EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES Se recomienda: a) Antes de hacer algo, lee todo el examen. b) Resuelve antes las preguntas que se te den mejor. c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta. d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada. e) Resuelve detalladamente el problema para obtener todos los puntos del mismo. f) El examen se hará a bolígrafo, NUNCA a lápiz. TEORÍA( como mínimo hay que sacar un punto) 1. 2.

3.

¿Qué es una solución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas? ¿Cuántas soluciones tiene? ¿Cómo se representa? (3x0.2 p)(# 0.6 p)* ¿Cómo se escribe de forma genérica un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? ¿Cómo se clasifica en función del número de soluciones que tiene? (0.2 p 3x0.2 p)(# 0.8 p)* Cita todos los métodos que se pueden aplicar para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. (0.6 p)*

PROBLEMAS (como mínimo hay que sacar un cuatro) 1.

2.

3.

Dada la siguiente ecuación lineal con dos incógnitas: 5x 3y 9 Se pide: a) Comprueba si el par x, y 4, 6 es solución. (0.3 p) b) Halla una solución de dicha ecuación. (0.3 p)(# 0.6 p) Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas por todos los 8x 7y 10 métodos conocidos: (4x(0.65 p 0.15 p))(#3.2 p) 2x 5y 16 Resuelve uno de los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales: a)

2x 2

5y

143

y

29

4x

(0.95 p)

Ó b) 4.

5.

x

1 x

y 3y

2 7

(1.1 p)

Un granjero cría avestruces y ganado vacuno. Si el número total de cabezas es 160 y el número total de patas es 532, ¿cuántas animales tiene de cada tipo? (plan 0.4 p; resol 0.65 p 0.15 p; sol 0.2 p)(# 1.4 p) Halla dos números tales que, el primero menos dos veces el segundo da -7, mientras que la diferencia del cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo es 192. (plan 0.55 p; resol 0.8 p 0.15 p; sol 0.2 p)(# 1.7 p)

fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

1

SOLUCIÓN 1.

5x

3y 9 ¿ x, y 4, 6 es solución? Sustituimos en la ecuación estos valores de las incógnitas: 5 4 3 6 9 20 18 9 falso. Entonces no es solución 0.3 p b) Damos un valor cualquiera a una de las dos incógnitas para sustituirlo en la ecuación. Sea y 1 5x 3 1 9 5x 3 9 5x 9 3 12 x 5 12 , 1 es una solución. El par x, y 0.3 p 5 a)

2. 2.1 Método de sustitución.

8x

7y

10

2x

5y

16

Elegimos la incógnita x en la segunda ecuación para despejarla. 2x 5y 16 5y 16 x 2 Sustituimos este valor de x en la primera ecuación. 5y 16 8 7y 10 2 Nos ha quedado una ecuación de primer grado en la incógnita y que resolvemos. 4 5y 16 7y 10 20y 64 7y 10 27y 64 10 54 2 y 27 Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. 5 2 16 10 16 6 x 3 0.65 p 2 2 2 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 3, 2 2.2 Método de igualación.

8x

7y

10

2x

5y

16

0.15 p

Despejamos la incógnita y en las dos ecuaciones. 7y

8x

10

5y

2x

16

y

8x

10 7

16 5 Igualamos las dos expresiones obtenidas para y. 8x 10 2x 16 7 5 5 8x 10 7 2x 16 40x 50 14x 112 40x 14x 50 112 162 3 x 54 y

2x

fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

2

Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. 8 3 10 24 10 14 y 2 0.65 p 7 7 7 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 2.3 Método de reducción.

8x

7y

10

2x

5y

16

3, 2

0.15 p

Elegimos la incógnita x. Multiplicamos la segunda ecuación por cuatro, y la primera la dejamos igual. 8x

7y

10

8x

7y

10

2x

5y

16 4

8x

20y

64

Restando en columna nos queda: 8x

7y

10

8x

20y

64

/ 27y 54 54 y 2 27 Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x. 8x 7 2 10 8x 10 14 24 x 3 0.65 p 8 Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 2.4 Método gráfico.

8x

7y

10

2x

5y

16

3, 2

0.15 p

Hemos de representar cada una de las ecuaciones mediante su recta correspondiente sobre unos mismos ejes de coordenadas. 8x 7y 10 x

Consideramos la siguiente tabla de valores:

1

3

y si x si x

1 3

8

1

8 3

7y

7y 10

10

8

24

7y

7y

10

10

7y

x

Luego nos queda la tabla de valores 1, 2 , B 7 2x 5y 16

si x

0

2 0

5y

16

5y

16

si x

4

2 4

5y

16

5y

16

Luego nos queda la tabla de valores

24

3 34 7

x y 16 5

y 8

y

x

0 16 5

y 0, 16 , D 5

8

y y

34 7

2 7

0. 285 71 4. 857 1

para pintar los puntos

3, 34 7

Consideramos la siguiente tabla de valores:

C

10

10

1 2 7

y A

7y

0

4 3. 2

24 5 4 24 5

4. 8 para pintar los puntos

4, 24 5

fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

3

Nos queda la siguiente representación gráfica.

0.65 p Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y 3.

3, 2

0.15 p

uno 2x 2

a)

4x

5y

143

y

29

Aplicamos el método de sustitución. Despejamos la incógnita y en la segunda ecuación. y 29 4x Sustituimos este valor de y en la segunda ecuación. 2x 2 5 29 4x 143 2 2x 145 20x 143 0 2x 2 20x 288 0 2 x 2 10x 144 0 2 x 10x 144 0 0.5 p Ecuación de 2º grado completa con

a

1

b

10

c

que se resuelve aplicando la fórmula.

144

2

10 10 4 1 144 10 676 b 2 4ac 10 26 2a 2 1 2 2 10 26 16 8 2 2 0.3 p 10 26 36 18 2 2 Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y. si x 8 y 29 4 8 29 32 3 punto 8, 3 si x 18 y 29 4 18 29 72 101 punto 18, 101 0.15 p Se trata de un sistema compatible determinado.

x

b

fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

4

Gráficamente se representaría la situación así:

y 100

80

60

40

20

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

-20

Son los cortes de una parábola y una recta. a.

Ó x

b)

1 x

y 3y

2 7

, Solution is: x

8, y

5, x

1, y

2

Aplicamos el método de sustitución. Despejamos x en la segunda ecuación. 3y 7 x Sustituimos este valor de x en la primera ecuación. x 1 y 2 3y 7 1 y 2 3y 6 y 2 Elevamos al cuadrado en ambos lados de la igualdad. 2 3y 6 y 2 2 3y 6 y 2 2 y 2 2 2 0 3y 6 y 2 4y 4 0 y 2 7y 10 0.5 p a Ecuación de 2º grado completa con

b c

y

b2 2a 3

b 7

4ac

1 7 que se resuelve aplicando la fórmula. 10

7 2 4 1 10 2 1

7

7

9 2

7

3 2

10 5 2 0.3 p 7 3 4 2 2 2 Sustituimos estos valores de y para hallar los correspondientes de x. si y 5 x 3 5 7 15 7 8 punto 8, 5 si y 2 x 3 2 7 6 7 1 punto 1, 2 0.15 p Comprobación: 2

si x, y

8, 5

8

1

8

3 5

5

2 7

Cierto, entonces si es solución.

fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

5

si x, y

1, 2

1

1

2

1

3 2

2

Cierto, entonces si es solución.

7

0.15 p

Se trata de un sistema compatible determinado. Gráficamente se representaría la situación así:

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

-1

Son los cortes de la mitad de una parábola y una recta.

(1.1 p)

4.

PLANTEAMIENTO x al número de vacas

Llamamos

y al número de avestruces

Tenemos que: el número total de cabezas es 160 x y el número total de patas es 532 4x 2y

160 532

plan 0.4 p

RESOLUCIÓN Tenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 160 4x

2y

532

Aplicamos el método de reducción. Elegimos la incógnita y. Multiplicamos por 2 la primera ecuación. x

y 4x

160 2y

2

532

2x

2y

4x

2y

320 532

Sumando en columna nos queda: 2x

2y

320

4x

2y

532

2x / 212 212 x 106 2 Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y. 106 y 160 y 160 106 54 0.65 p Se trata de un sistema compatible determinado con solución única x, y fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

106, 54

0.15 p 6

SOLUCIÓN Tenemos 106 vacas y 54 avestruces

0.2 p

5.

PLANTEAMIENTO x es el primer número

Llamamos

y es el segundo número

Tenemos que: el primero menos dos veces el segundo da -7 x 2y 7 la diferencia del cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo es 192 x 2 y 2 192 0.55 p RESOLUCIÓN Nos queda el siguiente sistema de dos ecuaciones. x

2y

2

2

x

y

7 192

Aplicamos el método de sustitución. Despejamos la x en la primera ecuación. x 2y 7 Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación. 2y 7 2 y 2 192 2y 2 2 2y 7 7 2 y 2 192 0 4y 2 28y 49 y 2 192 0 3y 2 28y 143 0 0.5 p a Ecuación de 2º grado completa con

3

b

28

c

143

que se resuelve aplicando la fórmula.

28 28 2 4 3 143 28 2500 b 2 4ac 28 50 y 6 2a 2 3 6 28 50 78 13 6 6 0.3 p 28 50 22 11 6 6 3 Sustituimos estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x. si y 13 x 2 13 7 26 7 19 punto 19, 13 11 11 22 7 22 21 43 punto 43 , 11 si y x 2 7 3 3 3 3 3 3 3 Se trata de un sistema compatible determinado 0.15 p. b

SOLUCIÓN Los parejas de números son

19, 13 ,

43 , 11 3 3

fjsp 2013/14 term 4ºE.S.O. systems of equations exam

0.2 p

7