Estimaci´on de la irradiancia de d´ıa claro sobre el territorio uruguayo Ing. Rodrigo Alonso Su´arez 5 de noviembre de 2010

Resumen En este trabajo se explican los estudios previos y preliminares a la implementaci´on final del modelo de Justus-Tarpley primeramente presentado en [Tar79] y luego aplicado para Estados Unidos, Mexico y Sudam´erica en [Tar86]. En esta primera etapa y con vistas a la implementaci´on para el territorio uruguayo del modelo completo de Justus-Tarpley que utiliza im´agenes de sat´elite, se trabaj´o con una subparte del mismo que consta de tres de los cuatro par´ametros totales del modelo, sin utilizar en esta instancia las im´agenes satelitales. Dado que el submodelo cuenta con dependencia espacial, estos tres par´ametros {a, b, c} pueden ser ajustados para todo el territorio y utilizar as´ı un u´ nico set de par´ametros. Otro enfoque ser´ıa ajustarlos localmente para varias localidades (ajuste s´olo temporal) y luego interpolar en el espacio los resultados obtenidos. Esta subparte del modelo puede interpretarse como un modelo de d´ıa claro, con lo cual el ajuste debe realizarse limit´andose s´olo a utilizar datos de irradiancia horaria correspondientes a d´ıas claros. El resultado de este proceso es un estimativo de la irradiaci´on de d´ıa claro que cuenta con dependencia espacio-temporal. Se detallan en este informe los resultados obtenidos, los datos utilizados y los valores finales de los par´ametros ajustados localmente y para todo el territorio en base a la estad´ıstica disponible, as´ı como el proceso de ajuste de par´ametros y el marco te´orico necesario.

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1.

Introducci´on

El modelo utilizado es una subparte del modelo de Justus-Tarpley descripto en [Tar86] y por lo tanto este trabajo representa un primer paso hacia la implementaci´on total del mismo. De ahora en m´as, denominaremos ’modelo’ al submodelo de trabajo. El entrenamiento del modelo -leas´e, el ajuste de los par´ametros- se realiza en base a una estad´ıstica de d´ıas claros. La estad´ıstica utilizada corresponde a los datos generados por los piran´ometros que est´an ubicados en las estaciones de medida del INIA y que fueron instalados y son administrados por la Facultad de Ingenier´ıa, UdelaR. Estas estaciones de medida son recientes y por lo tanto la estad´ıstica disponible es parcial no cubriendo el largo de un a˜no en ninguna de las localidades. De todas formas, el software implementado permite ingresar como dato cualquier tipo de estad´ıstica disponible (en el formato adecuado). De esta manera, a medida que se vayan generando m´as datos en las estaciones de medida se puede ir actualizando el entrenamiento del modelo y de esta forma mejorar el ajuste. El objetivo final de este trabajo es generar una herramienta que permita estimar de forma espacio-temporal la irrandiancia horaria para un d´ıa claro mediante el ajuste de un modelo al territorio uruguayo. Cuando se habla de dependecia espacial se refiere a que cuando se fija un instante de tiempo la irradiancia horaria estimada por el modelo tiene variaci´on sobre el territorio uruguayo. An´alogamente, el modelo tiene dependencia temporal, esto implica que la estimaci´on de irradiancia sobre el territorio uruguayo evoluciona a lo largo del a˜no pudi´endose ser evaluado para cualquier instante de tiempo a lo largo del a˜no. La estimaci´on es un valor de irradiancia horaria medida en kJ/m2 , cuando se eval´ua el modelo en un instante de tiempo fijo lo que se obtiene es un mapa de irradiancia sobre el territorio uruguayo que se corresponde con la energ´ıa recibida por metro cuadrado en una ventana de tiempo de una hora en torno al instante de tiempo seleccionado. En el cap´ıtulo 2 se brinda una introducci´on te´orica al modelo completo de JustusTarpley y al modelo utilizado en este trabajo, asi mismo, se especifican los par´ametros necesarios para su implementaci´on. En el cap´ıtulo 3 se especifican los datos utilizados para el ajuste del modelo y en el cap´ıtulo 4 se explica el ajuste implementado. Los resultados obtenidos se muestran en el cap´ıtulo 5, tambi´en es este cap´ıtulo pueden ser encontradas varias conclusiones respecto al trabajo. Finalmente, en el cap´ıtulo 6, son presentadas las conclusiones generales del trabajo y los trabajos futuros previstos al corto y largo plazo.

2.

Marco te´orico

En esta secci´on se brinda el marco te´orico necesario para el correcto entendimiento del proceso realizado. Muchas de las variables que aqu´ı se describen son bien conocidas en Solarimetr´ıa con lo cual no se las definir´a extensivamente y se las asumir´a como conocidas por el lector. Nos limitaremos entonces a recordar su forma de c´alculo en la subsecci´on 2.2.

2.1.

Modelo de Justus-Tarpley

El modelo de Justus-Tarpley es un modelo de estimaci´on de irradiancia horaria de concepci´on estad´ıstica. El modelo completo relaciona la irradiancia horaria con el coseno 2

del a´ ngulo cenital, la informaci´on extra´ıda de las im´agenes satelitales, la irradiancia horaria solar extraterrestre y el factor de correcci´on por variaci´on estacional debido a la rotaci´on de
2 la Tierra en una o´ rbita el´ıptica en torno al Sol en uno de los focos Fn = rro . La forma del modelo puede observarse a continuaci´on en la ecuaci´on 1, I = Isc

 r 2 0

r



2 cos θz a + b cos θz + c cos2 θz + d Bm − Bo2

(1)

donde θz es el a´ ngulo cenital, r0 es el valor medio de la distancia Tierra-Sol, r es la distancia Tierra-Sol instante a instante (funci´on del tiempo) e Isc es la notaci´on que se ha escogido para la irradiancia solar horaria extraterrestre en un plano horizontal a la l´ınea Tierra-Sol, y se relaciona con la constante solar por Isc = 3600Gsc ≈ 4921,2 kJ/m2 . La informaci´on relativa a las im´agenes de sat´elite est´an reflejadas en los valores de Bm y Bo . Para poder aplicar y entrenar el modelo se debe dividir la superficie territorial en regiones, para cada regi´on se utiliza la latitud y longitud del centro de la regi´on y el tama˜no de la regi´on puede ser ajustable. Bm es el brillo promedio de la imagen satelital en la regi´on, mientras que Bo surge de promediar brillos promedios en la misma regi´on pero para im´agenes de d´ıa claro, o sea, Bo surge de una estad´ıstica de im´agenes de d´ıas claros. Por otro lado, en gran medida el tama˜no de regi´on depende de la resoluci´on de la imagen del sat´elite habiendo un compromiso entre el tama˜no de la regi´on, la resoluci´on de la imagen satelital y la exactitud del modelo. Lo importante al elegir el tama˜no de la regi´on es la cantidad de puntos de im´agenes de sat´elite que caen dentro de la regi´on de forma que la estad´ıstica de dichos puntos sea significativa. El tama˜no de esta regi´on estar´a asociado a la resoluci´on espacial del mapa resultante. No obstante, se puede considerar el resultado de irrandiancia v´alido para el centro de la regi´on, construir con esta informaci´on una grilla de puntos y luego interpolarlos en el espacio para obtener un mapa ’continuo’. En la medida que el modelo est´e bien ajustado y represente de buena manera el recurso solar en el territorio a lo largo del tiempo, el resultado de este modelo es como tener una red de piran´ometros formando una grilla espaciada seg´un el tama˜no de las regiones. La resoluci´on temporal de este modelo es igual a la cadencia de im´agenes de satelite, que en el caso del sat´elite GOES-12 es de media hora y las im´agenes est´an p´ublicamente accesibles en internet para un basta cantidad de a˜nosa .

2.2.

Variables requeridas

Como se puede desprender de la subsecci´on anterior, para tener una descripci´on completa del modelo deben calcular principalmente dos variables solarim´etricas: el coseno del a´ ngulo cenital cos θz y el factor Fn . Si se trabaja para plano horizontal (β = 0) -como se realiza en este trabajo-, la expresi´on para el c´alculo del a´ ngulo cenital en un punto geogr´afico dado y para una hora del d´ıa queda de la siguiente forma, cos θz = sin δ sin φ + cos δ cos φ cos ω a

(2)

Las im´agenes satelitales son administradas por la NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration), http://www.class.ngdc.noaa.gov/saa/products/welcome

3

donde δ es la declinaci´on, φ es la latitud del punto y ω es el tiempo solar en radianes. La latitud φ es informaci´on geogr´afica conocida (para el caso de un punto es informaci´on del punto, para el caso de una regi´on es el medio de la regi´on), por tanto, es necesario saber como computar los valores de δ y ω. La declinaci´on δ es una variable con variaci´on anual entre δmax = 23,45o ≈ 0,41 rad y δmin = −23,45o ≈ −0,41 rad, para su c´alculo se puede asumir que la misma depende s´olo del d´ıa del a˜no n (y no de una variable continua de tiempo pues var´ıa poco a lo largo del d´ıa). La expresi´on aproximada para su c´alculo es la que se muestra en la ecuaci´on 3 y la dicha variaci´on anual puede observarse en la figura 1.   2π(n + 248) (3) δ = δmax sin 365

Figura 1: Variaci´on anual de la declinaci´on solar δ en radianes. Para el caso de la variable ω su c´alculo se debe realizar a partir de un valor de tiempo estandar y utilizando la ecuaci´on del tiempo. A partir de una hora estandar hstd se debe calcular una hora solar hsol utilizando la ecuaci´on del tiempo y luego convertir la hora solar a tiempo solar en radianes w. Para convertir la hora estandar en hora solar se debe utilizar la siguiente ecuaci´on,   4(ψgmt − ψ) + E hsol = hstd − (4) 60 donde ψ es la longitud del punto geogr´afico en grados e incluida con su signo (notar que tanto hsol como ω tienen dependencia espacial), ψgmt es la longitud del meridiano gmt estandar para la hora del territorio en grados e incluido con su signo, y E es una variable en minutos que se calcula a partir de la ecuaci´on del tiempo y es funci´on del d´ıa del a˜no n. Para el 4

c´alculo de E se debe usar la ecuaci´on del tiempo que aparece a continuaci´on y su variaci´on anual puede observarse en la figura 2.  B = 2π

n−1 365



E = 229,2(0,000075 + 0,001868 cos B − 0,032077 sin B − 0,014615 cos 2B − 0,04089 sin 2B) (5)

Figura 2: Variaci´on anual del valor de E seg´un la ecuaci´on del tiempo. Ambos gr´aficos, el gr´afico de la variaci´on anual de la declinaci´on δ y el gr´afico de la variaci´on anual de E fueron generados por el software implementado a manera de testeo exhautivo del sistema. Dichos gr´aficos son consistentes con los que aparecen en la literatura, en particular, en [Duf91]. Finalmente, para el c´alculo del tiempo solar en radianes ω se puede realizar la siguiente operaci´on: (hsol − 12)π (6) 12 ω es una variable que vale cero en el mediod´ıa solar, por convenci´on se toma negativo por la ma˜nana y positivo por la tarde, y aumenta 15o por hora (que se corresponde al factor pi/12 de la expresi´on). A lo largo del d´ıa, el valor de ω var´ıa entre un valor −ωs que corresponde a la salida del Sol por la ma˜nana y un valor ωs que corresponde al ocultamiento del Sol al empezar la noche. El valor de ±ωs se corresponde con un a´ ngulo cenital θz = π/2 rad (salida y ocultamiento del Sol), por lo tanto si evaluamos la ecuaci´on 2 en ω = ωs se tiene que cos θz = 0 y se puede despejar un expresi´on para ωs que aparece w=

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en la ecuaci´on 7, que depende temporalmente del d´ıa del a˜no mediante la variable δ y que depende espacialmente mediante la variable φ.

La variaci´on anual de ωs y −ωs puede observarse en la figura 3, donde la dependencia espacial fue fijada en φ = −33,28o (latitud) y ψ = −54,17o (longitud). Estas coordenadas correponden a la estaci´on de medida de Treinta y Tres. ωs = arc cos (− tan φ tan δ)

(7)

Figura 3: Variaci´on anual del valor de ωs que corresponde al tiempo solar.

El rango comprendido entre la l´ınea azul superior ωs (n) y la l´ınea azul inferior −ωs (n) es el rango donde var´ıa ω durante el d´ıa (horas de sol) a lo largo del a˜no. Este rango es muy importante dado que carece de sentido utilizar datos de irradiaci´on o realizar estimaci´on utilizando valores de ω fuera de dicho rango. En particular, los datos registrados cuyos valores de ω sean cercanos a ±ωs son datos poco precisos que conyevan mucho error. Con lo cual para el ajuste del modelo s´olo se utilizaron los datos que estuvieran en una banda interior de este rango. El software implementado permite variar el rango porcentual a utilizar en el entrenamiento del modelo, en el caso del presente trabajo se utiliz´o 10 %, es decir, una banda interior al 10 % de ±ωs . El la figura 6 que se muestra sobre la derecha aparece un ejemplo de lo mencionado.

Figura 4: Datos utilizados y datos disponibles.

Las curvas en azul siguen representando el la variaci´on anual del rango donde var´ıa ω durante las horas de Sol. En rojo aparece la variaci´on de ω a lo largo de todo el d´ıa (d´ıa y

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noche), este rango cubre el intervalo [π, −π]b . En cambio, en verde, aparece los valores de ω que tiene sentido considerar a la hora del ajuste de los par´ametros. Si bien, al desplegar los datos se utiliza todo el rango ±ωs , al momento de entrenar el modelo s´olo se utilizaron los datos en verde que se encuentran comprendidos en una banda al 90 % del rango ±ωs . Por otro lado, las datos cuya hora corresponda a un |ω| > ωs generalmente son nulos o registran irradiancia despreciable. En cuanto al factor Fn , e´ ste es una funci´on de d´ıa del a˜no n y puede ser aproximado por:    r 2 2πn o (8) ≈ 1 + 0,033 cos Fn = r 365 Una descripci´on detallada de la deducci´on de esta aproximaci´on puede encontrarse en [Aba10].

2.3.

Submodelo a utilizar

En el presente trabajo se prescindi´o de la informaci´on de las im´agenes satelitales y se utiliz´o un submodelo del modelo de Justus-Tarpley explicado en la subsecci´on 2.1. En el modelo que se present´o en la ecuaci´on 1 pueden ser identificadas dos 2 − Bo2 ) y el t´ermino de la izquierda partes principales: el t´ermino de la derecha d (Bm
r0 2 Isc r cos θz (a + b cos θz + c cos2 θz ). Este modelo puede ser interpretado como: un modelo de d´ıa claro dado por el t´ermino de la izquierdac complementado por el t´ermino de la derecha que brinda la informaci´on de nubocidad en el terreno mediante las im´agenes satelitales. En este trabajo nos interesa entrenar un modelo de d´ıa claro y entonces utilizaremos el siguiente modelo de ahora en m´as,  r 2
0 I = Isc cos θz a + b cos θz + c cos2 θz (9) r donde habr´a que ajustar los par´ametros {a, b, c} utilizando una estad´ıstica de d´ıas claros. De esta manera nos queda expresado un modelo de d´ıa claro donde la irrandiancia horaria I es funci´on de los siguiente par´ametros, I = f (n, hstd , φ, ψ)

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pudiendo ser evaluado en rigor para cualquier instante de tiempo (n, hstd ) y cualquier punto geogr´afico (φ, ψ). Se tiene que tener en cuenta que I representa la irradiancia horaria expresada en kJ/m2 en torno al instante de tiempo escogido. En este trabajo los datos son dados en valores de irrandiancia en torno a los instantes de tiempo hstd comprendidos en el conjunto {0, 1, 2, ..., 22, 23}, y por lo general tambi´en ser´an evaluados en dichos instantes. No obstante, se recalca que el modelo permite evaluar en cualquier instante de tiempo con la b

La raz´on por la cual no se cubre todo el intervalo en el gr´afico es que los datos son dados en hora estandar en el intervalo [0, 23], y se corresponden con los naturales (∪{0}) en este intervalo. c Si bien, esto no es claro a simple vista, los datos seleccionados correspondientes a d´ıas claros ajustan muy bien al este modelo lo que confirma esta afirmaci´on. Esto puede observarse en la secci´on 5.

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salvedad de lo mencionado anteriormente. Si se quisiese integrar los valores en un d´ıa para obtener un valor diario de irradanci´on seg´un el modelo, se deber´a hacer utilizando instante de tiempos adecuados de forma tal que los intervalos temporales no se solapen.

3.

Datos utilizados

Los datos disponibles al momento de la realizaci´on de este informe son escasos. La red piranom´etrica instalada y administrada por la Facultad de Ingenier´ıa est´a en sus primeras etapas, y han habido problemas de comunicaci´on entre los equipos, con el almacenamiento de datos y con la calidad de los datos. No obstante, dichos problemas se han solucionado y actualmente la red piranom´etrica est´a generando datos normalmente y se encuentra en proceso de expansi´on. La estad´ıstica accesible no es extensa ni en cuanto a cantidad de localidades de medici´on ni en cuanto a extensi´on temporal de las mediciones. En ninguna de las localidades trabajadas los datos superan el a˜no y se trabaj´o s´olo con tres localidades. Con la reducida estad´ıstica existente para estas estaciones, el ajuste del modelo puede no representar fielmente a la realidad a˜no tras a˜no. El mayor de los problemas es no contar con m´as de un a˜no de mediciones, el actual a˜no podr´ıa ser at´ıpico (se trabaj´o con los datos generados durante el corriente a˜no 2010), adem´as, no se tiene el a˜no completo de mediciones. De todas formas, debido a la forma que est´a implementado el software, se puede seguir a˜nadiendo la estad´ıstica a medida que se vayan generando los datos.

3.1.

Descripci´on de los datos y estaciones de medida

Se utilizaron datos de tres estaciones de medida del INIA ubicadas en Las Brujas, Salto y Treinta y Tres. En la siguiente tabla se especifican las posiciones geogr´aficas de las mismas, el piran´ometro que se est´a utilizando y el per´ıodo de datos disponible. Localidad Piran´ometro Latitud (o ) Longitud (o ) Las Brujas K&Z CMP6 -34.67 -56.33 Salto K&Z CMP6 -31.27 -57.89 Treinta y Tres K&Z CMP6 -33.28 -54.17 Cuadro 1: Ubicaci´on geografica y per´ıodo temporal datos utilizados.

Per´ıodo 02/2010 - 09/2010 06/2010 - 08/2010 05/2010 - 09/2010 de los

No todos los per´ıodos de datos est´an disponibles. La estaci´on de medida de Las Brujas estuvo inactiva desde el 26 de junio de 2010 al 18 de agosto de 2010, mientras que la estaci´on de medida de Treinta y Tres estuvo inactiva desde el 18 de julio de 2010 al 27 de agosto de 2010. En la figura 5 que se muestra a continuaci´on se puede ver un ejemplo de datos t´ıpicos de irradiancia horaria. En la misma se muestran los datos correspondientes a la estaci´on de medida de Treinta y Tres durante el per´ıodo comprendido entre el 31 de mayo de 2010 y el 29 de junio de 2010. 8

Figura 5: Datos para la estaci´on de Treinta y Tres en el per´ıodo desde el 31 de mayo de 2010 hasta el 29 de junio de 2010.

3.2.

Selecci´on de d´ıas claros

En ausencia de datos de nubocidad u otros datos que permitan detectar de forma indirecta los d´ıas claros, la selecci´on de los ’d´ıas claros’ se realiz´o en base a la observaci´on de las medidas de irradiancia horaria. Este proceso no se llev´o a cabo con alg´un tipo de algoritmo automatizado de detecci´on, sino que los d´ıas claros fueron seleccionados mediante el an´alisis visual de la evoluci´on diaria de los datos de irrandiancia horaria. Se consider´o para el an´alisis y la selecci´on de los d´ıas claros, que la evoluci´on de irradiancia horaria para un d´ıa claro t´ıpico tiene la forma que se muestra en la figura de la derecha. De esta manera, se seleccionaron para entrenar el modelo los d´ıas cuya evoluci´on temporal era similar la de esta figura. Este proceso se selecci´on se hizo para todos los d´ıas disponibles en las tres localidades. Es claro que no es la manera m´as o´ ptima de llevar adelante la selecci´on, pero para un primera etapa se considera suficiente.

Figura 6: Forma t´ıpica de un d´ıa claro.

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En caso de contar con los datos de irradiaci´on (en kW/m2 ) con mayor resoluci´on temporal se podr´ıa pensar en hacer un an´alisis m´as ciudadoso al definir un d´ıa claro. De todas formas, la escasa estad´ıstica existente pone de manifiesto la necesidad de contar con una selecci´on de d´ıas claros amplia. Al contar con pocos datos no se considera que se deba refinar por el momento el proceso de selecci´on de los d´ıas claros. Es claro, que en la medida en que cresca el tama˜no del set de datos se puede ir refinando el proceso de selecci´on para elegir d´ıas claros m´as representativos, automatizarlo e incluso inclu´ır otro tipo de variables -o datos- en el mecanismo de selecci´on (adem´as ser´ıa inviable seguirlo haciendo manualmente con un conjunto grande de datos). Por ejemplo, utilizando los datos mostrados en la figura 5 para la estaci´on de Treinta y Tres, se muestran en la figura 7 los d´ıas que fueron seleccionados como d´ıas claros.

Figura 7: D´ıas claros seleccionados para los datos de la figura 5. Se seleccionaron un total de 72 d´ıas entre las tres localidades, 32 d´ıas para la localidad de Las Brujas, 23 d´ıas para la localidad de Salto y 17 d´ıas para la localidad de Treinta y Tres. En la siguiente tabla se puede ver un resumen de los datos seleccionados. Localidad D´ıas seleccionados D´ıas disponibles Porcentaje Las Brujas 32 175 18.3 % Salto 23 86 26.7 % Treinta y Tres 17 79 21.4 % Cuadro 2: D´ıas seleccionados y d´ıas disponibles para cada localidad.

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La estaci´on que se utilizaron m´as datos fue para Las Brujas, esta es la estaci´on para la cual se disponen de m´as datos. Sin embargo, es la que se us´o menos porcentaje de d´ıas. Esto puede deberse a que es la estaci´on m´as cercana a la costa uruguaya. Si se observa esta tabla, cuanto m´as adentrado en el territorio uruguayo m´as porcentaje de d´ıas claros seleccionados hubo. De todas formas, con tan s´olo tres localidades y seleccionando visualmente los d´ıas claros, no alcanza para comprobar esta afirmaci´on.

4.

Implementaci´on del ajuste

Para realizar el ajuste del modelo se debe contar con datos de irrandiancia horaria georeferenciados y temporalmente ubicados. Tal es el caso de los datos accesibles ya descriptos y que denominaremos de ahora en m´as como Idata . Como se puede apreciar en la ecuaci´on 9 que el modelo implica ajustar los datos de irradiaci´on horaria a una expresi´on polinomial en cos θz debiendo ser ajustados, por localidad o para todo el territorio, los par´ametros {a, b, c}. Una estrategia com´un para lograr este ajuste es trabajar con el error e entre los datos Idata y el modelo I dado por la mencionada ecuaci´on.

e = Idata − I = Idata − Isc

 r 2 0

r

cos θz a + b cos θz + c cos2 θz




(11)

Como se puede deducir facilmente de la ecuaci´on anterior, cada valor de e es una funci´on de n, hstd , φ, ψ e Idata , as´ı como de los par´ametros a ajustar {a, b, c}. Intentando una estrategia LMS (Least Mean Square) en donde se desea minimizar la suma de los errores cuadr´aticos se puede construir una funci´on ELM S a minimizar en el espacio de par´ametros {a, b, c} de la siguiente forma, X

e2 (n, hstd , φ, ψ, Idata , a, b, c) Ω   r 2 X
2 0 2 cos θz a + b cos θz + c cos θz = Idata − Isc r Ω

ELM S (a, b, c) =

(12)

donde la suma es en el conjunto Ω que comprende la totalidad de los datos de irrandiancia horaria georrefenciados y temporalmente ubicados, correspondientes a d´ıas claros seleccionados. Es decir, cada valor de Idata le corresponde un u´ nico valor en el conjuto {n, hstd , φ, ψ}, o sea que: {Idata } ↔ {n, hstd , φ, ψ}

(13)

Se desea entonces encontrar un valor para el set de par´ametros {a, b, c} que minimize el funcional ELM S . Como es posible ver en la definici´on del funcional en la ecuaci´on 12, se ha elegido la norma cuadr´atica para ’pesar’ los errores e. Se podr´ıa pensar en otras normas ponderadores para definir el funcional ELM S . En este caso, los datos utilizados ajustan de buena forma al modelo (como se ver´a m´as adelante) y no se vio la necesidad de implementar una minimizaci´on de mayor complejidad que e´ sta, ni la necesidad de utilizar 11

alg´un otro tipo de norma que d´e poco peso a los ouliers en el proceso de ajuste. Una forma de lograr la soluci´on a esta minimizaci´on es por ejemplo aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, que en este caso se reducen a simplemente computar las LM S LM S LM S , ∂E∂b y ∂E∂c , e igualarlas a cero. derivadas ∂E∂a  ∂ELM S   =0   ∂a    ∂ELM S Euler − Lagrange −→ (14) =0  ∂b     ∂ELM S   =0 ∂c Como resultado del computo de estas derivadas se obtiene finalmente el sistema de ecuaciones en a, b y c:  r 2 X ∂ELM S 0 = −2 (Idata − I) Isc cos θz = 0 ∂a r Ω  r 2 X ∂ELM S 0 = −2 (Idata − I) Isc cos2 θz = 0 ∂b r Ω  r 2 X ∂ELM S 0 (Idata − I) Isc = −2 cos3 θz = 0 ∂c r Ω

(15)

Este sistema de ecuaciones es un sistema lineal en a, b y c. Esto se desprende sencillamente de que I es una funci´on lineal de estos par´ametros. Dado que se trata de un sistema lineal 3 × 3 el mismo se puede llevar a una forma m´as compacta. Si definimos el vector de par´ametros p como p = (a, b, c)T , este sistema se puede llevar a la siguiente forma en t´erminos de la matriz A y el vector b que son calculados de forma apropiada: Isc A p = b

(16)

Las cuentas relativas a la deducci´on de esta ecuaci´on pueden ser encontradas en el ap´endice A. Tambi´en puede ser encontrada la forma de calcular la matriz A y el vector b como resultado de dicha deducci´on. Este sistema de ecuaciones es el mismo que se obtendr´ıa aplicando las ecuaciones normales. El set de par´ametros p que es soluci´on a este sistema de ecuaciones ser´a entonces soluci´on al problema de minimizaci´on que nos plantearamos, de esta forma, los valores del ajuste para a, b y c se obtienen de la siguiente manera:   a 1 −1  b = A b (17) p= Isc c donde A, b e Isc son conocidos.

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5.

Resultados obtenidos

En esta secci´on se mostraran los resultados obtenidos al aplicar lo explicado en las secciones anteriores. Tambi´en se presentan algunos tests realizados sobre el sistema de modo de evaluar el correcto funcionamiento del mismo.

5.1.

Ajuste para todo el territorio

Este ajuste es el que se realiza en el modelo de Justus-Tarpley presentado en [Tar86]. Al realizar este ajuste, lo que se hace es entrenar los par´ametros {a, b, c} para todo el territorio, obteniendo un solo set de valores aplicables para todo el territorio. Como el modelo tiene dependencia espacial dada por φ y ψ esto es posible. Lo que se hizo en este caso fue juntar los valores de {Idata } ↔ {n, hstd , φ, ψ} para todos los d´ıas claros seleccionados de las tres localidades y utilizarlos a la vez en el proceso de ajuste. Como se mencion´o anteriormente, el conjunto de datos total consta de 72 d´ıas. En la siguiente figura se puede observar el ajuste de los datos.

Figura 8: Ajuste de par´ametros utilizando los datos de todo el territorio. La figura anterior es una gr´afica de irradiancia horaria en funci´on de cos θz . En azul se muestran los datos para los d´ıas seleccionados. Como se puede apreciar en dicha figura, el gr´afico de los datos muestra que la irradiancia de los d´ıas claros ajusta bastante bien a un comportamiento polinomial en cos θz . El ajuste realizado es la l´ınea que se aparece en rojo mientras que la l´ınea en amarillo es el comportamiento que resultar´ıa si se usaran los par´ametros dados en [Tar86] por Justus-Tarpley. En la gr´afica puede apreciarse que ambos modelos, para un mismo valor de cos θz , pueden tener varios puntos con distinta irradiancia (las l´ıneas roja y amarilla son gruesas). Esto se debe a qu´e el valor de irradiancia no s´olo depende del cos θz sino que tambi´en depende del d´ıa del a˜no n a traves del factor 13

Fn = (ro /r)2 . En el siguiente cuadro, el cuadro 3, se muestran los valores finales obtenidos para los par´ametros {a, b, c} ajustando el modelo a todo el territorio y su comparaci´on con los valores dados por Justus-Tarpley. Par´ametro Justus-Tarpley Territorio uruguayo Diferencia % a 0.4147 0.4207 1.4 % b 0.7165 0.7890 10.1 % c -0.3909 -0.4674 19.6 % Cuadro 3: Comparaci´on entre los par´ametros calculados y los par´ametros dados por Justus-Tarpley.

La comparaci´on entre estos par´ametros no es del todo justa. Los par´ametros del modelo Justus-Tarpley dados en [Tar86] est´an ajustado para datos de las llanuras estadounidenses. El valor de estos par´ametros en principio podr´ıa depender de condiciones atmosf´ericas de la zona, humedad, velocidad del viento y otros par´ametros meteorol´ogicos. No necesariamente el ajuste de los par´ametros debiera dar igual para datos del territorio uruguayo, aunque, se debe reconocer que ambos climas son bastante similares y por eso no sorprende que los par´ametros hayan dado muy cercanos entre s´ı. As´ı mismo, los par´ametros dados por Justus-Tarpley est´an ajustados utilizando el modelo completo. Esto, si bien afecta pues cambian las cuentas de la minimizaci´on, no deber´ıa afectar mucho el valor de los 2 par´ametros a, b y c. Para d´ıas claros, el t´ermino d (Bm − Bo2 ) que est´a asociado a la nubocidad extraida de las im´agenes satelitales, deber´ıa aportar al modelo aproximadamente cero, siendo los t´erminos responsables de aportar a la irradiancia de d´ıa claro los t´erminos asociados a los par´ametros {a, b, c}. Esto se puede ver de la siguiente manera, cuando ajustamos el submodelo estamos tratando de seleccionar d´ıas donde Bm = Bo para el entrenamiento -al menos, en las regiones correspondientes a los lugares donde se tienen las medidas-, olvid´andonos de la variable d. De esta manera, esta comparaci´on sirve para confirmar que la implementaci´on fue realizada correctamente y que se logr´o entender e implementar el modelo de d´ıa claro correctamente, pues los par´ametros obtenidos son del orden a los dados por el entrenamiento del modelo completo de Justus-Tarpley. Incluso, en [Tar86] se asumen que estos valores son v´alidos para sudam´erica y se genera con ellos un estimativo de mapas de irradiaci´on diaria mensual. Esto da la pauta, de que los valores podr´ıan ser m´as o menos ajustados localmente, pero que lo m´as probable es que fuesen del mismo orden como se concluye en este trabajo (a pesar de la reducida estad´ıstica). Pasaremos a observar ahora, la evoluci´on temporal y espacial de este modelo. En la figura 9 puede observarse el ajuste del modelo a los datos de la localidad de Treinta y Tres para el per´ıodo desde el 29 de agosto de 2010 hasta el 27 de setiembre de 2010 (los datos terminan el 26 de setiembre). En azul se muestran los datos y en rojo la evoluci´on temporal del modelo para esta localidad. Puede observarse que para los d´ıas en que el comportamiento de los datos es el esperable para un d´ıa claro, el modelo ajusta de buena manera. Debe observarse tambi´en la dependencia temporal de este modelo de d´ıa claro: el alto del pico de irradiancia va en aumento conforme avanza el tiempo (se hacerca a los meses de verano). 14

Este evoluciona desde 2682 kJ/m2 el 29 de agosto a 3198 kJ/m2 el 27 de setiembre. Este comportamiento es el esperado para un modelo de d´ıa claro conforme se hacerca el verano.

Figura 9: Modelo de d´ıa claro y datos para la estaci´on de Treinta y Tres en el per´ıodo desde el 29 de agosto de 2010 hasta el 27 de setiembre de 2010.

Si observamos la figura 10 donde aparece el gr´afico del modelo para el mismo per´ıodo de tiempo (desfasado un d´ıa) para la estaci´on de la brujas, podremos observar la dependencia espacial del modelo.

Figura 10: Modelo de d´ıa claro y datos para la estaci´on de Las Brujas en el per´ıodo desde el 30 de agosto de 2010 hasta el 28 de setiembre de 2010.

15

Dado que la estaci´on de Las Brujas se encuentra m´as al sur que la estaci´on de Treinta y Tres, es de esperar que el modelo de d´ıa claro estime menos irradiancia. En efecto, es lo que sucede. En el caso de la localidad de Las Brujas la radiaci´on evoluciona temporalmente desde 2597 kJ/m2 el 29 de agosto hasta 3122 kJ/m2 en el 26 de setiembre. Ambos valores son menores que en el caso de la localidad de Treinta y Tres. Se mantiene tambi´en la tendencia creciente en el tiempo de la irradiancia horaria que es consistente con la e´ poca del a˜no en estudio. Se realizaron varias pruebas m´as en estos sentidos (dependencia espacio-temporal del modelo) y en todos los casos fueron satisfactorias. Si se fija un instante de tiempo dado, se puede generar un ’mapa’ de d´ıa claro sobre el territorio uruguayo. Como no se dispon´ıa de la herramienta GTM (Generic Mapping Tools) al momento de la realizaci´on del presente informe, los ’mapas’ de irradiancia de d´ıa claro fueron generados en Matlab para la regi´on geogr´afica correspondiente al territorio uruguayo. Se utiliz´o una regi´on que comprende el rango de coordenadas [−30o , −35o ] en latitud y [−53o , −59o ] en logitud. En la figura 11 que se muestra a continuaci´on se puden observar el resultados de estos mapas para las 12 del mediod´ıa del 15 de enero y del 15 junio.

(a) 15 de enero.

(b) 15 de junio.

Figura 11: Mapas de d´ıa claro para las 12:00 del mediod´ıa. El primer elemento a observar son los rangos en que var´ıa espacialmente la irradiancia horaria. En el caso del 15 de enero (verano) var´ıa aproximadamente entre 3720 kJ/m2 es la zona noreste a aproximadamente 3630 kJ/m2 en la zona suroeste. Sin embargo, el 15 de junio (invierno) estos valores son sensiblemente menores, variando desde aproximadamente 2050 kJ/m2 a 1650 kJ/m2 . Otro aspecto a observar es la variaci´on espacial del la irradiancia a tiempo fijo. En el caso de 15 de enero la misma es de 100 kJ/m2 aproximadamente a lo largo del territorio, mientras que en el caso del 15 de junio es de 400 kJ/m2 aproximadamente. Este efecto podr´ıa estar explicado por la posici´on del territorio uruguayo respecto al Sol en ambas estaciones, en verano la posici´on de la Tierra es tal que el pa´ıs se encuentra ’de cara’ al Sol y por eso la menor variaci´on espacial en la irradiancia horaria, mientras que en invierno se encuentra en posici´on inversa teniendo entonces una mayor variaci´on espacial de la irradiancia. 16

A tiempo fijo, estos mapas de irradiancia reflejan la modulaci´on polinomial de la distribuci´on espacial de la variable cos θz . Las isol´ıneas de irrandiancia en estos mapas son entonces consecuencia directa de las isol´ıneas de la variable cos θz (puntos del pa´ıs con igual coseno del a´ ngulo cenital) y no deben ser comparadas con las isol´ıneas del actual Mapa Solar del Uruguay. A medida que la Tierra rota, la posici´on relativa del Sol respecto a la Tierra cambiar´a y por lo tanto la distribuci´on espacial de la variable cos θz ser´a variable en el Tiempo seg´un esta posici´on y por ende, sus isol´ıneas. Como consecuencia de esto, los mapas de irradiancia de d´ıa claro tendr´an una variaci´on diar´ıa de sus isol´ıneas siguiendo la modulaci´on polinomial del cos θz . Este punto se profundiza y ejemplifica en la siguiente secci´on.

5.2.

Algunos testeos realizados

Adem´as de los testeos realizados en la secci´on anterior, se hicieron varias pruebas para chequear la consistencia y la coherencia del modelo y el sistema implementado, de las cuales se ejemplifican algunas en esta secci´on. A continuaci´on se muestra la evoluci´on diar´ıa distribuci´on espacial de la variable cos θz con el d´ıa del a˜no fijo.

(a) 09:00.

(b) 11:00.

(c) 13:00.

(d) 15:00.

Figura 12: Distribuci´on espacial de la variable cos θz para el 15 de enero. Los gr´aficos mostrados son para el d´ıa 15 de enero para diferentes horas (09:00, 11:00, 13:00 y 15:00). Como es de esperarse, los valores de cos θz evolucionan dentro de 17

lo esperado. En las horas de la ma˜nana los puntos con cos θz m´as elevado se encuentran al este del pa´ıs y en la horas de la tarde los puntos con cos θz m´as elevado se encuentran al peste del pa´ıs, lo cual es consistente con el sentido de rotaci´on de la Tierra. Si graficamos la irrandiancia que el modelo estima para dichas horas del mismo d´ıa veremos que si bien los valores cambian bastante, la distribuci´on espacial es b´asicamente la misma.

(a) 09:00.

(b) 11:00.

(c) 13:00.

(d) 15:00.

Figura 13: Mapas de d´ıa claro para el 15 de enero. Como se puede apreciar en estas u´ ltimos gr´aficos que aparecen en la figura 13 la irradiancia estimado a tiempo fijo es b´asicamente una modulaci´on de la variable cos θz y si bien los valores son claramente distintos, el comportamiento espacial es similar. Puede observarse tambi´en, que los menores valores de irradiancia horaria son estimados a las 09:00hs aumentando a medida que avanza el d´ıa en los horarios de las 11:00hs y 13:00hs y luego una peque˜na disminuci´on sobre las 15:00hs. Este comportamiento a lo largo del d´ıa es perfectamente consistente con lo esperado. Para finalizar esta secci´on observemos como se comporta la variable cos θz para una misma hora en dos e´ pocas del a˜no distinta. Lo haremos nuevamente para la hora 12:00 de los d´ıas 15 de enero y 15 de junio de modo de poder comparar con los estimativos de irradiancia horaria mostrados en la figura 11 (que son para las mismas fechas y hora). 18

(a) 15 de enero.

(b) 15 de junio.

Figura 14: Distribuci´on espacial de la variable cos θz para las 12:00 del mediod´ıa. Puede observarse notoriamente valores sensiblemente mayores para el coseno del a´ ngulo cenital para las 12:00hs del 15 de enero que para las 12:00hs del 15 de junio. Nuevamente, esto es consistente con la posici´on de la Tierra respecto al Sol.

5.3.

Ajuste por localidad

Como se mencion´o anteriormente, el ajuste del modelo puede realizarse para una localidad en particular. De esta manera se obtendr´ıan valores para los par´ametros {a, b, c} para cada localidad. Si se tuvieran suficientes datos de varias localidades -no s´olo de 3 localidades- se podr´ıa tener este modelo ajustado localmente y luego utlizar las estimaci´on locales para interpolar en el espacio y obtener mapas a tiempo fijo como en el caso de la secci´on anterior. Dado que no se dispone por el momento de la herramienta GMT, la elaboraci´on de este tipo de mapa y su comparaci´on con los mostrados en la subsecci´on 5.1 todav´ıa no se ha llevado a cabo. En el cuadro 4, puede observarse los valores obtenidos para los par´ametros a, b y c ajustando el modelo s´olo para la localidad de Las Brujas. Como se mencion´o anteriormente, el set de d´ıas claros de entrenamiento para esta localidad consta de 32 d´ıas seleccionados. Par´ametro Justus-Tarpley Las Brujas Diferencia % a 0.4147 0.4393 5.9 % b 0.7165 0.7013 2.1 % c -0.3909 -0.3890 0.5 % Cuadro 4: Comparaci´on entre los par´ametros calculados para Las Brujas y los par´ametros dados por Justus-Tarpley.

En la figura 15 que se muestra a continuaci´on, puede observarse el ajuste de los 19

datos al modelo.

Figura 15: Ajuste de par´ametros utilizando los datos de la localidad de Las Brujas. Dado que esta es la localidad para la cual se dispone de mayor cantidad de d´ıas claros seleccionados, el ajuste para esta localidad es mejor que para las dem´as localidades. No s´olo en la similitud de los par´ametros calculados para todo el territorio dados por el cuadro 3, sino con los par´ametros dados por Justus-Tarpley. El ajuste del modelo, como puede ser observado en la figura 15, es bueno. En cambio, para las localidades de Salto y Treinta y Tres se dispone de menos cantidad de datos, e incluso el mayor problema es que la cantidad de datos accesibles no reccore todo el intervalo temporal correspondiente a un a˜no. En el caso de Las Brujas, como los datos son desde febrero de 2010 a setiembre de 2010, gran parte del a˜no es recorrida. Este problema implica que hay algunos valores de cos θz que no son alcanzados por los datos, es decir, los valores de cos θz cercanos a 1. A continuaci´on, en los cuadros 5 y 6, pueden observarse los valores obtenidos para los par´ametros a, b y c para las dos localidades restantes, a saber, Salto y Treinta y Tres. Par´ametro Justus-Tarpley Salto Diferencia % a 0.4147 0.3543 14.6 % b 0.7165 1.1241 56.9 % c -0.3909 -0.8294 19.6 % Cuadro 5: Comparaci´on entre los par´ametros calculados para Salto y los par´ametros dados por Justus-Tarpley.

20

Par´ametro Justus-Tarpley Treinta y Tres Diferencia % a 0.4147 0.4061 2.1 % b 0.7165 0.8367 16.8 % c -0.3909 -0.4965 27.0 % Cuadro 6: Comparaci´on entre los par´ametros calculados para Treinta y Tres y los par´ametros dados por Justus-Tarpley.

Se recuerda adem´as, que se dispone para realizar el entrenamiento de 23 d´ıas claros seleccionados para Salto y 17 para la localidad de Treinta y Tres. En la figura 16, es posible observar el ajuste de los datos seleccionados para estas localidades al modelo.

(a) Salto.

(b) Treinta y Tres.

Figura 16: Ajuste del modelo utilizando s´olo una localidad. Como puede ser observado en estas figuras, el ajuste para estas localidad no es tan bueno. En el caso de Treinta y Tres es consecuencia de la disperci´on de los datos de d´ıa claro, y en el caso de Salto es consecuencia de la escasa cantidad de datos accesibles, y en particular, no existe datos con cos θz > 0,72 para esta localidad.

5.4.

Comparaci´on con irradiancia extraterrestre

Una buena idea es comparar este modelo de d´ıa claro con la irradiancia extraterrestre Io . Es claro que el valor de la irradiancia de d´ıa claro debe ser menor a la irrandiancia extraterrestre y, al tratarse de un modelo de d´ıa claro, deber´ıa acompa˜nar su variaci´on estacional. En base al valor Io puede calcularse un ´ındice de claridad para d´ıa claro como, KT =

I Iest = Io Io 21

(18)

donde es este caso para el valor de I utilizamos la estimaci´on de nuestro modelo de d´ıa claro Iest . En la figura 17 que se muestra a continuaci´on puede observarse una comparaci´on entre la salida del modelo de d´ıa claro y la irradiancia extraterrestre. La comparaci´on se realiza para la localidad de Las Brujas, utilizando el modelo entrenado para los datos de todo el territorio (a, b y c extra´ıdos del cuadro 3), para el per´ıodo desde el 30 de agosto de 2010 hasta el 28 de setiembre de 2010.

Figura 17: Comparaci´on entre la estimaci´on del modelo de d´ıa claro y la irradiancia extraterrestre para la localidad de Las Brujas en el per´ıodo desde el 30 de agosto hasta el 28 de setiembre.

Muchas observaciones pueden ser realizadas sobre esta u´ ltima figura. La primera es que el modelo de d´ıa claro sigue perfectamente la evoluci´on de la irradiancia extraterrestre a menos de un cambio en el valor de la irradiancia, pero la forma es la misma. El cambio en los valores de irrandiacia viene dado por la radiaci´on reflejada y absorvida en la atm´osfera, al tratarse de un d´ıa claro se asume que est´a radiaci´on es mayormente directa. Es claro que el modelo de d´ıa claro estima menos radiaci´on en todos los casos que la irradiancia extraterrestre. Por otro lado, tanto la irradiancia extraterrestre como el modelo aumentan la estimaci´on de su radiaci´on conforme avanza el a˜no, nuevamente, este resultado es claramente esperado debido a la e´ poca del a˜no de estudio. Finalmente, la ’altura’ relativa entre ambos gr´aficos parece mantenerse constante sin grande variaciones a los largo del a˜no. Esto podremos estudiarlo de mejor manera al observar la variaci´on del ´ındice de claridad definido en la ecuaci´on 18 en este per´ıodo. En la figura 18 que se muestra a continuaci´on puede ser observado el ´ındice de claridad para le mismo per´ıodo del a˜no que el gr´afico 17 y para la misma localidad (Las Brujas), utilizando el modelo entrenado con el set completo de datos (los d´ıas claros seleccionados para todas las localidades). 22

Figura 18: Comparaci´on entre la estimaci´on del modelo de d´ıa claro y la irradiancia extraterrestre para la localidad de Las Brujas en el per´ıodo desde el 30 de agosto hasta el 28 de setiembre.

Como se puede observar en esta u´ ltima figura, el ´ındice de claridad crece velozmente el la ma˜nana hasta situarse en un valor relativamente estable durante el d´ıa y luego decrece r´apidamente. El valor en que parece mantenerse estable durante el d´ıa ronda el valor KT ≈ 0,73 y adem´as parece manterse estable a lo largo del tiempo. Este valor para el ´ındice de claridad KT es un valor razonable para el mismo, lo normal es que dicho valor se mantenga en el rango [0,6; 0,8]. Este par´ametro depende principalmente de condiciones atmosf´ericas de la zona geogr´afica de inter´es. El la siguiente secci´on se puede constatar lo mencionado respecto a la variabilidad temporal de este par´ametro.

5.5.

Variaci´on estacional

Como es sabido, la irradiancia extraterrestre tiene una variaci´on estacional. Dado que nuestro modelo de d´ıa claro deber´ıa seguir el comportamiento de la irradiancia extraterrestre a menos de la reflecci´on y absorci´on en la atm´osfera, es de esperar que la estimaci´on brindada por el modelo de d´ıa claro tenga tambi´en una variaci´on estacional. Evaluando el modelo para el per´ıodo de tiempo de datos disponibles de la localidad de Las Brujas se obtiene el resultado que se muestra en la figura ??. El gr´afico corresponde al modelo ajustado con los datos proveniente de d´ıas claros de todas las localidades de trabajo. El eje temporal del gr´afico comienza en el inicio del mes de febrero y termina al final del mes de setiembre. Lo graficado es la salida del modelo en irradiancia horaria y visto en zoom out. Como se puede apreciar claramente, los picos de irrandiancia de

23

la estimaci´on realizada por el modelo de d´ıa claro ajustado tienen la variaci´on estacional esperada, registrando menor irradiancia de pico en invierno y aumentando hacia el verano.

Figura 19: Variaci´on estacional de la estimaci´on. A continuaci´on se muestra un gr´afico similar pero para el ´ındice de claridad KT .

Figura 20: Ajuste de par´ametros utilizando los datos de la localidad de Las Brujas. 24

El per´ıodo de tiempo en ambos gr´aficos es el mismo. En la figura ?? puede observarse como el ´ındice de claridad KT se mantiene aproximadamente constante a lo largo del a˜no -o al menos, durante el per´ıodo mostrado-, registrando leves variaciones estacionales en el rango ≈ [0,70; 0,73].

6.

Conclusiones

Para finalizar, y a modo de resumen, expondremos en esta secci´on algunas conclusiones del presente trabajo y tambi´en trabajo futuro continuando esta l´ınea de trabajo.

6.1.

Conclusiones del trabajo

Durante el presente trabajo se logr´o entender, implementar y testear una subparte del modelo completo de Justus-Tarpley que puede ser entendida como un modelo de d´ıa claro. En base a los datos disponibles se logr´o ajustar un modelo de d´ıa claro para el territorio uruguayo. Este trabajo representa una primer etapa previo a la implementaci´on completa del modelo de Justus-Tarpley, no obstante, se logr´o obtener un ’mapa’ de d´ıa claro para el territorio uruguayo con dependencia espacio-temporal. El proceso de ajuste implementado permite f´acilmente obtener dos objetivos: incluir con pocas modificaciones el modelo completo agragando el par´ametro d y trabajar con alguna otra norma ponderadora para la minimizaci´on en caso de que se considere conveniente a medida que se vayan obteniendo m´as datos. Adem´as, esto modelo funciona en base a ajustar una serie de par´ametros en base a una estad´ısitica, el software implementado permite sencillamente ingresar m´as estad´ıstica al sistema de forma de obtener mejores ajustes. El modelo respondi´o razonablemente a todos los tests realizados sobre el. Tanto los valores de los estimativos de irrandiacia y las variaciones temporales y espaciales de la variable cos θz fueron razonables con lo esperado y evolucionaron de manera adecuada a lo largo de todas las pruebas realizadas. Tambi´en las comparaciones realizadas con la irradiancia extraterrestre fueron consistentes, y el ´ındice de claridad obtenido se encuentra dentro de los m´argenes aceptados. El ajuste realizado concuerda muy bien con el ajuste que hiciera Justus-Tarpley en [Tar86]. Tanto las gr´aficas de ajuste como el valor de los par´ametros obtenidos concuerdan de buena manera con el mencionado trabajo.

6.2.

Trabajo a futuro

Como primer paso de manera de generar mapas de d´ıa claro, se debe integrar este trabajo con la herramienta GMT de forma de generar mapas con el contorno del territorio uruguayo en el. Realizar esto es algo bastante directo una vez accesible el software GMT debido a que las grillas de puntos de los mapas aqu´ı mostrados est´an georreferenciadas. Tambi´en utilizando la herramienta GMT se puede realizar pruebas sobre el enfoque de hacer los ajustes de los par´ametros localmente en el territorio y interpolarlo en el espacio. Esta, quiz´a, sea una mejor estrategia para el modelo completo y no para el submodelo de d´ıa 25

claro. A medida que vayan surgiendo datos los mismo deben ser integrados al ajuste para mejorar la estimaci´on de los par´ametros. Adem´as, se deben analizar las otras series de datos disponible de forma de evaluar su integraci´on al set de datos. Ser´ıa muy beneficioso contar con series de otras localidades de modo de agregar informaci´on espacial al modelo ajustado. En camino de buscar una explicaci´on para la rotaci´on de las isol´ıneas en el Mapa Solar del Uruguay, una idea a futuro que se estima pueda dar sus frutos es promediar temporalmente estos mapas durante el transcurso de un mes. Este promedio debe realizarse adecuadamente, se debe acumular las distribuciones espaciales de los valores de irrandiancia a lo largo de un d´ıa en intervales de tiempo adecuados (para evitar solapamiento) y luego promediar el mapa resultante a lo largo de un mes. Finalmente, un trabajo a futuro evidente continuando est´as l´ıneas de trabajo es elaborar el modelo completo de Justus-Tarpley incluyendo la informaci´on proveniente de las im´agenes de sat´elite.

26

A.

C´alculos

En esta secci´on detallaremos los c´alculos necesarios para, partiendo de las ecuaciones que se muestran en la ecuaci´on 15, llega al sistema de ecuaciones final que aparece en la ecuaci´on 16. Partiendo del sistema de ecuaciones que se muestra a continuaci´on (que es el mismo de la ecuaci´on 15),  r 2 X ∂ELM S 0 = −2 (Idata − I) Isc cos θz = 0 ∂a r Ω  r 2 X ∂ELM S 0 = −2 (Idata − I) Isc cos2 θz = 0 ∂b r Ω  r 2 X ∂ELM S 0 = −2 (Idata − I) Isc cos3 θz = 0 ∂c r Ω

(19)

se puede despejar para obtener,  r 2 X  r0  2 X 0 I cos θz = cos θz Idata r r Ω  Ω  r 2 X X r0 2 0 2 cos θz = Idata cos2 θz I r r Ω Ω  r 2  r 2 X X 0 0 3 Idata I cos θz = cos3 θz r r Ω Ω

(20)

Los t´erminos de la derecha no dependen de ninguna de las variables {a, b, c} y en efecto son n´umeros una vez computada la suma. Estos tres n´umeros definen el vector b. Los t´erminos de la izquierda son los que generan el sistema de ecuaciones Isc Ap con p = (a, b, c)T . Como I es de la forma mostrada en la ecuaci´on 9 e Isc es una constante real, estas ecuaciones pueden escribirse como,  X  r0  2 X  r0 2
 r0  2 2  cos θz = Isc cos θz a + b cos θz + c cos θz cos θz  I   r r r   Ω  Ω       X X  2 2 2
r0 r0 r0 2 2 2 I cos θz = Isc cos θz a + b cos θz + c cos θz cos θz = Isc A p r r r  Ω Ω   X  r0 2 X  r0  2
 r0  2   I cos3 θz = Isc cos θz a + b cos θz + c cos2 θz cos3 θz    r r r Ω

Ω

(21) donde A es una matriz 3 × 3 autoadjunta de la siguiente forma,





a1 a2 a3 A =  a2 a3 a4  a3 a4 a5

−→

X  r0 4

cos2 θz r Ω  X r0 4 a2 = cos3 θz r Ω  X r0 4 a3 = cos4 θz r Ω a1 =

X  r0 4

cos5 θz r Ω  X r0 4 a5 = cos6 θz r Ω a4 =

(22) 27

Como ya se mencion´o anteriormente, el vector b queda de la siguiente manera:  r 2 X 0 b1 = Idata cos θz r   Ω  r 2 b1 X 0 cos2 θz b = I   2 data b2 b= (23) −→ r Ω b3  r 2 X 0 b3 = Idata cos3 θz r Ω Obteni´endose finalmente el sistema Isc A p = b que se muestra en la ecuaci´on 16.

Bibliograf´ıa [Aba10] G. Abal - Fundamentos de Energ´ıa Solar, Unidad I: Radiaci´on Solar. Facultad de Ingenier´ıa, Universidad de la Rep´ublica, Uruguay. Version 1.0, 2010. [Duf91] J. A. Duffie, W. A. Beckman - Solar Engineering of Thermal Processes. John Wiley & Sons, second edition, 1991. [Tar79] J. D. Tarpley - Estimationg incident Solar radiation at the surface from geostationary satellite data. Journal of applied Meteorology and Climatology, 1979. [Tar86] J. D. Tarpley, C. G. Justus, M. V. Paris - Satellite-Measured Insolation in the United States, Mexico, and South America. Remote Sensing of Environment 20, Elseiver, 1995.

28