). Cada grupo debiera presentar su propuesta en una hoja de papel grande como para poder examinarlos a la vez y llegar a conclusiones sobre si registran todos los aspectos analizados y si dan cuenta de todos los casos posibles. Si el profesor lo estima conveniente, él puede proveer una sugerencia acerca de qué condiciones resultan de combinar los valores de a con los valores de c: a = 1, a = -1, c 0, c 0 . O sea, las cuatro condiciones que siguen: a= 1, c 0 a = 1, c 0 a = -\, c0 a = -\, c 0 En el próximo número ofreceremos la continuación de la propuesta con nuevas guías que completarán los casos de funciones cuadráticas que faltan y con actividades diferenciadas, necesarias para atender a las diferencias de ritmo de trabajo de los alumnos.

47

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XV, Nro. 58, Diciembre de 2000

Problemas y Soluciones para publicar de Natalio Héctor Guersenzvaig y Daniel Prelat

PROBLEMA 1 Sean al,a2,a3,...,an

«números reales positivos tales que at a2 a,

...an.

Recordemos que las medias aritmética, geométrica y armónica de estos números son: MedArit

(a],a2,...,an)-

al+a2

+ •••+an

MedGeom (a, ,a2,...,an ) = (a, ,a2...an)« MedArm (a,, a2,..,, an) = • MedArit

1

_L JL

1

1

a,

Demostrar que: a MedArm (a,, a2.

2n) MedGeom (at, a2,..., an ) MedArit (a,, a2,..., an) an

que vale una (cualquiera) de las igualdades sii a, = a, = a3 = ... = a n sii valen roJai - las igualdades. La demostración no requiere ningún método trascendente: sólo ingenio e inducción completa (por ejemplo). Aproveche este resultado para resolver el siguiente "problema de extremos condicionados" sin necesidad de multiplicadores de Lagrange (método sencillo para determinar puntos estacionan o s pero no tan sencillo para establecer el carácter extremal de dichos puntos) : j e todos los paralelepípedos rectangulares de área = A (fija), determinar si existe i o existen) el (los) de volumen máximo. Generalice este resultado a paralelepípedos rectangulares /i-dimensionaJes. PROBLEMA 2 En este problema, trabajaremos con curvas y superficies en el espacio tridimensional. Para evitar complicaciones ajenas al problema se pueden considerar a las curvas como trozos de hilo "suficientemente fino" y a las superficies como -minas de goma "suficientemente finas", entendiendo en ambos casos "suficien:emente fino" en el sentido de que no nos interesa el espesor del hilo ni el espesor Je las láminas. Otra cosa que necesitaremos es el concepto de superficie :rientable, que en el caso de superficies en el espacio tridimensional equivale

48

NATALIO HÉCTOR GUERSENZVAIG Y DANIEL PRELA7

(aunque no sea la definición de orientabilidad) a la "bilateralidad", es decir: un¿ superficie en el espacio tridimensional es orientable sii tiene dos lados. El ejemp".: de superficie no orientable más popular es el de la cinta de Moebius. Existe un teorema (de Seifert) que afirma que toda curva cerrada simple en el espacio tridimensional es el borde de alguna superficie orientable. Se trata de un teorema nada trivial que está relacionado con propiedades profundas del espacio euclídeo de tres dimensiones, y suele ser utilizado alegremente sin mención expresa en los cursos elementales de cálculo vectorial. Le propongo al lector que dibuje una superficie orientable que tenga como borde a la curva dada en los dos siguientes casos:

La curva (a) es el borde de una cinta de Moebius. Lo que el lector debe encontrar es una superficie bilátera que la tenga como borde. PROBLEMA 3 Dados tres enteros positivos a, b y c, sea fa fa,hAx)

=

hc

: 9t —»

tal que

e"x+ehx-ec\

Demuestre que las dos siguientes proposiciones son equivalentes: (I) Para todo entero n 3 no existen enteros positivos a, b y c tales que n . tn n a +b =c (II) Para todos a, b y c enteros positivos y para todo n 3 ,1a derivada nésima de fa,h,c en x=0 es no nula. Esta equivalencia (cuya demostración solo requiere métodos elementales de Análisis) es una muestra elemental de las profundas conexiones existentes entre las distintas ramas de la Matemática, en este caso el Análisis y la Aritmética: la proposición (II) se refiere a una propiedad analítica de una combinación lineal de funciones exponenciales y la proposición (I) es el legendario "Teorema de Fermat", como el lector habrá reconocido inmediatamente. Recordemos que este teorema, demostrado recientemente, fue enunciado en el siglo XVII. Por lo tanto si usted encuentra una demostración de (II) (sin utilizar (I), desde luego), la Dirección de la Revista le obsequiará una estadía con todos los gastos pagos en las hermosas playas de Marte, a usted y toda su familia. (Según las últimas observaciones de los observatorios astronómicos, existen algunas playas en Marte tan hermosas como las del Caribe, con hoteles 12 estrellas, locales de fast-food y peloteros para los marcianitos.)

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PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICAR

SOLUCIONES Problemas propuestos en Junio de 2000 Matrices i d e m p o t e n t e s de o r d e n 2 67.- Una matriz cuadrada A, con coeficientes en un campo (cuerpo conmutativo) cualquiera K se dice idempotente si A2 = A. Describa paramétrica e implícitamente las matrices no nulas idempotentes de orden 2 con coeficientes en K que son distintas de ±/ 2 ( ( I 2 ) es la matriz identidad de orden 2) . Solución: Sea A = ^

¿ J * ± / 2 . Dado que el polinomio característico de A

2

de donde sigue A2~(a + d)A + (ad-bc)l2

es p = X ~(a + d)X +(ad-bc),

por el teorema de Hamilton-Cayley, la condición

=0

2

A = A equivale a

(l -a - d)A + (ad - bc)¡ = 0 , a su vez equivalente a a + d = 1, ad-bc = Q porque / , y A son matrices linealmente independientes. Luego las matrices A que verifican alguna de las tres alternativas a = 0, d = 1, be =

0

a ^ 0,1, d=\-a,

a = l, ai = 0,

be = 0

c^0, ¿ = a(l-a)/c

constituyen (verificar esto) la colección de matrices idempotentes de orden 2. Restos y s i s t e m a s lineales 45.- Sean 8 un número real cualquiera y n un entero positivo arbitrario. Determine la verdad o falsedad de la afirmación siguiente: el reesto de dividir e: polinomio complejo P = (eos9 + XsenO)" por Q = X2+1 está dado por c?s!«0)+Zsen(n0). Justifique su respuesta. Solución. Sean C y R = a + bX respectivamente el cociente y resto de divifir " ?or Q = (x + i) (X - i). Luego P = CQ+R , de donde sigue P(± i) = R(±i). Por fórmula de De Moivre resulta a + bi = cos(«9)+sen(«0),

a—bi = cos(«9)-sen(«0)

Luego a=cos(«9),

£=sen(«8),

así que la afirmación del problema es verdadera. s y s i s t e m a s lineales - I _da la transformación lineal T:R3 -R?':T(x, y,z)= (x-y, -

ir las imágenes y preimágenes del plano

y-z,x-z)

NATALIO HÉCTOR GUERSENZVAIG Y DANIEL PRELAT

x+y-3z=0. Solución. El conjunto {v, = (l,-l,0),v2 = (l,2,l)} es una base del plano dado ü . Luego

{r(v,)=(0,1,1,>r(v2)= ( - u o ) } es una base del plano 7*(n) que tiene ecuación x+y-z

=0.

Por otra parte, la preimagen r~'(n) coincide con la preimagen de la intersección de II con la Imagen de T. Por el teorema que relaciona las dimensiones del dominio, núcleo e imagen tenemos que Im(r) = 7 ( n ) . Resolviendo el sistema x + y - 3z = 0,

x + y-z = 0

hallamos que {(l,-l,o)} es una base de la (recta) intersección de n con Im(r). Una solución de r(x,y,z)=( 1,-1,0) es v 3 =(l,0,l). Dado que v 4 =(l,l,l) es una solución de T(x, y, z)= (0,0,0), resulta que la preimagen de ÍI es el plano generado por los vectores v3 y v4 cuya ecuación es x - z = 0 . ——.—————-> — ——'—