Espacios Normados (Normas en Rn) Uno de los conceptos m´as importantes del c´alculo y del analisis matem´atico es el de m´etrica o distancia. En Rn la noci´on de metrico depende a su vez del concepto de norma de un vector. Norma de un vector: Si r¯ = (¯ x, y¯) ∈ R2 es la longuitud del segmento de recta que une los puntos ¯0 = (0, 0) y P¯ = (x, y), sabemos por el Teorema de Pitagoras que esta longuitud esta dada por p x2 + y 2 . ¯ . En el espacio Este n´ umero no negativo lo denominamos la norma de un vector v¯ = OP p tridimensional tambien tenemos x2 + y 2 + z 2 como la norma de un vector con respecto al origen. Definici´ on.- Si x ¯ = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , definimos la norma euclidiana de x¯ como el real no

negativo

√

x2 + . . . + z 2 que denotaremos por cualquiera de los simbolos k¯ xk ´o N (x) es

decir, k¯ xk = N (x) =

√

x2 + . . . + z 2

Tenemos asi una funci´on k k : Rn → R que designamos la norma euclidiana, la cual asigna a cada vector x¯ ∈ Rn un real k¯ xk. Desigualdad de Cauchy-Shwarz Sean x ¯ = (x1 , . . . , xn ) y¯ = (y1 , . . . , yn ) elementos de Rn entonces |x1 y1 + . . . + xn yn | ≤ p p x21 + . . . + yn2 y12 + . . . + yn2 Primero probaremos la desigualdad |x1 ||y1 | + . . . + |xn ||yn | ≤

q q x21 + . . . + yn2 y12 + . . . + yn2

lo cual implica la desigualdad deseada ya que |x1 y1 + . . . + xn yn | ≤ |x1 ||y1 | + . . . + |xn ||yn |

1

Soluci´ on: Si alguno de los vectores x ¯ ´o y¯ es ¯0 entonces la desigualdad se cumplo trivialmente, p pues en este caso ambos miembros son 0. Si x ¯, y¯ 6= 0 hagamos α = x21 + . . . + yn2 β = p y12 + . . . + yn2 usando α y β, la desigualdad a probar se escribe |x1 ||y1 | + . . . + |xn ||yn | ≤ αβ y como α, β > 0 esta desigualdad es equivalente a x y x y 1 1 n n + . . . + ≤ 1 α β α β Dado que para cualquiera reales a y b se cumple |ab| ≤

a2 + b2 2

tenemos entonces que x21 y12 x2n yn2 + + 2 x y1 β2 α2 β 2 1 + . . . + xn yn ≤ α + . . . + α β α β 2 2 y12 + . . . + yn2 x21 + . . . + x2n β2 α2 = + 2 2 =

1 2

+

1 2

=1 Pasemos ahora a las propiedades de la norma euclidiana. Proposici´ on.- Para cualquiera vestores x ¯, y¯ ∈ Rn i) k¯ xk ≥ 0

α ∈ R se cumple:

k0k = 0

ii) kα¯ xk = |α|k¯ xk iii) k¯ x + y¯k ≤ k¯ xk + k¯ yk iv) k¯ xk = 0

⇒

x ¯=0

Demostraci´ on : p i) k¯ xk = x21 + . . . + x2n ≥ 0 pues es la ra´ız positiva ∴

k¯ xk ≥ 0

2

ii) kα¯ xk p

(αx1 )2 + . . . + (αxn )2 p = α2 x21 + . . . + α2 x2n p = α2 (x21 + . . . + x2n ) √ p = α2 x21 + . . . + x2n

kα¯ xk =

= |α|k¯ xk iii) k¯ x + y¯k2 k¯ x + y¯k2 = (x1 + y1 )2 + . . . + (xn + yn )2 = x21 + 2x1 y1 + y12 + . . . + x2n + 2xn yn + yn2 = x21 + . . . + x2n + 2(x1 y1 + . . . + xn yn ) + y12 + . . . + yn2 = k¯ xk2 + 2(x1 y1 + . . . + xn yn ) + k¯ y k2 Aplicando la desigualdad de Cauchy-Shwarz x1 y1 + . . . + xn yn ≤ k¯ xkk¯ yk se tiene que k¯ xk2 + 2(x1 y1 + . . . + xn yn ) + k¯ y k2 ≤ k¯ xk2 + 2k¯ xkk¯ y k + k¯ y k2 = [k¯ xk + k¯ y k]2 k¯ x + y¯k2 ≤ [k¯ xk + k¯ y k]2 y al sacar raiz obtenemos k¯ x + y¯k ≤ k¯ xk + k¯ yk p iv) Si k¯ y k = 0 se tiene entonces x21 + . . . + x2n = 0 es decir x21 + . . . + x2n = 0 pero ∴

x − i2 ≥ 0 ∴

x2i = 0

∴

x ¯=0

∀ i = 1, . . . , n

El concepto general de Norma en Rn . Las propiedades de la norma euclidiana nos ayudan para definir la nocion abstracta de Norma. Definici´ on: Una norma en Rn es cualquier funci´ on k k : Rn → R que satisface las siguientes

propiedades que denominaremos Axiomas de Norma para cualesquiera x¯, y¯ ∈ Rn y toda α ∈ R se cumple 3

i) k¯ xk ≥ 0

k0k = 0

ii) kα¯ xk = |α|k¯ xk iii) k¯ x + y¯k ≤ k¯ xk + k¯ yk iv) k¯ xk = 0

⇒

x¯ = 0

Proposici´ on: Para toda norma k k : Rn → R se cumple:

i) k − x¯k = k¯ xk

∀ x ∈ Rn

ii) |k¯ xk − k¯ y k| ≤ k¯ x − y¯k

∀ x¯, y¯ ∈ Rn

Demostraci´ on :

i) k − x¯k = | − 1|k¯ xk = k¯ xk ii) 0 ≤ k¯ xk = k¯ x − y¯ + y¯k ≤ k¯ x − y¯k + k¯ yk ∴

k¯ xk − k¯ y k ≤ k¯ x − y¯k

Intercambiando x¯ por y¯ obtenemos k¯ y k − k¯ xk ≤ k¯ y − x¯k = k¯ x − y¯k ∴

|k¯ y k − k¯ xk| ≤ k¯ x − y¯k

Otras normas en Rn Definimos k k1 : Rn → R por k k1 = |x1 | + . . . + |xn |

∀ x¯ ∈ Rn . Por demostrar k k1 es una

norma en Rn i) Dado que ∀ x ∈ R

|x| ≥ 0, se tiene k k1 = |x1 | + . . . + |xn | ≥ 0

ii) Si α ∈ R y x¯ = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , entonces kα¯ xk = |αx1 | + . . . + |αxn | = |α||x1 | + . . . + |α||xn | = |α|(|x1 | + . . . + |xn |) = |α|k¯ xk ∀ x¯ ∈ Rn

4

∀ x¯ ∈ Rn

iii) Si x¯ = (x1 , . . . , xn ) y y¯ = (y1 , . . . , yn ) son elementos de Rn k¯ x + y¯k = |x1 + y1 | + . . . + |xn + yn | ≤ ||x1 | + |y1 | + . . . + |xn | + |yn | = |x1 | + . . . + |xn | + . . . + |y1 | + . . . + |yn | = k¯ xk1 + k¯ y k1 Si k¯ x k1 = 0 ⇒

|x1 | + . . . + |xn | = 0 y como cada |xi | ≥ 0 i = 1, . . . , n

entonces |x1 | + . . . + |xn | = 0 ⇒

|xi | = 0 i = 1, . . . , n

∴ x¯ = 0 Consideremos ahora la funci´on k k∞ : Rn → R dada por

k k∞ = m´ax{|x1 | + . . . + |xn |}

∀ x ∈ Rn Proposici´ on.- La funci´ on k k∞ : Rn → R es una norma en Rn , que se denomina norma del

m´aximo o norma c´ ubica. Demostraci´ on :

1. Puesto que |xi | ≥ 0 i = 1, . . . , n entonces m´ax{|x1 | + . . . + |xn |} ≥ 0 es decir k¯ x k∞ ≥ 0 2. Sea α ∈ R y x¯ ∈ Rn . Se tiene entonces que kα¯ xk = m´ax{|αx1 |, . . . , |αxn |} = m´ax{|α||x1 |, . . . , |α||xn |} Supongamos ahora que |xiα | = m´ax{|x1 |, . . . , |xn |} 5

∴

|xiα | ≥ |xi |

∀ i = 1, . . . , n

∴

|α||xiα | ≥ |α||xi |

∴

|αxiα | ≥ |αxi |

∀ i = 1, . . . , n ∀ i = 1, . . . , n

por lo que |α||xiα | = |αxi | = m´ax{|αx1 |, . . . , |αxn |} = m´ax{|α||x1 |, . . . , |α||xn |} es decir |α| m´ax{|x1 |, . . . , |xn |} = m´ax{|αx1 |, . . . , |αxn |} = m´ax{|α||x1 |, . . . , |α||xn |} ∴

|α|k¯ xk∞ = kα¯ x k∞

3. k¯ x + y¯k∞ = m´ax{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |} Sea |x1 α + y1 α| ≤ m´ax{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |} como |x1 α + y1 α| ≤ |x1 α| + |y1 α| se tiene que m´ax{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |} ≤ |x1 α| + |y1 α| pero por definici´on de m´ax{|x1 | + . . . + |xn |}

m´ax{|y1 | + . . . + |yn |}

tambi´en se tiene que |x1 α| ≤ m´ax{|x1 | + . . . + |xn |}

|y1 α| ≤ m´ax{|y1 | + . . . + |yn |}

luego m´ax{|x1 + y1 |, . . . , |xn + yn |} ≤ m´ax{|x1 | + . . . + |xn |} + m´ax{|y1 | + . . . + |yn |} o sea k¯ x + y¯k∞ ≤ k¯ xk∞ + k¯ y k∞ 6

4. k¯ xk∞

⇒

m´ax{|x1 | + . . . + |xn |}

sea |x1 α| = m´ax{|x1 | + . . . + |xn |} entonces |x1 α| = 0 ∴

|x1 α| = 0

Sea I = [0, 1]. Demsotrar que kf k = sup{|f (x)|}. Es una norma de C[0, 1]. Soluci´ on: Recordar que toda funci´ on real continua definida en un intervalo cerrado es acotada,

por tanto kf k est´a bien definida. Puesto que |f (x)| ≥ 0 ademas kf k = 0 sii |f (x)| = 0

∀ x ∈ I entonces kf k ≥ 0 y

∀ x ∈ I, i.e. sii f = 0

Recordemos un resultado Sean ay b n´ umeros reales tales que a ≤ b + ε. Demostar que a ≤ b Supongase que a > b entonces a = b + δ, δ > 0 tomamos δ =ε 2 entonces

a>b+δ >b+ ∴

δ =b+ε 5 2 ◦

a≤b

ahora sea ε > 0. Entonces existe x0 ∈ I tal que kf + gk = sup{|f (x) + g(x)|} ≤ |f (x0 ) + g(x0 )| + ε ≤ |f (x0 )| + |g(x0 )| + ε ≤ sup{|f (x)|} + sup{|g(x)|} + ε = kf k + kgk + ε 7

∴

kf + gk ≤ kf k + kgk

Sea k ∈ R entonces kkf k = sup{|kf (x)|} = sup{|k||f (x)|} = |k| sup{|f (x)|} = |k|kf (x)k Z

1

|f (x)|dx es una norma de C[0, 1] (funciones continuas en el intervalo

Demostrar que kf k = 0

[0, 1]) Z 1. kf k =

1

Z |f (x)|dx ≥ 0 puesto que

|f (x)| ≥ 0

⇒

1

|f (x)|dx ≥ 0

0

0

2. Tenemos que Z

1

kkf k =

|kf (x)|dx Z0

1

|k||f (x)|dx Z 1 = |k| |f (x)|dx

=

0

0

= |k|kf k 3. Tenemos que Z

1

kf + gk =

|f (x) + g(x)|dx Z0 1

≤ Z0 1 =

[|f (x)| + |g(x)|]dx Z 1 |f (x)|dx + |g(x)|dx

0

0

= kf k + kgk

8