Cap´ıtulo 8

Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definici´on 8.1.1 (Sucesi´on de Cauchy). Diremos que una sucesi´on (xn )∞ etrico n=1 en un espacio m´ (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un no tal que si n, m > no se cumple que d(xn , xm ) < ε. El concepto de sucesi´on de Cauchy depende de la distancia d como se pone de manifiesto en los ejemplos siguientes. Adem´as como vimos en el ejemplo 5.2.11 6), tampoco es una propiedad topol´ogica ya que no se conserva mediante homeomorfismos. Ejemplo 8.1.2. (1) Las u´ nicas sucesiones de Cauchy en un espacio m´etrico discreto son las de cola constante. (2) ( n1 )∞ n=1 es de Cauchy tanto en (R, | |) como en ((0, 1), | |). (3) La sucesi´on (n)∞ n=1 no es de Cauchy en (R, | |).



Proposici´on 8.1.3. Si una sucesi´on (xn )∞ etrico (X, d) converge a x ∈ X, n=1 en un espacio m´ ∞ entonces (xn )n=1 es de Cauchy. Demostraci´on. Como xn → x, para todo ε > 0 existe un no tal que si n > no , entonces d(xn , x) < 2ε . As´ı, para todo n, m > no se tiene d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(x, xm ) <

El rec´ıproco de este resultado no es cierto en general. 71

ε ε + =ε 2 2

´ CAPITULO 8. ESPACIOS COMPLETOS

72 Ejemplo 8.1.4.

La sucesi´on ( n1 )n∈N es de Cauchy en ((0, +∞), | |) y sin embargo no converge.



Lema 8.1.5. Si (xn )∞ on de Cauchy en un espacio m´etrico (X, d) tal que existe n=1 es una sucesi´ ∞ una subsucesi´on (xnk )k=1 que converge a x, entonces la sucesi´on (xn )∞ en converge a x. n=1 tambi´ Demostraci´on. Como (xn )∞ n=1 es de Cauchy, dado ε > 0 existe un n1 tal que para todo n, m > n1 se cumple que d(xn , xm ) < 2ε . Por otra parte la subsucesi´on (xnk )k es convergente a x, luego existe un ko tal que si nk > nko se cumple d(xnk , x) < 2ε . Consideremos no = max{n1 , nko }, y tomemos n > no y k tal que nk > no , entonces d(xn , x) ≤ d(xn , xnk ) + d(xnk , x) <

ε ε + =ε 2 2

y la sucesi´on (xn )∞ n=1 converge a x. Proposici´on 8.1.6. Toda sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico (X, d) est´a acotada. Demostraci´on. Consideremos ε = 1, por el hecho de ser de Cauchy existe no tal que si m, n > no se tiene que d(xn , xm ) < 1, de modo que si n > no , xn ∈ B(xno +1 , 1). S´olo quedan un n´umero finito de t´erminos que pueden estar fuera de esta bola. Sea r = max{d(x1 , xno ), ..., d(xno , xno +1 )} Para todo n se cumple d(xn , xno +1 ) ≤ r. As´ı, {xn : n = 1, ..., ∞} ⊂ B(xno +1 , r + 1)

8.2 Espacio m´etrico completo Definici´on 8.2.1 (Espacio completo). Diremos que un espacio m´etrico (X, d) es completo si toda sucesi´on de Cauchy es convergente. Ejemplo 8.2.2. (1) Todo espacio m´etrico discreto es completo. (2) (0, ∞) no es completo con la distancia usual.



´ 8.2. ESPACIO METRICO COMPLETO

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Proposici´on 8.2.3. El espacio Rn con cualquiera de las tres m´etricas d1 , d2 , d∞ es completo. Demostraci´on. Sea (xn )∞ on de Cauchy que, por la proposici´on anterior est´a acotada, n=1 una sucesi´ luego est´a contenida en una bola cerrada, que por el teorema de Heine-Borel-Lebesgue 7.4.13, es compacto; entonces seg´un este mismo teorema, dicha sucesi´on tiene una subsucesi´on convergente. Aplicando ahora el Lema 8.1.5 (xn )∞ en es convergente. n=1 tambi´ Proposici´on 8.2.4. Todo espacio m´etrico compacto es completo. Demostraci´on. Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y sea (xn )∞ on de Cauchy en n=1 una sucesi´ X. Como (X, τd ) es compacto, tambi´en es secuencialmente compacto, luego existe una subsuce∞ ∞ si´on de (xn )∞ en es n=1 , (xnk )k=1 , convergente y como consecuencia del Lema 8.1.5 (xn )n=1 tambi´ convergente. La implicaci´on rec´ıproca no es cierta, pero s´ı que se cumple si se considera una hip´otesis adicional, la de ser totalmente acotado. La demostraci´on siguiente es algo complicada. Adem´as, e´ sta propiedad justifica que los espacios m´etricos totalmente acotados reciban tambi´en el nombre de precompactos. Proposici´on 8.2.5. Todo espacio m´etrico completo y totalmente acotado es secuencialmente compacto. Demostraci´on. Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y totalmente acotado, sea (xn )∞ n=1 una sucesi´on en X. Vamos a construir una subsucesi´on de Cauchy que ser´a convergente al ser X completo y por tanto X ser´a secuencialmente compacto. Si la sucesi´on es finita no hay nada que probar, pues tiene infinitos t´erminos iguales y ya tenemos la subsucesi´on convergente. Supongamos entonces que la sucesi´on S = (xn )∞ n=1 tiene infinitos t´erminos distintos. Como X es totalmente acotado y S ⊂ X, S tambi´en es totalmente acotado, por tanto dado 21 existe un n´umero finito de bolas con este radio que recubren S. Como S es infinito, una de estas bolas contendr´a infinitos puntos de dicha sucesi´on S, llamemos a esta bola B1 . Consideremos ahora B1 ∩ S. Este conjunto es tambi´en totalmente acotado, de modo que si consideramos 212 , B1 ∩ S estar´a recubierto por un n´umero finito de bolas de radio 212 y de ellas, al menos una, que llamaremos B2 , contendr´a una cantidad finita de t´erminos de la sucesi´on. As´ı sucesivamente hemos construido una sucesi´on de bolas Bk de radio 21k , cada una de las cuales tiene infinitos t´erminos de la sucesi´on y que, seg´un se han construido, dos a dos tienen intersecci´on no vac´ıa. Vamos a construir la subsucesi´on de la siguiente manera:

´ CAPITULO 8. ESPACIOS COMPLETOS

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El primer t´ermino ser´a un t´ermino arbitrario de la sucesi´on que est´e en B1 y le llamamos xn1 , como en B2 hay infinitos t´erminos de la sucesi´on, existe un t´ermino de la sucesi´on xn2 6= xn1 y con n2 > n1 , as´ı sucesivamente construimos una subsucesi´on (xnk )k , tal que cada xnk ∈ Bk . Veamos que esta subsucesi´on es de Cauchy. Si p, q ∈ N con p < q, como Bp ∩Bq 6= ∅, tendremos que si y ∈ Bp ∩ Bq d(xnp , xnq ) ≤ d(xnp , y) + d(y, xnq ) ≤ Por tanto, dado ε > 0, existe m tal que

1 2m−1

1 1 1 1 1 + q < p + p = p−1 p 2 2 2 2 2

< ε y si p, q > m (con p > q por ejemplo), entonces

d(xnp , xnq ) <

1 2p−1

<

1 2m−1

0, existe no ∈ N tal que si n > no , δ(Cn ) < ε. Por tanto, como la sucesi´on de cerrados es decreciente, tenemos que si n, m > no , con m > n, xn , xm ∈ Cn y entonces d(xn , xm ) < δ(Cm ) < ε y la sucesi´on es de Cauchy. Entonces, como X es completo (xn )n es convergente a un punto x ∈ X. Veamos que x ∈ ∩n∈N Cn . Supongamos que no fuera as´ı, entonces existe k ∈ N tal que x ∈ / Ck y r como Ck es cerrado, tenemos que d(x, Ck ) = r > 0, con lo que la bola B(x, 2 ) y Ck no tienen puntos comunes, pero si n > k, xn ∈ Ck (la sucesi´on de cerrados es decreciente), lo que implica que xn ∈ / B(x, 2r ), lo cual es imposible puesto que xn → x. Veamos por fin que este punto es el u´ nico en la intersecci´on. Supongamos que existe otro punto y ∈ ∩n∈N Cn , entonces d(x, y) ≤ δ(Cn ) para todo n ∈ N y como limn δ(Cn ) = 0, ha de ser d(x, y) ≤ 0, pero d es una distancia, luego d(x, y) = 0. Por tanto x = y. Teorema 8.3.2 (Baire). Sea (X, d) un espacio m´etrico completo y sea {An }∞ on de n=1 una sucesi´ abiertos de X tales que An es denso en X para cada n ∈ N. Entonces se cumple que ∩∞ A n=1 n es denso en X. Demostraci´on. Es suficiente probar que todo abierto no vac´ıo de X corta a ∩∞ n=1 An . Sea A ⊂ X un abierto. Como A1 es denso, A ∩ A1 es no vac´ıo y por tanto x1 ∈ A ∩ A1 y A ∩ A1 es abierto, luego existe r1 < 1 tal que la bola cerrada B(x1 , r1 ) ⊂ A ∩ A1 . Como la bola B(x1 , r1 ) es abierto y no vac´ıo y A2 es denso resulta que B(x1 , r1 ) ∩ A2 es no vac´ıo y por tanto existe x2 ∈ B(x1 , r1 ) ∩ A2 y es abierto luego existe r2 < 21 tales que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ A2 ⊂ A ∩ A1 ∩ A2 As´ı, por inducci´on se puede construir una sucesi´on de bolas {B(xn , rn )}∞ n=1 tales que para cada 1 n ∈ N, rn < n , y B(xn , rn ) ⊂ A ∩ A1 ∩ ... ∩ An . Si consideramos las bolas cerradas, la familia {B(xn , rn )}∞ otesis del Teorema n=1 cumple la hip´ de encaje de Cantor, y por tanto su intersecci´on es un u´ nico punto: ∩∞ n=1 B(xn , rn ) = {x}, x ∈ X ∞ As´ı, tal y como se han construido estas bolas, x ∈ A ∩ (∩∞ n=1 An ) y ∩n=1 An es denso.

´ CAPITULO 8. ESPACIOS COMPLETOS

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8.4

Completado de un espacio m´etrico

¯ es el completado Definici´on 8.4.1 (Espacio completado). Diremos que un espacio m´etrico (X, d) ¯ es completo y X es isom´etrico a un subconjunto denso de de un espacio m´etrico (X, d) si (X, d) X. Ejemplo 8.4.2. (R, | |) es un completado de (Q, | |).



Teorema 8.4.3. Sea X un conjunto cualquiera. Entonces el espacio m´etrico (B(X, R), d∞ ) con B(X, R) = {f : X −→ R : f acotada} y d∞ (f, g) = sup{| f (x) − g(x) |: x ∈ X}, es un espacio m´etrico completo. Demostraci´on. Sea (fn )∞ on, de funciones, de Cauchy en (B(X, R), d∞ ). Entonces n=1 una sucesi´ para cada x ∈ X la sucesi´on de n´umeros reales (fn (x))∞ on de Cauchy en (R, | n=1 , es una sucesi´ |). Como (R, | |) es completo se tiene que, para cada x ∈ X, (fn (x))∞ n=1 converge a un punto en R que llamaremos f (x). A partir de estos l´ımites definimos una funci´on, f : X −→ R, tal que a cada x ∈ X le hace corresponder el l´ımite de la sucesi´on (fn (x))∞ n=1 , que hemos llamado f (x). Veamos que (fn )n converge a f . Como la sucesi´on es de Cauchy, tendremos que para todo ε > 0, existe no tal que si m, n > no , entonces d∞ (fn , fm ) = sup{|fn (x) − fm (x)| : x ∈ X} < ε. En particular, si tomamos n > no fijo y p ∈ N, tendremos que d(fn , fn+p ) = sup{|fn (x) − fn+p (x)| : x ∈ X} < ε Entonces tendremos que para todo x ∈ X, se cumple que |fn (x) − fn+p (x)| < ε Si ahora tomamos l´ımites cuando p → ∞, tendremos que, para todo x ∈ X |fn (x) − fn+p (x)| → |fn (x) − f (x)| lo que implica que |fn (x) − f (x)| < ε y por tanto la conclusi´on es que si n > no entonces d∞ (fn , f ) = sup{|fn (x) − f (x)| : x ∈ X} < ε lo que implica que (fn )n converge a f . Esto tambi´en implica que f ∈ B(X, R), es decir, est´a acotada, pues como (fn )n es de Cauchy, por la proposici´on 8.1.6, est´a acotada, luego existe M > 0 tal que (fn )n ⊂ B(0, M ), con 0 la funci´on

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8.5. EJERCICIOS

id´enticamente nula, es decir d∞ (0, fn ) < M para todo n ∈ N. Entonces, dado 1 > 0, como (fn )n converge a f , existe un n1 tal que si n > n1 , entonces d∞ (fn , f ) < 1. Por tanto podemos poner d∞ (0, f ) ≤ d∞ (0, fn ) + d∞ (fn , f ) < M + 1

Proposici´on 8.4.4. Existe un completado de cualquier espacio m´etrico (X, d). Demostraci´on. Sea a ∈ X fijo. Definimos la aplicaci´on ψ : X −→ B(X, R) como ψx : X −→ R, tal que ψx (y) = d(y, x) − d(y, a). ψx ∈ B(X, R) puesto que d∞ (0, ψ) = sup{|ψx (y)| : y ∈ X} = sup{|d(y, x) − d(y, a)| : y ∈ X} = d(x, a) Adem´as ψ es una isometr´ıa puesto que d∞ (ψx , ψz ) = sup{|d(y, x) − d(y, z)| : y ∈ X} = d(x, z) Si ahora consideramos la adherencia ψ(X) en B(X, R), con la distancia inducida, tenemos que por la proposici´on 8.2.7, ψ(X) es completo por ser cerrado en B(X, R) que es completo. Ya hemos encontrado un completado de X.

8.5 Ejercicios 1. Pruebe que toda sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico es totalmente acotada.[Lipschutz], pag. 199

2. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una aplicaci´on f : X −→ X se llama contractiva, si existe k ∈ R con 0 ≤ k < 1, tal que para todo x, y ∈ X, d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y). Pruebe: a) Si f es contractiva, entonces f es continua. b) Si f es contractiva y (X, d) es completo, existe x ∈ X tal que f (x) = x (Teorema del punto fijo) [Lipschutz], pag. 201

3. En el teorema de punto fijo del ejercicio anterior, las hip´otesis son necesarias: a) Completitud. Demuestre que la aplicaci´on f : (0, 31 ) −→ (0, 13 ) dada por f (x) = x2 es una contractiva y que no tiene punto fijo. b) Contractiva. Demuestre que la aplicaci´on f : [1, ∞) −→ [1, ∞) dada por f (x) = x + x1 no cumple | f (x) − f (y) |