Cap´ıtulo 1 Engranajes rectos no est´andar

1.1. Engranajes Los engranajes son elementos dentados que transmiten el movimiento rotatorio de un eje a otro, normalmente a una raz´on constante. Es claro que la obtenci´on de una relaci´on constante de transmisi´on no es solamente de los engranajes, ya que lo mismo puede obtenerse con correas, cadenas, ruedas de fricci´on, o hasta con levas entre los mecanismos de transmisi´on m´as conocidos. Sin embargo, dichos mecanismos poseen ciertas limitaciones principalmente en el orden de la carga o potencia que se puede movilizar. Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen o´ ptimos para tal tipo de tarea, tales como: capacidad de transmitir grandes potencias, eficiencia de transmisi´on de hasta 98%, gran variedad de opciones de conformado, reducido espacio ocupado, etc. Como puede esperarse, los costos de manufactura de engranajes aumentan bruscamente al aumentar la precisi´on, cuando se requieren para la combinaci´on de altas velocidades, cargas pesadas y bajos niveles de ruido; siendo de este modo m´as costosos que las cadenas y las bandas. La relaci´on de transmisi´on de los engranajes se define como el cociente entre la velocidad angular de salida (velocidad de la rueda conducida) y la de entrada (velocidad de la rueda conductora), dicha relaci´on puede tener signo positivo si los ejes giran en el mismo sentido, o signo negativo si los giros son de sentido contrario. Del mismo modo, si la relaci´on de transmisi´on es mayor que 1 se supondr´a el empleo de un mecanismo multiplicador, y si la relaci´on de transmisi´on es menor a 1 se supondr´a el empleo de un mecanismo reductor. El principio de transmisi´on de los engranajes est´a basado en el contacto directo entre dos cuerpos s´olidos unidos r´ıgidamente a cada uno de sus ejes. Entre las caracter´ısticas generales de la transmisi´on por engranajes se tiene que:

• Poseen gran capacidad de carga.

4 • Son compactos. • Transmisi´on de fuerza sin deslizamiento (relaci´on de transmisi´on constante e independiente de las cargas). • Tienen alta eficiencia. • Poseen distancias entre centros peque˜nas y medias. • Poseen seguridad de funcionamiento y gran duraci´on. • Son sencillas de mantener. • Son caras y complejas de fabricar. • Producen ruido. Los engranajes pueden ser clasificados seg´un los siguientes criterios: • Seg´un la distribuci´on espacial de los ejes de rotaci´on. • Seg´un la forma del dentado. • Seg´un la curva generatriz del diente. Siendo la forma m´as com´un de clasificarlos seg´un la distribuci´on espacial de los ejes que conectan, por ejemplo, si los ejes son paralelos se pueden conectar por medio de engranajes rectos, helicoidales o engranajes de espina de pescado. Los ejes que se intersectan pueden conectarse por medio de engranajes c´onicos cuyos dientes sean rectos, sesgados o construidos en espiral. Los ejes no paralelos ni intersectantes pueden ser conectados por medio de engranajes helicoidales cruzados, engranajes hipoidales o de un engranaje y un tornillo sinf´ın. As´ı pues, seg´un los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponder´an a las siguientes subclases de engranajes cil´ındircos, c´onicos o hiperb´olicos, respectivamente. 1. Engranajes cil´ındricos: • De dientes rectos externos (ver Figura 1.1). • De dientes rectos internos. • De dientes rectos con cremallera (ver Figura 1.2). • De dientes helicoidales externos (ver Figura 1.3). • De dientes helicoidales internos. 2. Engranajes c´onicos: • De dientes rectos (ver Figura 1.5).

5 • De dientes helicoidales. 3. Engranajes hiperb´olicos: • Sinf´ın-corona (ver Figura 1.6). • Hipoidales. • De dientes helicoidales y ejes cruzados. 4. Engranajes no circulares: • Ruedas dentadas para fines espec´ıficos, similares a los de las levas.

Figura 1.1: Engranajes rectos exteriores.

Figura 1.2: Engranaje recto-cremallera.

6 Figura 1.3: Engranajes helicoidales.

Figura 1.4: Engranajes helicoidales dobles o de espina de pescado.

7 Figura 1.5: Engranajes c´onicos.

Figura 1.6: Tornillo sinf´ın-corona.

8 1.2. Engranajes rectos El tipo de engranaje m´as dominante y mejor conocido es el engranaje recto. Los engranajes rectos pueden transmitir movimiento y potencia de un eje a otro eje paralelo a una relaci´on constante. Pueden usarse un n´umero infinito de curvas para los perfiles de los dientes, los cuales producir´an una acci´on conjugada. La forma del perfil m´as usada es la de una evolvente. En un conjunto de engranajes el pi˜no´ n es el engranaje peque˜no y el m´as grande es denominado engrane. El movimiento relativo en los engranajes es cinem´aticamente equivalente a la rodadura de sus circunferencias primitivas o de paso, como se indica en la Figura 1.7. Figura 1.7: Engranajes rectos acoplados.

Por lo tanto igualando la velocidad en el punto de contacto C, se obtiene πng dg = πnp dp

(1.1)

dg np = = ig dp ng

(1.2)

o sea

siendo dg y dp los di´ametros de paso del engrane y del pi˜no´ n respectivamente1 ; ng y np representan la velocidad angular de los engranajes; ig es la relaci´on del engranaje expresada 1

El sub´ındice g hace referencia al engrane y el sub´ındice p al pi˜no´ n.

9 como la relaci´on del engranaje mayor al menor. Los dientes de los engranajes embonables deben ser de igual anchura y separaci´on; por lo tanto, el n´umero de dientes (z) de cada engranaje es directamente proporcional a su di´ametro de paso, o sea dg np zg = = = ig zp dp ng

(1.3)

1.2.1. Nomenclatura de los engranajes rectos Las proporciones y formas de los dientes de los engranajes est´an normalizados y las denominaciones que se definen a continuaci´on son comunes a todos los engranajes rectos: Figura 1.8: Par´ametros de los engranajes rectos de dientes de evolvente.

• Di´ametro de paso (d). Es el di´ametro a lo largo de la cual engranan los dientes. Con relaci´on al di´ametro de paso o primitivo se determinan todas las caracter´ısticas que definen los diferentes elementos de los dientes de los engranajes. • N´umero de dientes (zg o zp ). El n´umero dientes del engrane o del pi˜no´ n. • Paso diametral (P ). Una relaci´on igual al n´umero de dientes del engranaje por pulgada de di´ametro de paso. P =

z d

(1.4)

• Paso circular (p). La distancia medida sobre la circunferencia de paso desde un punto situado en un diente al punto correspondiente del diente adyacente. Comprende, en consecuencia, un diente y un espacio. p=π

d π = z P

(1.5)

10 • Adendum (a). La distancia radial de la circunferencia de paso a la parte superior del diente. a=

1 P

(1.6)

• Dedendum (b). La distancia radial de la circunferencia de paso al fondo del espacio del diente. b=

1.157 P

(1.7)

• Di´ametro exterior (da ). El di´ametro de la circunferencia del adendum. Es igual al di´ametro de paso m´as el doble del adendum. da = d + 2a =

z+2 P

(1.8)

• Di´ametro de fondo o en la ra´ız del diente (df ). El di´ametro de la circunferencia de fondo es igual al di´ametro de paso menos el doble del dedendum. df = d − 2b =

z − 2.314 P

(1.9)

• Altura total (ht ). La altura total del diente. Es igual a la suma del adendum y dedendum. ht = a + b = 2.157P

(1.10)

• Altura de trabajo (hk ). La distancia que penetra un diente dentro del espacio de embonamiento. Es igual al doble del adendum. hk = 2a =

2 P

(1.11)

• Huelgo u holgura (c). La distancia que hay entre la parte superior del diente y el fondo del espacio de embonamiento. Es igual al adendum menos el adendum. c=b−a=

0.157 P

(1.12)

• Espacio circular (t). El espesor de un diente medido sobre la circunferencia de paso. Es igual a la mitad del paso circular. t=

p π = 2 2P

(1.13)

11 • Espesor cordal (tc ). El espesor de un diente medido sobre una cuerda de la circunferencia de paso.  tc = d sin

90◦ z

 (1.14)

• Adendum cordal (ac ). La distancia radial de la parte superior de un diente a la cuerda de la circunferencia de paso. ac = a + 0.5 [1 − cos (90◦ z)]

(1.15)

• Angulo de presi´on (φ). El a´ ngulo que determina la direcci´on de presi´on entre los dientes en contacto y que designa la forma de los dientes de evolvente, tambi´en determina el tama˜no de la circunferencia de base. • Circunferencia de base (db ). Circunferencia a partir de la cual se genera el perfil de la evolvente.

Figura 1.9: Par´ametros de los engranajes rectos de dientes de evolvente (continuaci´on).

El valor num´erico del m´odulo determina el tama˜no del diente, ya que el paso es el mismo sin importar si los dientes se colocan en una rueda peque˜na o en una rueda grande. N´otese que a mayor m mayor ser´a el diente y, a mayor p menor tama˜no de diente. Por otro lado, el m´odulo tiene la ventaja de no depender del n´umero π (m = d/z).

12 Figura 1.10: Esquema para la ley de engrane.

1.3. La ley de engrane y acci´on conjugada de perfiles conjugados Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotaci´on, act´uan conectados de modo semejante a las levas, siguiendo un patr´on o pista de rodadura definido. Cuando los perfiles de los dientes se dise˜nan para mantener una relaci´on de velocidades angulares constante, se dice que poseen acci´on conjugada. En consecuencia los perfiles de dientes de engranajes que ostenten acci´on conjugada, se denominar´an perfiles conjugados. En t´erminos generales, cuando una superficie hipot´etica empuja a otra (Figura 1.10), el punto de contacto c es aqu´el donde las superficies son tangentes entre s´ı. En estas circunstancias las fuerzas de acci´on-reacci´on est´an dirigidas en todo momento a lo largo de la normal com´un ab a ambas superficies. Tal recta se denomina l´ınea de acci´on y cortar´a a la l´ınea de centros O1 O2 en un punto P llamado punto primitivo. En los mecanismos de contacto directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la relaci´on de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relaci´on de segmentos que determina el punto primitivo sobre la l´ınea de centros, o sea:

ig =

r1 O1 P n2 = = n1 r2 O2 P

(1.16)

O1 P y O2 P se denominan radios primitivos y a las circunferencias trazadas desde O1 y

13 O2 con esos radios, circunferencias primitivas. En consecuencia, para que la relaci´on de transmisi´on se mantenga constante, el punto P deber´a permanecer fijo: la l´ınea de acci´on, para cada punto de contacto, deber´a pasar siempre por P . La ley de engrane se puede enunciar como sigue: La relaci´on de transmisi´on entre dos perfiles se mantendr´a constante, siempre y cuando la normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la l´ınea de centros.

1.4. Perfil de evolvente Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean f´aciles de construir. De los muchos posibles perfiles conjugados, solamente se han estandarizado la cicloide y la evolvente. La cicloide se emple´o inicialmente, aunque actualmente su utilizaci´on est´a limitada a relojes de lujo y de pared. El perfil evolvente en cambio tiene varias ventajas, siendo las m´as importantes su facilidad de fabricaci´on y el hecho de que la distancia entre los centros de dos engranajes de evolvente puede cambiar sin alterar la relaci´on de velocidades. Este tipo de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranajes. La curva que describe este perfil es la que genera el extremo de una cuerda ideal (de espesor cero), inicialmente enrollada en un cilindro, al desenrollarse del cilindro. El perfil de evolvente depende, por tanto, del cilindro utilizado, el cual recibe el nombre de circunferencia de base. El perfil de evolvente o curva de evolvente se puede definir de la siguiente manera: “la evolvente es una curva tal que el lugar geom´etrico de los centros de curvatura de todos sus puntos forma una circunferencia”. Su ecuaci´on param´etrica obedece a la siguiente relaci´on:  x = a cos ϕ + aϕ sin ϕ f (x, y) y = a sin ϕ − aϕ cos ϕ

(1.17)

La obtenci´on del perfil envolvente sigue un patr´on bastante claro si se observan las Figuras 1.11 y 1.12. As´ı pues la curva de evolvente se obtiene a partir del punto A0 , desarrollando sobre las tangentes sucesivas A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 , A4 B4 , etc., las longitudes de arco de A1 A0 , A2 A0 , A3 A0 , A4 A0 , etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1 C1 , A2 C2 , A3 C3 , A4 C4 , etc. uniendo los puetos Ci se obtiene la curva evolvente deseada. En general, para que dos engranes con perfil de evolvente sean intercambiables entre s´ı, se deben cumplir las siguientes condiciones: • Tener el mismo m´odulo (o mismo paso circular o diametral). • Igual a´ ngulo de presi´on de generaci´on. • Presentar addendum y dedendum normalizados.

14 • Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia primitiva. Figura 1.11: Evolvente.

Figura 1.12: M´etodo gr´afico de la generaci´on de una evolvente.

Existen diferentes criterios y formas de normalizaci´on de los perfiles de dientes, seg´un las normas t´ecnicas de cada pa´ıs:

15 • DIN (Deutsches Institut f¨ur Normung) de Alemania. • AFNOR (Association franc¸aise de Normalisation) de Francia. • UNE (Una Norma Espa˜nola) de Espa˜na. • AGMA ( American Gear Manufacturers Association) de Estados Unidos de Norteam´erica. Sin embargo la m´as conocida y empleada es la u´ ltima. En la Tabla 1.1 se muestran algunos casos est´andar para cuatro clases de dientes. Del mismo modo, en la Figura 1.13 se muestran engranajes rectos con distintos m´odulos. Tabla 1.1: Paso diametral est´andar (AGMA) para cuatro clase de dientes.   Clase P pulg−1 Grueso 1/2, 1, 2, 4, 6, 8, 10 Semigrueso 12, 14, 16, 18 Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128 Extrafino 150, 180, 200

Figura 1.13: Engranajes rectos con diferentes m´odulos.

16 1.5. Estudio de los engranajes rectos no est´andar El defecto m´as serio en un sistema de engranajes de evolvente es la posibilidad de interferencia entre la punta del diente del engrane y el flanco del diente del pi˜no´ n, cuando el n´umero de dientes en este u´ ltimo se reduce por debajo del m´ınimo para ese sistema de engranajes. Cuando ocurre interferencia, el metal que interfiere se elimina del flanco del diente del pi˜no´ n con el cortador cuando se generan los dientes. Esa eliminaci´on de metal se conoce como rebaje o socavaci´on y normalmente ocurrir´a a menos que se tomen las medidas para impedirlo. Si el cortador no elimin´o este metal, los dos engranes no girar´an al acoplarse debido a que el engrane que provoca la interferencia se atasca contra el flanco del pi˜no´ n. No obstante, lo que sucede en la pr´actica es que los engranes podr´an girar libremente debido a que el flanco del pi˜no´ n se ha rebajado; sin embargo, este rebaje no s´olo debilita el diente del pi˜no´ n sino que tambi´en puede eliminar una peque˜na porci´on de la evolvente adyacente al c´ırculo base, lo cual puede reducir seriamente la longitud de acci´on. El intento de eliminar la interferencia y su rebaje resultante ha conducido al desarrollo de varios sistemas de engranajes no est´andar, algunos de los cuales requieren cortadores especiales. Sin embargo, dos de estos sistemas han tenido e´ xito y tienen amplia aplicaci´on debido a que se pueden emplear cortadores est´andar para generar los dientes. Para poder comprender en que consiste la correcci´on del dentado, as´ı como toda la formulaci´on matem´atica de los par´ametros geom´etricos de los engranajes corregidos, es necesario previamente establecer algunos conceptos fundamentales acerca de los diferentes m´etodos de elaboraci´on de las ruedas dentadas y de los par´ametros geom´etricos de los engranajes.

1.5.1. M´etodos de elaboraci´on de engranajes rectos Existen diversos m´etodos de elaboraci´on de ruedas dentadas, pero esencialmente todos se basan en uno de los siguientes principios: • M´etodo de forma o de copia. • M´etodo de generado o rodamiento. El m´etodo de forma o de copia consiste en reproducir el perfil de la herramienta en el semiproducto, este procedimiento se realiza en una fresadora y con ayuda de una fresa de engranaje o tambi´en llamada fresa de m´odulo (ver Figura 1.14). De este modo una vez que se ha fresado uno de los huecos o espacios entre los dientes, el disco del engranaje se fija en la pr´oxima posici´on de corte. El fresado se puede emplear para el corte en bruto o en acabado y no s´olo para engranajes rectos, sino tambi´en para engranajes helicoidales y c´onicos rectos. Este m´etodo tiene como deficiencia su poca productividad y su inexactitud (generalmente con una fresa se tallan ruedas con diferentes n´umeros de dientes). Por otra parte usando esta

17 forma de elaboraci´on de la ruedas dentadas no se pueden fabricar dientes corregidos, ya que la correcci´on implica una modificaci´on de la forma del perfil del diente; y habr´ıa que tener entonces una herramienta con el perfil modificado. Figura 1.14: Elaboraci´on de una rueda dentada por el m´etodo de copia.

En cambio, durante el procedimiento de generaci´on o rodamiento el borde cortante de la herramienta es capaz de crear mediante una rodadura controlada los perfiles de los dientes, existiendo diversas formas de lograrlo: por mortajado, por tallado con cremallera, por tallado con fresa madre, etc. Es mucho m´as productivo y exacto que el m´etodo anterior, pues el procedimiento de generaci´on permite de forma muy simple variar par´ametros de las ruedas dentadas con mayor racionalidad y precisi´on, adem´as de permitir el tallado de ruedas dentadas con correcci´on en los flancos de dientes, mediante el conveniente desplazamiento de la herramienta generadora con relaci´on a la posici´on de referencia que se establece entre la rueda tallada y la recta de m´odulo en la herramienta empleada. En este m´etodo se aprovecha una propiedad del perfil de evolvente, seg´un la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta constituida por un plano m´ovil, que apoya sobre una base que es la circunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una l´ınea recta. As´ı se pueden generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la l´ınea primitiva de e´ sta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en varios planos rectos unidos r´ıgidamente, de modo que pueden

18 generarse simult´aneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano del dibujo de la Figura 1.15. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira la pieza que se est´a tallando un a´ ngulo determinado y se repite el proceso. Figura 1.15: Elaboraci´on de una rueda dentada por el m´etodo de generaci´on o rodamiento.

1.5.2. Correcci´on en las transmisiones por engranajes Muchos textos de Teor´ıa de Mecanismos [1] para explicar la correcci´on hablan esencialmente de un desplazamiento de la herramienta, y no relacionan directamente la correcci´on con el cambio de di´ametro del semiproducto donde se va a tallar la rueda dentada. Para comprender mejor este fen´omeno se necesitan conocer 2 conceptos: la cremallera b´asica y las propiedades de la evolvente. La cremallera b´asica es el perfil de referencia que se usa para definir los par´ametros geom´etricos de los engranajes, es decir, el patr´on que establece las principales dimensiones geom´etricas de una transmisi´on por engranajes, y por lo tanto la forma del diente.

19 Las normas internacionales como la norma japonesa JIS B 1701-72, la polaca PN-78/m88503, la sovi´etica GOST 13755-68, la norteamericana AGMA 201.02-68 y la internacional ISO 57-74, establecen los par´ametros geom´etricos de la cremallera b´asica; destac´andose entre ellos la recta de m´odulo o l´ınea de referencia, que es la que divide la cremallera en dos partes. A lo largo de esta l´ınea el espesor del diente es igual al del espacio interdental. Es importante tener en cuenta que la cremallera b´asica tiene determinado el a´ ngulo del perfil (llamado a´ ngulo de la cremallera), y que el paso es el mismo por cualquier recta paralela a la recta de m´odulo o l´ınea de referencia (ver Figura 1.15). El perfil del diente de las transmisiones por engranajes puede tener diversas formas, pero indiscutiblemente la curva geom´etrica m´as usada es la evolvente. Esta curva tiene tres propiedades esenciales que es conveniente discutir: 1. La evolvente nace en la circunferencia base; es decir en una circunferencia de menor di´ametro no hay una evolvente (el punto i sobre la circunferencia de base es el inicio de la evolvente). 2. Todo radio de curvatura de la evolvente es tangente a la circunferencia base (ρ es tangente a la circunferencia de base rb ). 3. El radio de curvatura de la evolvente en cualquier punto es igual al arco por la _

circunferencia base (kρk =Ai ).

Figura 1.16: Propiedades de la evolvente.

Es importante destacar que el diente est´a formado por dos evolventes las cuales est´an representadas de manera exagerada en la Figura 1.16, para facilitar la explicaci´on. Un detalle interesante a observar es que a medida que el radio exterior se aleja de la circunferencia base

20 el espacio entre las dos evolventes que conforman el diente se hace mayor en una zona cercana a la circunferencia base y menor en zonas lejanas a dicha circunferencia, llegando a cortarse inclusive cuando el radio exterior es muy grande. La esencia de las correcciones del dentado consiste en ir ubicando el diente en una zona de la evolvente diferente a la que le hubiera correspondido si se hubieran tallado normalmente. Esta claro que si se desea mover hacia afuera por la evolvente el radio del semiproducto debe ser mayor y viceversa. Para trazar la evolvente existen m´etodos gr´aficos y anal´ıticos; siendo estos u´ ltimos m´as precisos y m´as f´aciles de aplicar con ayuda de la computaci´on. Durante el proceso de tallado por el m´etodo de generado se produce un engranamiento entre el semiproducto y la cremalllera b´asica (independientemente del tipo de herramienta que se use). En este proceso de engranamiento habr´a solamente una circunferencia del semiproducto que rueda sin deslizamiento por una recta de la cremallera. El paso y el m´odulo de la rueda dentada por esta circunferencia son iguales al paso y por ende al m´odulo de la cremallera (no hay deslizamiento, es decir se hace igual el paso de la cremallera al paso por la circunferencia). Hay que tener en cuenta que el paso de la cremallera es el mismo por cualquier recta paralela a la recta de m´odulo, mientras que el paso de la rueda depende del radio de la circunferencia para un n´umero de dientes dado. La circunferencia por donde se reproduce el paso de la herramienta se denomina circunferencia de paso. La longitud o per´ımetro de esta circunferencia es por tanto 2πrp = πd = zπm, es decir, es igual al n´umero de dientes de la rueda por el paso de la herramienta. La expresi´on matem´atica para el c´alculo del di´ametro de la misma ser´a d = mz

(1.18)

Una rueda dentada se considera normal o est´andar cuando durante el proceso de tallado la circunferencia de paso rueda sin deslizamiento con respecto a la l´ınea de referencia o recta de m´odulo de la herramienta (ver Figura 1.17). Las f´ormulas para hallar todos los par´ametros geom´etricos de las ruedas dentadas normales aparecen en la Tabla 1.2. Tabla 1.2: Par´ametros geom´etricos de las ruedas dentadas normales. Par´ametro N´umero de dientes ´ Angulo de presi´on M´odulo

S´ımbolo z φ m

Expresi´on de c´alculo

Paso diametral

P

Paso circular

p

1 m πm

Factor de altura de cabeza del diente

h∗a

ha m

Factor de holgura radial

c∗

c m

21

d db da df aw

Di´ametro de paso Di´ametro base Di´ametro exterior Di´ametro interior o de fondo Distancia entre centros

mz d cos φ d + 2mh∗a d − 2m (h∗a + c∗ ) m (zg + zp )

En la Tabla 1.2, c∗ es el coeficiente de holgura relativa de los dientes, el cual es un par´ametro propio de la herramienta con que se tallan las ruedas; sus valores m´as usados son 0.16 y 0.25, h∗a es el factor de altura del diente, el cual tambi´en se corresponde con la herramienta que se utilice, sus valores son 0.8 o´ 1. El a´ ngulo de la cremallera φ, que define el a´ ngulo de presi´on del engranaje recto, es generalmente de 20◦ . Las f´ormulas son aplicables tanto al pi˜no´ n como al engrane, solamente teniendo en cuenta que el n´umero de dientes cambia para cada rueda. Figura 1.17: Relaci´on entre circunferencia de paso y l´ınea primitiva para un engranaje recto normal.

1.5.3. Engranajes rectos no est´andar ¿Qu´e suceder´ıa si al tallar un engranaje se escoge un semiproducto cuyo di´ametro es superior en algunos mil´ımetros al que realmente se necesita de acuerdo al valor obtenido de las f´ormulas convencionales para engranajes rectos?. Evidentemente ya la posici´on relativa de la cremallera herramienta con respecto a la rueda cambia, es decir la herramienta estar´a m´as alejada con respecto al centro del engranaje. Entonces la circunferencia de paso rodar´a sin deslizamiento por una recta por encima de la recta de m´odulo de la cremallera. Al aumento en radio del semiproducto (b) con relaci´on al m´odulo (m) se le denomina coeficiente de correcci´on (x). Evidentemente este aumento del semiproducto se corresponde con el desplazamiento de la herramienta (ver Figura 1.18).

x=

b m

(1.19)

22 Figura 1.18: Correcci´on positiva de una rueda dentada.

Siempre que se aumente el semiproducto estamos en presencia de una correcci´on positiva. Desde luego que la misma situaci´on que ocurre al aumentar el semiproducto es v´alida para su disminuci´on; pero con efecto contrario, es decir el ancho del diente por la circunferencia de paso disminuye, aumenta el espacio interdental, etc. Siempre que se disminuya el semiproducto estamos en presencia de una correcci´on negativa.

1.6. Correcci´on de altura o correccci´on compensada de los engranajes rectos En ocasiones existen limitaciones en cuanto a la distancia entre centros a utilizar, es decir la misma no puede ser elegida libremente. Por ejemplo, puede darse el caso de que en una transmisi´on de 2 engranajes, dise˜nados y construidos, durante la prueba de transmisi´on los dientes del pi˜no´ n resulten m´as d´ebiles que la del engrane. Ante esta situaci´on el dise˜nador puede decidir para mejorar el comportamiento de la transmisi´on dar una correccci´on positiva al pi˜no´ n y una negativa de la misma medida al engrane; de tal manera que el engranaje en su conjunto quede compensado. En este caso se mantiene la distancia entre centros, pudiendo utilizarse la misma carcaza de dise˜no. Cuando se corrige una pareja de engranajes y la misma correcci´on positiva xp que se le da al pi˜no´ n, se le da negativamente al engrane xg ; estamos en presencia de una correcci´on de altura o correcci´on compensada de las ruedas dentadas. Es decir:

xp = −xg

(1.20)

A la suma de los coeficientes de correcci´on del pi˜no´ n y del engrane se le llama coeficiente sumario de correcci´on (xΣ ):

xΣ = xp + xg = 0

(1.21)

Por lo tanto se deduce l´ogicamente que para realizar una correcci´on de altura, la rueda corregida positivamente necesita un semiproducto mayor, y que para la corregida negativamente un semiproducto menor. En la Tabla 1.3 se muestran las expresiones para

23 el c´alculo de los par´ametros geom´etricos de una transmisi´on por engranajes con correcci´on de altura. Tabla 1.3: Par´ametros geom´etricos de las ruedas dentadas con correcci´on de altura. Par´ametro N´umero de dientes ´ Angulo de presi´on M´odulo

S´ımbolo z φ m

Expresi´on de c´alculo

Paso diametral

P

1 m

Paso circular

p

πm

Factor de altura de cabeza del diente

h∗a

ha m

Factor de holgura radial

c∗

Di´ametro de paso Di´ametro base

d db

c m mz d cos α

Di´ametro exterior

da

m (z + 2h∗a + 2x)

Di´ametro interior o de fondo

df

m [z − 2 (h∗a + c∗ ) + 2x]

Distancia entre centros

aw

m (zg + zp )

Las expresiones de la tabla anterior sirven tanto para el pi˜no´ n como al engrane, siempre y cuando se coloquen los valores de n´umero de dientes (z) y coeficiente de correcci´on (x) con su respectivo signo para la rueda que se est´e calculando. En las correcciones de altura producto de que el aumento de di´ametro de una rueda es proporcional a la disminuci´on en di´ametro de la otra, la distancia entre centros es igual que para un engranaje normal con los mismos n´umeros de dientes.

1.7. Correcci´on angular de los engranajes En ocasiones para atenuar determinada falla del dentado, o para llevar una pareja de engranajes a una distancia entre centros mayor o menor de la que tendr´ıan si fueran normales se utilizan las correcciones angulares. Estamos en presencia de una correcci´on angular cuando el coeficiente de correcci´on sumario es diferente de cero, es decir el valor de

24 correcci´on positiva que se le da a una rueda no coincide con el valor de correcci´on negativa que se le da a la otra. Por lo tanto se pueden presentar los siguientes casos: a) xg = + y xp = − pero de valor diferente. b) xg = − y xg = + pero de valor diferente. c) xg = − y xp = − d) xg = + y xp = + e) xg = + y xp = 0 f) xg = − y xp = 0 g) xg = 0 y xp = + h) xg = 0 y xp = − De todos los casos anteriores el m´as l´ogico y usual en la pr´actica es el caso d). Cuando se esta en presencia de dicho caso, producto de que de la circunferencia de paso hacia arriba los dientes se hacen m´as estrechos, y de que la circunferencia primitiva va a estar por encima de la circunferencia de paso, los engranajes tienden a encajarse, es decir a no conservar la holgura radial relativa. Debido a esto los dientes se recortan en su punta. En realidad para evitar tener que recortar los dientes despu´es de maquinados lo que se hace es hacerlos ligeramente m´as cortos en una magnitud (∆y) denominada coeficiente de desplazamiento invertido. Esto se logra eligiendo el di´ametro exterior del semiproducto ligeramente inferior al calculado por la correcci´on. Si el coeficiente de correcci´on sumario (xΣ ) es positivo se dice que la correcci´on es angular positiva, y viceversa. Antes de definir las ecuaciones para el el c´alculo de una transmisi´on por engranajes con correcci´on angular, es necesario definir las variables y su descripci´on para una mejor comprensi´on (ver Tabla 1.4). Tabla 1.4: Variables para el c´alculo de ruedas dentadas con correcci´on angular. Variable a b c d da db df dw ha hf

Descripci´on Distancia entre ejes Anchura del diente Juego de la cabeza Di´ametro primitivo Di´ametro exterior Di´ametro de la circunferencia base Di´ametro interior o de fondo Di´ametro primitivo de funcionamiento Altura de la cabeza del diente Altura del pie del diente

Unidades mm mm mm mm mm mm mm mm mm mm

25

i jn m n p s W x z φ  ∗

Relaci´on de transmisi´on Juego normal entre flancos M´odulo N´umero de revoluciones Paso Grueso del diente Medida entre dientes Factor de correcci´on N´umero de dientes ´ Angulo de presi´on Relaci´on de contacto Valor espec´ıfico, para multiplicar por m

mm mm rpm mm mm mm

◦ ◦

La notaci´on de los sub´ındices se especifican en la Tabla 1.5 ´ Tabla 1.5: Indices de las variables del c´alculo de ruedas dentadas con correcci´on angular. Sub´ındice g p a b f n w

Descripci´on Referido al engrane Referido al pi˜no´ n Referido a la cabeza del diente Referido a la circunferencia base Referido al pie del diente Referido a la secci´on normal Referido a la circunferencia primitiva de funcionamiento

En la Tabla 1.6 se dan todas las expresiones para el c´alculo de una transmisi´on por engranajes con correcci´on angular. Tabla 1.6: Par´ametros geom´etricos de las ruedas dentadas con correcci´on angular. Par´ametro N´umero de dientes ´ Angulo de presi´on M´odulo

S´ımbolo z φ m

Expresi´on de c´alculo

Paso diametral

P

1 m

Paso circular Di´ametro base

p db

πm d cos φn

Di´ametro primitivo de funcionamiento

dw

db cos φw

26

Di´ametro exterior Di´ametro de fondo Altura del diente Altura del pie del diente Altura de la cabeza del diente Espesor normal del diente en el cilindro de referencia Longitud de la tangente base (normal com´un) media sobre k dientes

da df h hr

d + 2m (x + h∗a − ∆y) d − 2m (h∗a + c∗ − x) 0.5 (da − df ) = ha + hf m (h∗a − c∗ − x)

ha

0.5 (da − d) π  m + 2 tan φ 2

sn

m cos φ [π (k − 0.5) + 2x tan φ + z inv φt ]

W

Al vincularse dos ruedas mediante su engrane, surgen otros par´ametros importantes que permiten valoraciones importantes de su montaje y funcionamiento. A continuaci´on se listan las principales f´ormulas para el c´alculo geom´etrico de un engranaje recto: • Raz´on de engrane i=

zg zp

(1.22)

• Distancia entre ejes, sin juego; siendo el juego normal entre flancos jn = 0  a=m

zg + zp 2



cos φ cos φw



dbg + dbp 2 cos φw

(1.23)

2 (xg + xp ) sin φ + jn /m + inv φ (zg + zp ) cos φ

(1.24)

=

seg´un norma DIN867 es φ = 20◦ ; φw se obtiene de: invφw = • Correcci´on sumaria xΣ = x g + x p

(1.25)

1.8. Influencia de la correcci´on de los dientes en el engranaje Eligiendo adecuadamente los coeficientes de correcci´on en los dientes de evolvente puede ser aumentada la capacidad de carga del engranaje, y ajustar el montaje de las ruedas engranadas en una distancia interaxial prefijada conservando la relaci´on de transmisi´on cinem´atica dada. Adicionalmente, con ayuda de las correcciones positivas en la rueda se puede prevenir la

27 interferencia de los dientes engranados y posibilitar el tallado de pi˜nones con n´umero de dientes peque˜nos sin peligro del socavado de sus bases. En la Tabla 1.7 puede ser observado que correcciones positivas producen un aumento de la resistencia de los dientes a la fractura y a la picadura, aunque el efecto favorable de mejorar la resistencia del dentado es m´as significativo en ruedas con peque˜nos n´umeros de dientes. Sin embargo, el aumento de los coeficientes de correcci´on pueden conducir a la disminuci´on del espesor del diente cerca del v´ertice y provocar debilidad a la fractura en su cresta, por tal motivo los valores m´aximos del coeficiente de correcci´on se restringen por las condiciones que pueden provocar un tallado puntiagudo de los dientes. Tabla 1.7: Influencia de la correcci´on y el a´ ngulo de la cremallera de referencia en la resistencia del engranaje. Tipo de engranaje φ = 20◦ ; xg = xp = 0 φ = 20◦ ; xg = xp = 0.5 φ = 28◦ ; xg = xp = 0

Resistencia a la fractura zg = 27; zp = 9 zg = 54; zp = 18 1.00 1.00 2.03 1.26 1.53 1.12

Resistencia a la picadura zg = 27; zp = 9 zg = 54; zp = 18 1.00 1.00 1.60 1.33 1.68 1.29

Mediante la correcci´on puede aumentar la capacidad portante de los engranajes debido a un aumento del ancho del diente cerca de su base, la posibilidad de reducir el n´umero de dientes y aumentar respectivamente el m´odulo, el aumento de los radios de curvatura de las superficies de evolvente y la disminuci´on de la velocidad deslizamiento. En el engrane y el pi˜no´ n, el par´ametro principal para evaluar la correcci´on del dentado es el coeficiente de correcci´on, que cuantifican el desplazamiento absoluto de la herramienta, b, con relaci´on al m´odulo:

xg =

bg m

xp =

bp m

Al aplicar correcciones en los dientes se debe tener en cuenta que las correcciones positivas pueden producir un afilado inadmisible de los dientes y una disminuci´on del coeficiente de recubrimiento. Las correcciones negativas disminuyen la resistencia al contacto y a la fractura y tambi´en pueden provocar socavado en los dientes. 1.8.1. Relaciones pr´acticas para seleccionar los coeficientes de correcci´on • Correcci´on proporcional b´asica.

28 – Si xΣ ≥ 0 entonces xp =

xΣ zg zg + zp

– Si xΣ < 0 entonces  xp = xΣ 1 −

zg zg + zp



• Correcciones para ruedas con peque˜no n´umero de dientes, en las cuales se desea evitar el socavado del fondo del diente. x ≥ h∗a −

z sin2 φ 2

• Correcci´on parcial. – Si 0 ≤ xΣ ≤ 0.5 entonces xp = xΣ

y

xg = 0

– Si −0.5 ≤ xΣ ≤ 0 entonces xp = 0 y

xg = xΣ

• Correcciones recomendadas por normativas de algunos pa´ıses, cuando no existen limitaciones en la distancia interaxial nominal exigida para el montaje. – Seg´un norma alemana xg = xp = 0.5 – Seg´un norma sovi´etica x = 0.61 − 0.0061z – Seg´un norma belga x = 0.9 − 0.03z • Correcciones recomendadas para el pi˜no´ n, cuando existe un valor establecido de correcci´on sumaria para el engranaje.

29 – Seg´un el instituto alem´an FZG (Forschungsstelle f¨ur Zahnr¨ader und Getriebebau)

xp =

xΣ i−1 + i + 1 i + 1 + 0.4zg

– Seg´un la firma MAAG2    log i xg + xp z z  xp = 0.5xΣ + A − g p 2 log 100 donde: A = 0.71 para φ = 15◦ A = 0.61 para φ = 17.5◦ A = 0.50 para φ = 20◦ A = 0.38 para φ = 22.5◦ A = 0.23 para φ = 25◦

Adicionalmente, existen recomendaciones con empleo de gr´aficos para una distribuci´on aceptable del coeficiente de correcci´on.

1.9. Fallas en las transmisiones por engranajes Las transmisiones por engranajes pueden sufrir m´ultiples deterioros durante su funcionamiento, no obstante las fallas m´as comunes son:

a) Picadura o careado. Esta falla se caracteriza por el desprendimiento de part´ıculas de la superficie del diente producto de la acci´on del lubricante. Estos desprendimientos aparecen en la zona cercana al polo por encima y por debajo de de la circunferencia primitiva (ver Figura 1.19). Este fen´omeno se debe a que aqu´ı es donde mejor puede desarrollarse la grieta sin limarse, ya que la velocidad de deslizamiento es muy peque˜na. 2

MAAG Gear Company Ltd., MAAG Gear Book, Zurich, 1990

30 Figura 1.19: Picadura en los dientes de engranajes.

b) Desgaste. Esta falla es propia de las transmisiones no lubricadas, y se caracteriza por la disminuci´on del espesor del diente en la zona de la cabeza y del pie, que es donde mayor velocidad de deslizamiento existe (ver Figura 1.20).

Figura 1.20: Desgaste en los dientes de engranajes.

c) Deformaci´on pl´astica de la superficie de los dientes o fluencia friccional. Esta falla se produce en transmisiones altamente cargadas, y se caracteriza por la fluencia del material hacia los extremos o centro del diente en dependencia de si la rueda es conducida o conductora (ver Figura 1.21).

31 Figura 1.21: Deformaci´on pl´astica de los dientes de las transmisiones por engranajes.

d) Fractura del diente. Esta falla se produce tanto en transmisiones lubricadas como no lubricadas. La misma se puede producir debido a la fatiga o a sobrecargas instant´aneas. La misma se produce en el pie del diente (ver Figura 1.22). Figura 1.22: Fractura de los dientes de las transmisiones por engranajes.

1.9.1. Influencia de la correcci´on en la disminuci´on de las fallas por picadura Para elegir adecuadamente el valor del coeficiente de correcci´on, x, para la rueda que se va a dise˜nar hay que tener en cuenta varios criterios en dependencia de si se va a dar una correcci´on positiva o negativa a la rueda, y adem´as realizar tambi´en algunas revisiones al conjunto de las dos ruedas en dependencia si se trata de una correcci´on angular positiva o negativa, o una correcci´on de altura. De este modo cuando se presenta una falla en una transmisi´on por engranajes el proyectista trata de resolverla inmediatamente con la elevaci´on de la calidad del material; sin embargo muchas fallas se pueden retardar e inclusive evitar con ligeras modificaciones a trav´es del uso de las correcciones.

32 La picadura o fatiga superficial, consiste en el desprendimiento de p´articulas de metal, de las superficies de trabajo de los dientes, asociada a la acci´on sobre e´ stas de tensiones de contacto de car´acter c´ıclico, en presencia del lubricante en la transmisi´on. Durante el funcionamiento de la transmisi´on, de acuerdo de la magnitud de las tensiones de contacto, se desarrollan en la superficie grietas de fatiga, que tienen su origen en defectos de la superficie o del interior del metal. La orientaci´on de las mismas est´a intimamente relacionada con las fuerzas de fricci´on sobre la superficie, de suerte que las grietas, una vez desarrolladas, mediante un proceso de fisuraci´on progresiva quedan orientadas en la direcci´on de las fuerzas de fricci´on. Dado que la orientaci´on de estas fuerzas sobre la rueda conductora es diferente y contraria a la de la conducida en la zona de la cabeza y del pie del diente respectivamente, las fisuras de fatiga se desarrollan en la direcci´on de estas fuerzas tal como se muestra en la Figura 1.23. Figura 1.23: Desarrollo de la grieta en los dientes.

El desarrollo posterior de las grietas, una vez que alcanzan la superficie, est´a ´ıntimamente relacionado con la presencia del lubricante en la transmisi´on . En la Figura 1.23 se muestra la direcci´on del movimiento de rodadura entre los dientes. El contacto comienza en el pie del diente de la rueda conductora y la cabeza de la conducida y se va extendiendo hacia la cabeza de la conductora y el pie de la conducida. Esto determina que las grietas que se encuentran en el pie de los dientes de ambas ruedas entran en la zona de contacto por su abertura exterior,

33 de manera que el aceite que se encuentra en el interior de la grieta queda bloqueado y la presiona abri´endola. Este proceso al repetirse sucesivamente provoca el desprendimiento de las part´ıculas de metal. Al mismo tiempo, las grietas que se encuentran en las superficies de la cabeza de los dientes entran en contacto por el fondo y durante la rodadura el aceite es desalojado del interior. En esta situaci´on, las grietas no experimentan la presi´on del aceite y no se desarrollan los hoyos de picadura. La picadura, pues, s´olo se desarrolla en el pie de los dientes, fundamentalmente en la zona pr´oxima al polo donde la carga espec´ıfica es mayor. Este proceso de picadura est´a directamente relacionado con la presencia de las tensiones de contacto de car´acter c´ıclico que son, en definitiva, las que dan origen a las grietas de fatiga. Cualquier modificaci´on de la geometr´ıa que disminuya la magnitud de las tensiones de contacto reduce la posibilidad de aparici´on de estas grietas y disminuye la tendencia de la superficie a la destrucci´on por picadura. En las transmisiones por engranaje las tensiones de contacto se determinan seg´un la ecuaci´on de Hertz, considerando las superficies de los dientes en las proximidades de los puntos de contacto como dos cilindros, para este caso particular:

s σsup = 0.418

qE ρ

(1.26)

Dado que el m´odulo de elasticidad E es constante, las tensiones de contacto dependen de la carga espec´ıfica q y del radio de curvatura reducido ρ. La expresi´on del radio de curvatura reducido para una transmisi´on dada es:

ρ=

ρp ρg ρp + ρg

(1.27)

El t´ermino ρp +ρg = AB = constante (Figura 1.24), por lo que el radio de curvatura reducido es una funci´on inversa del producto ρp ρg , y e´ ste alcanza su valor m´aximo cuando ρp = ρg , o sea en el punto medio de la l´ınea te´orica de engranaje AB.

34 Figura 1.24: L´ınea pr´actica de engranajes.

En la Figura 1.25 se muestra la curva de variaci´on del radio de curvatura reducido a lo largo de la l´ınea te´orica de engranaje. En el caso de los engranajes cil´ındricos de dientes rectos la carga espec´ıfica var´ıa a lo largo de la l´ınea pr´actica de engranaje. Si se simplifica el esquema de variaci´on de la carga espec´ıfica y consideramos que esta var´ıa de q/2 a q, podemos obtener las curvas de variaci´on de las tensiones de contacto. De este an´alisis se desprende que para obtener el valor m´ınimo de las tensiones de contacto, es necesario lograr un desplazamiento de la l´ınea pr´actica de engranaje, mediante una correcci´on tal que ubique la misma sim´etricamente respecto al punto C. En la Figura 1.26 se muestran las modificaciones del radio de curvatura y de las tensiones de contacto al desplazarse la l´ınea de engranaje mediante la correcci´on. Para lograr esta condici´on debe cumplirse (1.24) que:

Ab = aB Del tri´angulo AOp b

(1.28)

35

q 2 − R2 Ab = Rep op

(1.29)

q 2 − R2 Reg og

(1.30)

Del tri´angulo BOp a

aB =

Figura 1.25: Tensiones superficiales en ruedas no corregidas.

36 Figura 1.26: Tensiones superficiales en ruedas corregidas.

En el caso particular de la correcci´on de altura: Rep = m (zp + h∗a + x)

Rop =

zp m cos α 2

Reg = m (zg + h∗a + x)

(1.31)

(1.32)

(1.33)

37

Rog =

zg m cos α 2

(1.34)

Sustituyendo las expresiones 1.31, 1.32, 1.33, y 1.34 en 1.29 y 1.30 respectivamente, igualando las expresiones obtenidas seg´un 1.30 y despejando el valor de x de la ecuaci´on resultante se obtiene:
0.25 zg2 − zp2 sin2 αc + zg − zp x= zg + zp + 4

(1.35)

que corresponde al valor de la correcci´on de altura necesario para obtener el m´ınimo valor de las tensiones de contacto, o lo que es lo mismo, la m´axima resistencia a la picadura. Es obvio que el valor del coeficiente de correcci´on obtenido debe ajustarse teniendo en cuenta las limitaciones del espesor del diente por la circunferencia exterior y del coeficiente de recubrimiento. Una forma evidente de disminuir las tensiones de contacto para el caso de la correcci´on angular es aumentar en todo lo posible los radios de curvatura, y lograr una combinaci´on o´ ptima de los valores del coeficiente de correcci´on para el pi˜no´ n y para el engrane. En las Tablas 1.8 y 1.9 se muestran los valores del coeficiente de correcci´on para m´axima resistencia a la picadura para correcci´on de altura y para correcci´on angular. Tabla 1.8: Correcci´on de altura para m´axima resistencia a la picadura. zg /zp 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

12 17 23 30 35 41 47

13 17 23 30 35 41 47 52

14 17 23 30 35 41 47 53 56

15 17 23 30 35 41 47 53 58 60

16 17 23 30 35 40 47 49 53 57 62 64

17 15 20 25 30 34 39 43 48 52 56 61 65 68

18 10 15 20 25 29 34 38 43 47 51 56 60 64 68 71

19 5 10 15 20 24 29 33 38 42 46 51 55 59 63 67 71 75

20 5 10 14 19 24 28 33 37 41 46 50 54 58 62 66 70 74 79

21

5 10 14 19 23 28 32 37 41 45 19 53 57 62 66 70 74 78 82

22

5 10 14 18 23 27 32 36 40 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85

23

24

25

26

27

28

29

5 10 14 18 23 27 31 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84

5 9 14 18 22 27 31 35 39 44 48 52 56 60 64 68 72 75 79

5 9 14 18 22 26 31 35 39 43 47 51 55 59 63 67 71 75

5 9 13 18 22 27 30 35 39 43 47 51 55 59 63 67 70

5 9 13 17 22 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62 66

4 9 13 17 21 26 30 34 38 42 46 50 54 58 62

4 9 13 17 21 25 30 34 38 42 46 49 53 57

38

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

88 89

83 87 91 92

79 82 86 90 94 95

74 78 82 86 89 93 97 98

70 74 77 81 85 89 92 96 100 101

65 69 73 77 81 84 88 92 95 99 103 104

61 65 69 73 76 80 84 88 91 95 99 102 105

Los valores tomados de la Tabla 1.8 deben ser multiplicados por 0.01. Cuando se desee determinar el coeficiente de correcci´on para un n´umero de dientes, y no aparezca su valor en la columna correspondiente, debe tomarse el u´ ltimo valor que aparece en dicha columna. Por ejemplo para zp = 14 y zc = 40 el valor del coeficiente de correcci´on xg = −xp ser´a 0.56. Tabla 1.9: Correcci´on angular para atenuar las diferentes fallas de los engranajes. zg /zp 18

22

28

34

42

50

65

80

12 X1 0.57 0.49 0.3 0.62 0.53 0.3 0.7 0.57 0.3 0.76 0.6 0.3 0.75 0.63 0.3 0.58 0.63 0.3 0.55 0.64 0.3 0.54 0.65 0.3

X2 0.25 0.35 0.66 0.28 0.38 0.88 0.26 0.48 1.03 0.22 0.53 1.3 0.21 0.67 1.43 -0.16 0.77 1.69 -0.35 1 1.26 -0.54 1.18 2.9

15 X1 0.64 0.48 0.38 0.73 0.55 0.26 0.79 0.6 0.13 0.83 0.63 0.2 0.92 0.68 0.25 0.97 0.66 0.26 0.8 0.67 0.3 0.73 0.67 0.36

X2 0.29 0.46 0.75 0.32 0.54 1.04 0.35 0.63 1.42 0.34 0.72 1.53 0.32 0.88 1.65 0.31 1.02 1.87 0.04 1.22 2.14 -0.15 1.36 2.32

18 X1 0.72 0.54 0.6 0.81 0.6 0.4 0.89 0.63 0.3 0.93 0.67 0.29 1.02 0.68 0.32 1.05 0.7 0.41 1.1 0.71 0.48 1.14 0.71 0.52

22 X2 0.34 0.54 0.64 0.38 0.63 1.02 0.38 0.72 1.3 0.37 0.82 1.48 0.36 0.94 1.63 0.36 1.11 1.89 0.4 1.35 2.08 0.4 1.61 2.31

28

34

X1

X2

X1

X2

X1

X2

0.68 0.95 0.67 0.59 1.04 0.71 0.48 1.08 0.74 0.4 1.18 0.76 0.43 1.22 0.76 0.53 1.17 0.76 0.61 1.15 0.76 0.65

0.68 0.39 0.67 0.94 0.4 0.81 1.2 0.38 0.9 1.48 0.38 1.03 1.6 0.42 1.17 1.8 0.36 1.44 1.99 0.26 1.73 2.19

0.86 1.26 0.85 0.8 1.3 0.86 0.72 1.24 0.88 0.64 1.22 0.91 0.7 1.19 0.88 0.75 1.16 0.87 0.8

0.86 0.42 0.85 1.08 0.36 1 2.33 0.31 1.12 1.6 0.25 1.26 1.84 0.2 1.56 2.04 0.12 1.85 2.26

1.01 1.38 1 0.9 1.31 1 0.8 1.25 1 0.83 1.23 0.99 0.89 1.19 0.98 0.94

1.01 0.34 1 1.3 0.27 1.16 1.58 0.2 1.31 1.79 0.15 1.55 1.97 0.07 1.81 2.22

39

En la Tabla 1.9 para cada n´umero de dientes, el primero de los renglones corresponde a los valores de correcci´on para m´axima resistencia a la picadura, el segundo para m´axima resistencia a la fractura, y el tercero para m´axima resistencia al desgaste.

1.10. Formas en que se pueden presentar los problemas de engranajes corregidos La correcci´on del dentado de una transmisi´on por engranajes no siempre es una obligaci´on para el dise˜nador, no obstante el empleo de las mismas es muy conveniente de acuerdo a lo planteado en las secciones anteriores. A continuaci´on se exponen las formas m´as comunes de abordar los problemas relacionados con la correcci´on de las transmisiones por engranajes. • Primer caso: La distancia entre centros es libre, es decir no viene fijada. En este caso el proyectista puede elegir tres soluciones: a) No dar correcci´on, es decir usar engranajes normales. b) Dar una correcci´on angular teniendo en cuenta las condiciones de trabajo de la transmisi´on. c) Dar una correcci´on de altura teniendo en cuenta el regimen de trabajo de la transmisi´on. • Segundo caso: La distancia entre centros viene fijada. En este caso se pueden presentar las siguientes soluciones. a) Garantizar la distancia entre centros dada con una pareja de ruedas normales cuyos n´umeros de dientes y m´odulo den como resultado dicha distancia entre centros. b) De lograrse la situaci´on anterior dar una correcci´on de altura a dichas ruedas con la finalidad de atenuar la falla que pudiera presentarse. c) Elegir n´umeros de dientes para el pi˜no´ n y el engrane, y un m´odulo dado de tal manera que la distancia entre centros sea cercana a la fijada, y llevarla a la misma mediante una correcci´on angular, garantizando de paso una mayor resistencia a las fallas que pudieran presentarse. Tabla 1.10: Correcci´on de altura para m´axima resistencia al desgaste. zg /zp 20 21 22 23

12 18 24 30 35

13 18 24 30 35

14 18 24 30 34

15 18 24 27 29

16 16 19 22 25

17 12 15 19 21

18 6 11 14 17

19 4 7 11 14

20

21

22

4 7 10

4 7

4

23

24

25

26

27

28

29

40

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

41 47

41 43 45 47 49 50 52

36 39 41 43 45 46 48 50 51 52 54 55 56

32 34 37 39 41 43 44 46 47 49 50 52 53 54 55 56 57 58 59 60

28 30 35 35 37 39 41 42 44 46 47 48 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 61 62 63 64 64

24 26 29 31 33 35 37 39 41 42 44 45 46 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 60 61 62 62 63 64 64

20 23 25 27 30 32 34 35 37 39 40 42 43 45 46 47 48 50 51 52 53 54 55 55 56 57 58 59 59 60 61 61 62

16 19 22 24 26 28 30 32 34 36 37 39 40 42 43 44 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 55 56 57 58 58 59 60

13 16 18 21 23 25 27 29 31 33 34 36 37 39 40 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 55 56 57 58

10 12 15 17 20 22 24 26 28 30 31 33 35 36 37 39 40 41 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 52 53 54 55 55

6 9 12 14 17 19 21 23 25 27 28 30 32 33 35 36 38 39 40 41 42 44 45 46 47 48 48 49 50 51 52 53 53

3 6 8 11 14 16 18 20 22 24 26 27 29 31 32 34 35 36 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 50 51

3 6 8 11 13 15 17 19 21 23 25 26 28 30 31 32 34 35 36 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 48 49

4 6 8 10 13 15 17 19 20 22 24 25 27 29 30 31 33 34 35 36 38 39 40 41 42 43 44 45 45 46 47

3 5 8 10 12 14 16 18 20 21 23 25 26 28 29 30 32 33 34 35 36 38 39 40 41 42 43 43 44 45

3 5 7 10 12 14 15 17 19 21 22 24 25 27 28 29 31 32 33 34 35 37 38 39 40 40 41 42 43

3 5 7 9 11 13 15 17 18 20 22 23 24 26 27 29 30 31 32 33 34 36 37 38 39 39 40 41

3 5 7 9 11 13 14 16 18 19 21 22 24 25 26 28 29 30 31 32 34 35 36 37 38 38 39

En la Tabla 1.10 los valores tomados de la tabla deben ser multiplicados por 0.01. Cuando se desee determinar el coeficiente de correcci´on para un n´umero de dientes, y no aparezca su valor en la columna correspondiente, debe tomarse el u´ ltimo valor que aparece en dicha columna. Por ejemplo para zp = 12 y zc = 40 el valor del coeficiente de correcci´on xg = −xp ser´a 0.47.

1.11. Software comercial para modelado de engranajes Uno de los softwares que ha tenido gran acogida en el campo de la manufactura de engranajes es GearTrax, este software creado por la empresa Camnetics, permite modelar engranajes rectos, helicoidales, c´onicos, cremalleras, poleas, tornillos sinfin, etc. con gran facilidad.

41 GearTrax en definitiva es un complemento para SolidWorks, Solid Edge y AutoDesk Inventor para el modelado de engranajes. Figura 1.27: GearTrax.

GearTrax posee las siguientes caracter´ısticas: • Intuitivamente f´acil de usar, inclusive para dise˜nadores mec´anicos con limitada experiencia en engranajes. • Asimismo se presenta como una poderosa herramienta para los dise˜nadores mec´anicos con basta experiencia en temas de engranajes. • Presenta un espacio de animaci´on para observar el acoplamiento entre engranajes rectos, y de igual modo para engranajes helicoidales. • Emplea para el trazado de los dientes el estandarizado perfil de evolvente, as´ı como, la aproximaci´on por curvas a trav´es del m´etodo de la evolvente odontogr´afica de Wellman. De este modo se puede modelar en SolidWorks con ayuda de GearTrax diversos tipos engranajes como los que se aprecian en la figura 1.28. Esto demuestra la gran versatilidad del software para modelar engranajes sin menor esfuerzo, pero, como todo software comercial tiene un precio; precio que va desde los $749 hasta $895 para una versi´on comercial que incluye soporte t´ecnico. Actualmente para la elaboraci´on de esta clase de complementos, que pueden ser destinados al a´ mbito educativo y/o comercial, requieren que el usuario del software cuente con conocimientos de programaci´on orientada a objetos.

42 Figura 1.28: Ejemplos de engranajes modelados con ayuda de GearTrax.

Por lo expuesto anteriormente es objetivo principal de esta tesis mostrar c´omo crear un complemento para SolidWorks a trav´es del uso del API SDK SolidWorks.