Cap´ıtulo 6

Cambio de variable

1.

Particiones de la Unidad En este cap´ıtulo extenderemos la conocida ecuaci´on

(6.1)

Z

g(b)

g(a)

f=

Z

a

b

f ◦ g g0 ,

v´alida para funciones Riemann-integrables f y funciones diferenciables g en un intervalo [a, b]. La extensi´on se tiene que hacer de manera cuidadosa porque, en primer lugar, si g : Rn → Rn es una funci´on diferenciable, entonces su derivada es una transformaci´on lineal, por lo que la ecuaci´on (6.1) ni siquiera tiene sentido sobre un rect´angulo. M´as a´ un, la imagen de un rect´agulo R bajo g, g(R), podr´ıa ser un conjunto no Jordan-medible, por lo cual el lado izquierdo de (6.1) podr´ıa no estar definido. La manera de resolver el problema es extendiendo la integral de Riemann a funciones definidas sobre conjuntos abiertos de manera local. Esto se puede hacer porque, en cada punto de un conjunto abierto U , existe un rect´angulo abierto que lo contiene y a su vez est´a contenido en U . Es decir, de cierta manera dividimos el conjunto U en pedazos donde podemos calcular la integral, y luego ”pegamos”dichos pedazos. La mejor manera de hacerlo apropiadamente es a trav´ez de particiones de la unidad, las cuales definimos a continuaci´on. Definici´ on 6.1. Sea A ⊂ Rn , y sea F una colecci´on de funciones ϕ ∈ C ∞ definidas sobre un conjunto abierto que contiene a A. Decimos que F es una partici´ on de la unidad para A si satisface las siguientes condiciones. 1. Para x ∈ A, ϕ ∈ F, 0 ≤ ϕ(x) ≤ 1. 83

84

6. Cambio de variable

2. Para cada x ∈ A existe un abierto V que contiene a x tal que s´olo un n´ umero finito de las ϕ ∈ F son desiguales a 0 en V . P 3. Para cada x ∈ A, ϕ∈F ϕ(x) = 1.

Como ϕ(x) = 0 excepto para un n´ umero finito de las ϕ ∈ F, la suma en (3) es finita. Sea {Uα } una cubierta para A. Decimos que la partici´on de la unidad F est´a subordinada a {Uα } si, para cada ϕ ∈ F, existe Uα tal que ϕ(x) = 0 para x ∈ / Uα . Es decir, supp ϕ ⊂ Uα . Teorema 6.2. Sea A ⊂ Rn y {Uα } una cubierta para A. Entonces existe una partici´ on de la unidad para A subordinada a {U α }. Para la demostraci´on de este teorema utilizaremos el siguiente lema. Lema 6.3. Sea U ⊂ Rn abierto y C ⊂ Rn compacto tal que C ⊂ U 1. Entonces existe ϕ ∈ C ∞ tal que ϕ ≡ 1 en C y supp ϕ ⊂ U . Demostraci´ on. Sea f : R → R dada por ( − 1 − 1 e (x+1)2 e (x−1)2 f (x) = 0

x ∈ (−1, 1) x∈ / (−1, 1).

Entonces f ⊂ C ∞ , f ≥ 0 y supp f = [−1, 1] (v´ease la figura 1). Tomaremos

-1

1

Figura 1. La fuci´ on f (x) de la demostraci´ on.

F (x) ahora la funci´on F : R → R definida por Z x f −1 F (x) = Z 1 . f −1

Es decir, F es la integral indefinida de f , normalizada para que F (1) = 1. 1Esto se suele escribir como C ⊂⊂ U

85

1. Particiones de la Unidad

-1

1

Figura 2. La funci´ on de clase C ∞ F (x). Nota que F (x) = 0 si x < −1, y F (x) = 1 para x > 1.

Desde luego, tambi´en es de clase C ∞ y no-negativa. V´ease la figura 2. Dado ε > 0, definimos entonces la funci´on F ε dada por  2x − ε  Fε (x) = F . ε Fε es entonces una funci´on no-negativa de clase C ∞ tal que supp Fε ⊂ [0, ε].

Sea ahora x0 ∈ Rn y δ > 0. Definimos la funci´on g(x0 , δ; ·) : Rn → R por  xn − x n   x1 − x 1   x2 − x 2  0 0 0 f ...f . g(x0 , δ; x) = f δ δ δ Tenemos entonces que g(x0 , δ; x) > 0 si x ∈ Rδ (x0 ), donde Rδ (x0 ) es el rect´angulo abierto Rδ (x0 ) = (x10 − δ, x10 + δ) × · · · × (xn0 − δ, xn0 + δ), y g(x0 , δ, x) ≡ 0 fuera de Rδ (x0 ).

Para cada x ∈ C, sea δx > 0 tal que B2δx (x) ⊂ U . Entonces Rδx (x0 ) ⊂ U y la colleci´on {Rδx (x)}x∈C es una cubierta para C. Como C es compacto, existen x1 , ..., xk tales que C ⊂ Rδx1 (x1 ) ∪ . . . ∪ Rδxk (xk ).

Definimos ψ : Rn → R por

ψ(x) =

k X

g(xi , δxi ; x).

i=1

Entonces ψ > 0 en C, y ψ ≡ 0 fuera de supp ψ =

k [

i=1

Sk

i=1

Rδxi (xi ). De hecho,

Rδxi (xi ) ⊂ U.

Como C es compacto, m´ınC ψ > 0. Entonces, si tomamos ε = m´ınC ψ ε > 0, y la funci´on buscada la obtenemos definiendo ϕ = F ε ◦ ψ. 

86

6. Cambio de variable

En esta demostraci´on, podemos observar que C=

k [

i=1

Rδxi (xi ) ⊂

k [

i=1

Rδxi (xi ) ⊂ U.

Como cada Rδxi (xi ) es un rect´angulo abeirto y tenemos una uni´on finita, podemos conclu´ır el siguiente corolario, del cual haremos uso m´as adelante. Corolario 6.4. Sea C ⊂ U ⊂ Rn , tales que C compacto y U abierto. Entonces existe un compacto D tal que C ⊂ D 0 y D ⊂ U . Ahora ya estamos listo para la demostraci´on del teorema referente a particiones de la unidad. Demostraci´ on del teorema 6.2. Separaremos la demostraci´on del teorema en varios varios casos. Caso 1. Suponemos primero que A es compacto. Entonces existen α 1 , ..., αk tales que k [ U αi . A⊂ i=1

Vamos ahora a constru´ır compactos D 1 , ..., Dk tales que A ⊂ D1 ∪ ... ∪ Dk

y

D i ⊂ U αi .

Escogemos primero C1 = A \ (Uα2 ∪ ... ∪ Uαk ).

Tenemos entonces que, como A es compacto y cada U αi es abierto, C es complacto. Adem´as, C1 ⊂ Uα1 , porque los Uαi cubren a A.

Por el corolario 6.4, existe un compacto D 1 tal que C1 ⊂ D10 y D1 ⊂ Uα1 .

Procedemos inductivamente: una vez constru´ıdos D 1 , D2 , ..., Di , tomamos
Ci+1 = A \ D10 ∪ D20 ∪ . . . ∪ Di0 ∪ Uαi+2 ∪ . . . ∪ Uαk .

Entonces Ci+1 es compacto y Ci+1 ⊂ Uαi+1 , y usamos de nuevo el corolario 0 . 6.4 para escogemos un compacto Di+1 ⊂ Uαi+1 tal que Ci+1 ⊂ Di+1

Por el lema 6.3, existen funciones ψ i ∈ C ∞ tales que ψi > 0 en Di y supp ψi ⊂ Uαi . Definimos entonces ϕi : Rn → R por  S ψi  x ∈ ki=1 supp ϕi ϕi = ψ1 + . . . + ψ k  0 de otra forma.

Entonces la colecci´on F = {ϕi : i = 1, 2, . . . , k} es una partici´on para A de la unidad subodinada a {Uα }.

87

1. Particiones de la Unidad

Caso 2. Suponemos ahora que es de la forma A = C 1 ∪ C2 ∪ . . . ,

0 . Definimos entonces, donde los Ci son compactos y, para cada i, Ci ⊂ Ci+1 para cada i, la colecci´on 0 Ci = {Uα ∩ (Ci+1 \ Ci−2 )}α , 0 , y {U } es una cubierta para A, Como Ci ⊂ Ci+1 , Ci−2 ⊂ Ci+1 α α [ 0 0 Ci \ Ci−1 ⊂ Uα ∩ (Ci+1 \ Ci−2 ). α

0 . Por el caso 1, existe Entonces Ci es una cubierta para el compacto Ci \ Ci−1 0 una partici´on de la unidad, a la que llamaremos F i , para cada Ci \ Ci−1 subordinada a Ci .

Supongamos que x ∈ Ci y ψ ∈ Fj . Como Fj est´a subordinada a Cj , 0 existe U ∈ Cj tal que supp ψ ⊂ U ⊂ Cj+1 \ Cj−2 . Como Ci ⊂ Ci+1 , si j − 2 ≥ i entonces ϕ(x) = 0. As´ı que, paraScada x ∈ A, s´olo existe un n´ umero finito de funciones ψ en la colecci´on Fj desiguales a 0 alrededor de x. Podemos definir entonces X σ(x) = ψ(x). ψ∈∪Fj

Esta suma est´a bien definida para cada x porque s´olo tiene un n´ umero finito de sumandos. Entonces, la colecci´on nψ [ o F= :ψ∈ Fj σ es una partici´on de la unidad para A subordinada a {U α }α .

Caso 3. Suponemos ahora que A es abierto. Si A = R n , entonces podemos reducir este caso al anterior simplemente recordando que Rn =

∞ [

Bn (0),

n=1

donde Bn (0) es la bola cerrada, y por lo tanto compacta, de radio n alrededor de 0. Si A no es todo Rn , ∂A 6= ∅. Definimos dist(x, ∂A) = m´ın{|x − y| : y ∈ ∂A}. Entonces, escribimos A=

∞ [

i=1

{x ∈ A : |x| ≤ i, dist(x, ∂A) ≥ 1/i}.

88

6. Cambio de variable

La igualdad la obtenemos porque, como A es abierto, dist(x, ∂A) > 0. Cada conjunto {x ∈ A : |x| ≤ i, dist(x, ∂A) ≥ 1/i} es cerrado y acotado, y por lo tanto compacto, as´ı que hemos reducido al caso anterior. Caso 4. A general. En este caso simplemente tomamos [ B= Uα . α

Entonces B es abierto y contiene a A. Por el caso anterior, existe una partici´on de la unidad para B subordinada a {U α }α . Es claro que tambi´en es una partici´on de la unidad para A, subordinada a la misma cubierta.  Observaci´ on 6.5. De la demostraci´on del teorema 6.2, podemos escoger la colecci´on F de tal forma que sea contable y cada uno de los soportes supp ϕ sea compacto. Usaremos este hecho m´as adelante. Observaci´ on 6.6. Supongamos que C ⊂ A es compacto. Para cada x ∈ C, existe un abierto Vx tal que s´olo un n´ umero finito de las ϕ ∈ F no son cero. Como C es compacto, existen x1 , . . . , xk tales que C ⊂ Vx1 ∪. . .∪Vxk , as´ı que s´olo un n´ umero finito de las ϕ ∈ F no son cero en C.

2.

Extensi´ on de la integral de Riemann

En esta secci´on extenderemos la integral de Riemann a conjuntos abiertos. En el cap´ıtulo anterior lo hab´ıamos hecho a conjuntos Jordan-medibles. Sin embargo, no todos los conjuntos abiertos son Jordan-medibles, as´ı que es necesario extender la definici´on de la integral a´ un m´as. Esto lo haremos a trav´es de las particiones de la unidad, constru´ıdas en la secci´on anterior. Definici´ on 6.7. Sea A ⊂ Rn abierto y {Uα } una cubierta para A. Decimos que {Uα } es admisible si cada Uα ⊂ A. Ejemplo 6.8. Si A es abierto, para cada x ∈ A existe un rect´angulo abierto Rx tal que x ∈ Rx y Rx ⊂ A. Entonces la colecci´on {Rx : x ∈ A} es una cubierta admisible para A. Definici´ on 6.9. Decimos que f : A → R es localmente acotada si, para cada x ∈ A, existe un abierto V tal que x ∈ V y f es acotada en V . Ejemplo 6.10. Las funciones continuas son localmente acotadas. Si f : A → R es continua, para x ∈ A existe un abierto V tal que x ∈ V y |f (y) − f (x)| < 1. Entonces |f (y)| < |f (x)| + 1 para todo y ∈ V , as´ı que f es acotada en V . Ejemplo 6.11. La funci´on f : [0, 1] → R, dada por ( 1 x>0 f (x) = x 0 x=0

89

2. Extensi´on de la integral de Riemann

no es localmente acotada en 0, ya que no existe un conjunto abierto V que contenga a 0 tal que f sea acotada en V . Es posible, de hecho, encontrar una funci´on que no sea localmente acotada en ning´ un punto. Ejemplo 6.12. Sea f : [0, 1] → R dada por ( q x = pq , p, q primos relativos f (x) = 0 x∈ / Q. Esta funci´on no es acotada en ning´ un conjunto abierto.

Sea A ⊂ Rn abierto, y consideramos una funci´on f : A → R localmente acotada tal que {x ∈ A : f es discontinua en x} es de medida cero. Sea {Uα } una cubierta admisible para A y F una partici´on de la unidad para A subordinada a {Uα }. Por la observaci´on 6.5, podemos escoger F tal que sea contable y cada supp ϕ sea compacto; de hecho, de la demostraci´on del teorema 6.2, podemos suponer que los conjuntos supp ϕ son rect´angulos cerrados. Entonces, para cada ϕ ∈ F, la integral Z Z ϕ|f | ϕ|f | = supp ϕ

A

est´a bien definida.

Decimos que f es integrable (con respecto a F) si XZ ϕ|f | < ∞. A

ϕ∈F

Es umero no-negativos R f es integrable (con respecto a F) si la serie de n´ P decir, ϕ|f | converge. Como para cada ϕ ϕ∈F A Z Z ϕ|f |, ϕf | ≤ | A

A

porque ϕ ≥ 0, tenemos que

X Z | ϕf | < ∞

ϕ∈F

y entonces la serie

A

XZ

ϕ∈F

converge absolutamente.

ϕf A

Lo primero que haremos es garantizar que la convergencia de la serie anterior, al igual que su l´ımite, es independiente de la partici´on de la unidad F.

90

6. Cambio de variable

Teorema 6.13. Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto, {Uα } una cubierta admisible para A y F una partici´ on de la unidad subordinada a {U α }. Sea f : A → R integrable (con respecto a F). Entonces, si {V β }β es un cubierta admisible para A y G es una partici´ on de la unidad subordinada a {V β }, entonces f es integrable (con respecto a G) y XZ XZ ϕf. ψf = A

ψ∈G

ϕ∈F

A

Demostraci´ on. Como cada supp ϕ es compacto, por la observaci´on 6.6 s´olo un n´ umero finito de las ϕ ∈ G no es cero, as´ı que la suma X ψϕ ψ∈G

tiene un n´ umero finito de sumandos en supp ϕ. Entonces, para cada ϕ ∈ F Z X Z XZ ϕψ|f |, ψϕ|f | = ϕ|f | = A ψ

A

ψ

A

donde hemos usado el hecho que X

ψ∈G

Como

P

ϕ∈F

R

A

ϕ|f | < ∞ y XZ ϕ∈F

tenemos que

A

ϕ|f | =

ψ ≡ 1.

X XZ

ϕ∈F ψ∈G

ψϕ|f |,

XX Z | ψϕf | < ∞.

ϕ∈F ψ∈G

As´ı que todas las sumas dobles involucradas onvergen absolutamente, por lo que podemos intercambiar las sumatorias. Primero, X XZ XXZ XZ X XZ ψϕ|f | = ϕψ|f | = ϕψ|f | = ψ|f |, ϕ∈F ψ∈G

ψ∈G ϕ∈F

y entonces

ψ∈G

XZ ψ

ϕ∈F

ψ∈G

ψ|f | < ∞.

As´ı que ya sabemos que f es integrable (con respecto a G). De igual forma, XXZ X XZ ψϕf. ψϕf = ϕ∈F ψ∈G

ψ∈G ϕ∈F

91

2. Extensi´on de la integral de Riemann

La suma de la izquierda es igual a XZ X XZ XZ X ψϕf = ϕf, ψϕf = ϕ∈F ψ∈G

ϕ∈F

ϕ

ψ∈G

mientras que la de la derecha es igual a XXZ XZ X XZ ψϕf = ϕψf = ψf. ψ∈G ϕ∈F

Por lo tanto

ψ∈G

XZ

ϕ∈F

ϕf =

ϕ∈F

XZ

ψ∈G

ψf.

ψ∈G



Este teorema entonces nos permite conclu´ır que la integrabilidad es independiente de la partici´on, por lo que no es necesario hacer referencia a ella, y simplemente diremos, si f es integrable con repsecto a alguna partici´on en particular, que es integrable. Si A ⊂ Rn es abierto y f : A → R es integrable, definimos la integral de f sobre A como Z XZ f= ϕF, A

ϕ∈F

A

donde F es una partici´on de la unidad para A subordinada a alguna cubierta admisible.

Ahora demostraremos que esta definici´on extiende la integral de Riemann a conjuntos abiertos. Teorema 6.14. Si A es un conjunto abierto Jordan-medible y f : A → R integrable y acotada. Entonces Z Z f= χA f, A

R

donde la integral del lado derecho es la integral de Riemann sobre un cualquier rect´ angulo R ⊃ A. En el teorema simplemente hemos extendido la funci´on f a R tal que f (x) = 0 si x ∈ R \ A. Como el conjunto de discontinuidades de f en A tiene medida 0, su extensi´on a R de esa forma tambi´en tiene conjunto de discontinuidades de madida 0, ya que la u ´ nica diferencia son, a lo m´as, los puntos en ∂A, y tal conjunto tiene medida 0 porque es Jordan-medible. N´otese que tenemos que asumir que la funci´on f es acotada para poder calcular su integral de Riemann.

92

6. Cambio de variable

Demostraci´ on. Sea ε > 0 y C un conjunto compacto Jordan-medible tal que Z 1 < ε. A\C

Tal conjunto existe por la proposici´on 5.35. Por la observaci´on 6.6, el conjunto F = {ϕ ∈ F : ϕ|C 6≡ 0} es finito. Entonces Z  Z Z X  X XZ χA − ϕ |f | ϕf ) ≤ ϕf = (χA f − χA f − R

ϕ∈F

R

A

≤M

R

ϕ∈F

Z  A

ϕ∈F

X  1− ϕ , ϕ∈F

donde M > 0 es una constante tal que |f (x)| ≤ M . Como X ϕ≡1 ϕ∈F

y ϕ|C ≡ 0 si ϕ ∈ / F , tenemos que Z Z XZ χA f − ϕf ≤ M R

ϕ∈F

A

X

A\C ϕ∈F /

ϕ≤M

Z

1 < M ε. A\C

Como ε > 0 es arbitrario,

XZ ϕ

A

ϕf =

Z

χA f. R

 El teorema 6.14 nos garantiza que la nueva integral, definida en conjuntos abiertos a trav´es de particiones de la unidad, es efectivamente una extensi´on de la integral de Riemann. De hecho, si A es acotado, entonces cualquier funci´on Riemann integrable sobre un rect´angulo R ⊃ A es integrable en este sentido. Proposici´ on 6.15. Si A es abierto y acotado y f : A → R tiene discontinuidades de medida cero y es acotada, entonces es integrable. Demostraci´ on. Sea R un rect´angulo tal que A ⊂ R. Como f es acotada, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ A. Si tomamos F ⊂ F finito, entonces Z X Z X Z XZ 1 = M · v(R). ϕ|f | ≤ M ϕ=M ϕ≤M ϕ∈F

A

A ϕ∈F

R ϕ∈F

R

93

3. Cambio de Variable

Como F es arbitrario, podemos conclu´ır que la serie XZ ϕ|f | A

ϕ∈F

converge.



De esta proposici´on conclu´ımos, por ejemplo, que todas las funciones continuas acotadas sobre conjuntos abiertos acotados son integrables. A continuaci´on presentamos un ejemplo de una funci´on no acotada que es integrable. Ejemplo 6.16. Consideremos la funci´on f : (0, 1) → R dada por 1 f (x) = √ . x

Sea F una partici´on de la unidad subordinada a la cubierta admisible formada por los conjuntos  1 1  Un = n+1 , n−1 , n = 1, 2, . . . . 2 2 Podemos suponer que F = {ϕn : n = 1, 2, . . .}, donde cada supp ϕn ⊂ Un . Entonces Z Z 1/2n−1 √ Z 1 3 √ dx ≤ 2n+1 = √ ϕn f ≤ , x 2n+1 Un 1/2n+1 (0,1) y por lo tanto XZ

ϕ∈F

(0,1)

As´ı que f es integrable.

3.

ϕf ≤

∞ X

3 √ < ∞. n+1 2 n=1

Cambio de Variable

Ahora estamos listos para establecer y demostrar la versi´on de cambio de variables en Rn . Teorema 6.17. Sea A ⊂ Rn abierto, g : A → Rn de clase C 1 , inyectiva y tal que detg 0 (x) 6= 0 para todo x ∈ A. Entonces Z Z (6.2) f= f ◦ g| det g 0 |, g(A)

A

para toda funci´ on integrable f : g(A) → R. Antes de proceder a la demostraci´on del teorema 6.17, hagamos algunas observaciones. Por el teorema de la funci´on inversa, la imagen del conjunto abierto A, bajo la funci´on de clase C 1 g, es abierto, as´ı que la integral del

94

6. Cambio de variable

lado derecho de (6.2) tambi´en debe entenderse en el sentido extenso de la secci´on anterior. Tambi´en observamos que, mientras que en la versi´on unidimensional del teorema 6.17, es decir la ecuaci´on (6.1), la composici´on f ◦g est´a multiplicada por g 0 (x), aqu´ı est´a multiplicada por el determinante del Jacobiano g 0 (x). Demostraci´ on. Para la demostraci´on del teorema 6.17, primero haremos una serie de reducciones. Paso 1. El teorema es cierto si existe una cubierta admisible {U α } para A tal que Z Z f ◦ g|det g 0 | f= Uα

g(Uα )

para todo α y toda funci´on integrable f . Como cada g(Uα ) es abierto, por el teorema de la funci´on inversa, la colecci´on {g(Uα )} es tambi´en una cubierta admisible para g(A). Sea F una partici´on de la unidad para g(A) subordinada a {g(U α )}. Entonces, para cada ϕ ∈ F, existe α tal que supp ϕ ⊂ g(U α ). As´ı que supp(ϕ ◦ g) ⊂ Uα y Z Z (ϕf ) ◦ g|det g 0 | ϕf = Uα

g(Uα )

es equivalente a Z

ϕf =

g(A)

Entonces Z XZ f= g(A)

ϕ∈F

ϕf =

g(A)

Z

A

XZ

ϕ∈F

(ϕ ◦ g)(f ◦ g)|det g 0 |.

A

(ϕ ◦ g)(f ◦ g)|det g 0 | =

Z

A

f ◦ g|det g 0 |.

Es f´acil ver ahora que el teorema tambi´en se sigue si existe una cubierta admisible {Vβ } es para g(A) tal que Z Z f ◦ g|det g 0 |, f= Vβ

g −1 (Vβ )

para todo β y toda f integrable. Paso 2. Es suficiente con demostrar el teorema para el caso f ≡ 1. Si el teorema es cierto para la funci´on constante igual a 1, la linealidad de la integral implica que tambi´en es cierto para cualquier funci´on constante.

95

3. Cambio de Variable

Ahora bien, sea V un rect´angulo en g(A), y sea P una partici´on de V . Entonces, si f es una funci´on acotada en V , Z X X L(f, P) = mS (f )v(S) = mS (f ) 1 S∈P

=

X

mS (f )

S∈P

=

XZ

S∈P

≤

XZ

S∈P

S0

S∈P

Z

g −1 (S 0 )

g −1 (S 0 )

g −1 (S)

1 ◦ g| det g 0 |

mS (f ) ◦ g| det g 0 |

f ◦ g| det g 0 | =

Z

g −1 (V

)

f ◦ g| det g 0 |.

An´alogamente, para U (f, P) obtenemos Z f ◦ g|det g 0 |. U (f, P) ≥ g −1 (V )

Por lo tanto, si f es integrable en A y acotada en V , Z Z f ◦ g|det g 0 |. f= V

g −1 (V )

Como los rect´angulos abiertos en g(A) forman una cubierta admisible para g(A), el teorema es verdad por el Paso 1. Paso 3. Si g(A) ⊂ B y el teorema es cierto para g : A → R n y h : B → Rn , entonces es cierto para h ◦ g : A → Rn . Esto se sigue de la aplicaci´on del teorema para cada una de las funciones, es decir, Z Z Z f ◦ h| det h0 | f= f= g(A) h(g(A)) h◦g(A) Z Z 0 0 f ◦ (h ◦ g)| det(h ◦ g)0 |, f ◦ (h ◦ g)| det h (g)|| det g | = = A

A

donde tambi´en hemos usado la regla de la cadena. Paso 4. El teorema es verdad si g es lineal.

Esto se sigue del ejercicio 3 y del Paso 2, porque Z Z Z 1 = | det g|v(R) = 1 ◦ g| det g| = 1 ◦ g| det g 0 |. g(R)

R

R

Tambi´en hemos usado el hecho que, si g es lineal, Dg = g. Ahora procedemos a la demostraci´on del teorema, la cual se lleva a cabo por inducci´on en n, la dimensi´on del espacio.

96

6. Cambio de variable

Si n = 1, entonces simplemente tenemos la ecuaci´on (6.1). Suponemos entonces que el teorema es verdad para n − 1.

Sea x0 ∈ A. Por el Paso 1, es suficiente con encontrar una vecindad U de x0 tal que Z Z |det g 0 |. 1= U

g(U )

Adem´as, por los pasos 3 y 4, podemos suponer que g 0 (x0 ) = In . Definimos h : A → Rn por h(x) = (g 1 (x), g 2 (x), . . . , g n−1 (x), xn ). Entonces h0 (x0 ) = In . Por el teorema de la funci´on inversa, existe una vecindad U1 ⊂ A de x0 tal que h es 1 − 1 en U1 y det h0 (x) 6= 0 para todo x ∈ U1 . Definimos ahora k : h(U1 ) → Rn por

k(y) = (y 1 , y 2 , . . . , y n−1 , g n (h−1 (y))). Entonces k ◦ h = g y, si y0 = h(x0 ), (g n ◦ h−1 )0 (y0 ) = (g n )0 (x0 ) = (0, . . . , 0, 1), as´ı que k 0 (y0 ) = In . Por el teorema de la funci´on inversa, existe una vecindad V ⊂ h(U 1 ) de h(x0 ) = y0 tal que k es 1 − 1 en V y det k(y) 6= 0 para todo y ∈ V . Sea U = h−1 (V ). Tenemos entonces que h(U ) ⊂ V , h : U → R n , k : V → Rn , y g = k ◦ h. Por el Paso 3, es sufiente con demostrar el teorema para h y para k. Procedemos primero para h. Sea W = R × [a n , bn ] un rect´angulo en U , donde R es rect´angulo apropiado en R n−1 . Queremos entonces mostrar Z Z 1= | det h0 |. h(W )

Por el teorema de Fubini, Z Z 1= h(W )

W

[an ,bn ]

Z

h(R×{xn })

 d¯ x dxn ,

donde hemos escrito, para simplificar la notaci´on, x = (¯ x, x n ). Si escribimos n x) = h(¯ x, x ), nuestra hip´otesis de inducci´on implica que hxn (¯ Z Z Z d¯ x= d¯ x= |det h0xn |. h(R×{xn })

hxn (R)

R

97

3. Cambio de Variable

Entonces Z

1=

h(W )

Z

[an ,bn ]

=

Z

Z

R×[an ,bn ]

R

| det h0xn |

| det h0 | =



Z

n

dx =

W

Z

[an ,bn ]

Z

R

 | det h0 | dxn

| det h0 |.

La demostraci´on para la funci´on k es muy similar. Tomamos ahora un rect´angulo W = S × [cn , dn ] ⊂ V . De nuevo, por el teorema de Fubini, Z Z Z  1= x 1dxn d¯ S k(W ) k({¯ x}×[cn ,dn ]) Z Z  | det kx0¯ |dxn d¯ x, = [cn ,dn ]

S

(xn )

donde hemos escrito kx¯ = k(¯ x, xn ) = k(x). El teorema se sigue entonces 0 n 0 porque det kx¯ (x ) = det k (x).  Consideremos, por ejemplo, la transformaci´on g : R+ × (0, 2π) → R2 dada por g(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). La imagen de g est´a dada por el plano R 2 excepto el eje x positivo, como se ve en la figura 3. g(A)

Figura 3. La imagen del domino A = R+ × (0, 2π) bajo la transformaci´ on g.

Es claro que g es inyectiva. Su Jacobiano en cada punto (r, θ) est´a dado por 0

g (r, θ) =



 cos θ −r sen θ , sen θ r cos θ

98

6. Cambio de variable

as´ı que det g 0 = r > 0 para todo (r, θ) ∈ R+ × (0, 2π). La transformaci´on g describe al plano R 2 en coordenadas polares. Si 0 < r1 < r2 , 0 < θ1 < θ2 < 2π y B es el arco de anillo
g (r1 , r2 ) × (θ1 , θ2 ) ,

el teorema 6.17 implica que Z Z Z 0 f= f ◦ g|det g | = B

[r1 ,r2 ]×[θ1 ,θ2 ]

f (r cos θ, r sen θ)rdrdθ, [r1 ,r2 ]×[θ1 ,θ2 ]

para cualquier funci´on f integrable en B. Ejemplo 6.18. El uso de coordenadas polares nos permite calcular expl´ıcitamente, por ejemplo, integrales que el simple uso del teorema fundamental del c´alculo no es suficiente. Por ejemplo, consideremos la integral impropia Z ∞ Z N 2 −x2 e dx = l´ım e−x dx. N →∞ −N

−∞

La idea es utilizar coordenadas polares para evaluar esta integral. Lo primero que debemos hacer es relacionarla con una integral sobre alg´ un conjunto en R2 . Esto se logra reescribiendo el cuadrado de la integral de la siguiente forma: Z N Z N 2 Z N 2 −x2 −x2 e dx = e dx e−y dy −N

= =

Z

Z

−N N

−N N −N

Z

Z

N

−N N

−N

 2 2 e−x dx e−y dy

e−(x

2 +y 2 )

−N

Por el teorema de Fubini, esta integral es igual a Z F,

 dx dy

[−N,N ]×[−N,N ]

2

2

donde F : R2 → R est´a dada por F (x, y) = e−(x +y ) . Llamamos R = [−N, N ] × [−N, N ]. Entonces, como F es positiva, Z Z Z F, (6.3) F ≤ F ≤ BN (0)

R

B√2N (0)

donde BN (0) y B√2N (0) son los discos alrededor de 0 de radio N y respectivamente, como en la figura 4. Demostraremos que el l´ımite

√

2N ,

99

3. Cambio de Variable

N

2

N N

−N

−N

Figura 4. Los discos BN (0) y B√2N (0) alrededor de 0 de radio N y √ 2N , respectivamente. Se observa que BN (0) ⊂ R ⊂ B√2N (0).

l´ım

Z

N →∞ BN (0)

F

existe, y lo calcularemos expl´ıcitamente. Primero, observemos que BN (0) = g((0, N ) × (0, 2π)) ∪ S donde S es un conjunto de contenido cero. Entonces, por el teorema 6.17, Z Z F (r cos θ, r sen θ)rdrdθ. F = (0,N )×(0,2π)

BN (0)

Como F (x, y) = e−(x

2 +y 2 )

, 2

F (r cos θ, r sen θ) = e−r , as´ı que

Z

F =

BN (0)

Z

2

e−r rdrdθ.

(0,N )×(0,2π)

Por el teorema de Fubini, Z N  Z 2π Z Z  2 F = e−r rdθ dr = BN (0)

0

0

As´ı que

l´ım

Z

N →∞ BN (0)

N 0

2

F = π.

Por las desigualdades (6.3), podemos conclu´ır que Z N 2 2 l´ım e−x dx = π, N →∞

−N

y por lo tanto

l´ım

Z

N

N →∞ −N

2

e−x dx =

2

2πe−r rdr = π(1 − e−N ).

√ π.

100

4.

6. Cambio de variable

El teorema de Sard

Teorema 6.19 (Sard). Sea A ⊂ Rn abierto y g : A → Rn de clase C 1 . Sea B = {x ∈ A : det g 0 (x) = 0}.

Entonces g(B) es de medida cero. Demostraci´ on. Sea R ⊂ A un rect´angulo cerrado de lados con longitud L. La demostraci´on se sigue de las siguientes tres observaciones: 1. Existe M > 0 tal que, para todo x, y ∈ R, |g(x) − g(y)| ≤ M |x − y|. 2. Para todo ε > 0, podemos subdividir R en N n subrect´angulos, de lados con longitud L/N , tales que si x y y pertenecen a uno de estos subrect´angulos, |g(x) − g(y) − Dg(x)(x − y)| < ε|x − y|. 3. A puede ser cubierto por un n´ umero contable de rect´angulos R. La primer observaci´on se sigue del hecho que g es continuamente diferenciable, la compacidad de R, y del lema 3.25. La segunda, de la definici´on de la derivada y, de nuevo, de la compacidad de R. La u ´ ltima, s´olo que tenemos que restringirnos a rect´angulos R cuyos v´ertices tienes coordenadas racionales. Demostraremos entonces que g(R ∩ B) tiene medida cero.

Sea ε > 0, y tomemos S uno de los rect´angulos de la observaci´on (2) tal que S ∩ B 6= ∅. Si x ∈ S ∩ B, entonces det g 0 (x) = 0 y Dg(x)(x − y) pertenece a un subespacio V de dimensi´on menor o igual a n − 1 en R n . Si v = Dg(x)(x − y) y y ∈ S,

√ L |g(x) − g(y) − v| < ε n , N √ ε nL es decir, g(x) − g(y) est´a a distancia menor que de v, es decir, g(y) N √ ε nL est´a a distancia de v + g(x). Pero, por la observaci´on (1), N √ L |g(x) − g(y)| ≤ M n , N

as´ı que g(y) pertenece a un rect´angulo en R n que tiene como “base” un rect´angulo de dimensi´on n − 1, cuyos lados miden √ L 2M n , N

101

Ejercicios √ L y cuya “altura” mide 2ε n N . As´ı que este rect´angulo tiene volumen  √ L  √ L n−1 ε = C n, 2× ε n 2M n N N N donde C no depende de ε ni de N .

Hemos demostrado entonces que, si S ∩ B 6= ∅, g(S) est´a contenido en un rect´angulo de volumen Cε . Nn Como a lo mas hay N n de esos subrect´angulos, g(R ∩ B) est´a contenido en una uni´on de rect´angulos cuyos volumenes suman a lo m´as Cε. Como ε es arbitrario, g(R ∩ B) es de medida cero.  El teorema de Sard, entre otras cosas, nos permite generalizar el teorema de cambio de variables 6.17 al caso cuando det g 0 (x) = 0 en algunos puntos. V´ease el ejercicio 4.

Ejercicios 1. Muestra que, si p < 1, la funci´on f p : (0, 1) → R dada por fp (x) =

1 xp

es integrable, y calcula Z

fp .

(0,1)

2. Sea f : (a, b) → R continua tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b). Muestra que f es integrable si y s´olo si Z l´ım f ε→0 [a+ε,b−ε]

existe. 3. Sea T : Rn → Rn una transformaci´on lineal y R ⊂ Rn un rect´angulo. a) Muestra que si ( ei i 6= j T (ei ) = λej i = j, entonces el volumen de T (R) es |λ|·v(R), donde v(R) es el volumen de R. Aqu´ı e1 , . . . , en es la base est´andar de Rn .

102

6. Cambio de variable

b) Muestra que si   ei T (ei ) = ek   ej

entonces v(T (R)) = v(R). c) Muestra que si ( T (ei ) =

i 6= j, k i=j i = k,

ei ej + e k

i 6= j i = j,

entonces v(T (R)) = v(R). d) Concluye que v(T (R)) = | det T | · v(R) para toda transformaci´on lineal T . 4. Utiliza el teorema de Sard para evitar la hip´otesis det g 0 (x) 6= 0 en el teorema 6.17.