Estimaci´ on de la Evasi´ on del IVA Mediante el M´ etodo de Punto Fijo

Eduardo Engel, Alexander Galetovic y Claudio Raddatz

22 de Abril de 1998

Resumen Ejecutivo I. Metodolog´ıa 1. El impuesto que m´ as recauda en Chile es el impuesto al valor agregado (IVA), con un 42% de la recaudaci´ on total de 1996. Por eso es importante contar con buenas estimaciones de la tasa de evasi´on de este impuesto, con objeto de evaluar y orientar las pol´ıticas de fiscalizaci´on. 2. Las estimaciones disponibles de la tasa de evasi´on de IVA en Chile se basan en comparar el pago efectivo con el potencial te´orico, calculando este u ´ltimo a partir de la informaci´ on de Cuentas Nacionales. Esta metodolog´ıa adolece de varias limitaciones, entre las cuales destacan el hecho que las Cuentas Nacionales no est´an exentas de evasi´on y que el m´etodo no permite obtener una medida de la precisi´on de las estimaciones obtenidas. 3. Este trabajo utiliza una aproximaci´on alternativa a la estimaci´on de la tasa agregada de evasi´on de IVA, centr´andose en la evasi´on que tiene lugar al momento de la compraventa de bienes y servicios (subdeclaraci´ on de ventas). 4. El m´etodo en cuesti´ on, conocido como “m´etodo de punto fijo”, consiste en seleccionar una muestra de lugares de venta en los cuales se hace presente un inspector del SII durante un per´ıodo relativamente largo (v.g., un d´ıa). La estimaci´on de la tasa de evasi´on de un vendedor particular se obtiene comparando el monto cancelado el d´ıa de la inspecci´on de punto fijo (en que el inpsector se asegur´o de que no hubiera evasi´on) con aquellos cancelados en d´ıas anteriores. 5. Este trabajo presenta una metodolog´ıa desarrollada por los autores para estimar la tasa de evasi´on de IVA por subdeclaraci´on de ventas y la aplica al caso de Chile. Es dif´ıcil estimar la tasa agregada de evasi´on de IVA por subdeclaraci´on de ventas (en lo sucesivo: ‘evasi´on de IVA’) porque el m´etodo de punto fijo entrega estimaciones sumamente imprecisas a nivel de firma (o lugar de venta). La metodolog´ıa empleada construye estimaciones cuya precisi´on mejora al pasar de firmas individuales a un conjunto de firmas “similares” y, posteriormente, al pasar de firmas similares al universo de todas las firmas que debieran entregar boletas o facturas.

Resultados

1. La estimaci´on agregada de evasi´on de IVA por concepto de ventas sin boleta se estima en 24,4% de las ventas reales (todas las transacciones, incluyendo aquellas que no se dio boleta), con una desviaci´on est´andar del 3,9%. 2. La tasa anterior significa una p´erdida de recaudaci´ on de 860 millones de d´ olares. 3. Los resultados anteriores son robustos ante cambios en los supuestos principales en que se basa la metodolog´ıa de estimaci´on. 4. El sector con mayor tasa de evasi´on de IVA es el Comercio Mayorista, con una tasa de evasi´on estimada de un 73% con una desviaci´on est´andar de 12%. 5. El sector que ocupa el segundo lugar en tasas de evasi´on son los Servicios Financieros y Diversos, con una tasa de evasi´on estimada en 27% con una desviaci´ on est´andar de 5%. 6. El tercer sector de actividad econ´omica con tasas de evasi´on importantes es Restaurantes y Hoteles, con una tasa de evasi´on estimada de 13% con una desviaci´on est´andar de 3%.

3

1

Introducci´ on

El impuesto que m´ as recauda en Chile (42% de la recaudaci´on total por impuestos en 1996) es el impuesto al valor agregado (IVA). Por eso es importante contar con buenas estimaciones de la tasa de evasi´on de este impuesto, con objeto de evaluar y orientar las pol´ıticas de fiscalizaci´on. Las estimaciones de la tasa de evasi´on de IVA en Chile (Serra [1991]) se basan en comparar el pago efectivo con el potencial te´orico, calculando este u ´ltimo a partir de la informaci´ on de Cuentas Nacionales. Esta metodolog´ıa adolece de varias limitaciones, entre las cuales mencionamos dos1 . Primero, la informaci´ on con que se construye las Cuentas Nacionales no est´a exenta de evasi´ on, entre otros motivos porque utiliza informaci´ on tributaria. Segundo, esta metodolog´ıa no permite obtener una medida de la precisi´on de las estimaciones obtenidas. Por ejemplo, por este m´etodo se obtiene que la evasi´on de IVA ha ca´ıdo en la u ´ltima d´ecada de 24,3% en 1987 a 17,7% en 1995. La metodolog´ıa de Cuentas Nacionales no permite determinar si esta ca´ıda es estad´ısticamente significativa o si se trata de oscilaciones en torno a un valor verdadero que en realidad no ha cambiado2 . El objetivo de este trabajo es utilizar una aproximaci´ on alternativa a la estimaci´on de la tasa agregada de evasi´on de IVA, centr´andose en la evasi´on que tiene lugar al momento de la compraventa de bienes y servicios (subdeclaraci´ on de ventas). El m´etodo en cuesti´on, conocido como “m´etodo de punto fijo”, consiste en seleccionar una muestra de lugares de venta en los cuales se hace presente un inspector del SII durante un per´ıodo relativamente largo (v.g., un d´ıa). La idea es que la presencia del inspector altere el comportamiento del vendedor, quien no evadir´ a IVA el d´ıa de la inspecci´on, sin alterar el comportamiento de los compradores. La estimaci´on de la tasa de evasi´ on de un vendedor particular se obtiene comparando el monto cancelado el d´ıa de la inspecci´on de punto fijo con aquellos cancelados en d´ıas anteriores. El m´etodo de punto fijo pertenece a los m´etodos de estimaci´on de evasi´on basados en auditor´ıas3 . Sin embargo, a diferencia de otras auditor´ıas realizadas con el objeto de detectar evasi´on, es pr´ acticamente imposible que 1

Para m´ as detalles sobre las limitaciones de este m´etodo v´ease Jorrat (1997). Una pregunta similar se puede hacer respecto del leve aumento en la tasa de evasi´ on de 17,7 a 18,4% entre 1993 y 1995. 3 Para un survey sobre m´etodos para estimar tasas de evasi´ on, v´ease el cap´ıtulo Cowell (1990). Para el caso de Chile, v´ease Jorrat (1997). 2

1

el vendedor tome acciones que boicoteen la obtenci´ on de la informaci´ on que busca el inspector durante una inspecci´on de este tipo; el vendedor dif´ıcilmente puede realizar acciones que afecten el resultado de la auditor´ıa. En efecto, no es necesario que el inspector sea exitoso al analizar informaci´ on sofisticada que le entregar´a el vendedor, sino que basta que su presencia asegure que el vendedor pague IVA por toda la mercader´ıa que vende el d´ıa de la inspecci´on de punto fijo, para que ´esta sea exitosa. Este trabajo presenta una metodolog´ıa desarrollada por los autores para estimar la tasa de evasi´on de IVA por subdeclaraci´on de ventas y la aplica al caso de Chile. El trabajo de campo correspondiente fue coordinado por Michel Jorrat, Gerente de Estudios del SII, quien adem´as propuso emplear el m´etodo de punto fijo para obtener estimaciones de evasi´on agregada4 . La dificultad del problema de estimaci´on de la tasa agregada de evasi´on de IVA por subdeclaraci´ on de ventas (en lo sucesivo: ‘evasi´on de IVA’) radica en que el m´etodo de punto fijo entrega estimaciones sumamente imprecisas a nivel de firma (o lugar de venta). La gran variabilidad que existe en los niveles de venta diarios de las firmas lleva a que la venta del d´ıa de inspecci´on de punto fijo var´ıe considerablemente dependiendo del d´ıa elegido5 . La metodolog´ıa empleada consiste en ir construyendo estimaciones cuya precisi´ on mejora al pasar de firmas individuales a un conjunto de firmas “similares” y, posteriormente, al pasar de firmas similares al universo de todas las firmas que debieran entregar boletas o facturas6 . El siguiente ejemplo ilustra la idea anterior. Consideramos una firma cuyas ventas diarias toman valores entre 1 y 5 MM de pesos, todos ellos igualmente probables, y cuya tasa se evasi´on del IVA es de 20%. Si se cuenta con suficiente informaci´ on de d´ıas de venta previos al de punto fijo, se estimar´ a que los niveles de venta de la firma son alrededor de 2.4 MM 4

En varios pa´ıses los inspecciones de punto fijo son rutinarias para detectar evasi´ on de un vendedor particular. No tenemos conocimiento de que se haya usado antes este m´etodo para obtener estimaciones agregadas de evasi´ on. 5 El trabajo de campo se realiz´ o con observaciones de punto fijo de un d´ıa, la cual es altamente variable. En principio podr´ıa repetirse la fiscalizaci´ on de punto fijo en d´ıas sucesivos, sin embargo, seg´ un estiman los especialistas del SII esto no ser´ıa f´ acil de llevar a cabo en la pr´ actica sin tener serios reclamos de los fiscalizadores. Adem´ as las firmas evasoras podr´ıan alterar el comportamiento de los compradores. 6 Al realizar las estimaciones a nivel de firmas, se obtuvo que en s´ olo 21 de 265 firmas el par´ ametro estimado para la fracci´ on de las ventas evadidas fue significativamente mayor que 1 mientras en 20 fue significativamente menor que 1. Al agregar estos resultados por tipos de firmas similares se obtuvo que para 20 de 41 grupos el par´ ametro result´ o significativamente mayor que 1 y s´ olo en dos casos fue significativamente menor que 1.

2

de pesos (el promedio de 3 MM de pesos menos el 20% de evasi´on). El d´ıa de punto fijo las ventas tomar´an alg´ un valor entre 1 y 5 MM de pesos. Con una probabilidad que no es baja (35%) las ventas ser´an mayores que en un d´ıa t´ıpico, concluy´endose que no hay evasi´on. Podr´ıa creerse que el ejemplo anterior es exagerado, que la volatilidad de las venta no es tan grande. Por el contrario, los n´ umeros elegidos son conservadores. El coeficiente de variaci´on de la distribuci´ on de ventas, que como se ver´ a es la medida correcta de variabilidad en este caso, es igual a 0,38 en el ejemplo anterior, valor que es inferior al promedio de la muestra de firmas consideradas (0,45). Es por ello que podemos afirmar que, en general, no ser´a f´ acil determinar si una diferencia entre las ventas del d´ıa de punto fijo y d´ıas anteriores se debe a la gran variabilidad en las ventas o a que el d´ıa de punto fijo la firma no pudo evadir IVA. Este informe est´ a organizado como sigue. A esta introducci´ on le sigue la secci´on 2 donde se describe la metodolog´ıa de estimaci´on. La secci´on 3 presenta los resultados de esta estimaci´on. La secci´on 4 presenta algunas consideraciones finales. Le siguen una serie de ap´endices t´ecnicos.

2

Metodolog´ıa de estimaci´ on

En esta secci´on se presenta la metodolog´ıa de estimaci´on. En la secci´on 2.1 se propone un estimador del monto evadido por una firma particular. Las secciones 2.2 y 2.3 estudian estimadores para los montos evadidos por todo un sector (‘casillero’) y por el universo de firmas que entregan boletas o facturas, respectivamente.

2.1

Evasi´ on de una firma

Se supone que la informaci´ on disponible para cada firma son los pagos por IVA en n + 1 ocasiones, una de las cuales corresponde a un d´ıa en que el SII realiz´ o la inspecci´on de punto fijo y las n restantes a d´ıas anteriores a aquel de punto fijo. El monto del d´ıa de punto fijo se denota mediante y y los montos de los d´ıas restantes mediante x1 , x2 , . . . , xn . Se supone que los xi son realizaciones de variables aleatorias independientes, id´enticamente distribuidas (i.i.d.) con funci´ on de distribuci´ on com´ un

3

F (x), cuya media y varianza son µ y σ 2 , respectivamente7 . Respecto de la observaci´ on hecha el d´ıa de punto fijo se supone que es una realizaci´on de una variable aleatoria independiente de aquellas que dan origen a los xi e igual a β veces dicha variable aleatoria, es decir, con funci´ on de distribuci´ on F (y/β), por lo cual su media es βµ y su varianza β 2 σ 2 . Obviamente tendremos que β ≥ 1, correspondiendo el caso β = 1 a cuando no hay evasi´on. Cabe notar que la distribuci´ on com´ un F (x) no puede ser normal, pues sabemos que s´ olo toma valores mayores o iguales que cero. En las simulaciones que siguen se supondr´ a que F (x) es log-normal, es decir, que las variables aleatorias que dan origen a los xi e y son exponenciales de variables aleatorias normales. Adem´as suponemos que conocemos el monto V que la firma pag´ o en IVA durante el per´ıodo considerado (v.g., el a˜ no en que se realiz´o la inspecci´on de punto fijo). El par´ ametro de inter´es es β: βV estima el monto que la empresa debi´ o cancelar por IVA, (β −1)V el monto que evadi´ o y (β −1)/β la tasa de evasi´on correspondiente. En cambio los par´ ametros que caracterizan la funci´ on de 2 distribuci´ on F (x) (v.g., µ y σ ) no tienen inter´es per se y s´olo complican la estimaci´on de β. Por ello en ingl´es se les denomina “nuisance parameters”. Un candidato natural para estimar β es βb0 = y/x, donde x denota el promedio de los xi . Sin embargo, este estimador tiene un sesgo sistem´atico, debido a que el valor esperado del cuociente de dos variables independientes no es igual al cuociente de los valores esperados correspondientes. Este sesgo depende de manera importante del coeficiente de variaci´ on de F (x), definido como8 : CV ≡

µ . σ

(1)

Que el sesgo anterior es importante se infiere de la segunda columna del Cuadro 1, que muestra c´omo var´ıa el sesgo promedio de βb0 , normalizado por

7 Con objeto de que se cumpla este supuesto ser´ a necesario expresar los montos en moneda de una misma fecha. Sobre este punto volvemos en la secci´ on 3. 8 El coeficiente de variaci´ on es una medida de dispersi´ on, relativa a la media, que es aproximadamente igual a la desviaci´ on standard del logaritmo de la variable aleatoria con funci´ on de distribuci´ on F (x).

4

Tabla 1: Sesgo, relativo a β (porcentaje), de ambos estimadores Coef. de variaci´on 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20

Sesgo % βb0 0,00 0,11 0,51 1,18 2,13 3,35 4,82 6,53 8,46 10,58 12,88 15,32 17,90

Sesgo % βb2 0,00 0,00 0,02 0,11 0,28 0,56 0,95 1,49 2,19 3,04 4,05 5,21 6,51

β, con el coeficiente de variaci´on de F (x)9 . Para un coeficiente de variaci´ on de 0,5 el sesgo promedio es de 3,35%; para un coeficiente de variaci´on de 1,0 sube al 12,88%. En general, el tama˜ no del sesgo crece con el coeficiente de variaci´ on10 . Con objeto de encontrar un estimador insesgado, es necesario corregir βb0 con un factor que depender´a de momentos m´as altos de la distribuci´ on F (x). Con tal objeto recordamos que el coeficiente de asimetr´ıa (‘skewness’) y la kurtosis de la distribuci´ on F (x) se definen como: γ =

Z

(x − µ)3 dF (x)/σ 3 ,

(2)

κ =

Z

(x − µ)4 dF (x)/σ 4 .

(3)

La siguiente proposici´ on muestra el factor de correcci´on que debi´eramos usar si conoci´eramos CV, γ y κ. 9

Se utilizaron 50.000 simulaciones. Se fij´ o n = 7 y F (x) es log-normal. Es f´ acil mostrar formalmente que el sesgo relativo no depende de la media de F (x) o del valor de β elegido. 10 El valor promedio de los coeficientes de variaci´ on de las firmas consideradas es de 0, 4487 con una desviaci´ on standard de 0, 3065; por este motivo el rango considerado para los coeficiente de variaci´ on va de 0 a 1,2.

5

Proposition 2.1 El estimador βb1 ≡ βb0 /A es un estimador (aproximadamente) insesgado de β para11 : A=1+

CV2 γCV3 (3n + κ − 3)CV4 − + . n n2 n3

(4)

´ n Ver Ap´endice A. Demostracio El estimador βb1 de la proposici´on anterior no se puede utilizar en la pr´ actica porque no conocemos los momentos de F (x). En este caso, es natural utilizar aquel estimador que resulta de reemplazar los momentos en A por sus estimadores habituales: βb2 ≡

y xAb

,

(5)

donde Ab se obtiene sustituyendo CV, γ y κ en A mediante: d = CV

γb = b = κ

donde: b = µ b2 = σ

b σ , b µ n 1 X b)3 , (xi − µ b3 nσ i=1 n 1 X b)4 , (xi − µ b4 nσ i=1 n 1X xi , n i=1 n 1X b)2 . (xi − µ n i=1

El estimador βb2 ya no necesariamente ser´a insesgado, s´olo es posible afirmar que a medida que n crece el sesgo correspondiente tiende a cero. Sin embargo, como los valores de n con que trabajamos son bastante peque˜ nos, se requiere estudiar las propiedades de βb2 en muestras peque˜ nas. La tercera columna de la Tabla 1 muestra c´omo var´ıa el sesgo promedio de βb2 , normalizado por β, con el coeficiente de variaci´ on de F (x)12 . Para un coeficiente 11 12

El sesgo es del orden de CV5 /n3 . El pie de p´ agina 10 tambi´en es atingente ac´ a.

6

de variaci´ on de 0,5 el sesgo promedio es de 0,56%; para un coeficiente de variaci´ on de 1,0 sube al 4,05%. El sesgo asociado al estimador βb2 es mucho menor que aquel de βb0 : para coeficientes de variaci´ on menores que 0,5 es m´ as de un 83% menor, para coeficientes de variaci´on menores que 1 es al menos un 68% menor. La Tabla 1 muestra que el sesgo de βb2 es peque˜ no, a´ un para coeficientes de variaci´on bastante grandes. La desviaci´ on standard de βb2 es relativamente grande, por lo cual freb cuentemente β2 tomar´ a valores menores que uno, lo cual no tiene una interpretaci´ on razonable. Si se impone que el valor estimado de β sea mayor o igual que uno, por ejemplo tomando max(1, βb2 ) en lugar de βb2 , se obtiene un estimador con menor error cuadr´ atico medio, pero que ya no ser´a insesgado. Si el objetivo es estimar el nivel de evasi´on de IVA de una firma particular, hacer esta correcci´on es apropiado; sin embargo, como nuestro objetivo es obtener una estimaci´on de la tasa de evasi´on agregada, es conveniente trabajar con estimadores insesgados, por lo cual no hacemos esta correcci´ on. Tambi´en cabe notar que, para una firma dada, el estimador βb2 no es consistente, es decir, cuando el n´ umero de observaciones crece el estimador no necesariamente tiende al valor correcto. Esto se debe a que el aumento del n´ umero de observaciones no va aparejado de un aumento en el n´ umero de observaciones de punto fijo, la que sigue siendo u ´nica. La situaci´ on cambia si se realizan inspecciones de punto fijo durante varios d´ıas consecutivos en cada lugar de venta seleccionado, sin embargo, tal como se coment´o en la introducci´ on, en la pr´ actica esta alternativa parece ser inviable. La siguiente proposici´ on entrega una expresi´on aproximada para la desviaci´ on standard de βb2 , mostrando que ´esta es (aproximadamente) igual al producto del coeficiente de variaci´ on de F (x) y un factor que decrece a medida que el n´ umero de observaciones crece. Proposition 2.2 La desviaci´ on standard de βb2 es aproximadamente igual a: s

d 1+ σ(βb2 ) ' βb2 CV

con A definido en (4). ´ n Ver Ap´endice B. Demostracio 7

1 + CV2 , nA2

En el caso de 80 de las 347 firmas a las cuales se les realiz´o inspecciones de punto fijo, hubo observaciones de los montos cancelados por IVA en d´ıas anteriores al punto fijo que fueron id´enticamente nulas, sin que ese d´ıa el lugar de venta hubiese estado cerrado. (v.g., por tratarse de un d´ıa feriado). Luego se trata de un d´ıa en que efectivamente no se entreg´o boleta alguna, ya sea porque no hubo ventas o porque el vendedor evadi´ o el IVA en cada una de las ventas que realiz´o. Con el objeto de descartar la posibilidad de que las observaciones nulas correspondan a d´ıas donde efectivamente no hubo ventas, no se consideraron en las estimaciones aquellas firmas que en el d´ıa del punto fijo emitieron menos de 7 boletas. La idea es que si una firma entreg´ o un n´ umero suficientemente alto de boletas el d´ıa del punto fijo (en nuestro caso 7 boletas), la probabilidad de que no haya tenido ventas en alguno de los d´ıas anteriores es muy baja. Por lo tanto, en estos casos supondremos que las observaciones nulas significan que la firma evadi´ o el IVA de todas sus ventas. A continuaci´ on extendemos la metodolog´ıa desarrollada anteriormente para incorporar la posibilidad de observaciones nulas. Suponemos que los xi son i.i.d. con una distribuci´ on que con probabilidad p es F (x) y con probabilidad (1 − p) es id´enticamente nula (la firma decide evadir en un 100%). Si V denota el monto cancelado por IVA, entonces βV /p estima el monto de IVA que la firma debi´ o cancelar, ( βp − 1)V el monto que evadi´ o y (β − p)/β la tasa de evasi´on correspondiente. La siguiente proposici´on extiende los resultados de las Proposiciones 1 y 2 a este caso m´ as general: Proposition 2.3 Se dispone de n observaciones en d´ıas anteriores al de punto fijo, n1 de las cuales son distintas de cero. Sea pb = n1 /n. Se define A como en (4), pero con n1 en lugar de n y donde CV, γ y κ se calculan s´ olo en base a las observaciones no nulas. Tambi´en se define: D =1+

CV2p γp CVp 3 (3n + κp − 3)CV4p − + , n n2 n3

(6)

donde CVp , γp y κp denotan el coeficiente de variaci´ on, de asimetr´ıa y de kurtosis de una variable Bernoulli con probabilidad de ´exito p: CVp =

s

8

1−p , p

γp = κp =

1 − 2p , p(1 − p) 1 − 3p + 3p2 . p(1 − p) p

Entonces

y ADpbx es un estimador (aproximadamente) insesgado de β/p, cuya varianza es (aproximadamente) igual a: βb3 ≡

c3 2 σ (βb3 ) ' β 2

(

CV

2

"

CV2p 1 1 + (1 + CV ) + 2 2 n · n1 · A · D n1 A2 2

!#

CV2p (1 + CV2 ) + nD2

Finalmente cabe notar que para calcular βb3 en la pr´ actica se reemplazan los momentos te´ oricos por sus valores estimados; en el caso de los momentos asociados a p esto se hace sustituyendo p por pb en las expresiones correspondientes. ´ n Ver Ap´endice C. Demostracio Ahora estamos en condiciones de proponer un estimador que ser´a aproximadamente insesgado para el monto de IVA evadido por la firma. Si denotamos mediante V el monto cancelado por IVA por la firma en el a˜ no en cuesti´on entonces tendremos que un estimador asint´oticamente insesgado del monto que debi´ o haber cancelado, C, viene dado por Cb = βb3 V,

(7)

b = (βb3 − 1)V. E

(8)

por lo cual el monto evadido, E, se puede estimar mediante

Finalmente, la tasa de evasi´on se puede definir de dos maneras. La m´as natural es considerar la evasi´on como fracci´on del monto que se hubiese cancelado si no hubiera habido evasi´on (“recaudaci´on te´orica”), e ≡ E/C. Este tasa se puede estimar mediante13 : eb =

βb3 − 1 βb3

13

.

El estimador que sigue no ser´ a insesgado, por lo cual una vez m´ as tendremos que corregir por el sesgo correspondiente.

9

)

.

Alternativamente, tenemos la tasa de evasi´on relativa al monto efectivamente cancelado, e, para la cual eb = (βb2 − 1) es un estimador insesgado.

2.2

Evasi´ on de un casillero

Ahora consideramos el problema de estimar el monto evadido por IVA por un grupo de firmas (‘casillero’). Con tal objeto suponemos que se dispone de la informaci´ on de la subsecci´on anterior para una muestra aleatoria de firmas de tama˜ no k 14 . La i-´esima firma de la muestra pag´ o IVA durante el a˜ no en cuesti´ on por Vi y denotamos mediante V el monto cancelado por concepto de IVA por todas las firmas del casillero (muestreadas y no muestreadas). Nos interesa estimar el monto que debi´o cancelar el casillero, C, el monto evadido por las firmas del casillero, E, y las tasas de evasi´on correspondientes. La idea central es utilizar la informaci´ on de la muestra con objeto de determinar la evasi´ on promedio de una firma del casillero para luego inferir los montos de evasi´ on agregados. Una alternativa es trabajar con el promedio simple de los βb3 definidos en la subsecci´on anterior — esta es la alternativa natural sugerida por la teor´ıa de muestreo. Sin embargo, la Proposici´ on 2.2 puede ser utilizada para obtener un estimador m´as preciso, al tomar un promedio ponderado de los βb3 estimados para las firmas. La siguiente proposici´on especifica los ponderadores correspondientes:

Proposition 2.4 Se denota mediante βb3,i el estimador de la secci´ on anterior para la firma i del casillero. Se supone que los β al interior del casillero son iguales (o que provienen de una misma distribuci´ on). Se define: S =

k X 1

,

i=1 i

wi = 14

1 , Si

Es decir, una observaci´ on con inspecci´ on de punto fijo para cada firma y ni observaciones en d´ıas anteriores al punto fijo para la firma i de la muestra.

10

donde los estimadores y sus varianzas se calculan en base a la Proposici´ on 2.4 y i est´ a dado por: i

=

(

CV

2

"

CV2p 1 + 1 + (1 + CV ) 2 2 n · n1 · A · D n1 A2 2

Entonces el estimador: βb =

k X i=1

!#

CV2p (1 + CV2 ) + nD2

)

.

wi βb3,i

15 b es aquel estimador insesgado, lineal √ en los β3,i , de menor varianza . Su b S. desviaci´ on standard es igual a β/

´ n Ver Ap´endice D. Demostracio Ahora estamos en condiciones de estimar el monto que debi´ o haber cancelado en IVA el casillero, C, y el monto evadido correspondiente, E. Tambi´en podemos estimar la tasa de evasi´on, ya sea relativa al monto que debi´ o cancelarse, e, o al monto que efectivamente se cancel´o, ε. Con tal objeto denotamos mediante βb(1) el promedio simple de los βb3,i y por βb(2) el promedio ponderado definido en la Proposici´on 2.4. Entonces los estimadores aproximadamente insesgados de C, E, e y ε vienen dados por: Cb = βb(i) V,

b = (βb(i) − 1)V, E

eb =

donde i = 1, 216 .

2.3

βb(i) − 1 βb(i)

,

εb = βb(i) − 1,

Evasi´ on agregada

Suponemos que las firmas de toda la econom´ıa se clasifican en N casilleros con firmas relativamente homog´eneas perteneciendo a cada uno de ellos. Denotamos por βbi el estimador de β para el casillero i, obtenido por alguno de 15 16

En estricto rigor puede haber un sesgo de orden CV5 . En el caso de b e se requiere de un factor de correcci´ on para obtener insesgamiento.

11

los dos m´etodos descritos en la secci´on anterior (promedio simple o promedio ponderado) y por Vi el monto efectivamente cancelado por IVA por todas las firmas pertenecientes al casillero i. Entonces el estimador del monto que debi´ o haber cancelado por IVA toda la econom´ıa viene dado por: Cb =

X i

Vi βbi ,

mientras que un estimador del monto evadido en toda la econom´ıa es: b= E

X i

Vi (βbi − 1).

En consecuencia se propone como estimador de la tasa de evasi´on de IVA (por subdeclaraci´ on de ventas), relativo al monto efectivamente cancelado, a: X εb = wi (βbi − 1), i

donde wi ≡ Vi / j Vj . Y la tasa de evasi´on relativa al monto que debi´o ser cancelado se estima mediante: P

eb =

b E

Cb

=

P

b − 1) . Vi βbi

i Vi (βi

P

i

b E b y εb se calculan trivialmente, notando que en los Las varianzas de C, tres casos se trata de una combinaci´ on lineal de estimadores independientes. As´ı, por ejemplo: X σ 2 (εb) = wi2 σ 2 (βbi ). i

En cambio, el c´alculo de la varianza de eb requiere aplicar el M´etodo Delta (ver Ap´endice B), obteni´endose una expresi´on para σ 2 (eb) que es funci´ on de eb y σ 2 (εb): σ 2 (εb) σ 2 (eb) ' . (1 + εb)4

3

Resultados

3.1 3.1.1

Detalles de implementaci´ on Estratificaci´ on

Se utilizaron las siguientes 4 variables para estratificar la muestra (y definir los casilleros): 12

• Actividad: Ocho categor´ıas: Agricultura, comercio mayorista, productos alimenticios, productos no alimenticios, restaurantes y hoteles, servicios financieros y diversos, otras actividades, sin actividad. • Tama˜ no: Dos categor´ıas: Grande y mediana, peque˜ na. Se consider´o como grande y mediana aquellas firmas con ventas anuales superiores a 5000 UTM ($ 11,269,500). • Ubicaci´ on: Algunas de las categor´ıas fueron subdivididas en dos grupos: regi´ on metropolitana y resto del pa´ıs. En los casos donde esta divisi´ on dejaba muy pocas firmas en alguno de los grupos, se consider´ o el total del pa´ıs. • Estructura de la sociedad: Algunas categor´ıas se subdividieron en dos o tres subcategor´ıas de acuerdo a esta variable. Las posibles subdivisiones eran: personas naturales, otras sociedades con fines de lucro17 , sociedades an´ onimas. En algunos casos las sociedades an´onimas y otras sociedades se agruparon bajo la denominaci´ on de “Sociedades”. El Cuadro 2 muestra los 41 casilleros a que dio origen la estratificaci´ on anterior. Cabe notar que el casillero 40 qued´ o vac´ıo. 3.1.2

Trabajo de campo

La primera etapa del trabajo de campo se realiz´o entre el 25 de Noviembre y el 1 de Diciembre de 1996. En esta etapa se seleccion´o una muestra de 206 contribuyentes para la realizaci´on del punto fijo18 . De los 206 casos programados, 50 arrojaron inmediatamente resultados satisfactorios, 86 requirieron que se solicitara informaci´ on adicional a los contribuyentes muestreados y los 70 restantes correspondieron a casos en que no se obtuvo informaci´ on. La segunda etapa del trabajo de campo se realiz´o entre el 14 de Julio y el 3 de Agosto de 1997. En este caso, la muestra programada fue de 366 contribuyentes. De los casos programados, se obtuvieron 210 firmas con la informaci´ on requerida, mientras las 156 restantes correspondieron a casos en que no se obtuvo informaci´ on. 17

Abreviado en el Cuadro mediante “otras sociedades”. N´ otese que como la metodolog´ıa estratifica de acuerdo a los casilleros, lo importante es que la muestra al interior de cada casillero sea aleatoria, no es necesario que este sea el caso a nivel de la muestra completa. 18

13

Tabla 2: Estratificaci´on de la muestra (‘casilleros’)

Actividades Agricultura

Comercio Mayorista

Productos Alimenticios

Tama˜ no Grande y Mediana

Ubicaci´ on Total Pa´ıs

Peque˜ na Grande y Mediana

Total Pa´ıs Total Pa´ıs

Peque˜ na Grande y Mediana

Total Pa´ıs Reg. Metrop. Resto Pa´ıs

Peque˜ na Productos no Alimenticios

Grande y Mediana

Reg. Metrop. Resto Pa´ıs Reg. Metrop.

Resto Pa´ıs

Peque˜ na Restaurantes y Hoteles

Grande y Mediana

Reg. Metrop. Resto Pa´ıs Reg. Metrop.

Resto Pa´ıs Peque˜ na Servicios Financieros y diversos

Grande y Mediana

Reg.. Resto Pa´ıs Reg. Metrop.

Resto Pa´ıs Peque˜ na Otras Actividades

Sin Actividad

Grande y Mediana

Reg. Metrop. Resto Pa´ıs Total Pa´ıs

14 Peque˜ na Grande y Mediana Peque˜ na

Total Pa´ıs Total Pa´ıs Total Pa´ıs

Tipo de contribuyente Personas Naturales Sociedades Personas Naturales y Soc. Personas Naturales Otras sociedades Sociedades An´ onimas Personas Naturales y Soc. Personas Naturales Sociedades Personas Naturales Sociedades Personas Naturales y Soc. Personas Naturales y Soc. Personas Naturales Otras sociedades Sociedades An´ onimas Personas Naturales Otras sociedades Sociedades An´ onimas Personas Naturales y Soc. Personas Naturales y Soc. Personas Naturales Otras sociedades Sociedades An´ onimas Personas Naturales Sociedades Personas Naturales y Soc. Personas Naturales y Soc. Personas Naturales Otras sociedades Sociedades An´ onimas Personas Naturales Sociedades Personas Naturales y Soc. Personas Naturales y Soc. Personas Naturales Otras sociedades Sociedades An´ onimas Personas Naturales y Soc. Personas Naturales y Soc. Personas Naturales y Soc.

Casillero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

Luego de realizar las dos etapas del trabajo de campo se obtuvo una base de datos con informaci´ on de 346 firmas, de las cuales se descartaron 7 firmas que no cumpl´ıan con los requisitos de informaci´ on de la metodolog´ıa, cont´ andose finalmente con 339 firmas que conten´ıan la informaci´ on necesaria para realizar el estudio. 3.1.3

Haciendo comparables datos en fechas distintas

Con objeto de hacer comparables las observaciones de pagos por IVA en fechas anteriores a la de punto fijo, se procedi´o como sigue: • Los datos de ventas de cada firma fueron separados en tres grupos: – Grupo 1: ventas en d´ıas inmediatamente anteriores al d´ıa del punto fijo. – Grupo 2: ventas en d´ıas del mes anterior a la realizaci´on del punto fijo que eran comparables al d´ıa del punto fijo (se consideraron como comparables aquellos d´ıas correspondientes al mismo d´ıa de la semana en que se realiz´o el punto fijo). – Grupo 3: ventas en d´ıas del a˜ no anterior a la realizaci´on del punto fijo comparables con el d´ıa en que se realiz´o el punto fijo. Se consider´ o como ‘comparables’ aquellos d´ıas correspondientes al mismo d´ıa de la semana y ubicados alrededor del mismo mes que el d´ıa en que posteriormente se realiz´o el punto fijo. • Se calcul´ o el promedio de las ventas para cada uno de los grupos descritos anteriormente. Para calcular estos promedios se consideraron s´ olo los d´ıas con ventas mayores que cero. • Para cada firma se consider´o como per´ıodo base el mes en que fue realizado el punto fijo. Debido a esto, los datos del grupo 1 no fueron deflactados. • Tanto para los d´ıas del grupo 2 (mes anterior) como para los del grupo 3 (a˜ no anterior) se utiliz´ o como deflactor la raz´on entre el promedio de ventas del grupo 1 (d´ıas inmediatamente anteriores al d´ıa del punto fijo) y el promedio de ventas del grupo respectivo. Es decir, para los d´ıas del grupo 2 se utiliz´ o como deflactor el promedio de ventas del grupo 1 dividido por el promedio de ventas del grupo 2 y para el grupo 3 el promedio del grupo 1 dividido por el promedio del grupo 3. 15

• En los casos en que el promedio de ventas del grupo 2 ´o 3 era nulo (significando que no se dispon´ıa de datos de ventas para ese grupo de d´ıas), se consider´ o como deflactor para ese grupo la raz´on entre el IPC registrado en el mes de realizaci´on del punto fijo y el IPC registrado en el mes a que correspond´ıan los datos de ventas del grupo. En los casos en que el promedio del grupo 1 era nulo tambi´en se consider´ o como como deflactor la raz´on de los IPC. Con objeto de verificar que los supuestos anteriores no son cruciales, se reestimaron las tasas de evasi´on agregadas sin usar deflactor alguno y se obtuvieron tasas similares a las obtenidas con los deflactores antes descritos19 . 3.1.4

Datos omitidos y observaciones nulas

El n´ umero total de firmas encuestadas fue de 346 . Se dejaron fuera 7 lugares de venta en que la informaci´ on sobre ventas en d´ıas anteriores al punto fijo era insuficiente (menos de 4 observaciones no nulas). En 50 de las 136 firmas encuestadas en la primera parte del trabajo s´ olo se registr´ o la informaci´ on de los d´ıas ‘comparables’ del mes anterior del punto fijo. En el resto de las firmas encuestadas en la primera parte del trabajo de campo, asi como en todas aquellas encuestadas en la segunda parte, se registr´ o toda la informaci´ on.20 En 72 de las 339 firmas utilizadas en el estudio, se registraron observaciones nulas en d´ıas anteriores al punto fijo. Se nos ocurren las siguientes explicaciones posibles para estas observaciones. Primero, puede tratarse de d´ıas en que la evasi´ on de IVA fue de un 100%. Segundo, pueden ser lugares de venta que tienen un n´ umero muy reducido de ventas diarias (v.g., bienes durables como casas o autom´oviles). Con objeto de determinar la relevancia del segundo punto anterior, se obtuvo la informaci´ on sobre el n´ umero de boletas entregadas el d´ıa de punto fijo en cada lugar de venta, encontr´andose una correlaci´ on negativa entre el b n´ umero de boletas entregadas y el valor β2 . En efecto, entre los lugares de venta que entregaron menos de tres boletas el d´ıa de punto fijo (34), el 76% tiene observaciones nulas en d´ıas anteriores al punto fijo. En cambio, entre 19

Los resultados se presentan m´ as adelante. Los d´ıas inmediatamente anteriores y los d´ıas comparables del mes y del a˜ no anterior al d´ıa del punto fijo. 20

16

los restantes lugares de venta este porcentaje cae a 15%. Esto indica que una fracci´ on de las observaciones nulas tiene su explicaci´on en el punto 2 pero tambi´en indica que esto no basta para explicar siquiera la mitad de los lugares con este tipo de observaciones21 . Se excluyeron lugares de venta en que el n´ umero de boletas entregadas el d´ıa de punto fijo fue menor o igual que 722 . La justificaci´ on para esta decisi´ on es que el m´etodo de punto fijo no es apropiado para detectar evasi´on en lugares con ventas infrecuentes, ya que en tal caso puede no cumplirse el supuesto de que la inspecci´on de punto fijo no afecta el comportamiento de los compradores. De esta manera el n´ umero de firmas consideradas es de 265. Con objeto de verificar cu´an robustas son nuestras conclusiones, tambi´en se repitieron las estimaciones tomando como punto de corte tener m´ as de 3 boletas el d´ıa de punto fijo (en lugar de 7)23 .

3.2

Resultados a nivel de firma

El Cuadro 7, al final de este informe, muestra la informaci´ on obtenida a nivel de firma: n´ umero de observaciones disponibles en d´ıas anteriores al punto fijo, n; n´ umero de observaciones no nulas entre las anteriores, n1 ; coeficiente de variaci´ on de las observaciones no nulas, CV; valores estimados de las constantes A y D; valor estimado de βb2 y βb3 con sus respectivas desviaciones standard; y el n´ umero de boletas otorgadas el d´ıa de punto fijo. Se observa que los coeficientes de variaci´ on de un n´ umero importante de firmas toma valores bastante altos (mayor que 0,5). Esto se traduce en desviaciones standard relativamente grandes para los βb3 . De hecho, tenemos que s´ olo 21 del total de 265 firmas tienen un βb2 que es significativamente mayor que 1 (con nivel de significaci´ on del 95%, suponiendo una distribuci´ on b comparado con 20 firmas para las cuales βb2 es significatinormal para β), vamente menor que 1 (¡!). Es claro que se requiere de mayores niveles de agregaci´ on para obtener resultados interesantes. 21

Llama la atenci´ on que en todos los d´ıas con inspecci´ on de punto fijo se registraron ventas. 22 No es posible tomar un criterio m´ as exigente si se desea que haya al menos dos firmas en cada casillero. 23 En tal caso hay 301 firmas.

17

3.3

Resultados a nivel de casillero

El Cuadro 3 resume las estimaciones obtenidas a nivel de casillero: val¯ como promedio or estimado de β/p, tanto mediante promedio simple (β) ponderado (βp ); y las desviaciones standard de los estimadores anteriores. Para hacer inferencias respecto de la evasi´on de sectores espec´ıficos, consideramos las estimaciones obtenidas v´ıa promedio ponderado, pues ´estas tienen desviaciones standard m´as peque˜ nas que aquellas obtenidas mediante promedio simple. Observamos que hay 8 casilleros en que la tasa de evasi´on b es significativamente mayor (recordar que esta se estima mediante (βb −1)/β) que 20%, es decir, donde el valor estimado menos dos desviaciones standard b excede 1.2. Estos casilleros son el 3 (Agricultura Peque˜ (βb − 2σ(β)) na) con una tasa de evasi´ on que es al menos igual al 22%, el 5 (Comercio Mayorista, Grande y Mediano, Otras Sociedades) con al menos un 137%, los casilleros 12 y 13 (Productos Alimenticios Peque˜ nas) con al menos un 60 y 40% respectivamente, el 21 (Productos No Alimenticios, Peque˜ nas, No Regi´ on Metropolitana) con al menos un 30%, el 34 (Servicios Financieros y Diversos, Peque˜ nas, Regi´on Metropolitana) con al menos un 100% el 39 (otras actividades, peque˜ na) con al menos un 34% y el 41 (Sin Actividad, Peque˜ na) con al menos un 166%. Notamos al pasar que para tan s´olo dos sectores se tiene que βb2 es significativamente menor que 1 (con nivel de significaci´ on del 95%), a diferencia de 20 sectores donde es significativamente mayor que 1. Si comparamos esto con la situaci´ on descrita para las firmas individuales, vemos como al pasar de firmas a casilleros se van reduciendo las estimaciones que no tienen sentido econ´ omico El Cuadro 4 muestra las tasas de evasi´on de los diversos sectores de actividad econ´omica, con sus desviaciones standard (estimaciones utilizando promedios ponderados). Ignorando el sector “Sin Actividad”, tenemos que la actividad econ´ omica con mayor tasa de evasi´on de IVA es el Comercio Mayorista, con una tasa de evasi´on que podemos situar por sobre el 70%. El sector que ocupa el segundo lugar en tasas de evasi´on son los Servicios Financieros y Diversos, con una tasa de evasi´on del 26.8%. El tercer sector de actividad econ´ omica con tasas de evasi´on importantes es Restaurantes y Hoteles, con una tasa que llega al 13.2%. El Cuadro 5 permite dimensionar la importancia absoluta de los distintos casilleros. La primera columna indica la fracci´on de la recaudaci´on total de IVA que aporta el casillero correspondiente. La segunda columna indica 18

Tabla 3: Estimaciones por casillero casillero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 41

β¯ 0.99 0.78 1.62 1.28 4.02 1.12 4.93 1.07 0.97 1.56 0.80 2.03 1.83 1.38 1.14 0.90 1.20 0.85 0.99 1.18 2.11 1.96 1.22 1.09 1.51 1.81 1.23 2.01 0.95 1.02 1.11 2.33 2.36 5.02 1.74 1.52 1.17 1.65 1.33 2.29

βp 0.20 0.37 0.13 0.20 1.35 0.17 0.73 0.10 0.19 0.30 0.20 0.24 0.26 0.20 0.09 0.14 0.14 0.10 0.18 0.23 0.28 0.33 0.18 0.16 0.23 0.25 0.16 0.28 0.17 0.26 0.22 0.49 0.63 1.58 0.29 0.45 0.14 0.52 0.14 19 0.25

¯ σ(β) 1.18 0.67 1.42 1.12 6.02 1.03 1.36 1.15 1.11 1.12 0.92 1.84 1.80 1.46 1.10 1.06 1.10 1.14 1.03 1.19 1.46 1.31 1.06 0.88 1.19 1.35 1.27 1.25 1.00 1.10 1.32 1.29 1.48 4.24 1.15 0.78 1.04 1.14 1.53 3.20

σ(βp ) 0.22 0.23 0.10 0.09 1.84 0.15 0.09 0.06 0.11 0.12 0.06 0.12 0.20 0.18 0.07 0.09 0.11 0.06 0.10 0.19 0.08 0.08 0.10 0.04 0.12 0.12 0.09 0.07 0.17 0.26 0.16 0.10 0.16 1.12 0.07 0.05 0.06 0.19 0.09 0.27

Tabla 4: Evasi´ on por Sector de Actividad Econ´omica Sector 1 2 3 4 5 6 7 8

eb 5.64 73.08 12.18 11.61 13.18 26.82 6.74 68.72

σ(eb) 12.44 7.12 3.53 3.06 3.23 5.04 8.21 2.62

la fracci´ on de IVA que cada casillero hubiese pagado si no hubiese habido evasi´ on (considerando promedios ponderados). La tercera columna indica la fracci´ on del monto de la evasi´on agregada de la cual es responsable el casillero. Del Cuadro 5 se infiere que los casilleros que m´as IVA recaudan son el 15 (Productos No Alimenticios, Otras Sociedades) con un 13,0%, el 9 (Productos Alimenticios, Reg. Metrop., Grande y Mediana) con un 8,7%, el 16 (Productos No Alimenticios, Sociedades An´ onimas) con un 8,5% y el 11 (Productos Alimenticios, Grande y Mediana, Resto Pa´ıs, Sociedades) con un 8,3%. Basado en las estimaciones obtenidas se tiene que el casillero que m´as evade, en t´erminos absolutos, es el 5 (Comercio Mayorista, Grande y Mediana, Otras Sociedades) con un 52,7%. Le siguen los casilleros 13 (Productos Alimenticios, Peque˜ na, Resto Pa´ıs) con el 4,5%, el 15 (Productos No Alimenticios, Grande y Mediana, Reg. Metrop., Personas Naturales) con 3,8 y el 31 (Servicios Financieros y Diversos, Grande y Mediana, Regi´on Metropolitana, Sociedades An´onimas) con un 3,6%..

3.4

Resultados a nivel agregado

La tasa de evasi´ on agregada que se estima resulta ser 24,6% (promedio simple) y 24,4% (promedio ponderado), con desviaciones standard de 4,0 y 3,9%, respectivamente. En t´erminos de p´erdida de recaudaci´on, estas tasas corresponden a aproximadamente 860 millones de d´ olares. En lo que sigue realizamos una serie de an´ alisis de sensibilidad de los

20

Tabla 5: Importancia de los distintos casilleros casillero

Frac. rec.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 41

0.38 0.21 0.10 0.82 3.51 2.15 0.09 3.10 8.74 5.36 8.26 1.23 1.87 2.54 13.00 8.49 4.10 5.91 0.76 0.71 0.87 0.49 1.78 0.79 0.86 1.01 0.21 0.45 0.85 1.75 3.73 1.29 0.96 0.36 0.44 1.97 3.98 6.04 0.60 0.24

Frac. rec. sin evasi´on 0.34 0.11 0.11 0.69 15.97 1.67 0.10 2.69 7.36 4.54 5.74 1.71 2.55 2.81 10.78 6.82 3.41 5.08 0.59 0.64 0.96 0.49 1.43 0.53 0.77 1.03 0.20 0.42 0.64 1.45 3.72 1.26 1.08 1.15 0.38 1.16 3.13 21 5.23 0.69 0.58

Frac. de evasi´on 0.20 0.00 0.12 0.30 52.47 0.19 0.10 1.35 2.96 1.91 0.00 3.09 4.46 3.52 3.76 1.60 1.22 2.44 0.07 0.41 1.20 0.45 0.32 0.00 0.47 1.06 0.17 0.33 0.01 0.53 3.54 1.12 1.37 3.47 0.19 0.00 0.49 2.59 0.94 1.56

resultados anteriores. Debido a que los valores estimados son similares con ambos m´etodos de estimaci´on (promedio simple y promedio ponderado), y que las desviaciones standard son menores cuando se utiliza promedios ponderados, en lo que sigue nos centraremos en las estimaciones de evasi´on agregada obtenidas usando promedios ponderados. En primer lugar notamos que los resultados obtenidos no dependen mayormente de c´ omo se deflactan las observaciones, es decir, de c´omo se hace comparable la informaci´ on de venta de fechas diferentes. En efecto, la tasa agregada de evasi´ on que se obtiene si no se deflacta ninguna observaci´on es de 21,7% considerando promedio simple, y 24,6% considerando promedio ponderado. A continuaci´ on consideramos las estimaciones obtenidas si modificamos los puntos de corte para determinar si el n´ umero de boletas que la firma entreg´ o el d´ıa de punto fijo es suficiente para que sea incluida en la muestra. Denotamos mediante N1 el punto de corte anterior, de modo que se deja fuera todas aquellas firmas con N1 o menos observaciones24 . Recordemos que la metodolog´ıa utilizada supone que los d´ıas en que una firma registr´o ventas iguales a cero son d´ıas donde la firma decidi´o evadir todo su impuesto. La idea es que si una firma emiti´o m´as de N1 boletas el d´ıa del punto fijo, el supuesto anterior es, con una alta probabilidad, correcto. El Cuadro 6 muestra las tasas agregadas de evasi´on obtenidas para distintos valores de N1 . Tabla 6: Tasas agregadas de evasi´on: promedios ponderados n1 0 3 5 7 10

eb 20.0 20.0 20.0 24.4 12.1

σ(eb) 2.2 2.8 2.8 3.9 2.6

En el Cuadro 6 se observa que las tasas de evasi´on que m´as nos interesan no var´ıan de manera importante si se sustituye N1 por valores algo menores. En efecto, si se trabaja con valores de N1 iguales a 5 ´o 3 (en lugar de 7) 24

En las estimaciones reportadas, se trabaj´ o con N1 igual a siete.

22

se obtienen tasas de evasi´ on algo menores (alrededor de un 4% menor). La mayor variaci´ on se observa al utilizar N1 igual a 10 (alrededor de un 12%). Esto se debe a que el valor de N1 es demasiado exigente, por lo cual dejamos afuera a muchas firmas con observaciones nulas25 . En general, las estimaciones obtenidas al hacer un an´alisis de sensibilidad se encuentran dentro de intervalos de confianza razonables para las estimaciones obtenidas.

Referencias [1] Cowell, F., Cheating the Government: The Economics of Tax Evasion, Cambridge, Mass.: MIT Press, 1990 [2] Jorrat, M., [3] Miller, R.G., BEYOND ANOVA, Basics of Applied Statistics, Nueva York: J. Wiley, 1986. [4] Serra, P., Estimaci´ on de la Evasi´ on en el Impuesto al Valor Agregado, mimeo, 1991.

25

Bajamos de 34 firmas con 175 observaciones nulas para N1 = 7 a 26 firmas con 108 observaciones nulas para N1 = 10.

23

Ap´ endices A.: Demostraci´on de la Proposici´on 1 La demostraci´ on de la Proposici´on 1 se basa en los siguientes tres lemas: Lema 1 Sean X1 , X2 , . . . , Xn variables aleatorias i.i.d., con media µ y P varianza σ 2 . Denotamos mediante X = Xi /n el promedio correspondiente y mediante σ 2 (Y ), CV(Y ), γ(Y ) y κ(Y ) la varianza, el coeficiente de variaci´ on, el coeficiente de asimetr´ıa y la kurtosis de una variable aleatoria Y 26 . Entonces; 1

σ k (X) =

nk/2

σ k (X1 ),

(9)

1 √ CV(X1 ), n 1 γ(X) = √ γ(X1 ), n 1 κ(X) = 3 + (κ(X1 ) − 3). n

CV(X) =

(10) (11) (12)

´ n: Demostracio La expresi´ on (9) se obtiene a partir de: σ 2 (X) = σ 2

 P 1

Xi



n 1 2 P σ ( Xi ) n2 1 · nσ 2 (X1 ). n2

= =

La expresi´ on (10) sigue directamente de la anterior y del hecho que el valor esperado de X es igual al valor esperado de X1 . Para derivar (11) notamos que: 3

E[(X − µ) ] = E = = = 26



1 n

Pn

i=1 (Xi

− µ)

3 

1 Pn Pn Pn i=1 j=1 k=1 E[(Xi − µ)(Xj − µ)(Xk − µ)] n3 P n 1 3 i=1 E[(Xi − n3 1 E[(X1 − µ)3 ], n2

µ) ]

V´ease (1), (2) y (3) para las definiciones correspondientes.

24

donde se us´ o el hecho que los u ´nicos t´erminos de la triple sumatoria que (eventualmente) son distintos de cero son aquellos en que los tres ´ındices son iguales27 . Luego, aplicando (9) tendremos: γ(X) = = =

E[(X − µ)3 ] σ 3 (X) 1 E[(X1 − µ)3 ] n2 1 σ 3 (X1 ) n3/2 √1 γ(X1 ), n

Finalmente, para derivar (12) notamos que: E[(X − µ)4 ] = E = = =



1 n4 1 n4 1 n3

1 n

Pn

i=1

 

i=1 (Xi − µ)

4 

Pn

Pn

Pn

j=1

nE[(X1 −

Pn

k=1 µ)4 ] +

l=1 E[(Xi

− µ)(Xj − µ)(Xk − µ)(Xl − µ)]

3n(n − 1)σ 4 (X1 )

E[(X1 − µ)4 ] + 3(n − 1)σ 4 (X1 ) ,



donde se us´ o el hecho que en la cu´adruple sumatoria los t´erminos distintos de cero son s´olo aquellos de la forma E[(Xi − µ)2 (Xj − µ)2 ], los cuales son igual a E[(X1 − µ)4 ] si i = j e iguales a σ 4 (X1 ) si i 6= j. Luego, aplicando (9) tendremos: κ(X) = =

E[(X − µ)4 ] σ 4 (X) 1 {E[(X1 − µ)4 ] + (3n − 1)σ 4 (X1 )} n3 1 4 σ (X1 ) n2

= 3 + n1 (κ(X1 ) − 3). Lema 2 Sea X una variable aleatoria con media µ, varianza σ 2 , coeficiente de asimetr´ıa γ y kurtosis κ28 . Sea f (x) una funci´ on de variable real a valores 27

Si los tres ´ındices son distintos, por independencia de los Xi se tiene que el t´ermino es igual al producto de tres t´erminos de la forma E(Xi − µ), todos los cuales son iguales a cero. Si el t´ermino es de la forma E[(Xi − µ)2 (Xk − µ)] con k 6= i, por independencia de Xi y Xk se tendr´ a que ´este ser´ a igual al producto de la esperanza de ambas expresiones y como E(Xk − µ) = 0 se concluye que es igual a cero. 28 Para las definiciones de γ y κ v´ease (2) y (3).

25

reales que tiene quinta derivada cont´ınua. Entonces: E[f (X)] ' f (µ) + 12 σ 2 f 00 (µ) + 16 σ 3 γf 000 (µ) +

1 4 (IV ) (µ). 24 σ κf

(13)

´ n: Mediante desarrollo de Taylor se obtiene: Demostracio f (X) ' f (µ) +

4 X (X − µ)k (k) f (µ)

k=1

k!

de donde se pasa a (13) tomando valor esperado y notando que E(X −µ) = 0.

Lema 3 Sean X e Y variables aleatorias independientes, cuyas medias son 2 y σ 2 , y denotemos Z = X/Y . Entonces: µX y µY , y cuyas varianzas son σX Y E[Z] '

 µX  1 + CV2Y − γY CV3Y + κY CV4Y , µY

donde CVY , γY y κY denotan el coeficiente de variaci´on, el coeficiente de asimetr´ıa y la kurtosis de Y . ´ n: Como X e Y son independientes, se tiene que: Demostracio X 1 E = E[X] · E . Y Y 







La demostraci´ on se completa calculando E [1/Y ] mediante el Lema 2.

Demostraci´ on de la Proposici´ on 1 Denotemos mediante Xi la variable aleatoria que da origen a xi y meP diante Y la variable aleatoria que da origen a y. Sean X = Xi /n y T = Y /X. Aplicando el Lema 3 con X en lugar de X se obtiene: 



E[T ] ' β 1 + CV2 (X) − γ(X)CV3 (X) + κ(X)CV4 (X) . Luego, sustituyendo CV2 (X), γ(X) y κ(X) por las expresiones derivadas en el Lema 1 se obtiene: E[T ] ' Aβ,

26

por lo cual, como βb1 = T /A, se concluye que βb1 es (aproximadamente) insesgado.29 .

B.: Demostraci´on de la Proposici´on 2 La demostraci´ on de la Proposici´on 2 se basa en los siguientes tres lemas: Lema 1 Si U y V son variables aleatorias independientes con segundos momentos finitos, entonces Var[U V ] = Var[U ]Var[V ] + E2 [U ]Var[V ] + E2 [V ]Var[U ], donde E2 [X] denote el cuadrado del valor esperado de la variable aleatoria X. ´ n: Consecuencia inmediata de identidades elementales de Demostracio probabilidades.

Lema 2 Sean X1 , . . . , Xn variables aleatorias i.i.d. con media com´ un µ y denotemos mediante X el promedio correspondiente. Entonces: 1 ' X   1 Var ' X E





A , µ CV2 . nµ2

´ n: Aun cuando se puede derivar a partir del Lema 2 del Demostracio Ap´endice A, la versi´ on que presentamos se sigue directamente del llamado ‘m´etodo delta’, seg´ un el cual, para una variable aleatoria Z con media µZ se tiene que30 : Var[g(Z)] ' [g 0 (µZ )]2 Var[Z]. 29

N´ otese que la expresi´ on es s´ olo aproximada, debido a que el desarrollo de Taylor considerado en el Lema 2 es hasta cuarto orden. De hecho, un c´ alculo similar a los realizados anteriormente en este ap´endice muestra que el t´ermino que sigue es {15(n − 1)γ(X1 ) + ν(X1 )}CV5 (X1 )/n4 , donde ν(X1 ) denota el quinto momento centrado y normalizado de X1 . 30 Para el enunciado del m´etodo delta v´ease, por ejemplo, Miller (1986).

27

Tomando g(x) = 1/x y Z = X lleva a: 1 CV2 (X) Var ' , µ2 X 



lo cual combinado con (10) completa la demostaci´on.

Demostraci´ on de la Proposici´ on 2 Denotemos mediante Xi la variable aleatoria que da origen a xi y mediP ante Y la variable aleatoria que da origen a y. Sean X = Xi /n. Entonces, utilizando los lemas anteriores: Var[βb1 ]

= = = '

Y Var AX   1 Y Var 2 A X o 1 n 2 2 Var[Y ]Var[1/X] + E [Y ]Var[1/X] + E [1/X]Var[Y ] A2 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 CV 2 2A [β σ + β µ ] 2 + β σ 2 A2 nµ µ 

2

' β CV



2

(

1 + CV2 1+ nA2

)

.

Aun cuando la expresi´ on anterior es la utilizaada en los c´alculos correspondientes, esta se puede simplificar si se ignoran t´erminos de orden CV4 o m´as altos. En efecto, notanto que: 1 2 ' 1 − CV2 , 2 A n y sustituyendo esta expresi´on en la expresi´ on reci´en obtenida se obtiene: d Var[βb1 ] ' CV

2



1+

1 n



−

2 d CV . n2 

C.: Demostraci´on de la Proposici´on 3

28

Las expresiones para CVp , γp yκp se obtienen a partir de c´alculos elementales, que utilizan reiteradamente el hecho que si Z sigue una distribuci´ on Bernoulli de par´ ametro p y k denota un entero positivo, entonces, como Z k ≡ Z, se cumple que E[Z k ] = p. Cabe notar que pb = Z, donde Z es el promedio de n variables i.i.d. Bernoulli con probabilidad de ´exito p. Luego aplicando el argumento de la demostraci´ on de la Proposici´on 1 tanto a 1/X como a 1/Z se obtiene: y E pbX 



1 1 = µY E E b pb X D A ' µY p µX ADβ = , p  





por lo cual es necesario dividir y/xpb por AD para obtener un estimador insesgado de β/p. Para calcular la varianza de βb3 , denotamos K = AD y aplicamos dos veces el Lema 1 del Ap´endice B, obteniendo:

1 n [Var(Y ) + E2 (y)][Var(1/X)Var(1/Z) + E2 (1/X)Var((1/Z) + E2 (1/Z)Var((1/X)] + K2 (14) Por el m´etodo Delta (ver demostraci´on del Lema 2 del Ap´endice B) y el Lema 1 del Ap´endice A se tiene que:

Var(βb3 ) =

Var(1/X) ' Var(1/Z) '

CV2 , n1 µ2 CV2p . np2

Por otra parte, del Lema 2 del Ap´endice B se sigue que: E(1/X) ' E(1/Z) '

A , µ D . p

Sustituyendo las expresiones anteriores en (14) y recordando que E[Y ] = βµ y Var[Y ] = β 2 σ 2 se obtiene la expresi´on para Var(βb3 ) mencionada en el texto principal. 29

D.: Demostraci´on de la Proposici´on 4 El estimador βb es insesgado porque es un promedio ponderado31 de estimadores insesgados. Como adem´as los estimadores son independientes, se tiene que la varianza de βb viene dada por: b = Var[β]

k X i=1

wi2 Var[βb3,i ].

b se obtienen resolvienLuego, los ponderadores wi que minimizan Var(β) do el siguiente problema:

Minwi s.a

Pk

2 b i=1 wi Var[β3,i ]

Pk

i=1 wi

= 1.

Un c´alculo trivial muestra que el wi ´optimo es inversamente proporP cionales a Var(βb3,i ). Combinado con el hecho que i wi = 1 esto determina la expresi´ on obtenida para wi , donde se ha reemplazado βb3,i por βb debido al supuesto de valores comunes de β y p al interior de un casillero.

31

Es decir, una combinaci´ on lineal cuyos coeficientes suman uno.

30

Tabla 7: Informaci´ on a nivel de firma Firma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

n 4 30 9 31 33 31 26 4 5 31 29 4 29 29 29 27 24 28 28 17 29 29 30 27 28 28 25 26 28 20 4 29 20 31 31 28

n1 4 30 9 21 30 31 26 4 5 30 29 4 29 29 29 23 17 28 17 17 29 29 30 27 26 10 17 17 28 11 4 29 19 31 6 28

n0 0 0 0 10 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 4 7 0 11 0 0 0 0 0 2 18 8 9 0 9 0 0 1 0 25 0

CV 0.20 0.32 0.80 0.70 0.54 0.47 1.19 0.07 0.14 0.13 0.64 0.08 0.23 0.56 0.31 1.01 0.89 0.41 0.74 0.40 0.55 1.01 0.92 0.44 0.65 0.31 0.82 0.89 0.62 0.32 0.24 0.26 0.72 0.36 0.26 0.32

A 1.01 1.00 1.08 1.02 1.01 1.01 1.06 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.05 1.05 1.01 1.03 1.01 1.01 1.04 1.03 1.01 1.02 1.01 1.04 1.05 1.01 1.01 1.01 1.00 1.03 1.00 1.01 1.00

31

D 1.00 1.00 1.00 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.00 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.07 1.02 1.02 1.00 1.05 1.00 1.00 1.00 1.00 1.18 1.00

β3 1.50 0.49 0.17 0.50 0.70 0.59 1.05 1.18 0.38 2.06 0.79 1.10 1.28 3.38 0.68 1.16 1.76 1.52 1.49 0.65 0.37 0.19 0.13 0.17 1.07 9.96 1.13 3.17 1.02 1.83 0.49 1.09 0.45 1.72 12.07 1.18

σβ3 0.33 0.16 0.15 0.39 0.42 0.28 1.31 0.09 0.06 0.46 0.52 0.10 0.30 1.92 0.22 1.26 1.74 0.64 1.23 0.27 0.21 0.20 0.12 0.08 0.76 4.46 1.03 3.14 0.64 0.83 0.13 0.29 0.36 0.63 5.51 0.38

nb . 55 46 1 1 19 210 8 515 5 9 5 86 413 16 135 1 3 77 3 15 27 4 6 6 8 8 -1 1 17 2 82 55 5 161 1 133

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

n 25 28 5 5 31 22 27 32 29 31 31 31 31 31 31 31 31 32 29 28 28 31 31 30 28 27 31 28 28 5 30 29 25 17 28 31

n1 9 18 5 5 17 22 27 32 29 31 31 31 31 31 31 31 31 32 27 28 28 31 30 30 28 27 31 28 28 5 29 29 25 15 28 27

n0 16 10 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 4

CV 0.79 1.06 0.06 0.15 0.46 0.31 0.40 0.38 0.41 0.45 0.15 0.33 0.44 0.13 0.13 0.08 0.17 0.68 0.68 0.31 0.43 0.36 0.61 0.24 0.48 0.19 0.21 0.24 1.47 0.14 0.33 0.28 0.70 1.16 0.36 0.52

A 1.08 1.07 1.00 1.00 1.01 1.00 1.01 1.00 1.01 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.00 1.01 1.00 1.01 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.08 1.00 1.00 1.00 1.02 1.10 1.00 1.01

32

D 1.08 1.02 1.00 1.00 1.03 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00

β3 0.12 1.26 0.90 1.88 18.38 1.21 2.28 0.78 1.34 0.84 1.28 0.97 1.02 0.98 1.49 1.15 0.83 0.43 0.94 1.84 1.06 1.04 0.95 0.97 0.66 1.05 1.23 1.04 0.47 1.09 0.83 0.97 0.85 5.18 1.99 1.31

σβ3 0.12 1.47 0.06 0.31 9.92 0.39 0.93 0.30 0.56 0.38 0.20 0.32 0.46 0.13 0.20 0.10 0.14 0.30 0.69 0.59 0.47 0.38 0.62 0.24 0.33 0.21 0.26 0.25 0.72 0.17 0.32 0.28 0.61 6.73 0.74 0.76

nb . 1 3 75 8 20 22 17 1257 161 47 261 92 29 68 171 195 114 34 6 48 -1 148 24 348 24 57 54 418 125 137 104 30 271 26 128 15

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

n 31 31 4 5 31 30 31 28 5 4 28 30 30 30 33 5 5 5 32 30 5 29 30 30 26 28 23 28 28 31 28 5 33 23 28 31

n1 31 31 4 5 31 30 31 28 5 4 27 27 30 30 32 5 5 5 32 30 5 29 30 13 26 28 23 28 28 24 28 5 33 23 28 31

n0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0

CV 0.36 0.33 0.07 0.12 1.34 0.44 0.25 0.32 0.08 0.21 0.31 0.36 0.55 0.22 0.19 0.22 0.15 0.22 0.48 0.33 0.24 0.37 0.27 0.66 0.34 0.47 0.39 0.57 0.63 0.89 0.28 0.15 0.12 0.39 0.73 0.23

A 1.00 1.00 1.00 1.00 1.06 1.01 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.01 1.01 1.00 1.01 1.00 1.00 1.04 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 1.03 1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.00

33

D 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.05 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

β3 1.03 0.81 0.99 0.71 0.43 0.83 0.90 0.95 1.88 0.96 4.54 1.60 2.26 1.01 1.97 1.15 1.88 1.43 0.84 3.85 2.39 1.13 1.24 8.66 0.34 0.49 1.81 1.39 0.31 1.31 1.38 1.07 1.17 1.37 0.21 1.00

σβ3 0.37 0.27 0.08 0.10 0.60 0.37 0.23 0.31 0.15 0.22 1.72 0.67 1.27 0.22 0.51 0.28 0.32 0.35 0.41 1.28 0.62 0.43 0.34 6.62 0.12 0.24 0.72 0.81 0.20 1.26 0.39 0.18 0.15 0.54 0.16 0.23

nb . 391 65 1325 355 102 118 1221 234 181 44 132 16 124 22 34 18 51 75 13 71 52 61 262 1 93 4 25 10 5 6 40 730 290 12 7 168

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144

n 27 28 28 31 31 28 28 28 31 31 4 27 28 26 4 2 27 27 4 27 26 30 31 31 31 28 23 31 27 4 5 4 4 4 31 27

n1 27 28 28 31 28 28 28 28 31 31 4 27 28 26 4 2 27 27 4 24 26 30 31 31 31 28 23 31 27 4 5 4 4 4 31 27

n0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

CV 0.41 0.38 0.26 0.30 0.36 0.28 0.43 0.28 0.26 0.24 0.08 0.32 0.26 0.45 0.26 0.22 0.49 0.40 0.48 0.64 0.57 0.36 0.41 0.46 0.27 0.45 0.24 0.40 0.50 0.22 0.14 0.05 0.17 0.31 0.23 0.59

A 1.01 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.03 1.01 1.01 1.07 1.02 1.01 1.00 1.01 1.01 1.00 1.01 1.00 1.01 1.01 1.01 1.00 1.00 1.01 1.02 1.00 1.01

34

D 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

β3 1.88 0.74 0.79 0.76 1.15 1.04 1.64 1.13 1.17 1.02 1.10 0.68 1.15 0.68 1.64 1.26 1.13 0.64 0.98 0.93 2.81 1.05 0.48 1.67 1.08 0.32 0.72 1.07 2.00 0.86 1.10 1.24 0.68 0.62 0.76 0.65

σβ3 0.79 0.29 0.21 0.23 0.48 0.30 0.72 0.32 0.31 0.25 0.10 0.23 0.30 0.32 0.48 0.34 0.57 0.26 0.53 0.65 1.65 0.38 0.20 0.78 0.29 0.14 0.18 0.43 1.03 0.22 0.17 0.07 0.13 0.21 0.18 0.39

nb . 17 24 151 113 124 98 34 24 411 250 964 37 77 16 51 246 31 39 46 3 25 18 35 39 137 92 157 52 25 62 234 788 23 94 251 9

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

n 5 29 29 27 28 27 31 27 5 4 28 28 25 28 31 27 4 5 4 27 29 32 23 26 21 4 32 28 31 28 30 4 5 31 31 22

n1 5 29 29 27 28 27 31 24 5 4 28 28 16 25 31 23 4 5 4 27 29 31 21 23 21 4 32 28 31 28 20 4 5 31 31 22

n0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 9 3 0 4 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0

CV 0.21 0.28 0.89 0.76 0.31 0.18 0.20 1.91 0.26 0.25 0.53 0.54 0.18 0.38 0.48 2.49 0.06 0.18 0.19 0.36 0.52 0.28 0.64 0.51 0.47 0.23 0.43 0.15 0.07 0.22 0.78 0.14 0.13 0.38 0.25 0.54

A 1.01 1.00 1.03 1.02 1.00 1.00 1.00 1.19 1.01 1.02 1.01 1.01 1.00 1.01 1.01 1.42 1.00 1.01 1.01 1.00 1.01 1.00 1.02 1.01 1.01 1.01 1.01 1.00 1.00 1.00 1.03 1.01 1.00 1.00 1.00 1.01

35

D 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.02 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

β3 0.74 0.95 0.65 1.23 1.51 1.25 0.85 0.01 0.81 1.22 0.44 1.04 1.35 1.53 0.78 0.51 1.40 1.46 1.06 0.94 3.58 1.91 0.56 1.48 5.06 2.36 0.92 0.96 1.31 1.07 5.12 1.17 0.96 1.15 0.90 1.90

σβ3 0.17 0.27 0.59 0.96 0.47 0.23 0.17 0.02 0.23 0.34 0.24 0.58 0.41 0.67 0.38 1.41 0.09 0.28 0.23 0.35 1.90 0.65 0.40 0.85 2.47 0.61 0.40 0.15 0.10 0.24 4.41 0.19 0.13 0.44 0.23 1.06

nb . 109 17 9 5 72 141 572 1 15 3 2 8 25 16 6 4 105 161 16 29 21 9 2 20 11 25 56 51 66 19 155 54 2615 22 57 52

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216

n 4 25 28 31 26 24 26 26 5 4 28 28 30 31 27 31 4 5 5 33 9 31 31 31 31 5 31 30 30 32 29 28 31 31 25 28

n1 4 25 28 31 26 24 26 26 5 4 28 28 30 31 27 31 4 5 3 33 9 31 31 4 31 5 31 27 30 32 29 28 31 31 24 28

n0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 27 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0

CV 0.04 0.22 0.19 0.45 0.74 0.51 0.36 0.21 0.12 0.48 0.39 0.40 0.32 0.66 0.22 0.31 0.25 0.13 0.23 0.62 0.32 0.17 0.38 0.64 0.17 0.12 0.30 0.44 0.42 0.41 0.36 0.32 1.09 0.38 0.17 0.53

A 1.00 1.00 1.00 1.01 1.02 1.01 1.01 1.00 1.00 1.07 1.01 1.01 1.00 1.01 1.00 1.00 1.02 1.00 1.02 1.01 1.01 1.00 1.00 1.12 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.00 1.00 1.04 1.00 1.00 1.01

36

D 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.19 1.00 1.00 1.00 1.00 1.32 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

β3 0.83 0.98 1.18 0.89 1.18 0.79 1.73 1.10 0.84 1.65 0.25 1.78 2.40 1.09 0.96 1.82 1.90 1.26 6.94 1.87 0.29 1.19 3.69 6.42 0.96 1.08 1.17 1.18 1.09 1.57 1.24 1.06 0.21 0.80 1.49 0.77

σβ3 0.04 0.22 0.22 0.41 0.90 0.41 0.64 0.24 0.11 0.90 0.10 0.73 0.77 0.73 0.22 0.58 0.54 0.18 3.95 1.19 0.10 0.21 1.44 5.57 0.16 0.14 0.36 0.59 0.47 0.66 0.46 0.35 0.24 0.31 0.40 0.42

nb . 610 49 231 17 43 9 843 911 35 21 7 36 65 34 70 53 25 166 3 41 2 576 27 2 661 27 44 22 81 16 27 26 12 4 33 12

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252

n 26 25 25 4 4 5 4 32 33 29 28 25 29 28 29 29 22 27 33 25 28 28 27 25 20 34 19 31 31 31 31 13 31 31 24 31

n1 26 22 25 4 4 5 4 32 33 29 28 25 29 28 29 29 22 27 33 21 28 28 24 25 20 34 8 14 31 27 31 13 31 31 24 31

n0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 0 0 0 11 17 0 4 0 0 0 0 0 0

CV 0.37 0.11 0.29 0.23 0.07 0.15 0.13 0.69 0.48 0.39 0.15 0.21 0.10 0.68 0.35 0.27 0.27 0.37 0.41 0.40 0.52 0.34 0.54 0.86 0.77 0.39 0.71 0.86 0.39 0.21 0.39 0.84 0.29 0.35 0.81 0.24

A 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.00 1.00 1.00 1.02 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 1.00 1.01 1.03 1.03 1.00 1.07 1.06 1.00 1.00 1.00 1.06 1.00 1.00 1.03 1.00

37

D 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.09 1.04 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

β3 1.88 1.19 2.04 1.26 0.97 1.01 1.71 2.94 3.14 2.81 1.28 1.95 0.73 2.26 0.66 0.61 1.59 0.11 0.81 1.91 0.85 1.41 0.54 0.16 0.55 0.13 7.15 3.08 1.54 0.82 1.48 0.04 1.09 1.20 1.25 2.11

σβ3 0.72 0.29 0.60 0.33 0.07 0.17 0.26 2.06 1.54 1.12 0.19 0.42 0.07 1.57 0.24 0.17 0.44 0.04 0.34 0.90 0.45 0.49 0.32 0.15 0.44 0.05 6.26 2.99 0.61 0.24 0.58 0.03 0.33 0.43 1.04 0.52

nb . 151 25 34 37 151 61 37 9 31 15 7 15 2 31 46 43 8 3 25 5 10 124 4 4 5 7 4 5 390 105 81 1121 41 30 4 63

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288

n 31 4 25 25 31 31 31 23 31 5 27 27 25 31 26 25 29 28 32 32 31 31 4 5 27 24 31 28 31 25 28 29 30 28 31 28

n1 30 4 25 25 31 31 31 15 31 5 26 27 10 23 26 25 21 27 32 32 10 14 4 5 26 24 31 24 6 25 28 29 11 18 31 24

n0 1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 1 0 15 8 0 0 8 1 0 0 21 17 0 0 1 0 0 4 25 0 0 0 19 10 0 4

CV 1.00 0.10 0.83 0.45 0.50 0.93 0.12 0.65 0.51 0.11 0.91 0.72 0.33 1.05 0.24 0.65 0.43 0.39 0.79 0.30 0.48 0.49 0.24 0.15 0.60 0.31 0.07 0.64 0.32 0.27 1.26 0.34 1.01 0.78 0.07 0.81

A 1.04 1.00 1.03 1.01 1.01 1.03 1.00 1.03 1.01 1.00 1.03 1.02 1.01 1.05 1.00 1.02 1.01 1.01 1.02 1.00 1.02 1.02 1.02 1.00 1.01 1.00 1.00 1.02 1.02 1.00 1.06 1.00 1.11 1.04 1.00 1.03

38

D 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.03 1.00 1.00 1.00 1.00 1.07 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.08 1.04 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.18 1.00 1.00 1.00 1.07 1.02 1.00 1.01

β3 0.63 1.46 0.20 0.44 1.02 6.79 0.98 4.75 0.87 1.10 0.10 1.26 7.02 0.51 1.21 0.51 2.41 0.47 0.59 3.57 2.39 6.48 1.00 1.30 3.26 0.86 1.09 2.95 2.58 0.61 0.86 1.45 0.75 4.92 0.75 1.90

σβ3 0.67 0.16 0.17 0.20 0.52 6.47 0.12 3.52 0.45 0.14 0.10 0.93 3.30 0.58 0.30 0.34 1.21 0.21 0.48 1.08 1.44 3.78 0.27 0.21 2.12 0.28 0.08 2.06 1.31 0.17 1.13 0.50 0.87 4.27 0.05 1.67

nb . 9 40 4 25 122 80 419 25 36 255 11 4 28 2 57 5 5 1 4 25 2 10 89 11 16 26 31 14 1 24 148 5 -1 10 62 5

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324

n 31 28 4 27 4 25 27 31 31 25 12 31 31 31 10 26 25 28 31 28 27 31 30 29 25 31 28 25 28 27 25 4 5 5 30 25

n1 27 28 4 27 4 16 27 20 31 25 12 31 31 31 10 26 23 27 31 28 25 31 6 29 25 31 28 23 25 27 20 4 5 5 30 20

n0 4 0 0 0 0 9 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 2 0 24 0 0 0 0 2 3 0 5 0 0 0 0 5

CV 0.72 0.35 0.10 0.45 0.55 0.82 0.53 0.88 0.09 0.38 0.64 0.13 0.21 0.35 0.57 0.22 0.78 0.71 0.26 0.46 0.75 0.93 0.95 0.40 0.37 0.64 0.23 0.73 0.87 0.86 1.34 0.10 0.09 0.17 0.35 0.74

A 1.02 1.00 1.00 1.01 1.09 1.04 1.01 1.04 1.00 1.01 1.04 1.00 1.00 1.00 1.04 1.00 1.03 1.02 1.00 1.01 1.02 1.03 1.19 1.01 1.01 1.01 1.00 1.02 1.03 1.03 1.10 1.00 1.00 1.01 1.00 1.03

39

D 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.02 1.00 1.02 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.17 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01

β3 1.13 0.86 1.00 1.44 2.99 0.63 0.45 2.08 1.05 1.63 0.50 1.21 0.52 0.30 0.46 0.94 3.54 0.18 0.79 2.52 0.72 0.39 3.61 0.60 1.65 2.02 0.83 0.21 1.07 3.70 1.10 1.24 2.11 1.12 1.00 1.97

σβ3 0.88 0.31 0.11 0.66 1.87 0.57 0.24 1.99 0.09 0.63 0.33 0.16 0.11 0.11 0.28 0.21 3.02 0.14 0.21 1.19 0.58 0.37 4.24 0.24 0.62 1.32 0.20 0.17 1.00 3.27 1.62 0.15 0.21 0.21 0.36 1.61

nb . 13 409 183 13 16 1 14 6 818 11 1 229 115 138 1 2019 4 1 2226 16 2 68 1 51 28 17 157 6 1 10 49 45 38 30 30 2

Tabla 7: (continuaci´on) Firma 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339

n 27 31 24 12 31 5 27 28 29 31 32 26 24 23 29

n1 27 31 24 9 31 5 27 28 29 14 32 26 24 23 28

n0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 17 0 0 0 0 1

CV 0.43 0.16 0.25 1.06 0.50 0.19 0.36 0.40 0.36 0.18 0.51 0.21 0.21 0.94 0.16

A 1.01 1.00 1.00 1.15 1.01 1.01 1.00 1.01 1.00 1.00 1.01 1.00 1.00 1.04 1.00

40

D 1.00 1.00 1.00 1.03 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.04 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

β3 1.73 1.01 1.17 2.72 1.23 5.55 1.82 1.91 0.57 1.44 1.04 1.50 1.12 0.34 5.65

σβ3 0.76 0.17 0.30 3.40 0.63 1.14 0.67 0.78 0.21 0.46 0.54 0.33 0.24 0.33 1.40

nb . 36 29 11 3 42 25 14 77 14 9 23 13 11 5 20