“Estudio de tejido del sistema integumentario usando interferometría holográfica digital”

Tesis presentada por: Lic. Ninfa del Carmen Lozano Rincón

Como requisito para obtener el grado de: Maestra en Ciencias (Óptica)

Asesor: Dr. Manuel Humberto De la Torre Ibarra

León, Guanajuato, México, Junio de 2013

Resumen El estudio de las propiedades biomecánicas de la piel es importante para muchos campos biomédicos como son la medicina y la biología, ya que con ello se puede: conocer el estado de salud que guarda el tejido, mejorar el diseño de piel artificial, cuantificar la efectividad de un producto dermatológico, desarrollar estrategias para mejorar la curación en heridas, diseñar patrones de incisión quirúrgicas para minimizar la cicatrización y trauma, detectar enfermedades en la piel, etc. Es por esto que nació el interés de analizar qué tan factible es el uso de la técnica óptica “interferometría holográfica digital” (DHI, por sus siglas en inglés) para el estudio de la piel y la información que pueda la técnica óptica obtener de su estado físico-mecánico. Cabe señalar que este trabajo es un primer estudio donde se expone un marco teórico y experimental de los resultados obtenidos en el manejo de varias muestras de piel empleando DHI. DHI es una técnica óptica no invasiva que no hace contacto mecánico con el objeto bajo estudio y es de campo completo. Consiste básicamente en comparar dos frentes de onda en diferentes tiempos. Por ejemplo, se compara un estado de referencia del tejido con otro donde el tejido sufre deformación. Para este estudio se realizaron deformaciones por medio de arcos eléctricos en forma controlada y repetible. De los resultados obtenidos en el trabajo se muestra que DHI es una técnica plausible para el análisis de deformaciones inducidas en la piel. A pesar de que las deformaciones pueden llegar a ser de varias decenas de micrómetros, fue posible hacer un seguimiento de ellas en intervalos definidos.

Dedicatoria A mis padres,

Julio y Ma. del Carmen .

Gracias por todo su cariño, apoyo y paciencia. Los quiero mucho.

Agradecimientos Le agradezco primeramente a Dios, por darme salud, fortaleza y una vida llena de aprendizajes. Le doy gracias a mi asesor de tesis, al Dr. Manuel Humberto De la Torre por su infinita paciencia, por compartir conmigo sus conocimientos, gracias Doctor. Debo agradecer también al CONACYT y al CIO, por brindarme la oportunidad de crecer profesionalmente. Al Dr. Daniel Malacara Doblado y al Dr. Francisco Javier Casillas Rodríguez por sus valiosas correcciones hechas en este trabajo. Agradezco a todas aquellas personas que de alguna manera contribuyeron a la realización de esta tesis.

Gracias…

Índice

Capítulo I Introducción………………………...………………………………………………. 1 Referencias..………………………………...………………………………………. 4

Capítulo II Fundamentos ópticos de DHI 2.1 Conceptos básicos de óptica……………………………………………………..6 2.1.1 Interferencia de dos ondas planas……........…………………………………7 2.1.2 Moteado……………………………………………………………………..14 2.1.3 Sensibilidad en patrones de moteado……………………………………….18 2.1.4 Medición de desplazamientos en un interferómetro………….......................23 2.1.4.1 Caso de desplazamiento en el plano………………...………….…..23 2.1.4.2 Desplazamiento en un interferómetro fuera de plano………………28 2.1.5 Interferometría holográfica digital (DHI)…………..………………..…….30 2.1.5.1 Tamaño de la apertura……………………………………………...34 2.1.5.2 Portadora espacial……………………………………….………....36 2.1.6 Evaluación de la fase por medio de la transformada de Fourier….................40 Referencias………………………..………………………………………………………..44

Capítulo III Sistema integumentario y técnicas de medición 3.1 Estructura y funciones de la piel ……………………………………………...............45 i

3.2 Mediciones de las propiedades mecánicas de la piel…………………........................50 3.2.1 Prueba de succión…………………………………........................................51 3.2.2 Prueba de torsión………………………………………………………….....52 3.2.3 Prueba de tracción………………………………….......................................53 3.2.4 Prueba de indentación…………………………….........................................54 3.2.5 Prueba de elastografía…………………………….........................................54 3.2.5.1

Elastografía con ultrasonido……………………………………...56

3.2.5.2 Elastografía con resonancia magnética..…………………………...57 3.2.5.3 Elastografía con OCT……………………………………………...58

Referencias……………………………………………………………………….…59

Capítulo IV Experimento y resultados 4.1 Arreglo experimental …………………………………………………………61 4.1.1 Arreglo óptico 1 (muestra vertical).………...………….……..……………... 63 4.1.2 Arreglo óptico 2 (muestra horizontal)….….…...…………..……….………...65 4.1.3 Dispositivo……………………………….……...………………….………...65

4.2 Pruebas preliminares……………………………………………………………75 4.2.1 Prueba 1. Esparcimiento de la luz sobre la piel de rata …………….………75 4.2.2 Prueba 2. Piel de rata sometida a estrés……………..…………………….77 4.2.3 Prueba 3. Piel de rata fijada a un bastidor de madera..………………….... 79 4.2.4 Prueba 4. Piel de rata fijada a un bastidor de plástico.…………………….81

ii

4.3 Pruebas y resultados finales…………….………………………………………84 4.3.1 Comparación del método de desenvolvimiento de fase espacial con el método de fase temporal (TPU)…………………………………………………………… 82 4.3.2 Prueba 1. Piel de dorso porcino en la posición 1 del dispositivo versión 4… 88 4.3.3 Prueba 2. Piel de dorso porcino en la posición 2 del dispositivo versión 4. ...91 4.3.4 Prueba 3. Piel de dorso porcino en la posición 1 del dispositivo versión 4. 93 4.3.5 Análisis del cambio de fase en el tiempo…………...…………………….… 95

Capítulo V Discusión y conclusiones……………………………………………………98

Apéndice Apéndice A. Haz reflejado en un sistema de coordenadas rotado……………...…102 Apéndice B. Características del láser Verdi-V10 Nd:YV04…………..…………103 Apéndice C. Características de la cámara PixeLink PL-B741U-R………………104

iii

Lista de figuras Figura 2.1 Diagrama esquemático de la interferencia de dos ondas planas en el punto P...9 Figura 2.2 Ángulo formado por dos ondas planas, donde una de ellas es paralela al eje z.12 Figura 2.3 Efecto de moteado…………………..…………………………………………14 Figura 2.4 Formación de moteado objetivo. …...…………………………………………15 Figura 2.5 Deducción de la mota objetiva... …...…………………………………………16 Figura 2.6 Formación del moteado subjetivo. …………………………………………….17 Figura 2.7 Diagrama para estudio de la sensibilidad del patrón de moteado……….……..19 Figura 2.8 Vector de sensibilidad………………………………………………………….20 Figura 2.9 Diagrama esquemático de interferómetro en plano………………………....…23 Figura 2.10 Desplazamiento de un punto P en un interferómetro en el plano……..……...24 Figura 2.11 Diferencia de camino óptico entre el haz 1, antes y después de la deformación …………………………………………………………………………..………………….25 Figura 2.12 Acercamiento de la figura 2.11…………………………………………….....26 Figura 2.13 Diferencia de camino óptico entre el haz 2, antes y después de la deformación …………………..………………………………………………………………………….27 Figura 2.14 Diagrama esquemático de interferómetro fuera de plano…………………….29 Figura 2.15 Desplazamiento del punto P en un interferómetro fuera de plano. ………….29 Figura 2.16 Diagrama esquemático del haz objeto y el haz de referencia en un arreglo DHI. ………………………………………….…………………………………………………..31 Figura 2.17 Diagrama esquemático para el cálculo del tamaño de la apertura en un interfe-rómetro fuera de plano …………………………………………………………………….34 iv

Figura 2.18 Diagrama esquemático para el cálculo del ángulo para introducir portadora.36 Figura 2.19 Diagrama esquemático de la pantalla del sensor donde se graba los hologramas y la ventana en el espacio de las frecuencias…………..…………...…………………..….37 Figura 2.20 Lóbulos de Fourier rectangulares centrados en ¼ MS …………..……………37 Figura 2.21 Propiedad de la portadora de la transformada de Fourier…………………….38 Figura 2.22 Diagrama de pasos para obtener el mapa de desplazamientos por el método de desenvolvimiento de fase espacial…………………………………………...………...….41 Figura 2.23 Diagrama de pasos para obtener el mapa de desplazamientos por el método TPU…………………………………………………………………. …………………….42 Figura 2.24 Diagrama esquemático de la fase de un pixel (m,n) en el tiempo…………….43 Figura 3.1 Estructura de la piel…………………………………………..…………….….46 Figura 3.2 Capas de la epidermis………………………………………..……………..….47 Figura 3.3 Diagrama esquemático de la dermis……………………………..………...…..48 Figura 3.4 Diagrama esquemático de fibra colágena……………………..…………...…..48 Figura 3.5 Moléculas de elastina…………………………………………..………………51 Figura 3.6 Diagrama esquemático de aparato para prueba de succión…...……………….52 Figura 3.7 Diagrama esquemático de aparato para prueba de torsión……..……………...52 Figura 3.8 Diagrama esquemático de aparato para prueba de tracción……..……………..53 Figura 3. 9 Esquema básico de la prueba de indentación…………………..……………...54 Figura 3.10 Esquema básico de la prueba de elastografía………………………………...55 Figura 3.11 Sonograma y elastograma de un carcinoma..………………………………...56 Figura 3.12 Diagrama esquemático de un sistema de elastografía con ultrasonido…..…...57

v

Figura 3.13 Diagrama esquemático de un sistema de elastografía por OCT……………...58 Figura 4.1 Diagrama esquemático del arreglo óptico 1 …………………….………….....63 Figura 4.2 Diagrama esquemático del arreglo óptico 2 …………………….………….....65 Figura 4.3 Generador de pulsos eléctricos... ……………………………………………...66 Figura 4.4 Señal de salida del generador de pulsos eléctricos ……………...…………….66 Figura 4.5 Dispositivo versión 1……….…………………..……………………………...68 Figura 4.6 Fotografías de sujeción de la rata con una placa de vidrio en el FOV…….......69 Figura 4.7 Diagrama esquemático de lienzo de piel tensado con garfios……….…….......70 Figura 4.8 Dispositivo versión 2………….….……...……..……………………………...71 Figura 4.9 Dispositivo versión 3……….…….……...……….……….…………………...71 Figura 4.10 Lienzo de piel en el dispositivo de sujeción versión 3……………………….72 Figura 4.11 Tabla de mediciones de voltaje promedio y corriente promedio …..………...73 Figura 4.12 Dispositivo versión 4…………….….…...……….……….…………..……...74 Figura 4.13 Mapa de fase envuelta obtenido de la prueba 1 …………..…………..……...76 Figura 4.14 Mapas envueltos obtenido de la prueba 1 ………………...…………..……...77 Figura 4.15 Mapas envueltos obtenidos de la prueba 2 ………………....………………..78 Figura 4.16 Mapas desenvuelto y de desplazamientos del mapa mostrado en la figura 4.15 (b) …....……………………………………………………………………….……..……..78 Figura 4.17 Diferentes posiciones de los caimanes… ………………....…………..……..79 Figura 4.18 Mapas envueltos de la piel fijada en bastidor de madera ………………..…..80 Figura 4.19 Tres diferentes posiciones del paso de corriente ………………..…………...81 Figura 4.20 Mapas envueltos de la prueba 4……………….. ………………..…………...82 vi

Figura 4.21 Mapas de desplazamiento correspondientes a las figuras 4.20…..…………...83 Figura 4.22 Comparación del método de desenvolvimiento espacial con TPU ..………...85 Figura 4.23 Comparación de mapas envueltos…………………………...…..…………...86 Figura 4.24 Mapa de fase TPU con su correspondiente mapa envuelto….…..…………...87 Figura 4.25 Tiras de piel porcina...........………………………………….…..…………...88 Figura 4.26 Mapa envuelto de la piel donde el paso de corriente es por la posición 1 y su -correspondiente mapa de desplazamiento………………….……………………….……...89 Figura 4.27 Mapas envueltos de desplazamiento para distintas muestras de piel durante la prueba 1………………………………………………………………………………….....90 Figura 4.28 Mapa envuelto de la piel con voltaje aplicado en la posición 2 y el mapa de desplazamiento resultante……………………………………………………………….... 91 Figura 4.29 Mapas envueltos y de desplazamiento resultantes de tres piezas de piel para la prueba 2………………………………………………………………………………..…...92 Figura 4.30 Mapas envuelto en la posición 1 por el dispositivo de la versión 4 y el mapa de desplazamiento………………………………………………………………………….... .93 Figura 4.31 Mapas envueltos y de desplazamiento en diversas muestras de piel en la prueba 3…...…………………………………………………………………………………….94 Figura 4.32 Ejemplos de mapas envueltos de tres muestras distintas para analizar el cambio de fase en el tiempo…………………………………………….…………………….…….95 Figura 4.33 Gráficas de la fase desenvuelta en 3 segundos para filas y columnas seleccio--nadas para cada posición de aplicación de voltaje………………………… ……...…….97 Figura 5.1 Diagrama esquemático para representar las deformaciones de un material cuando es aplicado un esfuerzo de compresión………………………………………….……...99

vii

Figura A.1. Esquema para el cálculo del ángulo de un haz reflejado en un sistema de coordenadas rotado…………………………………………………………………………....102

viii

Capítulo I

Introducción

En la vida cotidiana existen muchos fenómenos físicos que al ser modelados matemáticamente nos permiten predecirlos y cuantificarlos en cierta medida. Al establecer un modelo matemático del comportamiento de la luz, fue posible el desarrollo de una gran cantidad de dispositivos optoelectrónicos que actualmente existen y que son aplicados en la estimación de variables físicas en escala micrométrica en muchas disciplinas de ingeniería; es por esto, que la óptica es un área fundamental para el desarrollo de la tecnología. Dentro de la óptica, existen varias técnicas de medición que se fundamentan con modelos ondulatorios de la luz. Una de estas técnicas es la interferometría holográfica digital (DHI, Digital holographic interferometry) que es un método que compara dos frentes de onda en diferentes tiempos. Esta técnica óptica es no-invasiva, es decir, no hace contacto mecánico con el objeto bajo estudio, y además es de campo completo ya que mide en toda el área de observación. También tiene varias aplicaciones como son el análisis de deformaciones y vibraciones, la medición de forma, las estimaciones en el cambio de índice de refracción de un medio, etcétera [1]. El presente trabajo tiene como objetivo aplicar DHI en el estudio inicial de las microdeformaciones que se generan en el tejido integumentario (piel) cuando está bajo estrés debido a una corriente eléctrica y se analiza mediante la técnica de DHI. Cabe mencionar que en la literatura no se ha reportado ninguna aplicación de DHI en el estudio de la deformación de la piel como resultado de un impulso eléctrico de voltaje controlado; aunque sí existen aplicaciones de DHI en el área biomédica como estudios del movimiento del hueso [2], análisis de vibraciones en el cuerpo humano [3], detección de anomalías en tejido de seno femenino y localización de tumores en un modelo de seno humano [4-6].

1

El estudio de las propiedades biomecánicas en la piel (por ejemplo la elasticidad, rigidez, etc.) permite conocer el estado de salud del tejido, mejorar el diseño de piel artificial, cuantificar la efectividad de un producto dermatológico, desarrollar estrategias para mejorar la curación de heridas, diseñar patrones de incisión quirúrgica para minimizar la cicatrización, detectar enfermedades en la piel, etc. [7]. De hecho, hay muchas enfermedades de la piel que dan como resultado cambios en sus propiedades mecánicas y se puede hacer un diagnóstico usando métodos de medición de éstas. Adicionalmente se ha mostrado que estos métodos indican el comienzo de la atrofia generada por corticosteroides (un tipo de hormonas), fotoesclerosis (endurecimiento de tejidos debido a la alta sensibilidad a la luz solar) y acrosclerosis (rigidez de la piel de los dedos que se acompaña de pérdida ósea de los huesos largos de la mano y atrofia muscular) mucho antes que pruebas clínicas histológicas y bioquímicas [8]. El trabajo se inicia planeando un estudio “in vivo” (se refiere a experimentación hecha dentro o en el tejido vivo de un organismo vivo) con ratas de la especie mus musculus, aprovechando que la piel de este animal es utilizada típicamente como modelo “in vivo” de la piel humana [9], es fácil de conseguir, es de fácil manejo, no requiere cuidados especiales, tienen un alto número de crías y poseen un breve período de gestación; de hecho, tienen un sistema inmune y un genoma muy similar al de los seres humanos. Aunque las desventajas de este modelo es que estos pequeños mamíferos difieren de los humanos anatómica y fisiológicamente [10]. Aún así, se hicieron las pruebas y se obtuvieron imágenes que contenían mucho ruido debido al continuo movimiento de las ratas, por lo que se optó por cambiar la muestra de piel y como el objetivo es probar que la técnica se puede usar en esta aplicación, se cambió a prueba “in vitro” (se refiere a experimentación generalmente en un ambiente controlado fuera de un organismo vivo). También se eligió piel porcina considerando que en experimentos “in vitro” ha mostrado que funciona comparablemente con la piel humana [10-13]. Cabe mencionar que algunos autores [8] consideran que las propiedades mecánicas son preferiblemente probadas “in vitro” y éstas son más útiles para los científicos; mientras las funciones de la piel deben ser necesariamente examinadas “in vivo” y proveen más información para los médicos.

2

Como un trabajo a futuro se pretende analizar las propiedades mecánicas de la piel; por ejemplo, la dureza (resistencia que un material opone a la penetración o a ser rayado por otro cuerpo) y la elasticidad (capacidad de algunos materiales para recuperar su forma y dimensiones primitivas cuando cesa el esfuerzo que había determinado su deformación), son algunas de las propiedades mecánicas de los objetos. Éstas describen cómo reaccionan los materiales a fuerzas físicas, es decir, reflejan

la relación entre la respuesta o

deformación del objeto o material a la fuerza aplicada [14]. Estas propiedades son útiles para diseñar estructuras o componentes eligiendo el material adecuado que sea capaz de soportar ciertos niveles de deformación, evitando que ocurran ciertas fallas o rupturas de los materiales. Así pues, el esquema básico de este trabajo es el siguiente: en el capítulo 2 se presenta los fundamentos ópticos de la teoría básica de DHI, en el capítulo 3 se muestra una descripción breve del tejido integumentario así como algunas de las técnicas utilizadas para conocer propiedades biomecánicas de la piel, en el capítulo 4 se presenta la metodología que se llevó a cabo para desarrollar este trabajo y los resultados obtenidos, y por último en el capítulo 5 la discusión y las conclusiones, donde se mencionan posibles trabajos de investigación a futuro.

3

Referencias [1] P. K. Rastogi, Digital speckle pattern interferometry and related techniques, John Wiley & Sons, LTD (2001). [2] R. J. Pryputniewicz, “Pulsed laser holography in studies of bone motions and deformations,” Opt. Eng. 24 (5) 832–839 (1985). [3] H. Wos, L. Svensson, and S. Norlander, “Implementation of double-pulsed holography in evaluation of whole-body vibration,” Ergonomics 34(11), 1357–1364 (1991). [4] H. Hong, D. Sheffer, and W. Loughry, “Detection of breast lesions by holographic interferometry,” J. Biomed. Opt. 4(03), 368–375 (1999). [5] J. Woisetschläger, D. B. Sheffer, C. W. Loughry, K. Somasundaram, S. K. Chawla, and P. J. Wesolowski, “Phaseshifting holographic interferometry for breast cancer detection,” Appl. Opt. 33, 5011–5015 (1994). [6] M. Hernández-Montes, F. Mendoza-Santoyo, C. Perez-Lopez, ”Detection of inhomogeneities in semi-solid materials using pulsed digital holography,” Interferometry XII: Applications 5532 (2004). [7] C. Flynn, A. Taberner, P. Nielsen, “Mechanical characterisation of in vivo human skin a 3D force-sensitive micro-robot and finite element analysis,” Biomech Model Mechanobiol 10, 27-38 (2011). [8] R. Marks and P.A. Payne, Bioengineering and the skin, Kluwer Academic Publishers (1981). [9] B. Van Ravenzwaay, E. Leibold, “A comparison between in vitro rat and human and in vivo rat skin absoption studies,” Human Exp. Toxicol. 23, 421-430 (2004). [10] T. P. Sullivan, W. H. Eaglstein, S. C. Davis, P. Mertz, “The pig as a model for human wound healing,” Wound Rep Reg 9, 66-76 (2001). [11] B. Godin, E. Touitou, “Transdermal skin delivery: Predictions for humans from in vivo, ex vivo and animal models,” Adv Drug Deliv Rev, 1152-61 (2007). [12] G. M Gray, H. J. Yardley, “Lipid compositions of cells isolated from pig, human and rat epidermis,” J. Lipid Res. 16, 434-440 (1975). [13] U. Jacobi, M. Kaiser, R. Toll, S. Mangelsdorf, H. Audrig, N. Otberg, W. Sterry, Lademann, “Porcine ear skin: an in vitro model for human skin,” Skin Res. Technol. 13, 19-24 (2007). [14] W. D. Callister, Materials Sciencie and Engineering: An introduction, Reverté, (1998).

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Capítulo II

Fundamentos ópticos de DHI Cuando se ilumina un objeto con una fuente de luz coherente y las irregularidades de la superficie de éste son mayores a la longitud de onda λ de la luz utilizada, se dice que el objeto provoca un esparcimiento de la luz. A esta luz esparcida es conocida, como el frente de onda del objeto, y está caracterizada por tener amplitud y fase. La amplitud se relaciona con la intensidad de cada punto del objeto, más oscuro o más claro; mientras que la fase está relacionada con la forma del objeto y permite conocer la posición del objeto en la que se esparció la luz. La principal diferencia entre una fotografía y un holograma, es que en una fotografía se graba solo la amplitud del frente de onda del objeto y en un holograma, además de ésta se graba la fase. Entonces mediante los hologramas se puede obtener mayor información de los objetos. Al tener dos hologramas de un objeto que se desplaza (cada uno con su respectiva fase del frente de onda del objeto), se comparan y se obtiene indirectamente cómo cambió la posición de los puntos de un holograma respecto del otro; y así, la diferencia de fase de cada punto del objeto se puede relacionar con el desplazamiento del mismo punto en un intervalo de tiempo. Un holograma además de contener la fase del objeto contiene otros términos que no son de interés, los cuales se descartan con diversos algoritmos de filtraje. Dependiendo de la sensibilidad a componentes de desplazamiento de un arreglo óptico, éstos se pueden relacionar con la diferencia de fase. Por ello, se puede diseñar un sistema óptico para tomar estas imágenes de la muestra de estudio; a partir de las cuales se puede obtener la diferencia de fase utilizando el método de la transformada de Fourier.

5

Para comprender mejor lo anterior, este capítulo muestra la teoría básica de la óptica relacionada: se explican los conceptos básicos que emplea DHI, la relación entre el desplazamiento de la superficie y la diferencia de fase (subtema denominado sensibilidad en patrones de moteado)

y por último la evaluación de la fase por medio de la

transformada de Fourier.

2.1 Conceptos básicos de óptica

Aunque se conocen los principios básicos de holografía desde 1948 (D. Gabor), su desarrollo comenzó hasta la llegada del láser (1960). Una de las publicaciones sobre holografía digital más antiguas fue en 1967 por J. W. Goodman and R. W. Lawrence, quienes registraron hologramas con un arreglo de 256 X 256 pixeles y lo cuantificaron en 8 niveles de gris [1]. Un holograma es un patrón de interferencia formado por dos frentes de onda, uno corresponde al dispersado por la superficie del objeto y el otro es un fondo coherente llamado

haz de referencia. Esta información está codificada en forma de franjas de

interferencia, que el ojo humano no puede resolver debido a la alta frecuencia espacial, la cual puede ser grabada en el sensor empleado. Es por esto que DHI depende de la resolución del sensor. Se envía esta información a una PC, la cual reconstruye numéricamente la información codificada. Por ello, DHI tuvo que esperar tantos años para aprovechar su potencial. Todavía a principios de los 90´s la reconstrucción de un holograma digital de 512 X 512 pixeles tomaba 30 minutos con un software especial para propósitos metrológicos [2], pero en la actualidad se pueden realizar en un tiempo mucho menor, ya que existen sensores de millones de pixeles y computadoras que pueden procesar centenas de millones de instrucciones por minuto, lo cual es aprovechado para DHI. A continuación se describirá el análisis de la interferencia de dos ondas planas, el fenómeno de moteado, los desplazamientos que se producen al ser deformado un objeto en un

6

interferómetro en el plano y fuera del plano, la técnica de DHI y por último se presenta la evaluación de la fase por medio de la transformada de Fourier.

2.1.1 Interferencia de dos ondas planas

Los fenómenos eléctricos y magnéticos se pueden describir por medio de las cuatro ecuaciones de J. C. Maxwell [3]: ,

(2.1)

,

(2.2) ,

(2.3) ,

(2.4)

donde ,

(2.5) ,

(2.6)

,

(2.7) .

El término

es el desplazamiento eléctrico,

(inducción magnética),

es el campo eléctrico,

es la densidad de corriente,

(2.8)

es la densidad de campo magnético es la intensidad de campo magnético,

es la permitividad absoluta de un material,

permitividad relativa (constante dieléctrica), permeabilidad magnética absoluta, permeabilidad magnética en el vacío y

es la permitividad en el vacío,

es la permeabilidad magnética relativa,

es la es la es la

es el tiempo. Los símbolos ‘ ’ y ‘ ’ representan el

producto cruz y el producto punto.

7

De las ecuaciones de Maxwell, se puede deducir la ecuación de onda, la cual describe la propagación de ondas como las de luz y las ondas sonoras. Entonces, considerando que es constante, la ecuación de onda en el vacío es ,

(2.9)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Más explícitamente la ecuación (2.9) se puede escribir como , donde

y

(2.10)

son las coordenadas cartesianas. La expresión (2.10) es una ecuación

diferencial parcial lineal de segundo orden. Resolviéndola en el sistema coordenado cartesiano

por el método de separación de variables la solución escalar tiene la

siguiente forma (2.11) donde

es la amplitud de

,

es el vector de propagación de la onda y

es el

vector de posición. A la expresión (2.11) se le conoce como la ecuación de la onda plana. Además, si se usa la fórmula de Euler tenemos que (2.12) donde

es frecuencia angular temporal,

es el número de onda y

es la

longitud de onda. Por ello, si se considera solo la parte real .

(2.13)

Una vez que se tiene la representación matemática escalar del campo eléctrico de una onda plana o un haz de luz, sigue encontrar la expresión de la interferencia de dos ondas planas en el punto P como se muestra en la figura 2.1. El ángulo

es la mitad del ángulo total que 8

forman ambas ondas (ángulo

),

es el vector posición del punto P y

,

son los

vectores de propagación de la onda 1 y 2 respectivamente.

P

Onda plana 2

a

Onda plana 1 Pantalla de observación

Figura 2.1 Diagrama esquemático de la interferencia de dos ondas planas en el punto P.

El campo eléctrico de la onda plana 1 es

y el de la onda 2 es

. Los cuales se definen de

la siguiente manera ,

(2.14)

,

(2.15)

donde ,

(2.16)

es la fase óptica de las ondas planas 1 y 2.

9

La intensidad de la luz que se registra en el sensor definida según [4] es: =

,

(2.17)

,

(2.18)

donde * denota el complejo conjugado. Entonces el campo eléctrico en el punto P es ,

(2.19)

que expresado como la intensidad es ,

(2.20) ,

(2.21) ,

[

], .

(2.22) (2.23) (2.24)

Considerando las siguientes ecuaciones =

,

(2.25) (2.26) (2.27) (2.28) (2.29)

se tiene que

10

, , ,

(2.30) (2.31) (2.32)

.

(2.33)

Como se ve en la ecuación (2.32), la intensidad resultante es la suma de las intensidades individuales más el término de interferencia

, el cual tiene la fase del

objeto. La intensidad varía entre un valor máximo [5]. Al término

mínimo fondo y a

y un valor se le conoce como iluminación de

como modulación ó contraste de las franjas.

Ahora, se obtendrá una expresión matemática para la separación de las franjas (

, ó

también llamado periodo de las franjas). Considerando la ecuación (2.16), la figura 2.1, las siguientes dos igualdades ,

(2.34) ,

y suponiendo que

(2.35)

, se tiene que ,

(2.36) ,

(2.37)

Entonces, la diferencia de fase de las dos ondas planas es (2.38) ,

(2.39)

Si sustituimos la ecuación (2.39) y el valor de

en (2.33), entonces la intensidad en el

punto P tiene la siguiente forma 11

,

(2.40)

donde se puede observar que la intensidad en cada punto P en la pantalla de observación varía dependiendo de la coordenada x, entonces para encontrar la separación de las franjas se analiza en qué valor del argumento, la función coseno es máxima. Y esto pasa cuando el argumento es un múltiplo de

. ,

(2.41)

, donde

(2.42)

es un número entero. Y se hace la resta de dos máximos consecutivos para

encontrar

: ,

(2.43) ,

.

(2.44) (2.45)

Ahora si se analiza el periodo de las franjas en el caso de que la onda plana 1 se propague en dirección del eje , las ondas formarían un ángulo

como se muestra en la figura 2.2.

Onda plana 2

Onda plana 1

Figura 2.2 Ángulo formado por dos ondas planas, donde una de ellas se propaga en el eje z.

De la figura tenemos que

y

cambian a: 12

,

(2.46)

,

(2.47) .

Si se repite el análisis anterior para encontrar

(2.48)

, se llega a .

(2.49)

Resumiendo, dadas dos ondas planas que interfieren forman un patrón de franjas de interferencia en la pantalla de observación, el cual tiene un periodo

que depende del

ángulo que las ondas forman entre si y de la longitud de onda . Por otra parte, la visibilidad V o contraste de estas franjas está definida por [6] . Al sustituir los valores de

e

(2.50)

en la ecuación (2.50), se llega a –

, =

Entonces se analiza la relación que debe tener

(2.51)

.

(2.52)

con

para que

sea máximo. Para esto

se usará la siguiente ecuación = donde

. Para encontrar los valores de

, donde

(2.53) es máximo

,

(2.54)

,

(2.55)

13

Así, (2.56)

,

(2.57)

, Y por lo tanto, se encuentra que

para que el contraste de las franjas sea máximo.

De hecho, se ve en la ecuación (2.53) que si entonces

. Por lo tanto

ó

entonces

pero si

toma valores entre 0 y 1.

2.1.2 Moteado (Speckle)

Cuando se ilumina con una fuente cuasi-monocromática una superficie ópticamente rugosa se tiene una apariencia granulada, donde se pueden notar zonas de máximos y mínimos de iluminación dispersados aleatoriamente por toda la superficie iluminada. Las variaciones de altura de esta superficie son del orden o más grandes que la longitud de onda del láser λ. A este efecto se le conoce como moteado (ó speckle en inglés)[5].

Figura 2.3 Efecto de moteado

Cuando se interpone un sistema óptico entre el área iluminada y el plano de observación, al moteado se le denomina subjetivo mientras que si no lo tiene se le llama moteado objetivo.

14

En la figura 2.4 se muestra cómo la luz cuasi monocromática incide sobre la superficie de longitud L y ésta es esparcida por cada punto en forma aleatoria en múltiples direcciones e interfiere en la pantalla colocada a una distancia z0, donde se forman las motas (patrón de moteado). Puede entonces definirse el moteado como la interferencia aleatoria de la luz al ser esparcida por una superficie ópticamente rugosa.

Luz coherente

P L

z0

1 Figura 2.4 Formación de moteado objetivo.

La luz esparcida de cada punto de la superficie ópticamente rugosa contribuye al campo eléctrico del punto P, el cual está en el plano de observación. L es el área de sección transversal iluminada. z0 es la distancia entre el plano de observación y el plano objeto. Y considerando el punto P, el cono de luz que sale de éste hasta el objeto difusor limita un área, a la cual se le llamará área de resolución. Al ser la superficie ópticamente rugosa ocasiona que en el plano del punto P haya una suma de superposiciones de muchos patrones de interferencia debidos a la interferencia entre 2 ondas esparcidas de dos puntos de la superficie y el periodo mínimo de estos patrones está 15

determinado por los extremos de la longitud de la superficie del objeto, como se muestra en la figura 2.5.

P

L/2

L/2

Zz00

1

Figura 2.5 Deducción de la mota objetiva.

El periodo determinado por los extremos de la longitud de la superficie del objeto se denominará mota objetiva

, que por la ecuación (2.45) está determinada por (2.58)

De la figura 2.5, se hace la siguiente aproximación (2.59) Si consideramos que

, podemos tomar que .

(2.60)

Entonces sustituyendo las ecuaciones (2.59) y (2.60) en (2.58), se tiene que el tamaño de la mota objetiva está dado por la siguiente ecuación [7]: (2.61) donde

es la longitud de onda del láser utilizado. De la ecuación (2.61) se puede ver que la

mota aumenta conforme disminuye el área de resolución, considerando

y z0 fijos. 16

Luz coherente

D

Mota oscura, interferencia destructiva Mota brillante, interferencia constructiva

z0 1

zi 1

Figura 2.6 Formación del moteado subjetivo.

En el moteado subjetivo, las características del sistema óptico influyen en el cálculo del tamaño de la mota. Además el área de la sección transversal iluminada está limitada por el diámetro de la lente D, que forma la imagen. En algunos puntos del plano imagen (plano de observación), las ondas predominan a estar en fase e interfieren de manera constructiva creando un punto luminoso, mientras que en otros puntos predomina a estar fuera de fase y forman una mota oscura. Otros puntos tienen una mezcla de diferencias de fase y su mota es de un tono intermedio. Para deducir el tamaño de la mota subjetiva

se hacen las mismas consideraciones que en

la mota objetiva, solo que ahora los puntos que determinan el periodo mínimo de los patrones de interferencia son los extremos de la lente. Así, el tamaño de la mota subjetiva está dado por la siguiente ecuación [7]: (2.62) donde D es el diámetro de la lente y

la distancia imagen del sistema óptico.

17

Por otra parte, el número F ó lente, conforme aumenta

es una referencia al tamaño de la apertura numérica de la disminuye la apertura numérica, lo que ocasiona que pase

menos cantidad de luz; en este caso

se refiere al tamaño del diámetro de la lente D. Y

están relacionados por (2.63) donde f es la distancia focal de la lente. Si se despeja D de la ecuación (2.63) y se sustituye en la ecuación (2.62), se tiene =

(2.64) (2.65)

donde m es la amplificación de la lente. Así la ecuación (2.65) relaciona el diámetro de la mota subjetiva

con

Sustituyendo el valor de

y la magnificación m de la lente [7]. de la ecuación (2.63) en (2.65), se obtiene (2.66)

Se puede observar de la ecuación (2.66) que el tamaño de la mota aumenta si la apertura disminuye. El analizar patrones de moteado toma especial importancia porque éstos siempre aparecen cuando los objetos tienen superficies ópticamente rugosas.

2.1.3 Sensibilidad en patrones de moteado

Se definirá la relación que existe entre el desplazamiento de la superficie y la diferencia de fase cuando se deforma o desplaza el objeto difusor.

18

Cuando el objeto difusor se desplaza, gira o se deforma, se cambia la posición de la fuente de iluminación o cambia la posición donde se graba el patrón de moteado, entonces las motas del primer patrón de moteado también se desplazan dependiendo de estos cambios [7]. Considerando la figura 2.7, se tiene un sistema de coordenadas donde S es el punto de la fuente de iluminación, cuya luz va hacia el objeto difusor, P es el punto de observación, el vector posición del punto observado del objeto difusor, iluminación,

o

por último

el vector de observación [8].

i

el vector posición del punto de

el vector posición del punto de observación,

S

el vector de iluminación y

Fuente de iluminación

P Objeto difusor

Punto de observación

i o

y x

z Figura 2.7 Diagrama para estudio de la sensibilidad del patrón de moteado.

Definiendo los vectores de iluminación y observación en función de sus correspondientes vectores unitarios

y

, se tiene: (2.67) 19

(2.68) La fase del patrón de moteado en cada punto P está en función del camino que recorre la luz desde la fuente de iluminación hasta el punto P , donde

es una componente aleatoria,

es una componente deterministica,

inicial de la fuente de iluminación. De la ecuación (2.69) se puede ver que de la fase inicial de la iluminación

(2.69) es la fase se compone

, más los desfasamientos desde la fuente hasta el

punto de observación. Si se hace un acercamiento a la figura anterior se obtiene la figura 2. 8, donde se puede apreciar el vector de sensibilidad .

Fuente de iluminaci ón

P Objeto difusor

i o

y x

z Figura 2.8 Vector de sensibilidad. Diagrama para la obtención del vector de sensibilidad.

20

De la anterior figura, se puede ver que el vector de sensibilidad se define con la siguiente ecuación: (2.70)

.

El vector de sensibilidad, dado por la geometría del arreglo óptico, da información de la dirección a la cual el sistema tiene su máxima sensibilidad. Sustituyendo las ecuaciones (2.67), (2.68) y (2.70) en la ecuación (2.69) se tiene: ,

(2.71) ,

(2.72) ,

(2.73) ,

(2.74)

,

(2.75)

, donde

(2.76)

, al tener un desplazamiento el difusor, las condiciones de

iluminación cambian y la fase se rige por la ecuación: ,

(2.77) .

(2.78)

El primer término de la ecuación (2.78) se considerará cero suponiendo que los desplazamientos no alteran la micro estructura del objeto difusor; el segundo y tercer término concierne a los cambios por los que pasa la geometría de la iluminación, la observación y la fase inicial de la fuente, el cuarto término representa el efecto de las variaciones simultáneas que presentan ambos parámetros y por último el quinto término indica que hay un incremento en la fase que se produce al ser desplazado el objeto difusor.

21

Para simplificar, se puede considerar que al desplazar el difusor no cambia significativamente el vector de sensibilidad, y entonces .

(2.79)

Y la ecuación (2.78) se reduce a: .

(2.80)

Más aún, si la geometría de la iluminación permanece constante, el primer y segundo término de la ecuación (2.80) se pueden despreciar, quedando reducida a: , donde

(2.81)

es el desplazamiento que sufre un punto debido a la deformación que sufrió el

objeto difusor, así en el espacio tridimensional

La ecuación (2.81)

significa que la diferencia de fase en cada punto está dada por el producto escalar entre el vector desplazamiento

y el vector de sensibilidad .

22

2.1.4 Medición de desplazamientos en un interferómetro

2.1.4.1

Caso de desplazamientos en el plano

En la figura 2.9 se muestra un interferómetro que es sensible a desplazamientos en el plano xy. En éste, un haz láser es dividido en dos haz de luz por un divisor de haz (BS). El haz H1 se dirige hacia un espejo M1, se refleja y al pasar por un objetivo de microscopio FE1 se expande e incide en la superficie del objeto a un ángulo θ1 con respecto al eje z. Para el segundo haz H2 es algo similar, pero llega con un ángulo θ2. Se considera que al incidir en la superficie, los haz de luz llegan colimados. Por último, la luz esparcida por el objeto pasa por una apertura Da, colocada frente a una lente L que enfoca en el sensor S la imagen del objeto. M1 Láser

H1

FE1 Da

BS S

θ1

H2

L

Objeto

H1

θ2

FE2 x y

z

M2

H2

Figura 2.9 Diagrama esquemático de interferómetro en plano. En el círculo de la derecha se muestra un acercamiento del objeto en donde se pueden apreciar los ángulos que forman cada uno de los haz de luz.

23

Ahora, para analizar los desplazamientos que sufre un punto en la superficie se muestra la figura 2.10. El punto P se desplaza hasta P´ cuando se hace una deformación, es decir, P se desplaza

en el eje

y

en el eje . H1´

P´

θ1 θ2

H1

H2´ P

θ1 θ2

H2 Figura 2.10 Desplazamiento de un punto P en un interferómetro en el plano.

Los haz de luz H1 y H2 interfieren en el punto P, en el sensor se detecta un patrón de interferencia con una intensidad (2.82) donde

son las fases ópticas correspondientes a H1 y H2.

,

Al introducir una deformación en el objeto, la fase de los campos eléctricos cambia y se asume que la amplitud permanece constante, entonces los haz de luz H1 y H2 cambian a H1´ y H2´. Por lo tanto, la intensidad del patrón de interferencia después de la deformación es (2.83) donde

,

son las fases ópticas de H1´ y H2´.

Para encontrar el argumento del coseno de las ecuaciones (2.82) y (2.83) se puede usar cualquier método de cálculo de fase, por ejemplo el método de Fourier, el cual se verá más adelante.

24

La diferencia de fase

entre los estados deformado y no deformado se puede expresar

como ,

(2.84)

,

(2.85)

O también

donde se observa que es la diferencia de fases de los haz de luz entre sí mismos antes y después de la deformación. Cuando dos haz de luz viajan en una misma dirección, uno viaja una distancia , las fases son

y

y el otro

, respectivamente. Por lo tanto, si a éstos se les hace

interferir se genera un patrón de franjas parecido al dado por la ecuación (2.32), donde , y

es la diferencia de camino óptico. Si se aplica

esto a un solo haz por ejemplo, para el estado deformado y no deformado se tiene que la fase interferométrica es

y por otro parte

.

Ahora, se analizará la diferencia de camino óptico para el haz H1 antes y después de la deformación. Para esto véase la figura 2.11. H1 ´

θ1

P´

(1)

H1

P

θ1

θ1

H1 θ1

P

θ1 (2)

(a)

(b)

Figura 2.11 Diferencia de camino óptico en el haz 1, (a) antes y (b) después de la deformación.

25

De la figura 2.11 (b) se ve que .

(2.86)

De los triángulos rectángulos de la parte (b) de la figura 2.11 ,

(2.87) θ1 ,

(2.88)

,

(2.89) θ1

g

θ1

f g (b)

(a)

Figura 2.12 Acercamiento de la figura 2.11.

Para obtener el valor de

en función de θ1,

y

se considerará la figura 2.12. De ésta se

ve que

g g

θ1 ,

(2.90)

θ1 ,

(2.91)

.

(2.92)

Sustituyendo las ecuaciones (2.90) y (2.91) en (2.92) .

(2.93)

26

Y nuevamente sustituyendo que

y la ecuación (2.93) en (2.86) ,

(2.94)

.

(2.95)

A continuación se analizará la diferencia de camino óptico para el haz H2 antes y después de la deformación. P´

Q

θ2

H2´ θ2

R

(a)

R

P θ2

θ2

θ2

H2 (b)

(c)

Figura 2.13 Diferencia de camino óptico en el haz 2, antes (H2) y después de la deformación (H2´). En (a), (b), y (c) se muestra un acercamiento de triángulos relacionados con y .

Se observa de la figura 2.13 que ,

(2.96)

,

(2.97) .

(2.98)

Si se sustituye las ecuaciones (2.97) y (2.98) en (2.96) ,

(2.99)

27

entonces si se considera que

, y se sustituyen las ecuaciones (2.95) y

(2.99) en (2.85) ,

(2.100) , .

Si se quiere que tenga más sensibilidad en plano, entonces

(2.101) (2.102)

y

,

(2.103)

entonces, el desplazamiento en el eje x está dado por .

(2.104)

Así, el interferómetro detecta solo la componente en plano de desplazamiento en la dirección x. Si se quisiera medir desplazamientos en el eje y, basta girar 90° el plano que contiene a ambos haz de luz, H1 y H2.

2.1.4.2

Desplazamiento en un interferómetro fuera de plano

A continuación en la figura 2.14 se muestra un interferómetro que mide desplazamientos a lo largo del eje óptico, en éste un haz láser es dividido en dos haz de luz por el divisor de haz BS. El haz H1 se dirige hacia el espejo M1, se refleja y al pasar por un objetivo de microscopio FE se expande e incide en la superficie del objeto a un ángulo θ. La luz esparcida por la superficie pasa por una abertura Da, después por una lente y llega al cubo combinador BC. Mientras el segundo haz H2 se dirige hacia el espejo M2, éste lo refleja hasta BC, el cual junta ambos haz de luz y por último llegan al sensor S.

28

M1 FE

Láser

H1 L

θ

S

BC Da

Objeto

BS

θ

H2

M2 Figura 2.14 Diagrama esquemático de interferómetro fuera de plano.

Para analizar los desplazamientos que sufre un punto en la superficie al ser ésta deformada se considera la figura 2.15. El punto P se desplaza hasta P´ cuando se hace una deformación, es decir, P se desplaza

en el eje

en el eje z. Entonces se observa que

y

es el mismo caso del desplazamiento en el interferómetro en plano solo para un haz, ya que en el interferómetro fuera de plano el H2 permanece igual antes y después de la deformación (

). H1 ´

θ1

P´ Q

H1

P

R

θ1

Figura 2.15 Desplazamiento del punto P en un interferómetro fuera de plano.

29

Tomando

. De la figura 2.15 se tiene que ,

(2.105)

,

(2.106) .

Si el ángulo