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2011 FEBRERO 1 (SEPTIEMBRE 2010)

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1. ¿Qué son ángulos alternos? Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho 3 4 ángulos, los cuales, considerados en pares de 5 6 igual medida ángular, se denominan ángulos alternos, 7 8 clasificados a su vez en: internos y externos, y ángulos correspondientes, tal y como se refleja en la siguiente figura. En los tres casos, los angulos que sean entre sí alternos internos, alternos externos o correspondientes son iguales. 1

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•ALTERNOS INTERNOS •4-5 •3-6 •ALTERNOS EXTERNOS •1-8 •2-7 •CORRESPONDIENTES •2-6 •4-8 •3,7 •1-5

2. ¿Qué son arcos semejantes? Un arco puede considerarse un segmento de un círculo, y en un círculo se llaman arcos semejantes a los arcos que corresponden a ángulos en el centro iguales. En el dibujo, habría 4 arcos semejantes.

90º

90º

90º

90º

3. ¿Qué es el Trópico de Cáncer? Es una línea imaginaria que rodea la tierra delimitando los puntos más septentrionales en los que el Sol llega a brillar desde el cénit (la vertical del lugar), hecho que ocurre en el solsticio de verano. En el instante del solsticio, los rayos del sol caen perpendicularmente sobre el suelo en la la línea imaginaria que constituye el Trópico de Cáncer 4. ¿Qué es un meridiano? Un meridiano es un semicírculo máximo de la esfera terresetre que pasa por los polos. Es una línea imaginaria que se utiliza para determinar la hora y el año. Por extensión se puede hablar de cualquier esfera, no sólo el planeta. 5. ¿Porqué los rayos del Sol son paralelos? Por la gran distancia que separa el Sol y la Tierra (pag 170) 6. ¿Cuáles son los arcos semejantes considerados por Eratóstenes en su argumento? El arco que forma el ángulo entre el gnomon de Alejandría y su sombra, en el extremo del gnomon, y el arco originado en la superficie de la Tierra por el ángulo formado por dos rectas que llegaran al centro de la Tierra desde Alejandría y Siene.

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Rayos de sol en el solsticio

S • r1 y r2 son paralelas cortadas por r3 • α 1 y α 2 son por tanto ángulos alternos internos, es decir, iguales

Gnomon

sombra r1

α2

A

Arco 1

Arco 2

α1

r2

7. Dibuje un esquema de las rectas y circunferencias consideradas en este argumento El de antes puede valer, pero complementamos. En el siguiente dibujo estaría la vista de frente para situar Siene (Asuán) y Alejandría

A TRÓPICO CÁNCER

S

ECUADOR

A continuación, los situamos sobre la curvatura de la Tierra Pensando geométricamente (en particular aplicando el principio de los ángulos alternos internos), Eratóstenes dedujo lo siguiente: si los rayos del Sol inciden directamente en Siene, pero en Alejandría hacen un ángulo con la vertical, ese ángulo es igual al que formarían las verticales de las dos ciudades si las prolongáramos hasta el centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geográfica entre Siene y Alejandría. 3

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8. ¿Qué ángulo determina la latitud de una localidad? La latitud de una localidad es el ángulo de elevación de esa localidad respecto al Ecuador. Es decir, si trazamos una línea recta que una esa localidad con el centro de la Tierra, y otra línea recta que una el centro de la tierra con el Ecuador, el ángulo que forman ambas líneas sería la latitud de esa localidad. Suponiendo la Tierra una esfera transparente y una localidad P, la longitud sería el ángulo λ. En el cálculo de Eratóstenes, el ángulo alfa es la diferencia de latitudes entre las dos localidades, Siene y Alejandría,

9. Complete el argumento indicado con puntos suspensivos al final del texto y diga cuánto mide el meridiano terrestre El ángulo alfa es de 1/50 de un círculo, si ese ángulo subtiende un arco de 5000 estadios, toda la circunferencia del meridiano medirá cincuenta veces más, es decir, 250.000 estadios. No se tienen claro cuanto medía el estadio, pero se estima que unos 150 metros, con lo que se obtuvo un valor de 37.500 Km, un 94% del valor actual. 10. Explique la relación entre física y matemáticas en Aristóteles y la evolución de dicha relación en el Helenismo Para Aristóteles el mundo sublunar estaba compuesto por 4 elementos opuestos dos a dos, ello implicaba cambio al pasar de un elemento a su opuesto, y por lo tanto corrupción. Este mundo podía interpretarse con la física. En cambio, el mundo supralunar era un mundo de éter, elemento sin contrario y por lo tanto perfecto e inmutable, era el mundo donde podía aplicarse la matemática. COMPROBAR Y COMPLETAR CON EL HELENISMO

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1. ¿Qué es un meridiano? F1_2011_P4 2. ¿Qué es el círculo zodiacal? 5

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El Zodiaco es un sistema astronómico de coordenadas basado en la división en partes iguales de la banda que forman los planetas, el Sol y la Luna con su movimiento propio con respecto al fondo de estrellas y constelaciones. Estas trayectorias aparentes forman una estrecha franja del cielo conforme pasa un año. Esta franja está dividida en doce sectores imaginarios, uno por cada mes del año y cada uno contiene una constelación tradicional a la cual debe su nombre. El concepto de zodíaco fue originariamente propuesto por los Babilónicos antes del 2000 adC como un calendario con el que visualizar el paso del tiempo. La región zodiacal fue dividida en doce partes al igual que aparecen doce lunas cada año. El zodiaco es una banda sobre la esfera celeste que se extiende unos 8 grados a ambos lados de la eclíptica por la que se desplazan el Sol y los planetas. Los griegos dividieron esta banda en 12 partes iguales, siendo cada una de ellas un segmento del cielo de una extensión de 30 grados de arco, bautizadas con el nombre de las 12 constelaciones más destacadas que veían en cada una de las subdivisiones. 3. ¿Cúanto mide cada una de esas 48 partes en que divide Posidonio el círculo zodiacal? El círculo tiene 360 grados, como lo divide en 48 partes, cada parte que coincide con un cuarto de signo zodiacal son 7.5 grados, justo la elevación de Canopus en Alejandría cuando está en medio del cielo 4. ¿Por qué no se ve Canopus en la mayor parte de Grecia”? Porque se encuentra justo en la línea de horizonte de Rodas, que está casi al Sur de Grecia, todo lo que quede al norte de Rodas no verá Canopus. 5. ¿Dónde está Canopus cuando se halla “en el medio del cielo”? Se halla a un cuarto de grado sobre la línea de horizonte de Alejandría, es decir 7,5 grados sobre el horizonte. En Rodas en ese momento estaría justo sobre la línea de horizonte.

6. ¿Por qué los horizontes de Rodas y Alejandría distan 1/48 círculo zodiacal? El arco del meridiano que separa Rodas de Alejandría está subtendido por un ángulo de 7,5 grados, obtenidos a partir de las líneas que conectan Rodas y Alejandría con el centro de la Tierra. Como los horizontes son perpendiculares a la superficie de la tierra, obtendríamos el mismo ángulo ya que se trata de líneas perpendiculares entre sí. Por lo tanto los horizontes tendrían esos 7,5 grados de diferencia, que tal y como se ha comentado en la pregunta 3, sería 1/48 del círculo zodiacal. 8. Dibuje un esquema mostrando los horizontes y el segmento de meridiano entre Rodas y Alejandría y muestre porqué éste es igual a la distancia angular de aquéllos El esquema es el siguiente.

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Línea de Horizonte de Rodas

R

Canopus A

7.5º

7.5º Línea de Horizonte de Alejandría

Son iguales porque las líneas que conforman ambos son perpendiculares entre sí. La línea de horizonte siempre es perpendicular a la línea que une la localidad con el centro de la Tierra. En el dibujo se aprecia con claridad. 9. Rellene los puntos suspensivos con que termina el texto 48 veces más, es decir, 240.000 estadios 10. Explique qué opinaba Aristóteles de las relaciones entre matemáticas y físicas; razone si este texto es de matemáticas o de física (está escrito hacia el s I dC) Según Gémino, se trataría de un texto matemático, ya que se encarga de situar los objetos en el espacio, y habla de formas, tamaños y distancias, utilizando herramientas geométricas y aritméticas, que son asunto de la matemática, sin atender a aspectos físicos como la sustancia, la fuerza, la cualidad, la generación

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1. El motor original confiere la capacidad de ser un motor al aire, al agua o a cualquier otra cosa por el estilo que por naturaleza pueda sufrir o comunicar movimiento. Mas esta cosa no cesa de impartir y recibir movimiento simultáneamente. Deja de estar en movimiento en el momento en que su motor deja de moverla, pero sigue siendo un motor, por lo que causa movimiento a otra contigua, y de ésta se puede decir lo mismo. El movimiento disminuye cuando la fuerza motriz producida en un miembro de la serie de cosas contiguas es cada vez menor; y termina por cesar cuando uno de los miembros ya no hace que el siguiente miembro sea un motor, sino que tan solo lo mueve. Entonces el movimiento de los dos últimos, uno como motor y otro como móvil, cesa simultáneamente y con ello todo movimiento. (Cuadro 3.5). 2. El movimiento en Aristóteles sigue dos principios. El primero de ellos es que nada se mueve a sí mismo, pues cuanto se mueve, se mueve por otra cosa, pues no hay efecto sin causa. El concepto de motor inmóvil se introduce para eliminar el regreso infinito. Los motores inmóviles, que mueven sin moverse, se conciben como acto puro, sin materia, e interpretando su efecto como la pasión o deseo despertado en el móvil, sin que ellos sientan ni padezcan. 3. Aristóteles concibe un sistema único de esferas de éter incorruptible (el quinto elemento) encajadas unas en otras de manera que cada una de ellas transmita su movimiento absoluto a la inmediata interna que tiene su eje en ella. Pero el movimiento propio de cada esfera (no transmitido) se debe a su propio motor inmóvil. 4. En el movimiento de caída de los graves el motor es el peso, y la resistencia, la densidad del medio atravesado. De ahí que una piedra que recorra una distancia dada por el aire y por el agua emplee tiempos que están entre sí como las densidades del aire y del agua. Pero el vacío carece de densidad, por lo que el tiempo que se tarda en atravesarlo sería nulo y el cuerpo estará a la vez en la salida y en la meta, lo que es absurdo. 5. Filopón era neoplatónico y cristiano neosofista, siglo VI. Atacó la eternidad del mundo y las doctrinas aristotelizantes al respecto, como la división del cosmos en un mundo terrestre imperfecto y material y otro celeste morado por divinidades astrales. Por ejemplo, la transparencia del éter no habla de su perfección, pues también lo es el aire puro. En el caso de los graves observó que, de hecho, las velocidades no eran como los pesos, cosa que atribuía al retraso producido por el medio. Este aumentaba por igual los tiempos de los diferentes graves, con lo que enturbiaba la relación inversa de los pesos que solo se maniferstaría en el vacío. Esto es, los movimientos no son, según la fórmula atribuida a Aristóteles, directamente como los pesos e inversamente como la densidad del medio, algo que además Filopón consideraba difícil de averiguar, sino que son como los pesos menos el efecto obstaculizador del medio, Por eso el vacío no es absurdo, sino que es precisamente la condición en la que los movimientos son directamente como los pesos sin nada que empañe esta relación. Filopón no dice tan claramente que los tiempos son inversos de los pesos, sino que dice que el más pesado tarda menos. Para Filopón el peso no es una magnitud aditiva, pues si juntamos dos piedras de un kilo, obtendremos un cuerpo de algo más de dos kilos, por aquello de que la unión hace la fuerza, idea estoica que explica los fallos de reciprocidad de las reglas aristotélicas. Pero la mayor novedad de Filopón se produjo en el caso de los proyectiles. Algunas fuerzas son entidades inmateriales independientes de los cuerpos, aunque susceptibles de implantarse en ellos desde fuera. Más tarde, la generalizó a todos los movimientos, por lo que las fuerzas no serán ya tendencias propias de la materia, sino espíritus implantados en ella por un agente externo. 9

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Aristóteles explicaba el necesario contacto entre móvil y motor. Filopón dice que el aire no puede mover las piedras, por lo que lo mejor es aplicar la idea aristotélica de los motores transitorios a los proyectiles mismos

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2010 FEBRERO 1

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Lo que hace que suba el líquido por el tubo es la presión de la atmósfera sobre la superficie, ésta es siempre la misma, por lo que la altura que alcanza el líquido depende de la altura del tubo. Al inclinar el tubo la altura disminuye, con lo que parte del agua del recipente pasará de nuevo al tubo, es decir, se reabsorberá. La altura que alcanzaría cualquier líquido en este experimento dependería de la densidad que tuviera dicho líquido. La altura sería tal, que la presión que ejerce la atmósfera sobre la superficie del agua del recipiente sería la misma que la que ejerce la columna de líquido, es decir, ambos fluidos estarían en equilibrio. Porque aunque Pascal quería con sus experimentos corroborar la interpretación del vacío, tenía dudas acerca de las hipótesis del peso de la atmósfera. En sus Nuevos Experimentos sobre el vacío (1647), de cuyo contenido se ha extraido el texto del examen, seguía sosteniendo las hipótesis de Galileo y Roberval, porque no había probado aún de manera fehaciente que la causa fuese la atmósfera. Respecto a las teorías de la luz en aquella época, había dos grandes modelos: el corpuscular de Newton y el ondulatorio de Huygens Horro Vacui. La naturaleza aborrecía el vacío con una fuerza (por unidad de área) igual al peso de una columna de agua de 10,5m. Por encima de esa altura, la columna se quebraba bajo su propio peso porque el horror al vacío ya no era capaz de sostenerla. A pesar de que su corresponsal Baliani le sugirió que podía deberse al peso de la atmósfera, Galileo no estaba dispuesto a pensar que el aire pesara en el aire. Torricelli le dio la razón a Baliani: el peso de la atmósfera presiona sobre un recipiente de mercurio como una columna de mercurio de 75 cm. Vivimos en el fondo de un mar de aire que presiona hidrostáticamente en todas las direcciones y el peso de la atmósfera se traduce en la presión del aire. El experimento de Torricelli consistió en tomar un tubo de un metro aproximadamente abierto por un extremo. Mediante un embudo se llena de mercurio, se tapa la boca y se invierte sobre un recipiente lleno de mercurio. Al destapar el tubo bajo el mercurio de la cubeta, el mercurio del tubo desciende hasta alcanzar una altura de 75 cm. La altura alcanzada por el agua en el experimento de Maignan (10,5m) es a la altura alcanzada por el mercurio en este (75cm) inversamente como las densidades de ambos líquidos, 14:1. Así pues, se supone que la atmósfera pesa o presiona sobre la superficie libre del líquido con una fuerza suficiente para sostener la columna de mercurio a una altura de 0,75 m o a de el agua a una altura 14 veces mayor.

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Ambas aceptan la división al infinito del continuo. Si el espacio y el tiempo son divisibles al infinito, no puede haber movimiento entre A y B, pues antes de recorrer AB hay que recorrer la mitad, y antes de recorrer la mitad hay que

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recorrer la cuarta parte, pero antes…y así hasta el infinito, por lo que todos esos infinitos antes hacen que el movimiento no se inicie jamás. Zenón parece pensar que aunque todos esos espacios recorridos decrezcan como las potencias de 2, llevan todos ellos un tiempo cuya suma es infinita porque hay infinitos sumandos positivos. Un par de milenios más tardes se vio que esta serie tiene un límite, 2, porque la diferencia entre esta y la suma de los n primeros términos de la sucesión, tiende a cero cuando n tiende a infinito. Y entonces se pasa al límite sin realizar las infinitas sumas que aún quedan, suponiendo que sí se recorren esos espacios en un tiempo finito, que es justamente la hipótesis que trataba de examinar Zenón La tercera y cuarta aporía parecen mostrar lo absurdo de considerar el continuo compuesto de partes o unidades, como los números los pitagóricos: el tiempo compuesto de momentos o ahoras, y el espacio de lugares. Si lo hacemos, el movimiento de la flecha es imposible, pues si en cada ahora ocupa un lugar igual a sí misma, no se mueve. Al conjunto de los ahoras corresponde un conjunto de los reposos y no un movimiento Dos milenios más tarde se empezó a considerar el movimiento no como un cambio global entre dos términos, la salida y la meta, sino como un estado en sí mismo, al margen de cuanto dure, de dónde venga y adónde vaya, cuya intensidad es el cociente de espacios y tiempos cualesquiera, pues aunque estos se tomen tan pequeños como se desee y tiendan a cero, la razón es constante, lo que permite hablar de velocidad en un instante sin duración; el colmo de un eleático. La cuarta aporía parece refutar (en realidad ignoramos las intenciones de Zenón) la composición del espacio y el tiempo de indivisibles extensos, como los átomos, pues suponer que hay indivisibles entraña que hay medio indivisible. En efecto, si suponemos que las ristras de átomos B y C recorren (en sentidos opuestos) un indivisible de espacio (A) en un indivisible temporal, nos encontramos con que B recorrerá cada uno de los indivisibles espaciales (átomos) de C en medio indivisible de tiempo, con lo que no era tan indivisible. En resumidas cuentas, la divisibilidad, sea hasta el infinito o hasta átomos indivisibles, lleva al absurdo. ¿Aplica la misma respuesta que 4? Parménides, maestro de Zenón, desarrolló un argumento sostenido para defender que nada cambia y que lo que es, es inmutable.

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FEBRERO 2

El dibujo representa el modelo de Ptolomeo para los planetas exteriores (Cuadro 4.31) 1. ¿Qué es el movimiento directo y hacia donde se produce? El movimiento directo es el que realizan hacia desde el Oeste hacia el Este 2. ¿Qué es la conjunción? 16

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La conjunción es 3. ¿Qué es la oposición? 4. ¿Cuándo es retrógrado el movimiento del planeta? Un movimiento del planeta es retrógrado cuando se mueve de Este a Oeste 5. ¿Qué es e? e es lo que se aleja la Tierra del Centro del Deferente, C 6. ¿Qué es T? T es la Tierra 7. ¿Qué es E y para qué sirve? E es un punto situado sobre la línea de los ápsides a la misma distancia e que hay desde C a la Tierra, pero del otro lado. Ptolomeo observó que el progreso de D no es uniforme con respecto a su centro C, sino que lo es respecto a E. Se trata del punto ecuante porque desde él, la línea ED barre ángulos iguales en tiempos iguales. 8. ¿Qué es AP, a y P? A es Apogeo (máxima distancia) y P es Perigeo (máxima continuidad), AP es. AP es la línea de los ápsides, que es la que pasa por la Tierra T y por el centro de la órbita C, separados por la excentricidad e. 9. ¿Por qué el radio del epiciclo debe ser paralelo a la dirección al Sol medio? El movimiento D por el deferente representa el movimiento medio del planeta por la eclíptica a lo largo de su año. Pero como este movimiento no es uniforme respecto a la Tierra (primera anomalía) esta se aleja del centro del deferente C, lo suficiente (e) para que desde T el planeta recorra los arcos observados en las diferentes partes de su órbita 10. ¿Cómo explicaba Copérnico el hecho de que el radio del epiciclo tuviese que ser paralelo a la dirección al Sol?

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