Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo es

producto de un estudio experimental realizado en diversas aulas del país como parte del proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat), desarrollado por la Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal, de la Secretaría de Educación Pública, y por el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa.

Coordinación de autores Sonia Ursini Legovich Mónica Orendain Tremear Autores Simón Mochón Cohen (Cinvestav) Teresa Rojano Ceballos Sonia Ursini Legovich Diseño de actividades Simón Mochón Cohen Coordinación editorial Elena Ortiz Hernán Pupareli Cuidado de la edición José Manuel Mateo Corrección Felipe Vázquez Supervisión técnica-editorial Alejandro Portilla de Buen Diseño y formación Leticia Dávila Acosta

La evaluación del proyecto Emat fue financiada por el Conacyt, en el marco del proyecto de grupo Incorporación de Nuevas Tecnologías a la Cultura Escolar (G526338S), bajo la dirección de investigadores del Cinvestav.

D.R. © SEP-ILCE, 2000 Secretaría de Educación Pública Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa Calle del Puente 45, colonia Ejidos de Huipulco, Tlalpan 14380, México, D.F.

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología Dirección general Elisa Bonilla Rius (SEP) Guillermo Kelley Salinas (ILCE) Coordinación general de Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología Teresa Rojano Ceballos (Cinvestav) Vinculación, infraestructura y soporte técnico Marcela Santillán Nieto (ILCE) Coordinación Sonia Ursini Legovich (Cinvestav) Mónica Orendain Tremear (asistente) Evaluación Teresa Rojano Ceballos Luis Moreno Armella (Cinvestav) Elvia Perrusquía Máximo (asistente) Asistentes de cómputo Iván Cedillo Miranda Arturo Torres Instructores Ramiro Ávila (Hermosillo, Son.) César Corral (Chihuahua, Chih.) Fortino Fregoso (Guadalajara, Jal.) Gerardo Haase (Aguascalientes, Ags.) José Ramón Jiménez (Hermosillo, Son.) Felícitas Licea (Colima, Col.) Alejandro Ocaña (Xalapa, Ver.) Leticia Pérez (Tlaxcala, Tlax.) Rubén Sanzón (León, Gto.) Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo. Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de los Libros de Texto Gratuitos en los talleres de con domicilio en

ISBN 970-18-5150-1 Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

el mes de noviembre de 2000. El tiraje fue de 10 000 ejemplares más sobrantes de reposición.

Índice

Profesor: ¡Bienvenido a Emat!

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El laboratorio Emat

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Hoja electrónica de cálculo

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Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!

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Actividades básicas

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Un paseo corto por una hoja de cálculo Introduciendo fórmulas Más fórmulas Otra fórmula ¿conocida? Comprando ropa Adivina la fórmula Invierte la fórmula Generando secuencias de números Comparando secuencias Comprando ropa (versión avanzada) Actividades expresivas

Divisibilidad ¿Sabes qué significa MCD? ¿Sabes qué significa mcm? Porcentajes (1) Descuentos y más descuentos Variación proporcional (1) Variación proporcional (2) Variación proporcional (3) Raíz cuadrada y cúbica Ecuaciones (1) Ecuaciones (2) Ecuaciones (3) ¿Sabes qué es una razón? Otro tipo de razones Una investigación con razones Máquinas transformadoras Números consecutivos Del perímetro y el área a los lados Variación lineal (1)

28 29 31 33 34 36 37 38 40 42 43 44 46 48 50 51 53 56 58 59 61 63 65 66 68 70 72 73 75 77

Variación lineal (2) Variación lineal (3) Lineales que caen Ecuaciones explícitas vs. recursivas Recursividad (1) Recursividad (2) Péndulo Ángulo de elevación y de depresión Explosión demográfica Inflación contra salario Interés compuesto Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto Construyendo dados El problema del cumpleaños Actividades exploratorias

Descomposición en primos Cálculo del MCD y el mcm Fracciones equivalentes Polígonos regulares Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm Analizando gráficas de rectas Sistema de dos ecuaciones Ecuaciones diofantinas Funciones cuadráticas Simulación con el modelo de urna (1) Simulación con el modelo de urna (2) Simulación con el modelo de urna (3) Jugando con dados de tres caras Chances Análisis de textos Apuestas Adivina qué está pasando ¿Por dónde saldrá? Anexos

Descripción del archivo FactPrim.xls Descripción del archivo HojaAlg.xls Descripción del archivo Rndmz.xls Examen: Hoja de cálculo. Primer grado Examen: Hoja de cálculo. Segundo grado Examen: Hoja de cálculo. Tercer grado

79 82 84 87 89 91 93 95 98 99 101 103 105 108 110 112 113 115 118 121 123 124 127 129 131 133 134 136 139 142 144 147 149 153 154 155 156 158 164 169

Profesor: ¡Bienvenido a Emat!

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ste libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materiales diseñados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innovación educativa en 15 escuelas secundarias públicas de ocho estados de la república. Los propósitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Modernización Educativa y son los siguientes: Elevar la calidad de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Impulsar la formación de profesores de matemáticas de este nivel escolar. Promover el uso de las nuevas tecnologías en la educación. Generar y actualizar métodos y contenidos educativos de la matemática escolar. Más específicamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factible aprovechar las nuevas tecnologías —apoyadas en un modelo pedagógico que permita construir ambientes de aprendizaje apropiados— para enriquecer y mejorar la enseñanza actual de las matemáticas en la escuela secundaria. Entre las características principales del modelo que propone el proyecto Emat se encuentran: 1. La utilización de piezas de software y herramientas que hacen posible dar un tratamiento fenomenológico a los conceptos matemáticos; es decir, con dichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los conceptos son organizadores de fenómenos. Así, la contextualización de las actividades matemáticas no es una mera ambientación, sino que las situaciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos de fenómenos que —en cierto modo— forman parte de la esencia del concepto que se busca enseñar. 2. La utilización de piezas de software y herramientas que impliquen representaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulación directa de objetos o de representaciones de objetos (matemáticos).

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3. La utilización de piezas de software y herramientas cuyo uso está relacionado con un área específica de la matemática escolar (aritmética, álgebra, geometría, probabilidad, modelación, matemática del cambio). 4. La especialización de los usuarios de la tecnología (alumnos y maestros) en una o más piezas de software o herramientas, de tal forma que logren dominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseñanza y aprendizaje de temas curriculares específicos, antes de pasar al uso de otra herramienta en el aula. 5. La puesta en práctica de un modelo de cooperación para el aprendizaje: los estudiantes trabajarán en parejas frente a la computadora en una misma actividad, lo que promoverá la discusión y el intercambio de ideas. 6. La práctica de un modelo pedagógico en el que el profesor promueve el intercambio de ideas y la discusión en grupo, y al mismo tiempo actúa como mediador entre el estudiante y la herramienta, es decir, el ambiente computacional —asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las actividades de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresión.

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El laboratorio Emat

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studios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas tecnologías abre perspectivas interesantes para la enseñanza de las matemáticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencionar los siguientes: Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje. Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para construir significados. Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la conceptualización y la resolución de problemas. Da un soporte basado en la retroalimentación. Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se aventura más a explorar sus ideas. La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumentos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencialmente diferentes. El objetivo principal del empleo de la tecnología en el aula no se reduce a practicar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y técnicas mediante el ejercicio de la reflexión. Así, la matemática pasa a ser mucho más que una simple mecanización de procedimientos. Una característica importante de los paquetes de cómputo que se han elegido para el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qué hacer con ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo —como ocurre en los programas tutoriales—. Estos paquetes abiertos pueden usarse con objetivos didácticos muy diversos, muchos de los cuales están definidos por las actividades que se proponen en este libro. Un laboratorio Emat está integrado básicamente por el siguiente equipo: Computadoras para los alumnos Computadora para el maestro Impresora Módem (opcional)

Reguladores de corriente Calculadoras Mesas y sillas adecuadass

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Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con un aula de buen tamaño (por ejemplo de 8 x 12 m) que tenga corriente eléctrica de 110 voltios y que cuente con contactos trifásicos. Si se desea que alguna computadora tenga acceso a internet debe contarse, además, con una línea telefónica. Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispensable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enrejado en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante también que las computadoras estén conectadas a reguladores de corriente. Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomendamos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma de herradura, como se muestra en el esquema.

Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espacio suficiente para que puedan sentarse cómodamente dos o tres niños por máquina. La disposición en herradura tiene múltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestro pasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que están realizando. Por el otro, con sólo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alumnos pueden acomodarse para participar en una discusión colectiva o atender las explicaciones que el maestro dirija a todo el grupo. Es necesario también que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alumnos las utilizarán, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero también cuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lápiz y papel. Para enseñar matemáticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos paquetes computacionales (Cabri-Géomètre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).

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El laboratorio Emat

Algunos de estos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros son comerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos para usarse en grupo. Para más información al respecto puede consultar la página de Emat en internet, cuya dirección es: http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat

Metodología de trabajo Enseñar matemáticas utilizando computadoras o calculadoras conlleva muchos cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el papel que desempeña el maestro en este contexto, en la organización del trabajo de los alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento. El papel del maestro

Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo que el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se desarrolla con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación, tecnología y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendizaje de sus alumnos de tres formas distintas: Mediante las hojas de trabajo que les proporciona. Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas de trabajo en el salón de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los más valiosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportunidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, lo que permitirá darles sugerencias cuando lo necesiten. En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de ella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el profesor sólo debe coordinar esta actividad. En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de guía y de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investigación; en otras palabras, los invita a: Explorar. Formular hipótesis. Probar la validez de las hipótesis.

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Expresar y debatir sus ideas. Aprender a partir del análisis de sus propios errores. En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando o explicando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnos trabajen para resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previamente elaboradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, sus intervenciones tienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentren por sí mismos una solución aceptable. Esta función se ve reforzada por la organización de los alumnos en equipos de trabajo, pues así el maestro puede pasar de un equipo a otro observando el trabajo que realizan y auxiliándolos, cuando sea necesario, para que puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando este tipo de intervención no es suficiente, conviene que el maestro muestre un camino de solución posible y los invite a adoptarlo y continuar por sí mismos. En estos casos no se debe proporcionar demasiada información, pues lo importante es que los equipos sigan trabajando de manera autónoma. El propósito siempre debe ser ayudar a los alumnos a que se involucren en la actividad, pongan en juego su saber matemático anterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemáticas nuevas a partir de sus propias experiencias. Si la mayoría de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades al abordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusión para tratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenas oportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los que existe consenso, así como para introducir información nueva que permita a los alumnos avanzar en su trabajo. La organización del trabajo de los alumnos

El uso de las computadoras no implica necesariamente un aprendizaje individualizado. Esta idea parte de que algunos programas de cómputo han sido diseñados para que sólo una persona trabaje a la vez (es el caso de los llamados tutoriales). Los programas de cómputo seleccionados para trabajar en el aula Emat fomentan la interacción de los alumnos entre sí y con su profesor, gracias al empleo de hojas de trabajo. En este acercamiento social del aprendizaje la comunicación desempeña un papel crucial. Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferencia de dos integrantes). Esto fomenta la discusión y produce un aprendizaje más completo y sólido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo, habrá que evitar que los estudiantes desempeñen siempre las mismas funciones (por ejemplo, que

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El laboratorio Emat

sólo uno lea y el otro trabaje con la computadora o la calculadora), pues si esto ocurre, solamente adquirirán unas habilidades específicas pero no otras. Los estudiantes pueden formar sus equipos como deseen, pero es aconsejable que intercambien las tareas para que desarrollen todas las habilidades requeridas: manejo del software, planteamiento del problema, lectura y comprensión de las actividades, etcétera. La organización de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas ventajas, sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en trabajar de este modo. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptar esta manera de trabajar. El trabajo en equipo propicia el intercambio y confrontación de ideas entre los alumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo exponga su punto de vista, lo discuta y confronte con los demás integrantes. Este intercambio ayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionar sobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar y debatir los argumentos de los demás e ir reafirmando sus conocimientos matemáticos y adquiriendo otros nuevos. Las hojas de trabajo

Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las actividades que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manera sucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implícita para que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien las actividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnología, es necesario que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en las hojas de trabajo. Esto tiene un doble propósito. Por un lado, obliga a los alumnos a reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando la máquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporciona información al maestro acerca de la comprensión que los alumnos han alcanzado de los conceptos matemáticos involucrados en la tarea. Esta información es fundamental para que el maestro decida qué acciones pondrá en práctica en las clases sucesivas, y para que conozca y evalúe el progreso de sus alumnos. La mayoría de las actividades están pensadas para que todo un grupo de estudiantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesión de trabajo el maestro cuidará que todos los equipos cuenten con las hojas de trabajo necesarias para esa sesión y les pedirá que las lean. Es importante que el maestro se cerciore de que los alumnos han entendido en qué consiste la actividad y qué se espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajo frente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.

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Hoja electrónica de cálculo

Propósitos ¿Cuál es el objetivo didáctico de la hoja de cálculo? La hoja electrónica de cálculo no se creó con un propósito educativo específico, sin embargo, se ha encontrado que puede ser un gran apoyo para la enseñanza de diversos temas de matemáticas. Entre las ventajas que reporta el uso didáctico de la hoja electrónica de cálculo se pueden mencionar los siguientes: Permite desarrollar conceptos matemáticos importantes. Es posible diseñar una experiencia didáctica para el aprendizaje de un tópico particular. Permite plantear un problema matemático para su solución. Se puede construir un modelo matemático y usarlo en la enseñanza de las ciencias. Facilita la resolución de problemas de la vida cotidiana (depósitos en bancos, compras en supermercados, etcétera).

¿Cuáles son las ventajas específicas de una hoja electrónica de cálculo? En primer lugar debe considerarse que permite hacer muchos cálculos repetitivos de manera instantánea. Aunque una calculadora es una herramienta más adecuada para este propósito, la hoja de cálculo tiene otras virtudes: La situación que queremos describir o el problema que debemos resolver puede ordenarse en columnas; cada una de estas columnas representa una de las variables de la situación. A cada columna se le puede asignar una cabeza o título para no perder de vista qué cantidad o variable se está representando. Es posible designar cantidades especiales (parámetros) para que puedan variarse fácilmente y observar su efecto. Permite el empleo de fórmulas sencillas para relacionar las columnas o las celdas subsecuentes. Pone a nuestro alcance tablas de valores y sus gráficas correspondientes.

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Por lo anterior, la hoja de cálculo facilita el planteamiento y la resolución de una amplia diversidad de problemas matemáticos, aunque no de todos; es por esto que el profesor debe proporcionar a sus alumnos una amplia gama de recursos para solucionar situaciones con y sin la computadora.

¿Qué tipo de técnicas matemáticas aparecen al utilizar una hoja de cálculo? Si bien la hoja de cálculo puede utilizarse para enseñar casi cualquier tema, muchas veces el enfoque resulta diferente del usual, ya que las técnicas para plantear un problema con y sin la hoja de cálculo son distintas. Por ejemplo, una función lineal puede plantearse mejor en una hoja de cálculo cuando se aborda con base en sus cambios (lineal = cambios constantes). En general, el trabajo que se realiza con la hoja de cálculo muestra que ésta es una herramienta adecuada para la enseñanza de las relaciones recursivas. Otro tema que se adapta sin problemas a la hoja de cálculo es el de las funciones exponenciales, cuando se emplean para establecer un modelo de una situación real. Por supuesto, existen otras técnicas y temas matemáticos relevantes e importantes que se pueden abordar con la hoja electrónica de cálculo, si bien no todos están incluidos en nuestro programa de estudios.

Contenidos matemáticos relacionados con la hoja de cálculo Uno de los objetivos primordiales de este proyecto de enseñanza con tecnología es que el alumno adquiera conocimientos y habilidades que le sean de utilidad no sólo en materias de carácter científico y en estudios posteriores, sino también en su vida cotidiana. En algunos países se ha probado con éxito un enfoque didáctico conocido como modelación matemática. En éste, el alumno se enfrenta a problemas basados en situaciones reales, y al resolverlos, se apropia de una serie de herramientas matemáticas importantes. Como los conceptos, tópicos o métodos matemáticos forman parte de la resolución de un problema real adquieren importancia y así se justifica su estudio. Todas las actividades de este libro se rigen por esa idea y pueden ser de gran utilidad para el aprendizaje de los estudiantes de secundaria, aun cuando no sean del tipo que tradicionalmente se enseñan en el salón de clase.

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Hoja electrónica de cálculo

Temas Las actividades para trabajar con la hoja de cálculo electrónica están organizadas en tres grupos, los cuales se describen a continuación. Actividades básicas. Se trata de 10 hojas de trabajo que introducen al alumno en el manejo de la hoja electrónica de cálculo, al mismo tiempo que se abordan algunos tópicos matemáticos importantes, con lo cual se inicia también el tratamiento de algunos contenidos de la asignatura. Actividades expresivas. El objetivo de esta serie de actividades es que los estudiantes construyan sus propias hojas de cálculo al tiempo que abordan nuevos temas matemáticos. Actividades exploratorias. Se llamó así al tercer grupo de hojas de trabajo debido a que los alumnos emplearán archivos previamente elaborados para explorar diversos temas de la asignatura (el presente libro viene acompañado de un CD con los archivos respectivos).

¿Para qué necesito hojas de trabajo? Las nuevas tecnologías requieren un acercamiento didáctico diferente, basado en el alumno y su interacción con las herramientas tecnológicas. Las hojas de trabajo guían al alumno para que esta comunicación sea lo más provechosa posible y, algo muy importante, le transfieren la responsabilidad de su aprendizaje. Las estrategias de enseñanza que se plantean en este libro no se aplican sólo cuando se usan herramientas tecnológicas, pues también reportan grandes beneficios en el aula tradicional.

¿El diseño de las hojas de trabajo? Para diseñar una hoja de trabajo se considera el tema, el objetivo didáctico que se persigue y la herramienta computacional que se planea utilizar. Con base en estas directrices, se estableció la secuencia para las hojas de trabajo del presente libro y su contenido. A continuación se describe cada parte de la secuencia con el fin de proporcionar al maestro una guía que permita diseñar sus propias hojas de trabajo. 1. Se plantea una situación problemática en un contexto real. Esto ayuda al estudiante a encontrar el significado de lo que está aprendiendo.

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2. Se formulan preguntas que ayudan a reflexionar sobre el problema. Estas preguntas tienen como objetivo que el alumno entienda el problema planteado y que formule algunas expectativas y predicciones antes de trabajar con la computadora. 3. Se pide al alumno que explore y resuelva el problema con la herramienta computacional. 4. Se plantean preguntas sobre los resultados así como retos. Para que el alumno no se limite a realizar la actividad, conviene brindarle oportunidades para que cuestione los resultados y exprese ideas relacionadas con el problema (esto, por falta de espacio, no siempre se hace explícito en la hoja de trabajo, pero se debe considerar cada vez que se lleve a cabo una actividad). 5. Discusión y conclusiones. Es importante que el alumno trate de extraer algunas conclusiones de la actividad y que las exponga ante el grupo para su discusión. En este caso se puede guiar a los alumnos destacando los elementos más importantes de la actividad. 6. Trabajo extra. Un grupo siempre es heterogéneo y con frecuencia hay estudiantes que terminan de trabajar rápidamente. Para ellos se propone al final de cada actividad un trabajo extra. No se trata de que todos los alumnos lleven a cabo la actividad adicional, basta con que cubran el material básico. Como puede observarse, al inicio de la hoja de trabajo se dirige bastante al estudiante y ya al final se vuelve más abierta para que tenga la posibilidad de explorar sus ideas.

¿Se pueden diseñar más hojas de trabajo? Desde luego; para ello puede seguirse el modelo descrito en la sección anterior. Sin embargo, se debe tener presente que diseñar hojas de trabajo no es sencillo y que una vez diseñadas deben probarse y refinarse continuamente. Es muy importante no abusar de la herramienta computacional que tenemos a la mano. No convendría por ejemplo, usar una hoja de cálculo para hacer tres o cuatro operaciones, cuando una calculadora sería realmente lo apropiado en este caso. La hoja de cálculo es idónea, por ejemplo, para hacer cálculos repetitivos. Debemos por tanto aprovechar las ventajas específicas que nos proporciona y no emplearla para cualquier situación. Para comenzar a ejercitarse en el diseño de actividades, el maestro puede usar dos archivos: Rndmz.xls y HojaAlg.xls. incluidos en el CD que acompaña este libro.

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Hoja electrónica de cálculo

Los instructivos para emplearlos se encuentran en la sección de anexos (véanse pp. 153-156). Tras explorarlos, el maestro podrá aprovechar el primer archivo para abordar las situaciones aleatorias, mientras que el segundo le será útil para plantear temas algebraicos como las fórmulas inversas y la composición.

¿En qué orden debo aplicar las actividades? Hay dos maneras: en la primera, si un alumno o un equipo ha concluido una actividad, se le da la siguiente y así, cada uno avanza con un ritmo propio. En la segunda opción, el grupo entero trabaja con la misma actividad y cuando ésta se da por concluida, se pasa a la siguiente. La actividad concluye cuando la mayoría de los estudiantes han terminado. Ambas formas de proceder tienen ventajas y desventajas, pero aquí recomendamos la segunda por las razones expuestas a continuación. El profesor debe preparar su clase con anterioridad para guiar a sus alumnos adecuadamente cuando éstos tengan dudas y para prever dificultades que podrían presentarse. Obviamente se requiere más tiempo si se trabaja con varias actividades simultáneamente, que si se emplea una a la vez. Debe considerarse también que es más difícil dirigir una clase si cada alumno resuelve una actividad diferente. Pero independientemente de las dificultades que implica esta opción, quizá la ventaja más importante de trabajar la misma actividad con todo el grupo es que pueden retomarse las ideas importantes de los alumnos para comentarlas colectivamente. Este tipo de interacción es muy valiosa porque unos aprenden de las ideas de otros (el profesor en este caso tiene el papel de un director de orquesta que armoniza todos los instrumentos sin que se le oiga).

¿Cómo debo proceder si algunos estudiantes se atrasan en las actividades? El profesor puede obviar, con los estudiantes atrasados, algunas de las actividades en las que se retoman temas ya vistos para que estos alumnos logren alcanzar a todo el grupo. Sin embargo, hay que tener cuidado de que no se vaya a dejar sin tocar algunas ideas relevantes. Otra opción conveniente es que los estudiantes adelantados realicen actividades de enriquecimiento mientras los demás completan las actividades básicas, sobre todo cuando se está cerrando una unidad. Algunas de estas actividades de enriquecimiento ya se encuentran diseñadas y representan el punto de partida para que el profesor idee otras.

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¿Se deben corregir las hojas de trabajo contestadas por los alumnos? Las hojas de trabajo no son cuestionarios. Las preguntas que incluyen tienen el objetivo de guiar al estudiante y hacer que reflexione sobre las ideas que se están tratando. Por otro lado, una respuesta correcta no significa necesariamente que el estudiante haya entendido lo que está haciendo ni una respuesta errónea implica que haya procedido de manera incorrecta. Lo importante es observar el trabajo de los alumnos en clase.

¿Cómo se evalúa el trabajo de los alumnos? Como ya mencionamos, los 45 o 50 minutos de clase son los más valiosos en el aprendizaje de los alumnos. También es la mejor oportunidad del profesor para evaluar a sus alumnos de una manera justa. Así, sugerimos que sea la evaluación visual de las actividades diarias en el salón de clase la que le sirva para identificar lo que aprendieron los estudiantes y sus dificultades individuales. Por otro lado, el profesor tiene que definir sus propias estrategias para que esta evaluación, además de serle útil para conocer el nivel de sus estudiantes, le sirva para asignar una calificación a cada estudiante. Por ejemplo, al final de cada clase puede asignar una clave (A = muy bien, B = bien, C = regular o D = deficiente) para representar el desempeño de cada estudiante durante el día.

¿Todas las actividades sugeridas están en el programa de estudios? Las actividades se basan en la modelación, que consiste en resolver problemas relacionados con la vida real aplicando las matemáticas (desde luego, se pueden escoger aquellos problemas en los que aparece la matemática que se desea enseñar). Con este enfoque los diferentes tópicos de las matemáticas se van relacionando y cubriendo de una manera global, al tiempo que adquieren sentido gracias a que forman parte de un problema real. La mayoría de las actividades están relacionadas con los programas de estudios, sin embargo, la hoja de cálculo los aborda desde una perspectiva diferente. Por ejemplo, las ecuaciones generalmente se tratan como una serie de técnicas algebraicas para manipular la expresión y finalmente para “despejar la incógni-

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Hoja electrónica de cálculo

ta”. En una hoja de cálculo el procedimiento implica la “búsqueda y refinamiento” de los resultados. Hay que hacer énfasis que ambas formas son importantes y se complementan. Existen también varias actividades que no están explícitamente mencionadas en el programa de estudios pero que por su importancia actual se han incluido. Éstas están relacionadas con la recursividad, que junto con el uso de las computadoras ha cobrado una gran relevancia en la enseñanza. Sugerimos incluir este tipo de actividades ya que uno de los objetivos generales de la materia de Matemáticas es mostrar al estudiante la conexión de las matemáticas con el mundo real.

Ejemplo de distribución de actividades No es necesario explicar a los estudiantes qué es una hoja de cálculo y cómo funciona. Las mismas actividades los introducen poco a poco en el manejo de esta herramienta. De hecho, las “Actividades básicas”, integradas por una serie de 10 hojas de trabajo, cumplen con este propósito. Después de que las “Actividades básicas” hayan sido cubierta por los alumnos, se puede seleccionar cualquiera de las actividades que se encuentren en los otros dos grupos: “Actividades expresivas” y “Actividades exploratorias”, dependiendo de los temas específicos del programa que se deseen cubrir. Desde luego, es necesario determinar si los estudiantes cuentan con los conocimientos suficientes para trabajar con cada actividad, si bien casi todas son bastante sencillas y no requieren de conocimientos previos. Lo ideal es que el mismo profesor escoja la distribución de las actividades de acuerdo con su programa de estudios. Aquí la flexibilidad puede ser la virtud más importante. No siempre es necesario que el tema de la hoja de trabajo sea el punto principal de la clase. La hoja de trabajo puede aprovecharse para introducir ideas, como repaso o para presentar un enfoque diferente. Aunque muchas hojas de trabajo aparentemente no tienen mucha relación con el programa de estudios, pueden ser muy útiles para que los estudiantes reflexionen sobre una amplia gama de temas matemáticos. Las hojas de trabajo están diseñadas con un contenido matemático específico, el cual está delineado por el título de la misma. A continuación, se encuentra una lista de las actividades incluidas, junto con su tema y su posible distribución dentro de los tres años escolares de secundaria (la secuencia puede cambiar o mantenerse de acuerdo con el criterio del profesor).

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Contenidos curriculares

Un paseo corto por una hoja de cálculo Introduciendo fórmulas Más fórmulas Otra fórmula ¿conocida? Comprando ropa (1) Adivina la fórmula Invierte la fórmula Generando secuencias de números Comparando secuencias Comprando ropa (2) Aritmética

Preálgebra

Aritmética

Preálgebra Geometría y preálgebra Álgebra

Nuevas ideas

Divisibilidad ¿Sabes qué significa MCD? ¿Sabes qué significa mcm? Porcentajes (1) Descuentos y más descuentos Variación proporcional (1) Variación proporcional (2) Variación proporcional (3) Raíz cuadrada y cúbica Ecuaciones (1) Ecuaciones (2) Ecuaciones (3) ¿Sabes qué es una razón? Otro tipo de razones Una investigación con razones Máquinas transformadoras Números consecutivos Del perímetro y el área a los lados Variación lineal (1) Variación lineal (2) Variación lineal (3) Lineales que caen Ecuaciones explícitas vs. recursivas Recursividad (1) Recursividad (2)

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Aplicación Trigonometría Álgebra y nuevas ideas

Probabilidad

Hoja electrónica de cálculo

Péndulo Ángulo de elevación y de depresión Explosión demográfica Inflación contra salario Interés compuesto Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto Construyendo dados El problema del cumpleaños

Aritmética

Descomposición en primos Cálculo del MCD y el mcm Fracciones equivalentes Geometría Polígonos regulares Aritmética Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm Álgebra Analizando gráficas de rectas Sistema de dos ecuaciones Ecuaciones diofantinas Funciones cuadráticas Probabilidad Simulación con el modelo de urna (1) Simulación con el modelo de urna (2) Simulación con el modelo de urna (3) Jugando con dados de tres caras Tratamiento de información Chances Probabilidad Análisis de textos Apuestas Adivina qué está pasando ¿Por dónde saldrá? Situaciones aleatorias Álgebra Fórmulas inversas y composición Descripción de archivos

Exámenes

3 3 3 3 3 3 2

3

3

3

2

3

1 1 1 1 1

2 2 3 2

3 3 3 3

1

2

1

2

3

1

2

3* 3*

Descripción del archivo FactPrim.xls Descripción del archivo HojaAlg.xls Descripción del archivo Rndmz Examen: Hoja de cálculo. Primer grado Examen: Hoja de cálculo. Segundo grado Examen: Hoja de cálculo. Tercer grado

* Esta actividad deberá diseñarla el profesor.

23 @

Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Las hojas de trabajo En las páginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puede usar con sus alumnos para trabajar problemas de aritmética, preálgebra y álgebra. Las hojas están agrupadas en “Actividades básicas”, “Actividades expresivas” y “Actividades exploratorias”. Antes de empezar el trabajo en el laboratorio Emat es conveniente que el maestro lea a todo el grupo el texto “Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!”. El propósito de esta lectura es contestar algunas de las preguntas que suelen inquietar a los alumnos al empezar esta nueva manera de trabajar. Como se observará, en las actividades exploratorias se menciona entre paréntesis algunos archivos de Excel que es necesario copiar en las computadoras que usarán los alumnos. Para tener acceso a estos archivos entre al CD que acompaña al libro y haga clic en ACTIVIDADES.

@ 24

Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!

B

ienvenidos a Emat (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología). A partir de hoy muchas de las clases de Matemáticas se desarrollarán en este laboratorio. Como podrán observar, en el laboratorio Emat hay varias computadoras y calculadoras. Trabajarán con unas u otras dependiendo del tema de estudio.

¿Cómo se trabaja en un laboratorio Emat? En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto se notará más todavía cuando se requiera el uso de las computadoras. Se formarán equipos de dos o tres compañeros para que juntos resuelvan, con ayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se le entregará una hoja de trabajo en la que vendrá detallada la actividad en cuestión. Será necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y la discuta hasta entender bien qué se espera de todos. Una vez entendida la actividad, los equipos decidirán la estrategia que seguirán para resolverla. Es muy importante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algún momento acceso al teclado y al manejo del ratón.

¿Quién me puede ayudar? Cuando necesiten ayuda para entender bien de qué trata la actividad o para saber cómo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otros compañeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es comprender la actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja más rápido o más lento que los demás. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.

¿Cómo trabajaré en el laboratorio? Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, un equipo de expertos ha diseñado una serie de actividades matemáticas que podrán desarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus co-

25 @

Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

nocimientos matemáticos anteriores; así aprenderán conceptos matemáticos nuevos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrán que leer las hojas de trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que allí se formulan. Discutan con el maestro y los demás compañeros los resultados que obtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compañeros llegan a resultados distintos, traten de entender por qué; quizá se trate de resultados equivalentes o tal vez alguien cometió un error. Si esto último ocurre, no hay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que se debe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dónde se cometió el error y corregirlo.

¿Cuál es el papel del maestro? En el laboratorio Emat no cambia sólo la manera de trabajar de los alumnos, cambia también el papel del maestro. La función del maestro ya no será la de “dar la clase”, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo de cada equipo auxiliándolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces un compañero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.

¿Cómo se evaluará el trabajo? En el laboratorio Emat el maestro tomará en cuenta varios elementos. Considerará la participación de cada quien en el equipo de trabajo así como las discusiones de grupo. También valorará la constancia y el empeño que pongan en realizar las actividades. De vez en cuando aplicará algún examen individual para ver qué tanto han aprendido.

¿Cómo cuidar el equipo? Finalmente queremos llamar la atención sobre el cuidado que hay que tener al manejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que va a ser usado por muchos compañeros. Al mismo laboratorio acudirán alumnos de distintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltratar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratón con cuidado, evitando que caiga al suelo.

@ 26

Actividades básicas básicas

U n paseo corto por una hoja

•••••••••••••••••••••••••

de cálculo

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

El objetivo de esta actividad es que te familiarices con la hoja electrónica de cálculo. En las celdas de una hoja de cálculo puedes introducir: Texto: Escribe la palabra Nombre en la celda A1 (para confirmar oprime la tecla RETURN). Escribe tu nombre en la celda B1. Escribe la palabra Fecha en la celda F1. Escribe la fecha de hoy en la celda G1. Números: Escribe un 8 en la celda C9. Escribe un 9 en la celda D11. Escribe un 7 en la celda E10. Expresiones aritméticas (para que la hoja calcule expresiones aritméticas, debes escribirlas empezando con el signo igual): Escribe = 7 * 2 – 8 en la celda E9 y observa el resultado. Coloca nuevamente el cursor en esta celda y fíjate en la expresión que escribiste en la barra CONTENIDO de la hoja de cálculo. Escribe = 9 – 2 * 2 en la celda D10 y verifica el resultado. Escribe = (9 – 2) * 2 – 10 en la celda C11 y observa el resultado. Fórmulas algebraicas (para escribir fórmulas también debes comenzar con el signo igual): Escribe = C9 – 5 en la celda C10. Explica el resultado:

Escribe = D10 – 4 en la celda D9. Explica el resultado:

Escribe = C11 / 2 en la celda E11. Explica el resultado:

Por último, escribe Cuadrado mágico en la celda D7. Coloca el texto en el centro de la celda presionando el icono CENTRAR. Para revisar si tu cuadrado mágico es correcto, suma cualquier columna o fila. El resultado de la suma siempre deber ser 15. También debes obtener 15 como resultado si sumas cualquiera de las dos diagonales.

@ 28

actividades

básicas

I ntroduciendo fórmulas

•••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Digamos que en una panadería el pan dulce se vende a $1.75 la pieza, y para calcular el costo de las piezas vendidas se usa la siguiente fórmula: = A2 * 1.75 Escribe la fórmula en la celda B2. Oprime RETURN.

A

B

1

PIEZAS

A PAGAR

2

3

= A2 * 1.75

C

3 4

En la celda B2 aparece el valor 5.25. ¿Sabes por qué? Si tu respuesta fue afirmativa, ya estás listo para vender pan dulce. Cambia el número 3 en la celda A2 por el 8. ¿Cuánto hay que pagar por 8 piezas de pan dulce? ¿Cuánto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce? Una persona va a comprar pan dulce para una fiesta con un billete de $100. ¿Cuántas piezas puede comprar? (Cambia paulatinamente el número de la celda A2 hasta que en la celda B2 te aproximes al 100, pero sin rebasar dicho número.) Supón ahora que el precio de la pieza de pan dulce sube a $2.25. Cambia la fórmula en la celda B2 por la correcta en esta nueva situación. ¿Cuánto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce? ¿Cuántas piezas se pueden comprar como máximo con $100? Piensa ahora que estás en el año 2010. Sin que vea tu compañero, cambia el precio de la pieza de pan dulce en tu hoja de cálculo de acuerdo con esta nueva situación. actividades

básicas

29 @

Introduciendo fórmulas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Pídele a tu compañero que adivine la fórmula que pusiste en la celda B2 variando el contenido de la celda A2 (está prohibido que escriba el número 1 en esta celda). Fórmula: Inviertan los papeles. Ahora tu compañero debe escribir la fórmula para que tú la adivines. Fórmula: Guarda esta hoja de trabajo hasta el año 2010 para ver quién de los dos tenía razón.

@ 30

actividades

básicas

M ás fórmulas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

La siguiente fórmula relaciona la edad de un niño con su estatura. estatura = 5 * edad + 85 Para calcular la estatura, se debe multiplicar la edad por 5 y sumarle 85. En una hoja de cálculo como la siguiente, escribe en la celda B2 la fórmula = 5 * A2 + 85 para calcular la estatura de un niño de 5 años (celda A1).

A

B

1

EDAD

ESTATURA

2

5

C

3 4 El resultado es 110 cm. Escribe ahora tu edad en la hoja de cálculo. ¿Qué estatura obtuviste al aplicar la fórmula? ¿Cuál es tu estatura real? Explica la diferencia:

Con la fórmula de arriba es posible determinar la estatura promedio de niños cuya edad es de entre 5 y 15 años. Introduce en la hoja de cálculo varias edades diferentes y valora los resultados que obtengas. De acuerdo con la fórmula contesta las siguientes preguntas: ¿Cuál es la estatura en centímetros de un adulto de 63 años de edad?

actividades

básicas

31 @

Más fórmulas

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿A cuántos metros equivale? Como puedes apreciar, la fórmula no es válida para personas adultas. Una fórmula válida para niños de Estados Unidos es: estatura = 6 * edad + 80 ¿Cuánto debe medir un niño de 5 años en los Estados Unidos?

¿Cuál es la estatura promedio de niños de tu edad en los Estados Unidos?

@ 32

actividades

básicas

O tra fórmula ¿conocida?

•••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

¿Conoces las siguientes fórmulas? distancia = velocidad * tiempo tiempo = distancia / velocidad En esta actividad usarás la segunda para realizar algunos cálculos. Supón que un coche sale de la ciudad de México y se dirige a Acapulco. Si la velocidad promedio del coche es de 100 km/h y Acapulco se encuentra a 400 km de distancia, ¿cuánto tiempo tardará en realizar este recorrido? Para encontrar la respuesta llena una hoja de cálculo como la siguiente: A

B

C

1

DISTANCIA

VELOCIDAD

TIEMPO

2

400

100

3 4

Escribe en la celda C2 la fórmula = A2/B2. El resultado debe ser de 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido un camión que se mueve a 60 km/h?

Esto equivale a:

horas y

minutos. os.

La distancia entre la ciudad de México y Mérida es de 1560 km. ¿Cuánto tardará el mismo camión en realizar este recorrido? La distancia entre la ciudad de México y Mexicali es de 2760 km. Si un coche quiere hacer este recorrido en 24 horas exactamente, ¿qué velocidad promedio debe mantener? (Sugerencia: Inserta esta distancia en tu hoja de cálculo y varía el valor de la velocidad hasta que obtengas 24 horas en la columna tiempo.)

actividades

básicas

33 @

C omprando ropa

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Si una mamá compra para sus tres hijos 6 camisas y cada una tiene un precio de $71.00, ¿cuál es el costo total de las 6 camisas? En la siguiente hoja de cálculo se registran los artículos que compró esta señora, con sus respectivas cantidades y precios. Completa la hoja calculando el costo total de cada tipo de prenda. Para ello, sigue estas instrucciones: En la celda D2 escribe la fórmula para calcular el costo de las camisas compradas, esto es: = B2 * 71.00 En la celda D3 escribe la fórmula para calcular el costo de las playeras, esto es: = B3 * 31.50 En la celda D9 escribe la fórmula para calcular el costo total, esto es: = D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7

A partir de la celda D4 sigue escribiendo fórmulas similares a las anteriores que calculen el costo de cada uno de los artículos restantes. A

B

C

D

1

ARTÍCULO

CANTIDAD

PRECIO

COSTO

2

Camisa

6

71.00

3

Playera

3

31.50

4

Falda

2

123.00

5

Pantalón

4

168.50

6

Shorts

6

39.90

7

Calcetines

9

11.90

8 9

TOTAL

Tu total debe ser de $1 787.00. Si no es así, revisa tu trabajo o compáralo con el de alguno de tus compañeros y realiza las correcciones pertinentes.

@ 34

actividades

básicas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Comprando ropa

Ahora considera la siguiente lista de artículos: ARTÍCULO

CANTIDAD

Camisa Playera

3 3

Falda Pantalón

1 2

Shorts

3

Calcetines

6

Introdúcelos en tu hoja de cálculo para obtener el total que se debe pagar. Si sólo se compraran 2 camisas y 3 faldas, ¿cuánto se tendría que pagar? Pídele a un compañero que complete la siguiente tabla como desee: ARTÍCULO

CANTIDAD

Camisa Playera Falda Pantalón Shorts Calcetines Introduce las nuevas cantidades en tu hoja de cálculo para que sepas cuánto deberías pagar si hicieras esa compra. Considera que, para el año siguiente, el precio de cada artículo subirá como se indica en la tabla siguiente: ARTÍCULO

CANTIDAD

Camisa Playera

88.00 43.00

Falda Pantalón

150.00 195.00

Shorts

49.50

Calcetines

16.50

Introduce estos datos en tu hoja de cálculo. Calcula el nuevo total que la primera señora tendrá que pagar si compra las mismas cantidades de ropa para sus tres hijos. Nota que vas a tener que cambiar la columna C (precios) y también las fórmulas de la columna D, ya que éstas contienen los precios anteriores. actividades

básicas

35 @

A divina la fórmula

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Observa la siguiente tabla. A

B

C

1 2

3

3

7

4 El número 7 resulta de escribir la fórmula = A2 + 4. Ahora, sin que tu compañero vea, escribe un número en la celda A2 y una fórmula en la celda B3. Puedes emplear cualquier operación para tu fórmula, por ejemplo: = A2 – 5, = A2 * 3, = A2 / 4, etcétera. Pide a tu compañero que adivine la fórmula cambiando el número de la celda A2. Una vez que la haya adivinado, dile que la escriba en la celda C3, para comprobar que las fórmulas son iguales. ¿La fórmula de tu compañero es igual a la que tú pensaste? Escribe aquí la fórmula:

Intercambien ahora los papeles: tu compañero escribirá la fórmula y tú la adivinarás. Escribe aquí la fórmula: Repitan una vez más el juego. Escriban a continuación las fórmulas:

@ 36

actividades

básicas

I nvierte la fórmula

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Escribe un número en la celda A2 y una fórmula en la celda B3. Enséñale a tu compañero la fórmula y pídele que escriba una fórmula en la celda C2 que invierta la acción de la fórmula que aparece en B3; es decir, el resultado de la celda C2 siempre debe ser igual al valor que aparece en A2. Observa el ejemplo siguiente: A

B

C

1 2

3

3

3 7

4 Para obtener el 7 de la celda B3 se escribió la fórmula = A2 + 4. Para invertir esta fórmula, en C2 se escribió = B3 – 4. Así se obtuvo el 3 en C2, cuyo valor es igual que en A2. Si cambias el valor en A2, cambiará en C2. A continuación, escribe una fórmula en B3, y en C2 la fórmula que invierta su acción. Después llena la tabla siguiente: FÓRMULA

FÓRMULA QUE LA INVIERTE

Para terminar, regresa a la actividad “Adivina la fórmula” (p. 16), pero ahora pide a tu compañero que encuentre fórmulas con dos operaciones como las siguientes: = 2 * A2 + 1, = 3 * A2 – 2, etcétera. actividades

básicas

37 @

G enerando secuencias de números

••• •• •• •• •• •••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse como sigue: A 1

4

2

5

B

C

3 4 En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1. En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1. Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la de tu hoja. Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué secuencia obtienes ahora en la columna A? ¿Qué harías para obtener la secuencia 100, 101, 102, 103… en la columna A?

Hazlo. Escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que te dé como resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B la secuencia 100, 99, 98, 97… Tu hoja debe verse como sigue:* A

B

1

100

100

2

101

99

3

102

98

4

103

97

C

*Pide a tu maestro que te explique cómo copiar hacia abajo la fórmula que pusiste en A2.

@ 38

actividades

básicas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Generando secuencias de números

Construye en la columna C la secuencia 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes poner el primer número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después copiarla hacia abajo. Después construye las siguientes secuencias: En la columna D: 10, 5, 0, -5…

En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…

En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16…

En la columna E: 5, -5, 5, -5, 5…

Discute con el resto del grupo si una fórmula cambia o no cuando se copia hacia abajo.

actividades

básicas

39 @

C omparando secuencias

••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Piensa en el siguiente problema: Tu papá te ofrece dos opciones para tu gasto semanal. En la primera, te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100 pesos a la cantidad inicial. En la segunda opción, te dará un centavo para empezar, aunque promete que cada semana te dará el doble de la semana anterior. ¿Cuál de las dos opciones escogerías? Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usando fórmulas en la fila 3 para generar las tres series. A

B

C

1

SEMANA

1A OPCIÓN

2A OPCIÓN

2

1

100

0.01

3

2

200

0.02

4

3

300

0.04

Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas: ¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?

¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (después de medio año) si hubieras escogido la segunda opción? ¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?

¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?

En una secuencia aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el siguiente. En una secuencia geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo para obtener el siguiente. ¿Cuál de las secuencias de arriba es geométrica y cuál es aritmética?

@ 40

actividades

básicas

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Comparando secuencias

Clasifica las secuencias de la actividad “Generando secuencias de números” (pp. 38-39) como aritméticas o geométricas. Aritméticas: Geométricas: En las líneas de abajo, inventa tres secuencias aritméticas y tres secuencias geométricas:

actividades

básicas

41 @

C omprando ropa (versión avanzada) Nombre

Edad

Escuela

Fecha

• • • • • • • • • • • •

Usa una hoja de cálculo para obtener el costo de tres uniformes escolares, dos de niñas y uno de niño. En la celda D2 escribe una fórmula que calcule el costo total de cada rubro, multiplicando el costo unitario por la cantidad. Copia esta fórmula en las celdas de abajo. En la celda D9 escribe una fórmula para calcular el costo total.

A

B

C

D

1

ARTÍCULO

COSTO UNITARIO

CANTIDAD

COSTO

2

Camisa

71.90

3

3

Playera

31.90

3

4

Falda

123.90

2

5

Pantalón

168.00

1

6

Shorts

39.90

3

7

Calcetines

11.90

3

8 9

TOTAL

Usa esta hoja para calcular el costo total de las siguientes ventas: a) 2 camisas, 3 playeras, 1 falda, 1 pantalón, 2 shorts y 4 pares de calcetines.

b) 5 camisas, 2 playeras, 3 faldas, 2 pantalones y 6 pares de calcetines.

Si tuvieras 600 pesos para gastar en el uniforme de la escuela y debes comprar por lo menos 1camisa, 1playera, 1pantalón, 1short y un par de calcetines, ¿de cuántas maneras diferentes puedes aprovechar tus 600 pesos? Usa tu hoja para encontrarlas.

Acabas de enterarte de que todos los precios aumentaron 8%, ¿cómo afecta esto a tus respuestas a las preguntas anteriores?

@ 42

actividades

básicas

Actividades expresivas expresivas

D ivisibilidad

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

¿Cómo podemos saber si el número 1232 es divisible entre 2, 3, 4…? Recuerda que divisible significa que el resultado de la división es un número entero. Hay criterios que nos ayudan a determinar esto sin tener que efectuar las divisiones. Sin embargo, como veremos en esta actividad, con una hoja de cálculo apropiada, estas operaciones resultan automáticas. Construye una hoja de cálculo como la siguiente e introduce en la segunda columna las fórmulas apropiadas; por ejemplo: = B1/2, = B1/3… y así hasta llegar a la división entre 12. A

B

C

1

Número (N)

1232

2

N entre 2

616

3

N entre 3

410.6666666

4

N entre 4

308

5

N entre 5

246.4

6

N entre 6

205.3333333

7

N entre 7

176

8

N entre 8

154

9

N entre 9

136.8888888

10

N entre 10

123.2

11

N entre 11

112

12

N entre 12

102.6666666

¿Entre qué números resultó divisible el 1232? ¿Entre qué números es divisible el 2 311? ¿Entre qué números es divisible el 2 520? Busca un número que sea divisible entre los primeros 12 números. ¿Cuál encontraste?

@ 44

Verifícalo en tu hoja de cálculo.

actividades

expresivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Divisibilidad

Escribe el número 72 en la celda B1 para obtener su divisibilidad. Observa que el número en B4 es el doble del que está en B8. ¿Por qué? ¿Será cierto esto para cualquier número?

Encuentra cinco relaciones más, como la anterior, de dobles y triples entre los números en la columna B y explica por qué.

Para cada situación encuentra un número que sea divisible: Entre 2 pero no entre 4 Entre 4 pero no entre 8 Entre 4 pero no entre 2 Entre 8 pero no entre 4 ¿A qué conclusiones llegaste?

Para cada situación encuentra un número que sea divisible: Entre 3 pero no entre 6 Entre 2 pero no entre 6 Entre 6 pero no entre 3 Entre 6 pero no entre 2 Si un número es divisible entre 6, debe ser divisible entre

actividades

expresivas

y

45 @

¿ Sabes qué significa MCD?

•••••• ••••• ••••• •••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

En esta actividad descubrirás el significado de estas tres letras. Para ello, analiza el siguiente problema. El dueño de una tienda tiene 56 cuadernos y quiere hacer paquetes para venderlos al mayoreo. Todos los paquetes deben tener el mismo número de cuadernos y no debe sobrar ninguno. ¿Puede hacer paquetes de 4 cuadernos sin que sobren? ¿Cuántos paquetes haría? ¿Puede hacer paquetes de 7 cuadernos sin que sobren? ¿Cuántos paquetes haría? ¿Puede hacer paquetes de 5 cuadernos sin que sobren? ¿Cuántos paquetes haría? Primero conviene averiguar todas las posibilidades de empacar los cuadernos. Para esto, construye una hoja de cálculo como la siguiente. ¿Qué fórmula se puede usar para obtener los números de la columna B?

A

B

1

CUADERNOS POR PAQUETE

TOTAL DE PAQUETES

2

2

28

3

3

18.6666666

4

4

14

5

5

11.2

C

D

Como puedes observar, es posible hacer paquetes de 2 y 4 cuadernos sin que sobre ninguno. Existen otras cinco posibilidades. Extiende tu tabla para obtenerlas y anota cuáles son.

@ 46

actividades

expresivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Sabes qué significa MCD?

¿Los siete números que resultan son divisores (D) de 56? Supón ahora que una sucursal de la tienda en cuestión tiene 80 de esos cuadernos y también quiere agruparlos en paquetes. Utiliza la columna C para calcular el número de paquetes resultante para este caso (toma en cuenta los cuadernos por paquete de la columna A). Anota cuántas posibilidades hay de formar paquetes con los cuadernos de la segunda tienda: ¿Estos nueve números son divisores (D) de 80? El dueño de las tiendas ha resuelto que en ambas se vendan paquetes con el mismo número de cuadernos. De las posibilidades que tiene cada una, ¿cuáles son las tres que tienen en común? Estos tres números son los divisores (D) comunes (C) de 56 y 80. Como tienen tres posibilidades, deciden escoger la mayor de ellas. Es decir, ambas tiendas forman paquetes de 8 cuadernos. Este número es el máximo común divisor (MCD) de 56 y 80. Considera ahora el siguiente problema. Un obrero trabajó tres veces en una construcción. En cada oportunidad trabajó una cantidad de días diferente, y le pagaron, respectivamente, $728, $1560 y $3 900. Si quiere saber cuál fue su salario diario, ¿qué puede hacer para averiguarlo? Construye una hoja de cálculo para encontrar la respuesta.

A

B

C

D

1

¿SALARIO?

PRIMER PAGO

SEGUNDO PAGO

TERCER PAGO

2

1

728

1560

3 900

3

2

364

780

1950

4

3

242.66666

520

1300

5

4

182

390

975

6

5

145.6

312

780

El número que encontraste, ¿es el MCD de 728, 1560 y 3 900?

actividades

expresivas

47 @

¿ Sabes qué significa mcm?

• • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Para averiguarlo, analiza el siguiente problema. Se busca poner en funcionamiento una estación con tres trenes: uno cubrirá el norte de la ciudad (tren N), otro el sur (tren S) y el tercero el este (tren E). Los recorridos durarán, respectivamente, 28, 36 y 45 minutos y se realizarán una y otra vez durante 24 horas. Los encargados de la planeación desean saber en qué momento los tres trenes estarán de nuevo en la estación si todos inician su primer recorrido a la misma hora. El tren N regresará a la estación después de 28 minutos en su primera vuelta. Regresará otra vez a los 56 minutos, a los

minutos, a los 112 minutos, etcétera.

El tren S regresará a la estación después de vuelta, a los

minutos en su primera a

minutos en su segunda vuelta, a los

minutos en

su tercera vuelta, etcétera. El tren E regresará a la estación después de vuelta, a los minutos

minutos en su primera a

en su segunda vuelta, a los

minutos en

su tercera vuelta, etcétera. Como puedes observar, los minutos que tarda en regresar cada tren son los múltiplos de su tiempo de recorrido. Para resolver el problema planteado construye una hoja de cálculo como la siguiente. A

B

C

D

1

VUELTAS

TREN N

TREN S

TREN E

2

1

28

36

45

3

2

56

72

90

4

3

84

108

135

¿Qué formula se usó para la columna B? ¿Qué formula se usó para la columna C? ¿Qué formula se usó para la columna D?

@ 48

actividades

expresivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Sabes qué significa mcm?

Extiende tu tabla hasta donde sea necesario para contestar las preguntas siguientes: ¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes N y S? ¿Cuántas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir? ¿Cuál es el siguiente tiempo en el que pasa esto otra vez? ¿En qué momento sucede de nuevo? ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28 y 36? ¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes N y E? ¿Cuántas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir? ¿En qué minuto se vuelven a encontrar? ¿Y después? ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28 y 45? ¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes S y E? ¿Cuántas vueltas lleva cada uno? ¿Cuál es el siguiente minuto en el que coinciden otra vez? ¿En qué minuto vuelve a ocurrir esto? ¿Y después en qué momento vuelven a coincidir? ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 36 y 45? ¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los tres trenes? (Asegúrate de que tu resultado equivalga a 21 horas). ¿Cuántas vueltas ha dado cada uno? ¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28, 36 y 45? Pide a tu profesor que te dé otro problema de mínimo común múltiplo para que lo resuelvas en otra hoja de cálculo.

actividades

expresivas

49 @

P orcentajes (1)

••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Una tienda ofrece 30% de descuento en todos sus artículos. Construye una hoja de cálculo que aplique este descuento a cada artículo de una lista de compras. Calcula el descuento para una camisa de 90 pesos. Multiplica 90 x 0.3. ¿Qué observas? Calcula ahora el descuento para un pantalón de 140 pesos. Construye la siguiente hoja de cálculo, introduciendo las fórmulas correctas en las columnas C y D. Una vez que verifiques tus resultados con los valores dados, cambia a tu gusto los cinco artículos y sus precios. A

B

C

D

1

ARTÍCULO

PRECIO

30% DE DESCUENTO

PRECIO FINAL

2

Camisa

90

27

63

3

Pantalón

140

42

98

4

C. D.

110

33

77

5

Pan

24

6

Queso

65.50

E

7.20

16.80

19.65

45.85

7

300.65

TOTAL A PAGAR

Imagina ahora que en el departamento de ropa se ofrece 40% de descuento, en el de comestibles 20%, y en el departamento de deportes y juguetes 35%. Construye una hoja de cálculo para obtener los descuentos de seis artículos, dos de cada departamento, y el total a pagar. Copia tu hoja de cálculo en la tabla siguiente:

1

A

B

C

D

E

F

ARTÍCULO

DEPARTAMENTO

PRECIO

DESCUENTO

PRECIO FINAL

2 3 4 5 6 7

@ 50

TOTAL A PAGAR

actividades

expresivas

D escuentos y más descuentos

••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Si se aplica un descuento extra de 30% después de haber aplicado uno de 20%, ¿qué descuento total se obtiene? En esta actividad estudiarás situaciones de este tipo y posiblemente te sorprenderás con los resultados. Empecemos con la situación de un solo descuento.* En las celdas C2 y D2 de la hoja de cálculo escribe las fórmulas para determinar la cantidad descontada y el precio con descuento, de acuerdo con los datos de las celdas A2 y B2 (recuerda que para hacer cálculos, 20% se escribe 0.2). A

B

C

D

1

PORCENTAJE DE DESCUENTO

PRECIO NORMAL

CANTIDAD DESCONTADA

PRECIO CON DESCUENTO

2

0.2

250.00

50.00

200.00

E

3 Prueba tu hoja poniendo cantidades con las que puedas calcular el resultado mentalmente. Si el precio original de un coche es de $82 000.00 y los vendedores ofrecen 13% de descuento, ¿cuál es el precio final? Un traje con 30% de descuento vale $875.00. ¿Cuál era el precio original? Hay dos maneras de averiguarlo: la primera consiste en tratar de adivinar el precio normal hasta llegar al precio con descuento. La segunda es construir otra hoja de cálculo que realice esta conversión: Precio con descuento ➞ Precio normal Usa por lo pronto el primer método. El segundo queda como tarea. Pasemos ahora a agregar un descuento adicional. Para ello observa la siguiente hoja de cálculo. Tienes que trasladar el precio con descuento a la celda B5 con una fórmula. Introduce las fórmulas apropiadas en las celdas C5 y D5. * Si tienes dificultad para escribir textos largos en las celdas consulta a tu profesor.

actividades

expresivas

51 @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Descuentos y más descuentos

A

B

C

D

1

PORCENTAJE DE DESCUENTO

PRECIO NORMAL

CANTIDAD DESCONTADA

PRECIO CON DESCUENTO

2

0.2

250.00

50.00

200.00

4

PORCENTAJE EXTRA DE DESCUENTO

PRECIO CON DESCUENTO

CANTIDAD EXTRA DESCONTADA

PRECIO CON DESCUENTO EXTRA

5

0.3

200.00

60.00

140.00

E

3

Cambia ahora el precio normal a $100.00. En la columna “Precio con descuento” el resultado debe ser $80.00 y en “Precio con descuento extra” debe ser $56.00. ¿Cuál fue entonces el descuento total? ¿Cuál será el descuento total si se aplica primero un descuento de 50% y al precio con descuento se le aplica otro 50%? Un padre de familia tiene que pagar $1500 de colegiatura. La escuela le otorga 25% de descuento y después su hijo recibe una beca que representa 20% de la colegiatura. La escuela afirma que debe pagar $900, pero él dice que sólo debe pagar $825. Explica cómo llegaron cada uno a estas cantidades y discute quién tiene la razón. ¿Infiere en algo si primero se aplica el descuento que corresponde al porcentaje de la beca y después el descuento que otorga la escuela?

@ 52

actividades

expresivas

V ariación proporcional (1)

• • • •• • •• • • •• • •• • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

La cantidad de dólares y su equivalente en pesos, así como la distancia recorrida por un coche y el tiempo que tarda en recorrerla son cantidades relacionadas. A continuación se abordará este tema. Pensemos primero en la situación en la que un dólar se puede cambiar por 8 pesos. ¿A cuántos pesos equivaldrían 2 dólares? ¿A cuántos pesos equivaldrían 4 dólares? ¿A cuántos pesos equivaldrían 5 dólares? Construye una hoja de cálculo relacionando estas dos cantidades. A

B

1

CANTIDAD DE DÓLARES

CANTIDAD DE PESOS

2

1

8

3

2

16

4

3

24

5

4

32

6

5

40

La fórmula de A3 es = A2 + 1. La fórmula de B2 es = 8 * A2. Escribe ahora la fórmula de la celda B3. Escribe la fórmula de la celda B6. En general podemos escribir: columna B = factor * columna A ¿Cuál es el factor en el ejemplo anterior? Piensa ahora en un coche que va a una velocidad constante de 80 km/h. Las dos cantidades que consideraremos son la distancia recorrida (d) y el tiempo que tarda en recorrerla (t).

actividades

expresivas

53 @

Variación proporcional (1)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Qué distancia recorrió en 2 horas? ¿Qué distancia recorrió en 4 horas? ¿Qué distancia recorrió en 5 horas y media? Construye una hoja de cálculo relacionando ambas cantidades. A

B

C

1

TIEMPO (EN HORAS)

DISTANCIA (EN KILÓMETROS)

2

0

0

v (km/h)

3

1

80

80

4

2

160

5

3

240

6

4

320

7

5

400

VELOCIDAD CONSTANTE

La fórmula de la celda A3 es = A2 + 1. La fórmula de la celda B2 es = A2 * v. Escribe la fórmula de la celda B3: Escribe la fórmula de la celda B6: ¿Cuál es el factor en el ejemplo anterior? Cuando una cantidad se obtiene multiplicando otra por un factor constante se obtiene una variación proporcional. A continuación se plantean algunas preguntas para conocer otra propiedad de este tipo de variaciones. ¿Qué le pasa a la distancia recorrida si duplicamos el tiempo?

Por ejemplo: ¿Cuántos kilómetros recorre el coche en cinco horas? Si se duplica el tiempo, ¿ocurre lo mismo con la distancia?

@ 54

actividades

expresivas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Variación proporcional (1)

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si triplicamos el tiempo?

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la mitad?

¿Qué le pasa a la distancia recorrida si el tiempo se reduce a la quinta parte?

¿A qué conclusión general puedes llegar entonces?

actividades

expresivas

55 @

V ariación proporcional (2)

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Resuelve el siguiente problema: si 0.45 kg equivalen a una libra, ¿cuántas libras habrá en 90 kg? Construye una hoja de cálculo como la siguiente; para ello relaciona ambas cantidades y encuentra las fórmulas para las columnas A y B.

A

B

1

LIBRAS

KILOGRAMOS

2

1

0.45

3

2

0.9

4

3

1.35

5

4

1.8

6

5

2.25

7

6

2.7

C

¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior?

Continúa llenando la tabla hasta que encuentres cuántas libras equivalen a 90 kg y escribe la respuesta:

Observa ahora el tercer renglón de la hoja. ¿Podrías haber resuelto el problema considerando sólo esta información? ¿Cómo?

Usa solamente los primeros 10 datos de tu tabla para responder las siguientes preguntas: ¿Cuántas libras equivalen a 3 600 kg? ¿Cuántos kilogramos equivalen a 500 libras?

@ 56

actividades

expresivas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Variación proporcional (2)

¿Cuántos kilogramos equivalen a 0.5 libras? Usa el sexto renglón de tu hoja para responder esta pregunta. ¿Cuántos kilogramos equivalen a 1.5 libras? Usa el resultado anterior para encontrar la respuesta. ¿Cuántos kilogramos equivalen a 2.6 libras? Usa la misma estrategia

Regresemos ahora al tercer renglón de tu hoja, donde se indica que 2 libras equivalen a 0.9 kg (casi 1 kg), y busca cuántas libras equivalen aproximadamente a 1 kg.

Ahora toma en cuenta la siguiente tabla para responder las preguntas que aparecen abajo. MILLAS

KILÓMETROS

1

1.6

2

3.2

3

4.8

4

6.4

5

8.0

6

9.6

7

11.2

8

12.8

9

14.4

¿Cuántos kilómetros equivalen a 70 millas? ¿Cuántos kilómetros equivalen a 75 millas? ¿Cuántos kilómetros equivalen a 0.5 millas? ¿Cuántos kilómetros equivalen a 2.5 millas? ¿Cuántos kilómetros equivalen a 4.7 millas? ¿Cuántas millas equivalen a 96 kilómetros? ¿Cuántas millas equivalen a 10 kilómetros? actividades

expresivas

57 @

V ariación proporcional (3)

• • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Si una embarcación puede navegar 360 millas con 16 galones de combustible diesel, ¿qué distancia recorrerá con 300 galones? Construye una hoja de cálculo como la siguiente para relacionar los galones con las millas recorridas. Para responder la pregunta, conviene preguntarnos cuántas millas puede navegar la embarcación con un solo galón. Escribe una fórmula en B3 para relacionar las cantidades de A2 y B2. A

B

1

GALONES

MILLAS

2

16

360

3

1

?

4 ¿Cuál es el factor de proporcionalidad en el ejemplo anterior? Ahora contesta la pregunta original. Inserta el número 300 en la celda A4 y escribe una fórmula en B4 que calcule la cantidad de millas correspondiente. ¿Qué distancia recorrerá entonces con 300 galones? Usa tu hoja de cálculo para responder las siguientes preguntas: ¿Qué distancia recorrería la embarcación con 200 galones? ¿Qué distancia recorrería la embarcación con 80 galones? ¿Cuántos galones necesitará para recorrer 1 000 millas? Construye ahora una hoja de cálculo para resolver las siguientes situaciones: Si un frasco de café de 400 gramos cuesta $12.50, ¿cuánto debería costar uno de 250 gramos? Si se determinó que el precio de un frasco de café es de $10, ¿cuántos gramos contiene?

@ 58

actividades

expresivas

R aíz cuadrada y cúbica

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

En esta ocasión la hoja de cálculo te servirá para obtener los cuadrados y lo cubos de una lista de números, lo cual te ayudará, a su vez, a encontrar la raíz cuadrada y la raíz cúbica de un número dado. Calcula el cuadrado del número 20 y anota el resultado. Calcula el cubo del número 20 y anota el resultado. Construye una hoja de cálculo como la que se muestra e introduce fórmulas para las columnas B y C. Para encontrar la fórmula de la columna C considera que 203 = 202 * 20 Extiende la tabla hasta el número 30. A

B

C

1

NÚMERO

CUADRADO

CUBO

2

0

0

0

3

1

1

1

4

2

4

8

5

3

9

27

6

4

16

64

7

5

25

125

Busca en tu tabla un número cuyo cuadrado sea 361 y anótalo: ¿Cuál es la raíz cuadrada de 361? Busca en tu tabla un número cuyo cubo sea 1331 y escríbelo: ¿Cuál es la raíz cúbica de 1331? ¿Cuál es la raíz cuadrada de 676? ¿Cuál es la raíz cúbica de 10 648? La raíz cuadrada de 300 no es un número entero. De acuerdo con tu tabla, ¿entre qué números debe estar esta raíz?

actividades

expresivas

59 @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Raíz cuadrada y cúbica

La raíz cúbica de 22 000 no es un número entero. De acuerdo con tu tabla, ¿entre qué números debe estar esta raíz? ¿Cómo podemos usar la hoja de cálculo anterior para que las raíces que se han obtenido hasta aquí sean más precisas? Sabemos que la raíz cuadrada de 300 debe estar entre los números 17 y 18. Así, podemos empezar la lista de números desde el 17 y tomar saltos cada 0.1, es decir, generar la lista de números: 17, 17.1, 17.2… como lo muestra la tabla siguiente: A

B

C

1

NÚMERO

CUADRADO

CUBO

2

17

289

4 913

3

17.1

292.41

5 000.211

4

17.2

5

17.3

6

…

Completa la tabla para obtener el primer decimal de la raíz cuadrada de 300. ¿Qué resultado obtuviste? Aplica la misma estrategia para obtener el segundo decimal de esta raíz. √ 300 = 17. Sigue el mismo procedimiento para obtener los primeros dos decimales de la raíz cúbica de 22 000. √ 22 000 = 28.

3

@ 60

actividades

expresivas

E cuaciones (1)

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Preálgebra

Dentro de las matemáticas, una habilidad importante consiste en poder expresar relaciones verbales entre cantidades por medio de fórmulas. Por ejemplo, ¿cómo escribirías con símbolos: “un número es la octava parte de otro número”? Una hoja de cálculo como la que se sugiere a continuación puede ayudarte a comprobar que la expresión matemática que propusiste es correcta. A

B

1

NÚMERO

OCTAVA PARTE DEL NÚMERO

2

8

expresión

3 Escribe tu expresión matemática en la celda B2. ¿Obtuviste el resultado que esperabas? (Si no fue así, consulta a tus compañeros para saber cómo procedieron). Cambia el número 8 en la celda A2 por el 16 y por el 4 para comprobar que tu expresión es correcta. Construye una hoja de cálculo similar a la anterior, pero ahora el encabezado de la primera columna será ”Cantidad de artículos vendidos“ y el de la segunda columna será Costo total. Considera que cada uno se vende a $85. Para comprobar tu fórmula cambia el número de artículos, por ejemplo 1, 10 y 100. ¿Cuál sería la fórmula algebraica apropiada?

Incluye dos columnas más en tu hoja de cálculo (observa el ejemplo de abajo). Registra en una la cantidad vendida de un segundo artículo y en la otra el costo de los artículos. Considera que el precio de cada uno es de $150. Usa la quinta columna para calcular el costo total de los dos artículos. Varía el número de ambos artículos, por ejemplo con 0, 1, 10 y 100 para comprobar tus fórmulas. A

B

C

D

E

1

CANTIDAD PRIMER ARTÍCULO

COSTO PRIMER ARTÍCULO

CANTIDAD SEGUNDO ARTÍCULO

COSTO SEGUNDO ARTÍCULO

COSTO DE AMBOS ARTÍCULOS

2

0

expresión

1

expresión

expresión

3

actividades

expresivas

61 @

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Ecuaciones (1)

¿Cuál sería la fórmula algebraica del costo del primer artículo? (Usa n para expresar la cantidad del primer artículo.)

¿Cuál sería la fórmula algebraica del costo del segundo artículo? (Usa m para expresar la cantidad del segundo artículo.)

¿Cuál sería la fórmula algebraica del costo de ambos artículos?

Veamos ahora un ejemplo diferente. Escribe una ecuación que exprese lo siguiente: “Dos personas se reparten $750” Considera a A como la cantidad que le toca a una de las personas y como B a la cantidad que le toca a la segunda. Elabora una hoja de cálculo como la siguiente y escribe en la celda B2 una expresión que haga que el total de las dos cantidades en las columnas A y B sea 750.

A

B

1

CANTIDAD QUE LE TOCA A UNA PERSONA

CANTIDAD QUE LE TOCA A LA OTRA PERSONA

2

50

expresión

3

Comprueba tu fórmula variando la cantidad de la primera persona. Para terminar resuelve la siguiente cuestión: Un número es 15% mayor que otro. Construye una hoja de cálculo que te ayude a escribir esta relación en forma algebraica.

@ 62

actividades

expresivas

E cuaciones (2)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Preálgebra

Aquí trataremos de usar las ventajas de una hoja de cálculo para resolver ecuaciones del tipo: q + 23 = 51 Para empezar, construye una hoja de cálculo como la siguiente; introduce en la columna A la fórmula = A2 + 1, y en la columna B la fórmula = A2 + 23, luego cópialas hacia abajo.

A

= A2 + 1

B

1

Número (q)

q + 23

2

1

24

3

2

25

4

3

26

5

4

27

6

5

28

7

6

29

8

7

30

9

8

31

10

9

32

11

10

33

= A2 + 23

El objetivo es llegar al número 51 en la columna B. Una opción consiste en alargar más nuestra lista. La otra implica cambiar el 1 en A2 por el 11. Haz esto y observa lo que pasa. ¿Llegaste al 51 en la columna B? Si no es así, cambia el 11 por el 21. ¿Encontraste la solución de la ecuación? ¿Cuál es? Resuelve con el mismo método las siguientes ecuaciones: 155 + q = 242

actividades

expresivas

63 @

Ecuaciones (2)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

q + 234.5 = 432.1 Ahora modifica tu hoja para resolver la siguiente ecuación: q – 118 = 155 Veamos ahora una ecuación más complicada: ¿Qué número, luego de multiplicarlo por 2 y de restarle 15, da 36 como resultado? Para responder, construye una hoja de cálculo como la siguiente:

= A2 + 1

A

B

1

Número (n)

2n –15

2

1

–13

3

2

–11

4

3

–9

5

4

–7

6

…

…

= EXPRESIÓN

Cambia como antes el número inicial en A2 hasta que encuentres el resultado. ¿Cuál es? Resuelve ahora la siguiente ecuación: 3n + 35 = 5

@ 64

actividades

expresivas

E cuaciones (3)

•••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• ••• •••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Preálgebra

¿Cómo resolverías con una hoja de cálculo ecuaciones que tienen dos incógnitas, una de cada lado del signo igual? Considera la ecuación: 4n+6=2n+4 ¿Es n = 2 una solución?

¿Es n = 4 una solución?

Construye una hoja de cálculo para encontrar la solución.

actividades

expresivas

65 @

¿ Sabes qué es una razón?

•••• ••• ••• ••• ••• •••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Una razón es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo: 6 de cada 10 humanos viven en el continente asiático. 3/5 partes de la superficie terrestre están cubiertas por agua. Como se ve, la relación se establece entre una parte y el todo. Esta actividad te ayudará a entender para qué sirven las razones. Para esto, piensa en la situación siguiente. Un jugador de basquetbol entrena desde la línea de tiro, durante la semana anterior a la temporada de juegos. Los resultados que obtuvo están registrados en la siguiente tabla:

DÍA

TIROS

CANASTAS

1

50

20

2

100

52

3

150

90

4

200

110

5

250

175

6

200

152

7

250

170

CANASTAS/TIROS

Observa que en cada día se da la razón de canastas con respecto al total de tiros (20 de 50, 52 de 100, 90 de 150…) Para poder comparar estas razones conviene expresarlas como fracciones de la siguiente manera: razón como fracción =

canastas total de tiros

Construye una hoja de cálculo con la información de la tabla. En la cuarta columna calcula la razón como fracción para que puedas observar el progreso del jugador durante su entrenamiento. Los porcentajes son una manera muy común de expresar razones. Los ejemplos del principio pueden expresarse como sigue:

@ 66

actividades

expresivas

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Sabes qué es una razón?

60% de la población humana vive en el continente asiático. 60% de la superficie terrestre está cubierta por agua. Agrega una quinta columna a tu hoja y calcula el porcentaje de canastas (esto es, multiplica la cuarta columna por 100). ¿Cuál fue el mejor día del jugador en su entrenamiento? ¿Qué porcentaje de tiros encestó ese día? La tabla siguiente muestra las cantidades de tiros y canastas de dos jugadores, considerando los primeros 5 juegos de la temporada regular. Usa tu hoja de cálculo para completar la tabla de abajo y de acuerdo con los resultados decide quién jugó mejor. PRIMER JUGADOR JUEGO

TIROS

CANASTAS

1

24

2

FRACCIÓN

SEGUNDO JUGADOR TIROS

CANASTAS

8

18

7

13

6

16

6

3

21

8

15

6

4

30

9

9

5

5

17

7

6

3

FRACCIÓN

¿Quién fue el mejor? Discute tu respuesta con otros compañeros. ¿Qué significa, en beisbol, que un jugador tenga 320 de porcentaje de bateo?

actividades

expresivas

67 @

O tro tipo de razones

•••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Las razones no sólo relacionan una parte con el todo. También se usan para establecer relaciones entre dos cantidades distintas. Por ejemplo, cuando decimos que 100 g de cacahuates cuestan 6 pesos estamos expresando una razón de este último tipo. Otro ejemplo de razón entre dos cantidades distintas es el consumo de gasolina de un coche; por ejemplo: Con 40 litros de combustible se llena el tanque de un auto y puede recorrer 480 kilómetros. Estas razones, al igual que las que relacionan una parte con el todo, pueden ser expresadas con un solo número: Los cacahuates cuestan 60 pesos por kilo. El rendimiento del auto es de 12 kilómetros por litro. Una expresión como 80 kilómetros por hora es también una razón de este tipo. Da otro ejemplo de razones de este tipo.

Analiza la tabla siguiente usando razones. Introduce dicha información en la hoja de cálculo Cal/gr.xls. ALIMENTO

Jugo de naranja

CARBOHIDRATOS

PROTEÍNAS

LÍPIDOS

200

9

0

0

50

3

11

10

240

12

8

8

35

64

9

1

100

80

7

1

Carne de res

90

0

19

18

Pescado

50

0

12

2

Frijoles

120

61

22

2

Tortillas

25

15

2

1

100

60

2

25

Huevo Leche de vaca Pan blanco Arroz

Chocolate

@ 68

GRAMOS

actividades

expresivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Otro tipo de razones

Como puedes ver, la cantidad de gramos de cada alimento es diferente y por lo tanto no pueden hacerse comparaciones entre ellos. Es necesario obtener las razones de estas cantidades por gramo. Para esto añade tres columnas a tu hoja de cálculo: una que calcule los carbohidratos por gramo, otra las proteínas por gramo y la tercera los lípidos por gramo de cada alimento. ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de carbohidratos por gramo?

¿Qué cantidad tiene? ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de proteínas por gramo?

¿Qué cantidad tiene? ¿Qué alimento de la lista contiene mayor cantidad de lípidos por gramo?

¿Qué cantidad tiene? Para calcular ahora la cantidad de calorías que cada alimento proporciona por gramo, agrega otra columna a tu hoja con la cantidad de calorías por gramo que cada alimento contiene; usa la fórmula siguiente: (caloría/g) = 4 * (carbohidratos/g) + 4 * (proteínas/g) + 9 * (lípidos/g) ¿Qué alimento de la lista contiene más calorías por gramo?

¿Qué cantidad tiene? Finalmente crea otra columna con la cantidad de calorías que tendrían 100 g de cada alimento. En las siguientes líneas ordena los alimentos de mayor a menor según su cantidad de calorías en 100 g. ALIMENTO

CAL/100 G

ALIMENTO

1

6

2

7

3

8

4

9

5

10

actividades

expresivas

CAL/100 G

69 @

U na investigación con razones

•••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

En esta actividad analizarás algunos datos sobre la población y el territorio mexicano y deducirás otros. De acuerdo con los datos de la hoja de cálculo AreaHabi.xls contesta las siguientes preguntas: ¿Cuántos estados están en la lista? ¿Están todos? Anota en orden descendente: Los cuatro estados de mayor superficie:

Los cuatro estados de menor superficie:

Los cuatro estados con mayor población en 1990:

Los cuatro estados con menor población en 1990:

Ahora llena la hoja de cálculo siguiendo estas instrucciones: 1. En la celda C33 está calculada la superficie total de la República Mexicana. ¿Cuántos kilómetros cuadrados tiene? Llena la columna D con el porcentaje de la superficie total que le corresponde a cada estado, de acuerdo con la fórmula: % de la superficie =

superficie del estado superficie total x 100

¿Cuál es el único estado al que corresponde más de 10% de la superficie total?

¿Qué porcentaje tiene?

@ 70

actividades

expresivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Una investigación con razones

2. Llena la columna F con el porcentaje de la población que le corresponde a cada estado (la población total está calculada en la celda E33). ¿Qué estados tienen más de 10% de la población?

¿Por qué la población del Estado de México es tan grande?

Las dos razones calculadas en las columnas D y F establecen una relación de la parte con el todo. La siguiente razón que se obtendrá es de otro tipo. 3. Llena la columna G con la densidad de la población de cada estado (número de pobladores por kilómetro cuadrado), usando la fórmula: Densidad de población =

habitantes del estado superficie del estado

¿Cuáles son los seis estados de menor densidad poblacional?

4. Supón que la población de cada estado crece 25% cada 10 años. En la columna H estima la población que habrá en cada estado en el año 2010 usando la fórmula: Población en 2010 = (Población en 2000) + 0.25 * (Población en 2000) Explica el significado de esta igualdad.

¿Qué valor obtuviste para la población de tu estado en el año 2010?

¿Qué valor obtuviste para la población total de la República Mexicana en el año 2010?

Discute con tu profesor de Geografía estos datos. 5. Por último, llena la columna correspondiente a la capital de cada estado.

actividades

expresivas

71 @

M áquinas transformadoras

••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Imagina que unas máquinas son capaces de transformar unos números en otros números. Por ejemplo, las dos máquinas mostradas en los esquemas de abajo son una duplicadora y una sumadora del número 8: 100 ➙

x 2 ➙ 200

100 ➙ + 8

➙ 108

¿Qué número saldrá de la duplicadora si se introduce el número 20? ¿Y de la sumadora del 8? ¿Qué número produce el mismo resultado al ser introducido en ambas máquinas? Número

Resultado

Construye una hoja de cálculo para estudiar estas transformaciones. Introduce las fórmulas apropiadas y cópialas hacia abajo: A

B

C

1

MÁQUINA

DUPLICADORA

SUMADORA

2

1

2

9

3

2

4

10

4

3

6

11

5

4

8

12

= A2 + 1

Fórmula

¿Cuál de las dos fórmulas siguientes es la correcta para la celda B2? 2 * A2

Fórmula

A2 * 2

Para cualquier número n la primera máquina le asignará el número: Para cualquier número n la segunda máquina le asignará el número: Piensa ahora en una máquina que resta 8 al número introducido. 100 ➙

-- 8 ➙ 92

Agrégala a la columna D de tu hoja de cálculo.

@ 72

actividades

expresivas

N úmeros consecutivos

••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Preálgebra

Encuentra dos números consecutivos que sumen 11: ¿Puedes encontrar dos números consecutivos que al restarlos el resultado sea 2?

Construye una hoja de cálculo que tenga dos números consecutivos y su suma. En las celdas B2 y C2 anota las fórmulas apropiadas para calcular el número consecutivo de A2 y la suma respectiva. A

B

C

1

NÚMERO INICIAL

NÚMERO CONSECUTIVO

SUMA DE LOS DOS NÚMEROS

2

5

6

11

D

3 Para continuar el análisis de la suma de dos números consecutivos considera la siguiente afirmación: La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es igual a su suma. Comprueba si esto es cierto extendiendo tu hoja como se muestra. En D2, E2 y F2 tienes que escribir las fórmulas respectivas.

1 2

C

D

E

F

SUMA DE LOS DOS NÚMEROS

CUADRADO

CUADRADO

1ER NÚMERO

2DO NÚMERO

DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS

11

25

36

11

3 Después, varía el número inicial y observa si siempre la diferencia de los cuadrados es igual a la suma de los números. Resuelve ahora las siguientes situaciones; retoma lo que has visto en esta actividad y emplea una hoja de cálculo para cada caso. 1. Eduardo es un año más grande que su hermano. En 40 años sus edades sumarán 123 años. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? actividades

expresivas

73 @

Números consecutivos • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

2. Dos hermanos con un año de diferencia en sus edades, las multiplican y les da 2 256. ¿Cuáles son sus edades? 3. Durante cinco años Charles Darwin realizó un viaje de exploración por varios lugares del mundo. El número 9170 es el resultado de sumar los años en que Darwin realizó su viaje. Encuentra de qué años se trata. (Sugerencia: Crea una hoja de cálculo con cinco números consecutivos y su suma.)

@ 74

actividades

expresivas

D el perímetro y el área

•••••••••••••••••

Geometría y Preálgebra

a los lados Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Imagina que te encargan el diseño de una cuadra para caballos y sólo te ponen dos condiciones: que ocupe un área rectangular de 500 m2 y que el perímetro sea de exactamente 100 metros. ¿Se podrá construir un rectángulo con estas características? ¿Cuáles deben ser sus dimensiones?

Para resolver el problema, comienza por establecer una medida cualquiera para uno de los lados del rectángulo; prueba con 20 metros. ¿Cuál debe ser la longitud del otro lado, si sabemos que el área del rectángulo debe ser de 500 m2? Calcula ahora el perímetro resultante con estos dos lados. ¿Es el esperado?

Escoge otra longitud para uno de los lados del rectángulo y sigue el procedimiento anterior. ¿El perímetro es de 100 metros? Para que este procedimiento sea efectivo conviene automatizarlo, empleando para ello una hoja de cálculo como la siguiente. A

B

C

1

LONGITUD DE UN LADO (SUPUESTA)

SEGUNDO LADO PARA SATISFACER EL ÁREA

PERÍMETRO RESULTANTE

2

1

500

1002

3

2

250

504

4

3

166.66666666

339.33333333

5

4

125

258

Extiende los valores hasta que llegues al perímetro más cercano a 100 y copia aquí las dos respuestas más cercanas:

actividades

expresivas

75 @

Del perímetro y el área a los lados

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Escribe ahora en la celda A2 el valor 13 y varíalo en esta columna cada 0.01, es decir cada centímetro para aproximarte al valor de los lados con sólo dos decimales de diferencia con respecto al resultado que se busca. ¿Cuáles son las medidas de los lados? Ahora te piden construir un campo rectangular, también de 100 metros de perímetro, pero con un área de 1000 m2. Modifica tu hoja de cálculo para resolver este nuevo problema. ¿Pudiste encontrar una solución? ¿Por qué?

¿Cuál es el mínimo perímetro posible para un área de 1000 metros?

¿Cuál es la característica principal del campo que corresponde a este perímetro mínimo?

El problema general que has estado resolviendo es el siguiente: Se quiere construir un rectángulo con cierto perímetro (P) y cierta área (A), y para ello debe determinarse la longitud de sus lados. Ya vimos que a veces este problema tiene solución y a veces no. En resumen, podemos decir que, para que este problema tenga solución: el área debe ser menor o igual que el perímetro al cuadrado entre 16; esto es: A≤

p2 16

Comprueba que en el primer problema esta relación se satisface, pero en el segundo no. ¿Se podrá construir el campo rectangular si en el segundo caso, en vez de 100 metros de perímetro se opta por uno de 1000 metros (un kilómetro) y se mantiene un área de 1000 m2? Para responder, usa la relación de arriba y modifica tu hoja de cálculo. ¿Cuáles son las medidas de los lados encontrados? ¿Y el área?

@ 76

actividades

expresivas

V ariación lineal (1)

••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

¿Qué tienen en común el costo de un viaje en taxi y el cocinado de un pavo? En matemáticas los fenómenos reales se clasifican de acuerdo con el tipo de modelo matemático que los describe. En esta actividad verás que las dos situaciones mencionadas coinciden en su estructura matemática. Considera primero el viaje en taxi. Imagina que al subir, en el medidor aparece ya la cantidad de $5.00 y que ésta aumenta $1.50 por cada kilómetro que el taxi recorre. ¿Cuánto habrá que pagar en total si el recorrido es de 4 kilómetros?

Las operaciones que hiciste posiblemente fueron: 1.5 * 4 + 5 = 11 Una fórmula general para hacer estos cálculos es: 1.5 * (km recorridos) + 5 = Cantidad a pagar Utiliza una hoja de cálculo para obtener una tabla que represente esta situación. En la columna A coloca los kilómetros recorridos e increméntalos de uno en uno empleando una fórmula. En la columna B calcula la cantidad a pagar con la fórmula general: A

B

C

1

KILÓMETROS RECORRIDOS

CANTIDAD A PAGAR

CANTIDAD A PAGAR (2)

2

0

5

3

1

6.5

4

2

8

¿Cuánto hay que pagar por un recorrido de 15 kilómetros?

En otra ciudad se cobra sólo $1.00 por el banderazo, pero $2.00 pesos por kilómetro recorrido. Agrega en la columna C la fórmula para esta ciudad. Compara los resultados para averiguar qué ciudad brinda el servicio más barato. actividades

expresivas

77 @

Variación lineal (1)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Ocúpate ahora de cocinar el pavo. En un libro de cocina aparece la siguiente sugerencia: Envuelva el pavo en papel aluminio; por cada kilogramo de peso, hornee el pavo 15 minutos y sume a esto 90 minutos extras. ¿Cuánto tiempo de cocinado necesita un pavo de 8 kilos?

Las operaciones que posiblemente hiciste fueron: 15 * 8 + 90 = 210 Una fórmula general para hacer estos cálculos es: 15 * (kg de peso) + 90 = minutos de cocinado Usemos otra hoja de cálculo para obtener una tabla que represente esta situación. En la columna A anota los kilogramos de peso. En las columnas B y C calcula el tiempo de cocinado con fórmulas. A

B

C

1

KG DE PESO

MINUTOS DE COCCIÓN

HORAS DE COCCIÓN

2

1

105

1.75

3

2

120

2

4

3

135

2.25

¿Cuánto tiempo se requiere para cocinar un pavo de 6.5 kilos?

Si observa las dos fórmulas, la del taxi y la del pavo, notarás que son muy similares. Ambas pueden expresarse así: a*x+b=y o bien y=a*x+b donde a y b son números constantes y las variables están representadas por x y y.

@ 78

actividades

expresivas

V ariación lineal (2)

••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

En la actividad anterior descubriste la fórmula y = a * x + b. ¿Crees que esta ecuación corresponde a una situación real? El tipo de relaciones que estas ecuaciones establecen se llaman lineales, y tienen una característica muy sencilla que nos ayudará a contestar esta pregunta. Las siguientes tablas muestran los resultados obtenidos en la actividad anterior: COCINADO DE UN PAVO

TARIFA DE UN TAXI KM RECORRIDOS

CANTIDAD A PAGAR

KG DE PESO

MINUTOS DE COCINADO

0

5

1

105

1

6.5

2

120

2

8

3

135

3

9.5

4

150

Observa que las cantidades a pagar de la tabla de la izquierda aumentan, de manera constante, de 1.5 en 1.5. ¿En que proporción aumentan los tiempos de cocinado en la tabla de la derecha?

¿Los aumentos son constantes? Analiza ahora la siguiente tabla, que muestra el costo de una llamada telefónica según el tiempo que dura la conexión. TIEMPO DE CONEXIÓN (MIN.)

CARGO A PAGAR (PESOS)

5

$ 70

10

$ 130

15

$ 190

20

$ 250

¿Cuál es la proporción en la que aumentan los cargos en la tabla anterior?

actividades

expresivas

79 @

Variación lineal (2)

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Los aumentos son constantes? Del análisis de la tabla se desprende que el cargo es de 60 pesos por cada 5 minutos adicionales de conexión. ¿A cuánto asciende el cargo por minuto de conexión? De esto se puede deducir que la fórmula para esta situación es la siguiente: 12 * (tiempo de conexión) + 10 = cargo a pagar Con ella construye una hoja de cálculo como la siguiente: A

B

1

TIEMPO (MIN.)

CARGO (PESOS)

2

5

$ 70

3

10

$ 130

4

15

$ 190

C

Cambia la columna A, de modo que el tiempo se incremente cada minuto, comenzando con un minuto. ¿Cuánto aumentan los cargos de la columna B?

¿Los aumentos son constantes? Cambia nuevamente la columna A, de modo que el tiempo se incremente cada tres minutos. ¿ Cuánto aumentan ahora los cargos de la columna B?

¿Los aumentos son constantes? La propiedad observada en todos estos casos es una característica general de las relaciones lineales que puede enunciarse de la siguiente manera: Si una variable se incrementa de manera constante, la otra variable cambiará también en forma constante.

@ 80

actividades

expresivas

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Álgebra

Por ejemplo, si viajamos en un coche a una velocidad constante de 80 km/h, cada hora se incrementarán 80 kilómetros en el odómetro*. Las dos variables en este caso son el tiempo y la distancia recorrida. Describe otra situación real en la que al aumentar una variable de manera constante, la otra también varíe en forma constante.

* Aparato que se utiliza para contabilizar los kilómetros recorridos por un automóvil.

actividades

expresivas

81 @

V ariación lineal (3)

••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

Recuerda que la propiedad de las relaciones lineales es la siguiente: Si una variable se incrementa de una manera constante, la otra variable cambiará también en forma constante. En esta actividad aprovecharás esta propiedad para determinar si una relación es lineal o no y dar su ecuación. Observa la siguiente tabla: x

0

2

4

6

8

10

y

4

9

14

19

24

29

Debido a que x se incrementa de 2 en 2 (0, 2, 4…) y el valor de y se incrementa de 5 en 5 (4, 9, 14…) ésta es una relación lineal. Si ahora queremos descubrir la ecuación que satisface la tabla anterior, tenemos que deducir los valores de a y b en la fórmula: y=a*x+b La constante a representa el cambio de la variable y en relación con el cambio que experimenta x (de 1 en 1). En la tabla anterior notamos que al incrementarse x de 2 en 2, y se incrementa de 5 en 5. Esto quiere decir que al incrementarse x de 1 en 1, y aumentará de 2.5 en 2.5. Así, el valor de la constante a para este caso debe ser de 2.5; esto es: a = 2.5 La constante b representa el valor de y cuando x = 0. En la tabla anterior observamos que este valor es de 4. Así, b = 4. Por lo tanto, la ecuación que estábamos buscando es: y = 2.5 * x + 4 Escribe esta fórmula en una hoja de cálculo como se muestra a continuación para verificar que se obtienen los mismos valores de la tabla de arriba.

@ 82

actividades

expresivas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Variación lineal (3)

Trabaja ahora junto con un compañero. Abran una nueva hoja de cálculo. En la celda A1 escriban x, en la celda B1 escriban y, y en la celda A2 escriban cualquier número. Después, uno de ustedes, debe escribir en la celda B2 una fórmula del tipo: = 3 * A2 + 7 ( el 3 y el 7 son sólo ejemplos, ya que puedes poner los números que quieras) para que el otro la adivine variando como quiera el número en la celda A2. Después, quien adivine la fórmula debe escribirla en la forma: y=a*x+b A

B

1

x

y

2

0

3

1

4

2

= 2.5* A2 + 4

Copia hacia abajo la fórmula

Intercambien ahora papeles, y al final discutan con el grupo cuál es la mejor estrategia para obtener la fórmula de sus datos numéricos. Con la misma hoja del ejercicio anterior, repitan la actividad, pero ahora escriban en la celda B2 fórmulas lineales o de otro tipo. Primero uno de ustedes debe verificar si la relación es efectivamente lineal, usando la propiedad enunciada al principio de esta actividad, es decir, al cambiar x en forma constante, y también cambiará en forma constante. Si es lineal, ¿cuál es su fórmula?

actividades

expresivas

83 @

L ineales que caen

••••••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

En esta actividad estudiarás relaciones lineales en las que mientras una de las cantidades crece, la otra decrece. Una de las más sencillas es la que aparece cuando observamos la variación de lo que falta o lo que sobra. El siguiente ejemplo servirá para ilustrar esto. La distancia entre Hermosillo y Chihuahua es de 650 kilómetros. Si desde Hermosillo hacia Chihuahua hemos viajado 300 kilómetros, ¿cuántos kilómetros nos faltan para llegar a la segunda ciudad? Completa la tabla siguiente:

KILÓMETROS RECORRIDOS

100

200

KILÓMETROS QUE FALTAN

300

400

350

¿Es ésta una relación lineal? ¿Por qué?

Escribe la fórmula que relaciona los kilómetros recorridos con los kilómetros que faltan.

Usa la fórmula de arriba en una hoja de cálculo para obtener los kilómetros que faltan en función de los kilómetros recorridos. Verifica los valores de la tabla anterior. ¿Qué valor obtienes para los kilómetros que faltan si introduces el valor 700 en los kilómetros recorridos? ¿Tiene esto sentido? Discútelo con tus compañeros. Localiza en la gráfica de la siguiente página los puntos correspondientes a esta relación para cada 50 kilómetros recorridos. Uno de los puntos ya está dado como ejemplo. ¿Qué observas?

@ 84

actividades

expresivas

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Lineales que caen

La ecuación de esta recta es: y = 650 – x Compárala con la ecuación general dada en lecciones anteriores y señala en qué difieren y qué propiedades tienen en común. Piensa ahora en un triángulo isósceles. Si los dos ángulos iguales son de 70o, ¿cuál debe ser la medida del tercer ángulo? ¿Es ésta una relación lineal? Termina de llenar la siguiente tabla: ÁNGULO COMÚN

50o

TERCER ÁNGULO

80o

60o

70o

80o

40o

¿Es ésta una relación lineal? ¿Por qué?

Encuentra la fórmula que relaciona estos ángulos. Para ello, estudia la siguiente igualdad y decide si es correcta: tercer ángulo= 180o – 2 * (ángulo común) Usa la fórmula de arriba en una hoja de cálculo para calcular el tercer ángulo, una vez que conozcas el ángulo común. Verifica los valores de la tabla anterior. actividades

expresivas

85 @

Álgebra

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Qué valor obtienes para el tercer ángulo si introduces el valor 90° para el ángulo común? ¿Tiene esto sentido? Discútelo con tus compañeros. En una hoja cuadriculada realiza una gráfica con la relación anterior. Es decir anota los valores del ángulo común en el eje x y los valores correspondientes al tercer ángulo en el eje y. ¿Qué observas?

La ecuación de esta recta es: y = 180 - 2x Compárala con la ecuación general mencionada en las actividades anteriores y señala si difieren o se parecen. Anota tus conclusiones:

Considera a continuación el siguiente problema. A una persona que pesa 240 kilos le recomiendan una dieta y le prometen que, de seguirla, reducirá 10 kilos cada mes. Construye una tabla que represente el peso de la persona en función de los meses que sigue la dieta y traza la gráfica de esta relación. Da la ecuación de la recta obtenida.

@ 86

actividades

expresivas

E cuaciones explícitas

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Nuevas ideas

vs. recursivas Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Usa una hoja de cálculo para resolver el siguiente problema de dos maneras diferentes. Un teléfono celular tiene una renta mensual de $150.00 más $1.75 por cada minuto que dure una llamada. ¿Cuántos minutos puede ocuparse el teléfono para que la cuenta mensual no exceda de $500.00? ¿Cuánto se debe pagar en total por 10 minutos de uso al mes?

¿Cuánto se debe pagar en total por 20 minutos de uso al mes?

¿Podrías dar una fórmula que represente el total a pagar para m minutos de uso al mes? Construye una hoja de cálculo como la siguiente, usando la fórmula que generaste.

= A2 + 1

A

B

1

TIEMPO DE USO (EN MINUTOS)

CANTIDAD TOTAL A PAGAR

2

0

150.00

3

1

151.75

4

2

153.50

5

3

155.25

6

4

157.00

= 150 + 1.75 * A2

¿Cuántos minutos máximo se puede ocupar el teléfono para que la cuenta mensual no exceda de $500.00? Si en un mes alguien recibe una cuenta de $766.00, ¿cuántos minutos usó el teléfono?

actividades

expresivas

87 @

Ecuaciones explícitas vs. recursivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Sin usar ahora tu hoja de cálculo resuelve el siguiente problema: Si en un mes se cargaron $430.00, ¿de cuánto hubiera sido la cuenta si el teléfono se hubiera usado un minuto más? Para resolver la pregunta de arriba, ¿usaste la fórmula de la hoja anterior?

Si no fue así, ¿qué fórmula o método usaste? Explícalo.

Construye una hoja de cálculo como la siguiente. Compara si el método que seguiste es igual al aplicado en esta hoja.

= A2 + 1

A

B

1

TIEMPO DE USO (EN MINUTOS)

CANTIDAD TOTAL A PAGAR

2

0

150.00

3

1

151.75

4

2

153.50

5

3

155.25

6

4

157.00

= B2 + 1.75

¿Cuántos minutos se puede ocupar el teléfono para que la cuenta mensual no exceda de $500? La fórmula usada en la primera hoja es del tipo explícito. La de esta hoja es del tipo recursivo. Discute sus diferencias, así como las ventajas y desventajas de cada una de ellas.

@ 88

actividades

expresivas

R ecursividad (1)

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Nuevas ideas

En esta actividad estudiarás procesos que se repiten una y otra vez, y diseñarás un procedimiento en una hoja de cálculo para describirlos. Supón que una población de bacterias se triplica cada hora. Si al inicio se tienen 100 bacterias, ¿cuántas tendremos después de una hora? ¿Cuántas tendremos después de dos horas? Construye una hoja de cálculo como la siguiente, introduce las fórmulas y cópialas hacia abajo.

A

B

TIEMPO

(EN HORAS)

CANTIDAD DE BACTERIAS

2

Al inicio

100

3

1

300

4

2

900

5

3

2700

6

4

5100

1

= A3 + 1

C

= B2 * 3

¿Cuánto tiempo debe pasar para que esta colonia llegue a un millón de bacterias?

¿Cuántas bacterias habrá después de un día?

¿Cuánto tiempo debe esperar un investigador que puso en un cultivo separado 10 de estas bacterias si quiere regresar a su laboratorio cuando haya 50 000?

actividades

expresivas

89 @

Recursividad (1)

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Considera ahora esta situación: Un coche vale inicialmente $100 000.00 y pierde 20% de su valor cada año. Construye una hoja de cálculo que dé el valor del coche en los años subsecuentes (de acuerdo con el porcentaje mencionado, el coche tendrá un valor del 80% con respecto al valor inicial; este valor se obtiene al multiplicar el valor inicial por 0.8). A

B

TIEMPO

(EN AÑOS)

VALOR DEL COCHE ($)

2

Al inicio

100 000

3

1

80 000

4

2

64 000

1

C

= B2 * ?

¿Cuánto tiempo pasará para que el valor del coche sea de $10 000.00 pesos?

¿Cuánto tiempo pasará para que el valor del coche sea de $1000.00 pesos?

Otro coche pierde sólo 15% de su valor cada año. Si nuevo cuesta $92500.00, ¿cuál será su valor después de 6 años? Si finalmente este coche se vende en $18 000.00, ¿cuántos años han pasado desde que lo compraron por primera vez?

@ 90

actividades

expresivas

R ecursividad (2)

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Nuevas ideas

En el periódico apareció una nota donde se afirmaba que la población de la República Mexicana había llegado en 1995 a 93 millones de habitantes aproximadamente, lo cual representaba un incremento de 10 millones con respecto al año de 1990. ¿Cómo podemos usar la hoja de cálculo para deducir con estos datos la tasa de crecimiento anual y con ella predecir la cantidad de habitantes que habrá en los años 2000, 2010, 2020 y 2030? Construye una hoja de cálculo como la siguiente. Considera en principio una tasa anual (TA) de 3%; introduce las siguientes fórmulas y cópialas hacia abajo: A

B

1

TASA ANUAL

2

TA

3

0.03

C Define el nombre TA

4 5

AÑO

POBLACIÓN

INCREMENTO

(en millones)

(en millones)

83

2.49

6

1990

7

1991

8

1992

88.05

9

1993

90.70

10

1994

11

1995

= B6 *$B$3

2.56 2.64

= B6 * TA

= B6 + C6

¿La hoja de cálculo llega a los 93 millones para1995? Si no es así, la tasa anual no es la correcta; cámbiala hasta llegar a la cantidad requerida para 1995 y luego responde las preguntas planteadas al inicio de esta actividad. Discute con tus compañeros la necesidad de viviendas, agua, alimento, etcétera, para el año 2030. Resuelve de manera similar el siguiente problema: Un banco asegura que cualquier depósito que realicen sus clientes se triplicará en 20 años.

actividades

expresivas

91 @

Recursividad (2)

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¿Qué tasa de interés anual está dando? ¿En cuánto tiempo se duplicó la cantidad depositada? Ahora construye una hoja de cálculo para la siguiente situación: si un elemento radiactivo tiene una vida media de 35 años; ¿cuál es su tasa anual de desintegración?

¿Cuánto quedará de este elemento si se guardan 100 gramos durante 70 años?

@ 92

actividades

expresivas

P éndulo

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aplicación

A la cantidad de oscilaciones de un péndulo en un intervalo determinado se le llama frecuencia. La fórmula siguiente relaciona la longitud de un péndulo (l) con su periodo de oscilación (P), es decir, con el periodo de tiempo que ocupa una oscilación completa, y sirve para obtener la frecuencia de cualquier péndulo: P = 2π

l √ g

en donde g es la constante de la gravedad, que para la Tierra tiene un valor de 9.8 m/s2 (en la Luna esta constante es de 1.6 m/s2). Si un péndulo tiene una longitud de 15 cm, ¿cuántas oscilaciones efectuará por minuto? Para responder construye una hoja de cálculo como la siguiente: = 1/C2 A

B

C

LONGITUD

LONGITUD

PERIODO

FRECUENCIA

FRECUENCIA

(cm)

(m)

P (s)

(Osc. por seg.)

(Osc. por min.)

2

1

0.01

0.201

4.982

298.94

3

2

0.02

0.284

3.523

211.38

4

3

0.03

0.348

2.877

172.59

5

4

0.04

0.401

2.491

149.47

6

5

0.05

0.449

2.228

133.69

1

D

E

= 2 * 3.14 * RAÍZ (B2/9.8) ¿Cuál es la frecuencia (por minuto) del péndulo? ¿Qué frecuencia tendrá un péndulo de un metro de longitud? ¿Qué longitud debe tener el péndulo para que oscile una vez por segundo (60 oscilaciones por minuto)? ¿Qué le pasa a la frecuencia cuando la longitud del péndulo se reduce?

actividades

expresivas

93 @

Péndulo

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Qué frecuencia tendría un péndulo de medio centímetro de longitud?

¿Qué frecuencia tendría un péndulo de 100 metros de largo?

Cambia tu hoja de cálculo para que dé los resultados de la frecuencia de péndulos en la Luna. ¿Son más lentos o más rápidos los péndulos en la Luna?

¿Qué te dice lo anterior sobre cómo caminaría o correría la gente en la Luna? ¿Y en Júpiter? (Aquí se necesita investigar la constante de la gravedad en ese planeta.)

@ 94

actividades

expresivas

Á ngulo de elevación

•••••••••••••••••••••••••••

Trigonometría

y de depresión Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Considera el siguiente problema: se quiere calcular la altura de un edificio con base en un solo dato: a una distancia de 50 metros su ángulo de elevación q es de 56°. Observa la figura:

Para el triángulo rectángulo que forman el edificio y su ángulo de elevación se puede plantear la siguiente relación: tan θ = o bien, despejando h: h = d * tan θ Construye una hoja de cálculo como la siguiente. La celda C2 convierte el ángulo a radianes y la celda D2 calcula la tangente de este ángulo. Escribe la fórmula correcta para la celda E2 de acuerdo con la igualdad de arriba. = TAN (C2)

= RADIANTE (B2) A 1 2

(d) (metros)

DISTANCIA

B

C

D

ÁNGULO θ

(grados)

ÁNGULO θ (radianes)

TANGENTE DEL ÁNGULO

56

0.9774

1.48256

50

E (h) (metros)

ALTURA

74.13

Como puedes observar, la altura del edificio debe ser de 74 metros aproximadamente. Usa ahora tu hoja de cálculo para resolver los siguientes problemas.

actividades

expresivas

95 @

Ángulo de elevación y de depresión

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Cuál es la altura de un árbol si su ángulo de elevación es de 70°, tomando como referencia un punto en el suelo a 40 metros de la base del tronco? De tarea, traza un dibujo a escala de esta situación en la parte de atrás de esta hoja. ¿Cuál es la altura de la torre Eiffel si su ángulo de elevación es de 56°, tomando como base un punto en el suelo a 200 metros de la base? Hasta aquí has visto cómo determinar la altura de un objeto cualquiera con base en el ángulo de elevación y la distancia. A continuación revisarás el procedimiento para calcular la distancia con base en el ángulo de elevación y la altura. Trata de determinar a qué distancia se encuentra un barco que se observa desde la azotea de un edificio de 440 metros de altura, tomando en cuenta que se forma un ángulo de depresión θ de 30° (observa la figura).

De acuerdo con la figura anterior tenemos que:

o bien, despejando d:

tan θ = h d d=

h tan θ

Agrega los datos de la tabla siguiente a la hoja de cálculo que has estado usando. Las fórmulas para las celdas C6 y D6 son similares a las anteriores. Escribe la fórmula correcta para la celda E6 de acuerdo con la igualdad citada (d = h/tan θ). La distancia que buscas es de 760 metros o 3/4 de kilómetro, aproximadamente.

@ 96

actividades

expresivas

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

5 6

A

B

C

D

(h) (metros)

ÁNGULO θ

(grados)

ÁNGULO θ (radianes)

TANGENTE DEL ÁNGULO

440

30

0.5236

0.57735

ALTURA

Trigonometría

E (d) (metros)

DISTANCIA

762.10

Resuelve los siguientes problemas: ¿A qué distancia de la costa se encuentra un avión que vuela a 5000 metros sobre el nivel del mar si su ángulo de depresión con respecto a la costa es de 16°?

Convierte esta distancia a kilómetros. Desde una montaña de 2 400 metros de altura se puede observar un pueblo. El ángulo de depresión con respecto al pueblo desde lo alto de la montaña es de 38°. ¿A qué distancia se encuentra la montaña del pueblo? Da el resultado en kilómetros.

actividades

expresivas

97 @

E xplosión demográfica

••• ••• ••• ••• •••

Álgebra y Nuevas ideas

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si consideramos que el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones de kilómetros cuadrados, ¿cuántas personas crees que había en promedio por cada kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por kilometro cuadrado se le llama densidad de población. En esta actividad conocerás y aplicarás un método para calcular el crecimiento de la población mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población. Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes instrucciones: 1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente de diez en diez el año. 2. En la columna B escribe la cantidad de habitantes que había en México en 1990. Para calcular las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de crecimiento, digamos 25% (esto se puede precisar consultando los resultados del censo más reciente). Enseguida, escribe en la celda B3 la fórmula = B2 + 0.25 * B2 (la población anterior más 25%) y cópiala hacia abajo. 3. En las celda C2 escribe la fórmula =B 2 / 2 000 000 (población/superficie) que calcula la densidad poblacional respectiva y cópiala hacia abajo. A

B

C

1

AÑO

POBLACIÓN

DENSIDAD HAB. POR KM2

2

1990

80 000 000

40

3

2000

100 000 000

50

4

2010

125 000 000

63

D

¿Qué densidad habrá en el año 2100? ¿En qué año la densidad llegará a 10 000 habitantes por kilómetro cuadrado?

Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros.

@ 98

actividades

expresivas

I nflación contra salario

• • • •• • •• • • •• • •

Álgebra y Nuevas ideas

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona. Primero es necesario establecer un par de referencias. Considera que en 1990 el salario de un trabajador era de $5 000.00 mensuales y que en ese año un coche costaba $50 000.00. ¿Cuántos salarios del trabajador eran necesarios para pagar el coche? Imagina ahora que la inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el salario se mantiene fijo. Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pueden servir: 1. En la columna A escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente de uno en uno el año. 2. En la celda B2 escribe el salario sin cambio. 3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmula = C2 + 0.05 * C2 para calcular cuánto aumenta el costo del coche anualmente debido a la inflación. Copia la fórmula hacia abajo. 4. En la columna D escribe una fórmula apropiada para calcular la cantidad de salarios que se requieren para comprar el coche. A

B

C

D

1

AÑO

SALARIO

COSTO COCHE

SALARIOS PARA COMPRAR COCHE

2

1990

5000

50 000

10

3

1991

5000

52 500

10.5

4

1992

5000

55125

11

¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche? ¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador?

Considera ahora la situación en la que el salario crece en la misma proporción que la inflación. Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año.

actividades

expresivas

99 @

Inflación contra salario

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

¿Qué observas en la columna D?

La situación anterior sería ideal. Por lo general los salarios crecen a una razón menor que la inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica este porcentaje al costo del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta inflación, los salarios se incrementan 20% anualmente. Aplica este aumento al salario en la columna B. Tu hoja debe mostrar los siguientes resultados: A

B

C

D

1

AÑO

SALARIO

COSTO COCHE

SALARIOS PARA COMPRAR COCHE

2

1990

5 000

50 000

10

3

1991

6 000

65 000

10.8

4

1992

7 200

84 500

11.7

De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 10 años? ¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años?

Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro.

@ 100

actividades

expresivas

I nterés compuesto

•••• •••• •••• ••• •••• •

Álgebra y Nuevas ideas

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

¿Sabes cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? A continuación vas a conocerla. Si se tiene un capital inicial de $10 000.00 y al depositarlo en una cuenta de inversión nos dicen que la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que se obtenga? Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10 000.00. Así, en el primer año tendremos un capital de: 10 000 + 1500 = 11500 pesos En el segundo año : 11500 + 1500 = 13 000 pesos ¿Y en el tercero? La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple, porque éste se mantiene constante. El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años, cada vez se tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las nuevas sumas y no en función del primer depósito. A este principio se le llama interés compuesto. En el primer año el capital es el mismo: 10 000 + 1500 = 11500 En el segundo año tendremos un interés de: 0.15 * 11500 = 1725 (ya que en el banco hay ahora11500 pesos) Así, el capital será de: 11500 + 1725 = 13 225 ¿Cuál será el interés en el tercer año si procedemos de la misma manera; es decir si aplicamos la fórmula 0.15 * 13225? ¿Cuál será entonces el capital?

actividades

expresivas

101 @

Interés compuesto

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Y así sucesivamente. La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así: Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia el modelo de la siguiente tabla: A

B

C

D

1

TASA DE INTERÉS

CAPITAL INICIAL

AÑO

CAPITAL

2

0.15

10 000

0

10 000

3

1

11500

4

2

13 225

¿Qué capital habrá en 10 años? ¿Qué capital habría en 10 años si se calculara como interés simple?

¿Qué capital habrá en 20 años? ¿Qué capital habría en 20 años si se calculara como interés simple?

¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco $1000.00 con un interés anual de 12%? ¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500 000 habitantes y su tasa de crecimiento es de 3% anual? ¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor de 10 000 dólares y la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual?

@ 102

actividades

expresivas

T iempos de duplicación en

• • • • • • • • •

Álgebra y Nuevas ideas

el crecimiento compuesto Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Primero vamos a construir en una hoja de cálculo una tabla de crecimiento compuesto como la que se muestra abajo. En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de 100 al 1% anual. En la columna C se incrementa la cantidad inicial de 100 al 2% anual. Continúa estas columnas hasta el 10% (columna K) = B2 + 0.01 * B2 = C2 + 0.02 * C2 A

B

C

D

E

1

AÑOS

1%

2%

3%

4%

2

0

100

100

100

100

3

1

101

102

103

104

4

2

102.01

104.04

106.09

108.16

5

3

103.03

106.12

109.27

112.49

Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son los mismos que los de la tabla de arriba. Extiende cada columna hasta que veas el valor 200. El tiempo correspondiente en la columna A se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó hasta 200. Con los valores encontrados, llena la tabla siguiente: TASA DE CRECIMIENTO

TIEMPO DE DUPLICACIÓN

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% actividades

expresivas

103 @

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto

• • •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •

Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al prever poblaciones y estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte. Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en una hoja de papel. ¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento; aumenta más y más? ¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual?

¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual?

@ 104

actividades

expresivas

C onstruyendo dados

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Probabilidad

Abre una hoja de cálculo (por ejemplo en Excel) y escribe en la celda B1 la fórmula: = ALEATORIO( ). Esta función escoge al azar un número entre cero y uno. ¿Qué número te dio? Aprieta varias veces la tecla F9 y observa que cada vez te da otro número con esta propiedad. Escribe en la celda B2 la fórmula: = B1 * 6. ¿En qué rango caen los números de esta celda?

Escribe ahora en la celda B3 la fórmula: = ENTERO (B2). Esta función quita la parte decimal del número en B2 y deja sólo su parte entera. ¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda?

¿Son los que tiene un dado? Por último, escribe en la celda B4 la fórmula: = B3 + 1 ¿Cuáles son los seis números diferentes que se pueden obtener en esta celda?

¿Son los que tiene un dado? Ya tienes construido un dado en la celda B4 (destaca la celda con algún color, centra el número y dale un tamaño más grande). Realiza ahora el siguiente experimento. Aprieta la tecla F9 120 veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo el resultado de la celda B4. VALOR DADO

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL

/ DONDE CORRESPONDA)

TOTALES

1 2 3 4 5 6 actividades

expresivas

105 @

Construyendo dados

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas: ¿A qué se debe que las cantidades no sean iguales?

¿Crees que cada valor debería haber aparecido exactamente 20 veces?

¿Crees que un dado real se comportaría de la misma manera?

¿Por qué decimos entonces que cada cara de un dado tiene la misma probabilidad de salir y que ésta es de un sexto?

Discute con el grupo estas preguntas. A continuación usa la misma hoja de cálculo y sigue para la columna D los mismos pasos que en la columna B, para que tengas simultáneamente dos dados. Realiza ahora el siguiente experimento. Aprieta la tecla F9 120 veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo la suma de los resultados de las celdas B4 y D4. SUMA DE LOS DOS DADOS

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL

/ DONDE CORRESPONDA)

TOTALES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

@ 106

actividades

expresivas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Probabilidad

Analiza estos resultados y responde las siguientes preguntas. ¿Tienen todos los valores la misma probabilidad de aparecer? ¿Qué valor es más probable? ¿Qué valor es menos probable? Compara tus resultados con otros equipos. Considera ahora la siguiente pregunta: ¿En qué proporción cae un doble cuando se tira un par de dados muchas veces? (Recuerda que un doble sucede cuando en los dos dados sale el mismo número.)

Para responder aprieta la tecla F9 100 veces y registra en la tabla de abajo si los valores de las celdas B4 y D4 coinciden o no. LOS DOS DADOS

CONTEO (MARCA UNADIAGONAL / DONDE CORRESPONDA)

TOTALES

No coinciden Coinciden Divide ahora los totales para que obtengas esta proporción. ¿Cuál es?

Por cada doble que sale, debe ocurrir que los dados no coincidan cinco veces. Dicho de otra manera, un doble aparece en promedio, una de cada seis veces. ¿Éste es el resultado que obtuviste? ¿Por qué fue diferente? Guarda tu hoja de calculo para que la utilices en la sesión siguiente.

actividades

expresivas

107 @

E l problema del cumpleaños

• • •• •• •• • •• •• •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Probabilidad

Hay un problema muy famoso cuyo resultado sorprende a todos. ¿Cuál es la probabilidad de que en un salón de clase de 40 niños se encuentren dos cuya fecha de cumpleaños coincida? ¿Crees que la probabilidad sea pequeña o grande? Para encontrar la respuesta analiza primero una situación similar. ¿Cuál será la posibilidad de que en un grupo de seis niños coincida el mes del cumpleaños de dos de ellos? Se podría inferir que si hay 6 niños y 12 meses, la probabilidad debería ser de un medio. ¿Será cierto? Para simular esta situación, usa la hoja de cálculo que construiste en la actividad anterior. En las columnas B y D habías construido dos dados con sus caras en las celdas B4 y D4. Primero es necesario que en estas celdas aparezcan 12 números representando los meses y no sólo seis, como las caras de un dado). Para esto, cambia las fórmulas de las celdas B2 y D2 como sigue: = B1 * 12 = D1 * 12 Comprueba que en las celdas B4 y D4 aparecen ahora los números del 1 al 12 al apretar la tecla F9. Como tenemos un grupo de seis niños, debemos tener seis de estos números al azar. Para esto, copia el contenido de la columna D en las columnas A, C, E y F. A continuación realiza este experimento. Aprieta la tecla F9 100 veces. Para cada una, registra en la tabla de abajo cuando no coincidan ninguno de los seis meses o cuando sí haya coincidencia. LOS SEIS MESES

CONTEO (MARCA UNA DIAGONAL / DONDE CORRESPONDA)

TOTALES

No coinciden Coinciden dos o más ¿Qué es más probable?

@ 108

actividades

expresivas

• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •

El problema del cumpleaños

En teoría, en casi el 80% de los casos se encontrará coincidencia entre algunos de los meses. ¿Es esto más o menos lo que tú encontraste?

En el problema original del día de cumpleaños, se puede calcular que en aproximadamente 90% de los salones con 40 niños se encontrarán dos niños con el mismo cumpleaños. Si no lo crees es muy fácil de comprobarlo. Visita algunos salones de aproximadamente 40 niños y comprueba que en 9 de cada 10 casos la afirmación anterior se confirma (si estás en una escuela con salones más chicos, la probabilidad de encontrar coincidencia en salones de alrededor de 25 niños es de aproximadamente 60%).

actividades

expresivas

109 @

Actividades Actividades exploratorias exploratorias Las hojas de trabajo de esta sección requieren que el alumno utilice archivos incluidos en el

CD

que acompaña este

libro. Las actividades se han ordenado por grado, pero si se considera conveniente pueden combinarse en función del avance de los alumnos.

D escomposición en primos

•••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Como sabes, el número 4 es igual a 2 × 2, el número 6 es igual a 2 × 3 y el 15 es igual a

. A esta manera de expresar un número se le llama

factorización. Observa por qué. Cualquier número puede descomponerse en otros números o factores primos. Por ejemplo, el número 30 puede escribirse como 6 × 5, y el 6 puede expresarse nuevamente como 2 × 3; así que el 30 queda descompuesto finalmente en 2 × 3 × 5. Los números primos son aquellos que ya no pueden descomponerse de esta manera, es decir, la descomposición en números primos consiste en expresar un número de modo que ya no pueda descomponerse más. Descompón los siguiente números en sus factores primos: 36 = 24 = Como puedes observar en estos ejercicios, los números primos que componen el número pueden repetirse varias veces. Piensa en un número que tenga repetido un primo cuatro veces. El archivo FactPrim.xls (véase el anexo ”Descripción de archivos“) te será útil para descomponer cualquier número en sus factores primos. Usa este archivo para comprobar que el número 120 puede descomponerse como sigue: 2×2×2×3×5 Obtén ahora la descomposición en primos de los siguiente números: 210 = 128 = 900 = 2 431 = 51798 =

@ 112

actividades

exploratorias

C álculo del MCD y el mcm

••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Consideremos los números 30 y 42. Su descomposición en primos es: 2×3×5 2 × 3 × 7 respectivamente. Los divisores elementales del 30 son 2 , 3 y 5 . Los divisores elementales de 42 son: ¿Cuáles son los divisores elementales comunes a los dos? Su máximo común divisor (MCD) es el producto de estos divisores elementales comunes, es decir, el 6. Con el archivo FactPrim.xls (véase el anexo ”Descripción de archivos“) encuentra la descomposición de cada uno de los siguientes números y deduce el MCD de cada pareja de números multiplicando los divisores elementales comunes (observa el ejemplo). 40 = 2 × 2 × 2 × 5 MCD =

500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5

2 × 2 × 5 = 20

98 = MCD =

112 = 2 700 =

MCD =

4 500 = 7 560 =

MCD =

1575 =

Consideremos nuevamente los números 30 y 42. Su descomposición en primos es: 2×3×5 2 × 3 × 7 respectivamente.

actividades

exploratorias

113 @

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Cálculo del MCD y el mcm

Cualquier múltiplo del 30 debe contener al menos los números 2, 3 y 5 en su descomposición. También, cualquier múltiplo del 42 debe contener al menos los números 2, 3 y 7 en su descomposición. Por lo tanto, cualquier múltiplo común de ambos números debe contener al menos los números 2, 3, 5 y 7. Esto nos indica que el mcm de ambos números es 2 × 3 × 5 × 7 = 210. Con el archivo FactPrim.xls encuentra la descomposición de cada uno de los siguientes números y deduce el mcm de cada pareja de números a partir de sus múltiplos comunes. 10 = 12 =

mcm =

30 = 48 =

mcm =

40 = 500 =

@ 114

mcm =

actividades

exploratorias

F racciones equivalentes

••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Aritmética

Cuando repartimos dos barras de chocolate entre cuatro personas, cada una recibe media barra. Así, decimos que: 2 1 2 entre 4 = , equivalente a 4 2 Si repartimos cuatro barras de chocolate entre ocho personas, ¿qué fracción de la barra recibe cada quien? entre

=

2 1 , equivalente a 4 2

Estos resultados nos indican que las fracciones 24 y 48 son equivalentes, ya que el resultado de repartir dos barras de chocolate entre cuatro personas es el mismo que si se repartieran cuatro barras de chocolate entre ocho personas; es decir, en ambas situaciones cada quien recibiría 1 . 2

Al repartir un pastel entre tres personas, ¿qué fracción recibe cada una?

Si se reparten dos pasteles entre seis personas, ¿qué fracción recibe cada una?

Escribe ambos resultados en fracciones equivalentes: equivalente a Da otra fracción equivalente a las dos anteriores: ¿Cómo la encontraste?

Un método para encontrar fracciones equivalentes consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por un número en común. Escribe cuatro fracciones equivalentes a la siguiente fracción: 3 equivale a 4 Ahora trabajarás con una hoja de cálculo incluída en el CD: Fracequi.xls. Como puedes observar, en esta hoja a la izquierda aparecen (en amarillo) las fracciones 3 , 1 y 5 , con sus respectivas fracciones equivalentes a la derecha 4 2 6 (en verde). actividades

exploratorias

115 @

Fracciones equivalentes

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Busca en tu hoja las tres fracciones equivalentes que se te piden a continuación: 3 equivale a x , 60 y x 4 12 x 100 3 Los números en amarillo de la hoja se pueden cambiar. Por ejemplo, cambia el»»»»» 4 de la hoja por 23 y escribe abajo las primeras cuatro fracciones equivalentes dadas en la hoja: 2 equivale a 3 Discute con tus compañeros y tu maestro qué significan los números en las celdas grises de la fila 3 (los que están arriba de cada fracción equivalente) y escribe las conclusiones a las que lleguen.

Las fracciones equivalentes son muy importantes para sumar fracciones, ya que sólo se pueden unir fracciones del mismo tipo, es decir, con el mismo denominador (medios con medios, tercios con tercios, etcétera). Por ejemplo, si queremos sumar las fracciones 2 1 tenemos que encontrar fracciones equivalentes a éstas, pero con el mis3 + 2 mo denominador. Busca en tu hoja estas fracciones y escríbelas abajo: 2 + 1 3 2

+

= 7 6

Suma con el mismo procedimiento los siguientes grupos de fracciones: 2 1 + = 3 4 1 3 + = 8 10 3 1 5 + + 4 2 6

=

3 1 5 + + 4 2 8

=

Observa la siguiente suma y resuelve las preguntas que aparecen en la siguiente página. 1 1 4 + + 3 2 5

@ 116

=

actividades

exploratorias

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Aritmética

¿El 8 puede ser denominador común en esta suma? ¿Puede ser denominador común el 16? ¿Puede haber más? ¿Cuáles? ¿Cuál sería el mejor? ¿Por qué?

Pídele a tu profesor más sumas de fracciones para resolverlas usando esta hoja. Anótalas a continuación:

Discute en clase el significado de las expresiones Mínimo Común Denominador y Mínimo Común Múltiplo. Pasa a la Hoja2 de la hoja de cálculo Fracequi.xls. Las fracciones que aparecen en amarillo se encuentran simplificadas a la derecha. Por ejemplo, la fracción 6 12

puede reducir a

12 24

(dividiendo entre dos al numerador y al denominador), o a

se 4 8

(dividiendo entre tres al numerador y al denominador). 6 Si colocas 12 en la segunda fila amarilla, la fracción se simplificará a 2 . 4

Si colocas 3 6

3 6

oa

en la tercera fila amarilla, verás que esta fracción no puede simplifi-

carse dividiéndola entre dos, pero sí entre tres. 12 Como has visto, esta hoja te puede ayudar a simplificar fracciones. Por ejemplo,‹‹‹‹‹‹‹ 24

se puede simplificar dividiendo entre dos al numerador y al denominador, luego otra vez entre dos, y finalmente entre tres para llegar a 1 . 80

2

Simplifica de la misma manera 100 y describe cómo procediste. Simplifica ahora 264 y describe cómo procediste. 288

actividades

exploratorias

117 @

P olígonos regulares

•••••••••••••••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Geometría

¿Sabes qué es el apotema de un polígono regular? ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono regular? ¿Cómo calcular su área? No te preocupes si no te acuerdas. En esta actividad aprenderás a usar una hoja de cálculo para resolver estas preguntas. El siguiente dibujo muestra un polígono regular de seis lados (¿sabes cómo se llama?) y se indica uno de sus apotemas, su ángulo central y uno de sus ángulos interiores.

Con líneas punteadas, traza los otros cinco apotemas de la figura. Anota la longitud de uno de ellos y de uno de sus lados. Mide con un transportador su ángulo central y su ángulo interior y escríbelos a continuación. Dibuja un cuadrado en una hoja en blanco (¿es el cuadrado un polígono regular?) y traza uno de sus apotemas. Mide uno de sus lados y su apotema, y anota su longitud.

Antes de continuar, abre el archivo Poligono.xls. Como puedes ver, se trata de una hoja cálculo organizada en tres secciones. Trabaja con la primera: “Cálculo de perímetros y áreas de un polígono regular (primera parte)”. En la columna llamada “Número de lados” hay un 4 y en la columna “Longitud de un lado” aparece un 10. La hoja muestra el valor del apotema correspondiente (discute con tus compañeros por qué para un cuadrado, el apotema es la mitad del lado). También puedes observar los valores del ángulo central e interior, así como el perímetro y el área del cuadrado. Verifica que los valores que ofrece la hoja sean correctos.

@ 118

actividades

exploratorias

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Polígonos regulares

Cambia ahora el número de lados a 6 y anota la longitud del lado del hexágono que mediste al principio de esta actividad. Compara el valor del apotema que muestra la hoja con el que tú mediste. Compara también los resultados que obtuviste al medir los ángulos con las medidas que proporciona la hoja. Observa las fórmulas que se usaron en la hoja para calcular el perímetro y el área (celdas F4 y G4). Descríbelas con tus propias palabras: Perímetro =

Área =

Cambia el número de lados con los valores que indica la siguiente tabla y llénala de acuerdo con los valores proporcionados en tu hoja: NÚMERO DE LADOS

ÁNGULO CENTRAL

ÁNGULO INTERIOR

3 4 5 6 8 10 Para el último valor de “Número de lados” (10), cambia en la hoja la longitud del lado y observa qué efecto tiene esto en el valor de estos dos ángulos. ¿Qué ocurrió? ¿Por qué?

¿Cuánto suman el ángulo central y el interior? ¿Es cierta la siguiente fórmula? 360 = ángulo central número de lados Trabaja ahora con la segunda sección de la hoja: “Cálculo de perímetros y áreas de un polígono regular (parte II)”. actividades

exploratorias

119 @

Polígonos regulares

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Todo polígono regular se puede inscribir en un círculo. La figura siguiente muestra un hexágono inscrito en un círculo.

En la figura se muestra el radio del círculo, que va del centro del polígono a uno de sus vértices. Como puedes observar en la hoja, esta segunda parte incluye al radio entre sus variables. Mantén el radio en el valor 10 y varía el número de lados con los valores que indica la tabla siguiente. Llénala con los valores que te da la hoja sin omitir decimales. NÚMERO DE LADOS

PERÍMETRO

ÁREA

5 10 100 1000 10 000 100 000 Pasa ahora a la tercera sección de la hoja: “Cálculo del Perímetro y Área de un Círculo”. Con el mismo radio de 10, obtén de la hoja los siguientes dos valores: Perímetro

Área

Compara estos valores con los de la tabla anterior y discute con tus compañeros y tu profesor por qué se acercan tanto los valores. Observa las fórmulas que se usaron en la hoja para calcular el perímetro y el área (celdas F16 y G16). Descríbelas con tus propias palabras. Perímetro =

Área =

@ 120

actividades

exploratorias

A lgoritmo de Euclides para

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Aritmética

calcular el MCD y el mcm Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Obtén el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) de las siguientes parejas de números: 8 y 6 MCD =

mcm =

27 y 8 MCD =

mcm =

36 y 21 MCD =

mcm =

Un método muy ingenioso, inventado por Euclides, para calcular el MCD de dos números, en este caso 36 y 21, es el siguiente: 1. Se divide el número más grande entre el más pequeño: 36 entre 21 da como resultado 1 y tiene un residuo de 15. 2. Se divide el divisor anterior entre el residuo anterior: 21 entre 15 da como resultado 1 y el residuo es 6. 3. Se sigue dividiendo el divisor anterior entre el residuo anterior hasta que se llegue a un residuo de cero. El último divisor es el MCD: 15 entre 6 da como resultado 2 y tiene un residuo 3. 6 entre 3 da como resultado 2 y tiene un residuo 0. El MCD de 36 y 21 es el 3. Usando este método calcula el MCD de 90 y 24. Para ello, abre el archivo Euclides.xls. En él encontrarás los cálculos anteriores para encontrar el MCD de 36 y 21. Compara cada paso para que verifiques que son iguales. Introduce en las celdas amarillas los números 90 y 24 y revisa los pasos que seguiste para calcular el MCD de estos números. ¿Qué resultado obtuviste?

Usa el programa para obtener el MCD de las siguientes parejas de números: NÚMERO

actividades

1

NÚMERO

990

420

990

330

530

384

600

229

exploratorias

2

MCD

121 @

Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm

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Seguramente ya notaste que en las columnas H e I la hoja de calculo ofrece también el valor del mcm de los números. Si ya se calculó el MCD de dos números a y b, su mcm se puede obtener muy fácilmente utilizando la fórmula: mcm = a * b/MCD Se sugiere al profesor complementar esta actividad dando el significado de “primos entre sí” y calculando con la fórmula anterior el mcm.

@ 122

actividades

exploratorias

A nalizando gráficas de rectas

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

¿Sabes que la ecuación de una recta es de la forma: y = mx + b (donde m, b representan los números cualesquiera)? ¿Qué significa esto?

Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo GraLin.xls; cambia a tu gusto los valores de m y b y observa qué sucede. Cambia varias veces el valor de b y observa el comportamiento de la gráfica. ¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta?

Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento de la gráfica. ¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta? Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la recta: a) Pase por el origen y el punto (2, 2). b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4. c)Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x. d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4. Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un compañero que deduzca la ecuación de la recta estudiando la gráfica. Cuando la haya encontrado, pídele que determine los coeficientes de una línea recta para que tú los deduzcas.

actividades

exploratorias

123 @

S istema de dos ecuaciones

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

¿Qué representa un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas? ¿Habrá siempre una solución? ¿Qué representa cada ecuación? En esta actividad resolverás estas y otras preguntas. Considera por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 2 x – 3 y = –13 Ecuación 2: 3 x + 2 y = 13 Abre la hoja de cálculo SistEcua.xls y encuentra estas ecuaciones. Notarás que hay también una segunda forma de cada ecuación seguida del símbolo ⇒. Éstas son las ecuaciones que resultan cuando se despeja y. Despeja y de cada una de las ecuaciones anteriores y comprueba que son las mismas ecuaciones dadas en la hoja de cálculo. Ecuación 1: y = Ecuación 2: y = Cada ecuación de este tipo representa una recta, como se muestra a continuación. Calcula el valor de y para cada una de las ecuaciones anteriores, donde x = 1. Llamaremos a estos valores y1, y2, respectivamente: Para x = 1,

y1 =

y2 =

Busca en la tabla de la hoja de cálculo los valores dados para x = 1, y verifica que son iguales a los tuyos. Encuentra estos valores en las gráficas que se proporcionan en la hoja. ¿Qué pasa en este punto (1,5)?

Haz lo mismo para: x=2

y1 =

y2 =

Encuentra estos valores en las gráficas (toma en cuenta que los valores de la tabla están redondeados a un decimal).

@ 124

actividades

exploratorias

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Sistema de dos ecuaciones

Como puedes observar, este programa calcula ambos valores de y para valores de x entre –5 y 5. Estos valores son graficados para cada una de las ecuaciones, con lo que se obtienen las rectas que aparecen en el sistema de coordenadas. Para x = –2, los valores en la tabla son: y1 =

y2 =

Encuentra en las gráficas los dos puntos que representan estos valores. El punto de intersección de las dos rectas es la solución al sistema de ecuaciones original. Comprueba que estos valores satisfacen ambas ecuaciones: Ecuación 1:

2 x – 3 y = –13

2 ( 1 )–3 ( 5 ) = –13

Ecuación 2:

3 x + 2 y = 13

3(

)+ 2 ( ) = 13

El programa no sería útil si sólo se pudiera trabajar con un sistema de ecuaciones. Las ecuaciones de este programa cambian en función de los coeficientes que se encuentran debajo de cada una de ellas. Analiza ahora el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: 3 x – 2 y = –9 Ecuación 2: 3 x + 4 y = 0 Inserta sus coeficientes en el programa (no olvides los signos). Verifica que las ecuaciones que aparecen en el programa son iguales a las de arriba. ¿Cuál es la solución de este sistema?

x=

y=

Deja la primera ecuación igual y cambia la segunda a: Ecuación 1: 3 x – 2 y = –9 Ecuación 2: 6 x – 4 y = –2 ¿Tiene solución este sistema? ¿Por qué?

Cambia el –2 de la segunda ecuación a –18 y observa lo que pasa. ¿Tiene solución este sistema?

actividades

exploratorias

125 @

Sistema de dos ecuaciones

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¿Por qué?

Observa lo que le ocurre a la gráfica y cambia ahora el –18 por –6, después por –10, después por –14 y otra vez por –18. Reflexiona sobre tus últimas dos respuestas. Considera el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 1: x – 3 y = 20 Ecuación 2: 3 x + 4 y = 8 No olvides insertar los coeficientes en el programa. A veces el rango de x (entre –4 y 4) no es el más apropiado (fíjate en las celdas L1 y M1). Este programa te permite cambiar el primer valor (–4). El segundo valor (4) se ajusta automáticamente para tener siempre un rango de 8 unidades. Cambia el rango para que puedas observar en la gráfica la solución del sistema anterior. ¿Cuál es?

x=

y=

Construye otra hoja de cálculo en la que haya seis celdas para introducir los coeficientes de las ecuaciones; la hoja debe calcular la solución del sistema usando las fórmulas que se tienen en el método de determinantes.

@ 126

actividades

exploratorias

E cuaciones diofantinas

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

Resuelve los siguientes dos problemas ideando estrategias diferentes. 1. En una papelería empacaron 28 lápices en cajas de 4 y en cajas de 6. En total utilizaron 6 cajas. ¿Cuántas cajas de cada tipo llenaron? Cajas con 4 lápices Cajas con 6 lápices 2. Para una función de un circo, los boletos de adultos cuestan $80.00 y los de niños $50.00. Si alguien pagó $310, ¿cuántos boletos para adultos y cuántos para niños compró? Boletos de adulto Boletos de niños Como puedes notar, las soluciones para estos problemas son necesariamente números enteros (número de cajas o número de boletos). Como veremos más adelante, en muchas situaciones sólo tiene sentido buscar soluciones enteras. Abre el archivo Tablpago.xls. Busca el valor 310 y lee a qué cantidades corresponde (columna verde y fila azul). Cantidad 1 Cantidad 2 Observa que los valores del “Precio 1” y el “Precio 2” corresponden a los precios de los boletos de adulto y niño. Las cantidades de arriba deben coincidir con el número de boletos que encontraste. Si observas, esta tabla indica el pago total de dos cantidades, cada una con su precio respectivo. Usa esta tabla para saber cuánto se debe pagar por 8 boletos de adulto y 6 boletos de niño. ¿Qué representan los valores de la columna C en esta hoja de cálculo?

actividades

exploratorias

127 @

Ecuaciones diofantinas

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Cambia los valores de los precios en la hoja para resolver los siguientes problemas. 1. Tu amigo te dice que compró estampitas de $3.50 y chocolates de $2.00, y que en total pagó $66.00. Sin embargo, no te dice cuánto compró de cada cosa. ¿Podrías averiguarlo? Cantidad de estampitas

Cantidad de chocolates

Busca en la tabla otra solución posible. Cantidad de estampitas

Cantidad de chocolates

¿Habrá otras soluciones? Encuentra una más. Cantidad de estampitas

Cantidad de chocolates

2. Una señora asegura que compró varios cochecitos de $5.00 y muñequitas de $12.00, y que pagó en total $43.00. ¿Puede ser esto posible? ¿Por qué?

3. Una escuela compró varias calculadoras HAT a 8.20 pesos y algunas calculadoras TIM a 2.95 pesos. Si se pagaron exactamente 387 pesos, ¿cuántas se compraron de cada tipo? (para resolver este problema debes extender la tabla hacia abajo y hacia la derecha). Cantidad de calculadoras HAT Cantidad de calculadoras TIM Para terminar, resuelve con la hoja de cálculo el primer problema planteado sobre las cajas de lápices. Se llama ecuaciones diofantinas a aquellas de las que sólo se busca su solución en números enteros. Por ejemplo, encuentra números enteros n y m tales que: 2n + 4m =18 O bien, encuentra un par de enteros positivos tales que: 18a + 65b = 1865 La ecuación para el primer problema puede escribirse como sigue: 80 (Número de adultos) + 50 (Número de niños) = 310 Inventa un problema diofantino.

@ 128

actividades

exploratorias

F unciones cuadráticas

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Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Álgebra

Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general: y = a x2 + b x + c donde a, b, c pueden ser cualquier número. Abre el archivo Cuadrati.xls. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir los coeficientes de la ecuación que quieres estudiar y la hoja te dará información sobre ella. Los coeficientes que incluidos en el archivo que abriste son: a = 2, b = 3 y c = –2, los cuales representan la ecuación: y = 2 x2 + 3 x –2 La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discriminante de la ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces la gráfica de la función corta el eje x. Estos cortes están dados por los valores x1 y x2. Cambia varias veces el valor del coeficiente c como te indica la tabla de abajo. En cada caso observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el número de cortes que tiene con el eje x. También observa que los valores de x1 y x2 dados en el programa corresponden a estos cortes. Llena la tabla siguiente:

VALOR DE C

DISCRIMINANTE

NÚMERO DE CORTES

VALOR DE X1

VALOR DE X2

–2 –1 0 1 2 3 4 5 1.125

actividades

exploratorias

129 @

Funciones cuadráticas

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Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola. ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica por el cambio del valor c? Forma: Posición: Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los valores 2, 3, 4, 5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6). ¿A qué conclusiones puedes llegar?

Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor inicial de la tabla en la celda A16 a otro más apropiado). Puedes calcular la posición del valor mínimo (o máximo) con el promedio de x1 y x2, es decir: (x1+x2)/2, ya que está a la mitad entre estos puntos. ECUACIÓN

X1

X2

MÍNIMO O MÁXIMO

POSICIÓN DEL MÍNIMO

y = 2x2 + 3x – 2

–2

0.5

mínimo

– 0.75

y = x2 – 9 y = x2 – 14x + 24 y = –2x2 + 6x y= x2 + 3x – 3 Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a. Pídele a tu profesor que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola, dónde aparece el discriminante y por qué su signo te informa sobre sus cortes.

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actividades

exploratorias

S imulación con el modelo

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Probabilidad

de urna (1) Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Un jugador de baloncesto encesta en promedio 80% de sus tiros libres y falla 20%. Supón que en su entrenamiento tira 20 veces. ¿Cuántos de estos tiros se espera que enceste? Una manera de simular (modelar) esta situación es poner en una bolsa (o urna) 8 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sacar una pelota de la bolsa representa un tiro del jugador. Extraer una pelota blanca significa que el jugador metió el tiro y una negra que lo falló. Si queremos simular otro tiro, debemos regresar la pelota que sacamos para que no se altere la proporción de pelotas blancas y negras. El archivo con el que vas a trabajar simula este tipo de situaciones en una hoja de cálculo. Abre ModeUrena.xls. Los colores y las cantidades apropiadas a la situación del jugador ya están puestos. La tabla muestra los resultados de extraer una pelota 20 veces (recuerda que cada vez se regresa la pelota extraída; a esto en matemáticas se le llama con reemplazo). La tercera columna va registrando cuántas pelotas blancas han salido hasta ese momento y la cuarta columna proporciona el porcentaje de pelotas blancas que han salido. Escribe abajo el “resultado” de las primeras cinco extracciones.

Explica qué significa esto en el caso del jugador del baloncesto. ¿La celda C11 indica la cantidad correcta? ¿Cómo crees que se calculó el porcentaje en la celda D11?

¿Cuántas pelotas blancas salieron en total en las 20 extracciones? Como encesta 80% de los tiros, se espera que acierte 16 de estos 20 tiros. ¿El resultado que obtuviste es mayor o menor a las 16 esperadas? Simula 10 veces los 20 tiros que realiza el jugar (oprimiendo la tecla F9) y en cada caso escribe el total de bolas blancas que salieron.

actividades

exploratorias

131 @

Simulación con el modelo de urna (1)

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Calcula el promedio de los 10 resultados que obtuviste y compáralo con el valor esperado (16). ¿Está cercano el promedio a este valor? ¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 19? Inténtalo. ¿Lo lograste? ¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 13? Inténtalo. ¿Lo lograste? ¿Es posible encontrar una situación en la que el total de blancas sea de 10 solamente? Inténtalo. ¿Lo lograste? La probabilidad de obtener 19, 13 o 10 es aproximadamente de 6%, 5% y 0.2% respectivamente (es decir, 6 en 100, 5 en 100 y 2 en 1000). Simula ahora la siguiente situación con el programa, cambiando los colores y las cantidades. En un hospital, la probabilidad de que nazca una niña (rosa) es de 60% y un niño (azul) es de 40%. Si diariamente nacen en el hospital 20 bebés, ¿cuál de las tres opciones que aparecen a continuación es la más probable? (vas a tener que hacer muchas simulaciones para obtener la respuesta y contar las veces que aparece cada opción).

@ 132

a) Que nazcan 14 niñas (6 niños): ¿Cuántas?

(12.4%)

b) Que nazcan 12 niñas (8 niños): ¿Cuántas?

(18.0%)

c) Que nazcan 10 niñas (10 niños): ¿Cuántas?

(11.7%)

actividades

exploratorias

S imulación con el modelo

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Probabilidad

de urna (2) Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna.xls. Escribe en las celdas reservadas para los colores las palabras águila y sol. ¿Qué debes escribir en las cantidades? ¿Hubiera sido los mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10? ¿Por qué? En 20 volados ¿cuántas águilas esperas ver? Constesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta. ¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en cualquier orden)?

actividades

exploratorias

133 @

S imulación con el modelo

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Probabilidad

de urna (3) Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Ahora imagina la siguiente situación. Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que el que saque el palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos. En este caso quien toma el palillo corto no lo regresa sino que se queda con él. A esto en matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cambian conforme se toman los objetos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma el palillo saque el más corto?

Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto?

Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto?

Abre el archivo ModeUrna.xls para simular esta situación. Cambia los colores por las palabras largo y corto, con sus cantidades respectivas (4 y 1). Cambia también la celda G3 de Con a Sin, para indicar que tienes una situación sin reemplazo. ¿En qué extracción apareció el palillo corto? ¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto?

¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?

El experimento que aparece en la siguiente página te ayudará a saber si contestaste correctamente las preguntas anteriores.

@ 134

actividades

exploratorias

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Simulación con el modelo de urna (3)

Oprime la tecla F9 y fíjate en que número de extracción salió el palillo corto. Marca en la tabla siguiente con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue apretando la tecla y marcando en dónde apareció el palillo corto. Después de haber llenado una de las filas, cuenta las diagonales y escribe el total en la columna correspondiente. CONTEO DE VECES QUE EL PALILLO CORTO SALE EN ESTA EXTRACCIÓN

TOTAL

1 2 3 4 5 ¿Qué extracción tiene el mayor total? ¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?

Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada uno de los resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos. ¿A qué conclusión puedes llegar?

Considera las siguientes situaciones. Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete palomitas (✓) y tres taches (✕). Cada vez que saca una ficha de la bolsa evalúa una pregunta y después la deja afuera hasta que termina de calificar el examen. Modela varias veces esta situación con el programa (supón que el examen tiene cinco preguntas). ¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable?

Un paquete de 52 barajas tiene cuatro ases. Una persona te dice que puede sacarlos todos en las primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es esto? Simula esta situación y estudia la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en las primeras 10 extracciones. actividades

exploratorias

135 @

J ugando con dados

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Probabilidad

de tres caras Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Tira 10 veces un dado y escribe tus resultados en la segunda columna de la siguiente tabla (los primeros cuatro tiros están ya incluidos como ejemplo): NÚMERO DE TIRO

RESULTADO

CONTEO

PORCENTAJE

1

5

0

0

2

4

1

50

3

1

1

33.33

4

4

2

50

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 En la tercera columna se va registrando la cantidad de veces en la que aparece un número. En este caso el 4 ha aparecido dos veces (como en el primer tiro no salió el 4, el conteo es de 0; en cambio, en el segundo tiro sí apareció este número y se registró el 1; en el tercer tiro tampoco salió el 4, así que el conteo siguió siendo de 1). Usando tus resultados, completa la columna correspondiente. Para calcular el porcentaje de cuatros que vayas obteniendo, divide el “Conteo” entre el “Número de tiro” y multiplícalo por 100. Termina de completar la tabla y discute con tus compañeros y maestro que se debe esperar con este porcentaje después de muchos tiros. Abre el archivo leygrnu5.xls. Esta hoja está organizada de la misma forma en la anterior que se experimentó con el lanzamiento de un dado.

@ 136

actividades

exploratorias

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Jugando con dados de tres caras

¿Por qué tus resultados no coinciden con los de la hoja anterior?

Revisa que los valores de las columnas “Conteo” y “Porcentaje” están calculados correctamente. Observa el valor del porcentaje para 100 tiros. ¿Cuál es? Si extendieras las cuatro columnas de la hoja hasta los 10 000 tiros (fila 10 006) podrías leer los siguientes valores: NÚMERO DE TIRO

PORCENTAJE

2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 Considera la fracción 1 ; escribe su forma decimal y su forma como porcentaje 6 (multiplicando la forma decimal por 100). Compara este valor con tus valores de la tabla anterior y con los de tus compañeros. Explica por qué son casi iguales.

En la siguiente página aparece una figura que muestra un dado de tres caras. La cara oculta (el 2) es la que interesa. Con la hoja de cálculo se puede simular un dado como éste cambiando el número de posibilidades de 6 a 3. En la columna de conteo verás únicamente ceros porque tiene asignado el valor 4 y este número no puede aparecer en un dado de tres caras. Cambia este valor por 1, 2 o 3.

actividades

exploratorias

137 @

Jugando con dados de tres caras • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Llena para este caso la tabla siguiente: NÚMERO DE TIRO

PORCENTAJE

2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 Pasa la fracción 1 a su forma decimal y como porcentaje. 3

Compara el segundo valor con los valores de la tabla anterior y con los de tus compañeros. Explica por qué son casi iguales.

Experimenta por último con un dado de dos caras. Dibújalo en una hoja en blanco y observa en la hoja de cálculo que le pasa al valor del porcentaje cuando el número de tiros es muy grande (10 000).

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actividades

exploratorias

C hances

• • • • •• • • •• • • •• • • •• • • •• • • •• • • • •• •

Tratamiento de información

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Cuando dos o más equipos compiten, se pueden estimar las posibilidades que cada uno tiene de ganar. Por lo general damos estos chances de ganar en forma de porcentajes o razones. Por ejemplo, podemos decir que Japón tiene sólo 30% de posibilidad de vencer a Italia en un juego de fútbol. Otra manera de decir esto es que tiene un chance de 3 en 10. De la información anterior, ¿cuáles son los chances de que Italia le gane a Japón? Exprésalo de las dos formas: Como porcentaje:

Como razón:

Verifica que los porcentajes sumen en total 100%. Una tercera manera de representar estos chances es en forma de fracción. En nuestro ejemplo tenemos que: 3 Las posibilidades de ganar de Japón son de 10 y de Italia de

¿Cuánto suman estas dos fracciones? Abre ahora el archivo Chances.xls. ¿Cuáles son los dos equipos que tienen mayor chance de ganar? ¿Qué chances tienen?

de

4 En forma de fracción esto sería: 20

¿Es ésta la misma fracción dada en el programa? ¿Por qué? 3 El equipo Los churros tiene 20 o 15% de posibilidades de ganar. Explica por qué

estos dos números representan lo mismo:

Notarás que el resultado de la suma de las fracciones es 1 y la de porcentajes es 100%. Discute con tus compañeros porque se obtiene este resultado. En este programa se pueden cambiar los chances de cada equipo en la forma de razón y el programa los calcula como fracciones y porcentajes, dando también el total de cada uno.

actividades

exploratorias

139 @

Chances

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

1. Cambia los chances de manera que todos los equipos tengan las mismas posibilidades de ganar. ¿Qué chances pusiste a todos?

de

(recuerda que el porcentaje je

total debe ser 100%). 2. Cambia en el programa los chances de tal manera que se obtengan las fracciones dadas en la tabla siguiente (observa que el segundo número debe ser 10 en todos los casos). Anota abajo tu solución. EQUIPO

CHANCES

FRACCIÓN

Lunáticos

de

10

1/10

Patas de palo

de

10

1/10

Los churros

de

10

0/10

Invencibles

de

10

1/5

Los mosqueteros

de

10

1/10

A. T. I.

de

10

2/5

Los osos

de

10

1/10

Los mejores

de

10

¿Qué fracción le corresponde a Los mejores? 3. Cambia los chances en tu programa respetando los datos de la tabla de abajo. Cuando termines, llénala con tus respuestas. EQUIPO

@ 140

CHANCES

FRACCIÓN

Lunáticos

de

10%

Patas de palo

de

25%

Los churros

de

0%

Invencibles

de

Los mosqueteros

de

25%

A. T. I.

de

5%

Los osos

de

10%

Los mejores

de

5%

actividades

exploratorias

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Tratamiento de información

¿Qué porcentaje le corresponde a Los invencibles? Proyecto: Piensa o imagina una situación que involucre a ocho equipos. Cambia en la hoja los nombres de los equipos por los que quieras y asígnales los chances (acuérdate que el total debe ser 100%). Copia tu cuadro en la siguiente tabla: EQUIPO

CHANCES

FRACCIÓN

PORCENTAJE

de de de de de de de de

actividades

exploratorias

141 @

A nálisis de textos

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Probabilidad

Abre el archivo Anatex95.xls. Verás un texto en amarillo que está guardado en la celda B1. Explora esta hoja de cálculo para que deduzcas lo que hace. ¿Qué contiene la parte azul? ¿Qué contiene la parte verde? Cambia el texto de la celda B1 por uno pequeño que tú quieras. Observa las secciones azul y verde. Verifica que el valor del Largo y que las cantidades de cada símbolo son las correctas. Observa que la parte azul llega hasta 255 letras (ésta es la máxima capacidad de análisis de un texto). Cambia ahora el texto de la celda B1 por otro texto que sea mayor de 200 letras pero que no rebase el límite de 255 (no tienes que contar el número de letras, pues la hoja te lo dice al aceptarlo). ¿Cuál es la letra que aparece con más frecuencia en tu texto? ¿Cuántas veces? Calcula el porcentaje de esta letra dentro del total de letras de tu texto de la siguiente manera: % de la letra

=

número de veces que aparece × 100 = número total de letras (celda E37)

Calcula el porcentaje de espacios dentro de tu texto de la siguiente manera: % de espacios

=

número de veces que aparece número total de símbolos (Largo)

× 100 =

En la celda E38 se calcula el número de palabras. Fíjate en la fórmula y explícala.

Observa ahora la gráfica. Si tuvieras que adivinar las letras que aparecen en una palabra cualquiera, ¿con cuáles empezarías? En la tabla que aparece en la página siguiente ordena las ocho letras que aparecen con mayor frecuencia y calcula, como lo hiciste anteriormente, el porcentaje de cada letra.

@ 142

actividades

exploratorias

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

LETRAS MÁS FRECUENTES

VECES QUE APARECE

Análisis de textos

% DE CADA LETRA

Compara tu tabla con la de tus compañeros para que observen sus diferencias y similitudes. Escribe en la celda B1 el siguiente texto en inglés. The sun did not shine. It was too wet to play. So we sat in the house all that cold, cold, wet day. I sat there with Sally. We sat there, we two. And I said, How I wish we had something to do. Too wet to go out and too cold to play ball (The cat in the hat, Doctor Seuss). Analízalo y compara tus resultados con los de tu texto en español.

actividades

exploratorias

143 @

A puestas

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Probabilidad

En esta actividad queremos averiguar las posibilidades de ganar en un juego. Supón que compras una tarjeta como la que se muestra en la tabla siguiente (comenzaremos con sólo dos partidos). En la columna del Resultado hay que escribir visitante (V), local (L) o empate (E) para indicar cuál equipo ganará o si habrá un empate. Llénala como quieras.

ADIVINE ¿CUÁL SERÁ EL GANADOR? Escriba:

visitante, local o empate

PARTIDO

VISITANTE

LOCAL

1

Toluca

Morelia

2

Necaxa

Monterrey

RESULTADO

Ahora abre la hoja de cálculo Apuestas.xls para saber los resultados. ¿Tienes tus dos resultados correctos? Tu profesor debe recolectar de alguna manera todos los Sí o No para analizarlos con el grupo. ¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? 1 de cada:

.

Veamos que se espera. En cada uno de los dos resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere decir que hay en total 3 × 3 = 9 combinaciones posibles. Escribe abajo estas nueve combinaciones (tres ya están dadas): COMBINACIONES POSIBLES

Partido

1

2

3

1

V

V

V

2

V

L

E

4

5

6

7

8

9

Así, si adivinamos al azar tenemos 1 de 9 posibilidades de acertar y ganar el juego. Entonces lo que esperamos es que 1 de cada 9 del grupo tenga la respuesta correcta. ¿Es esto lo que salió?

@ 144

actividades

exploratorias

• • • •• • •• • •• • •• • •• • • •• • •• • •• • •• • •• • • •• • •• • •• • •• • •• • •• • • ••

Apuestas

Realiza el siguiente experimento: oprime 90 veces la tecla F9 y observa los resultados. ¿Cuántas veces aparece la combinación V y V en los dos partidos. ¿Cuántas veces debió haber aparecido? Discute con el grupo la diferencia. Pasemos ahora a una situación con cuatro partidos en la tarjeta como la que aparece a continuación. Llénala indicando si crees que ganará el visitante, o el local o si habrá empate: ADIVINE ¿CUÁL SERÁ EL GANADOR? Escriba:

visitante, local o empate

PARTIDO

VISITANTE

LOCAL

1

Guadalajara

América

2

León

UNAM

3

Atlante

Puebla

4

Santos

Atlas

RESULTADO

En la hoja de cálculo Apuestas.xls, escribe en Cantidad de partidos el número 4 para saber los resultados. ¿Tienes tus cuatro resultados correctos? Tu profesor debe recolectar todos los Sí o No para analizarlos con el grupo. ¿Qué proporción de Sí se obtuvieron? ¿Qué debemos esperar? En cada uno de los cuatro resultados hay tres posibles respuestas: V, L o E. Esto quiere decir que habrá en total 3 × 3 × 3 × 3 combinaciones posibles. ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? Realiza el siguiente experimento: oprime 81 veces la tecla F9 y observa los resultados. Anota cuántas veces aparece la combinación V, V, V y V en los cuatro partidos. ¿Cuántas veces debió haber aparecido? Discute con el grupo la diferencia.

actividades

exploratorias

145 @

Probabilidad

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Repite el procedimiento para el caso de seis partidos. Llena la tabla con V, L o E: PARTIDO

RESULTADO

1 2 3 4 5 6 En la hoja de cálculo Apuestas.xls, escribe en Cantidad de partidos el número 6 para saber los resultados. ¿Tienes tus seis resultados correctos? Casi seguro es que no, ¿verdad? ¿Qué debemos esperar? ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? Si hubiera en la tarjeta 10 partidos, ¿qué debemos esperar? ¿Qué posibilidades tienes de adivinar correctamente en este caso? Proyecto: En la hoja de cálculo escribe un 3 en la Cantidad de partidos. Como ya sabemos, tendremos 1 de 27 posibilidades de adivinar correctamente. Escoge cualquier combinación. Observa en tu hoja la frecuencia con la que aparece la combinación que elegiste y compárala con las posibilidades mencionadas anteriormente (observa cuántas veces aparece la combinación que elegiste al oprimir 270 o 540 veces la tecla F9).

@ 146

actividades

exploratorias

A divina qué está pasando

•••• •••• •••• •••• ••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Probabilidad

Abre el archivo Adivdond.xls. Presiona la tecla F9 nueve veces, y en cada una observa lo que pasa. Si te fijas, los contadores te indican cuántas veces le ha tocado a cada uno de los tres tubos. El Total de tiros debe tener ahora el valor 10 (si te pasaste, puedes empezar de nuevo, cerrando tu archivo sin guardarlo y abriéndolo de nuevo). Copia los valores que obtuviste de cada contador en la tabla siguiente: TOTAL DE TIROS

CONTADOR 1

CONTADOR 2

CONTADOR 3

10 Compara estos valores con los de otro equipo de trabajo. ¿Son iguales? ¿Por qué? Tu tarea es investigar cuál de los tres tubos tiene mayor probabilidad de que le toque y cuál tiene menor probabilidad. Para esto, sigue presionando la tecla F9 hasta que llegues a 100 tiros en total. Llena la tabla con tus valores obtenidos. TOTAL DE TIROS

CONTADOR 1

CONTADOR 2

CONTADOR 3

100 ¿Cuál es el más probable? ¿Cuál es el menos probable? Compara con otro equipo. Una de las razones por las que hay que observar y experimentar con un fenómeno es la de poder predecirlo. ¿Podrías predecir qué valores tendrán los contadores al llegar a 1000 tiros? Trata de dar los valores que creas saldrán. MIS PREDICCIONES SON TOTAL DE TIROS

CONTADOR 1

CONTADOR 2

CONTADOR 3

1000

actividades

exploratorias

147 @

Adivina qué está pasando • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Ahora llega a los 1000 tiros (para esto, deja apretada la tecla F9 para ir más rápido y suéltala cuando estés cerca de los 1000 tiros). Escribe abajo los valores obtenidos. VALORES OBTENIDOS TOTAL DE TIROS

CONTADOR 1

CONTADOR 2

CONTADOR 3

1000 Compara tus valores obtenidos con tus predicciones y con los valores de otros equipos. ¿Qué puedes concluir?

No sólo es importante poder decir qué es más probable que suceda y qué es menos probable. También conviene dar números que indiquen esta probabilidad. Tu tarea ahora es decir qué tan probable es que le toque a cada uno de los tubos. ¿Cómo?, tienes que decidir (si tienes tiempo, puedes llegar ahora a 10 000 tiros en total y observar las proporciones). Escribe tus conclusiones y coméntalas con tus compañeros.

@ 148

actividades

exploratorias

¿ Por dónde saldrá?

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Probabilidad

Imagina una caja piramidal como la que aparece a continuación. En su parte superior se tira una pelota y la caja se agita horizontalmente una y otra vez hasta que la pelota sale por alguna de las salidas de abajo: A, B, C, D, E o F. En la figura se muestra una posible trayectoria de la pelota. Ο ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Ο A

B

C

D

E

F

Cada vez que la pelota se encuentra en un nivel, tiene la misma probabilidad de caer a la izquierda o a la derecha. ¿Crees que la pelota tiene la misma probabilidad de llegar a todas las salidas (A, B, C, D, E o F)? ¿Cuáles salidas crees que son las más probables? ¿Cuáles salidas crees que son las menos probables? Discute estas preguntas con tus compañeros. La probabilidad de que algo ocurra se mide con un número entre cero y uno. Por ejemplo, al tirar una moneda decimos que la probabilidad de que salga Sol es 1/2 o 0.5 o 50%. ¿Una probabilidad de 0.2 equivale a la fracción? o ¿a un porcentaje de?

%. Esto significa que 1 en cada 5, ocurrirá este evento.

En cada nivel, ¿cuál es la probabilidad de que la pelota caiga a la izquierda? y ¿a la derecha?

actividades

exploratorias

149 @

¿Por dónde saldrá?

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Abre ahora la hoja ADIVDON2.XLS, la cual simula la situación anterior. Cada vez que presiones la tecla F9 se tira otra pelota y las celdas azules llevan la cuenta. Las celdas violetas dan la frecuencia de pelotas que llegan a esa salida. Presiona la tecla F9 varias veces hasta llegar a un total de 10 (si te pasas, tendrás que abrir de nuevo la hoja). ¿Observaste cómo la trayectoria de la pelota cambia cada vez? Anota en la tabla siguiente las cantidades y las frecuencias obtenidas. TOTAL A

=

B

10 C

D

E

F

Cantidades Frecuencias Comprueba que cada frecuencia se obtiene dividiendo la cantidad respectiva entre el total. Presiona ahora la tecla F9 hasta llegar a un total de 100. Anota en la tabla siguiente las cantidades y las frecuencias obtenidas. TOTAL A

=

B

100 C

D

E

F

Cantidades Frecuencias De acuerdo con estas observaciones, ¿cuáles salidas son más probables?

¿Cuáles salidas son menos probables? Sigue presionando la tecla F9 hasta llegar a un total de 500. Anota en la tabla siguiente las cantidades y las frecuencias obtenidas. TOTAL A

B

=

500 C

D

E

F

Cantidades Frecuencias

@ 150

actividades

exploratorias

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Probabilidad

¿Siguen siendo las salidas C y D las más probables y las salidas A y F las menos probables? En realidad, por la simetría de la caja, esperaríamos que las salidas C y D tengan el mismo número, pero por ser un proceso aleatorio, esto no sucede exactamente. También esperaríamos que las salidas número y que las salidas

y

y

tengan el mismo

tengan el mismo número. o.

Ahora queremos deducir cuánto más probables son las salidas C y D que las salidas B y E. Observa tus datos de la tabla anterior y elige la más acertada de las tres opciones dadas. Las salidas C y D son 2, 3 o 4 veces más probables que las salidas B y E. Observa tus datos y contesta: Las salidas C y D son

veces más probables

que las salidas A y F. Una buena actividad es sumar los resultados de la última tabla de 10 o 20 grupos de trabajo para tener un total de 5 000 o 10 000 observaciones. Con esto podemos confirmar las respuestas a las preguntas anteriores. Un ratón de laboratorio entra en un laberinto como el representado en la figura siguiente. Discute la probabilidad que tiene de llegar a cada una de las salidas.

Proyecto (difícil): El archivo ADIVDON2.XLS tiene una segunda hoja (Hoja1) con una caja más grande. Realiza el mismo trabajo que hicimos en esta hoja de trabajo pero con el modelo más grande.

actividades

exploratorias

151 @

Anexos Anexos Descripción Descripción de de archivos archivos

D escripción del archivo FactPrim.xls Nombre

Edad

Escuela

Fecha

• • • • • • • • • • • •

En esta ocasión usarás el archivo FactPrim.xls para descomponer en primos un número cualquiera. En la celda A2 se escribe el número que deseas descomponer. A continuación, en la columna B escribe los números primos que consideres son divisores de ese número. El programa que estás usando arroja el resultado de dividir el número que escribiste en A2 entre los números que hayas escrito en la columna B (es decir, los posibles primos) y lo coloca como el número nuevo para seguir con el algoritmo. En este punto pueden ocurrir tres cosas: a) Si el resultado es entero, el número elegido sí es primo de A2. b) Si el resultado es decimal, el número elegido no es un divisor del número. En tal caso, hay que regresar a la celda anterior y probar otro posibilidad. c) Es recomendable que se escriban los números primos en orden ascendente y cuantas veces sea necesario. Cuando termines de llenar la hoja de cálculo borra los números de las columnas (tu profesor te indicará cómo) para que trabajes con un número nuevo. La lista que aparece a continuación muestra los primeros 25 números primos. Recuerda que un número es primo si su cuadrado no excede al número del cual es divisor. NÚMERO

RESULTADO

6 728 400

2

3 364 200

3 364 200

2

1 682 100

1 682 100

2

841 050

841 050

2

420 525

420 525

3

140 175

140 175

3

46 725

46 725

3

15 575

15 575

5

3 115

3 115

5

623

623

7

89

89

89

1

1

@ 154

DIVIDIDO ENTRE

D escripción del archivo HojaAlg.xls

• • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Este archivo está diseñado para desarrollar conceptos algebraicos y relacionar el lenguaje de fórmulas de la hoja de cálculo con el lenguaje algebraico. Consta de tres hojas secuenciadas (Hoja 0, Hoja 1 y Hoja 2), y todas se caracterizan porque: 1. Las celdas de color rosa se usan para introducir números. 2. Las celdas de color azul se usan para introducir fórmulas. 3. El nombre de la variable que define la columna está escrito en la celda de arriba. 4. Estos nombres pueden ser utilizados para escribir las fórmulas. Asimismo, tienen diferentes objetivos de estudio: Hoja 0: Escritura de Fórmulas. Hoja 1: Inversa de Fórmulas. Hoja 3: Composición de dos fórmulas e inversa de éstas.

155 @

D escripción del archivo Rndmz.xls

••••••••••••••••

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Siempre que se quiera trabajar con uno de los archivos de probabilidad que generan situaciones aleatorias, se debe correr antes el archivo Rndmz.xls en cada una de las computadoras. Lo que hace este archivo es empezar con una semilla aleatoria diferente para que cada computadora tenga resultados diferentes. Si este programa no se corre antes, todas las computadoras iniciarán con la misma semilla y los experimentos que se hagan serán idénticos.

@ 156

Exámenes Exámenes

E xamen: Hoja de cálculo

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Primer grado

Selecciona la opción correcta. 1. Completa la secuencia 28, 21, 14, 7, a) –7, –14

b) 0, 0

c) 0, –7

, d) 0, 03

e) 14, 21

2. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace la expresión 10x? a) b) c) d) e)

Suma Multiplicación División Resta Ninguna de las anteriores

3. 30% de 80 se puede expresar como: a) 30 × 80

b) 0.3 × 80

c)

30 × 80 100

d)

80 × 100 100

e) 100 × 80

4. En la noche, un taxista agrega 10 pesos extras a la tarifa que cobra en el día. Si n representa el cargo que el taxi hace de noche, la tarifa que cobra de día se puede obtener de la expresión: a) 10 – x

b) B1 – 10

c) 10 – n

d) n – 10

e) n + 10

5. Si s representa cierta cantidad de segundos, los minutos correspondientes se pueden calcular por medio de la fórmula: a)

s 60

b) 60s

d) segundos entre 60

@ 158

c) 60*s e) segundos por 60

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Primer grado

6. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos pesos recibiría por 260 dólares? a) $20

b) $0.05

c) $3 380

d) $273

e) $380

7. El Máximo Común Divisor de los números 2 × 2 × 5 y 2 × 3 × 5 × 7 es: a) 20

b) 210

c) 2

d) 4

e) 10

8. Escoge la tabla que represente una variación proporcional. a)

b)

c)

d)

e)

t

h

t

h

t

h

t

h

t

h

2

1

2

12

2

8

2

4

2

3

3

2

3

13

3

12

3

9

3

3

4

3

4

14

4

16

4

16

4

3

9. La fórmula de la secuencia 16, 8, 4, 2, … es: a) El número anterior entre 8. b) El número anterior entre 2. c) x 2 d) 16*x 2 e) B1 ÷ 2 10. La razón “3 de cada 5” es equivalente a: a) 30%

b) 60%

c)

3 8

d)

5 3

e) 3.5

11. Suponiendo un cambio de 15 pesos por dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 300 pesos? a)

300 15

b) 15 × 300

c)

15 300

d) 20

e) 4 500

159 @

Examen: Hoja de cálculo

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

12. ¿En cuál de las siguientes situaciones interviene el azar? a) Lanzar un dado cargado y obtener siempre cinco. b) Extraer una canica negra de una urna donde sólo hay canicas negras. c) Lanzar un objeto al aire. d) Lanzar un dado no cargado y no estar seguro del número que saldrá. e) Ninguna de las anteriores. 13. Un múltiplo común de 8 y 12 es: a) 2

b) 4

c) 48

d) 16

e) 36

14. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta? 28 x

= 2112

a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 15. La fórmula de la secuencia 28, 21, 14, 7, … es: a) B1 – 7

b) El número anterior menos 7

d) x + 7

e) x – 7

c) 7 – x

16. En una tienda hay 20% de descuento en todos los artículos. ¿Cuánto hay que pagar por una prenda que cuesta 300 pesos? a) $280

b) $180

c) $240

d) $360

e) $3 600

17. ¿Qué situación crees que representa una variación proporcional? a) La variación de las edades de dos personas. b) La altura de una persona en función de su edad. c) La conversión de monedas. d) La altura de una pelota lanzada hacia arriba como función del tiempo. e) Ninguna de las anteriores.

@ 160

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

18. Completa la secuencia 25, 15, 5, a) 0, 0

b) 15, 25

,

Primer grado

:

c) 0, –5

d) –5, –15

e) 0, 0.9

19. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta? 975 +

= 652 487 ?

a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 20. La fórmula de la secuencia 3, 6, 9, 12, … es: a) El número anterior más 3 d) x – 3

b) A1*3 e) x + 3

c) 3 + x

21. Si lanzamos una moneda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Es más probable que caiga águila. b) Existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila. c) Es más probable que caiga sol. d) Hay 50% de posibilidades de obtener un águila. e) La moneda cae de canto. 22. Completa la secuencia 16, 8, 4, 2, a) 1, 0.5 d) 1, 1 2

,

:

b) 0, –2 c) 2, 4 e) Ninguna de las anteriores

23. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace una suma? a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores

161 @

Examen: Hoja de cálculo

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

24. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 25, 15, 5, …? a) 5 – 10 d) x + 10

b) B1 – 10 e) x – 10

c) El número anterior menos 10

25. Un divisor común de 12 y 18 es: a) 3

b) 9

c) 4

d) 36

e) 12 x 18

26. Si se compran 8 artículos a un precio (p) diferente cada uno, el costo total se puede expresar como: a) 8*A1 d) p/8

b) 8 + p c) 8*p e) 8 por el precio

27. La raíz cuadrada del número 120 es: a) 11.9

b) 10.95

c) 14 400

d) 1440

e) 120/2

28. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 520 pesos? a) 533

b) 6760

c) 0.025

d) 20

e) 40

29. Durante las vacaciones, a los estudiantes se les hace un descuento de 25 pesos en el precio de los boletos en la central de autobuses. Si q representa el costo de un boleto, el precio que debe pagar un estudiante en las vacaciones lo puedes obtener de la expresión: a) 25 – q d) q + 25

@ 162

b) q – 25 e) C1 – 25

c) El precio del boleto menos 25

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Primer grado

30. En una urna hay bolas blancas y negras. Tomamos una bola, vemos su color y la regresamos a la urna. Si hacemos esto 10 veces, observamos en total siete bolas negras y tres blancas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Hay 10 bolas en total en la urna. b) Seguro hay más bolas negras que blancas en la urna. c) Hay 70% de bolas negras en la urna. d) Es más probable que haya más bolas negras que blancas en la urna. e) Es más probable que haya más bolas blancas que negras en la urna.

31. Completa la secuencia 3, 6, 9, 12,

,

:

a) 18, 24 b) 15, 18 c) 24, 28 d) 21, 24 e) 14, 16

163 @

E xamen: Hoja de cálculo

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Segundo grado Selecciona la opción correcta. 1. En la noche, un taxista agrega 10 pesos extras a la tarifa que cobra en el día. Si n representa el cargo que el taxi hace de noche, la tarifa que cobra de día se puede obtener de la expresión: a) 10 – x

b) B1 – 10

c) 10 – n

d) n – 10

e) n + 10

2. En una urna hay bolas blancas y negras. Tomamos una bola, vemos su color y la regresamos a la urna. Si hacemos esto 10 veces, observamos en total siete bolas negras y tres blancas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Hay 10 bolas en total en la urna. b) Seguro hay más bolas negras que blancas en la urna. c) Hay 70% de bolas negras en la urna. d) Es más probable que haya más bolas negras que blancas en la urna. e) Es más probable que haya más bolas blancas que negras en la urna. 3. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos pesos recibirías por 260 dólares? a) $20

b) $0.05

c) $3 380

4. Completa la secuencia 28, 21, 14, 7, a) –7, –14

b) 0, 0

c) 0, –7

d) $273 ,

e) $380 :

d) 0, 03

5. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace la expresión 10x? a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores

@ 164

e) 14, 21

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Segundo grado

6. ¿En cuál de las siguientes situaciones interviene el azar? a) b) c) d) e)

Lanzar un dado cargado y obtener siempre cinco. Extraer una canica negra de una urna donde sólo hay canicas negras. Lanzar un objeto al aire. Lanzar un dado no cargado y no estar seguro del número que saldrá. Ninguna de las anteriores.

7. ¿Cuál es la solución de la ecuación: 3n + 25 = 25.063? a) 2.65

b) 0.021

c) 3

d) 0.27

e) 0.063

8. Si s representa cierta cantidad de segundos, los minutos correspondientes se pueden calcular por medio de la fórmula: a) s/60 b) 60s d) segundos entre 60

c) 60*s e) segundos por 60

9. 30% de 80 se puede expresar como: a) 30 x 80 e) 100 x 80

b) 0.3 x 80

c) 30 × 80 100

10. Completa la secuencia 16, 8, 4, 2, a) 1, 0.5 b) 0, –2 e) Ninguna de las anteriores

c) 2, 4

d) 80 × 100 100 ,

: d) 1,

1 2

11. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta? a) y = 2x + 3 d) y = –x + 3

b) y = 5x2 – 2 e) y = x (x + 1)

c) y = 3/x + 1

12. La fórmula de la secuencia 16, 8, 4, 2, … es: a) El número anterior entre 8 b) El número anterior entre 2 c) x 2 d) 16*x 2 e) B1 ÷ 2

165 @

Examen: Hoja de cálculo

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

13. La recta y = 3x – 2 corta el eje y en el valor: a) 3

b) –3

c) 2

d) –2

e) 1

14. Suponiendo un cambio de 15 pesos por dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 300 pesos? a)

300 15

b) 15 x 300

c)

15 300

d) 20

e) 4 500

15. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 25, 15, 5, …? a) 5 – 10 d) x + 10

b) B1 – 10 e) x – 10

c) El número anterior menos 10

16. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace una suma? a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 17. Completa la secuencia 3, 6, 9, 12, a) 18, 24

b) 15, 18

c) 24, 28

,

: d) 21, 24

e) 14, 16

18. ¿Cuál es la solución para la ecuación 4n – 2 = 10 ? a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

19. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta? 28 x a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores

@ 166

= 2 112

e) 4

•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Segundo grado

20. Durante las vacaciones, a los estudiantes se les hace un descuento de 25 pesos en el precio de los boletos en la central de autobuses. Si q representa el costo de un boleto, el precio que debe pagar un estudiante en las vacaciones lo puedes obtener de la expresión: a) 25 – q d) q + 25

b) q – 25 e) C1 – 25

21. Completa la secuencia 25, 15, 5, a) 0, 0

b) 15, 25

c) El precio del boleto menos 25

,

c) 0, –5

: d) –5, –15

e) 0, 0.9

22. La siguiente tabla representa una variación lineal (gráfica de línea recta). ¿Cuál es el valor que corresponde al tiempo cero? Tiempo

0

10

20

30

Altura

¿?

100

180

260

a) 0

b) 80

c) 60

d) 20

e) 180

23. En una tienda hay 20% de descuento en todos los artículos. ¿Cuánto hay que pagar por una prenda que cuesta 300 pesos? a) $280

b) $180

c) $240

d) $360

e) $3 600

24. Si se compran 8 artículos a un precio (p) diferente cada uno, el costo total se puede expresar como: a) 8*A1 d) p/8

b) 8 + p c) 8*p e) 8 por el precio

25. En qué valor de x se cortan las siguientes dos rectas: y = 2x a) x = 0

b) x = 1

y = 12 – x c) x = 12

d) x = 4

e) x = –1

167 @

Examen: Hoja de cálculo

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

26. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta? 975 +

= 652 487 ?

a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 27. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 28, 21, 14, 7, …? a) B1 – 7 d) x + 7

b) El número anterior menos 7 e) x – 7

c) 7 – x

28. ¿Cuál es la solución para la ecuación: 7 ÷ m = 0.0175 ? a) 0.86

b) 175

c) 400

d) 0.1225

e) 2.12

29. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 520 pesos? a) 533

b) 6760

c) 0.025

d) 20

e) 40

30. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 3, 6, 9, 12, …? a) El número anterior más 3 e) x + 3

b) A1*3

c) 3 + x

d) x – 3

31. Si lanzamos una moneda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Es más probable que caiga águila. b) Existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila. c) Es más probable que caiga sol. d) Hay 50% de posibilidades de obtener un águila. e) La moneda cae de canto.

@ 168

E xamen: Hoja de cálculo

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

Tercer grado Selecciona la opción correcta. 1. En la noche, un taxista agrega 10 pesos extras a la tarifa que cobra en el día. Si n representa el cargo que el taxi hace de noche, la tarifa que cobra de día se puede obtener de la expresión: a) 10 – x

b) B1 – 10

c) 10 – n

d) n – 10

e) n + 10

2. Suponiendo un cambio de 15 pesos por dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 300 pesos? a)

300 15

b) 15 x 300

15 300

c)

3. Completa la secuencia 28, 21, 14, 7, a) –7, –14

b) 0, 0

c) 0, –7

d) 20

,

e) 4500

, d) 0, 03

e) 14, 21

4. La población de una ciudad se duplica cada 10 años. En el año 1970 tenía 100 000 habitantes. En 1980 tenía 300 000, ¿cuántos habitantes tendrá en el 2 000? a) 700 000

b) 2 700 000

c) 900 000

d) 2 400 000

e) 12 000 000

d) 51.62

e) 51.42

5. ¿Cuál es el resultado de la siguiente resta? –

a) 516.2

b) 52.62

204.29 152.67

c) 151.62

169 @

Examen: Hoja de cálculo

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

6. La ecuación y = 2x2 – 3x corresponde a la gráfica de una: a) Recta b) Parábola c) Exponencial d) Hipérbola e) Horizontal 7. Si s representa cierta cantidad de segundos, los minutos correspondientes se pueden calcular por medio de la fórmula: a)

s 60

b) 60s

c) 60*s

d) segundos entre 60

e) segundos por 60 8. ¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la ecuación y = 4 x2 – 6x? a)

b)

c)

d)

e)

9. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma? +

a) 1073.45

@ 170

b) 1703.54

752.31 951.23

c) 170.354

d) 17 035.40

e) 170 354

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Tercer grado

10. La solución de la ecuación: x – 23.2 = 21.4, se encuentra entre los números: a) 21 y 22

b) 42 y 43

c) 34 y 35

d) 44 y 45

e) 45 y 46

11. En una tienda hay 20% de descuento en todos los artículos. ¿Cuánto hay que pagar por una prenda que cuesta 300 pesos? a) $280

b) $180

c) $240

d) $360

e) $3 600

d) 242.003

e) 2 420.03

12. ¿Cuál es el resultado de la siguiente resta? –

a) 240.03

b) 2 420.17

6630.15 4210.12

c) 2 421.03

13. En una urna hay bolas blancas y negras. Tomamos una bola, vemos su color y la regresamos a la urna. Si hacemos esto 10 veces, observamos en total siete bolas negras y tres blancas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Hay 10 bolas en total en la urna. b) Seguro hay más bolas negras que blancas en la urna. c) Hay 70% de bolas negras en la urna. d) Es más probable que haya más bolas negras que blancas en la urna. e) Es más probable que haya más bolas blancas que negras en la urna. 14. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta? 975 +

= 652 487 ?

a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 15. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 25, 15, 5, …? a) 5 – 10 b) B1 – 10 c) El número anterior menos 10 d) x + 10 e) x – 10

171 @

Examen: Hoja de cálculo

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

16. Completa la secuencia 25, 15, 5, a) 0, 0

b) 15, 25

c) 0, –5

,

: d) –5, –15

e) 0, 0.9

17. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos dólares recibirías por 520 pesos? a) 533

b) 6760

c) 0.025

d) 20

e) 40

18. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace una suma? a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 19. Completa la siguiente secuencia 16, 8, 4, 2, a) 1, 0.5 b) 0, –2 e) Ninguna de las anteriores

c) 2, 4

,

:

d) 1, 1 2

20. ¿En cuál de las siguientes situaciones interviene el azar? a) Lanzar un dado cargado y obtener siempre cinco. b) Extraer una canica negra de una urna donde sólo hay canicas negras. c) Lanzar un objeto al aire. d) Lanzar un dado no cargado y no estar seguro del número que saldrá. e) Ninguna de las anteriores. 21. Si lanzamos una moneda, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? a) Es más probable que caiga águila. b) Existe la misma posibilidad de que caiga sol o águila. c) Es más probable que caiga sol. d) Hay 50% de posibilidades de obtener un águila. e) La moneda cae de canto.

@ 172

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Tercer grado

22. La solución positiva de la ecuación: x2 + 1 = 9, se encuentra entre los números: a) 1 y 2

b) 2 y 3

c) 3 y 4

d) 4 y 5

e) 5 y 6

23. ¿Qué operación utilizarías para encontrar el número que falta? 28 x

= 2 112

a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores

24. Completa la secuencia 3, 6, 9, 12, a) 18, 24

b) 15, 18

,

c) 24, 28

: d) 21, 24

e) 14, 16

25. La cantidad de bacterias en una colonia, en tres horas consecutivas es de 1000, 4 000 y 16 000. ¿Cuál esperarías que fuera la cantidad de bacterias en la hora siguiente? a) 28 000

b) 32 000

c) 48 000

d) 64 000

e) 19 000

26. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 28, 21, 14, 7, …? a) B1 – 7 d) x + 7

b) El número anterior menos 7 e) x – 7

c) 7 – x

27. 30% de 80 se puede expresar como: a) 30 x 80

b) 0.3 x 80

c)

30 × 80 100

d)

80 × 100 30

e) 100 x 80

173 @

Examen: Hoja de cálculo

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

28. ¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la ecuación y = 3x + 2x? a)

b)

c)

d)

e)

29. Suponiendo un cambio de 13 pesos por cada dólar, ¿cuántos pesos recibiría por 260 dólares? a) $20

b) $0.05

c) $3380

d) $273

e) $380

30. Si se compran 8 artículos a un precio (p) diferente cada uno, el costo total se puede expresar como: a) 8*A1 b) 8 + p e) 8 por el precio

c) 8*p

d) p/8

31. La raíz cuadrada positiva de 11 es un número que está entre: a) 1 y 2

b) 2 y 3

c) 3 y 4

d) 4 y 5

e) 5 y 6

d) 57 524

e) 557.24

32. ¿Cuál es el resultado de la siguiente suma? –

a) 575.24

@ 174

b) 5 572.4

562.93 12.31

c) 57.524

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

Tercer grado

33. ¿Cuál es la fórmula de la secuencia 16, 8, 4, 2, …? a) El número anterior entre 8 d) 16*

x 2

b) El número anterior entre 2

c)

x 2

e) B1 ÷ 2

34. ¿A cuál de las siguientes gráficas corresponde la ecuación y = x3 – 2x? a)

b)

d)

c)

e)

35. Una persona deposita 1000 en una cuenta de ahorro que anualmente da un interés de 10% sobre la cantidad acumulada hasta ese año, ¿cuánto dinero habrá en la cuenta después de cinco años? a) $5 000.50

b) $1510.25

c) $1610.51

d) $5 000.10

e) $1250.51

36. Durante las vacaciones, a los estudiantes se les hace un descuento de 25 pesos en el precio de los boletos en la central de autobuses. Si q representa el costo de un boleto, el precio que debe pagar un estudiante en las vacaciones lo puedes obtener de la expresión: a) 25 – q d) q + 25

b) q – 25 e) C1 – 25

c) El precio del boleto menos 25

175 @

Examen: Hoja de cálculo

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••

37. ¿Cuál de las siguientes operaciones deshace la expresión 10x ? a) Suma b) Multiplicación c) División d) Resta e) Ninguna de las anteriores 38. La fórmula de la secuencia 3, 6, 9, 12, … es: a) El número anterior más 3 d) x – 3

@ 176

b) A1*3 e) x + 3

c) 3 + x