INSTITUTO T E C N O L O G I C O Y D E ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERFÜEY

ESCUELA DE INGENIERIA

FUNCION DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES

TRABAJO

F I N A L OUF.

•JOS-!" L U Í S D O M I N G U E Z

PRESENTA

RONCE

DE

LEON

E N OPCION A l . T I T U L O DE

INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA

MONTERREY,

N. L.

JUNIO

DE

1967

INSTITUTO TECNOLOGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY

ESCUELA DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MECANICA

PUNCION DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES

TRABAJO FINAL QUE PRESENTA JOSE LUIS DOMINGUEZ PONCE DE LEON EN OPCION AL TITULO DE INGENIERO MECANICO ELECTRICISTA

MONTERREY, N.L

JUNIO, 1967

INTRODUCCION

Uno de l o s p r i n c i p a l e s problemas p o r l o s cua­ l e s a t r a v i e z a l a ingeniería a c t u a l , es e l de d e t e r m i n a r e l comportamiento

de un s i s t e m a y más aún s i éste depen-

de de una g r a n número de v a r i a b l e s i n v o l u c r a d a s

en su —

funcionamiento.

A m e d i d a que ha avanzado e l tiempo, l a técnica ha p r o g r e s a d o grandemente y uno de l o s campos más

desa-

r r o l l a d o s h a s i d o e l campo d e l c o n t r o l automático.

Muchos de l o s p r o c e s o s i n d u s t r i a l e s , domésti— cos y r e f e r e n t e s mamente l i g a d o s

a l campo de l a investigación están ínti con p r o c e s o s automáticos de c o n t r o l .

Es p o r eso que a c t u a l m e n t e se l e ha dado un en foque mas d i r e c t o a e s t a rama de l a ingeniería.

Uno de l o s temas básicos en e l e s t u d i o de un s i s t e m a de c o n t r o l es e l e s t u d i o

de l a función de t r a n s ­

f e r e n c i a y sus p r o p i e d a d e s .

Actualmente

se han d e s a r r o l l a d o

grandes m é t o —

II

dos en l a teoría de c o n t r o l moderno basándose en e l concepto matemático de l a función de t r a n s f e r e n c i a p a r a de­ terminar,

p o r e j e m p l o l a e s t a b i l i d a d de un

sistema.

En e s t a ocasión se hará un breve e s t u d i o de es t a función, observando sus p r o p i e d a d e s y p o r último se explicarán a l g u n a s de l a s a p l i c a c i o n e s que t i e n e en e l campo i n g e n i e r i l .

INDICE

CAPITULO

I

PAGINA

FUNCION

DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES

1.1. - Definición de Punción de Transíerencia

1

1.2.- Representación en diagramas de b l o c l :

4

1.3. - V e n t a j a s de un s i s t e m a a b i e r t o con

—

respecto a l sistema retroalimentado 1.4. - P r o c e d i m i e n t o

10

de reducción de d i a g r a ­

mas de b l o c k

11

1.5.- Gráficas de f l u j o de señal

14

1.6. - Fórmula g e n e r a l de g a n a n c i a p a r a grá­ f i c a de f l u j o de señal 1.7. - C r i t e r i o s de E s t a b i l i d a d

II

17 20

APLICACIONES DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA 2.1.-

S i s t e m a masa r e s o r t e

2 . 2 . - S i s t e m a masa r e s o r t e

24 amortiguamiento

27

2.3. - Función de t r a n s f e r e n c i a de un termommetro y f u e l l e hidráulico

28

2.4. - s i s t e m a hidráulico de motor y bomba

31

2 . 5 . - Motor de c o r r i e n t e d i r e c t a

37

a ) - Motro de c o r r i e n t e d i r e c t a c o n t r o l

IV

CAPITULO

PAGINA l a d o p o r e l campo

"b)- C o n t r o l a d o

p o r l a armadura

37 40

2.6. - Comparación e n t r e l a s o p e r a c i o n e s d e l motor con armadura c o n t r o l a d a y compo controlado

44

2.7. - Aplicación de l a función de t r a n s f e — r e n c i a en l a electrónica

45

2.8. - Aplicación de l a r e g l a de Mason a un c i r c u i t o de un t r i o d o

49

COMENTARIOS

51

BIBLIOGRAFIA

52

CAPITULO

I

PUNCION DE TRANSFERENCIA Y SUS APLICACIONES

1.1.-

DEFINICION. D e b i d o a que un s i s t e m a r e a l puede e s t a r suje

to a todos l o s t i p o s de v a r i a n t e s de e x c i t a c i o n e s ce en t r a d a x ( t ) , se v u e l v e i m p r a c t i c o c a l c u l a r

l a respuesta

de un s i s t e m a p a r a v a r i a s e x c i t a c i o n e s p o s i b l e s .

Un método b a s t a n t e útil p a r a e s t u d i a r e l com­ portamiento

t r a n s i t o r i o de un s i s t e m a se o b t i e n e a p a r ­

t i r de l o s c e r o s de función característica.

Esto

crite

r i o p a r a l a evaluación d e l comportamiento t r a n s i t o r i o se o b t i e n e c o n s i d e r a n d o ción g e n e r a l de orden

donde:

x

=

l a s características de una ocua n.

v a r i a b l e de e n t r a d a y

y = v a r i a b l e de s a l i d a . Obteniendo l a t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e de cada término de p o l i n o m i o s y c o n s i d e r a n d o

l a scondiciones i n i c i a l e s

2

i g u a l c cero,

Yís) -

í^s (s

n

ra , +

s

m

n

+ o _ n

I (s) S L (s) n

Y(s) =

ja-1 _ i

a

l S

-

1

+

+

+

a

-!

s

+ b

+

a

z

0

l S

) (

s

)

+ b ) Q

X(s)

= a( ) = s

X(s)

I (s) n

donde ,

= Función de t r a n s f e r e n c i a . L ( ) n

S

P a r a un s i s t e m a l i n e a l , l a función de t r a n s f e ­ r e n c i a está d e f i n i d a como l a relación de l a transíorna­ da de L a p l a c e

de l a v a r i a b l e de s a l i d a a l a t r a n s f o r m a d a

de l a v a r i a b l e de e n t r a d a , con t o d a s l a s c o n d i c i o n e s in:L c i a l e s y consideradas

i g u a l a cero.

Podemos d e c i r que l a fttnción de depende de t r e s

transferencia

cosas:

1, - De l a e n t r a d a d e l s i s t e m a , 2, - De l a s a l i d a d e l s i s t e m a . 3, - D e l t i p o de s i s t e m a que se está a n a l i z a n d o o de l o s elementos p r o p i o s d e l s i s t e m a .

3

En g e n e r a l un elemento d e l s i s t e m a

de c o n t r o l

r e c i b e una señal de o t r o elemento y t r a n s m i t e de s a l i d a a l que l e p r e c e d e .

La naturaleza

de s a l i d a depende de l a señal de e n t r a d a

una '^cñal de l a señal

en t r e s maneras;

1, - Forma. 2, - F a s e , 3, - ííivel de energía, 1, - L a f o r m a i m p l i c a l a n a t u r a l e z a física de l a s c a n t i d a des que i n t e r v i e n e n , e s t o e s , l a señal puede s e r un v o l ­ t a j e , m i e n t r a s que l a s a l i d a puede s e r una c o r r i e n t e , -una posición, un v o l t a j e o v i c e v e r s a *

2, - L a f a s e i n d i c a e l e f e c t o de l a s c o n s t a n t e s

de

po, integración o diferenciación que pueden t e n e r

tiem— lugar

d e n t r o d e l elemento de c o n t r o l ,

3, - E l n i v e l de energía es una medida de l a h a b i l i d a d d e l s i i t e m a de e f e c t u a r t r a b a j o , e x c l u y e cambio en m a g n i t u d e n t r e l a e n t r a d a

—

e l efecto u e l -

y l a s a l i d a cuando -

ambas son d e l mismo t i p o .

La función de t r a n s f e r e n c i a de un elemento de c o n t r o l es una expresión matemática que i n d i c a l a s cara£ terísticas dinámicas d e l elemento en términos de l a razón

4

de l a sefíal do s a l i d a a l a señal de e n t r a d a d e l oloüiento. C E donde í G = función de t r a n s f e r e n c i a . C = señal de s a l i d a . E « señal de e n t r a d a . Representación en diagramas de block. . En l a E i g . 1,1 se emplea un diagrama ele b l o c k p a r a i n d i c a r l a relación de l a ec. a n t e r i o r .

E

C G

Fig,

~

' —

1-1

Diagrama de b l o c k p a r a l a representación de l a función de t r a n s f e r e n c i a de un elemento de c o n t r o l ,

l a función de t r a n s f e r e n c i a de un grupo de e l e mentos en s e r i e es i g u a l a l p r o d u c t o

de l a s f u n c i o n e s de

t r a n s f e r e n c i a de cada uno de e l l o s , l a J^ig, 2-2 n u e s t r a un diagrama de b l o c k de una conexión en s e i r e de elemen­ t o s de un s i s t e m a de c o n t r o l .

L a señal de s a l i d a de cada elemento se puede -

5

E

E. ¿&

c '

Fig.

-

u

> >

2

2

^3

^

1-2.

Diagrama de b l o c k de una s e r i e de elementos.-

l a señal de s a l i d a de cada elemento se puede r e p r e s e n t a r en términos de l a señal de e n t r a d a , así: E

=

1

e =

a *

2

C Eliminando

2

=

E l

G E 3

E^ y

-"7" Sistema

G E

2

E^

= 1 2 3 G

G

G

retroalimentado.

Podemos h a b l a r también de una función de t r a n s f e r e n c i a p a r a un diagrama de c i c l o limentación.

cerrado

o con r o t r o a -

L a F i g . 1-3 m u e s t r a e l diagrama. c

13 *

I*

Fig.

1-3.

Punción de t r a n s f e r e n c i a p a r a un c i c l o

cerrado

6

Su expresión se puede d e d u c i r

de l a s i g u i e n t e

manera: R = E ¿ B

1

C = G(s) E

2

B = H(s) c

3

S u s t i t u y e n d o 3 en 1 R = E + H(s) c 4

E = R - H(s) c 4 en 2

Y sustituyendo C = G

R - H(s) c

C = G R - GH(s) c G(s)

R = c (GH(s) + 1)

G(s) R donde:

1

+

G(s) H(s)

G = función de t r a n s f e r e n c i a . d e C = variable

lazo

delantero

controlada,

E = señal de e r r o r R = señal de r e f e r e n c i a H = función de t r a n s f e r e n c i a de l a t r e t r o a l i mentación B = Señal de retroalimentación,

1 . 3 . - VENTAJAS DE UN SISTEivIA CON RESPECTO A OTRO. Habiendo d e f i n i d o y a l a función de t r a n s i e r e n -

7

c i a p a r a e l caso de s i s t e m a a b i e r t o y s i s t e m a r e t r o a l i m e n tado conviene

a n t e s de s e g u i r a d e l a n t e h a b l a r de l a s v e n

t a j a s y d e s v e n t a j a s de un s i s t e m a con r e s p e c t o a o t r o .

Para t a l e f e c t o consideraremos

e l caso de re-

troalimentación como r e t r o a l i m e n t a r i o u n i t a r i a y R ( t ) 2 ( t ) . Consideremos l a funciónt 2(s+5) G(s) = (a+1)

(s+4)

Por l o t a n t o p a r a s i s t e m a

R

abierto;

2(s+5)

—

(s+1)

(s+4)

para e l sistema retroalimentado

t

7

c

6;

BOJ

Para e l s i s t e m a a b i e r t o : 7» -

2(s+5)

«

:

8

Sustituyendo 4(s t 5)

A

B +

s(s+l)

(s+4)

s

s+1

C +" s+4

La solución en función d e l tiempo será; -t C ( t ) = A + Be

-4t + C e

A p l i c a n d o e l teorema d e l v a l o r f i n a l p a r a observг,r e l comportamiento d e l s i s t e m a a b i e r t o en e s t a d o e s t a b l e , e l teorema d i c e : lim f ( t ) - lims f(s) t~*oo s-*0 En n u e s t r o

c(t) t

»»CO

-

caso

1 Í Q

s

s

°

=

l i a

O

(s í l)(s 0 4

s

S

} + 4

)

= 5

La r e s p u e s t a d e l s i s t e m a ante una e n t r a d a R ( t ) = 2 u ( t ) Berá p o r l o t a n t o :

c(t)

P a r a e l segundo s i s t e m a o • r e t r o a l i a e n t a d o

9

1

2

c = s

2

(

s

+ H = + 7 s + 14 5

)

at

0

c(t) = A 4

T

+

(8+1)

( 44) B

4( s + 5) s ( s + 7s + 14) 2

Cos bt + 0

Sen b t

R

Aplicando e l teorema d e l valor f i n a l podemos observar e l estado estable d e l sistema, así:

e(t)

=

lias c

=

lim

„ s

c(t) = -g-=

£

4

(

s

+

+ 7s

5

) +

14

1.43

La respuesta d e l sistema retroalimentado ante el mismo tipo de señal R(t) = 2u(t) será: 4

c(t) 1.43

Del análisis anterior podemos obtener l a s s i —

guíentes c o n c l u s i o n e s ; ¡,- P a r a e l s i s t e m a

abierto.

a) - V e n t a j a s . E s t e s i s t e m a de c o n t r o l e s generalmente fá c i l de c o n s t r u i r y a que p o r r e g l a g e n e r a l no p r e s e n t a

—

p r o b l e m a s de i n e s t a b i l i d a d y l a acción de c o n t r o l es d e ­ b i d a únicamente a l a señal de r e f e r e n c i a ,

b) - D e s v e n t a j a s , La p r i n c i p a l d e s v e n t a j a de e s t e s i s t e m a e s que no es muy

exacto.

2,- P a r a e l s i s t e m a r e t r o a l i m e n t a d o . a) - V e n t a j a s . En e s t e t i p o de s i s t e m a , l a v a r i a b l e

con­

t r o l a d a e s comparada continuamente con l a señal de r e f e ­ r e n c i a , m e d i a n t e un s i s t e m a d e t e c t o r de error y l a d i f e r e n c i a e n t r e e s t a s e s l a que e j e r c e l a acción de c o n t r o l .

O t r a de sus v e n t a j a s e s l a p o s i b i l i d a d de r e p r o ducir f i e l m e n t e l a f o r m a de l a señal de e n t r a d a así como su s e n s i b i l i d a d b a j a o n u l a a l a s p e r t u r b a c i o n e s en e l es tado e s t a b l e o s e a , que e s t o s s i s t e m a s son muy e x a c t o s , b) -

Desventajas,

11

Su p r i n c i p a l jdeñv©nt«,ja consiste en quo — tiene una, gr-aji tendencia a o s c i l a r ,

1.4.- PROCEDIMIENTO DE REDUCCION DE DIAGRAMAS DE DLOCK. E l diagrama de block de un sistema de r e t r o a l i mentación múltiple está dado en l a F i g , 1,4, de t r a n s f e r e n c i a de lazo cerrado d e l sistema,

Da función C(s)/R(s)

se determina por medio de una reducción d e l diagrama de block.

Das F i g s . 1,4a, 1.4b, 1.4c y 1.4d muestran l a técnica seguida para l a reducción.

Reduciendo e l lazo intermedio tenemos:

I

s

,

Tu

1 <

tenemos

De l a definición de

^

=

P

23 32 34 43 44 t

+ t

t

+ t

+ t

24 43 3í t

t

La primera t r a y e c t o r i a d i r e c t a l o s cuatro lazos por l o tanto

)

+

(t

t

ii

23 32 44

esta tocando

=1*

La segunda t r a y e c t o r i a d i r e c t a Mg está también tocando l o s 4 l a z o s por l o tanto h g = 1«

La t e r c e r a t r a y e c t o r i a no se está tocando l o s dos lazos " k ^ ^ ^ t *

v

3

P

=

1

~

( t

o r

1

0

con

"tanto

34*43

+

t

44

)

Sustituyendo l a s cantidades obtenidas en l a Ec. ( i ) l a -

)

20

expresión pai*a x^/x^ es:

x

X M

5 x

1

_

5

M

1

-i

+

M

M

A 2 * 3^3

2

^ o i ^ t - ^ t ^ K + t ^ t ^ t ^ c + t ^ o t ^ í l - t - ^ t , , ^""'^¿¿I ) "1 2 ^ 3 "¿4 "45^12 "24 "45 ' "12 "23 "34 "4-3 v

1 - 23 32- 34 43" 44" 24" 43 32 23 32 44 t

t

t

t

t

t

t

t

+t

t

t

1.7.- CRITERIOS DE ESTABILIDAD. La mayor d i f i c u l t a d en e l uso de l a transforma da de Laplace como mé*to-do para determina l a respuesta

—

t r a n s i t o r i a de un sistema de control retroalimentcdo es l a necesaria determinación de ceros de l a función carac­ terística.

Consideremos e l siguiente diagrama de block como e l de l a E i g . 1,7.

H

T3 J

G

1

U

2

w

La función de t r a n s f e r e n c i a d e l sistema es:

21

donde;

1 + G^O^^

~

0

Q - s

llamada ^

ecuación -oca-e.-ctorís

t i c a o función característica.

Para sistemas de primero y segundo orden no

—

existe d i f i c u l t a d para encontrar l o s ceros de l a ecua- ció*n característica s i n embargo l o s ceros de un sistema de tercer orden requiere l a determinación de tros ceros de un cúbica y así sucesivamente.

C r i t e r i o de E s t a b i l i d a d de Routh. fí

E l c r i t e r i o de outh es UEW método para doiarmi nar s i l o s ceros de l a función característica se encuen­ tran en l a parte derecha d e l plano o no.,

Un sistema es estable s i l a parte r e a l do todas sus raíces de l a ecuación característica son negativas,

Primero escribimos l a función característica en l a forma general,

a

o

s n + a

1

s n

"

1 + a

2

s T l

"

2 +

...

+ a

n-1

s

+

a

n

=

0

La condición necesaria para que e l sistema sea, estable e s que s

22

1.- Todos l o s c o e f i c i e n t e s tengan e l ¡a i so. o e i g no, 2*- Ningún c o e f i c i e n t e s e a c e r o , ,

3.- A s +A s^+A s^+A^S" +A s*+AjS+Ag = O Q

1

2

4

En s e g u i d a arréglanos l o s c o e f i c i e n t e s de l a ecuación característica cono:

A

donde i

s

5

s

4

3

3

s

2

o

A

1 C

A Á

2

A

4

3

A

5

°3

d

d

d

e

6

2

s

f

s°

g

0

A

A

1

A

C

1

°4 0

3 0

0

0

0

0

0

A

A

6

0

°2

2 0

= 1 2

A

1 6 - A (0) A

o

=A,

3

A

1 4 A.

De i g u a l manera que se obtuvo e l v a l o r de C.^, y

se obtendrá e l v a l o r de d^, d^ y d^, e t c ,

;

E l c r i t e r i o de Routh e s t a b l e c e que e l numero -

23

de caabios de signo de tos c o e f i c i e n t e s en l a columna

—

del lado izquierdo es igual a l número de ceros de l a fun ción característica que están l o c a l i z a d o s a l a derecha d e l plano complejo.

Por l o tanto l a condición s u f i c i e n ­

te para que e l sistema sea establo ee que no haya o no se presenten cambios de signo en l a columna d e l lado i z ­ quierdo .

B l c r i t e r i o se ilustrará con un ejemploj l a ~función cayácteríetioa de l a función de t r a n s f e r e n c i a os (s+1) (s+2) (s~3) En forma polinomial es s

*

- 4s

0 ¿

- 5s + 6

0, arreglan­

do l o s c o e f i c i e n t e s de l a eouaoión característica 3

+i

-5

0

-4

+6

0

s

«7/2

0

0

s°

4-6

s

Ya que s i se presentan oambios de signo en l a primera columna e l sistema no será estable y tendrá 2 ceros en e l lado derecho del plano

complejo.

—

24

CAPITULO

II

APLICACIONES DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

Habiendo definido ya e l concepto de l a función de transferencia y algunas de sus propiedades

f

dedicaren

nos nuestra atención a l estudio de algunas de sus a p l i c a oiones.

Sistema nasa r e s o r t e . La F i g , 2-1 muestra e l sistema.

—

F i g . 2-1. Sistema masa resorte con fricción.

Consideremos que l a entrada d e l sistema es l a f u e r z a aplicada

F

y e l desplazamiento de l a nasa

l a s a l i d a d e l sistema.

x -

La ecuación d i f e r e n c i a l que reía

25

c i o n a e s t a s dos v a r i a b l e s o s : 2

F = M

d x s — + f dt ¿

dx + kx

2-1

dt

Tomando l a t r a n s f o r m a d a

de L a p l a c e p a r a ambos

l a d o s de l a ecuación a n t e r i o r y asumiendo l a s c o n c l i c i o — nes i n i c i a l e s i g u a l a cero teñónos:

2

F(s) = (Ms + f s + k)X(s)

2-3

l a función do t r a n s f e r e n c i a d e l s i s t e m a está dada p o r : X(s) G(s) =

1 =

F(s)

5 Ms

¿

2-3 +

fs + k

L a r e s p u e s t a d e l s i s t e m a en e l dominio tiene

tomando l a t r a n s f o r m a d a

d e l tiempo se ob­

i n v e r s a de X ( s ) ,

Un caso muy e s p e c i a l e s e l de l a señal ele e n t r a da de un s i s t e m a l i n e a l cono una función do i m p u l s o tario

uni­

y* ( s ) y se definirá a continuación a p a r t i r de l a

función p u l s o u n i t a r i o según l a F i g , 2-2. í \_

F i g . 2-2. Función p u l s o u n i t a r i o .

26

La transíornada do esta función pulso u n i t a r i o es; \ ^p(t)|

f°° -st * I p(t) e dt

-st 0 du J 0

0

O

et —

o

o

7 de donde:

. o

)} (s) = l i n P(s) = T —> 0 o

1

Lin ¡ T —* 0 o

e

= 1

T 0

Por l o tanto l a transformada de l a función in­ pulso o's i g u a l a l a Unidad;

Con base en esto de l a E c . 2-3 pódenos v e r que

X(s)

= G(s) = — 3 Iter + f x

2-4 +

k

ton ando l a transformada inversa de l o s dos lados de l a ecuación tenemos que: x(t) = g(t)

2-5

donde g(t) se l e denomina respuesta de impulso de un si£3 tema l i n e a l

h

2?

L a transí ornada, do L a p l a c e do l a r e s p u e s t a de 'impulso nos dá l a función de t r a n s f e r e n c i a G ( s ) .

Esto -

nos i n d i c a que teóricanentc una descripción c o n p l c t a de un s i s t e n a l i n e a l

se puede o b t e n e r e x c i t a n d o e l s i s t e m a

con una función i m p u l s o y m i d i e n d o

l a r e s p u e s t a de s a l i ­

da.

Prácticamente, s i n embargo, un i m p u l s o no pue­ de s e r generado físicamente, un pulso con un e s p e s o r p e ­ queño (menor que l a c o n s t a n t e de tiempo d e l s i s t e m a ) nos puede d a r una muy buena aproxinación.

2.2,-

SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUAMIENT0. E s t e caso se i l u s t r a en l a P i g . 2 . 3 .

^1 s i s ­

tema produce un d e s p l a z a m i e n t o de l a masa x ( t ) con r e f e ­ rencia

Pig.

/ x

o'

2 - 3 . P u e r z a a p l i c a d a a un s i s t e m a con masa r e s o r t e y

amortiguamiento.

28

Aplicando l a l e y de Newton, tenemos 2

d x M

dx + c

dt

2

2-6

+ kx = P d

*

Aplicando l a transformada de Laplace 2

M s X ( s ) + C s X(s) + k X(s) = F(s)

2-7

La función de transferencia del sistema mecánico sorá:

&ÍB)

X(8) ^

1/M 2-8 s

2

y e l diagrama t o n a l a s i g u i e n t e

F(b)

+ (g/M)s + k/M forma:

1/M

X(s)

s^ + (í/M)s + k/M 2 , 3 . - FTOTCION L E TRANSFERENCIA DE UN TERMOMETRO. L a función de t r a n s f e r e n c i a de un tornónotro • como e l i l u s t r a d o en l a Fi¿-, 2-4a puede s e r d e r i v a d a de l a s i g u i e n t e manera.

S i l a t e m p e r a t u r a d e l agua en e l -

r e c i p i e n t e es 9^ y l a t e m p e r a t u r a i n d i c a d a es 9

f

l a ra­

zón do f l u j o de c a l o r en e l termómetro a través do sus paredes e s :

29

0

q =

i

e

-

o

R donde R es l a r e s i s t e n c i a térmica de l a p a r e d d e l tornónetro.

L a t e m p e r a t u r a i n d i c a d a se e l e v a a una razón de

1

d6 dt

o-

z

O k

A1

C o

(i)

P i g . 2-4. Termómetro s i m p l e ,

donde c es l a c a p a c i d a d d e l termómetro.

Por l o tanto, -

l a función de t r a n s f e r e n c i a que r e l a c i o n a l a t e m p e r a t u r a d e l agua en e l r e c i p i e n t e y l a t e m p e r a t u r a indicóla e s :

G

(

s

)

=

4 ° _ i

(

s

E l c i r c u i t o equivalente P i g . 2-4b.

)

=

1

elóctrico e s t a mostrado en l a —

30

Función do t r a n s f e r e n c i a

de un f u e l l e neumático,-

E l f u e l l e f l e x i b l e cono e l i l u s t r a d o en l a - F i g . 2-5 es un a p a r a t o neumático comunmente usado s i s t e de una cámara vacía con p a r e d e s metálicas

Con­

delgadas

L a s s u p e r f i c i e s de e n t r a d a y s a l i d a son l i s a s y l a s p a — r e d e s l a t e r a l e s son c o r r u g a d a s , cono l o m u e s t r a l a F i g . -VYVVVV

de a p l a z a m i e n t o de salida Q

1

Fig.

presión de entrada

P

—AAAAAM^

2-5• F u e l l e

neunático

La acción básica d e l f u e l l e está basada en e l resorte.

Un i n c r e m e n t o

de l a presión dentro d e l f u c i l o

r e s u l t a cono un i n c r e n e n t o en l a separación e n t r e l a s u ­ p e r f i c i e de e n t r a d a y s a l i d a .

L a f u e r z a que actúa p a r a

s e p a r a r l a s dos s u p e r f i c i e s e s : F

=

P S

donde A es e l área de cada una de l a s dos s u p e r f i c i o s y P es l a d i f e r e n c i a l de presión (presión i n t e r n a menos presión e x t e r n a ) .

—

L a f u e r z a que se opone a l a separación

31

será: ?

=

к X

donde к es l a r i g i d e z ( d e b i d a a l a acción de l o s dos l a ­ dos

c o r r u g a d o s d e l f u e l l e ) y x es e l d e s p l a z a m i e n t o de -

l a s u p e r f i c i e nóvil a p a r t i r ds su r e f e r e n c i a ,

}?«r l o t a n t o

l a función de t r a n s f e r e n c i a ¡jera;

X G(e) = —

() * B

p 2,3.-

к

SISTEMA HIDRAULICO DE MOJOR Y БОМБА. La E i g , 2~6 i l u s t r a e l s i s t e n a de transmisión

hidráulico de p o t e n c i a

comunmente usado.

Este s i s t e n a consiste

de una bonba do

z a n i e n t o v a r i a b l e l a c u a l e s t a movida a v e l o c i d a d tante„ de

dcsplacons—

Un c o n t r o l de embolo, que d e t e r m i n a l a c a n t i d a d

a c e i t e bombeado, tambión c o n t r o l a l a dirección d e l —

flujo.

E l d e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r d e l motor hidráulico -

es p r o p o r c i o n a l a l volumen d o l f l u j o y e l a c e i t e ac d i s p e r sión a l r e d e d o r de l a s válvulas producen un e f e c t o c o n s t a n t e de tiempo d e l s i s t e m a .

do - -

fc¡p ()L-vw

Cu •>> A"loñ4a

)

l ' u l n a

L' '--Co

too "i

be;

M o -í o r

4

F i g . 2-6. S i s t e m a de transmisión hidráulica de

Fig.

2-7-

c i tv-

Diagrama f u n c i o n a l

potencia.

de un s i s t e m a de transmisión de

p o t e n c i a hidráulica.

33

E l diagrama f u n c i o n a l

se n u e s t r a en l a F i & v —

2-1.

P a r a d e t e r m i n a r l a función de t r a n s f e r e n c i a determinemos

Q p(t) y 9 c(t)

Definiremos algunas v a r i a b l e s : ^

:

volumen de a c e i t e que f l u y e a través de l a bomba,

;

volumen de a c e i t e que c i r c u l a a través d e l motor. f l u j o de a c e i t e de dispersión a l r e d e d o r d e l motor,

: k^\

flujo

compresible.

f l u j o volumétrico de l a bomba p o r segundo p o r des­ p l a z a m i e n t o a n g u l a r de 9

0

:

P V :

desplazamiento

P* de l a bomba.

d e s p l a z a m i e n t o volumétrico d e l motor.

w i c

velocidad

1

c o e f i c i e n t e de dispersión t o t a l

:

P^ i

a n g u l a r de l a f l e c h a d e l motor, (ft-yseg) ( l ^ / i t

caída de presión en l a c a r g a a través d e l motor Ib/pie

V=

volumen d e l líquido b a j o compresion

k-g:

módulo d e l a c e i t e

(pie s^)

(lb/pie )

L a ecuación que d e s c r i b e e l p r o c e s o e s *

)

35

y se o b s e r v a que

^

= L

p,

2-12

dV ^ ^ Sustituyendo

V

-

dp

=

—

dt

k

2-13

dt

B

l a s Ees. 2-10

2-13 en l a Ec. 2-9 se ob­

tiene : V P

P

n

c

1

dp

k

dt

B

C o n s i d e r a n d o que e l n o t o r hidráulico es 100% e f i c i e n t e l a relación d e l p a r será:

P

a

Sustituyendo

= v

r

9

P T)

=

V

n

P

l

= J

2-15

l a Ec. 2-15 en l a Ec. 2 - K d 9

L

de K

Q

2

J

—

+

T~

+

V

se o b t i e n e : J

d ü 3

3 2-16

36

La transfórmala do L a p l a c o de l a E c . 2-16 es

K

n

9

n

(

s

) =

V

m

s

e

(

c

s

)

+

+ — —

2

-^-s 9(s)

3

s 9 (s)

P o r l o t a n t o l a función de t r a n s f e r e n c i a d e l s i s t e m a

—

será l a relación l e l a s a l i d a 6 ( s ) , a l a e n t r a d a de - • e (s) p

J

V

a)

*—: s

2

+ ,

=

,3 + 1

y e l diagrama de block será;

Q (s) p

i

e ( ) 0

Vi L J

V J k^

B

s

2 +

+

V

Generalmente e l módulo g l o b a l k^ es b a s t a n t e grai: "o y

—

l a E c . 2-18 se r e d u c e a; K e

c

(

s

)

V

c

P

m "

°

o V m

¿

2-19

37

2.4,- MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA. Excitación

Separada.

Muchos de l o s s e r v o m o t o r e s son de t i p o e x c i ­ tado separadamente.

La s a l i d a d e l servo

amplificador

—

de c.cl. puede s e r conectp.do y a s e a a l a s t e r m i n a l e s d e l campo o a l a s t o r m i n a l e s

o l a armadura d e l motor.-

Ilm e l

p r i m e r caso se d i c e que es de " c o n t r o l de campo", en e l se_ gundo caso e l motor es de c o n t r o l de armadura';

2.4.1,- Motor de c.d. c o n t r o l a d o

"por el_.campo.

E l d i a g r a m a esquemático d e l motor con campa controlado

se m u e s t r a en l a í*ig, 2-8,

-AM'

*-

i

1 CÍA

i~¡

av

nm o

/ Trr)'

P i g . 2-8. Diagrama esquemático

d e l motor de c.d. controlr.de p o r e l campo.

38

La derivación de l a función de t r a n s f e r e n c i a está basada en l a s s i g u i e n t e s a) - L a c o r r i e n t e I

consideraciones:

en l a armadura es

constante,

b) - E l f l u j o d e l e n t r e h i e r r o 0 es p r o p o r c i o n a l

a 1

l a c o r r i e n t e de campo. I ^ , así i

0 =k donde k^. es una

I

2-20

f

constante,

c) - E l p a r d e s a r r o l l a d o p

o r

e l

m o

tor T

m

e& p r o p o r ­

c i o n a l a l f l u j o de e n t r e h i e r r o y a l a c o r r i e n ­ te- de armadura.

.si T

m

k

- m

fa X

k

= ¿

k

f

h \

=

K

2

21

"

donde ; k

= k' I m m a

2-2 Ib

La ecuación d e l c i r c u i t o de campo e s ; di V. = R I . + L. 1

Aplicando

1

1

í-

2-22

dt

l a t r a n s f o r m a d a de L a p l a c e a l a Ec. 2 - 2 2 , Vf(s) = (R

f

+ s L ) I (s) f

f

2-23

39

E l p a r d e l motor T

está r e l a c i o n a d o

con l a posición de

la flecha por: T (s)

= ()

2-27

=

V (s) f

donde :

R

f

f

m

S i S(1 + S 7 ) d + s n

2-28

Tí)

40

. = J

J

2" f =

./t = c o n s t a n t e do ticr.po d e l n o t o r , /R

= c o n s t a n t e de t i e n p o d e l canpo.

E l d i a g r a n a de "olock se n u e s t r a a continuación

V.(s)

f

© (s) n T1

k k

Vn

n

f V

s(,,+s

2.4.2,- M o t o r de c o r r i e n t e

í1+s

2

" 'f

)

d i r e c t a c o n t r o l a d , ñor l a

a m a dura. E l d i a g r a n a esquenático de e s t e n o t o r se n u e s ­ t r a en l a Fig» 2-9.

4

+

o

i fVfca.

ó !• -o

Fig.

2-9. D i a g r a n a esquenático de un n o t o r con a m a d u r a controlada.

41

En e s t e

t i p o de aplicación, l a armadura d e l m£

t o r es e n e r g i z a d a p o r l a señal d e l a m p l i f i c a d o r , m i e n t r a s que l a c o r r i e n t e de campo permanece

constante.

Se harán l a s s i g u i e n t e s c o n s i d e r a c i o n e s

en l a -

derivación de l a función de t r a n s f e r e n c i a d e l motor,•'

1) ~ E l f l u j o de e n t r e h i e r r o en p r o p o r c i o n a l

a l a-

c o r r i e n t e de campo, 0 = k

I

f

2-29

f

2) - E l p a r * desarrollado» p o r e l motor es p r o p o r ­ cional a l f l u j o del entrehierro y a l a corrien te de armadura.

3)- La f u e r z a contraelectromotriz proporcional e.m.f. V

b

= k

d e l v o l t a j e os -

a l a v e l o c i d a d d e l motor.'

b

s 9

2-31

Q

L a ecuación t r a n s f o r m a d a d e l c i r c u i t o do arma­ dura e s : V (s) = ( H + s L ) I ( s ) + V (s) a

a

a

b

2-32;

4-2

V ( s ) = (R a

resolviendo

para I

s L )l (s)

a+

a

a

k

s 0 (s)_

b

2-32b

n

l a ecuación a n t e r i o r nos di

=

I„(b)

+

*

a

R

2-33

+ s 1J a

S u s t i t u y e n d o l a ecuación a n t e r i o r en l a Ec. 2-30 nos d a : V

V

- k

s Q (s)

s k

k

J

S

> * ¿ f f— *

n

m

1

R

1

+ a

2

sL

"

3 4

a

También = (J s

T (s) n

e

f )

+

ffl

9 (s)

8

2-35

n

Cuando igualamos l a E c , 2-34 y l a E c , 2-35 o b t i e n e l a función de t r a n s f e r e n c i a d e l motor con a r m a — dura

V

controlada.

L (s) m a (

s

)

s ( l ?

+ s L

a

a

k' k I m 1 í kbsk m m

) ( J

s + f

)

+

2

_

3 6

'V f

o

m

1

s

s

V>

(

V

Q

)

(

l

+

s

S

a )

a-37 (

donde : ote

K

i =

K

k n

f

h= -

l

+

s

^

+

k b

k

i

S

43

'¡5 „ = S"

= c o n s t a n t e de tiempo de armadura,

=^ /

n

f

m

=

c o n s t a n t e de tiempo mecánico d e l

n

motor,

E l s i g n i f i c a d o de l a E c , 2 - 3 7 se i l u s t r a mejor s i d i v i d i m o s por e l f a c t o r sfí f (1+s ) 0 + s ) en e l ^ a m a m numerador y e l denominador, k. i B

V>

1

s k

+

2-38

Ü

b

Se puede v e r fácilmente que l a ecuación

ante—

r i o r e s de l a f o r m a :

e (s)

_

m

V

n

G(S)

1 + G(s)H(s)

(s)

donde; H(s) = s k

b

y k.

G(a)

=

1

S R

A

( 1 + S 3

a

) ( l + S

V

E n t o n c e s e l d i a g r a m a de b l o c k d e l m o t o r con armadura con trolada

se puede r e p r e s e n t a r p o r un s i s t e m a r e t r o a l i m e n -

44

tado como l o i n d i c a l a P i g , 2-10,

IVY)

- о

(TubP i g . 2-10. Motor con armadura

controlada.

E l e f e c t o de l a f u e r z a c o n t r a e l e c t r o m o t r i z e s ­ t a r e p r e s e n t a d o p o r l a retroalimentación de una señal

—

p r o p o r c i o n a l a l a v e l o c i d a d d e l motor,

2.5.-

COMPARACION ARMaDURá

Y

ENTRE CAMPO

LAS OPERACIONES

DEL

MOTOR

ООН

CONTROLADOS,

Hay t r e s d i f e r e n c i a s i m p o r t a n t e s e n t r o l o s dos t i p o s de o p e r a c i o n e s d e l motor,

a ) - L a i n d u c t a n c i a en e l c i r c u i t o de armadura pue­ de d e s p r e c i a r s e

y l a Ec, 2 - 3 8 se reduce así a una e c u a —

ción de segundo orden en l a operación d e l c o n t r o l de a r ­ madura.

En l a operación d e l c o n t r o l de campo, l a i n d u a -

t a n c i a de campo no es d e s p r e c i a b l e nua de t e r c e r o r d e n .

y l a Ec. 2 - 2 7

conti—

45

b) - En l a operación d e l c o n t r o l de armadura además d e l a m o r t i g u a m i e n t o debido a l a r e s i s t e n c i a de armadura R

y a l a fricción de motor f , se o b s e r v a un a m o r t i g u a a ° m * —•

miento equivalente electromotriz.

debido a l e f e c t o de l a f u e r z a

contra-

E l e f e c t o de e s t a f u e r z a s i n embargo no

aparece en e l caso de c o n t r o l de campo, así que e l amor­ t i g u a m i e n t o t o t a l debe v e n i r d e l motor y de l a c a r g a .

c) - E l a m p l i f i c a d o r empleado p a r a e n e r g i z a r e l c i r c u i t o de armadura debe s e r capaz de s u m i n i s t r a r una g r a n c a n t i d a d de c o r r i e n t e de i g u a l manera que p a r a e n e r g i z a r e l c i r c u i t o d e l campo.

2.6.- APLICACION L E LA FUNCION DE TRANSFERENCIA EN LA ELECTRONICA. Triodo. O t r a de l a s a p l i c a c i o n e s de l a función de t r a n s f e r e n c i a e s t a en e l campo de l a electrónica, como un e — jemplo s e n c i l l o se estudiará l a obtención de l a g a n a n c i a de un t r i o d o cuya representación se m u e s t r a en l a F i g . 2-11.

Se supone que e l v o l t a j e de e n t r a d a es de t i p o

46

—

u. 3 L

-Ir

E i g . 2-11. T r i o d o con cátodo a t e r r i z a d o .

s e n o i d a l y e n t o n c e s e l diagrama de c o r r i e n t e a l t e r n a d e l t r i o d o quede como l o i l u s t r a l a F i g . 2-12; en función de fasores.

1 4

E

P i g . 2-12. Diagrama de c o r r i e n t e

Estableciendo

^

alterna.

l a s ecuaciones d e l c i r c u i t o

g =

( r

p

+

E

L

+

^

1

p

tenemos 2-40

2-41

47

Sustituyendo

e l v a l o r de

en l a Ec. 2-41 tenemos

fi.

La g a n a n c i a

para este c i r c u i t o

-E_

=

será:

A\ = _ . wL + 3 R,

1 +

/&

2-42

= 1

1+

- i -

^P

T

•

-i

™

L

^

De e s t e r e s u l t a d o podemos v e r l a r e s p u e s t a de f r e c u e n c i a del

t r i o d o h a c i e n d o una gráfica de

c o n t r a w, se ob

s e r v a que l a gráfica será d e l t i p o de l a i g . 2-13. M F i g . 2-'i3.

;

R e s p u e s t a de f r e c u e n c i a a l a Ec. 2-42. 2.7.-

Consideramos e l c i r c u i t o a m p l i f i c a d o r con r e t r o a -

limentación.

L a F i g , 2-14a y 2-14b nos m u e s t r a n l o s c i r

c u i t o s e q u i v a l e n t e s p a r a i l u s t r a r e l diagrama de f l u j o de

señal.

Las e c u a c i o n e s

que d e s c r i b e n e l comportamiento d e l sist£

T- 48

ti.

4 _al

P i g . 2-14a

P i g , 2-14b

ma se pueden e s c r i b i r como:

e

=

e

g

i

-

e

f

к Se escogen cmoo v a r i a b l e s e^, e , e g

f

y e

2

y e l corx-espon

diente diagrama de f l u j o de señal se muestra en l a P i g . 2-13.

En esta gráfica de f l u j o l a retroalimentaciÓn de e^

a e

g

i n d i c a claramente e l efecto de l a señal de

retroalimentación directamente de l a s a l i d a a l a entrada de l a r e j i l l a .

Para encontrar l a función de transferencia d e l

49

sistema, aplicaremos l a s reglas de Masen expuestas en e l Capítulo I.

e

= -

rt

ek

_i

Vf***

Para encontrar l a función de transferencia d e l c i r c u i t o tenemos: M

=

2

M»

k

A

k

k Las t r a y e c t o r i a s d e s c r i t a s entre entrada y s a l i d a son :

M

2

=

0

50

p

k RL

11

.

Ak-T-

Lazos que no se tocan i g u a l a cero, U- k

K

R

r_ +

1+

r

p

T

R-r

+ R Zi T

Por l o tanto, Kk

M , 2

M

=

3

1

R

0

Lazos i n d i v i d u a l e s . k R,

+\

11 - - i < £

P

)

p

iLazos que no se tocan i g u a l cero,

= 1

uk

T

+ /\ 5

•

r

P

M =

R

^k =

1

L

r

£~ + 1

= función de transferencia del sistema,-

COMENTARIOS

No se ha pretendido de ninguna manera hacer en esta ocasión un estudio amplio de l a fnnción de t r a n s f e ­ rencia.

^1 campo que abarca este tema es bastante amplio,

podemos d e c i r que en cualquier proceso i n g e n i e r i l , encon tramos una función de transferencia.

E l contenido de este trabajo está basado en e l concepto matemático del fenómeno, y e l análisis de l o s iistemas tratados se hizo con e l uso de l o s diagramas —de block.

Dado que en l a r e a l i d a d l o s sistemas r e a l e s de c o n t r o l contienen funciones de transferencia de orden

—

a l t o , se ha hecho necesario i n t r o d u c i r teorías modernas que pueden estudiar su comportamiento de una manera más exacta y s i m p l i f i c a d a ,

Jfeatualmente l a s teorías de control se estudian en función de l a s ecuaciones de estado y en forma m a t r i c i a l que nos permiten determinar con mejor precisión l a s características muchas veces complejas de un sistema»

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