´ a la Investigacion ´ Proyecto de Iniciacion

Estudio comparativo de diferentes tipos de agujeros negros Por

Jose Mar´ıa P´erez Poyatos

Tutor Bert Janssen ´ Departamento de F´ısica Teorica y del Cosmos Universidad de Granada Julio de 2016

Imagen tomada de la pel´ıcula Interstellar

Resumen ´ Los agujeros negros son una de las m´as exoticas e interesantes soluciones que pueden ser ´ de Schwarzsobtenidas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein. De hecho, la solucion ´ exacta obtenida de estas ecuaciones, unas ecuaciones que el mismo child fue la primera solucion Albert Einstein pensaba que jam´as ser´ıan resueltas. Los agujeros negros han sido estudiados durante mucho tiempo por cient´ıficos tan importantes como pueden ser Stephen Hawking o Roger Penrose, contribuyendo enormemente en este campo e incluso descubriendo algunas de las propiedades cu´anticas de estos objetos. El hecho de que tengan un punto singular en su interior, donde la curvatura se hace infinita y las ecuaciones pierden su validez completamente, suscita inter´es incluso hoy en d´ıa, ya que la gravedad parece ser imparable y ninguna fuerza conocida es capaz de oponerse a ella para llegar a un estado estable sin singularidad. En este proyecto es´ tudiaremos los agujeros negros que historicamente han sido importantes por diversas razones, como el ya mencionado agujero negro de Schwarzschild, con el cual estableceremos el procedimiento seguido en el resto de apartados para estudiar la estructura causal de los diferentes casos que trataremos. Todos los casos estudiados tienen un alto grado de simetr´ıa, con lo cual pueden ser abordados de una forma relativamente sencilla con unos conocimientos m´as o menos b´asicos sobre F´ısica y Geometr´ıa Diferencial. Tambi´en estudiaremos espacios que no presentan un agujero negro, como son los espacios de De Sitter y de anti-De Sitter, para conocer sus principales propiedades para luego, posteriormente. s´ı introducir un agujero negro de tipo Schwarzschild y estudiar unas estructuras causales que no suele ser frecuente encontrar en la bibliograf´ıa.

´ Indice 1. Introduccion ´ y motivacion ´ del proyecto

4

2. Agujero negro de Schwarzschild

7

´ de la solucion ´ 2.1. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

´ de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Estudio de los horizontes de la solucion

8

´ de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Estructura causal de la solucion

9

2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. Agujero negro de Reissner-Nordstrom ¨

14

´ de la solucion ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1. Formalismo de Palatini y derivacion ´ de Reissner-Nordstrom ¨ 3.2. Estudio de los horizontes de la solucion . . . . . . . . . . . . 17 3.3. Estructura causal de las diferentes soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¨ subextremal . . . 18 3.3.1. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom ¨ extremal . . . . . 22 3.3.2. Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom 4. Espacio de De Sitter

26

´ de la solucion ´ 4.1. Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ´ de De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2. Estructura causal de la solucion 4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5. Espacio de Anti De Sitter

31

´ de anti De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.1. Estructura causal de la solucion 5.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 6. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter

35

´ de Schwarzschild De Sitter . . . . . . . . . . 35 6.1. Estudio de los horizontes de la solucion √ 6.2. Caso subextremal R0 > 3 3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2.1. Estructura causal del caso subextremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 √ 6.3. Caso extremal R0 = 3 3M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.1. Estructura causal del caso extremal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3.2. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7. Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sitter

43

´ de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . 43 7.1. Estudio de los horizontes de la solucion ´ de Schwarzschild Anti De Sitter . . . . . . . . . . . . 44 7.2. Estructura causal de la solucion 7.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8. Conclusiones finales

48

9. Bibliograf´ıa

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1

1.

´ Y MOTIVACION ´ DEL PROYECTO INTRODUCCION

4

Introduccion ´ y motivacion ´ del proyecto

Antes de estudiar los diferentes tipos de agujeros negros, debemos conocer las matem´aticas que se esconden tras ellos y las ideas b´asicas que sustentan la teor´ıa de la Relatividad General. Para empezar, las ecuaciones de campo de Einstein en unidades tales que c = 1: 1 Rµν − Rgµν = −8πGTµν 2

(1.1)

son unas ecuaciones tensoriales. Esto es as´ı debido al Principio de Covariancia Generalizado, que ´ observador privilegiado y que las leyes de la f´ısica han de escribirse nos dice que no hay ningun de id´entica forma en todos los sistemas de referencia, tanto inerciales como no inerciales, es por ello que nuestras ecuaciones deben escribirse en t´erminos de objetos que transformen bien ante cambios de coordenadas, y estos son escalares, vectores y tensores. Por otro lado, estas ecuaciones ´ del campo gravitamanifiestan “la idea m´as feliz de la vida de Einstein”, que fue la identificacion torio con la geometr´ıa del espacio, por lo que gravedad y geometr´ıa depend´ıan ´ıntimamente una ´ el cual observadores en de otra, lo que es una consecuencia del Principio de Equivalencia, segun ca´ıda libre en un campo gravitatorio son localmente equivalentes a observadores en el vac´ıo. Es por ello, que sus ecuaciones de campo deb´ıan relacionar la geometr´ıa del espacio con las fuentes de campo gravitatorio, que son la masa (como en la teor´ıa newtoniana) y adem´as, la energ´ıa, que es una de las grandes lecciones de la Relatividad Especial, y es que masa y energ´ıa son las dos ´ donde aparece caras de una misma moneda. Esto es lo que refleja la parte derecha de la ecuacion, ´ del contenido energ´etico de la el tensor de energ´ıa-momento, que contiene toda la informacion ´ estudiada. En la parte izquierda de la ecuacion, ´ tenemos el tensor de Ricci que a su vez solucion ´ del tensor de Riemann, que refleja la geometr´ıa del espacio; el escalar de Ricci, que es contraccion es la traza del tensor de Ricci; y la m´etrica, que es lo que buscamos al resolver estas ecuaciones. A pesar de que a priori, esos tres objetos no est´an relacionados, lo est´an ´ıntimamente a trav´es ´ La conexion ´ es un objeto matem´atico no tensorial que nos indica como ´ de la conexion. cambia un vector de un espacio tangente a otro al hacer transporte paralelo en la variedad, y es que los vectores viven en los espacios tangentes a las variedades.Y es que en una variedad arbitraria, los espacios tangentes cambian de punto a punto. Necesitamos un representante de un vector dado perteneciente a un espacio tangente en otro espacio tangente, y la forma de hacerlo es gracias a la ´ La conexion, ´ a priori, es totalmente arbitraria: diferentes conexiones, nos dar´an diferenconexion. ´ preferida, que posee la importante cualidad tes nociones de curvatura. Pero existe una conexion de que se relaciona con la m´etrica de la forma: Γµν = ρ

 1 ρλ  g ∂µ gλν + ∂ν gµλ − ∂λ gµν , 2

(1.2)

donde asumimos el convenio de ´ındices repetidos de Einstein; un mismo ´ındice arriba y abajo ´ significa sumatorio sobre todos los valores que pueda tomar dicho ´ındice. Esta en una expresion ´ cumple las siguientes dos propiedades: conexion Tµν = Γµν − Γνµ = 0 ρ

ρ

ρ

;

∇µ gνρ = 0

(1.3)

´ es nulo, y por ende, la conexion ´ es sim´etrica. La primera de ellas nos dice que el tensor de torsion La consecuencia geom´etrica de este hecho, es que el cuadril´atero formado por dos vectores, haciendo transporte paralelo de ambos, es cerrado. La segunda, nos dice que la derivada covariante ´ con la subida y bajada de ´ındide la m´etrica es nula, por lo que podemos conmutar la derivacion

5

1

´ Y MOTIVACION ´ DEL PROYECTO INTRODUCCION

´ que se realiza con el tensor m´etrico. A partir de la conexion, ´ podemos definir el ces, operacion tensor de Ricci λ Rµν = Rµλν = ∂µ Γλλν − ∂λ Γλµν + Γλµσ Γσλν − Γλλσ Γσµν ,

(1.4)

´ aparecen ecuaciones diferenque tambi´en est´a relacionado con la m´etrica, de tal forma que solo ciales de segundo orden para la e´ sta, que era otro de nuestros objetivos, ya que las ecuaciones diferenciales en f´ısica son siempre de segundo orden dado que siempre tenemos dos condiciones de contorno. Como podemos ver, estas ecuaciones van a ser altamente no lineales, lo que va a hacer que no se conozcan soluciones generales a las mismas. En este proyecto, vamos a tratar con agujeros negros, que son soluciones exactas de la ecuaciones de campo de Einstein. Son objetos en cuyo interior se encuentra una singularidad f´ısica, es decir, un punto del espacio- tiempo en el que las ecuaciones se desmoronan y donde tenemos una curvatura infinita. Esta singularidad est´a aislada del resto del espacio-tiempo por un horizonte de sucesos, lugar a partir del cual, una vez cruzado, no hay retorno, ya que ni siquiera la luz es capaz de ´ salir. Existen soluciones sin horizonte, pero nosotros aplicaremos la hipotesis de censura c´osmica ´ la cual estos objetos no existen en la propuesta por el f´ısico matem´atico Roger Penrose, segun naturaleza. Como hemos dicho, en nuestras soluciones van a aparecer singularidades, es decir, puntos del espacio-tiempo donde alguna de las componentes de la m´etrica va a divergir, y conviene distinguir los dos casos posibles: • Singularidades f´ısicas: son lugares del espacio-tiempo donde la curvatura se hace infinita y nuestras ecuaciones no son v´alidas ah´ı. • Singularidades de coordenadas: son aquellas que aparecen por usar un sistema coordenado concreto. Un cambio de coordenadas la hace desaparecer o bien la lleva a otro punto que antes del cambio de coordenadas era completamente regular. Un ejemplo ser´ıa el origen en coordenadas polares planas. En nuestro estudio, van a aparecer diferentes tipos de geod´esicas, que son las l´ıneas que las part´ıculas libres siguen por la variedad. Los dos tipos de geod´esicas que vamos a encontrarnos son los siguientes: • Geod´esicas nulas: son las trayectorias que siguen los rayos luminosos. La norma de sus vectores tangentes es nula, lo que equivale a decir que gµν x˙ µ x˙ ν = 0 • Geod´esicas temporales: son las trayectorias que siguen las part´ıculas materiales. La norma de sus vectores tangentes es la unidad gµν x˙ µ x˙ ν = 1. En nuestro estudio, supondremos simetr´ıa esf´erica y estaticidad. La simetr´ıa esf´erica hace que nos ´ radial, pudiendo baste con estudiar las geod´esicas radiales, que son aquellas que van en direccion ser entrantes o salientes.. La estaticidad consiste en la invariancia de la m´etrica ante inversiones ´ de la energ´ıa por unidad de masa a lo largo de temporales, y ser´a la causante de la conservacion ´ que se plantea de la forma gtt t˙ = E. las geod´esicas, ecuacion Estudiar agujeros negros consiste en conocer la estructura causal de los mismos, que es el conjunto de puntos que pueden influenciar a otros, este es el motivo por el cual estudiamos el comportamientos de las geod´esicas, ya que conociendo las trayectorias de los rayos luminosos podemos

1

´ Y MOTIVACION ´ DEL PROYECTO INTRODUCCION

6

conocer el cono de luz futuro de cualquier observador en cualquier lugar. Esto es importante, ya ´ la Relatividad Especial, un observador se mueve dentro de su cono de luz futuro y que segun no puede salir de e´ l, ya que eso supondr´ıa velocidades superiores a la de la luz. En Relatividad Especial, los conos de luz eran de la forma: Figura 1: Conos de luz en Relatividad Especial

Veremos que en un espacio curvo, la variedad de conos que aparecen es bastante m´as amplia e ´ ya que variar´an de un punto a otro precisamente por la interpretaremos su forma y orientacion, curvatura. Lo importante es que el tiempo dentro de un cono de luz siempre va sobre la bisectriz que pasa sobre su v´ertice, por lo que un observador en reposo se mover´a en estos diagramas a lo largo de dicha bisectriz. ´ que nos lleva a estudiar estos objetos es la siguiente: La motivacion • Como hemos mencionado antes, son soluciones exactas a las ecuaciones de Einstein. Como mencion´abamos al principio, el propio Einstein pensaba que no podr´ıan obtenerse de sus ecuaciones soluciones exactas. En concreto, las que estudiaremos aqu´ı presentan mucha simetr´ıa. • Esta simetr´ıa es la que hace que se puedan obtener de una forma relativamente sencilla y siguiendo el proceso presentado aqu´ı. ´ ´ Universal de Newton no pod´ıa, • Historicamente, han resuelto problemas que la Gravitacion ´ del perihelio de Mercurio y dan correcciones de orden superior a las tracomo la precesion yectorias predichas por Newton. ´ • Una de ellas es posible que represente nuestro universo en el futuro: se trata de la solucion de De-Sitter. • Han cambiado nuestra forma de entender el espacio el tiempo, haciendo que ambos sean din´amicos e intercambiables y no meros espectadores como lo eran para la mec´anica newtoniana.

7

2.

2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

Agujero negro de Schwarzschild

´ exacta de las ecuaciones de Einstein y es una de Este tipo de agujero negro, fue la primera solucion ´ de las ecuaciones en el vac´ıo y fue la solucion ´ que las m´as sencillas de encontrar. Es una solucion ´ del perihelio del planeta Mercurio, ya que las ecuaciones de determino´ correctamente la precesion Newton no eran capaces de ello.

2.1.

Derivacion ´ de la solucion ´

Las ecuaciones de Einstein 1 Rµν − Rgµν = −8πGTµν 2 en ausencia de materia y energ´ıa, hacen que el tensor de energ´ıa-momento sea nulo por lo que: Tµν = 0. ´ de Einstein de la forma: Quedando la ecuacion 1 Rµν − Rgµν = 0. 2 Si multiplicamos por la m´etrica inversa y operamos podemos despejar el escalar de Ricci:  g

µν

1 Rµν − Rgµν 2



= R − 2R = 0 ⇒ R = 0.

´ de Einstein sin traza queda mucho m´as sencilla: El escalar de Ricci es nulo y la ecuacion Rµν = 0. ´ as´ı, es muy complicado resolver esta ecuacion ´ tensorial de forma general, por lo que vamos Aun a proponer un Ansatz, es decir, una forma para la m´etrica que contemple todas las caracter´ısticas ´ es decir, buscamos una solucion ´ que sea esf´ericamente sim´etrique buscamos de nuestra solucion, ca y est´atica. Por ello buscamos una m´etrica con la forma: ds2 = e2A(r) dt2 − e2B(r) dr2 − r2 dΩ22 donde A y B son funciones dependientes de la coordenada radial y que hemos de determinar y dΩ22 = dθ 2 + sin2 θdϕ2 es el elemento de l´ınea de la 2-esfera. Esta m´etrica tiene todas las carac´ depende del modulo ´ ter´ısticas que buscamos, ya que solo de la distancia, siendo esf´ericamente sim´etrica, es decir, invariante ante rotaciones SO (3), y la estaticidad est´a asegurada debido a que ninguna componente depende de la coordenada temporal y no hay t´erminos cruzados que involucren al tiempo. ´ a partir Con esta m´etrica, tenemos que calcularnos los s´ımbolos de Christoffel usando su definicion de las componentes de la m´etrica 1.2. Los s´ımbolos no triviales son los siguientes:

2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

  Γttr = A0       Γ r = e 2( A − B ) A 0    tt Γrrr = B0      Γrθθ = −re−2B      r Γ ϕϕ = −re−2B sin2 θ

8

θ = r −1 Γrθ

Γθϕϕ = − sin θ cos θ Γrϕ = r −1 ϕ

Γθ ϕ = cot θ ϕ

´ tenemos que que nos servir´an para el resto de los casos que vamos a estudiar. A continuacion ´ de los s´ımbolos de Christoffel tiene la forma 1.4, y cuyas calcular el tensor de Ricci, que en funcion componentes no nulas son  h i 2   Rtt = −e2( A− B) A00 + ( A0 ) − A0 B0 + 2r −1 A0            2   R = A00 + ( A0 ) − A0 B0 − 2r −1 B0   rr

(2.1)

     Rθθ = e−2B [rA0 − rB0 + 1] − 1             R = sin2 (θ ) R ϕϕ θθ

Ahora debemos imponer que se cumplan las ecuaciones de Einstein, es decir, debemos igualar todos los t´erminos del tensor de Ricci a cero Rµν = 0. El sistema de ecuaciones diferenciales que tenemos parece sobredeterminado, ya que tenemos dos ´ funciones incognita y cuatro condiciones, pero unas ecuaciones son linealmente dependientes de otras. Resolviendo el sistema, obtenemos que la forma expl´ıcita de nuestra m´etrica es ds2 =

 1−

2M r



  2M −1 2 dt2 − 1 − dr − r2 dΩ22 . r

(2.2)

Trivialmente se comprueba que las componentes de esta m´etrica cumplen todas las ecuaciones diferenciales que ten´ıamos arriba. Las coordenadas {t, r, θ, ϕ}, son λας empleadas por un observador que se encuentre en el infinito. Estas coordenadas, que son las que usaremos inicialmente en todos los casos estudiados aunque variando el observador que las emplea, se denominan coordenadas de Schwarzschild. La m´etrica, as´ı presentada, representa el campo gravitatorio creado por una masa puntual m =

2.2.

M G

situada en r = 0.

Estudio de los horizontes de la solucion ´ de Schwarzschild

La m´etrica presenta varios puntos donde algunas componentes divergen o van a cero. No nos de´ t´ermino del elemento de l´ınea de la 2-esfera sea nulo, ya tendremos en los que hacen que algun que eso es un artefacto de usar coordenadas esf´ericas, y un simple cambio a coordenadas cartesianas los har´ıa desaparecer. Fij´andonos en la componente gtt de la m´etrica, es decir, su componente temporal, vemos que e´ sta se anula en r = 2M y que diverge para r = 0. Tenemos que ver si se tratan de singularidades f´ısicas o de coordenadas. Para la singularidad en r = 0 , calculamos el ´ por ser invariante de curvatura de Kretschmann, ya que cualquier otro es nulo por construccion, el tensor de Ricci nulo. Estos invariantes se construyen debido a que todos los observadores van a ´ es que si encontramos un invariante que obtener el mismo valor, por ser escalares. La otra razon, diverja en el punto considerado, entonces tenemos asegurado que ese punto es una singularidad

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2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

de tipo f´ısico. Rµνρλ Rµνρλ =

48M2 r6

De forma inmediata vemos que este invariante de curvatura diverge en r = 0 y que es totalmente regular en r = 2M, lo cual quiere decir que en r = 0 tenemos una singularidad f´ısica y que la curvatura en ese lugar es, de hecho, infinita. El hecho de que este invariante no diverja en r = 2M, no nos dice nada acerca del car´acter de esta singularidad. Veamos si con el cambio de coordenadas adecuado somos capaces de ver que se trata de una singularidad de coordenadas. Esto es general, dada una m´etrica esf´ericamente sim´etrica y est´atica, los horizontes se encuentran en aquellos puntos que hagan que la componente gtt de la m´etrica se anule, y esto ser´a lo que apliquemos a lo largo de todo el proyecto.

2.3.

Estructura causal de la solucion ´ de Schwarzschild

´ implica conocer las trayectorias de los fotones y de Estudiar la estructura causal de una solucion, las part´ıculas materiales, lo que equivale a calcular las geod´esicas nulas y temporales, respectivamente, del espacio, que son las trayectorias seguidas por las part´ıculas libres que se mueven por la variedad. Comenzamos calculando las geod´esicas radiales nulas gµν x˙ µ x˙ ν = 0, es decir, el vector tangente a ´ obtenemos las mismas es un vector nulo por tener norma nula. Con esta ecuacion   1 r 2M dt =± = ± 1 + = ± dr r − 2M r − 2M 1 − 2M r

que integrando, nos da la forma expl´ıcita de las geod´esicas radiales nulas t = ± (r + 2M ln |r − 2M |) + C0 .

El signo positivo nos indica las geod´esicas salientes, es decir, que parten hacia el infinito desde un ´ punto y el signo negativo las geod´esicas entrantes, las que llegan del infinito al punto en cuestion. ´ vamos a dibujar un diagrama de conos de Para visualizar mejor la estructura causal de la solucion ´ luz. Este se construye de tal manera que se dibujan las geod´esicas entrantes y las salientes y vemos los puntos donde intersectan. Una vez determinados esos puntos, dibujamos las l´ıneas tangentes ´ Con este diagrama podemos ver los horizontes a ambas geod´esicas en los puntos de interseccion. y las influencias causales que cualquier punto puede ejercer sobre otro. En este caso, los conos de luz son:

2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

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´ de Schwarzschild Figura 2: Conos de luz de la solucion

´ se aproxima a lo visto en Relatividad Especial En este diagrama podemos apreciar que la solucion (recordemos los conos de luz de la Figura 1) cuando nos alejamos del horizonte, ya que los conos ´ de luz no est´an inclinados y presentan un v´ertice de 90º. M´as proximo al horizonte, los conos de luz comienzan a estrecharse, lo cual es indicativo de que a las geod´esicas les es m´as dif´ıcil salir de esa zona. Los conos de luz est´an totalmente cerrados en el horizonte, lo cual nos indica que los rayos de luz no son capaces de salir de esa zona para llegar al infinito ni son capaces de cruzarla para llegar al interior del horizonte, Pero veremos que esto es una consecuencia de las coordenadas empleadas. ´ vamos a ver que la superficie r = 2M es una superficie de corrimiento infinito A continuacion hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito. Para ello suponemos r = const en la m´etrica 2.2 dτ 2 =

 1−

2M r



dt2

e integramos r ∆τ =

1−

2M ∆t r

(2.3)

˜ al observador en el infinito de periodo ∆τ. Supongamos que el observador cayente env´ıa una senal Este periodo y el que medir´a el observador que se qencuentra en el infinito ∆t, est´an relacionados 1−

a trav´es de 2.3. Justo en el horizonte, el t´ermino

2M r

´ es nulo, por lo que la unica forma de

que ∆τ sea finito es que ∆t sea infinito, con lo cual, lo que mide el observador en el infinito es ˜ tiene un periodo infinito, o lo que es lo mismo, un corrimiento al rojo infinito. Este que esta senal ´ observador jam´as ver´a al observador cayente atravesar el horizonte, ya que su unica manera de ˜ comunicarse es a trav´es de senales luminosas y estas, como hemos visto, no son capaces de llegar desde el horizonte al infinito en un tiempo finito. Veamos ahora qu´e es lo que ocurre con las geod´esicas radiales temporales, que se calculan de la siguiente forma:   gµν x˙ µ x˙ ν = 1         1−

2M r



t˙ = 1.

´ imponemos que la geod´esica es temporal, ya que el vector tangente tiene Con la primera ecuacion

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2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

´ impone que la part´ıcula cae desde el infinito con velocidad norma unidad. La segunda ecuacion dt dτ

= 1, es decir, los tiempos transcurren de la misma forma para el observador que cae y para el observador que se ´ encuentra en el infinito: estamos diciendo que no tenemos efectos relacionados con la dilatacion ´ de la energ´ıa del tiempo de la Relatividad Especial y a su vez estamos imponiendo la conservacion por unidad de masa de la part´ıcula que sigue dicha geod´esica, algo que podemos hacer debido a ´ Combinando ambas ecuaciones, obtenemos la estaticidad de la solucion.

nula, ya que haciendo que la coordenada radial tienda a infinito, tenemos que

dr =± dτ

r

2M r

que integrando para las geod´esicas entrantes 1 τ= 3

r

 2  3/2 r0 − r3/2 M

Es decir, una part´ıcula que parta desde una distancia r0 de la singularidad, llegar´a a ella en un tiempo propio (tiempo medido por el observador que cae) finito. Si las geod´esicas radiales temporales pueden cruzar el horizonte, no hay motivo por el cual las nulas no sean capaces de hacerlo. Para solucionar esta discrepancia y ver que la singularidad en r = 2M es una singularidad de coordenadas, construimos las coordenadas de Eddington-Finkelstein (E-F) avanzadas, que se construyen a partir de las geod´esicas radiales nulas: t˜ = t + 2M ln |r − 2M |

Estas coordenadas, est´an pensadas para estudiar qu´e es lo que ocurre en el interior del horizonte. Con estas nuevas coordenadas, las geod´esicas radiales nulas toman la forma   ˜  t = −r + C0 

entrantes

   t˜ = r + 4M ln |r − 2M| + C

0

salientes

y que la m´etrica que ten´ıamos en un comienzo sea ds2 =

 1−

2M r



dt˜2 −

  4M ˜ 2M dtdr − 1 + dr2 − r2 dΩ22 r r

(2.4)

La componente temporal de la m´etrica se sigue anulando en el horizonte, pero el determinante se puede calcular en este caso. Un hecho evidente es que ha aparecido un t´ermino cruzado dt˜dr que nos rompe la estaticidad de la m´etrica. Nos ocuparemos de ello m´as adelante. Construimos el diagrama de conos de luz en estas coordenadas:

2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

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Figura 3: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas

donde podemos ver que las geod´esicas entrantes pueden cruzar el horizonte que era lo que esper´abamos, pero las salientes del interior no pueden hacerlo, confirmando que esta zona es una zona de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador situado en el infinito. Por lo tanto, ˜ puede salir al exterior y todo lo que tenemos un horizonte de sucesos en el que ninguna senal entra est´a inevitablemente destinado a caer en la singularidad, ya que e´ sta se encuentra en el futuro de cualquier observador del interior al horizonte, como pudimos ver al calcular las geod´esicas ´ que presentan los radiales temporales y como podemos ver en este diagrama al ver la inclinacion ´ de los coconos de luz, ya que estos apuntan hacia la singularidad. Es debido a esta inclinacion nos de luz por lo que es imposible quedarse a una distancia constante de la singularidad, ya que ´ de la bisectriz de su v´ertice. recordemos que el tiempo en un cono de luz corre en la direccion Viendo la m´etrica 3.6, al entrar en el horizonte cambian los signos de las componentes temporal y espacial , invirtiendo la coordenada radial y temporal sus papeles. Estar a una distancia constante equivaldr´ıa a parar el transcurrir del tiempo, lo cual es imposible. Finalmente, esta singularidad f´ısica es de tipo espacial, ya que como hemos calculado, se encuentra en el futuro de todo observador que se adentre a trav´es del horizonte. Por lo tanto, en estas coordenadas confirmamos lo que ve´ıamos en las coordenadas de Schwarzschild. Como hemos dicho antes, parece que hemos roto la invariancia temporal que ten´ıamos al principio, debido al t´ermino cruzado que nos aparec´ıa en la m´etrica en coordenadas de E-F avanzadas 2.4. Pero tambi´en pod´ıamos haber optado por construir t¯ = t − 2M ln |r − 2M |

que son las coordenadas de E-F retardadas. En estas coordenadas, las geod´esicas radiales nulas tienen la forma   ¯  t = −r − 4M ln |r − 2M| + C0 

entrantes

   t¯ = r + C

salientes

0

y que la m´etrica sea ds2 =

 1−

2M r



dt¯2 +

  4M ¯ 2M dtdr − 1 + dr2 − r2 dΩ22 . r r

Vemos que en este caso el t´ermino cruzado es de signo contrario al del cambio de coordenadas anterior, por lo que el cambio t¯ ↔ t˜ mapea una m´etrica en la otra. De modo que si considera-

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2

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD

mos las dos m´etricas, y los dos sistemas de coordenadas, tenemos asegurada la invariancia ante traslaciones temporales que ten´ıamos inicialmente. Si dibujamos los conos de luz en estas nuevas coordenadas, Figura 4: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas

vemos que la parte exterior del horizonte es id´entica a la de las otras coordenadas, pero dentro la ´ es totalmente diferente: las influencias causales pueden salir de e´ l y nada puede cruzarlo, situacion lo cual equivale a decir que ser´ıa un tipo de agujero blanco. Esto nos indica que ninguno de los dos sistemas de coordenadas cubren completamente la variedad sino solo parches de ella, como hemos ´ asintoticamente ´ mencionado antes. Las coordenadas avanzadas cubren una region plana con una singularidad cubierta por un horizonte en el futuro, mientras que las retardadas describen otra ´ zona asintoticamente plana con una singularidad cubierta por un horizonte en el pasado. Estos dos sistemas de coordenadas juntos, nos describen por completo toda la variedad que est´a compuesta por un agujero blanco y un agujero negro.

2.4.

Conclusiones

´ es la presencia de un horizonte de sucesos que o bien no La parte m´as importante de esta seccion ´ deja pasar las influencias causales desde la parte interna del horizonte a la parte asintoticamente ´ plana, o bien no deja pasar influencias causales desde la parte asintoticamente plana a la parte interior. Sea como sea, tenemos un horizonte de sucesos que envuelve a la singularidad aisl´andola del resto del universo. En las coordenadas avanzadas, una vez cruzado el horizonte de sucesos, tenemos una singularidad inevitable en el futuro del observador cayente. En el otro caso, usando las coordenadas retardadas que nos nos descubren una nueva zona que no ve´ıamos con las coordenadas de Schwarzschild, tenemos una singularidad inevitable que en este caso se encuentra en el pasado y protegida tambi´en por un horizonte de sucesos, de la cual las influencias causales sa´ len y llegan a una zona asintoticamente plana, pero no son capaces de volver a cruzar el horizonte para volver al interior.

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

3.

14

Agujero negro de Reissner-Nordstrom ¨

´ de Schwarzschild, ya que Este tipo de agujero negro es ir un paso m´as con respecto a la solucion ´ radial. Se podr´ıa anadir ˜ introducimos un campo el´ectrico en direccion tambi´en una “carga magn´etica” que produjese un campo magn´etico tambi´en radial, pero para ello tendr´ıamos que introducir el concepto de monopolo magn´etico y eso no afectar´ıa a las conclusiones que se van a obtener de ´ En este caso vamos a hacer uso de una nueva herramienta que nos va a facilitar un esta solucion. ´ poco las cosas, como lo es el Formalismo de Palatini, que pasamos a detallar a continuacion.

3.1.

Formalismo de Palatini y derivacion ´ de la solucion ´

´ de Schwarzschild, era muy f´acil de resolver a partir de las ecuaciones de El caso de la solucion Einstein debido a que el tensor de energ´ıa-momento era nulo, pero se demuestra que esas ecua´ de ciones se pueden obtener a partir de un principio variacional, en concreto a partir de la accion Einstein- Hilbert ˆ 4

s=

d x

q



 1 | g| R , 2κ

(3.1)

´ usando el formalismo de Palatini, donde hemos introducido la constante κ = 8πG Este forma´ son dos entidades que no tienen relacion, ´ lismo consiste en suponer que la m´etrica y la conexion ´ de de forma que constituyen dos campos independientes. Por lo tanto, para obtener la ecuacion Einstein simplemente tenemos que aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la m´etrica y a la ´ Para la m´etrica la ecuacion ´ es muy sencilla conexion. ∂L = 0, ∂gµν

ya que expl´ıcitamente no aparecen derivadas de la m´etrica, todas las derivadas forman parte de ´ y hemos supuesto que no tiene relacion ´ alguna con la m´etrica. Ahora bien, debemos la conexion ´ obteniendo aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange a la conexion, ρ

Tµν = 0

∇µ gνρ = 0

;

´ de Levi-Civita. Por ello solo ´ derivamos resque son las condiciones 1.3 que satisfac´ıa la conexion ´ donde e´ sta aparezca expl´ıcitamente. pecto de la m´etrica solo ´ vamos a aplicar este formalismo a la accion ´ para las ecuaciones de Einstein de un A continuacion objeto cargado ˆ s=

d4 x

q



| g|

1 1 R − Fµν F µν 2κ 4

 (3.2)

donde Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ es el tensor electromagn´etico que es antisim´etrico y que se define a partir de derivadas de los potenciales electromagn´eticos Aµ . En t´erminos de los campos el´ectrico ~E y ~B, podemos escribir el tensor de la forma:  Fµν

0

  − Er =  −E  ϕ − Eθ

Er

Eϕ

0

− Bθ 0 Br

Bθ

−Bϕ

Eθ



 Bϕ   − Br   0

(3.3)

15

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

3

´ 3.2 es la suma de la accion ´ 3.1 que nos da el vac´ıo de las ecuaciones de Einstein y la La accion ´ de Maxwell del campo electromagn´etico. Identificamos nuestro lagrangiano accion L=

q



  q  1 1 1 µν 1 µν µα νβ | g| R − Fµν F g Rµν − Fµν g g Fαβ = | g| 2κ 4 2κ 4

y aplicamos el formalismo de Palatini, obteniendo Rµν −

  1 1 ρ Rgµν = κ Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ . 2 4

(3.4)

Donde hemos hecho uso de las siguientes propiedades : ∂g = − ggµν ; R = gµν Rµν ; F µν = gµα gνβ Fαβ . ∂gµν

Ahora debemos derivar respecto de nuestro otro campo independiente, que es el potencial elec´ de Lagrange para este caso viene dada por tromagn´etico Aµ . La ecuacion

∂µ

∂L
∂ ∂µ Aν

!

= 0,

´ del tensor electromagn´etico a partir de los potenciales (Fµν = que teniendo en cuenta la definicion ∂µ Aν − ∂ν Aµ ), nos da

∂µ

∂L
∂ ∂µ Aν

!

= ∂µ

q



| g| F µν

=0

´ obtenemos la ecuacion ´ de Einstein sin traza, para ello multiplicamos 3.4 por gµν , A continuacion obteniendo: R = 0,

donde hacemos uso de que trabajamos en una variedad con cuatro dimensiones. En cualquier otro ´ de Einstein sin traza toma la forma m´as caso, el escalar de Ricci dejar´ıa de ser nulo. La ecuacion sencilla   1 ρ Rµν = κ Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ . 4

Por lo tanto, el problema a resolver viene dado por:   1 ρ Rµν = κ Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ 4 q ∂µ

(3.5)



| g| F µν

= 0.

(3.6)

De nuevo proponemos un Ansatz para la m´etrica esf´ericamente sim´etrico y est´atico y otro para el ´ haya campo el´ectrico de forma radial: tensor electromagn´etico 3.3 de forma que solo ds2 = e2A(r) dt2 − e2B(r) dr2 − r2 dΩ22

(3.7)

Ftr = E (r )

(3.8)

Con 3.7 podemos calcular el determinante de la m´etrica:

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

| g| = e2( A+ B) r4 sin2 (θ ) ⇒

q

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| g| = e( A+ B) r2 sin (θ )

´ Por lo tanto, la unica derivada distinta de 0 es la siguiente: q ∂r

| g| Frt



  = −∂r e( A+ B) r2 sin (θ ) e−2( A+ B) E (r ) = 0

Obteniendo   ∂r e−( A+ B) r2 E (r ) = 0.

´ Para que esta ultima derivada sea nula, lo que hay entre par´entesis debe ser una constante que no dependa de r, por ello el campo el´ectrico debe ser de la forma: Q E (r ) = e ( A + B ) 2 r

(3.9)

´ cuyo significado veremos m´as adelante, pero que ya siendo Q es una constante de integracion ´ intuimos que tiene que ver con la carga el´ectrica de muestra solucion.. El tensor de Ricci, ya lo tenemos calculado de Schwarzschild, y tiene la forma 2.1. Ahora calculamos el tensor de energ´ıa-momento. Comparando 3.5 con 1.1 teniendo en cuenta que R = 0, vemos que el tensor de energ´ıa-momento viene dado por: Tµν =

1 1 ρ gµν Fρλ F ρλ − Fµρ Fν = gµν Fρλ F ρλ − gνλ Fµρ F λρ 4 4

Sustituyendo el Ansatz para el tensor electromagn´etico y la m´etrica, tenemos que las componentes no nulas del tensor de energ´ıa-momento son:  2  T = 21 e2A Qr4    tt

Tθθ =

    T = − 1 e2B Q2 rr 2 r4

Tϕϕ = sin2 (θ ) Tθθ

1 Q2 2 r2

´ ´ de Einstein, Para obtener las funciones incognita, igualamos los dos miembros de la ecuacion obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: h i
2 κ Q2 − e2( A− B) A00 + A0 − A0 B0 + 2r −1 A0 = − e2A 4 2 r A00 + A0


2

− A0 B0 − 2r −1 B0 =

κ 2B Q2 e 2 r4

(3.10)

(3.11)

  κ Q2 e−2B rA0 − rB0 + 1 − 1 = − 2 r2

(3.12)

sin2 (θ ) Rθθ = −κ sin2 (θ ) Tθθ

(3.13)

Este sistema de ecuaciones diferenciales se resuelve de forma id´entica que en el caso de Schwarzschild, obteniendo el resultado final para la m´etrica y el campo el´ectrico ds2 =

 1−

2M 1 Q2 + κ 2 r 2 r



  −1 2M 1 Q2 dt2 − 1 − + κ 2 dr2 − r2 dΩ22 r 2 r

Ftr = E (r ) =

Q r2

(3.14)

(3.15)

17

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

donde de nuevo, las coordenadas {t, r, θ, ϕ} son las empleadas por un observador situado en el infinito. ´ Q, hacemos uso del teorema de Gauss: Para ver el significado de la constante de integracion ˛

˛

~E · d~s = Q

q= S

1 2 r sin (θ ) dθdϕ = Q r2

ˆ

S

ˆ

π

2π

dϕ = 4πQ

sin (θ ) dθ 0

0

´ es la carga encerrada en el espacio salvo por A ra´ız de esto, vemos que la constante de integracion ´ de 4π, por lo tanto esta solucion ´ representa el campo creado por un un factor de normalizacion objeto de masa m =

M G

y carga q = 4πQ situado en r = 0.

Un aspecto llamativo de la m´etrica, es que depende de Q2 , lo cual significa que una part´ıcula de prueba neutra experimentar´a las consecuencias de la existencia del campo el´ectrico, pero no ˜ ser´a capaz de reconocer el signo de la carga. En el fondo no debe de extranarnos, ya que al introducir un campo el´ectrico, que contiene energ´ıa, se acopla a la gravedad y al espacio deformando ´ e´ ste ultimo de forma diferente a como lo har´ıa una masa por s´ı sola.

3.2.

Estudio de los horizontes de la solucion ´ de Reissner-Nordstrom ¨

´ se hace singular en varios puntos y tenemos que Como podemos ver a simple vista, la solucion distinguir si se tratan de singularidades f´ısicas o de coordenadas. Para verlo, calculamos un nuevo invariante de curvatura, en este caso calcularemos Rµν Rµν , que ser´a distinto de cero, al contrario que en Schwarzschild. Previamente escribimos Rµν :   1 µ Rµν = gµα gνβ Rαβ = κ F ρ F νρ − gµν Fρλ F ρλ 4

Calculamos el invariante:    1 1 ρ µ Rµν Rµν = κ 2 Fµρ Fν − gµν Fρλ F ρλ F σ F νσ − gµν Fαβ F αβ 4 4

y operando un poco obtenemos Rµν Rµν = κ 2

Q4 r8

Vemos de nuevo que la singularidad en r = 0 es una singularidad f´ısica, mientras que el resto posiblemente sean de coordenadas. Calculamos expl´ıcitamente las otras singularidades, Para soluciones est´aticas, los horizontes son aquellos puntos en los que la componente gtt de la m´etrica se hace nula, como ya hab´ıamos visto en el caso de Schwarzschild: 1−

2M 1 Q2 1 + κ 2 = 0 ⇒ r2 − 2Mr + κQ2 = 0 r 2 r 2

(3.16)

´ es cuadr´atica en r, que puede tener dos, una o ninguna solucion ´ real. Como vemos, esta ecuacion ´ entre sus par´ametros: Todo depender´a de la relacion R± =

2M ±

p

4M2 − 2κQ2 2

Por lo tanto, tenemos que distinguir los tres casos posibles: • Si M2 <

1 2 2 κQ ,

entonces no hay soluciones reales y la singularidad en r = 0 no tiene ho-

rizontes que la protejan, por lo que influencias causales pueden escapar de ella. Haciendo

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

18

´ ´ uso de la hipotesis de censura cosmica mencionada arriba, descartamos este caso por ser no f´ısico. CASO SOBREEXTREMAL. ´ y un unico ´ • Si M2 = 12 κQ2 , entonces hay una solucion horizonte degenerado. En este caso la carga y la masa est´an ajustadas. CASO EXTREMAL. • Si M2 > 12 κQ2 , entonces hay dos soluciones reales y dos horizontes. CASO SUBEXTREMAL.

3.3.

Estructura causal de las diferentes soluciones

3.3.1.

Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom ¨ subextremal

En este caso, tenemos dos horizontes situados en r R± = M ±

1 M2 − κQ2 . 2

´ de ellos, se nos queda la siguiente expresion: ´ Si escribimos la m´etrica en funcion ds2 =

r2 (r − R + ) (r − R − ) 2 dt − dr2 − r2 dΩ22 2 (r − R + ) (r − R − ) r

(3.17)

Para obtener la estructura causal, hay que estudiar de nuevo el comportamiento de las geod´esicas ´ es la siguiente radiales nulas, cuya expresion " t = ± r+

# R2− R2+ ln |r − R+ | − ln |r − R− | + C0 . R+ − R− R+ − R−

Donde el signo + denota geod´esicas salientes y el signo - geod´esicas entrantes. A partir de ellas, ´ que nos ayudar´a a ver claramente vamos a dibujar el diagrama de conos de luz de nuestra solucion la estructura causal de esta geometr´ıa ´ de Reissner-Nordstrom ¨ subextremal en coordenadas de Figura 5: Conos de luz de la solucion Schwarzschild

´ De nuevo, tenemos una zona asintoticamente plana donde los conos de luz se comportan como en Relatividad Especial. Cerca del horizonte los conos de luz se van cerrando hasta que lo est´an

19

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

totalmente: de nuevo nuestras coordenadas dejan de ser v´alidas m´as hacia delante, ya que la componente temporal de la m´etrica se anula y la radial diverge. Podemos ver de nuevo que el primer horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en el infinito y que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul para el observador que lo cruza. Veamos primero que el primer horizonte es una zona de corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello procedemos igual que en el caso de Schwarzschild e integramos lo siguiente para r = cte dτ 2 =

(r − R + ) (r − R − ) 2 dt . r2

As´ı obtenemos p ∆τ =

(r − R + ) (r − R − ) ∆t. r

˜ Si r = R+ y ∆τ es finito, ya que es el observador entrante es quien nos manda senales de periodo ˜ mandada desde el horizonte externo tiene ∆τ, entonces ∆t = ∞, con lo cual el per´ıodo de una senal un per´ıodo infinito para el observador que est´a en el infinito, lo cual implica un desplazamiento infinito al rojo. Esto de nuevo nos dice, que el observador en el infinito jam´as ver´a al otro cruzar el primer horizonte. Para saber lo que sucede m´as all´a del primer horizonte, volvemos a crearnos las coordenadas de E-F avanzadas a partir de las geod´esicas radiales nulas t˜ = t +

R2− R2+ ln |r − R+ | − ln |r − R− |. R+ − R− R+ − R−

Esto hace que nuestras geod´esicas entrantes y salientes tengan la forma   t˜ = −r + C0       t˜ = r +

2R2+ R+ − R−

entrantes

ln |r − R+ | −

2R2− R+ − R−

ln |r − R− | + C0

salientes

y la m´etrica sea

ds2 =

  (r − R+ ) (r − R− ) ˜2 ( R+ + R− ) r − R+ R− ˜ − 1 + R+ + R− − R+ R− dr2 − r2 dΩ22 . d t − 2 drd t r r2 r2 r2

Vemos ahora que la m´etrica es totalmente regular ahora en r = R± , por lo que queda confirmado que esos puntos eran singularidades de coordenadas, aunque de nuevo hemos vuelto a romper la invariancia temporal de la m´etrica debido al t´ermino cruzado que nos ha aparecido. A continua´ dibujamos los conos de luz. cion

3

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20

´ de Reissner-Nordstrom ¨ subextremal en coordenadas de E-F Figura 6: Conos de luz de la solucion avanzadas

Como vemos, en r = R+ , las geod´esicas salientes tienen una pendiente infinita, con lo cual, en ese ˜ que se emita desde dentro puede salir al punto se forma un horizonte de sucesos: ninguna senal ´ de los conos, es imposible estar en reposo en la zona entre los exterior. Adem´as, por la orientacion dos horizontes, ya que en ella las componentes temporal espacial de la m´etrica cambian de signo y la coordenada radial se convierte en la coordenada temporal, y por ello, el observador que entre en esta zona, est´a inevitablemente destinado a cruzar el horizonte interior. Una vez all´ı, vemos que sorprendentemente es una zona en la que el observador puede volver a estar en reposo y no llegar a la singularidad, ya que las componentes temporal y radial de la m´etrica vuelven a cambiar de signo y de nuevo a intercambiar sus papeles. Esta singularidad es muy diferente a la que nos encontr´abamos en el caso de Schwarzschild, ya que e´ sta se encontraba en el futuro de cualquier observador, mientras que e´ sta es evitable, por ello, esta singularidad es de tipo temporal. Ya que sabemos que las geod´esicas radiales nulas son capaces de cruzar los dos horizontes, podemos demostrar que el horizonte interior es una superficie de corrimiento infinito hacia el azul para ˜ los observadores que lo cruzan. Para ello el observador en el infinito manda senales de per´ıodo ´ ∆t, que cruzan los horizontes y llegan al observador que cae. Este medir´a: p ∆τ =

( R+ − r ) ( R− − r ) ∆t r

Justo en el horizonte interior, r = R− ,donde se encuentra nuestro observador, medir´a un per´ıodo ˜ nulo de las senales luminosas, lo cual supone para e´ l un corrimiento infinito hacia el azul. Si ˜ ´ en esto fuese as´ı, estas senales tendr´ıan una energ´ıa infinita y desestabilizar´ıa toda la solucion esa zona, ya que esa energ´ıa interactuar´ıa fuertemente con el campo creado por la carga masiva, ´ desestabilizando totalmente la solucion. Veamos ahora qu´e forma tienen las geod´esicas radiales temporales para ver cual es el comportamiento de una part´ıcula masiva. Para ello, sabemos que la energ´ıa es una magnitud conservada ´ de geod´esica radial temporal impone que: en una m´etrica est´atica y a su vez, la condicion gtt t˙ = E

(3.18)

gµν x˙ µ x˙ ν = 1.

(3.19)

Combinando ambas ecuaciones, podemos despejar la velocidad radial del observador cayente s r˙ = ±

E2 − 1 +

2M κQ2 − 2 r 2r

(3.20)

21

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

3

El radicando se anula en los siguientes puntos de retorno: q rretorno = −

M ± E2 − 1

M2 + 12 κQ2 ( E2 − 1)

(3.21)

E2 − 1

´ de signo positivo que es la que hace que el punto de retorno sea Nos quedamos con la solucion positivo, ya que en estas unidades la energ´ıa es mayor que 1 y ese caso corresponder´ıa al de una part´ıcula que cae desde el infinito con velocidad nula, como hemos visto en Schwarzschild.. Como vemos, la gravedad se hace repulsiva debida al t´ermino con carga y la part´ıcula se frena, algo realmente sorprendente, ya que ahora la part´ıcula invierte su movimiento y puede salir del ´ actua ´ sobre ella la gravedad, segundo horizonte. Esto es para una part´ıcula libre, es decir, solo ya que si nuestro observador llevase alguna fuente energ´etica consigo, ser´ıa capaz de permanecer ´ que genera el t´ermino con carga e en reposo en esa zona sin tener que moverse por la repulsion incluso llegar a la singularidad, pero esta vez siguiendo l´ıneas no geod´esicas. ´ 3.20, obtener el tiempo que un observador cayendo desde el infinito Es f´acil, a partir de la ecuacion con velocidad nula, tardar´ıa en cruzar la zona entre los dos horizontes. Si la velocidad radial era: s r˙ = ±

E2 − 1 +

2M κQ2 − 2. r 2r

Podemos integrar f´acilmente y obtener ∆τ =

2 3 ( R + + R − )2

( R + − R − )3 .

´ de contorno hemos impuesto que la velocidad inicial era nula en el infinito, donde como condicion o lo que es lo mismo E = 1. Vemos, que la part´ıcula tarda un tiempo finito en cruzar los dos ´ de los conos de luz que no permit´ıan horizontes, algo que ya sab´ıamos debido a la inclinacion estar en reposo en la zona entre los dos horizontes. Si hacemos el l´ımite R+ = 2M y R− = 0, entonces: ∆τ =

4M . 3

Que es el tiempo que se tardar´ıa en llegar desde el horizonte a la singularidad en un agujero negro de Schwarzschild desde el punto de vista del observador que cae. De momento hemos visto que la part´ıcula llega al primer horizonte, lo cruza y se ve obligada a cruzar el segundo hasta llegar a un punto en el que la gravedad se vuelve repulsiva. Pero para conocer lo que sucede despu´es, debemos construir las coordenadas de E-F retardadas t¯ = t −

R2+ R2− ln |r − R+ | − ln |r − R− |, R+ − R− R+ − R−

´ para nuestras geod´esicas sea ahora: haciendo que la expresion 2R2+ R+ − R−

  t¯ = −r −       t¯ = r + C

0

ln |r − R+ | +

2R2− R+ − R−

ln |r − R− | + C0

entrantes

salientes

y nuestra m´etrica sea de la forma

ds2 =

  (r − R+ ) (r − R− ) ¯2 ( R+ + R− ) − R+ R− ¯ − 1 + R+ + R− − R+ R− dr2 − r2 dΩ22 . d t + 2 drd t r r2 r2 r2

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

22

Nuevamente rompemos la invariancia temporal de nuestra m´etrica, pero del caso anterior sabemos que el cambio t˜ ↔ t¯ mapea una m´etrica en la otra. Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas: ´ de Reissner-Nordstrom ¨ subextremal en coordenadas de E-F Figura 7: Conos de luz de la solucion retardadas

´ que presentan las geod´esicas, que se puede volver a cruzar el Aqu´ı podemos ver, por la inclinacion ´ horizonte interior, para cruzar seguidamente el exterior y salir a una nueva zona asintoticamente plana, en principio diferente de la inicial. Adem´as, nada indica que la part´ıcula no pueda volver a repetir el proceso. ´ aporta respecto de la de Schwarzschild, que presenta dos horizontes, una exterior, Esta solucion que forma un horizonte de sucesos y uno interior, que esconde una singularidad bastante diferente, ya que e´ sta es temporal y por ello no se encuentra inevitablemente en el futuro del observador ´ m´as cayente, permitiendo estar en reposo cerca de ella si seguimos l´ıneas no geod´esicas. La leccion importante de este caso, es que la gravedad se vuelve repulsiva, algo que no es de esperar, pero que en este caso gracias a la carga el´ectrica, es posible. Por ello, la part´ıcula puede escapar de este ´ agujero negro a otra zona asintoticamente plana, en principio diferente a la inicial pero no hay que olvidar algo importante, y es que el segundo horizonte es una superficie de corrimiento infinito ´ no sean del todo como las hemos hacia el azul y esto hace que las caracter´ısticas de la solucion ˜ estudiado aqu´ı, ya que la energ´ıa infinita de las senales interactuar´ıa muy fuertemente con el cam´ po gravitatorio inicial destrozando posiblemente por completo, todas las caracter´ısticas anomalas, ´ pero por otro lado intrigantes, de esta solucion.

3.3.2.

Estructura causal del agujero negro de Reissner-Nordstrom ¨ extremal

´ Este caso es muy parecido al anterior salvo que tenemos un unico horizonte situado en r = M. ´ para ello sustituimos en Veamos si preserva las caracter´ısticas principales de la anterior solucion, la m´etrica y en el campo el´ectrico los dos horizontes por el valor mencionado, obteniendo r2 (r − M )2 2 ds = dt − dr2 − r2 dΩ22 ; Ftr = ± r2 (r − M )2 2

r

2M . κ r2

´ difiere bastante de las del caso De nuevo calculamos las geod´esicas radiales nulas, cuya expresion anterior   M2 t = ± r + 2M ln |r − M| − + C0 . r−M

Los conos de luz en estas coordenadas son:

23

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¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

´ de Reissner-Nordstrom ¨ extremal Figura 8: Conos de luz de la solucion

Vemos que lejos del horizonte, la estructura causal es parecida a la de la Relatividad Especial y que los conos de luz se cierran conforme nos acercamos al horizonte. Al igual que en el caso subextremal, el horizonte vuelve a ser de nuevo una zona de corrimiento infinito hacia el rojo, por lo que un observador en el infinito no ver´a jam´as al observador cayente cruzar el horizonte. Veamos que este horizonte es tambi´en un superficie de corrimiento infinito hacia el rojo. Para ello procedemos igual que en el caso anterior, obteniendo ∆τ =

r−M ∆t. r

˜ Dado que las senales que manda el observador desde el horizonte, tienen per´ıodo ∆τ, eso obliga a que ∆t sea infinito, ya que r = M, confirmando, por tanto, que se trata de una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo. Para saber lo que le sucede al observador cayente una vez ha cruzado el horizonte y hacer que la m´etrica sea regular en e´ l, construimos las coordenadas de E-F avanzadas M2 t˜ = t + 2M ln |r − M | − . r−M

Lo cual hace que nuestras geod´esicas sean:   t˜ = −r + C0       t˜ = r + 4M ln |r − M | −

entrantes 2M2 r− M

+ C0

salientes

y la m´etrica: ds2 =

 2 2Mr − M2 (r − M)2 ˜2 ˜ − 1 + 2M − M d t − 2 drd t dr2 − r2 dΩ22 r r2 r2 r2

´ La m´etrica se vuelve completamente regular en ese punto. En este caso, por existir un unico horizonte, no existe zona intermedia en la cual no se pueda estar en reposo y por ello la coordenada radial es espacial para r > M, nula en r = M y espacial de nuevo para r < M. En estas coordenadas, los conos de luz son:

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

24

´ de Reissner-Nordstrom ¨ extremal en coordenadas de E-F Figura 9: Conos de luz de la solucion avanzadas

´ subextremal pero sin zona intermedia. Las Como vemos, es totalmente an´alogo a la solucion geod´esicas radiales nulas pueden cruzar el horizonte, pero no pueden salir de e´ l. Una vez dentro, es posible mantenerse en reposo sin llegar a la singularidad, por lo que e´ sta singularidad es de tipo temporal tambi´en. Una vez que sabemos que el observador cayente es capaz de cruzar el horizonte, calculamos las geod´esicas radiales temporales, para ver si de nuevo, como en el caso subextremal, tenemos puntos de retorno: r˙ 2 = E2 −

(r − M )2 . r2

Como vemos, la part´ıcula tendr´a un punto de retorno cuando la velocidad radial sea nula, esto es: rretorno =

M E+1

por lo que de nuevo la gravedad se vuelve repulsiva de nuevo, preservando esta cualidad del caso subextremal. Una vez hemos determinado que el observador se detiene, construimos las coordenadas de E-F retardadas M2 t¯ = t − 2M ln |r − M| − r−M

haciendo que las geod´esicas tomen la forma  2  t¯ = −r − 4M ln |r − M| + r2M   − M + C0 

entrantes

   t¯ = r + C

salientes

0

y la m´etrica sea ds2 =

 2 2Mr − M2 (r − M)2 ¯2 ¯ − 1 + 2M − M d t + 2 drd t dr2 − r2 dΩ22 . r r2 r2 r2

Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas:

25

3

¨ AGUJERO NEGRO DE REISSNER-NORDSTROM

´ de Reissner-Nordstrom ¨ extremal en coordenadas de E-F Figura 10: Conos de luz de la solucion retardadas

Es totalmente an´alogo al caso subextremal. Tenemos una singularidad cubierta por un horizonte del cual las influencias causales pueden salir debido a que las geod´esicas salientes pueden hacerlo pero influencias causales del exterior no pueden cruzar el horizonte. El observador es capaz de ´ volver a cruzar de nuevo el horizonte para volver a una nueva zona asintoticamente plana. ´ es muy parecida al anterior, salvo que no tenemos una zona intermeComo vemos, esta solucion dia en la cual inevitablemente tengamos que seguir hacia delante. El hecho de que la masa y la ´ hace que solo ´ tengamos un unico ´ carga est´en ajustadas en esta solucion, horizonte, en este caso de sucesos, y que presenta un corrimiento infinito hacia el rojo para el observador que se encuentra en ´ es lo ´ el infinito. Esta solucion qque esperar´ıamos encontrar si estudi´aramos el l´ımite de la solucion

subextremal cuando | Q| →

2 κM

.

4

ESPACIO DE DE SITTER

4.

26

Espacio de De Sitter

´ de las ecuaciones del vac´ıo pero con una constante cosmologica ´ Este espacio es una solucion po´ ˜ sitiva. La constante cosmologica fue un t´ermino que Einstein anadi o´ a sus ecuaciones cuando se ´ Dado que e´ l pensaba que el universo era dio cuenta de que predec´ıan un universo en expansion. ˜ est´atico y que no cambiaba en el tiempo, se vio obligado a anadir este par´ametro en las ecuaciones de campo de forma que siguieran cumpli´endose el Principio de Covariancia Generalizado y el Principio de Equivalencia, aunque hay que renunciar a obtener el espacio de Minkowski, que nos ´ de las ecuaciones en el vac´ıo. Vamos da toda la din´amica de Relatividad Especial, como solucion a estudiar este caso antes de pasar a estudiar un agujero negro en este espacio para comprobar si ˜ ´ al anadir el agujero negro se preservan algunas de las caracter´ısticas de esta solucion.

4.1.

Derivacion ´ de la solucion ´

´ de Einstein-Hilbert, le anadimos ˜ ´ Si a la accion una constante cosmologica, que en principio no supondremos que sea positiva o negativa ˆ d4 x

s=

q



| g|

 1 R−Λ , 2κ

de forma que Λ podemos interpretarla como la densidad de energ´ıa del vac´ıo, obtenemos que la ´ de Einstein es la siguiente ecuacion Rµν −

1 Rgµν + κΛgµν = 0. 2

´ anterior por la m´etrica inversa para obtener el escalar Como siempre, multiplicamos la ecuacion de Ricci: R = 4κΛ

´ de Einstein sin traza queda de la que como vemos, en este caso no es nulo. Finalmente, la ecuacion forma Rµν = κΛgµν

(4.1)

Al igual que en los casos anteriores, proponemos el Ansatz para una m´etrica esf´ericamente sim´etri¨ ca y est´atica, teniendo que resolver un sistema de ecuaciones id´entico al de Reisnner Nordtrom 3.10, 3.11 3.12 3.13, con el tensor de energ´ıa-impulso de 4.1. Una vez resuelto, obtenemos la m´etrica general siguiente ds2 =



1 2M 1 − κΛr2 − 3 r



  1 2M −1 2 dt2 − 1 − κΛr2 − dr − r2 dΩ22 . 3 r

(4.2)

´ que nos aparecen como −2M para Donde hemos elegido una de las constantes de integracion recuperar la m´etrica de Schwarzschild en el caso en que Λ = 0. Por lo tanto, esta m´etrica describe el campo gravitatorio creado por un objeto de masa m =

M G

situado en r = 0, en un universo

´ con constante cosmologica tipo De Sitter o anti-De Sitter dependiendo del signo de la misma. ´ Particularizado 4.2 para una constante cosmologica positiva y un espacio sin presencia de materia, obtenemos la m´etrica 2

ds =

r2 1− 2 R0

! 2

dt −

r2 1− 2 R0

! −1 dr2 − r2 dΩ22 .

(4.3)

27

4

ESPACIO DE DE SITTER

Donde definimos el par´ametro: r R0 =

4.2.

3 κΛ

(4.4)

Estructura causal de la solucion ´ de De Sitter

En este caso, la m´etrica 4.3 tiende a la m´etrica de la Relatividad Especial cuando r → 0, por lo que nuestras coordenadas ser´an las de un observador situado all´ı. Vemos que la componente temporal de la m´etrica se anula en r = R0 y debemos determinar si se trata de una singularidad f´ısica o si por el contrario es de coordenadas. Previamente vamos a calcular las geod´esicas radiales nulas y ´ Las geod´esicas en este caso son estudiar la estructura causal de la solucion. r + R0 1 |. t = ± R0 ln | 2 r − R0

Donde el signo + denota geod´esicas salientes y el signo - hace referencia a geod´esicas entrantes. Vamos a ver que estructura causal nos ofrecen estas geod´esicas. Para verlo dibujamos el diagrama de conos de luz: Figura 11: Conos de luz del espacio de de-Sitter

Los conos de luz se asemejan mucho a los de Relatividad Especial en la zona r < R0 , como hemos ˜ mencionado antes, y parece que las senales de luz no pueden salir de esa zona, ya que los conos de luz est´an totalmente degenerados, pero eso es lo que nos dice que precisamente nuestras coordenadas dejan de ser v´alidas m´as all´a. Vemos tambi´en que esta m´etrica no presenta singularidad en r = 0, hecho decisivo para que nuestro observador que usa las coordenadas {t, r, θ, ϕ}pueda situarse all´ı. Calculemos las geod´esicas radiales temporales para saber qu´e le sucede a una part´ıcula masiva que parta desde la zona r < R0 con velocidad nula: r = r0 e

±τ/R

0

.

´ o contraccion ´ Es decir, una part´ıcula que estuviese en reposo se mueve por efecto de la expansion ´ del propio espacio pudiendo, en principio llegar a cruzar el horizonte. Vemos de esta expresion que las trayectorias con r = cte no son geod´esicas, salvo la r = 0. Podemos comprobar que el horizonte es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo para el observador situado en el origen, para ello procedemos igualmente que en los casos anteriores s ∆τ =

1−

r2 ∆t. R20

˜ Si el observador que va a cruzar el horizonte desde la parte interior manda senales luminosas de periodo ∆τ al observador situado en el origen, entonces el periodo ∆t debe ser infinito, ya que la componente temporal de la m´etrica es nula. Por lo tanto, para el observador en el origen la

4

ESPACIO DE DE SITTER

28

˜ sufre un corrimiento infinito hacia el rojo, y por ende, jam´as ver´a al otro observador cruzar senal el horizonte. ´ Para comprobar que la unica singularidad que tenemos es de coordenadas, construimos las coordenadas de E-F avanzadas a partir de las geod´esicas radiales nulas 1 r + R0 | − r. t˜ = t + R0 ln | 2 r − R0

Con estas coordenadas, nuestras geod´esicas tienen la forma   t˜ = −r + C0   

entrantes

   t˜ = −r + R ln | r+ R0 | + C 0 0 r − R0

salientes

.

y la m´etrica toma la forma: 2

ds =

r2 1− 2 R0

! ˜2

dt −

r2 1+ 2 R0

! dr2 − 2

r2 ˜ dtdr − r2 dΩ22 . R20

Como vemos, la m´etrica es regular en el horizonte a pesar de que la componente temporal se anule podemos calcular el determinante, con lo cual confirmamos que la singularidad en r = R0 es una singularidad de coordenadas. Veamos lo que sucede con las geod´esicas una vez pasan el horizonte, para ello dibujamos los conos de luz Figura 12: Conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas

Como vemos, es imposible estar en reposo en la zona r > R0 y cualquier part´ıcula estar´ıa obligada a cruzar el horizonte, debido al cambio de signo de las componentes radial y temporal de la m´etrica 4.3 Las coordenadas temporal y espacial han intercambiado su papel y por ello avanzar ˜ en el tiempo en la zona exterior al horizonte, consiste en moverse hacia valores m´as pequenos de la coordenada radial. Las geod´esicas radiales entrantes pueden cruzar el horizonte, pudiendo influenciar causalmente esta zona, pero nada de lo que suceda en el interior del horizonte ´ podr´a afectar causalmente al exterior. En este caso tenemos un horizonte cosmologico, ya que este horizonte no esconde una singularidad f´ısica del resto del universo. Con estas coordenadas vemos ´ ya que una part´ıcula en reposo en la parte de la variedad que supone un universo en contraccion, la zona exterior, cruzar´ıa el horizonte. ´ construimos las coordenaPara ver la parte de la variedad que supone un universo en expansion, das de E-F retardadas 1 r + R0 t¯ = t − R0 ln | | + r. 2 r − R0

Nuestras coordenadas radiales nulas son:

29

4

 r + R0  ¯  t = r − R0 ln | r− R0 + C0 

entrantes

   t¯ = r + C

salientes

0

ESPACIO DE DE SITTER

Y la m´etrica toma la forma: 2

ds =

r2 1− 2 R0

! dt¯2 −

r2 1+ 2 R0

! dr2 + 2

r2 ¯ dtdr − r2 dΩ22 R20

Figura 13: Conos de luz del espacio de De Sitter en coordenadas de E-F retardadas

En este caso, una part´ıcula que se encuentre dentro del horizonte, se ver´a obligada a cruzarlo y no podr´a volver a estar en contacto causal con la zona de la que proven´ıa ya que las geod´esicas entrantes tienen una pendiente de 90º en el horizonte. Adem´as, no podr´a estar en reposo una vez lo cruce, ya que las componentes temporal y espacial de la m´etrica cambian de signo e intercambian su papel. Esta coordenadas son las que describen la parte de la variedad que conforma un universo ´ finalmente todo sale de la parte interior del horizonte, para no volver a estar en en expansion, contacto causal nunca m´as. Con este par de sistemas de coordenadas, cubrimos la variedad entera y el cambio t˜ ↔ t¯, mapea una m´etrica en la otra conservando la invariancia ante traslaciones temporales y vemos dos com˜ portamientos radicalmente opuestos de la misma variedad. Esto ser´a importante cuando anada´ punto preferido para situar mos un agujero negro a este espacio. Esta m´etrica, no tiene ningun el origen, ya que no tenemos ninguna singularidad de tipo f´ısico que nos rompa la isotrop´ıa del espacio. Debido a esto, todo observador tiene derecho a considerarse r = 0 y estar en reposo y ver una estructura como la que hemos presentado aqu´ı. Esto es lo que diferencia al horizonte cos´ ´ del horizonte de sucesos de las soluciones anteriores: el hecho de que mologico de esta solucion no es absoluto y que dependa del observador.

4.3.

Conclusiones

´ y un universo en El espacio de De Sitter tiene dos componentes, que son un universo en expansion ´ algo que no pasaba en los anteriores casos. Algo tambi´en novedoso es que no tenemos contraccion, ´ punto, pero s´ı tenemos un horizonte cosmologico ´ una singularidad f´ısica en ningun en r = R0 con corrimiento infinito hacia el rojo para el observador en el origen, que una vez atravesado, no se puede acceder de nuevo a la zona de la que se proced´ıa. Lo que sorprende de este espacio es que ´ del vac´ıo y aun ´ as´ı este espacio es din´amico e interactua ´ con las part´ıculas representa una solucion de prueba que podamos introducir en e´ l, y esto es algo que no suced´ıa en el vac´ıo de las ecuaciones ´ es el espacio de Minkowski. En e´ l, una part´ıcula en reposo no de Einstein sin masa, cuya solucion

4

ESPACIO DE DE SITTER

30

´ o contraccion ´ del espacio es la que hace cambiar´ıa su estado, mientras que aqu´ı la propia expansion que se muevan las part´ıculas, ya que las colocamos con velocidad nula y no hay ninguna fuerza ´ sobre ellas. Es interesante estudiar esta solucion, ´ ya que el universo a escalas tales que que actue podamos suponer las galaxias como part´ıculas materiales, tiene un comportamiento an´alogo. Otro ´ hecho sorprendente es la existencia de este horizonte cosmologico, que como hemos mencionado, ´ no es absoluto y depende del observador debido a que la m´etrica de De Sitter es isotropa. Tambi´en ˜ ser´a interesante comprobar como influyen todas estas propiedades cuando anadamos un agujero negro.

31

5.

5

ESPACIO DE ANTI DE SITTER

Espacio de Anti De Sitter

´ El espacio de Anti De Sitter es el an´alogo al espacio de De Sitter pero con constante cosmologica negativa. Este hecho puede parecer que no cambia las cosas en gran medida, pero vamos a ´ comprobar que el signo de la constante cosmologica es decisivo en la estructura causal de este espacio.

5.1.

Estructura causal de la solucion ´ de anti De Sitter

´ ´ 4.2 y que no hay masa en Considerando que la constante cosmologica es negativa en la expresion este espacio, tenemos: 2

ds =

r2 1+ 2 R0

! 2

dt −

r2 1+ 2 R0

! −1 dr2 − r2 dΩ22 .

(5.1)

Las coordenadas {t, r, θ, ϕ}son las empleadas por un observador que se encuentre en el origen y el par´ametro R0 se define ahora como r R0 =

−3 κΛ

para que sea positivo el radicando y poder calcular la ra´ız. La estructura matem´atica de la m´etrica es muy parecida a la del caso anterior, pero ese signo + ´ sea totalmente diferente. Una caracter´ıstica notable hace que la estructura causal de esta solucion ´ punto (salvando como siempre los puntos que anulan es que esta m´etrica no es singular en ningun las componentes de la m´etrica relativas al elemento de l´ınea de la 2-esfera ), algo que no suced´ıa en el resto de casos estudiados. Para ver la estructura causal, calculamos las geod´esicas radiales nulas, obteniendo  t = ± R0 arctan

r R0



+ C0 .

´ para Donde el signo + denota geod´esicas salientes y el signo - geod´esicas entrantes. Esta expresion ´ periodica. ´ las geod´esicas es sorprendente, porque en ellas aparece un funcion Un rayo de luz que salga de r = 0, llegar´a al infinito en un tiempo ∆t =

π 2 R0 ,

como podemos ver trivialmente al

´ para la geod´esica. Veamos a ver qu´e podemos obtener de su sustituir esos valores en la expresion estructura causal, para ello dibujamos los conos de luz en las coordenadas que estamos usando. ´ de anti De Sitter Figura 14: Conos de luz de la solucion

Vemos que cuanto m´as nos alejamos del origen, los conos de luz m´as se abren, pudiendo influen´ es ciar causalmente cada vez m´as zonas del espacio, mientras que cerca del origen la solucion pr´acticamente el espacio de Minkowski. Esto es de esperar, dado que si las geod´esicas son pe´ riodicas y pueden llegar al infinito en un tiempo finito, cuanto m´as nos alejemos del origen, mas

5

ESPACIO DE ANTI DE SITTER

32

´ zonas podremos influenciar causalmente. Esta m´etrica es, al igual que el caso De Sitter, isotropa. Esto hace que cualquier observador pueda considerarse a s´ı mismo como r = 0 y ver la estructura causal presentada en este diagrama. Aunque la m´etrica es regular en todos los puntos, vamos a construimos las coordenadas de E-F avanzadas, que en este caso son   r R0

t˜ = t + R0 arctan

− r.

Lo que hace que las geod´esicas entrantes y salientes tengan las siguientes expresiones:   t˜ = −r + C0   

entrantes

     t˜ = −r + 2R arctan r + C 0 0 R0

salientes

Y que la m´etrica sea: 2

ds =

r2 1+ 2 R0

! ˜2

dt −

r2 1+ 2 R0

! dr2 + 2

r2 ˜ dtdr − r2 dΩ22 R20

Los conos de luz en este caso son de la forma:

Figura 15: Conos de luz de anti De Sitter en coordenadas de E-F avanzadas

Al no existir horizontes ni singularidades f´ısicas, en estas coordenadas vemos lo mismo que en las coordenadas de Schwarzschild, es decir, cuanto m´as lejos del origen m´as regiones del espacio podemos influenciar causalmente. ´ en la coordenadas de E-F retardadas: Por completitud, estudiamos la solucion t¯ = t − R0 arctan



r R0



+ r.

Las geod´esicas son de la forma:     ¯ = r − 2R0 arctan r + C0 t  R0  

entrantes

   ¯ t = r + C0

salientes

.

Y la m´etrica toma la forma: 2

ds =

r2 1+ 2 R0

! dt¯2 −

r2 1+ 2 R0

Dibujamos los conos de luz en estas coordenadas:

! dr2 − 2

r2 ¯ dtdr − r2 dΩ22 . R20

33

5

ESPACIO DE ANTI DE SITTER

´ de anti De Sitter en coordenadas de E-F retardadas Figura 16: Conos de luz de la solucion

Como vemos, este cambio de coordenadas no nos aporta nada nuevo respecto a lo visto anteriormente. Ahora que tenemos claro el comportamientos de las geod´esicas radiales nulas, calculemos la forma ´ de este de las geod´esicas radiales temporales para ver si conseguimos obtener m´as informacion espacio. La forma expl´ıcita de las geod´esicas radiales temporales viene dada por r = ± R0

p

E2 − 1 sin



τ R0



´ que como vemos, son tambi´en periodicas. Pero hay una diferencia muy importante respecto de las nulas y es que una part´ıcula situada en r = 0, debe tener una cierta energ´ıa para poder moverse, ya que la amplitud amplitud de su desplazamiento depende totalmente de ella. Una part´ıcula con energ´ıa mayor que la unidad en esas unidades, podr´a moverse del origen hasta una distancia m´axima, para luego retornar de nuevo a r = 0. Vemos entonces, que las trayectorias con r = cte no son geod´esicas salvo la r = 0 en caso de que la part´ıcula tenga una E = 0. Al contrario que las geod´esicas nulas, estas no son capaces de llegar al infinito, ya que para que lo hicieran deber´ıan tener una energ´ıa infinita para que la amplitud de su movimiento tambi´en lo fuera. Si reparametrizamos la coordenada radial como r = R0 tan ρ 0 < ρ <

π , 2

´ de este espacio como cilindro solido. ´ podremos tener una visualizacion Este cambio de coordenadas hace que la m´etrica inicial 5.1tome la forma ds2 = cos−2 ρdt2 − R20 cos−2 ρdρ2 − R20 tan2 ρdΩ22 .

Vemos que cuando ρ →

π 2,

entonces gtt → ∞. Esta hipersuperficie ρ =

π 2

o lo que es lo mismo,

r = ∞, es una hipersuperficie temporal ya que su vector tangente es temporal. Esto se puede ver realizando el siguiente c´alculo, sabiendo que ρ˙ = θ˙ = ϕ˙ = 0: gµν x˙ µ x˙ ν = cos−2 ρt˙2 > 0 Esto es cierto para todo valor de la coordenada ρ, en particular para ρ =

π 2

En estas coordenadas, las geod´esicas radiales nulas y temporales son:   ρ = ± Rt0   

´ geodesicas radiales nulas

     tan ρ = ±√ E2 − 1 sin τ R0

´ geodesicas radiales temporales

Gracias a este cambio de coordenadas, podemos representar las geod´esicas en un cilindro de radio

5

ESPACIO DE ANTI DE SITTER

ρ=

π 2

34

en el que el eje vertical sea el tiempo: ´ Figura 17: Espacio de anti De Sitter como cilindro solido

En principio, este cilindro deber´ıa ser infinito debido a que la coordenada temporal corre desde ´ queda recogida −∞ a +∞, pero debido a la periodicidad de las geod´esicas, toda la informacion en el intervalo 0 < t < 2πR0 , pudiendo asociar ambos extremos del intervalo, ya que las geod´esi´ es que las geod´esicas radiales cas se repiten.. Otro hecho que podemos ver en esta representacion ´ temporales jam´as llegan a la frontera, debido a que la constante cosmologica negativa las atrae. Deber´ıa emplearse una energ´ıa infinita para que pudiesen llegar. En cambio, las geod´esicas radiales nulas s´ı que llegan en un intervalo de tiempo ∆t = π2 R0 y retornan a ρ = 0 en un intervalo de ∆t = πR0 .

5.2.

Conclusiones

´ Este es un espacio que poco se parece a su an´alogo con constante cosmologica positiva: ya que no ´ tipo. Lo unico ´ ´ hay horizontes de ningun que preserva de su an´alogo es que es un espacio isotropo, y todo observador tiene derecho a creerse en reposo en e´ l y ver la misma estructura causal que hemos presentado aqu´ı. Lo m´as remarcable de anti-De Sitter es la presencia de geod´esicas radiales ´ periodicas y en concreto de geod´esicas radiales nulas que llegan al infinito en un tiempo finito, algo que no es de esperar. Pero es que este espacio es infinito, como todos los que hemos estudiado, pero que presenta una frontera en el infinito, algo que es dif´ıcil de visualizar, pero que hace que de alguna forma las geod´esicas radiales nulas lleguen all´ı y “reboten” para llegar de nuevo en tiempo ´ finito al origen. El hecho de que este espacio tenga estas propiedades tan patologicas hizo que nunca se considerara como un modelo realista de nuestro universo al contrario de lo que sucede con De Sitter.

35

6

6.

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de De Sitter

´ vamos a estudiar la m´etrica de un agujero negro de Schwarzschild en un espacio A continuacion, ´ ´ o contraccion, ´ como lo es el espacio de De Sitter. Este en expansion pose´ıa un valor positivo de la ´ constante cosmologica y esto har´a que nos aparezcan diferentes casos que estudiar. Tambi´en veremos hasta qu´e punto influye la presencia del agujero negro en las caracter´ısticas de este espacio.

6.1.

Estudio de los horizontes de la solucion ´ de Schwarzschild De Sitter

´ La m´etrica 4.2 con valor positivo de la constante cosmologica, presentar´a horizontes cuando la componente gtt se anule: 1−

r2 2M − = 0. 2 r R0

(6.1)

´ Donde el par´ametro R0 se define igual que en el espacio de De Sitter 4.4. El numero de soluciones ´ 6.1 depender´a de la relacion ´ entre los par´ametros R0 y M. Estudiamos que presenta la ecuacion ´ que aparece en 6.1 y comenzamos por los l´ımites en cero y en el comportamiento de la funcion infinito: ! r2 2M − r R20

l´ım

1−

l´ım

r2 2M 1− 2 − r R0

r → 0+

r →∞

= −∞

!

= −∞.

´ gtt debe presentar un m´aximo en algun ´ punto. Calcul´emoslo: Debido a esto, nuestra funcion d 2r 2M gtt = 2 − 2 = 0. dt r R0

Despejando:  1/3 rmax = MR20 .

Debemos comprobar que el punto encontrado es, efectivamente, un m´aximo. Para ello estudiamos la derivada segunda d2 −4M 2r gtt = − 2 < 0 ∀r. 2 3 dr r R0

Con esto queda comprobado que es un m´aximo. Pero para presentar horizontes, dicha componente de la m´etrica debe anularse en, al menos, un punto. Por eso, debemos calcular el valor que toma ´ en ese m´aximo y ver si es positivo, negativo o nulo: la funcion

gtt (rmax ) = 1 −

MR20 2M −
1/3 R20 MR20


2/3 .

Si ese valor es positivo, la m´etrica tendr´a dos horizontes, debido a que los l´ımites en r = 0+ y ´ debe cortar al eje radial en dos puntos; si r = ∞ son −∞ y para que eso sea posible, la funcion ´ el valor es nulo, tendr´a un unico horizonte. Para que el valor anterior sea positivo o nulo debe ´ verificarse la siguiente condicion: MR20 2M 1− −
1/3 R20 MR20


2/3

√ ≥ 0 ⇐⇒ R0 ≥ 3 3M

Por lo tanto, distinguimos tres casos:

√ 1. Si R0 > 3 3M tenemos dos horizontes situados en r− y r+ . Caso subextremal.

(6.2)

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

36

√
1/3 ´ = 3M. Caso extre2. Si R0 = 3 3M tenemos un unico horizonte situado en rmax = MR20 mal.

√ 3. Si R0 < 3 3M tenemos una singularidad desnuda y por lo tanto lo consideraremos como ´ ´ un caso no f´ısico aplicando de nuevo la hipotesis de censura cosmica. Caso sobreextremal Hemos hablado de los horizontes, pero esta m´etrica presenta una singularidad, f´ısica en este caso, ´ invariante y vamos a razonar con el siguiente argumento: en r = 0. No vamos a calcular ningun ˜ en torno al origen, el t´ermino si el par´ametro R0 tiende a infinito o tomamos distancias pequenas cuadr´atico

r2 R20

es despreciable haciendo que la m´etrica tienda a la m´etrica de Schwarzschild, que

ya demostramos que pose´ıa una singularidad f´ısica en ese lugar. Por lo tanto, en estos casos la singularidad tambi´en ser´a de tipo f´ısico, un lugar donde la curvatura va a ser infinita.

6.2.

√ Caso subextremal R0 > 3 3M

Comenzamos estudiando el caso subextremal, por analog´ıa con como lo hicimos cuando estudia¨ En este caso tenemos dos par´ametros independienmos el agujero negro de Reissner-Nordstrom. ´ tes que son la masa y la constante cosmologica.

6.2.1.

Estructura causal del caso subextremal

La m´etrica ven´ıa dada por: ds2 =



2M 1 1 − κΛr2 − 3 r



  1 2M −1 2 dt2 − 1 − κΛr2 − dr − r2 dΩ22 . 3 r

´ entre los dos Donde las coordenadas {t , r, θ, ϕ}son las empleadas por un observador que se situa horizontesr− y r+ . Escribimos la componente gtt de la siguiente forma 1−

r3 − R20 r + 2MR20 2M r2 (r + r0 ) (r − r − ) (r − r + ) =− . − 2 =− 2 r R0 R0 r R20 r

Donde r0 es el valor absoluto del polo que presenta el polinomio del numerador en la parte nega´ tiva del eje radial, ya que si un polinomio cubico tiene dos soluciones, existe una tercera y por el comportamiento que presenta la componente gtt , e´ sta se haya en la parte negativa del eje, como podemos apreciar en la Figura 18. Figura 18: Comportamiento de la componente temporal de la m´etrica

Veamos las condiciones que tienen que satisfacer los par´ametros r0 , r− y r+ para ser ra´ıces del ´ ´ anterior y polinomio cubico. Para ello deshacemos los par´entesis del numerador en la expresion comparamos t´ermino a t´ermino:

37

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

r3 − R20 r + 2MR20 = r3 + (r0 − r+ − r− ) r2 + (r+ r− − r0 r− − r0 r+ ) r + r0 r+ r−

F´acilmente, vemos que las condiciones que deben satisfacerse son las siguientes    r0 = r + + r −          2 + r 2 + r r = R2 r+ + − − 0         2 2    2r+ r−2+r+ r− = 2M r +r +r r +

−

.

+ −

´ ten´ıamos dos par´ametros que eran M y R0 , estas tres ecuaciones no Dado que al principio solo pueden ser linealmente independientes y dado que r0 no es un par´ametro f´ısico, por representar ´ la ra´ız del polinomio cubico en la parte negativa del eje radial, nos podemos deshacer de e´ l y ´ de r− y r+ como vemos en la primera de las ecuaciones, de tal forma que escribirlo en funcion no aparezca en las otras, que ha sido lo que hemos hecho al escribir las condiciones de la forma anterior. La coordenada t es temporal en la zona entre los dos horizontes y es espacial en todos los dem´as puntos. Para que las geod´esicas sean coherentes con ello, tomamos que las geod´esicas salientes tengan ahora el signo negativo y las entrantes el positivo:

t=∓

  2 + r2 + r r r+ r − r+ r + r+ + r− r − r+ + − − 2 2 | + r− | + 2r+ r− ln | | + C0 ln | r+ ln | r + r+ + r− r − r− r − r− (r+ − r− ) (r+ + 2r− ) (2r+ + r− )

´ vienen dados por: Los conos de luz de esta solucion

´ de Schwarzschild De Sitter subextremal Figura 19: Conos de luz de la solucion

En este caso tenemos tres zonas claramente diferenciadas. Por un lado, tenemos un espacio de De ´ en el que no se puede estar en reposo, aislado por un horizonte de una zona Sitter en expansion intermedia en la cual se puede estar en reposo y que a su izquierda tiene un horizonte que si se atraviesa, se acaba en una singularidad de tipo espacial, por estar en el futuro de todo observador ´ de los conos de luz en cada zona. La que se adentre, como se puede deducir de la orientacion m´etrica es degenerada en estos horizontes por lo que vamos a buscar un cambio de coordenadas que nos la regularice en ambos horizontes. Comenzamos construyendo las coordenadas de E-F avanzadas:

t˜ = t −

  2 + r2 + r r r+ r − r+ r + r+ + r− r − r+ + − − 2 2 r+ ln | | + r− ln | | + 2r+ r− ln | | − r, r + r+ + r− r − r− r − r− (r+ − r− ) (r+ + 2r− ) (2r+ + r− )

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

38

las geod´esicas entrantes y salientes vienen dadas por:   t˜ = −r + C0  

entrantes

 i h  2 2  2(r + +r − +r + r − ) t˜ = −r − 2 ln | r −r+ | + r2 ln | r +r+ +r− | + 2r r ln | r −r+ | + C r+ + − 0 − r +r + +r − r −r − r −r − (r+ −r− )(r+ +2r− )(2r+ +r− )

salientes

y la m´etrica toma la forma: 2

ds =

r2 2M 1− 2 − r R0

! ˜2

dt − 2

2M r2 + 2 r R0

! dt˜dr −

2M r2 1+ 2 + r R0

! dr2 − r2 dΩ22 .

(6.3)

Ahora la m´etrica es completamente regular en los horizontes. Los conos de luz son:

Figura 20: Conos de luz en las coordenadas de E-F avanzadas.

Estas coordenadas nos cubren la parte intermedia y la izquierda de la variedad ya que los conos de ´ con respecto a la Figura 19. Tenemos una zona interluz en estas zonas preservan su orientacion media en la que se puede estar en reposo y que si desde all´ı cruzamos el horizonte interno, caemos inevitablemente en la singularidad, por lo que esta singularidad es una singularidad espacial, ya ´ de los conos, deducimos que e´ sta se encuentra en el futuro del observador que de la orientacion ´ es debida a que en al atravesar el horizonte interior, que se adentre en esta zona. Esta orientacion las coordenadas espacial y temporal intercambian sus papeles y por ello, avanzar hacia el futuro consiste en avanzar hacia valores de la coordenada radial decrecientes. Por lo tanto, el horizonte interior es un horizonte de sucesos que a´ısla la singularidad del resto del universo. Buscamos ahora unas coordenadas que nos regularicen la m´etrica en el horizonte exterior, para ello construimos las coordenadas de E-F retardadas

t¯ = t +

  2 + r2 + r r r+ r + r+ + r− r − r+ r − r+ + − − 2 2 r+ ln | | + r− ln | | + 2r+ r− ln | | + r, r + r+ + r− r − r− r − r− (r+ − r− ) (r+ + 2r− ) (2r+ + r− )

que hacen que las geod´esicas entrantes y salientes sean

 h i 2(r 2 +r 2 +r + r − ) 2 ln | r −r+ | + r2 ln | r +r+ +r− | + 2r r ln | r −r+ | + C  t¯ = r + (r+ −r− )(+r+ +−2r− )(2r+ +r− ) r+ + − 0 − r + r + r r − r r − r  + − − − 

entrantes

   ¯ t = r + C0

salientes

,

y que la m´etrica venga dada por: 2

ds =

r2 2M 1− 2 − r R0

! dt¯2 + 2

r2 2M + r R20

! dt¯dr −

r2 2M 1+ 2 + r R0

!

Que tambi´en es regular en los dos horizontes. Los conos de luz son ahora

dr2 − r2 dΩ22

(6.4)

39

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

Figura 21: Conos de luz en las coordenadas de E-F retardadas

Estas coordenadas nos cubren la parte de la variedad que va desde la zona intermedia hacia la ´ de los conos es la parte derecha del segundo horizonte debido que en estas zonas la orientacion ´ La misma que en la primera Figura 19 donde present´abamos los conos de luz de esta solucion. zona intermedia es una zona en la cual se puede estar en reposo debido a que las coordenadas ˜ temporal y radial desempenan cada una su papel, pero al travesar el horizonte externo, estas coordenadas intercambian sus papeles, por lo que avanzar hacia el futuro consiste en moverse hacia valores de la coordenada radial crecientes. Dado que la gravedad decrece con el cuadrado de la distancia, la presencia de la singularidad es despreciable a grandes distancias, por lo que este ´ horizonte es un horizonte cosmologico como lo era en el espacio de De Sitter. Cada observador ´ tiene derecho a creerse en reposo y por lo tanto tener su propio horizonte cosmologico.

6.2.2.

Conclusiones

Este caso tiene dos horizontes, como acabamos de ver. Presenta una zona intermedia en la cual se puede estar en reposo y dos zonas en la que esto no es posible. Para hacer que la m´etrica sea regular en el horizonte interior hemos tenido que usar unas coordenadas que nos describ´ıan la zona intermedia y la zona interna al primer horizonte, no pudiendo decir nada sobre lo que pasaba ´ En cambio, las otras en la zona derecha, dado que los conos de luz hab´ıan cambiado su orientacion. coordenadas, nos cubr´ıan la zona intermedia de nuevo y la zona tras el horizonte exterior por el ´ exponencial, donde mismo motivo de antes. Ah´ı tenemos un espacio de De Sitter con su expansion tampoco se puede estar en reposo, pero debido a que podemos despreciar el campo gravitatorio ´ con la expansion ´ del universo en esa zona, toda la estructura de De Sitter es v´alida en comparacion ´ y cada observador puede creerse en reposo con su respectivo horizonte cosmologico. La “suma de soluciones” ha preservado la estructura b´asica de ambos espacios ha pesar de que las ecuaciones ´ en general, de Einstein son ecuaciones no lineales y la suma de soluciones no es una nueva solucion ´ Adem´as,en la zona intermedia se puede hecho por el cual hemos entrecomillado esta expresion. ´ de este espacio, es conveniente trabajar con la estar en reposo. Para una completa descripcion m´etrica 6.3 para 0 < r < r+ y con la m´etrica 6.4 para r− < r para reproducir los resultados de la Figura 19, puesto que sabemos que el cambio t˜ ↔ t¯ mapea una m´etrica en la otra. De los intervalos que acabamos de definir, vemos que podemos utilizar la m´etrica que m´as convenga en la zona intermedia r− < r < r+ .

6.3.

√ Caso extremal R0 = 3 3M

6.3.1.

Estructura causal del caso extremal

Estudiamos ahora el caso extremal, que a priori puede parecer m´as sencillo, pues presenta un ´ unico horizonte situado en r = rmax = 3M donde hemos usado que la masa y el par´ametro ´ la igualdad en la expresion ´ 6.2 para poder escribir la ubicacion ´ del R0 est´an relacionados segun

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

40

´ podemos escribir la m´etrica en horizonte de la forma anterior. Volviendo a usar esta relacion, ´ de uno de ellos, en este caso de la masa que parece m´as intuitivo: funcion ds2 =

 1−

r2 2M − r 27M2



 dt2 − 1 −

r2 2M − r 27M2

 −1

dr2 − r2 dΩ22

En este caso, las coordenadas{t , r, θ, ϕ}, por analog´ıa con el caso anterior, son las que usa un ´ por la observador situado justo en el horizonte, ya que ahora no tenemos una zona extensa, razon cual no son muy fiables ya que ah´ı la m´etrica en singular, as´ı que r´apidamente construiremos las coordenadas de E-F. Calculamos las geod´esicas radiales nulas para estudiar la estructura causal ´ que en principio esperamos que sea Schwarzschild para r < 3M y De Sitter para de esta solucion, r > 3M. La forma de las geod´esicas viene dada por   9M2 r − 3M |− + C0 . t = ∓ 2M ln | r + 6M r − 3M

Donde el signo - denota geod´esicas salientes y el signo + geod´esicas entrantes. Con estas expresio´ nes, podemos dibujar los conos de luz de esta solucion:

´ de Schwarzschild- De Sitter extremal Figura 22: Conos de luz de la solucion

´ de los conos, vemos que es imposible estar en reposo en ninguna de las dos zoPor la orientacion ´ es De-Sitter para r > 3M y Schwarzschild para r < 3M, nas. La estructura causal de esta solucion como esper´abamos. Dado que la componente temporal de la m´etrica es negativa, la coordenada r es temporal en toda la variedad salvo en el horizonte que es nula y la coordenada t es espacial, salvo en el horizonte, que tambi´en es nula. La singularidad en el origen es de tipo espacial, ya que se encuentra en el futuro de todo observador que se encuentre en la zona interior del horizon´ de los conos. Construyamos las coordenadas de E-F te, como podemos deducir de la orientacion avanzadas para que nuestra m´etrica no est´e degenerada en r = 3M. r − 3M 9M2 t˜ = t − 2M ln | |+ − r. r + 6M r − 3M

Con lo cual, las geod´esicas entrantes y salientes quedan de de la forma:   t˜ = −r + C0   

entrantes

   t˜ = −r − 4M ln | r−3M | + 18M2 + C 0 r +6M r −3M

salientes

.

La m´etrica se puede escribir: 2

ds =



r2 2M 1− − r 27M2



dt˜2 − 2



r2 2M + r 27M2



 ˜ dtdr − 1 +

r2 2M + r 27M2



dr2 − r2 dΩ22 .

(6.5)

´ 6.2 en la m´etrica 6.3. Veque es lo que esperar´ıamos si sustituy´esemos la igualdad en la condicion mos que estas coordenadas hacen que la m´etrica sea completamente regular en el horizonte y que

41

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

aparezca un t´ermino cruzado que rompe la invariancia temporal. Dibujemos en estas coordenadas los conos de luz. ´ de Schwarzschild- De Sitter en coordenadas de E-F avanzaFigura 23: Conos de luz de la solucion das.

En estas coordenadas, tenemos una singularidad en el futuro protegida por un horizonte de sucesos. Estas coordenadas no nos cubren la parte de la derecha del horizonte debido a que la orien´ de los conos de luz ha cambiado radicalmente respecto a lo encontrado en las coordenadas tacion de Schwarzschild. Finalmente la part´ıcula caer´a inevitablemente en la singularidad., ya que e´ sta se encuentra en su futuro. Tenemos de nuevo una singularidad de tipo espacial protegida por un horizonte de sucesos. Si ahora nos construimos las coordenadas de E-F retardadas: 9M2 r − 3M |− + r. t¯ = t + 2M ln | r + 6M r − 3M

Las geod´esicas se escriben de la forma  3M 18M2  t¯ = r + 4M ln | rr−   +6M | − r −3M + C0 

entrantes

   t¯ = r + C

salientes

0

.

Y la m´etrica se puede escribir de la siguiente forma: ds2 =

 1−

r2 2M − r 27M2



dt¯2 + 2



r2 2M + r 27M2



 dt¯dr − 1 +

r2 2M + r 27M2



dr2 − r2 dΩ22 ,

(6.6)

´ 6.2 en la m´etrica 6.4. Los conos de luz en que corresponde a sustituir la igualdad en la expresion estas coordenadas son: Figura 24: Conos de luz en la coordenadas de E-F retardadas

Estas coordenadas nos cubren la parte de la derecha del horizonte y no la izquierda ya que en ´ respecto de la que ten´ıan en coordenadas esa zona los conos de luz han cambiado su orientacion ´ en el cual de Schwarzschild. Tenemos entonces un espacio de De Sitter a la derecha en expansion cada observador puede creerse en reposo ya que el efecto de la singularidad una vez cruzado el horizonte se vuelve cada vez m´as despreciable (recordemos que la fuerza gravitatoria decae con el

6

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE DE SITTER

42

cuadrado de la distancia) y por lo tanto ver la estructura del espacio de De Sitter con su horizonte ´ ´ exponencial. cosmologico y su expansion Vemos de nuevo, como parece que hemos roto la invariancia t ↔ −t, pero es que cada una de estas dos m´etricas cubre solamente un parche de la variedad, no la variedad completa. El cambio ´ t¯ ↔ t˜ mapea una m´etrica en la otra y hace que se preserve la invariancia temporal de la solucion estudiada. 6.3.2.

Conclusiones

Este espacio no deparaba ninguna sorpresa respecto de lo que esper´abamos, que era un espacio de Schwarzschild para la parte interior del horizonte y un espacio de De Sitter para la parte exte´ rior. En este caso “la suma de soluciones” donde recordamos que entrecomillamos esta expresion debido al hecho de que las ecuaciones de Einstein no son lineales y por lo tanto la suma de solu´ ha preservado las partes m´as importantes de cada uno de los ciones no tiene porqu´e ser solucion, ´ espacios. En unas coordenadas, tenemos un horizonte de sucesos y no un horizonte cosmologico ya que dichas coordenadas solamente nos cubren la parte de la variedad que queda a la izquierda del horizonte, tras el cual se encuentra una singularidad de tipo f´ısico y espacial, dado que como hemos visto las coordenadas temporal y radial cambian su papel en todas las zonas de la variedad, en concreto en la zona izquierda del horizonte, haciendo que todo lo que se adentre m´as all´a caiga irremediablemente a la singularidad. En las otras coordenadas, que nos cubren la parte ´ exponencial con su horiderecha de la variedad, tenemos un espacio de De Sitter en expansion ´ ´ zonte cosmologico, ya que suficientemente lejos de la fuente de campo gravitatorio, la expansion exponencial del espacio es lo que predomina, por lo que cada observador puede creerse a s´ı mismo en reposo y ver la estructura t´ıpica de De Sitter en la cual, cada observador tiene su propio ´ ´ de lo horizonte cosmologico. Al igual que en el caso subextremal, para la completa descripcion que muestra la Figura 22, debemos trabajar con la m´etrica 6.5, en el intervalo 0 < r < 3M y con la m´etrica 6.6 en el intervalo 3M < r, puesto que como sabemos, el cambio t˜ ↔ t¯ mapea una en la otra.

43

7.

7

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER

Agujero negro de Schwarzschild en el espacio de anti-De Sitter

´ se estudiar´a la influencia de un agujero negro de Schwarzschild en el espacio de En esta seccion ´ anti-de Sitter, que ten´ıa una constante cosmologica negativa. Veamos si sus propiedades asombrosas se preservan al igual que el caso anterior preservaba las propiedades m´as importantes del espacio de De Sitter y de Schwarzschild.

7.1.

Estudio de los horizontes de la solucion ´ de Schwarzschild Anti De Sitter

˜ Si a la m´etrica 5.1, le anadimos, al igual que en el caso de De Sitter, el t´ermino de masas 2

ds =

r2 2M 1+ 2 − r R0

! 2

dt −

r2 2M 1+ 2 − r R0

! −1 dr2 − r2 dΩ22 ,

esperamos que la estructura causal cambie radicalmente con respecto al caso anterior, como ya suced´ıa entre los espacios de De Sitter de anti- De Sitter. Para comprobarlo, tenemos que estudiar las geod´esicas radiales nulas y para ello debemos saber cu´antos horizontes puede presentar nuestra ´ Al igual que en el caso anterior, estudiamos el comportamiento de la componente gtt de solucion. la m´etrica: 1+

2M r2 − =0 r R20

Estudiamos los l´ımites de la componente temporal de la m´etrica con r tendiendo a cero y a infinito. l´ım gtt = −∞

r → 0+

l´ım gtt = +∞

r →∞

Por continuidad, y usando el teorema de Bolzano, la gr´afica de la componente temporal de la m´etrica al menos ha cruzado el eje radial una vez. Veamos si presenta m´aximos y m´ınimos para ver si lo cruza en m´as ocasiones: d 2r 2M gtt = 2 + 2 = 0 ⇒ r3 = −2MR20 dr r R0

Ese extremo se encuentra en la parte negativa del eje radial y por lo tanto no nos interesa. Podemos ´ afirmar entonces, que existe un unico horizonte situado en r = r H . Veamos las condiciones que debe cumplir este par´ametro para ser horizonte. Para ello factorizamos la componente gtt de la forma: r3 + R20 r − 2MR20 R20 r


r2 + br + a2 (r − r H ) = R20 r

7

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER

44

Figura 25: Comportamiento de la componente temporal de la m´etrica

Donde los par´ametros a y b deben cumplir: b2 − 4a2 < 0.

(7.1)

para que el polinomio cuadr´atico no tenga ra´ıces reales y permita la existencia de m´as horizontes. Deshaciendo los par´entesis:   r3 + R20 r − 2MR20 = r3 + (b − r H ) r2 + a2 − br H r − a2 r H .

Comparando t´ermino a t´ermino, obtenemos las siguientes condiciones:    b = r H     

a2 − r2H = R20 a2 r H a2 −r2H

= 2M

Veamos si se verifica 7.1:   b2 − 4a2 = r2H − 4 R20 + r2H = −4R20 − 3r2H < 0

´ correcta. La m´etrica en funcion ´ de los nuevos par´ametros Con lo cual, esa es nuestra factorizacion introducidos queda de la siguiente forma ds2 =

1+

r2 a2 rH − 2 2 2 a − rH a − r2H r

! dt2 −

1+

r2 a2 rH − 2 2 2 a − rH a − r2H r

! −1 dr2 − r2 dΩ22

Donde las coordenadas {t, r, θ, ϕ} son las empleadas por un observador que se encuentre en la parte que corresponde al espacio de anti De Sitter. Adem´as de los horizontes, volvemos a tener una singularidad f´ısica en r = 0, que para determinar que efectivamente es f´ısica, nos basamos en el argumento que presentamos con el agujero negro de Schwarzschild De Sitter, y es que cerca de la singularidad, el t´ermino cuadr´atico de la componente temporal de la m´etrica, es despreciable frente al t´ermino que va como r −1 y por lo tanto la m´etrica es pr´acticamente Schwarzschild que presentaba una singularidad f´ısica en r = 0.

7.2.

Estructura causal de la solucion ´ de Schwarzschild Anti De Sitter

´ volvemos a calcular las geod´esicas radiales Para obtener la estructura causal de esta solucion, ´ es nulas, cuya expresion   2a2 + r2H 2r + r H r H ln | p  + C0 . t=± 2 |+ q arctan  q 2r H + a2 r 2 + r H r + a2 4a2 − r2H 4a2 − r2H a2 − r2H



r − rH

45

7

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER

Vemos que el primer sumando rompe la periodicidad de las geod´esicas en este caso, pero como veremos, a grandes distancias del horizonte es despreciable y volvemos a tener geod´esicas que ´ son periodicas. Dibujamos los conos de luz:

´ de Schwarzschild anti- De Sitter Figura 26: Conos de luz de la solucion

Volvemos a tener dos zonas perfectamente diferenciadas: en la parte interior del horizonte tenemos un agujero negro de Schwarzschild, es decir, una zona en la que no se puede estar en reposo, dado que la singularidad f´ısica vuelve a ser espacial y por ende se encuentra en el futuro de cualquier observador que se encuentre en esta zona. Como siempre, esto vuelve a ser debido a que las coordenadas temporal y radial intercambian sus papeles e ir hacia el futuro consiste en ir hacia valores decrecientes de la coordenada radial. En la zona exterior, tenemos un espacio de anti De ´ 5 y que finalmente Sitter, cuyos conos de luz se asemejan mucho a los que vimos en la Seccion ´ ´ entre las dos zonas es resultaron ser geod´esicas radiales periodicas. Para ver que esta separacion un artificio del uso de las coordenadas empleadas, construimos las coordenadas de E-F avanzadas   2a2 + r2H 2r + r H r H ln | p  − r, t˜ = t + 2 |+ q arctan  q 2r H + a2 r 2 + r H r + a2 4a2 − r2H 4a2 − r2H a2 − r2H



r − rH

que hacen que as geod´esicas entrantes y salientes sean    t˜ = −r + C0  

entrantes

     2  2( a2 −r 2 ) r2H 2r +r H  √ t˜ = −r + 2 H2 r H ln | √ 2 r−r H 2 | + √2a + arctan + C0 2r H + a r +r H r + a 4a2 −r2H 4a2 −r2H

salientes

,

y que la m´etrica quede de la forma: 2

ds =

r2 2M 1+ 2 − r R0

! dt˜2 + 2

r2 2M − r R20

! dt˜dr −

r2 2M 1− 2 + r R0

! dr2 − r2 dΩ22

Que es perfectamente regular en el horizonte. Los conos de luz son ahora de la siguiente forma:

7

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER

46

´ de Schwarzschild anti De Sitter en las coordenadas de E-F Figura 27: Conos de luz de la solucion avanzadas

En este caso, tenemos un horizonte que protege una singularidad en el futuro, ya que cualquier observador que se adentre en el horizonte, estar´a destinado a caer en la singularidad, ya que e´ sta es de tipo espacial. A la derecha del horizonte, tenemos un espacio de anti- De Sitter en el que las geod´esicas radiales nulas pueden llegar desde cualquier punto al infinito en un tiempo finito, para luego retornar y caer en la singularidad, ya que los conos de luz son totalmente an´alogos a los de anti- De Sitter y las geod´esicas entrantes son capaces de cruzar el horizonte hasta llegar a la singularidad. Estas coordenadas nos cubren toda la parte de la variedad que ve´ıamos con las coordenadas de Schwarzschild, a diferencia que en el caso del agujero negro de Schwarzschild´ describ´ıan una parte debido a que en la otra los conos De Sitter, en el que estas coordenadas solo ´ dr´asticamente. de luz cambiaban su orientacion Construimos ahora las coordenadas de E-F retardadas   2a2 + r2H 2r + r H  r H ln | p |+ q arctan  q + r, t¯ = t − 2 2r H + a2 r 2 + r H r + a2 4a2 − r2H 4a2 − r2H a2 − r2H



r − rH

lo que hace que las geod´esicas entrantes y salientes sean     2 2 2 2  ¯ = r − 2( a2 −r H2 ) r H ln | √ 2 r−r H 2 | + √2a +r H arctan √2r+r H  t + C0   2r H + a r +r H r + a 4a2 −r2H 4a2 −r2H 

entrantes

    t¯ = r + C

salientes

0

,

quedando la m´etrica de la siguiente forma: 2

ds =

r2 2M 1+ 2 − r R0

! ¯2

dt − 2

r2 2M − r R20

! dt¯dr −

r2 2M 1− 2 + r R0

! dr2 − r2 dΩ22 .

que tambi´en es regular en el horizonte. Los conos de luz quedan como:

´ de Schwarzschild anti De Sitter en las coordenadas de E-F Figura 28: Conos de luz de la solucion retardadas

47

7

AGUJERO NEGRO DE SCHWARZSCHILD EN EL ESPACIO DE ANTI-DE SITTER

Aqu´ı tenemos una singularidad en el pasado protegida por un horizonte de sucesos. Las influencias causales pueden salir a trav´es del horizonte, pero nada puede pasar a trav´es de e´ l. Una vez fuera, tenemos un espacio de anti De Sitter en el que las geod´esicas radiales nulas salientes pueden llegar al infinito en un tiempo propio finito, para retornar de nuevo como geod´esicas entrantes y cruzarse con un horizonte que no las dejar´a cruzar hacia el interior. Estas coordenadas describen la ´ de los conos de misma zona derecha que las otras, pero no la zona izquierda, ya que la orientacion luz es totalmente diferente a lo que ve´ıamos en coordenadas de Schwarzschild y en coordenadas de E-F avanzadas. Estas coordenadas cubren una zona diferente de la variedad.

7.3.

Conclusiones

Este caso ha sido pr´acticamente lo que esper´abamos, un espacio de Schwarzschild en el interior del horizonte y un espacio de anti- De Sitter en el exterior. La salvedad aqu´ı es que las geod´esicas radiales nulas no pueden influenciar a todas las regiones del espacio debido a la presencia del horizonte de sucesos que tenemos por la presencia del agujero negro. En un caso, si usamos ˜ coordenadas de E-F avanzadas y mandamos senales desde fuera del horizonte al infinito, e´ stas llegar´an en un tiempo finito y volver´an como geod´esicas entrantes, que son capaces de cruzar el horizonte y llegar a caer a la singularidad. En otro caso, usado coordenadas de E-F retardadas, ´ es an´aloga, salvo que una vez lleguen al infinito y retornen, no ser´an capaces de crula situacion zar el horizonte. Estos dos comportamientos de las geod´esicas, es debido a que cada una de las coordenadas usadas cubren solamente un parche de la variedad. Con las coordenadas avanzadas, confirmamos lo que ve´ıamos en las coordenadas de Schwarzschild, es decir, una singularidad f´ısica y espacial protegida por un horizonte de sucesos en el futuro y a la derecha un espacio de anti-De Sitter. En cambio, con las coordenadas retardadas, lo que vemos es un espacio de anti- De Sitter en la zona derecha del horizonte y una singularidad espacial protegida por un horizonte de sucesos en el futuro. Ambas coordenadas cubren igualmente la zona correspondiente al espacio de anti-De Sitter.

8

8.

CONCLUSIONES FINALES

48

Conclusiones finales

En este proyecto hemos visto diferentes tipos de agujeros negros, cada uno con sus peculiaridades. Al comienzo vimos la estructura del agujero negro de Schwarzschild, que presentaba una singularidad f´ısica protegida con un horizonte de sucesos, el cual actuaba como membrana unidireccional para las influencias causales. En las coordenadas avanzadas vimos que la singularidad se situaba en el futuro de todo observador que se adentrase hacia el horizonte, de forma que las influencias causales no pod´ıan salir de la singularidad hacia el resto del universo. Sin embargo, en las retrasadas vimos que esa singularidad se situaba en el pasado de todo observador, de forma que las influencias causales pod´ıan salir de la singularidad pero no entrar. Este comportamiento tan diferente era debido a que con cada una de las coordenadas est´abamos viendo una parte diferente de la variedad diferencial. ´ natural del agujero negro anterior, que era anadirle ˜ Posteriormente, hicimos la extension una carga ´ existiendo, dependiendo de la relacion ´ el´ectrica no trivial. Esto cambio´ por completo la solucion entre la masa y la carga, uno o dos horizontes que proteg´ıan una singularidad muy diferente. En este caso era evitable y no estaba necesariamente en el futuro de todo observador sino en un lugar del espacio, aunque se pod´ıa llegar a ella siguiendo trayectorias no geod´esicas. Si el observador se dejaba llevar por la gravedad, descubrimos que llega un punto en el e´ sta se vuelve repulsiva pudiendo volver de nuevo a cruzar los horizontes y volver a salir a una nueva zona ´ asintoticamente plana. ´ estudiamos dos espacios soluciones del vac´ıo de la accion ´ de Einstein-Hilbert con A continuacion ´ constante cosmologica, que pod´ıa interpretarse como la densidad de energ´ıa del vac´ıo. Uno de ´ ellos, el espacio de De Sitter, pose´ıa una constante cosmologica positiva y representaba un universo ´ o contraccion ´ exponencial. Era un espacio isotropo, ´ en expansion en el que cada observador se ´ pod´ıa creer en reposo y ver su propio horizonte cosmologico, una zona de corrimiento infinito al rojo que cualquier cosa que la atravesase, perder´ıa contacto causal para siempre con el observador ´ y una zona de la cual surg´ıan los objetos que no ten´ıan de referencia en el caso de la expansion ´ El espacio de anti-De contacto causal con este observador para estarlo en el caso de la contraccion. ´ ´ Sitter, pose´ıa un valor negativo de la constante cosmologica y no presentaba horizontes de ningun ´ tipo, ni cosmologico ni de sucesos. La caracter´ıstica que defin´ıa a este espacio era la existencia de ´ geod´esicas periodicas, tanto nulas como temporales. Mientras que las nulas llegaban en un tiempo finito al infinito, las temporales no eran capaz de hacerlo, debido a que su amplitud depend´ıa de su energ´ıa y se necesitaba una energ´ıa infinita para que pudiesen llegar. ´ natural de estos espacios, y m´as sencilla, es anadir ˜ La extension un agujero negro. En el caso de De Sitter, daba lugar a dos tipos de soluciones, una con dos horizontes en la cual ten´ıamos una parte ´ central que correspond´ıa a puro Schwarzschild y otra a puro De Sitter separadas por una region delimitada por un horizonte de sucesos en la parte m´as cercana a Schwarzschild y un horizonte ´ ´ ´ cosmologico en la zona m´as proxima a De Sitter. Este horizonte cosmologico no era absoluto, al igual que en De Sitter, sino que depend´ıa del observador, ya que lejos del agujero negro, el espacio ´ ´ pose´ıa un unico ´ es isotropo viendo todas las caracter´ısticas de De Sitter. La otra solucion, horizonte degenerado, ya que nuestras coordenadas eran las de un observador que se situaba justo en el horizonte y eso hac´ıa que no fuesen muy fiables. Dicho observador en unas coordenadas, ve que todo cae a la singularidad que es de tipo espacial, por situarse en el futuro de todo observador cayente. En las otras coordenadas, todo se ve´ıa empujado hacia la zona de De Sitter y, como la gravedad decae como el cuadrado de la distancia, en esa zona es despreciable y cada observador

49

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CONCLUSIONES FINALES

´ se puede creer en reposo viendo un horizonte cosmologico. ˜ Finalmente, al anadir el agujero negro en el espacio de De Sitter, ten´ıamos un horizonte de sucesos, ´ que proteg´ıa una singularidad espacial, y una zona que asintoticamente era el espacio de anti´ ´ De Sitter, en el que las geod´esicas eran asintoticamente periodicas, ya que la parte que no lo era decrece muy r´apidamente una vez fuera del horizonte. ´ es decir, parEn todo este proyecto hemos repetido el mismo proceso para encontrar la solucion, tir de un Ansatz para la m´etrica que reflejase todas las caracter´ısticas que busc´abamos (simetr´ıa esf´erica y estaticidad) e insertarlo en las ecuaciones de Einstein. Pero existen muchas soluciones que no son de este tipo, es el caso del agujero negro de Kerr, que no es esf´ericamente sim´etrico ni est´atico, lo cual hace que el procedimiento para encontrar la m´etrica que lo describe sea diferente ˜ sucesivos desarrollar los m´etodos que permiten llegar a al presentado aqu´ı. Esperamos en anos este tipo de soluciones a la par que emplear herramientas matem´aticas m´as sofisticadas para estudiar la estructura causal de estos espacios de forma m´as sencilla, como lo son los diagramas de Penrose.

REFERENCIAS

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Bibliograf´ıa

Referencias [1] Carroll, S.M. 2004. Spacetime and Geometry. An introduction to General Relativity. University of Chicago. [2] d’ Inverno, R. 1998. Introducing Einstein’s Relativity. University of Southampton. [3] Janssen. B. 2013. Teor´ıa de la Relatividad General. Universidad de Granada. [4] Feynmann. R.P. 1995. Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley Publishing Company. [5] Poisson, E. 2004. A relativist’s toolkit. The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge University Press.