TTeem Essttááttiiccaa ddee llooss fflluuiiddooss maa 1166..-- E 0B

§16.1.- Los fluidos como medios continuos. 16.1.a. Propiedades mecánicas Un fluido es una sustancia  que puede fluir  que carece de forma fija, de modo que adopta la del recipiente que la contiene.

esfuerzo cortante

El término fluido se aplica a los líquidos y a los gases. Los sólidos  poseen elasticidad de volumen  poseen elasticidad de forma (rigidez). esfuerzo cortante

Los fluidos  sólo poseen elasticidad de volumen  carecen de elasticidad de forma (rigidez) Lo que representa que:

 En los fluidos no aparecen esfuerzos cortantes recuperadores.  Los fluidos son sustancias incapaces de resistir fuerzas o esfuerzos cortantes. 16.1.b. Fuerzas intermoleculares Líquidos: poco compresibles, existencia de superficie libre. Gases: muy compresibles, volumen indefinido. Gases perfectos: pV = nRT

 r=

pM RT

R = 8.31´103 J/kmol ⋅ K

16.1.c. Medios continuos Aunque los fluidos poseen una estructura discreta (se componen de moléculas que se mueven y colisionan constantemente), vamos a considerarlos los fluidos como medios continuos (medios materiales sin espacios vacíos o soluciones de continuidad). Utilizaremos términos como: partícula fluida, elemento de fluido, volumen de control,…

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§16.2.- Fuerzas másicas y superficiales. Presión. Entre las fuerzas másicas se incluyen aquellas fuerzas exteriores que actúan sobre el fluido sin contacto directo con el mismo. La fuerza másica más común es el propio peso del fluido. Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre el contorno de un elemento de fluido por el resto del fluido o cualquier otro material (v.g., las paredes del recipiente,...) mediante contacto directo. Presión  Los fluidos en equilibrio deberán estar libres de esfuerzos cortantes.  La superficie que delimita cierto volumen de fluido sólo soportará esfuerzos normales, bien sean tensores o compresores.  La situación práctica más frecuente corresponde a los esfuerzos normales compresores. Definimos la presión como la fuerza de compresión normal por unidad de área que actúa sobre una superficie sumergida en un fluido. La presión en un punto queda definida mediante el proceso de paso al límite cuando imaginamos el área sobre la que actúa el esfuerzo normal compresor cada vez más pequeña, pero conteniendo siempre al punto P.

ΔS

fuerza

F dF = ΔS 0 ΔS dS

p = lim

La presión es una magnitud escalar a pesar de que la fuerza sea una magnitud vectorial. Sus unidades son el newton/metro cuadrado (N/m2), que recibe el nombre de pascal (Pa). La presión en un punto de un fluido en equilibrio es independiente de la orientación del elemento de superficie sobre el que se defina.

P

La presión en un punto de un fluido en equilibrio es isotrópica y recibe el nombre de presión hidrostática; y también el de presión. La presión toma un valor único en cada punto y variará, en general, de un punto a otro. Así pues, tenemos una distribución de presiones dada por una función escalar de punto p(x,y,z) que nos define un campo escalar de presión.

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Conocido el campo escalar de presión, p(x,y,z), podemos calcular la fuerza neta superficial que actúa sobre el contorno de una porción de fluido. Consideremos un elemento de superficie dS sobre el contorno del volumen V; convencionalmente, tomamos dS dirigido hacia el exterior. La fuerza superficial elemental que actúa sobre dS es dF = - pdS siendo p la presión en el punto P. La fuerza que actúa sobre una superficie abierta S’ será F = -ò pdS S'

y la fuerza que actúa sobre toda la superficie cerrada S que delimita al volumen V será F = -ò  pdS S

§16.3.- Estática de los fluidos en el campo de la gravedad.  La presión es función de z; esto es, p(z).  Fuerza neta hacia arriba = F1 - F2  Fuerza neta horizontal = 0 (por simetría)

z

F2 p + Δp

p dS - ( p + dp )dS = éë p - ( p + dp )ùû dS = r g dS dz \

p

-dp = r g dz

F1

Ecuación diferencial de la estática de fluidos en un campo gravitatorio.

Gradiente de presión:

-

x

y

dp = rg dz

Integrando:

ò

p2 p1

z2

dp = -ò r g dz = -r g ò z1

z2 z1

dz 

p2 - p1 = -r g ( z2 - z1 )

Obtenemos la ecuación fundamental para un fluido homogéneo (densidad constante) en un campo gravitatorio uniforme: p1 + r gz1 = p2 + r gz2

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

p + r gz = cte.

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§16.4.- Principio de Pascal.

La diferencia de presión existente entre dos puntos P1 y P2 en el seno de un fluido en equilibrio, tales que puedan unirse mediante una trayectoria que se encuentre dentro del fluido, viene dada por p2 - p1 = -r g ( z2 - z1 ) Por consiguiente, cualquier cambio de presión en un punto de un fluido estático implicará un cambio exactamente igual en todos los demás puntos del fluido siempre que el fluido pueda considerarse como incompresible. Este resultado fue enunciado por Blaise PASCAL, en 1653: Todo cambio de presión en un punto de un fluido incompresible confinado en un recipiente se transmite íntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene. Pascal puso en evidencia su célebre principio por medio de un curioso experimento; hizo que se abrieran las duelas de un tonel, sólidamente construido y lleno de agua, por cuya cubierta superior penetraba un tubo muy estrecho y muy alto, sin más que llenar de agua el tubo, i.e., añadiendo al peso total un peso insignificante. Las paredes del tonel portaban entonces las mismas presiones que si hubiesen tenido encima una masa de agua cuya base fuera la del tonel y su altura la del tubo. De este modo, un kilogramo de agua puede producir el mismo efecto que miles de kilogramos.

El principio de Pascal queda ilustrado en el funcionamiento de la prensa hidráulica, dispositivo en el que nos servimos de un pistón de pequeño diámetro para ejercer una fuerza pequeña directamente sobre la superficie de un líquido (agua, aceite,...). La presión se transmite a través del fluido al cilindro de mayor diámetro, equipado con el correspondiente pistón; de modo que p=

F1 F2 = A1 A2



F2 A2 = >1 F1 A1

 Por tanto, la prensa hidráulica es una máquina para multiplicar la fuerza por un factor igual a la razón de áreas de los pistones.  Resulta fácil comprobar que los trabajos realizados por F1 y F2 son iguales y de signos opuestos, de modo que no se economiza energía con esta máquina.

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§16.5.- Ejemplos de aplicación 16.5.a. Líquidos homogéneos

Midiendo las cotas desde la solera: 1 → 2: p1 + r gz1 = p2 + r gz2 Si un líquido tiene una superficie libre, ésta será el nivel de referencia natural para medir distancias verticales (profundidades). 1 → 2: p1 - r gh1 = p2 - r gh2 0 → P: p0 - r gh0 = p - r gh 

p = p0 + r gh

La presión es la misma en todos los puntos situados a la misma profundidad, con independencia de la forma del recipiente que contenga al fluido. 16.5.b. Líquidos no homogéneos

Si las dos ramas de un tubo U en contuvieran dos líquidos inmiscibles de diferentes densidades (v.g., agua y aceite), la presión sería diferente en el mismo nivel en cada una de las ramas.

ì(A  C) ï ï ï í ï C  B) ï ï î(

pA + r1 gz = pC pC = pB + r2 gz



pA + r1 gz = pB + r2 gz pA - pB = (r2 - r1 ) gz > 0

Por otra parte: ì ï (1  C) ï ï í ï C  2) ï ï î(

p0 + r1 gz1 = pC pC = p0 + r2 gz2

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 r1 gz1 = r2 gz2



r1 z2 = r2 z1

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§16.6.- Presión atmosférica.

El peso de la atmósfera origina lo que llamamos presión atmosférica. La presión atmosférica en un punto es numéricamente igual al peso de una columna de aire de área de sección recta unitaria que se extiende desde ese punto hasta el límite superior de la atmósfera. En 1643, Evangelista TORRICELLI ideó un método para medir la presión atmosférica y construyó el primer barómetro de mercurio. Consiste en un tubo largo de vidrio, de unos 100 cm de longitud, cerrado por uno de sus extremos, que se llena completamente de mercurio. Evitando que se vierta el mercurio (tapando el extremo abierto del tubo se invierte el tubo y se introduce su extremo abierto en una cubeta que contiene mercurio, situando el tubo en posición vertical.

Torricelli observó que el nivel del mercurio descendía dentro del tubo hasta que quedaba una columna (columna barométrica) de unos 760 mm de altura sobre el nivel del mercurio en la cubeta. El espacio que se forma sobre la columna de mercurio (cámara barométrica) sólo contiene vapor de mercurio, cuya presión podemos despreciar por ser muy pequeña a las temperaturas ordinarias.

La diferencia de niveles (h) del mercurio en el tubo y en la cubeta permite calcular la presión atmosférica. patm = r gh donde ρ es la densidad del mercurio a la temperatura correspondiente a la realización de la experiencia. Barómetro aneroide

Consiste en una caja metálica (C), aplanada, de forma circular y tapa ondulada, cerrada herméticamente y en la que se ha hecho el vacío; se evita el aplastamiento de la caja colocando un resorte adecuado (R). Cuando la presión atmosférica varía, la deformación del resorte se modifica. Dicho cambio es amplificado y transmitido, mediante un dispositivo mecánico adecuado (D), a una aguja indicadora (A) que puede moverse frente a una escala que se ha calibrado por comparación con un barómetro de mercurio.

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La presión atmosférica decrece a razón de 1 mmHg por cada 10 m de elevación en los niveles próximos al del mar. En la práctica se emplean unos instrumentos, llamados altímetros, que son simples barómetros aneroides calibrados en alturas; estos instrumentos no son muy precisos.

§16.7.- Unidades de presión.

1 atm = 760 Torr = 13 596

kg m ´ 9.806 2 ´ 0.760 m = 101325 Pa 3 m s

Definición nombre Sistema Internacional (S.I.) N/m2 pascal 2 Sistema cegesimal dyn/cm baria bar milibar kg/m2

Sistema técnico

símbolo Pa ---bar mbar

atmósfera técnica at atmósfera atm

equivalencia 1 Pa = 10 barias 1 baria = 0.1 Pa 1 bar = 106 barias 1 bar = 105 Pa 1 mbar = 1000 barias 1 mbar = 1 hPa 1 at = 0.968 atm 1 atm = 1013.25 hPa 1 atm = 760 Torr

La presión atmosférica estándar equivale a 101 325 Pa (1013 hPa o mbar). Pa baria bar atm at Torr m.c.a. 1 10 10-5 9.869×10-6 1.0197×10-5 7.5006×10-3 1.0197×10-4 1 Pa = 0.1 1 10-6 9.869×10-7 1.0197×10-6 7.5006×10-4 1.0197×10-5 1 baria = 6 1 0.9869 1.0197 750.06 10.197 100 000 10 1 bar = 101 325 1 013 250 1.0132 1 1.0332 760 10.33 1 atm = 98 067 980 665 0.9807 0.9678 1 735.6 9.997 1 at = 1333.2 0.001333 0.00132 0.00136 1 0.0136 1 Torr (mmHg)= 133.32 1 m.c.a. =

9 807

Estática de los fluidos

98 067

0.098067

0.0968

0.10003

73.57

1

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§16.8.- Manometría.  Los manómetros son aparatos empleados para la medida de presiones  Utilizan la presión atmosférica como nivel de referencia  Miden la presión manométrica, i.e., diferencia entre la presión real o absoluta y la presión atmosférica.

Manómetro abierto

(A  M  B) p + r gd = pM = patm + rm gh \

pman = p - patm = rm gh - r gd

Mide directamente la presión relativa o manométrica. Manómetro truncado

(A  M  B) p + r gd = pM = rm gh \

p = rm gh - r gd

Mide directamente la presión absoluta.

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§16.9.- Fuerza sobre superficies sumergidas. Centro de presión. 16.9.a. Superficies planas.

Placa plana inclinada sumergida en un fluido incompresible en reposo.

p0

x h cp F





hc h dF

yc ycp

x

dS S

y

cp

c

A. Fuerza resultante que actúa sobre la cara superior de dicha placa, debida a la presión que se ejerce sobre ella.

Facilitaremos los cálculos adoptando un sistema de ejes coordenados apropiado.  Eje x definido por la intersección del plano de la placa con el de la superficie libre del líquido,  Eje y contenido en el plano de la placa

Consideraremos un elemento de superficie, de área dS, tal que cada uno de sus puntos se encuentre a la misma profundidad h respecto a la superficie libre del líquido, y, por tanto, sometido a una presión constante ( p0 + r gh) . El módulo de la fuerza que actúa sobre dicho elemento de superficie será dF = ( p0 + r gh) dS y el valor del módulo de la fuerza resultante F sobre toda la superficie plana, de área S, de la cara superior de la placa se determina por integración F = ò dF = ò ( p0 + r gh)dS = ò ( p0 + r gy sen q )dS = p0 S + r g sen q ò ydS S

S

S

\

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S

F = p0 S + r gyc sen q S = p0 S + r ghc S

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TEOREMA DE LA PRESIÓN:

La fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana sumergida en un líquido puede calcularse como si la presión que actúa sobre su centroide es la que actuase uniformemente sobre toda la superficie. B. Centro de presión.

La presión crece linealmente con la profundidad, por lo que el punto de aplicación de la fuerza resultante estará situado a mayor profundidad que el centroide de la superficie plana considerada. Determinaremos ahora la coordenada ycp del punto de aplicación de la fuerza resultante F. El momento de la resultante F, respecto al eje Ox, será igual al momento resultante debido a la distribución de presión sobre la cara superior de la placa, respecto al mismo eje. Esto es, ycp F = ò ydF = ò ( p0 y + r gy 2 sen q )dS = p0 ò ydS + r g sen q ò y 2dS = p0 yc S + r g sen q I xx S

S

S

S

donde Ixx es el momento de segundo orden del área de la placa respecto al eje Ox. TEOREMA DE CENTRO DE PRESIÓN:

La posición del centro de presión queda determinada mediante la expresión: ycp =

p0 yc S + r g sen q I xx p0 S + r gyc sen q S

En muchos problemas de interés práctico, la presión p0 actúa no solamente sobre la superficie libre del líquido, sino también sobre una de las caras de la superficie sumergida. Así, en el ejemplo que se ilustra en la figura, las fuerzas producidas por la presión uniforme p0 en ambas caras de la compuerta se compensan y la fuerza resultante de interés es la debida únicamente al aumento de presión con la profundidad; en consecuencia, las F = r gyc sen q S = r ghc S

yc ycp =

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I xx I o hc hcp = xx sen 2 q S S

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16.9.b. Superficies curvas.

Para calcular la fuerza resultante que actúa sobre la dicha superficie tomaremos un elemento de área genérico dS. La fuerza debida a la presión que actúa sobre dicho elemento de área será dF = - pdS y la fuerza que actúa sobre toda la superficie curva se calculará por integración: F = -ò pdS . S

La integración no constituye necesariamente el método más conveniente para calcular las componentes de la fuerza. Las componentes horizontales, Fx y Fy, paralelas a la superficie libre del líquido, pueden determinarse fácilmente por los métodos para superficies planas sumergidas. 1. Proyectamos toda la superficie curva S sobre los planos coordenados x=0 e y=0; así obtendremos las superficies planas de áreas Sx y Sy, respectivamente. 2. Calculamos las fuerzas resultantes Fx y Fy sobre dichas superficies planas, así como sus respectivos puntos de aplicación.

La componente vertical Fz es igual al peso de la columna de fluido que se encuentra por encima de la superficie curva y su línea de acción pasa por el centro de gravedad de la dicha columna. Así, podemos determinar las tres componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza resultante y las líneas de acción de las mismas. En general, estas líneas de acción no son concurrentes; esto significa que el sistema de fuerzas Fx, Fy y Fz se reduce a una fuerza única y un par, en el caso general.

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§16.10.- Principio de Arquímedes.

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido experimenta una fuerza de empuje dirigida verticalmente hacia arriba cuya magnitud es igual al peso del fluido desalojado y cuya línea de acción pasa por el centro de gravedad de dicho líquido desalojado. El volumen de fluido desalojado por el cuerpo recibe el nombre de carena. El centro de gravedad de dicho volumen recibe los nombres de centro de carena o centro de empuje y lo representaremos por el punto C. La fuerza de empuje o empuje hidrostático (o aerostático) es una consecuencia del aumento de presión con la profundidad. En la parte baja actúa una presión mayor que en la parte alta; el resultado es una fuerza neta dirigida hacia arriba. El principio de Arquímedes puede demostrarse con la ayuda del llamado principio de solidificación de Cauchy. La magnitud de la fuerza de empuje viene dada por FE = r gV

donde ρ es la densidad del fluido y V es el volumen de la carena. 16.10.a. Cuerpo sumergido totalmente en un fluido

Cuerpo homogéneo de densidad ρm:  El centro de gravedad coincide con el centro de carena  La fuerza de empuje FE y a su propio peso P representan una fuerza neta FE - P = r gV - rm gV = (r - rm ) gV  El cuerpo subirá, permanecerá en equilibrio (de traslación) o se hundirá en el fluido según que su densidad sea menor, igual o mayor que la del fluido.

Cuerpo no homogéneo, de densidad media ρm:  En general, el centro de gravedad G del mismo no coincide con el centro de empuje C.  En general, al no coincidir las líneas de acción de las fuerzas F y P, el cuerpo estará sometido a una fuerza resultante y a un momento resultante o par,  El cuerpo se hundirá o subirá al tiempo que gira (movimiento rototraslatorio). 16.10.b. Flotación. Estabilidad de la flotación  Flotador, un cuerpo sólido parcialmente sumergido bajo la superficie libre de un líquido.  Plano de flotación, el definido por la superficie libre. Estática de los fluidos

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 Superficie de flotación, la parte de plano de flotación contenida en el interior del flotador.  Línea de flotación, contorno es la superficie de flotación.  Carena, el volumen del flotador situado bajo el plano de flotación.  Centro de carena o de empuje, el centroide de la carena.  Desplazamiento, el peso del líquido desplazado por el flotador (igual al empuje hidrostático sobre la superficie de la carena).

El equilibrio del flotador puede ser estable, inestable o indiferente. La condición suficiente para que el equilibrio del flotador sea estable es que su centro de gravedad G se encuentre en la misma vertical que el centro de carena C y situado por debajo de éste. Se presenta esta situación en las embarcaciones de regatas que tienen la quilla lastrada con plomo. Cuando la embarcación se inclina hacia un lado de su plano de simetría longitudinal, aparece un momento adrizante que tiende a enderezar la embarcación.

La condición anterior, aunque suficiente, no es necesaria. En un buque, el centro de gravedad está situado por encima del centro de carena. Cuando el buque se inclina, el centro de carena se desplaza hacia el costado más hundido, ya que ha cambiado la forma de la carena. Este desplazamiento del centro de carena es suficiente para que aparezca un momento adrizante que tiende a enderezar al buque. Naturalmente, el momento adrizante, y por tanto la estabilidad, aumenta cuando el centro de gravedad desciende, por lo que resulta conveniente colocar la maquinaria y la carga en la parte más baja del buque.

Resulta fácil observar que la condición necesaria y suficiente para que el equilibrio de un flotador sea estable es que, para una posición próxima a la de equilibrio, la vertical que pasa por el nuevo centro de carena C’ corte a la vertical primitiva CG en un punto M, llamado metacentro, situado por encima del centro de gravedad G. En realidad, el equilibrio así definido es metaestable, por estar limitado a pequeños ángulos de inclinación; un buque puede zozobrar si la inclinación es suficientemente grande.

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