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Lecci´ on 4 Estudio particular de turbinas de acci´ on 4.1
Introducci´ on
Las turbinas de acci´on son m´aquinas hidr´aulicas motoras en las que el intercambio de energ´ıa entre el rodete y el fluido se produce principalmente por impulso o acci´on. Aqu´ı un chorro de agua a alta velocidad es deflectado por un conjunto de a´labes dispuestos alrededor del rodete, que, como consecuencia de la variaci´on del momento cin´etico del fluido, genera un par que lo hace girar. La turbina Pelton es el u ´nico tipo de turbina hidr´aulica de impulso de uso habitual en la actualidad. En esta lecci´on se estudian las caracter´ısticas constructivas y de operaci´on de las turbinas de accci´on m´as comunes en la pr´actica (Pelton). Para ello en primer lugar se hace un resumen de los principales elementos y de la funci´on de cada uno de ellos, as´ı como su correspondencia con los elementos equivalentes en turbinas de reacci´on. A continuaci´on se plantean los tri´angulos de velocidades en la entrada y salida del rodete de estas m´aquinas. Seguidamente se plantean algunas relaciones entre variables de operaci´on que garantizan un funcionamiento en r´egimen ´optimo. Finalmente obtienen sus curvas caracter´ısticas para salto neto constante y variable.
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Turbinas de acci´ on
Todas las ideas que a continuaci´on se presentan se han precisado con anterioridad en la Lecci´on 1, si bien se vuelve a incidir aqu´ı en ellas para una mayor comprensi´on de la tem´atica. El mecanismo de funcionamiento de este tipo de turbinas consiste en hacer incidir tangencialmente uno o varios chorros de agua a alta velocidad sobre los ´alabes dispuestos equiespaciadamente en la periferia del rodete, bien horizontal o vertical en funci´on del n´ umero de inyectores a instalar. La energ´ıa del agua a la entrada del rotor es en forma de energ´ıa cin´etica del chorro, no existiendo pr´acticamente variaciones de altura est´atica en el fluido a trav´es del rodete. En este tipo de turbinas la presi´on en el rodete se mantiene constante y esto provoca que el fluido no invada toda la cavidad entre los alabes. La variaci´on del momento cin´etico del agua en el rodete produce sobre ´este un par que lo hace girar. El agua sale de los ´alabes con una energ´ıa cin´etica residual relativamente baja y es dirigida hacia el canal de desag¨ ue. Debido a que en cada instante el chorro o los chorros de agua s´olo inciden sobre algunos de los a´labes, las turbinas Pelton son obviamente de admisi´on parcial. En la Figura 4.1 se muestra una representaci´on esquem´atica de una instalaci´on de turbinaci´on con una turbina de acci´on. Tal y como se puede apreciar los elementos que componen la turbina son dos: el inyector y el rodete.
Figura 4.1: Esquema de turbina Pelton ejemplo de turbom´aquina de acci´on.
Rodete El rodete de las turbinas de acci´on est´a compuesto por la rueda Pelton y un conjunto de ´alabes acopladas a la misma que reciben el nombre de cucharas o buckets, Figura 4.2. Las cucharas son cazoletas semiesf´ericas y sim´etricas que
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disponen de una arista central o splitter que divide el chorro en dos partes iguales que deslizan por el intrad´os de las dos semicazoletas y salen desviadas con un a´ngulo β2 y una velocidad relativa w2 . La deflexi´on del chorro produce una fuerza sobre el a´labe que, multiplicada por la distancia al eje de la rueda, D/2 y a la velocidad de giro Ω1 produce el par que hace girar el eje. De acuerdo a la ecuaci´on de conservaci´on de cantidad de movimiento aplicada al volumen de control que encierra el rodete, se puede deducir que la fuerza que experimenta el a´labe en la direcci´on del chorro es, F = ρ w12 A1 − ρ w22 A2 cos θ
(4.1)
Figura 4.2: Rodete de la turbina Pelton. donde w1 y w2 son las velocidades relativas en las secciones de entrada y salida del rodete (como se ver´a m´as adelante en la Figura 4.7), A1 y A2 las secciones de paso del chorro y θ el a´ngulo deflectado (θ = 180 − β2 , Figura 4.7). De aqu´ı se deduce que el a´ngulo o´ptimo que las cucharas deber´ıan deflectar el chorro es de 180◦ . Sin embargo, en la pr´actica este a´ngulo es poco favorable, ya que si las cucharas tuvieran la secci´on de medio c´ırculo, el chorro acabar´ıa impactando con la cuchara que le sucede, ocasionando un par de frenado y por tanto una disminuci´on de potencia. En la pr´actica es com´ un que el a´ngulo que las cucharas desvien el chorro sea ligeramente inferior a 180o (165–175o ). Para determinar las p´erdidas hidr´ ualicas en la cuchara se plantea la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa mec´anica en ejes relativos a la misma (ecuaci´on (2.30)) y se considera que por fricci´on entre el fluido y la cuchara existen unas p´erdidas hidr´aulicas proporcionales al cuadrado de la velocidad caracter´ıstica del flujo 1
Se recuerda que la velocidad de giro de una m´aquina cuyo eje se encuentra conectado a un alternador s´ıncrono es constante bajo cualquier condici´on de funcionamiento ya que depende exclusivamente de la frecuencia de la red y del n´ umero de pares de polos, ecuaci´on (3.1).
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en la entrada (w1 ), ecuaci´on (4.2), donde ζ 2 es un coeficiente adimensional de p´erdidas que depende de la geometr´ıa y de la rugosidad de la cuchara, se tiene la ecuaci´on (4.3). HLr p1 w12 p2 w22 + − HLr = + ρ 2 ρ 2
w12 =ζ 2g p1 w12 w2 p2 w22 + −ζ 1 = + ρ 2 2 ρ 2
(4.2)
(4.3)
Como la presi´on es uniforme e igual a la atmosf´erica, se puede deducir la relaci´on existente entre las velocidades relativas de entrada y salida al rodete, ecuaci´on (4.4), que f´ısicamente indica que debido a las p´erdidas se produce una deceleraci´on del flujo relativo3 . w2 =
p 1 − ζw1
(4.4)
Por lo que en resumen las p´erdidas de carga en el rodete se pueden escribir, HLr =
w2 w12 − w22 =ζ 1 2g 2g
(4.5)
Inyector El elemento inyector en una turbina Pelton es el ´organo regulador del caudal del chorro. En otras palabras, hace las veces de distribuidor en tubinas de acci´on. Esencialmente consta de una v´alvula de aguja o punz´on cuya posici´on (carrera) determina el grado de apertura de la tobera, Figura 4.3. Para mantener constante la velocidad de giro en cada instante el caudal debe verse modificado, y esto se logra gracias al punz´on del inyector y a un servomotor accionado hidr´aulicamente. Las condiciones geom´etricas que debe satisfacer el punz´on para garantizar el cierre es que el diametro m´aximo de la aguja debe ser 1,25–1,3 veces el diametro de salida de la tobera. Adem´as para que exista una buena conducci´on del fluido a traves del punz´on, los ´angulos β y α (ambos mostrados en la Figura 4.3) deben estar comprendidos entre 75o y 90o , y entre 50o y 60o , respectivamente. Este u ´ltimo tambi´en ayuda a preservar las propiedades m´ecanicas. Respecto al chorro de salida de la tobera cabe decir que est´a compuesto por un nucleo de agua y una secci´on anular creciente compuesta por una emulsi´on de agua y aire. Los factores que condicionan la dispersi´on del chorro pueden resumirse en el anal´ısis de los n´ umeros adimensionales de Reynolds y Webber. El di´ametro del chorro d0 se mide en una secci´on contra´ıda situada aguas abajo de la salida, 2
Ya se emple´ o en la Lecci´ on 3 el coeficiente ζ como coeficiente adimensional de p´erdidas para cuantificar las p´erdidas que tienen lugar en el rodete√de una turbina de flujo axial. 3 En otros textos se puede encontrar el t´ermino 1 − ζ como un factor de fricci´on adimensional k = w2 /w1 , cuyo valor suele oscilar en el rango √ 0,8–1. La relaci´on entre ese factor adimensional y el aqu´ı presentado ser´ıa por tanto k = 1 − ζ.
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Figura 4.3: Inyector de la turbina Pelton. donde podemos considerar que la presi´on exterior es igual a la atmosf´erica. El di´ametro del chorro siempre es, por tanto, inferior al di´ametro de la tobera dt . En la pr´actica, para una buena configuraci´on del chorro, d0 no debe ser superior a unos 27 cm, lo que para un salto de altura dada, limita el valor del caudal admisible por chorro. Si el caudal total a turbinar es superior al l´ımite permitido, deben disponerse varios chorros por rueda que se repartan el caudal total. El caudal trasegado por cada uno de los inyectores de la turbina, q, se puede escribir de acuerdo a la secci´on del chorro supuesta circular y la velocidad a la entrada de la turbina, π d20 v1 (4.6) 4 Por tanto el caudal total Q se obtendr´a multiplicando el anterior por el n´ umero total de inyectores, q=
π d20 v1 niny (4.7) 4 Cuando es suficiente con un solo chorro el rodete es de eje horizontal y se orienta el eje de salida del inyector seg´ un la tangente horizontal inferior a la circunferencia de la rueda Pelton. De esta forma el agua a la salida de las cucharas cae al fondo de la turbina sin molestar a la rotaci´on de la rueda. Cuando se necesitan dos chorros, la turbina puede todav´ıa ser de eje horizontal, disponi´endose los dos chorros seg´ un dos tangentes inferiores al c´ırculo de la rueda Pelton, inclinadas un mismo angulo (generalmente de 30◦ ). En esta disposici´on el agua sale de las cucharas sin molestar la rueda, Figura 4.4 a). Cuando el n´ umero de chorros es superior a dos, la turbina debe ser de eje vertical, pues seg´ un la otra disposici´on resulta imposible evitar que el agua a la salida de las cucharas alimentadas por inyector superior caiga sobre la rueda. A veces la rueda Pelton de eje vertical est´a equipada con dos inyectores pero en tal caso los dos chorros act´ uan en dos puntos diametralmente opuestos, obteni´endose un par motor puro. Por ello la disposici´on de eje vertical es la m´as ventajosa, Figura 4.4 b). Cuando son necesarios m´as de dos inyectores, la disposici´on de ´estos se realiza en turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. En la Q = q niny =
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Cuando hay que disponer de más de dos inyectores la disposición de estos se realiza
Figuraen turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. 4.4: Configuraciones de turbina Pelton con dos inyectores. horizontal. b) Eje vertical.
a) Eje
Figura 4.5 se muestra una turbina Pelton con tres y cuatro inyectores dispuestos en la Cuando hay que disponer de más de dos inyectores la disposición de estos se realiza periferia de su rueda, respectivamente. Las turbinas de eje vertical pueden tener en turbinas de eje vertical debido al problema mencionado anteriormente. hasta seis inyectores.
Para establecer el número de chorros, se debe partir de la condición que su diámetro no sea superior al límite dado. El hecho de sustituir un número de chorros de una dimensión determinada por un mayor número de chorros de dimensiones menores permite la construcción de una turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no deben sobrepasarse ciertos límites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a Para establecer el número de chorros, se debe partir de la condición que su diámetro fatiga de las cucharas.
Figura 4.5: Configuraciones de turbina Pelton de eje vertical con tres y cuatro no sea superior al límite dado. inyectores. Para mantener constante la velocidad a cada instante el caudal debe verse modificado,
un al número de del chorros de una determinada por un El esto hecho sustituir se de logra gracias punzón inyector y a dimensión un servomotor accionado El hecho denúmero sustituir n´ umero de chorros menores de una dimensi´ n construcción determinadade por mayor de un chorros de dimensiones permite ola una hidráulicamente. un mayor n´ u mero de chorros de dimensiones menores permite la construcci´ o n turbina de menor diámetro y mayor velocidad de giro. No obstante, no deben de una turbina de menor di´ametro y mayor velocidad de giro. No obstante, no sobrepasarse ciertos límites como el poder evacuar el agua eyectada y la resistencia a debenfatiga de las cucharas. sobrepasarse ciertos l´ımites como el poder evacuar el agua eyectada y la
resistencia a fatiga de las cucharas. El inyector de las turbinas Pelton lleva acoplado un elemento denominado Para mantener constante la velocidad a cada instante el caudal debe verse modificado, deflector cuya finalidad es al evitar el golpe de ariete la conducci´ on forzada. esto se logra gracias punzón del inyector y en a un servomotor accionado T´engase en cuenta que al estar alimentadas por conducciones forzadas que hidráulicamente.
Penstock head
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Penstock
ZR
provienen de grandes saltos hidr´aulicos, en caso de aver´ıa total o parcial de la turbina el cierre de la aguja del inyector provoca un golpe de ariete en la tuber´ıa que puede tener consecuencias nefastas. Para ello es necesario cerrar la aguja lentamente (30–40 s), lo cual, a su vez, tiene el riesgo de que la rueda se embale. Para ello se dispone del elemento deflector que provoca una desviaci´on moment´anea del chorro por medio de un ´alabe situado entre el inyector Pelton wheel y las cucharas. No inerviene m´as que en los per´ıodos de baja potencia, volviendo a su 5 posici´on normal una vez que se alcanza el nuevo r´egimen. Nozzle La Figura 4.6 muestra la operaci´on del conjunto inyector–deflector. Aqu´ı se Z N puede Datum level observar como en condiciones de regulaci´on de la carga la aguja del inyector se desplaza hacia la derecha dejando pasar una menor cantidad de caudal. Por su FIGURE 9.7parte en la zona inferior de la figura se puede apreciar como cuando es necesario, Pelton Turbine act´ uaHydroelectric el deflectorScheme desviando el chorro moment´aneamente de su direcci´on orignal. Cabe destacar que la disposici´on de deflector mostrada en la Figura 4.6 es la m´as habitual.
Full load
Part load (a)
Deflector in normal position
Fully deflected posiition (b)
FIGURE 9.8
Figura 4.6: the Funcionamiento de inyector y deflector en (or regulaci´ on Valve; de turbinas Methods of Regulating Speed of a Pelton Turbine: (a) with a Spear Needle) (b) withde a Deflector acci´ o n. Plate Las p´erdidas hidr´aulicas en el inyector vienen ocasionadas por la fricci´on entre el fluido y este elemento. Por tanto se pueden cuantificar como la diferentes de energ´ıas cin´eticas entre la entre y la salida del inyector. Se puede probar f´acilmente que a la entrada del inyector la velocidad v0 depende u ´nicamente de la altura bruta menos las p´erdidas ualicas en la conducci´on forzada, es decir, √ hidr´ de la altura neta seg´ un v0 = 2 g Hn . Por su parte la velocidad a la salida del inyector, que al coincidir con la de entrada a la turbina se la denota por v1 , ser´a ligeramente inferior. Dicha velocidad se puede calcular de acuerdo al
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producto del coeficiente Cv , denominado coeficiente de velocidad de las√toberas de los inyectores, y de la velocidad a la entrada de acuerdo a v1 = Cv 2 g Hn . De acuerdo a lo anterior las p´erdidas hidr´aulicas en el rodete se pueden escribir como, HLiny =
v2 C 2 2 g Hn 2 g Hn v02 − 1 = v − = (1 − Cv2 )Hn 2g 2g 2g 2g
(4.8)
Obviamente el coeficiente de velocidad es inferior a la unidad y su valor suele oscilar entre 0,97 y 0,99 en funci´on del dise˜ no del inyector. Con todo lo anterior se puede plantear el balance de energ´ıa entre la l´amina libre del embalse y la entrada a la turbina (entrada inyector), o lo que es lo mismo, el balance energ´etico en la instalaci´on. Tomando como altura bruta Hb la diferencia de cotas entre las l´aminas libres de fluido del embalse y del eje de la turbina (se intuye en la Figura 4.1) se tiene, 8 Q2 L X K (4.9) Hn = Hb − hT = Hb − λ + D π2 g D4 donde hT representa la p´erdida de carga en la conducci´on forzada que alimenta a la turbina. N´otese que en este caso el contenido cin´etico de la corriente a la salida de la turbina se incluye como p´erdida de la propia turbina y no se la instalaci´on, como se hac´ıa en el balance de las instalaciones de turbinas de reacci´on. En ese sentido el rendimiento hidr´aulico o manom´etrico englobar´a las p´erdidas de energ´ıa en los diferentes elementos de la turbina (rodete e inyector) as´ı como la p´erdida de energ´ıa a la salida del rodete HLs . HL = HLiny + HLr + HLs
HLs =
v22 2g
(4.10)
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4.3
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Teoria simplificada
En esta secci´on se va a desarrollar la teor´ıa simplificada para el an´alisis de la operaci´on de las turbinas Pelton. Consideremos los tri´angulos de velocidades de entrada y salida correspondientes a la acci´on del chorro sobre una cuchara mostrados en la Figura 4.7. Aqu´ı se ha supuesto que la cuchara es atacada constantemente de forma perpendicular por el chorro total. Este supuesto no se corresponde estrictamente con la realidad ya que la cuchara solo recibe una fracci´on del chorro total, tal y como se muestra en la Figura 4.8. Sin embargo en la pr´actica se desprecia la componente del choque que se produce como consecuencia de que β1 no es nulo. Del tri´angulo de velocidades de la Figura 4.7 se deduce que,
vu2
v1 = u + w1 = u − w2 cos β2
(4.11)
donde u es la velocidad de arrastre, que es com´ un en las secciones de entrada y salida del rodete u = u1 = u2 = ΩD/2 (siendo D el di´ametro de la rueda). Aqu´ı se puede apreciar que debido a que la direcci´on de la velocidad absoluta coincide con la de arrastre en la secci´on de entrada, el a´ngulo α1 es nulo y por tanto vu1 coincide con v1 . Esto implica que la igualdad vectorial ~v = w ~ + ~u se transforma en una igualdad escalar en la secci´on de entrada, ya que todas las velocidades est´an proyectadas sobre el mismo eje.
Figura 4.7: Distribuci´on de velocidades te´orica en el rodete de una turbina Pelton. Una representaci´on habitual conjunta de los tri´angulos de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete de una turbina Pelton se muestra en la Figura 4.9. De acuerdo a lo anterior, el teorema de Euler planteado en la Lecci´on 2 (sigue siendo v´alido para el estudio de turbinas de acci´on) queda, g Hu = u1 vu1 − u2 vu2 = u (v1 − vu2 ) = u (w1 + w2 cos β2 )
(4.12)
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Figura 4.8: Distribuci´on de velocidades real en el rodete de una turbina Pelton.
Figura 4.9: Representaci´on gr´afica de los tri´angulos de velocidades en las secciones de entrada y salida del rodete de una turbina de acci´on. Introduciendo la relaci´on (4.4) en la ecuaci´on de Euler, (4.12), se obtiene, p en la entrada y salida de turbinas tipo Pelton. Figura 8. Triángulos de velocidades reales g Hu = u w1 (1 +
1 − ζ cos β2 )
(4.13)
Para terminar debe recordar quedeelcalcular triángulo de intercambiada velocidadesentre queelserodete produce en una tur que se es una manera adicional la altura y el fluido atendiendo al tri´ de entrada, las p´esobre rdidas en cuchara yen el la dirección d Pelton es muy complejo, pues elangulo chorro no incide la lacazoleta a´ngulo de salida de los a´labes del rodete. marcha, más que en un solo instante, y por tanto, el triángulo de entrada no se reduce a recta sino que es un triángulo que se modifica continuamente. Para simplificar se pu 4.3.1 conderendimiento ´absoluta ptimo y la de arrastre es la mism suponer que en la Funcionamiento entrada la dirección la velocidad o aunque este triángul por tanto, también la relativa, decir, w 1 determinada = v 1 − u1 , por La operaci´ on de de la unavelocidad turbina Pelton viene es habitualmente la
n de los valores u y v1 . El primero de ellos viene determinado por el velocidadesrelaci´ a ola entrada del rodete es de un caso particular resulta ser sumam tama˜ no de la rueda y la velocidad de giro, mientras que el segundo representa de √ representativo. alguna manera la energ´ıa disponible dada por la altura neta v1 = Cv 2 g Hn . De esta manera el rendimiento hidr´aulico de una turbina Pelton se puede escribir en funci´on de la relaci´on entre estas dos variables (u/v1 ) usando el desarrollo para la ecuaci´on de Euler mostrado en la ecuaci´on (4.13), el tri´angulo de velocidades en la secci´on de entrada al rodete (w1 = v1 − u) y la relaci´on entre v1 y Hn mostrada en este mismo p´arrafo:
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√ √ Hu u w1 (1 + 1 − ζ cos β2 ) u (v1 − u) (1 + 1 − ζ cos β2 ) ηh = = = = v2 Hn gHn g 2gC1 2 v p u u 2 = 2 Cv 1− 1 + 1 − ζ cos β2 (4.14) v1 v1 Para hallar las condiciones de operaci´on o´ptimas en relaci´on a estos dos par´ametros, se puede derivar la expresi´on anterior en funci´on de u/v1 . Suponiendo que β2 y ζ se mantienen constantes, se puede comprobar que el rendimiento m´aximo se alcanza para, ∂ηh =0 ∂ vu1
u 1 = v1 2
(4.15)
El valor de dicho rendimiento se obtiene verificando para la ecuaci´on (4.14) el valor obtenido de u/v1 = 1/2. p Cv2 1 + 1 − ζ cos β2 (4.16) ηhm´ax = 2 En la Figura 4.10 se presenta la variaci´on del√rendimiento hidr´aulico en funci´on de la relaci´on u/v1 para varios valores de k = 1 − ζ (ver nota 3 a pie de p´agina).
Figura 4.10: Variaci´on del rendimiento hidr´aulico de la cuchara (Efficiency of the runner) en funci´on de la relaci´on u/v1√(blade speed–jet speed ratio) para diferentes valores del factor de fricci´on k = 1 − ζ. La definici´on de rendimiento hidr´aulico mostrada anteriormente se puede escribir en t´erminos de los rendimientos hidr´aulicos asociados a los distintos componentes (inyector y cuchara). En ese sentido es habitual definir el rendimiento hidr´aulico del inyector, ηhiny , como la relaci´on entre la energ´ıa del fluido antes y despu´es de este elemento, ηhiny
Hn − HLiny v12 /2g = 2 = = Cv2 v0 /2g Hn
(4.17)
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Por su parte, el rendimiento hidr´aulico de la cuchara, ηhc , se define como el cociente entre la energ´ıa aprovechada (la asociada a la altura u ´til g Hu ) y la de entrada a la cuchara v12 /2g p u u Hu =2 1− 1 + 1 − ζ cos β2 (4.18) ηhc = 2 v1 /2g v1 v1 De esta manera se puede comprobar que el producto de los rendimientos de los componentes por separado es igual al de la turbina, ecuaci´on (4.14). p u u 2 1− 1 + 1 − ζ cos β2 = ηhiny ηhc (4.19) ηh = Cv 2 |{z} v1 v1 {z } ηhiny | ηhc
Volviendo a la Figura 4.10, la curva mostrada es estrictamente la de rendimiento de la cuchara, que se puede asociar (cualitativamente al menos) al rendimiento hidr´aulico de la turbina ya que el coeficiente Cv se considera constante. Esta representaci´on se ha realizado tomando un a´ngulo de salida de los a´labes del rodete β2 = 15o . El redimiento ser´ıa igual a la unidad en el caso que β2 = 0o (el chorro saliese con la misma direcci´on y en sentido opuesto que como entra al rodete) y no hubiese p´erdidas (ζ = 0, k = 1). Debido a que como se ha justificado anteriormente, se desea que β2 sea distinto de 0 para que el chorro no impacte en el dorso de la siguiente cuchara, frenando as´ı el movimiento, y que obviamente por efecto de la viscosidad del fluido las p´erdidas ser´an no nulas, el rendimiento de la cuchara nunca puede alcanzar el m´aximo te´orico
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4.4
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P´ erdidas en el inyector y tuber´ıa forzada. Di´ ametro ´ optimo del inyector
De la ecuaci´on de potencia obtenida en el eje de la turbina, ecuaci´on (4.20), se deduce que ´esta aumenta con el caudal y con la altura neta. Ahora bien, un aumento del caudal induce una mayor p´erdida de carga en la conducci´on forzada, lo que conlleva una reducci´on en la altura neta (energ´ıa disponible). El caudal se regula por medio del inyector de la turbina, a trav´es del di´ametro de salida d0 , tal y como se ha visto en la secci´on anterior. Es decir, si d0 ↑, Q ↑ y Hn ↓, por lo que no sabemos que le ocurre a la potencia. En estas dos tendencias contrapuestas debe existir un ´optimo que garantice que la potencia obtenida en el eje sea m´axima. Para la determinaci´on de dicho di´ametro debe encontrarse la ˙ eje = W ˙ eje (d0 ) para su optimizaci´on. funci´on W η=
˙ eje W ρ g Q Hn
˙ eje = η ρ g Q Hn W
(4.20)
En ese sentido la relaci´on del caudal con d0 ya se ha planteado anteriormente (concretamente se muestra en la ecuaci´on (4.7)). La relaci´on entre la altura neta y el di´ametro del chorro, se puede hallar combinando las ecuaciones (4.7) y (4.9). Para un an´alisis m´as simple se despreciar´an las p´erdidas secundarias y se asumir´a que la turbina trabaja con un inyector. En ese sentido resulta la ecuaci´on (4.21). 2 2 π d0 8 L v1 2 4 8LQ = H − λ (4.21) Hn = Hb − λ 2 b π g Dt5 π 2 g Dt5 donde el di´ametro, longitud y factor de fricci´on de la conducci´on forzada son Dt 4 , L y λ, respectivamente. Incluyendo (4.21) en la forma de la derecha de (4.20) se ˙ eje = W ˙ eje (d0 ) a derivar. Operando, obtiene la funci´on W ˙ eje ∂W =0 ∂d0
d0 =
Dt5 2 λ L Cv2
41 (4.22)
Sustituyendo esta expresi´on en la ecuaci´on (4.21) se obtiene que para que se produzca la situaci´on ´optima la relaci´on entre la altura neta y la bruta es, 2 Hn = Hb (4.23) 3 Lo que indica que cuando las p´erdidas en la conducci´on forzada son iguales a un tercio de la altura bruta la potencia que desarrollar´a la turbina ser´a m´axima. A partir de este valor un aumento del di´ametro del chorro (caudal) conllevar´a una disminuci´on de la potencia. 4
En esta ecuaci´ on se ha denotado al di´ametro de la conducci´on como Dt para diferenciarlo del di´ ametro de la rueda Pelton que ser´a D.
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Curvas caracter´ısticas de las turbinas de Ecuación de Euler: acci´ on
Las curvas caracter´ısticas de las turbinas Pelton se pueden presentar para salto constante y para salto variable, y son las u ´nicas que se pueden determinar a partir de ecuaciones. Funcionamiento con rendimiento óptimo:
4.5.1
Curvas caracter´ısticas con salto constante
Las turbinas Pelton funcionan siempre con una altura de salto constante, o al menos casi constante. A continuaci´on se presentan las curvas caracter´ısticas de caudal, potencia u ´til, rendimiento hidr´aulico y par frente a la velocidad de giro. Q = Q(Ω) √ Si el salto es constante tanto Hn como v1 = Cv 2 g Hn son constantes. De acuerdo a la ecuaci´on (4.6) el caudal depende del di´ametro del chorro y de la : rendimiento hidráulico. velocidadhhen la entrada del rodete, por lo que para una determinada apertura del inyector la curva ser´a una recta de pendiente horizontal cuyo valor ir´a Curvas carcterísticas: disminuyendo a medida que se cierre el inyector. En la Figura 4.11 se muestra la variaci´on a)delCaraterísticas con salto constante: caudal frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector, Las turbinas Pelton se pueden considerar que funcionan a una altura poco variable. donde x = 1 representa la carrera relativa m´axima (totalmente abierto).
Figura 4.11: Caudal frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del ‐ Q(Ku): caudal inyector.
˙u=W ˙ u (Ω) ηh = ηh (Ω) y W
En la ecuaci´on (4.14) se ha determinado que el rendimiento hidr´aulico es funci´on del ratio entre la velocidad de arrastre y la absoluta del chorro u/v1 . El valor de dicho ratio que maximiza el rendimiento hidr´aulico es el de 0,5. Al ser v1 constante se puede justificar que el rendimiento hidr´aulico es proporcional a ηh ∝ u − u2 siendo el resto de variables constantes. Es por ello que la relaci´on
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de dependencia con Ω es la misma que se ha presentado en la Figura 4.10, ya que u y Ω son directamente proporcionales. Adem´as, al ser la potencia u ´til ˙ u = ρ g Q Hu = ρ g Q ηh Hn y ser Hn constante, ´esta describir´a la misma relaci´on W de dependencia que el rendimiento, es decir, una par´abola invertida. De nuevo en la Figura 4.12 se ha representado la variaci´on del rendimiento y de la potencia u ´til en funci´on de la velocidad de giro para varias aperturas del inyector. Tanto rendimiento como potencia se anulan para un valor de u correspondiente a la relaci´on u/v1 = 1, ya que al ser la velocidad relativa nula, no existe empuje del agua hacia la cuchara.
Figura 4.12: Rendimiento hidr´aulico y potencia u ´til frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector.
Mx = Mx (Ω) Finalmente en la Figura 4.13 se ha representado la variaci´on del par en funci´on de la velocidad de giro para varias aperturas del inyector. Es f´acil intuir que si ˙ u ∝ u − u2 , ahora al ser Mx = W ˙ u /Ω, la la dependecia de la potencia u ´til era W dependencia se reducir´a en un grado quedando Mx ∝ 1 − u, que resulta en una recta de ordenada en el origen positiva y pendiente negativa.
4.5.2
Curvas caracter´ısticas con salto variable y velocidad constante
A pesar de tener escaso sentido f´ısico (una turbina Pelton no opera a salto variable) su inter´es radica en poder compararlas con turbinas de reacci´on. A continuaci´on se presentan las curvas caracter´ısticas de salto neto y u ´til as´ı como
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Figura 4.13: Par frente a velocidad de giro para diferentes aperturas del inyector. potencia u ´til frente a la velocidad de entrada a la turbina v1 (recu´erdese que ahora Hn es variable y por tanto v1 tambi´en). Hu = Hu (v1 ) De nuevo apoy´andonos en la ecuaci´on (4.14), se deduce que para u constante, la altura u ´til depende linealmente de v1 . Hn = Hn (v1 ) √ v2 Al ser v1 = Cv 2 g Hn , Hn = 2 g 1C 2 , que es una par´abola de segundo grado v tangente en el origen de coordenadas al eje de abcisas. ηh = ηh (v1 ) Esta curva se deduce inmediatamente de Hu y Hn , presentando un m´aximo te´orico para u/v1 = 1/2. ˙u=W ˙ u (v1 ) W Responde al producto de relaciones de dependencia de la altura u ´til y el caudal, que depende linealmente de la velocidad absoluta. Por tanto se trata de una par´abola que pasa por el origen y por el valor de v1 que anula a Hu . En la Figura 4.14 se ha representado la variaci´on de todas las magnitudes anteriores con la velocidad absoluta de entrada al rodete.
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Figura 4.14: Salto neto y u ´til, rendimiento hidr´aulico y potencia u ´til frente a la velocidad de entrada a la turbina v1 .
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Cuestiones Lecci´ on 4 4.1 Criterios utilizados en el dise˜ no de turbinas Pelton en la elecci´on del n´ umero de inyectores y su disposici´on alrededor del rodete, y en la elecci´on entre las configuraciones de eje vertical y eje horizontal.
4.2 Curvas caracter´ısticas de caudal, potencia, par y rendimiento en funci´on de la velocidad de giro en turbinas Pelton.
4.3 Tri´angulos de velocidades en turbinas Pelton.
4.4 Variaci´on de la potencia u ´til al variar el di´ametro del chorro en turbinas Pelton. Determinar el di´ametro del inyector que maximiza la potencia u ´til en funci´on de las caracter´ısticas de la tuber´ıa forzada y del coeficiente de p´erdidas del inyector.
4.5 Componentes caracter´ısticos en turbinas de acci´on y principales diferencias con respecto a las turbinas de reacci´on. Se˜ nalar la correspondencia entre elementos.
4.6 Funciones del inyector en turbinas de acci´on.
4.7 Definici´on de rendimiento hidr´aulico en turbinas de acci´on. Indicar c´omo se reparten las p´erdidas hidr´aulicas en esta tipolog´ıa de m´aquinas.
4.8 Deducir la relaci´on entre la velocidad absoluta del agua en el chorro y la velocidad de arrastre de los ´alabes que maximiza el rendimiento hidr´aulico en una turbina Pelton. ¡consid´erese que las p´erdidas por fricci´on en la superficie de los ´alabes es despreciable.
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Problemas Lecci´ on 4 4.1 Una turbina Pelton de eje horizontal con dos inyectores funciona con un salto neto Hn = 500 m, una velocidad de giro Ω = 78,5 rad s−1 y un caudal Q = 1 m3 s−1 . El di´ametro del rodete es D = 1,2 m. Las cucharas desv´ıan el chorro 165◦ con respecto a la entrada y la p´erdida de carga debida al rozamiento del fluido con la superficie de la cuchara se ha estimado en 0,1w12 /(2g), siendo w1 la velocidad del chorro relativa a la cuchara. El coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores es Cv = 0,98 y los rendimientos org´anico y volum´etrico de la turbina son ηo = 0,88 y ηv = 1, respectivamente. Determinar: a) Di´ametro de los chorros (d0 ). b) Altura te´orica. c) Potencia en el eje de la turbina. Soluci´ on ˙ eje = 3,968 MW. a) d0 = 0,081 m, b) Hu = 459,7 m y c) W
4.2 Una central hidroel´ectrica toma agua de un embalse a trav´es de una tuber´ıa forzada que tiene una longitud L = 2 km, y un di´ametro Dt = 50 cm, en la que el factor de fricci´on es λ = 0,006. La central consta de una turbina Pelton de eje horizontal con dos inyectores. El salto bruto es Hb = 300 m. El coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores es Cv = 0,97, el di´ametro de los chorros es d0 = 90 mm, el a´ngulo de salida de los a´labes es β2 = 15◦ y la fricci´on en los a´labes produce una reducci´on de la velocidad relativa del 15%. Determinar: a) La relaci´on entre la velocidad perif´erica del rodete y la velocidad del chorro incidente sobre los ´alabes u = f (v1 ) para la que se obtiene un rendimiento hidr´aulico m´aximo y el valor de ´este. b) Caudal y potencia total de la turbina suponiendo que se satisface la relaci´on u = 0, 48v1 y que los rendimientos org´anico y volum´etrico son ηo = 0,96 y ηv = 0,98, respectivamente. c) La regulaci´on de la potencia de la turbina se realiza actuando sobre el di´ametro de los chorros, manteni´endose constante la velocidad de giro. Determinar el nuevo valor del di´ametro de los chorros necesario para adaptar el funcionamiento de la turbina a la demanda de potencia, si ´esta disminuye un 10% con respecto al apartado anterior (t´engase en cuenta que al variar el caudal var´ıan las p´erdidas de carga en la tuber´ıa forzada). Calcular adem´as el nuevo valor de la relaci´on u/v1 .
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Soluci´ on ˙ eje = 1,957 MW y c) d0 = 0,08496 m, u/v1 a) u/v1 = 0,5, b) Q = 0,905 m3 s−1 , W = 0,475.
4.3 Una central hidroel´ectrica que consta de dos turbinas Pelton de id´enticas caracter´ısticas, suministra una potencia el´ectrica nominal de 152 MW. Cada turbina tiene 6 inyectores distribuidos sim´etricamente alrededor de un rodete de eje vertical. Cada rodete tiene 20 ´alabes, dispuestos sobre una circunferencia de di´ametro D = 2,779 m, y gira a una velocidad n = 276,9 rpm. La central turbina agua procedente de un embalse en el que la superficie del agua est´a situada a una altura de 428 m por encima del plano de la turbina. La altura de p´erdida de carga en la tuber´ıa forzada es de un 11% del salto bruto. El rendimiento total de las turbinas en condiciones nominales es de η = 0,917, y el rendimiento del generador el´ectrico es de ηe = 0,98. Los rendimiento org´anico y volum´etrico se supondr´ an √ iguales a la unidad. El coeficiente de velocidad del inyector es Cv = v1 / 2gHn = 0,98, siendo v1 la velocidad absoluta del agua a la salida del inyector. La altura correspondiente a la p´erdida de energ´ıa cin´etica del agua a la salida de los ´alabes es el doble de la correspondiente a la p´erdida de energ´ıa por rozamiento en los a´labes. Determinar: a) Caudal que se deriva desde la presa hasta la central. b) Di´ametro de los chorros (d0 ). c) Altura de p´erdidas en el inyector, en los a´labes del rodete y la correspondiente a la energ´ıa cin´etica del agua a la salida del rodete. ´ d) Angulo β2 de salida de los ´alabes en el rodete. e) N´ umero de pares de polos del alternador si la frecuencia de la red es de f = 60 Hz (Ω = 2πf /npp ). Soluci´ on a) Q = 45,26 m3 s−1 , b) d0 = 0,23809 m, c) HLiny = 15,084 m, HLr = 5,51 m, HLs = 11,021 m, d) β2 = 19,86◦ , e) npp = 13.
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4.4 Una turbina Pelton trabaja con un salto neto Hn = 360 m y una velocidad de giro de 750 rpm. El rodete tiene un di´ametro D = 1100 mm y el ´angulo de salida de los a´labes es β2 = 15◦ . Se ha estimado un coeficiente de velocidad en las toberas de los inyectores Cv = 0,98 y unas p´erdidas debidas a la energ´ıa cin´etica de salida equivalentes a una altura de 8 m, con vu2 > 0. Se pide: a) Hacer una estimaci´on de las p´erdidas hidr´aulicas en la cuchara y en el inyector, y del rendimiento hidr´aulico. b) Suponiendo que la velocidad del chorro aumenta un 10%, determinar la altura te´orica en las nuevas condiciones de funcionamiento. Suponer que las p´erdidas en la cuchara son proporcionales a la energ´ıa cin´etica asociada a la velocidad relativa a la entrada del rodete, y que Cv se mantiene constante. Soluci´ on a) HLiny = 14,25 m, HLr = 11,863 m, HLs = 8 m, ηh = 0,9052 y b) Hu = 394,41 m.
4.5 Se quiere dise˜ nar un aprovechamiento hidr´aulico en un determinado emplazamiento en el que se dispone de un salto neto Hn = 360 m. Para ello se utilizar´a una turbina Pelton cuyo rodete tiene un di´ametro D = 1100 mm y un a´ngulo de salida de los a´labes β2 = 15◦ , y que gira a una velocidad de 750 rpm. La central deber´a generar una potencia total de 3 MW. Para obtener una estimaci´on del rendimiento hidr´aulico se han realizado ensayos en una turbina modelo, realizada a escala de la anterior, cuyo rodete tiene un D = 300 mm y gira a una velocidad de 1110 rpm. En los ensayos se ha medido un coeficiente de velocidad en la tobera del inyector Cv = 0,98 y unas p´erdidas por fricci´on en las cucharas HLr = 2 m. Determinar: a) El salto neto y la potencia total de la turbina modelo. b) La altura te´orica de la turbina modelo. c) Caudal necesario para que la central genere la potencia esperada (consid´erense unos rendimientos org´anico y volum´etrico iguales a la unidad). Soluci´ on 2 ˙ eje a) Prototipo1 , Modelo2 : W = 14,67 kW, Hn2 = 58,65 m, b) Hu2 = 53,015 m y c) Q1 = 0,9398 m3 s−1 .