Unidad 5 espacios con prodUcto interno (norMa , distancia) Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: • Aplicará los conceptos de longitud y dirección de vectores en R 2. • Aplicará el concepto de norma de un vector en R n. • Aplicará las propiedades del producto interno. • Aplicará el concepto de norma en espacios vectoriales con producto interno. • Encontrará el ángulo entre dos vectores en R n y la proyección de un vector sobre otro.

Álgebralineal

Introducción

E

n unidades anteriores manejamos diferentes clases de espacios vectoriales, entre ellos definimos los vectores columna y vectores renglón como conjuntos ordenados de n números reales pertenecientes al espacio vectorial Rn. En esta unidad usaremos como ejemplos el espacio vectorial R2 con el fin de introducir dos conceptos nuevos: la norma de un vector y el producto interno de dos vectores. Posteriormente, generalizaremos estos conceptos a espacios vectoriales diferentes. Iniciaremos con el manejo geométrico del espacio vectorial R2 también llamado espacio euclideano.

5.1. El espacio vectorial R2: longitud, dirección y distancia Como se definió anteriormente, los vectores del espacio vectorial R2 son parejas ordenadas (x, y) de números reales, las cuales podemos representar en el plano cartesiano; sin embargo, para muchas aplicaciones que incluyen fuerza, velocidad, aceleración, momento, etc., es importante pensar en un vector no como un punto sino como una entidad que tiene longitud y dirección. Esto nos lleva a la siguiente definición:

Definición 5.1 Sean P y Q dos puntos en el plano cartesiano. Entonces el →

segmento de recta dirigido de P a Q, que se denota por PQ , es el segmento de recta que va de P a Q. →

→

Nota que el segmento PQ y el QP son diferentes pues tienen sentidos opuestos (figuras 5.1. a y 5.1. b).

Figura 1.a.

Figura 1.b.

169

Unidad 5 →

Al punto P del segmento dirigido PQ se le llama punto inicial y a Q punto terminal. →

Si desplazamos el segmento PQ en forma paralela de modo que P se encuentre exactamente en el origen, obtendremos un segmento dirigido equivalente al original, ya que tienen la misma longitud, dirección y el mismo sentido (figura 5.2).

Figura 5.2. Esta equivalencia será muy útil ya que podremos identificar a cada punto P del plano cartesiano como un vector dirigido que tiene como punto inicial al origen y a P como punto terminal; a sus coordenadas (x, y) se les llama componentes del vector.

Ejemplo 1 a) Consideremos al punto O cuyas coordenadas son (0,0); este vector es el vector cero y su representación gráfica es el origen de los ejes coordenados. b) Consideremos el punto P (3,4) y cuya gráfica se observa en la figura 5.3.

Figura 5.3.

170

Álgebralineal Al inicio de la unidad mencionamos que los vectores del plano tienen longitud y dirección. Intuitivamente entendemos por longitud el tamaño del vector, ahora definiremos formalmente longitud o magnitud de un vector.

Definición 5.2 Consideremos un vector v = (a,b) en el plano cartesiano. Entonces la longitud o magnitud de v, que se denota por v = magnitud de v=

a 2 + b2 .

Observa que la magnitud es un escalar que siempre es positivo. Esta definición no es arbitraria, sino que se deduce directamente del teorema de Pitágoras (figura. 5.4), ya que si se observa, siempre se formará un triángulo rectángulo entre los ejes coordenados y el vector de nuestro interés.

Figura 5.4.

Ejemplo 2 Calcular la magnitud de los siguientes vectores: a) v = (2,2)

v = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 = 2 2

b) v = (–3, 3 2 )

v = (−3) 2 + (3 2 ) 2 = 9 + 18 = 27 = 3 3

Definiremos ahora lo que es la dirección; intuitivamente, la dirección es el grado de inclinación del vector y por lo tanto: Definición 5.3. Sea v = (a,b) un vector del plano cartesiano. La dirección de v se define como el ángulo θ, medido en radianes, que forma el vector con el lado positivo del eje x.

171

Unidad 5 Por conveniencia se escoge θ de tal manera que 0 ≤ θ ≤ 2π . De la figura 5.4 podemos deducir que tanθ =

b ; sin embargo, debemos a tener cuidado, ya que la función tangente es periódica con periodo π y por tanto b existen 2 valores de θ que satisfacen tanθ = en el intervalo de 0 ≤ θ ≤ 2π , de a tal modo que para tener un valor único debemos determinar el cuadrante donde se encuentra el vector.

Ejemplo 3 Encontrar la dirección de los siguientes vectores: 2 a) v = (2, 2) ya que tanθ = = 1 y como v se encuentra en el primer 2 –1 cuadrante entonces θ = tan (1) = π/4

−2 = 1, y como v se encuentra en el tercer −2 cuadrante por lo que al ángulo θ = tan –1(1)= π/4 se le debe sumar π b) v = (–2,–2) de tanθ =

para obtener θ = π/4 + π = 5π/4

172

Álgebralineal −2 = –1 y como v se encuentra en el segundo 2 cuadrante entonces a θ = tan –1(–1) = – π/4 se le suma π para obtener c) v = (–2,2) de tanθ =

θ = π− π/4 = 3π/4

d) v = (2, –2) ya que tanθ =

2 = –1 y como v se encuentra en el −2 cuarto cuadrante, entonces a θ = tan –1(–1) = – π/4 se le suma 2π para obtener el ángulo θ = 2π − π/4 = 7π/4

Resumiendo, si el vector se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, el b ángulo se obtiene sumando π al ángulo θ = tan −1   ; si el vector se encuentra a b en el cuarto cuadrante al ángulo θ = tan −1   se le suma 2π. a

¿Cuál será el significado de multiplicar un vector por un escalar positivo o por uno negativo? Consideremos el vector v = (1,1), su magnitud v = 12 + 12 = 2 1 tanθ = = 1 y su dirección es θ = π/4. 1 Tomemos ahora el producto del vector por un escalar dados por u = 3v y

173

Unidad 5 w = –3v, entonces u = 3(1,1) = (3,3) y w = –3(1,1) = (–3,–3) Vamos ahora a encontrar su magnitud y dirección. u = 32 + 32 = 18 = 3 2 = 3 v

y

w = (−3) 2 + (−3) 2 = 18 = 3 2 = −3 v Si α y γ son los ángulos de inclinación de u y w respectivamente, entonces: −3 3 = 1 , pero como w está en el = 1 y α = π/4, sin embargo tanγ = −3 3 tercer cuadrante γ = 5π/4, eso quiere decir que u tiene la misma dirección que tanα =

v pero w tiene dirección opuesta (véase las figuras 5.12 b y 5.12 c).

De donde podemos generalizar que al multiplicar un vector por un escalar positivo, su magnitud se multiplica por el escalar y conserva la misma dirección; al multiplicar por un escalar negativo, su magnitud se multiplica por el valor absoluto del escalar y tiene dirección opuesta, es decir, su ángulo aumenta π radianes. De lo anterior podemos observar que es más comodo tener vectores cuya magnitud sea 1 y trabajar con ellos, lo que nos lleva a dar la siguiente definición. Definición 5.4. Sea v un vector, entonces v se le llama vector unitario si su magnitud es 1: v =1

174

Álgebralineal Esta definición nos permite tener una caracterización de los vectores unitarios.

Ejemplo 4 Consideremos los vectores canónicos i = (1,0) y j (0,1) Vamos a encontrar su magnitud i = 12 + 02 = 1

j = 02 + 12 = 1

por lo que podemos decir que i y j son vectores unitarios. De aquí nos surge la siguiente pregunta: ¿dado un vector cualquiera, podremos encontrar un vector que tenga la misma dirección pero que sea unitario? La respuesta es sí, y para ello retomaremos el hecho de lo que significa multiplicar un vector por un escalar.

v Teorema 5.1. Sea v un vector, entonces el vector u = es un vector v unitario.

Vamos a encontrar vectores unitarios a partir de vectores que no lo son usando el teorema anterior.

Ejemplo 5 Consideremos el vector v = (3, 2), calculemos su magnitud v = 32 + 22 = 9 + 4 = 13 entonces definamos al vector u=

v (3, 2) = = (3 / 13 , 2 / 13 ) calculemos la magnitud de u v 13

u = (3 / 13 )2 + (2 / 13 )2 = 9 / 13 + 4 / 13 = 13 / 13 = 1 por tanto u sí es unitario.

175

Unidad 5 Por último, introduciremos el concepto de distancia entre dos puntos. Para ello usaremos el concepto de geometría analítica y la relacionaremos con el concepto de longitud. Consideremos los siguientes vectores v = (2, 3) y u = (1,–2); vamos a encontrar la distancia entre ellos como puntos en el plano cartesiano.

Sabemos por geometría analítica que la distancia entre los puntos (2,3) y (1,–2) la podemos obtener sustituyendo en la siguiente fórmula: ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 = (2 − 1) 2 + (3 + 2) 2 = 1 + 25 = 26 Si consideramos los puntos como vectores, observamos que esta distancia se conforma sacando la magnitud del vector formado por la diferencia entre los vectores u y v. v − u = (2 − 1, 3 + 2) = (1, 5) = 12 + 52 = 26 de lo anterior obtenemos la siguiente definición:

Definición 5.5. Sean u y v dos vectores, entonces la distancia entre u y v es la longitud del vector v–u, es decir: d (v,u) = v − u La distancia, definida de esta manera, posee las siguientes propiedades y nos va a permitir generalizarla a espacios vectoriales distintos de Rn.

176

Álgebralineal Teorema 5.2. Si d (v,u) = v − u es la distancia entre u y v, entonces i) ii) iii) iv)

d (v, u) > 0, d (v, u) = 0 si v = u d (v, u) = d (u, v) d (v, u) ≤ d (v, w) + d(w, u) (Desigualdad del triángulo)

Viendo las características que debe cumplir una distancia surge la pregunta, ¿será ésa la única forma de definir una distancia? La respuesta es no. Pondremos ejemplos en las siguientes secciones.

Ejercicio 1 1. Encuentra la magnitud y dirección de los siguientes vectores: a) x = (3,–4) b) y = (–1,0) c) u = (–2/3, 1/2) d) w = (0, –5) 2. Encuentra el vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado: a) u = (2, –3) b) v = (–3, 4) c) w = (–2, 3) 3. Encuentra la distancia entre las siguientes parejas de vectores: a) a = (–1,–2), b = (3, –2) b) c = (2, 3), d = (–4, 0) c) e = (0, 3), f = (0, –2)

5.2. Producto interno, ángulo entre vectores en R2 En la unidad 1 definimos el producto escalar de dos vectores en Rn de la siguiente manera:

177

Unidad 5 si u = (u1, u2, ..., un) y v = (v1, v 2, ..., v n) son dos vectores en R n , entonces u•v = u1v1 + u2v2 + ... + unvn. Si trasladamos este resultado a R2 tenemos la siguiente definición:

Definición 5.6. Sean u = (a1, b1) y v = (a2, b2), entonces el producto interno de u y v es u•v = a1a2 + b1b2. Al producto interno también se le llama producto punto. Recordemos que el producto interno es un número real al igual que la magnitud de un vector. ¿Habrá alguna relación entre ellos? El siguiente teorema nos indica cuál es esa relación y nos brinda otra manera (que vamos a poder generalizar), de encontrar la magnitud de un vector. Teorema 5.3. Sea v un vector de R2, entonces v = v • v 2

Vamos a probar que éste es otro método para encontrar la magnitud de un vector:

Ejemplo 6 Consideremos el vector v = (3,–5), entonces v = 32 + (−5) 2 = 9 + 25 = 34 usando el teorema anterior tenemos que v•v = (3)(3) + (–5)(–5) = 9 + 25 = 34 = v

2

y como podemos observar, ambos métodos dan el mismo resultado. ¿Qué significado geométrico tendrá el producto interno de dos vectores en R2? La siguiente definición nos ayudará a aclararlo.

178

Álgebralineal Definición 5.7. Sean u y v dos vectores diferentes de cero. El ángulo θ entre u y v es el ángulo no negativo más pequeño ( 0 ≤ θ ≤ π ) que hay entre ellos. Si v = αu, entonces θ = 0 si α > 0 y θ = π si α< 0 (Figura. 5.14).

En la figura 5.14. se observa gráficamente cómo es que se toma el ángulo θ, el más pequeño de los dos ángulos que se forma entre dos vectores.

El siguiente resultado nos da una manera de encontrar el ángulo entre dos vectores. Teorema 5.4. Si u y v son dos vectores diferentes de cero y ϕ es el ángulo u•v entre ellos, entonces cos ϕ = u v Este teorema nos permite tener una expresión para el producto interno u • v = u v cos ϕ en términos del ángulo entre dos vectores y sus magnitudes. En el siguiente ejemplo usaremos este teorema para encontrar el ángulo entre dos vectores.

179

Unidad 5

Ejemplo 7 Sean u = (2,3) y v = (–7,1) el producto interno es u•v = (2)(–7) +

(3)(1) = –14 + 3 = –11, las magnitudes son u = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 v = (−7) + (1) = 49 + 1 = 50 2

y

2

por lo tanto: cos ϕ =

u•v −11 −11 −11 = = = y u v 13 50 650 (13)(50 )

 −11  ϕ = cos −1   = 115.56°  650 

Existen particularidades entre dos vectores cuyos ángulos son 0, π/2 (90°), π (180°), 3π/2 (270°) y 2π (360°). La siguiente definición nos dice en qué consisten las particularidades.

Definición 5.8. Dos vectores diferentes de cero, u y v son: a) paralelos si el ángulo entre ellos es cero o π (180°) b) ortogonales (perpendiculares) si el ángulo entre ellos es π/2 (90°) o 3π/2 (270°).

En el siguiente ejemplo verificaremos vectores que son paralelos u ortogonales y posteriormente generalizaremos los resultados obtenidos.

180

Álgebralineal

Ejemplo 8 a) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (4, 2), determina si son paralelos u ortogonales. Vamos a encontrar el producto interno u•v = (2)(4) + (1)(2) = 8 + 2 = 10; sus magnitudes u = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 y v = (4) 2 + (2) 2 = 16 + 4 = 20 y el ángulo que hay entre ellos. cos ϕ =

u•v 10 10 10 = = = = 1 y ϕ = cos –1(1) = 0° u v 5 20 100 10

de donde podemos concluir que u y v son paralelos.

b) Consideremos los vectores u = (2,1) y v = (–4, –2), determina si son paralelos u ortogonales. El producto interno u•v = (2)(–4) + (1)(–2) = –8 + (–2) = –10; sus magnitudes u = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 y

v = (−4) 2 + (−2) 2 = 16 + 4 = 20

y el ángulo que hay entre ellos cos ϕ =

u•v −10 −10 −10 = = = = −1 y ϕ = cos –1(–1)= π = 180° u v 5 20 100 10

181

Unidad 5 de donde podemos concluir que u y v son paralelos.

c) Sean u = (2,1) y v = (–1, 2), determina si son paralelos u ortogonales. El producto interno u•v = (2)(–1) + (1)(2) = –2 + 2 = 0; sus magnitudes u = 22 + 12 = 4 + 1 = 5 y v = (−1) 2 + (2) 2 = 1 + 4 = 5 y el ángulo que hay entre ellos cos ϕ =

u•v 0 0 0 = = = = 0 y ϕ = cos –1(0) = π/2 = 90° u v 5 5 25 5

de donde podemos concluir que u y v son ortogonales.

En el ejemplo anterior observamos que si los vectores son ortogonales, el coseno de su ángulo es cero, pero como el coseno es un cociente, el numerador debe ser cero, de donde se desprende el siguiente resultado:

182

Álgebralineal

Teorema 5.5. Dos vectores u y v , diferentes de cero, son ortogonales, si y sólo si, su producto interno es cero, es decir u•v = 0.

Este resultado nos va a ser muy útil cuando generalicemos la noción de ortogonalidad en espacios vectoriales distintos de Rn.

Ejemplo 9 Considera la pareja de vectores u = (–3, 4) y v = (2, –6), su producto interno u•v = (–3)(2) + (4)(–6) = –6 + (–24) = –30, por lo tanto podemos asegurar que u y v no son ortogonales.

Ejercicio 2 1. Encuentra el producto interno de las siguientes parejas de vectores: a) (3, –2), (3, 4) b) (0,3), (–1,0) c) (–5,–1), (5, 1) 2. Encuentra el ángulo entre las parejas de vectores del ejercicio anterior. 3. Di si las siguientes parejas de vectores son paralelos, ortogonales o ninguna de las dos cosas: a) (–2, 4), (1, –2) b) (8, 1), (–1, 8) c) (3, 0), (1,1) 4. ¿Cuáles deberán ser las coordenadas del vector u para que sea ortogonal al vector v = (2, –3)?

183

Unidad 5

5.3. Espacios vectoriales no euclideanos con producto interno En esta sección generalizaremos los conceptos que vimos en las secciones anteriores a espacios vectoriales no euclideanos, es decir, espacios vectoriales que no tengan ninguna relación con Rn. Comenzaremos con el concepto de producto interno.

Definición 5.9. Sea V un espacio vectorial. Decimos que V tiene producto interno, si para cada pareja de vectores u y v en V existe un escalar único (u, v), llamado producto interno de u y v que satisface las siguientes propiedades: Si u, v y w están en V y α es un escalar; i) ii) iii) iv) v) vi) vii)

(v, v) ≥ 0 (v, v) = 0 si y sólo si v = 0 (u, v + w) = (u, v) + (u, w) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) (u, v) = (v, u) (αu, v) = α(u, v) (u, αv) = α(u, v)

Nota: En otros textos el producto interno se representa por Daremos varios ejemplos de espacios vectoriales con producto interno.

Ejemplo 10 a) Consideremos el espacio vectorial Dn de las matrices diagonales de orden n×n. Sean A, B en Dn, definimos (A, B) = a11b11 + a22b22 + ... + annbnn vamos a probar que es un producto interno. Sean A, B, C en Dn (A, A) = a11a11 + a22 a22 + ... + annann = a112 + a222 + ... + ann2 ≥ 0 ya que todos son cuadrados. ii) (A, A) = 0, entonces a11a11 + a22 a22 + ... + annann = a112 + a222 + ... + ann2 = 0 lo cual sucede sólo si todas las aii = 0, entonces A es la matriz cero. iii) (A, B + C) = a11 (b11+ c11) + a22 (b22 + c22) + ... + ann (bnn + cnn) = [a11b11 + a11c11] + [a22b22 + a22 c22 ]+ ... + [annbnn + anncnn] = [a11b11 + a22b22 + ... + annbnn] + [ a11c11 + a22 c22 + ... + anncnn]

i)

184

Álgebralineal



= (A, B) + (A, C) iv) (A + B, C) = (a11 + b11) c11 + (a22 + b22) c22 + ... + (ann + bnn ) cnn = [a11c11 + b11c11] + [a22 c22 + b22 c22 ]+ ... + [anncnn + bnncnn] = [a11c11 + a22c22 + ... + anncnn] + [ b11c11 +b22c22 + ... + bnncnn] = (A, C) + (B, C) v) (A, B) = a11b11 + a22b22 + ... + annbnn como el producto de números es conmutativo, se tiene que: (A, B) = b11a11 + b22 a22 + ... + bnnann = (B, A) vi) (αA, B) = αa11b11 + αa22b22 + ... + αannbnn; factorizando α tenemos que: (αA, B) = α( a11b11 + a22b22 + ... + annbnn ) = α (A, B) vii) (A, αB) = a11 (α b11) + a22 (α b22) + ... + ann (α bnn); factorizando α tenemos que (A, αB) = α( a11b11 + a22b22 + ... + annbnn ) = α (A, B)

Por lo tanto (A, B) = a11b11 + a22b22 + ... + annbnn satisface las características de producto interno. b) Consideremos C[a, b] el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [a, b]. Definimos en C[a, b] a ( f, g) = producto interno.

∫

b

a

f (t ) g (t )dt , vamos a probar que es un

Sean f, g, h en C[a, b], entonces: i)

( f, f ) =

ii) ( f, f ) =

∫

∫

b

a b

a

iii) ( f, g+h) =

f (t ) f (t )dt = ∫ f 2 (t )dt ≥ 0, ya que f 2 no es negativa. b

a

2

f (t )dt = 0 únicamente si f(t) = 0

∫

f (t )  g (t ) + h (t ) dt = ∫  f (t ) g (t ) + f (t )h (t )dt ; a

b

b

a

propiedad de la integral

= ∫ f (t ) g (t )dt + ∫ f (t )h(t )dt = ( f, g) + ( f, h) b

b

a

a

iv) ( f + g, h) =

∫

b

a

  f (t ) + g (t ) h (t )dt = ∫  f (t )h (t ) + g (t )h (t )dt ;   a b

= ∫ f (t )h (t )dt + ∫ g (t )h (t )dt = ( f, h) + (g, h) a a propiedad de la integral

b

b

185

Unidad 5 vi) (αf, g) = vii) ( f, αg) =

∫ α f (t ) g (t )dt =α ∫ b

∫

a

b

a

b

f (t ) g (t )dt = α(f, g)

f (t ) [α g (t ) ]dt = α ∫ f (t ) g (t )dt = α(f, g)

Por lo anterior ( f, g) =

a

b

∫

a

b

a

f (t ) g (t )dt es un producto interno en C[a,b].

5.4. Norma. Propiedades En esta sección, definiremos y generalizaremos el concepto de longitud, también llamado norma.

Definición 5.10. Sea V un espacio vectorial con producto interno definido y u en V. La norma de u, que se denota u está dada por u = (u, u) .

Esta definición nos muestra un modo de encontrar la longitud de objetos que en apariencia no la tienen. Veamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 11 a) Consideremos el espacio D3 con el producto interno definido en el ejemplo 10a; encontraremos la norma de una matriz en D3. 3 0 0 Sea A =  0 −5 0  en D3, entonces (A, A) = 32 + (–5)2 + 42 = 9 + 25 + 0 0 4   16 = 50 y la norma de A es A = (A, A) = 50 b) Consideremos el espacio P2[0,1], de todos los polinomios de grado menor o igual a dos continuos en el intervalo [0, 1]. Como P2[0,1] es un subespacio de C[0,1], podemos usar el producto interno definido en el ejemplo 10b.

186

Álgebralineal Sea f (t) = t2 –3t en P2[0,1], ( f, f ) =

∫

1

0

f 2 (t )dt = ∫ t 2 − 3t  dt = ∫ t 4 − 6t 3 + 9t 2  dt 0 0 1

t5 t4 t3 −6 +9 5 4 3

=

la norma de f es

1

2

1

= 1/5 – 6/4 + 9/3 = 17/10

0

f = ( f , f ) = 17 / 10

por lo tanto podemos decir que: f = ( f , f ) =

∫

1

0

f 2 (t ) dt

En el siguiente teorema se enuncian las propiedades que satisfacen cualquier norma independientemente del producto interno del que provenga.

Teorema 5.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno, y una norma definida, entonces: u ≥0

i)

u = ≥ 00 si y sólo si u = 0

ii) iii) iv)

αu = α

u

u+v ≤ u + v

Nota que las primeras tres propiedades se deducen de las propiedades que cumple el producto interno. Vamos a probar que se cumple la cuarta propiedad en un ejemplo.

Ejemplo 12 Consideremos el espacio vectorial D3 con la norma definida en el ejemplo 11a. 0 0 0 1 2 0     0  en D3, entonces: Sean A =  0 −1 0  y B =  0 3 0  0 0 −1  0 3     A + B = ( A + B, A + B )

187

Unidad 5 3 0 0 A + B =  0 2 0  ; (A + B, A + B) = 9 + 4 + 4 = 17 de donde: 0 0 2   A + B = 17

A = ( A, A) = 1 + 1 + 9 = 11 y B = ( B, B ) = 4 + 9 + 1 = 14 y por lo tanto

17 ≤ 11 + 14 que implica A + B ≤ A + B

En R2 vimos que los vectores unitarios tenían características especiales y eran fáciles de manejar, ¿sucederá lo mismo en otros espacios vectoriales? Consideremos la siguiente definición, que es una generalización de la definición de vector unitario en R2.

Definición 5.11. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea u un vector de V. Decimos que u es vector unitario si u = 1

Veamos los vectores unitarios de los ejemplos 11a y 11b.

Ejemplo 13 Consideremos el espacio D3 con la norma definida A = ( A, A) .  a 0 0 Sea A =  0 b 0  0 0 c   Si A es unitario, entonces: A = ( A, A) = a 2 + b 2 + c 2 = 1 eso señala que a 2 + b 2 + c 2 = 1. Lo que nos indica que las matrices diagonales de 3×3 unitarias son aquellas cuya suma de los cuadrados de la diagonal es 1. ¿Podremos construir vectores unitarios? La respuesta nos la da el siguiente resultado, que utilizaremos más adelante para construir bases llamadas ortonormales.

188

Álgebralineal

Teorema 5.7. Sea V un espacio vectorial con producto interno y una norma definida. Sea u un vector en V, entonces el vector v =

u es un vector unitario. u

Este teorema nos proporciona un método para construir vectores unitarios. Usaremos como ejemplo el espacio vectorial de las matrices diagonales (ejemplo 13).

Ejemplo 14 3 0  Sea A =  0 2 0 0 

0  0  , entonces su norma es: −1 

A = ( A, A) = 32 + 22 + (−1) 2 = 14

Construyamos el vector unitario

B=

A = A

1 14

3 0  0 2 0 0 

0  0 = −1 

 3 / 14   0  0 

0 2 / 14 0

   −1 / 14  0 0

vamos a encontrar la norma de B B = ( B, B ) = (3 / 14 ) 2 + (2 / 14 ) 2 + (−1 / 14 ) 2

= 9 / 14 + 4 / 14 + 1 / 14 = 14 / 14 = 1

por lo que efectivamente B es un vector unitario.

189

Unidad 5

Ejercicio 3 1. Encuentra la norma de las siguientes matrices en D3:

0  −3 0   a) A =  0 7 0  0 0 −10    1 0 0 b) B =  0 1 0  0 0 1  

2. Usa el teorema 5.7. para construir, a partir del vector f(t) = t2 +3 de P2[0,1] un vector unitario en P2[0,1]

5.5. Distancia. Propiedades Una vez definida la norma de un vector podemos generalizar el concepto de distancia, de la siguiente manera:

Definición 5.12. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u y v elementos de V. La distancia entre u y v se define como la norma de la diferencia de los vectores u y v. d (u, v) = u − v Esta definición nos permitirá encontrar la distancia entre vectores que no son de Rn y en los cuales será importante definir conceptos como discos abiertos y discos cerrados los cuales se requieren en conceptos más complejos como límites y derivadas en cálculo vectorial.

Ejemplo 15 Encontrar la distancia entre las funciones f(t) = 2t2 – 3 y g(t) = –5t2 – 1 que son elementos del espacio vectorial C[0, 1] con la norma definida en el ejemplo 11b.

190

Álgebralineal f – g = 2t2 – 3 –(–5t2 – 1) = 2t2 – 3 + 5t2 + 1 = 7t2 – 2,

∫ −g

=

=

∫ ( 7t 1

0

2

− 2) 2 dt =

∫ (49t 1

0

4

− 28t 2 + 4)dt

49 28 49 5 28 3 1 t − t + 4t 0 = − + 4 = 2.11 5 3 5 3

La distancia cumple ciertas propiedades que tienen relación con aquellas que cumplen tanto la norma como el producto interno del cual está definido. Estas propiedades se muestran en el siguiente teorema:

Teorema 5.8. Sean V un espacio vectorial con producto interno y d una distancia definida en V tal que si u , w y v son vectores de V, entonces: i) ii) iii) iv)

d (u, v) ≥ 0 d (u, v) = 0 si y sólo si u = v d (u, v) = d (v, u) d( u, w) ≤ d (u, v) + d (v, w)

Las tres primeras propiedades son consecuencia directa de la definición de la norma; en cuanto a la cuarta, es una propiedad conocida como desigualdad del triángulo. Probaremos la segunda en el caso de las matrices diagonales en D2 con la norma definida en el ejemplo 13.

Ejemplo 16 c 0  a 0 y B=  Sean A y B matrices en D2, entonces A =  ,  0 d  0 b supongamos que d (A, B) = 0, esto implica que A − B = ( A − B, A − B ) = (a − c) 2 + (b − d ) 2 = 0 de donde (a – c)2 + (b – d)2 = 0, por lo tanto a – c = b – d = 0 esto nos conduce a que a = c y b = d

y A = B.

191

Unidad 5

Ejercicio 4 1. Encuentra la distancia entre las funciones f(t) = 3t + 4 y g(t) = t2 + 4 de P2[0,1] con la distancia definida como en el ejemplo 15.

5.6. Ángulo entre dos vectores. Proyección de un vector sobre otro Otro de los conceptos que vale la pena generalizar es el de ángulo entre vectores, ya que nos proporciona un modo de definir vectores ortogonales, los cuales serán importantes en la construcción de bases ortonormales para un espacio vectorial, pues tienen características especiales que ayudarán en el manejo de solución de ecuaciones usando vectores y valores propios.

Definición 5.13. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean u, v vectores en V. El ángulo entre u y v es un número real θ en el intervalo 0 ≤ θ ≤ π tal que cosθ =

(u, v ) u v

Vamos a encontrar el ángulo entre dos matrices A y B del espacio vectorial D2.

Ejemplo 17 0 1  y B = 0   0 −1 

1 Consideremos A = 

0 (A, B ) = 1 + (–2) = –1 2 

A = ( A, A) = a 2 + b 2 = 1 + 1 = 2

B = ( B, B ) = a 2 + b 2 = 1 + 4 = 5 entonces, cosθ =

192

( A, B ) −1 −1 = = = −0.316227 de donde A B 2 5 10

Álgebralineal θ = 108.43° Construiremos ahora lo que se denomina proyección de un vector sobre otro. En esta parte usaremos el espacio euclideano R2 para ejemplificar el significado de la proyección, aunque la definición se dará para espacios vectoriales con producto interno cualquiera.

Definición 5.14. Sean u y v dos vectores diferentes de cero en un espacio vectorial V con producto interno. Entonces la proyección de u sobre v es un (u, v ) vector denotado por proyv u que se define como proyv u = v 2 v

Haremos una ejemplificación en R2 para ver cuál es su significado.

Ejemplo 18 Encontrar la proyección del vector u = (2,3) sobre el vector v = (4,–1) 2

(u, v) = 8–3 = 5; v = 16 +1 = 17 entonces proy v u =

(u, v ) 2

v =

5 (4, –1) = (20/17, –5/17) 17

v Observemos que la proyv u es un vector en la misma dirección de v.

Este concepto permitirá encontrar la proyección ortogonal de un vector sobre otro, que se manejará en la siguiente unidad.

193

Unidad 5

Ejercicio 5 1. Sean f, g ∈ C[0, 1], encuentra el ángulo entre las funciones f(t) = t y g(t) = et. 2. Encuentra la proyección del vector u = (2, –1) sobre el vector v = (–3, 2). 3. ¿Cuál debe ser el ángulo entre u y v para que proyv u = 0?

Ejercicios resueltos 1. Encuentra la magnitud y dirección del vector u = (5, –1) u = 52 + (−1) 2 = 25 + 1 = 26

tan θ =

−1  −1  ⇒ θ = tan −1   = 348 41' = 6.08 radianes. 5  5 

2. Encuentra el vector unitario en la misma dirección que v = (1, –2): v = 12 + (−2) 2 = 1 + 4 = 5 u=

v (1, −2) = = (1 / 5 , −2 / 5 ) v 5

Vamos a checar que u es unitario. u = (1 / 5 ) 2 + (−2 / 5 ) 2 = 1 / 5 + 4 / 5 = 5 / 5 = 1  −3 0  3. Encuentra el vector unitario de D2 a partir de la matriz B =    0 1 B = ( B, B ) = (−3) 2 + 12 = 10

Construyamos la matriz A=

194

1 B= B

1  −3 0   −3 / 10  = 0 10  0 1  

0   1 / 10 

Álgebralineal Probaremos que la matriz A es unitaria: A = ( A, A) = (−3 / 10 ) 2 + (1 / 10 ) 2 = 9 / 10 + 1 / 10 = 1 4. Encuentra la proyección del vector u = (2, –5) sobre v = (4, 1) (u, v ) Según nuestra fórmula proyv u = v. 2 v (u, v) = 8–5 = 3; v

2

=16 + 1 = 17, entonces:

proyv u = 3/17(4,1) = (12/17, 3/17).

Ejercicios propuestos 1. Encuentra la magnitud y dirección del vector v = (2,

5 ).

2. Encuentra el vector unitario en la misma dirección que v = (–4, –3). 3. Encuentra un vector ortogonal al vector v = (a, b). 2 4. Encuentra la norma de la matriz A =  0  0 

0 0  −1 0  de D3. 0 3 

2  5. Encuentra un vector unitario en D3 a partir de la matriz A =  0 0 

0 0  −1 0  . 0 3 

6. Encuentra la distancia en P 2 [0,1] entre las funciones f(t) = t+1 y g(t) = –2t + 1.

.

1 7. Encuentra el ángulo entre las matrices de D2 A =  0

0  −1 0   y B =  0 1 −1   

8. Encuentra la proyección de u = (1, 0) sobre v = (1, –1)

195

Unidad 5

Autoevaluación 1. Es la longitud del vector (3, –4): a) 25 b) −7 c) 5 d) −1 2. La dirección del vector (4, 8) es:

a) π −1 b) tan (8 − 4) c) 8/4 π d) tan −1 ( 84 )

3. El vector unitario en la dirección de u = (4,3) es: a) (7, 13) b) (8, 6) c) (4/5, 3/5) d) (4/7, 3/7) 4. Es el producto interno de (3,4) y (3, 2): a) (3+3)(4+2) = 36 b) 3(3) + 4(2) = 17 c) (3 –3)(2 –4) = 0 d) 3(3) – 4(2) = 1 5. Los vectores (2, –12) y (3, 1/2) son: a) Ni paralelos ni ortogonales. b) Paralelos. c) Ortogonales. d) Idénticos. 6. Es la expresión para la proyección del vector u sobre el vector v: a)

(u, v ) v

b)

(v , u ) u

196

2

2

v

u

Álgebralineal

c)

(u, v ) u

d)

2

(u, v ) v

2

v

u

7. Es el producto interno de las funciones f(t) = t y g(t) = t3 en C[0, 1]: a) b) c) d)

1/2 1/3 1/4 1/5

 3 0 0   8. Es la norma de la matriz  0 −2 0  en D3: 0 0 8   a) 3 b) 77 c) 77 d) 69

 3 0 9. Es el vector unitario en D2 a partir de  :  0 −5  3 / 34 0  a)  −5 / 34   0  3 / 34 b)   0

  −5 / 34  0

  9 / 34 0 c)   25 / 34   0  −5 0  d)    0 3

10. Encuentra el ángulo entre las funciones f(t) = sen t y g(t) = cos t en C[0,2π] a) b) c) d)

0 180° 90° 45°

197

Álgebralineal

Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. a) Magnitud = 5; dirección = 306.87° = 5.36 radianes. b) Magnitud = 1; dirección = 180° = π radianes. c) Magnitud = 5/6; dirección = 143.13° = 2.5 radianes. d) Magnitud = 5; dirección = 270° = 3π/2 radianes. 2. a) (2 / 13 , −3 / 13 ) b) (–3/5, 4/5)

c) (−2 / 13 , 3 / 13 ) 3. a) 4 b) 45 c) 5

Ejercicio 2 1. a) 1 b) 0 c) –26 2. a) 86.82° b) 90° c) 180° 3. a) Son paralelos. b) Son ortogonales. c) No son parelelos ni ortogonales.

199

Unidad 5 4. Cualquiera de la forma k(3, 2) con k real.

Ejercicio 3 1. a) 158 b) 3 2. g(t) =

1 56 5

(t 2 + 3) =

5 2 (t + 3) 56

Ejercicio 4 77 / 10

1. d ( f, g) =

Ejercicio 5 1. 14.18° 2. (24/13, –16/13) 3. 90°

Respuestas a los ejercicios propuestos 1. 2. 3. 4.

magnitud = 3; radianes = 0.84; dirección = 48.19° (–4/5, –3/5) (b, –a) 14

5.  2/ 14   0  0  6.

0

−1/ 14 0

3

7. 180° = π radianes 8. (1/2, –1/2)

200

0 0 3/ 14

    

Álgebralineal

Respuestas a la autoevaluación 1. c) 2. d) 3. c) 4. b) 5. c) 6. a) 7. d) 8. c) 9. b) 10. c)

201