Existencia de soluciones globales para las ecuaciones de Maxwell- Dirac en una dimensio´ n espacial y una temporal BY

Victor Delgado

Trabajo que se presenta para el M´aster de Investigaci´on Matem´atica Dirigido por el Profesor D. Ildefonso Diaz Diaz

Major Subject: AMS subject classification 35A01 Minor Subject: AMS subject classification 65P10

Facultad de Matem´aticas Universidad Complutense 14 de Diciembre de 2009

´ n de difusio ´ n: Autorizacio El abajo firmante, matriculado en el M´aster en Investigaci´on Matem´atica de la Facultad de Ciencias Matem´aticas, autoriza a la Universidad Complutense de Madrid (UCM) a difundir y utilizar con fines acad´emicos, no comerciales y mencionando expresamente a su autor el presente Trabajo Fin de M´aster: ”Existencia de soluciones globales para las ecuaciones de Maxwell- Dirac en una dimensi´on espacial y una temporal”, realizado durante el curso acad´emico 2008-2009 bajo la direcci´on del Profesor D. Ildefonso Diaz Diaz en el Departamento de Matem´atica Aplicada, y a la Biblioteca de la UCM a depositarlo en el Archivo Institucional E-Prints Complutense con el objeto de incrementar la difusi´on, uso e impacto del trabajo en Internet y garantizar su preservaci´on y acceso a largo plazo.

Victor Delgado Martinez

Abstract The existence of global solutions of the Cauchy problem for the coupled MaxwellDirac equations in one space dimension is a problem that seems to be solved since 1973, but an unfortunate election of the functional spaces for the electromagnetic potentials precludes the existence of solutions other than the trivial one. The global existence can be proven in other functional spaces thanks to the existence of an ”a priori” bound on the L∞ norm of the Dirac field.

La existencia de soluciones globales para el problema de Cauchy para las ecuaciones acopladas de Maxwell Dirac es un problema que parece resuelto desde 1973, pero una desafortunada elecci´on de los espacios funcionales para los potenciales electromagn´eticos impide la existencia de soluciones distintas de la trivial. La existencia global puede ser probada en otros espacios funcionales gracias a la existencia de de una cota ”a priori” sobre la norma L∞ del campo de Dirac.

Table of Contents P´agina 5..................................Introducci´on. P´agina 8..................................Notaci´on, Ecuaciones de Maxwell-Dirac y deducci´on de cotas a priori. P´agina 14..................................Errores en las primeras demostraciones de existencia de soluciones globales. P´agina 16..................................Errores cometidos en fechas recientes. P´agina 18..................................Expresi´on en forma integral de las magnitudes electromagn´eticas en funci´on de las corrientes y comportamiento en el infinito de las mismas. P´agina 20..................................Soluci´ones explicitas y evoluci´on temporal en el caso sin masa. P´agina 24..................................Soluciones estacionarias. P´agina 27..................................Evoluci´on temporal de estados iniciales con masa, tanto de carga finita, como de carga infinita. P´agina 29..................................Conclusiones comentarios y cuestiones abiertas. P´agina 31..................................Referencias P´agina 33..................................Ap´endice I P´agina 50..................................Ap´endice II P´agina 52..................................Ap´endice III

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1 Introduccio´ n Desde el planteamiento de las ecuaciones de Maxwell que describen el campo electromagn´etico y que encontraron su marco natural en la teoria de la relatividad espacial ha habido en la Fisica inter´es por el estudio de los campos cl´asicos relativistas en interacci´on unos con otros o en autointeracci´on. Muy poco despu´es los matem´aticos empezaron a formalizar las condiciones de existencia y unicidad de las soluciones de esas ecuaciones de campo relativistas, continuando el inter´es hasta hoy. Sin embargo se han cometido y se siguen cometiendo en algunos casos errores que afectan gravemente a los resultados que se pretenden obtener. En este trabajo se trata de estudiar la existencia y propiedades de las soluciones del problema de Cauchy para las ecuaciones de Maxwell-Dirac en el espacio de Minkowsky de una dimensi´on espacial y una dimensi´on temporal y de estudiar num´ericamente la evoluci´on temporal de algunos datos iniciales significativos. Las ecuaciones de Maxwell-Dirac, encuadradas dentro de la teoria cl´asica de campos, describen la interacci´on de un campo con carga el´ectrica y spin 1/2 (campo de Dirac) con el campo electromagn´etico producido por dicho campo cargado. Estas ecuaciones cl´asicas, cuando son cuantificadas, son la base de la electrodin´amica cu´antica, parte muy fructifera de la teoria cu´antica de campos. La existencia de soluciones globales para el problema de Cauchy para las ecuaciones de Maxwell-Dirac en una dimensi´on espacial es un problema que ha atraido la atenci´on de los investigadores desde 1973 hasta muy recientemente, 2006, sin embargo, una desafortunada elecci´on de los espacios funcionales para el campo electromagnetico en los trabajos antiguos ha provocado que se demuestre la existencia y unicidad de la soluci´on id´enticamente nula, mientras que en los trabajos modernos se estudian unas ecuaciones que, aunque muy similares, no son las ecuaciones de Maxwell-Dirac por omitir la condici´on de ”gauge” de Lorenz. Es objetivo de este trabajo analizar los errores que motivaron esas soluciones incorrectas y ver la forma de resolverlos. Por otra parte la conservaci´on de la carga y la existencia de una cota a priori sobre la norma infinito de la densidad de carga van a permitir elegir espacios funcionales en los que demostrar con facilidad la existencia global en cuanto a los campos de Dirac se refiere. Como las densidades de carga y corriente act´uan como fuentes de los campos electromagn´eticos, conocidos los espacios funcionales a los que pertenecen las densidades de carga y corriente, se pueden elegir los espacios funcionales para las magnitudes electromagn´eticas requeridos por los espacios funcionales a los que pertenecen las densidades de carga y corriente. Las ecuaciones de Maxwell-Dirac sin masa (modelo cl´asico de Swinger) admiten soluci´on explicita y esto nos permite ver con facilidad la evoluci´on temporal. Sin embargo las ecuaciones con masa no admiten en general soluciones explicitas y estudiar la evoluci´on temporal es mucho m´as dificil.

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Se pueden estudiar las soluciones estacionarias tanto en el caso de masa nula, en que se obtienen explicitamente, como en el caso de masa no nula, en que son soluciones a un sistema de ecuaciones diferenciales que es un sistema din´amico. En ambos casos la carga total es infinita, pero la densidad de carga est´a acotada. Esto nos abre el camino a estudiar el comportamiento en el tiempo de soluciones con masas con condiciones iniciales de carga finita, que nunca pueden ser estacionarias, y con condiciones iniciales con carga infinita, pero con densidad de carga acotada. Hay algunas soluciones particulares explicitas en el caso con masa, pero son tales que la densidad de carga es singular, con lo que la norma infinito no est´a acotada, y esto abre un nuevo frente donde estudiar las soluciones de las ecuaciones de MaxwellDirac en 1+ 1 dimensiones. En el apartado segundo de este trabajo planteamos las ecuaciones de Maxwell-Dirac como ecuaciones de campo relativista en una dimensi´on espacial y una temporal y las escribimos tambi´en en la forma habitual de ecuaciones en derivadas parciales. Deducimos las cotas a priori para la norma L2 (densidad de carga) y la norma infinito de las funciones que representan el campo de Dirac. En el tercero analizamos los errores cometidos en las primeras demostraciones de existencia y unicidad de 1973. El cuarto est´a dedicado a analizar los errores cometidos en fechas recientes, 2006, tomando por las ecuaciones de Maxwell-Dirac otras que no lo son. En el quinto veremos como pueden escribirse las magnitudes el´ectromagn´eticas usando como fuentes las densidades de carga y corriente asociadas al campo de Dirac y como se comportan en x− > ±∞ las magnitudes electromagn´eticas. Esto nos puede sugerir el tipo de espacios funcionales donde plantear correctamente el problema de valor inicial. El sexto est´a dedicado a la soluci´on exacta en el caso sin masa, y se presenta en el Ap´endice I un ejemplo de evoluci´on temporal de una soluci´on de carga finita y de una soluci´on estacionaria de carga infinita y densidad de carga finita. Tambi´en se presenta la evoluci´on temporal de las ecuaciones err´oneamente tomadas por las de Maxwell Dirac y que tambi´en son exactamente solubles en el caso sin masa, se ve que en ese caso si pertenecen a L2 los potenciales electromagn´eticos. El s´eptimo est´a dedicado al estudio de las soluciones estacionarias en el caso sin masa. Las soluciones estacionarias en las que el valor de la componente T 11 del tensor energia-momento es igual a cero y con densidad de carga sim´etrica son las mejores candidatas a ser estables. En el ap´endice II se presentan ejemplos calculados num´ericamente de las soluciones estacionarias en el caso con masa con esas caracteristicas. En el octavo planteamos la posible evoluci´on temporal de estados iniciales con masa y con carga finita y con masa y densidad de carga finita tendiendo la densidad de carga a constante en ±∞. En el ap´endice III se presentan resultados de la evoluci´on

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temporal de condiciones iniciales localizadas o que tienden a constante en infinito para el caso particular de m− > 0. El noveno y u´ ltimo apartado recoge las conclusiones alcanzadas y los problemas que quedan abiertos como resultado de este trabajo.

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2 Notacio´ n, Ecuaciones de Maxwell-Dirac y deduccio´ n de cotas a priori Aunque en una coordenada espacial y una temporal el uso de la notaci´on de coordenadas covariantes y contravariantes y de la notaci´on de Einstein no representa mucha economia de escritura, como las ecuaciones de Maxwell Dirac son relativistas, vamos a usar esa notaci´on especifica de la relatividad espacial, que es la m´as natural para estas ecuaciones y que recordaremos a continuaci´on. Escribiremos las ecuaciones en unidades naturales o de Planck, en las que la velocidad de la luz, c, es igual a 1 y la constante de plank h es 2π La notaci´on y la forma de las ecuaciones de Maxwell Dirac pueden encontrarse con mucha m´as amplitud en textos de teoria cu´antica de campos como [1] y [2], y de ecuaciones de onda no lineales, como [3]. Para informaci´on de m´etodos de an´alisis funcional hemos utilizado el libro cl´asico de Red and Simon [4]. En lo concerniente a la formulaci´on relativista de la electrodin´amica cl´asica puede verse [5].

2.1

Notacio´ n

Habitualmente las ecuaciones de Maxwell Dirac se tratan como ecuaciones de campos relativistas y se trabaja en el espacio de Minkowsky de una dimensi´on espacial y una temporal, la coordenada temporal la representaremos indistintamente por t o por x0 , mientras que la coordenada espacial la representaremos por x o x1 y estas son las coordenadas contravariantes. La relaci´on entre las coordenadas contravariantes x0 , x1 y las covariantes x0 , x1 , viene dada por: xμ = g μ υ xυ donde g μ υ es el tensor m´etrico definido asi: , g 00 = −g 11 = 1, g 01 = −g 10 = 0 y hemos usado la convenci´on de Einstein de sumatorio sobre indices superiores e inferiores repetidos, xμ = gμ υ xυ ≡ P μυ xμ = υ=1 xυ . Las derivadas con respecto a las variables contravariantes las υ=0 g ∂ ∂ representamos asi: ∂0 ≡ ∂x∂ 0 ≡ ∂t , ∂1 ≡ ∂x∂ 1 ≡ ∂x ,y son variables covariantes, an´alogamente est´an definidas las derivadas contravariantes ∂ 0 y ∂ 1 ,como las derivadas con respecto a las coordenadas covariantes.

2.2

Ecuaciones de Maxwell-Dirac

Las ecuaciones cl´asicas acopladas de Maxwell-Dirac [2] describen la interacci´on de un campo que representa una particula de masa m y cargada, con spin 1/2 con el campo electromagn´etico producido por esa misma particula. Es una ecuaci´on no lineal. En una dimensi´on espacial y una temporal pueden escribirse como: (−i γ μ ∂μ + m) ψ = g γ μ Aμ ψ,

(1)

∂1 E = g j0 ,

(2)

∂0 E = g j1 ,

(3)

9

Ã

!

∂0 A1 − ∂1 A0 = E,

(4)

u es el spinor de Dirac, con dos componentes, u, v, funciones v complejas de las variables t y x que describe la particula con spin, cuya masa es m. Las matrices γ μ son las matrices gamma de Dirac, caracterizadas por ser su cuadrado la matriz identidad y por sus relaciones de anticonmutaci´on

donde ψ =

γ μ γ μ = I ∀ μ y γ μ γ ν + γ μ γ ν = 2 gμ υ I, donde I es la matriz identidad.

Estas matrices no son u´ nicas, sino que admiten distintas representaciones concretas, algunas de las cuales utilizaremos a lo largo del trabajo. Las funciones que describen las magnitudes electromagn´eticas en una dimensi´on espacial y una temporal son el campo el´ectrico E y los potenciales electromagn´eticos Aμ , g es la constante de acoplo [6]. Ambos son funciones reales de t y x ψ = ψ ∗ γ 0 = (u∗ v ∗ ) γ 0 es el spinor adjunto (∗ denota complejo conjugado). Y j μ = ψ γ μ ψ es la corriente de Dirac. Esta corriente cumple una ecuaci´on de continuidad ∂μ j μ = 0, que tiene una interpretaci´on Rfisica: j 0 es la probabilidad por ∞ unidad de longitud de encontrar a la particula, y g −∞ j 0 (x, t) dx es la carga total del campo de Dirac [1]. Los potenciales Aμ Eq. 4 no est´an univocamente definidos, y para hacerlos u´ nicos se a˜nade una condici´on suplementaria. A estas condiciones suplementarias se las conoce habitualmente por su nombre ingl´es, gauge, aunque en libros cl´asicos de teoria cl´asica de campos, como el de L. D. Landau, la traducci´on de Ortiz Fornaguera sea contraste, no ha prendido su uso en castellano, por lo que utilizar´e la palabra inglesa. Una de las condiciones suplementarias habitualmente empleadas es el gauge de Lorenz (Muchas veces se encuentra escrito, incluso en articulos cientificos, Lorentz, por confusi´on con el nombre del fisico que da nombre a las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial. Son dos personas distintas que trabajaron en el mismo campo y, curiosamente, hay una ecuaci´on de Lorenz-Lorentz llamada asi por ambos fisicos). ∂μ Aμ = ∂0 A0 − ∂1 A1 = 0.

(5)

(∂μ ∂ μ )Aμ = g j μ ,

(7)

∂μ Aμ = 0.

(8)

Esta condici´on de Lorenz es manifiestamente covariante. La forma habitual de escribir las ecuaciones de Maxwell-Dirac en el gauge de Lorenz [7], [8], [9], [10], de forma que queda en forma manifiesta la covarianza de las ecuaciones es: (−i γ μ ∂μ + m) ψ = g γ μ Aμ , (6)

10

En esta forma no aparece explicitamente el campo E. Tampoco, incluso con la condici´on suplementaria de Lorenz, son univocos los potenciales ya que se les puede sumar a los potenciales Aμ una funci´on Gμ que cumpla (9)

(∂μ ∂ μ )Gμ = 0.

Podemos escribir con mucha facilidad las ecuaciones de Maxwell-Dirac en una dimensi´on espacial y una temporal en el gauge de Lorenz en la forma standard de una ecuaci´on en derivadas parciales para la cual se puede plantear un un problema de valor inicial: Eligiendo la representaci´on de Weyl de las matrices de Dirac: 0

γ =

Ã

0 1 1 0

!

1

, γ =

Ã

0 −1 1 0

!

,

y llamando u y v a las dos componentes complejas de Ψ podemos escribir las ecuaciones de Maxwell-Dirac sin masa (Modelo cl´asico de Schwinger) en la forma de una sistema de ecuaciones en derivadas parciales como: ∂ ∂ u = − u − i m v − i g u (A0 + A1 ), ∂t ∂x ∂ ∂ v= v − i m u − i g v (A0 − A1 ), ∂t ∂x

(10) (11)

∂ A0 + j0 ∂ x2 ∂ A1 + j1 ∂ x2 ∂ A1 . ∂x complejas conjugadas:

(12)

∂ ∗ ∂ u = − u∗ + i m v ∗ + i g u∗ (A0 + A1 ), ∂t ∂x ∂ ∗ ∂ ∗ v = v + i m u∗ + i g v ∗ (A0 − A1 ), ∂t ∂x

(13)

∂ ∂ A0 = A0 + j0 2 ∂t ∂ x2 ∂ ∂ A1 = A1 + j1 2 ∂t ∂ x2 ∂ ∂ A0 = A1 . ∂t ∂x

(15)

∂ A0 = ∂ t2 ∂ A1 = ∂ t2 ∂ A0 = ∂t Tambi´en podemos escribir las ecuaciones

(14)

11

Podemos poner las ecuaciones 12 de forma m´as sencilla sustituyendo en ∂ν ∂ ν Aμ = jμ la condici´on de gauge de Lorenz, las ecuaciones 12 quedan entonces: (16)

∂1 (∂0 A1 − ∂1 A0 ) = g j0 ∂0 (∂0 A1 − ∂1 A0 ) = g j1 ,

Para este sistema de ecuaciones en derivadas parciales 10 11 16 (o 13 14 16) se puede plantear un problema de valor inicial, tanto en forma diferencial como est´a escrito, como para su versi´on integral. Los valores iniciales son para u, v, A0 y A1 . Los problemas de valor inicial de inter´es en fisica para este tipo de ecuaciones se plantean generalmente para toda la recta real en la variable x y evoluci´on en la variable t.

2.3

Cotas a priori

Las ecuaciones de Maxwell-Dirac en una dimensi´on espacial y una dimensi´on temporal admiten cotas a priori sobre la norma L2 de las soluciones y tambi´en sobre la norma infinito de las mismas.Vamos a obtener ahora esas cotas sobre la norma L2 y sobre la norma infinito de las funciones u y v. 2.3.1 Cota sobre la norma L2 La cota sobre L2 se obtiene muy facilmente: Al cumplirse la ecuaci´on de continuidad ∂μ j μ = 0, la corriente vectorial para el campo de Dirac j μ se conserva, y la densidad de carga es no negativa: j 0 ≥ 0. En 1+1 dimensiones la ecuaci´on de continuidad que nos da la conservaci´on de la carga es: (17)

∂μ j μ = 0, R

∞ y la carga total q = −∞ j 0 (t, x) dx es constante ∀ t. Y como j 0 = ψ γ 0 ψ = ψ ∗ γ 0 γ 0 ψ = ψ ∗ I ψ = u u∗ + v v∗ , esto significa que hay una cota a priori sobre la norma L2 del campo de Dirac. Vamos a obtenerla explicitamente. Con la representaci´on de Weyl que hemos tomado para las matrices de Dirac , los valores de j 0 y j 1 son: j 0 = u u∗ + v v∗ j 1 = u u∗ − v v∗ . Esta ley de conservaci´on puede obtenerse directamente de las ecuaciones 10, 11, 13 y 14: multiplicando 10 por u∗ , 11 por v∗ , 13 por u, 14 por v y sumando obtenemos:

∂ ∂ (u u∗ + v v∗ ) = (−u u∗ + v v ∗ ). ∂t ∂x Integrando entre x = −∞ y x = ∞ obtenemos:

(18)

Z ∞ ∂ Z∞ ∂ ∗ ∗ (−u u∗ + v v∗ ) dx) (u u + v v ) dx = ∂ t −∞ −∞ ∂ x

que es igual a cero si u y v tienden a cero en el infinito, y entonces es constante y las normas L2 de u y v est´a acotadas.

R∞

∗ ∗ −∞ (u u +v v ) dx

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2.3.2 Cota sobre la norma L∞ Veamos ahora la forma de obtener otra cota ”a priori”, ahora sobre la norma infinito del campo de Dirac como funci´on de x. Podemos calcular cuanto vale ∂∂t (j1 ) = ∂∂t (−u u∗ + v v∗ ), para ello multiplicamos la ecuaci´on 10 por u∗ , la 11 por v ∗ , la 13 por u, y la 14 por v y restamos. Nos queda: ∂ ∂ (−u u∗ + v v∗ ) = (u u∗ + v v ∗ ) + 2 i m(u∗ v − v∗ u). ∂t ∂x

(19)

La ecuaci´on 18 es la ecuaci´on de continuidad, ∂μ j μ = 0, que expresa la conservaci´on de la carga. La que acabamos de escribir, 19, que hemos obtenido de forma concreta para la representaci´on de Weyl de las matrices de Dirac, puede encontrarse de forma general para cualquier representaci´on de las matrices de Dirac y en el caso general se escribe [11] como ∂μ ψγ μ γ5 ψ = 2 m ψγ5 ψ, y es la ecuaci´on para la corriente vectorial axial, que en el caso de masa nula se conserva y en caso de masa no nula, no. Vamos a buscar la cota sobre la norma infinito. A partir de las dos ecuaciones 18 y 19, restando y sumando obtenemos: ∂ ∂ u u∗ = − u u∗ + i m (u∗ v − v ∗ u) ∂t ∂x ∂ ∂ v v∗ = v v∗ − i m (u∗ v − v ∗ u) ∂t ∂x e u e y v e poniendolas en forma integral, integrando a lo largo de caracteristicas y si t, son los valores iniciales, se obtiene: ∗

u u (t, x) =

ue uf∗ (t − x) + i m

v v ∗ (t, x) = ve vf∗ (t + x) − i m

Z t e t,

(u∗ v − v∗ u)(s, −t + x + s) ds

Z t e t,

(u∗ v − v ∗ u)(s, t + x − s) ds

y sumando las anteriores ecuaciones obtenemos, u u∗ (t, x) + v v ∗ (t, x) = ue uf∗ (t − x) + ve vf∗ (t + x) + im

im

Z t e t, Z t e t,

(u∗ v − v ∗ u)(s, −t + x + s) ds − (u∗ v − v ∗ u)(s, t + x − s) ds.

Tomando kk∞ en ambos miembros, tenemos:

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° ° ku u∗ (t, x) + v v ∗ (t, x)k∞ ≤ °°ue uf∗ (t − x) + ve vf∗ (t + x)°° +

m

m ≤

Z t e t, Z t

∞

∗

∗

k(u v − v u)(s, −t + x + s)k∞ ds + k(u∗ v − v∗ u)(s, t + x − s)k∞ ds ≤

e ° t, ° ° f∗ f∗ (t + x)° ev e u (t − x) + v °u ° ∞ Z t

m m y por el lema de Gronwall tenemos ,

e t, Z t e t,

+

k(u u∗ + v v∗ )(s, −t + x + s)k∞ ds + k(u u∗ + v v∗ )(s, t + x − s)k∞ ds, °

°

g∗ (t + x)° kj0 k∞ = ku u∗ (t, x) + v v ∗ (t, x)k∞ ≤ °°ug u∗ (t − x) + vv °

∞

e2 m t .

A partir de esa cota de ku u∗ (t, x) + v v ∗ (t, x)k∞ pueden obtenerse cotas similares para kψk∞ . Naturalmente, esta cota para la kψk∞ no depende de la representaci´on concreta de las matrices γ μ [11]:

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3 Errores en las primeras demostraciones de existencia de soluciones globales En los trabajos de los a˜nos 70 sobre existencia global [7], [8], [9], se utilizaban espacios escalados en energia. Recordemos los espacios funcionales usados en los trabajos de esos a˜nos: El de´´ existencia que aparece en el trabajo [8] es: ”For given initial data ³ teorema ³ e g f μ μ e there exist unique functions ψ and A ψ, A , ∂0 A ∈ H 1 ⊕ (H 1 ⊕ L2 ) . for t = t, with Ã

t → ψ(t),

Ã

A(t) ∂0 A(t)

!!

³

e : (t,∞) → H 1 ⊕ H 1 ⊕ L2

´

continuous, which for all te < t < ∞ satisfy the integrated form of the equations 6 7 and 8” (−i γ μ ∂μ + m) ψ = g γ μ Aμ ψ, (∂μ ∂ μ )Aμ = g j μ , ∂μ Aμ = 0. H es el espacio de Sobolev de las primersa derivadas en L2 . La condici´on de que la norma L2 del potencial electromagn´etico y de sus derivadas sea finita tambi´en se usa en la referencia [9], ya que los espacios funcionales usados son los mismos que en [7]. En la referencia [8] el autor dice explicitamente ”we insist that the L2 norm of the electromagnetic potential be finite in order to avoid technical complications in 1 the definition of M1/2 (otherwise it would consist of equivalent classes of functions module constants)”. En esas condiciones puede comprobarse que la u´ nica soluci´on que existe es la soluci´on id´enticamente nula y eso puede hacerse formalmente en el resultado que aparece a continuaci´on que est´a tomado de un articulo en elaboraci´on: Theorem: The Cauchy problem for equations 6 7 and 8 has only the trivial solution ψ ≡ 0 in the spaces H 1 ⊕ H 1 ⊕ L2 . Proof: In the functional spaces used the L2 norm of ∂0 A1 and ∂1 A0 are both finite, so the L2 norm of E = ∂0 A1 − ∂1 A0 has also to be finite. By another side, when considering the equation ∂1 E = g j0 , E(x) can be written as: g E(x) = 2

µZ x

−∞

j0 (t, λ) dλ −

Z ∞ x

¶

j0 (t, λ) dλ + Constant.

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R

∞ E(x) is a monotone function and E(∞) − E(−∞) = −∞ g j0 (x) dx = g q. This result implies that E ∈ / L2 except when q = 0. Since j0 ≥ 0, in order to be q = 0, j0 has to be such that j0 ≡ 0, and since j0 = ψ + ψ, the solution for ψ is the trivial solution ψ ≡ 0. Note that the proof is still valid even when the derivatives of the electromagnetic potential were defined module a constant. Nevertheless, the original proofs of references [7], [8], [9], are valid for non-trivial solutions of the Klein Gordon Dirac equations with null total charge and also for non-trivial solutions of the system of equations 6 7 without the gauge condition 8.

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4 Errores cometidos en fechas recientes En fechas relativamente recientes se han publicado [12] nuevas pruebas para unas ecuaciones de las que se dice que son las ecuaciones de Maxwell-Dirac en 1+1 dimensiones. Las ecuaciones que tratan son: (−i γ μ ∂μ + m) ψ = g γ μ Aμ ,

(20)

(∂μ ∂ μ )Aμ = g j μ ,

(21)

Estas no son las ecuaciones de Maxwell-Dirac. les falta para serlo la condici´on de gauge de Lorenz. Si recordamos las ecuaciones para E, ∂1 E = g j0 , ∂0 E = g j1 , y las ecuaciones para Aμ en funci´on de E, ∂0 A1 − ∂1 A0 = E. las ecuaciones para los potenciales Aμ en funci´on de la densidad de carga y corriente jμ quedan: (22) ∂1 (∂0 A1 − ∂1 A0 ) = g j0 , ∂0 (∂0 A1 − ∂1 A0 ) = g j1 ,

(23)

estas ecuaciones 22 y 23 las podemos escribir como:

∂1 ∂0 A1 − ∂1 ∂1 A0 = g j0, ∂0 ∂0 A1 − ∂0 ∂1 A0 = g j1 ,

e intercambiando el orden de las derivadas.

∂0 ∂1 A1 − ∂1 ∂1 A0 = g j0, ∂0 ∂0 A1 − ∂1 ∂0 A0 = g j1

y solo cuando se cumple la condici´on de gauge de Lorenz, ∂0 A0 − ∂1 A1 = 0, usandola,nos quedan: ∂0 ∂0 A0 − ∂1 ∂1 A0 = g j0, ∂0 ∂0 A1 − ∂1 ∂1 A1 = g j1

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que son la misma ecuacion 21 que aparece m´as arriba (∂μ ∂ μ )Aμ = g j μ , pero esto solo sucede cuando se cumple la condici´on de gauge de Lorenz. Como se ha visto, las ecuaciones para las que se demuestra existencia y unicidad no son las de Maxwell-Dirac, sino otras distintas. Estas ecuaciones en el caso de masa nula pueden resolverse explicitamente y en el Ap´endice II presentamos un ejemplo de evoluci´on de un problema de valor inicial donde se ve que si hay soluciones distintas de la id´enticamente nula y en las que que pertenecen a L2 los supuestos potenciales ”electromagn´eticos”.

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5 Expresio´ n en forma integral de las magnitudes electromagne´ ticas en funcio´ n de las corrientes y comportamiento en el infinito de las mismas Resulta f´acil dar expresiones integrales para las magnitudes electromagn´eticas en funci´on de las fuentes j μ , y son las siguientes: Recordemos las ecuaciones para E: ∂1 E = g j0 ,

(24)

∂0 E = g j1 ,

(25)

podemos escribir en E forma integral asi [6] : E(t, x) =

µ ¶ Z ∞ g Zx j0 (t, χ) dχ − j0 (t, χ) dχ . 2 −∞ x

(26)

Con esta representaci´on integral de E se cumple que ∂1 E = g j0

y si calculamos j1 a partir de E, como j1 = ∂0 E, se cumple, como es natural, la ecuaci´on de continuidad que nos da la conservaci´on de la carga, Eq. 17. ∂0 j0 − ∂1 j1 = 0, recordando las ecuaciones para Aμ , en funci´on de E, Eq. 4 y la condici´on de gauge de Lorenz, Eq. 8, que son: ∂0 A1 − ∂1 A0 = E ∂0 A0 − ∂1 A1 = 0,

podemos escribir los potenciales Aμ con estas expresiones integrales: A0 (t, x) =

µ ¶ Z t 1 Zt E(τ, t − τ + x) dτ − E(τ, −t + τ + x) dτ 2 0 0 µZ

¶

(27)

Z t t 1 E(τ, t − τ + x) dτ + E(τ, −t + τ + x) dτ (28) A1 (t, x) = 2 0 0 Podemos ver el comportamiento en infinito de los potenciales Aμ en funci´on del espacio al que pertenezcan la densidad de carga j . Si la densidad de carga es R∞ 0 integrable y su integral es la carga total q = −∞ j0 (τ, x) dx que es independiente de t por la conservaci´on de la carga, tenemos que E(∞) − E(−∞) = q, y como j0 ≥ 0, E es una funci´on mon´otona no decreciente. Con la representaci´on integral que hemos usado, 26, tenemos que: q lim E(t, x)x−> −∞ = − 2

19

q 2 Entonces, considerando las ecuaciones 27 y 28, y si se puede conmutar limite e integraci´on, tenemos que: lim A0 (t, x)x−> −∞ = 0 lim E(t, x)x−> +∞ = +

lim A0 (t, x)x−> +∞ = 0 q lim A1 (t, x)x−> −∞ = − t 2 q lim A1 (t, x)x−> +∞ = + t 2 Si la densidad de carga tiende a constante en x− > ±∞, que es una situaci´on con la que nos encontraremos al analizar m´as adelante las soluciones estacionarias, E se comporta linealmente en x− > ±∞, y A1 como x t + t2 /2.

20

6 Solucio´ nes explicitas y evolucio´ n temporal en el caso sin masa Es sabido, [10], [11], [13], [14], que las ecuaciones de Maxwell Dirac sin masa en 1+1 dimensiones son solubles de forma explicita. La pista nos la dan las ecuaciones de continuidad ∂μ j μ = 0, que expresa la conservaci´on de la carga y ∂μ ψγ μ γ 5 ψ = 0, que expresa la conservaci´on de la corriente vectorial axial en el caso de masa nula ∂0 j0 − ∂1 j1 = 0

(29)

∂0 j1 − ∂1 j0 = 0

(30)

Cualquier posible soluci´on de las ecuaciones de Maxwell-Dirac ha de ser tal que satisfaga las ecuaciones anteriores, 29 y 30, cuyas soluciones son de la forma: j0 (x, t) = f (t + x) + g(t − x) j1 (x, t) = f (t + x) − g(t − x)

con f y g funciones arbitrarias.

6.1 Solucio´ n general para la corriente de Dirac y para el campo ele´ ctrico Eligiendo la representaci´on de Weyl de las matrices de Dirac: 0

γ =

Ã

0 1 1 0

!

1

, γ =

Ã

0 −1 1 0

!

,

y llamando u y v a las dos componentes complejas de Ψ podemos escribir las ecuaciones de Maxwell-Dirac sin masa (Modelo cl´asico de Schwinger) como: ∂ ∂ u = − u − i g u (A0 + A1 ), ∂t ∂x

(31)

∂ ∂ v= v − i g v (A0 − A1 ), ∂t ∂x

(32)

∂ E = g (u u∗ + v v∗ ), ∂x ∂ E = −g (u u∗ − v v∗ ), ∂t ∂ ∂ A1 − A0 = E, ∂t ∂x

(33) (34) (35)

21

∂ ∂ A0 − A1 = 0. (36) ∂t ∂x Dividiendo en la ecuaci´on 31 entre u y en la ecuaci´on 32 entre v, las ecuaciones 31 y 32 pueden escribirse como: (

∂ ∂ ∂ ∂ + ) ln(|u|) + i( + ) Φu = −i g (A0 + A1 ), ∂t ∂x ∂t ∂x

(37)

∂ ∂ ∂ ∂ − ) ln(|v|) + i ( + )Φv = −i g (A0 − A1 ), ∂t ∂x ∂t ∂x

(38)

(

donde |u| y Φu son el m´odulo y fase de u, y |v| y Φv son el m´odulo y fase de v. Considerando las partes reales e imaginarias de las ecuaciones 37 y 38, y como A0 and A1 son reales, puede concluirse que ln(u) depende solo de t − x y ln(v) depende solo de t + x. Asi pues puede escribirse la soluci´on general en t´erminos de dos funciones reales arbitrarias f y g como: v v∗ = eg(t+x) y u u∗ = ef (t−x) . Recordando las ecuaciones 33 y 34 para el campo el´ectrico y que j0 = (u u∗ + v v∗ ) y j1 = (−u u∗ + v v∗ ), la soluci´on m´as general para la corriente de Dirac y el campo el´ectrico del modelo cl´asico de Schwinger pueden escribirse en t´erminos de dos funciones reales arbitrarias f y g y una constante real arbitraria KE como:

E=g

j0 = ef (t−x) + eg(t+x) ,

(39)

j1 = −ef (t−x) + eg(t+x) ,

(40)

µZ t+x 0

eg(ζ) dζ +

Z t−x 0

¶

ef (η) dη + KE

(41)

Estas son las soluciones generales para el m´odulo de las componentes del spinor y de las magnitudes fisicas, carga, corriente y campo el´ectrico.

6.2 Solucio´ n general para los potenciales electromagne´ ticos y para la fase de los componentes del spinor Aunque ya se ha obtenido la soluci´on general para la carga, corriente y el campo el´ectrico y para el m´odulo de las componentes del spinor para completar la soluci´on general vamos a dar la soluci´on general para los potenciales electromagn´eticos y las fases de los spinores. Trabajaremos, como habitualmente, en el gauge de Lorenz.

22

6.2.1 Obtenci´on de los potenciales electromagn´eticos A partir de las ecuaciones, 8, que es la condici´on de gauge de Lorenz, 4, que es la relaci´on entre el campo el´ectrico y los potenciales y 46, que es la forma gen´erica que acabamos de obtener para el campo el´ectrico, podemos escribir: ∂0 A1 − ∂1 A0 = E,

(42)

∂0 A0 − ∂1 A1 = 0.

(43)

(∂0 − ∂1 )(A0 + A1 ) = E,

(44)

(∂0 + ∂1 )(A0 − A1 ) = −E,

(45)

sumando y restando

y como E est´a dado por. E=g

Z t+x

g(ζ)

e

dζ + g

0

ef (η) dη + KE ,

(46)

Z t+x

eg(ζ) dζ + KE ,

(47)

Z t−x

(48)

0

entonces (∂0 − ∂1 )(A0 + A1 ) = g (∂0 + ∂1 )(A0 − A1 ) = −g

Z t−x

Z t+x 0

0

eg(ζ) dζ − g

Integrando a lo largo de las caracteristicas queda:

0

ef (η) dη − KE .

(A0 + A1 ) = (t − x) G(t + x) + F (t − x) + (t − x) KE + KA0 +A1 (A0 − A1 ) = −G(t + x) − (t + x)F (t − x) − (t + x) KE , −KA0 −A1 , R t−x f (η) e dη

(49) (50)

R t+x g(ζ) e dζ.

donde F (t − x) = g 0 y G(t + x) = g 0 Estas ecuaciones, 49 y 50, son la expresi´on general para los potenciales el´ectricos. 6.2.2 Obtenci´on de las fases Las ecuaciones para las fases son: (∂0 +∂1 ) Φu = − g (A0 +A1 ) = −g ((t − x) G(t + x) + F (t − x) + (t − x) KE + KA0 +A1 ) (51) y (∂0 −∂1 )Φv = − g (A0 −A1 ) = −g (G(t + x) + (t + x)F (t − x) + (t + x) KE , +KA0 −A1 ) , (52)

23

integrando a lo largo de las caracteristicas queda: Φu = −g

Φv = −g

à Ã

e + x) + 1 (t − x)2 G(t + x) + (t + x) F (t − x)+ (t − x) G(t 2 +(t + x) (t − x) KE + (t + x) KA0 +A1 + KΦu

!

(t − x) G(t + x) + (t + x)Fe ((t − x) + 12 (t + x)2 F (t − x)+ +(t − x) (t + x) KE , +(t − x) KA0 −A1 + KΦv R

R

,

(53)

!

(54)

e + x) = t+x G(ζ) dζ. donde Fe (t − x) = 0t−x F (η) dη y G(t 0 Estas ecuaciones, 53 y 54. son la expresi´on general para las fases Φu y Φv de las componentes del spinor. En el Ap´endice I se presenta la evoluci´on temporal de este caso, es decir, de las ecuaciones de Maxwell-Dirac sin masa con una condicion inicial localizada, con una condici´on inicial de densidad de carga constante y tambi´en de las ecuaciones que err´oneamente se toman como las de Maxwell-Dirac. Se ha utilizado para los c´alculos un programa de c´alculo simb´olico y num´erico que nos ha permitido obtener en forma cerrada las expresiones para j0 , j1 E, A0 , A1 , Φu y Φv . Como comprobaci´on cruzada para evitar errores de manejo algebraico se ha comprobado que las expresiones obtenidas a partir de las representaciones integrales cumplen las ecuaciones en derivadas parciales que las definen y tambi´en se han obtenido de forma simb´olica los limites para x− > ±∞ de esas cuatro funciones. Es de destacar las oscilaciones, con frecuencia que aumenta a medida que crece el tiempo, de las fases.

24

7 Soluciones estacionarias. En la referencia [8] se prueba que no hay soluciones estacionarias no triviales, y eso es cierto en los espacios en que se busca soluci´on ya que la u´ nica que existe es la id´enticamente nula. Sin embargo, nada nos impide plantear directamente el sistema de ecuaciones diferenciales que sale al imponer que la soluci´on no dependa del tiempo [11]. Tomando la representaci´on de las matrices gamma: 0

γ = y siendo

Ã

1 0 0 −1

!

1

, γ =

Ψ=

Ã

u v

Ã

0 −1 1 0

!

,

!

el spinor, las ecuaciones diferenciales ordinarias que quedan para las componentes complejas del spinor u y v son: ∂ v = (m + g A0 ) u ∂x ∂ i u = (m − g A0 )v ∂x Como las ecuaciones de Maxwell Dirac se pueden deducir de un lagrangiano, el sistema ordinario de ecuaciones diferenciales que queda al quitar la dependencia en el tiempo ser´a un sistema din´amico Hamiltoniano. Si consideramos el tensor energia momento de las ecuaciones de Maxwell Dirac T ij , en las soluciones estacionarias ha de cumplirse que ∂t T 00 = 0 para que la densidad de energia no dependa del tiempo. La ley de conservaci´on de la energia nos dice ∂t T 00 + ∂x T 01 = 0 y como ∂t T 00 = 0 eso implica que T 01 = cte, o sea, T 01 , la densidad de momento es una constante del movimiento para las ecuaciones diferenciales ordinarias, y si queremos que la soluci´on est´e en reposo, el momento total ha de ser cero, y por lo tanto, T 01 = 0. Como ∂t T 01 +∂x T 11 = 0 deducimos que tambi´en T 11 = cte es tambi´en una constante del movimiento para el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las soluciones mejores candidatos a la estabilidad corresponder´an al valor T 11 = 0. Tomando i u = ub real, −i v = vb, real, yA0 = A el sistema de ecuaciones ordinarias queda: −i

∂ ub = (m − g A) vb, ∂x ∂ vb = (m + g A) ub, ∂x ∂2 A = g (ub2 + vb2 ), ∂x2

(55)

25

y la integral primera correspondiente a T 11 = K1 es: 1 A (ub + vb ) + m (ub − vb ) − g2 2 2

2

2

2

Ã

!2

∂ A ∂x

= K1.

En el caso de m = 0 hay otra constante del movimiento que es la densidad de carga, (ub2 + vb2 ) = K2 que es constante, y con dos constantes del movimiento el sistema hamiltoniano es completamente integrable. De hecho, las soluciones con densidad de carga no nula son siempre de la forma A = g2 K2 x2 + cte1 x + cte2 y ub y vb son senos y cosenos de Φ, y Φ se comporta como x3 . Si m 6= 0 no hay otra integral primera ( o al menos, no se encuentra de forma f´acil) pero el comportamiento asint´otico es el mismo: la densidad de carga tiende a constante en +∞ y en −∞ y u y v son asint´oticamente senos y cosenos de Φ , y Φ se comporta como x3 . Con un adecuado reescalado de las funciones y de la variable. √ m3 ub = ue g √ m3 vb = ve g me A A = g 1 xe x = m pueden absorberse las constantes g y m de tal forma que el sistema queda: ³ ´ ∂ ue = 1 − Ae ve, ∂ xe ³ ´ ∂ ve = 1 + Ae ue, ∂ xe ∂2 e A = (ue2 + ve2 ), ∂ xe2

y la integral primera es: Ae (ue2

1 + v ) + (u − v ) − 2 e2

e2

e2

Ã

!2

∂ A ∂ xe

= K1.

Tambi´en pueden dejarse las constantes g y m y se puede estudiar el comportamiento de las soluciones para m− > 0. La forma de hacer el limite para m = 0 es transformar el sistema de ecuaciones haciendo los siguientes cambios sugeridos por los

26

comportamientos asint´oticos de u y v.: r

h q cos( ) 2 r2 h q sin( ) vb = 2 2

ub = y el sistema de ecuaciones 55 queda:

∂ h = 2 (g A + m cos(h)) ∂x ∂ q = q (m sin(h)) ∂x ∂2 A = q, ∂x2 y la integral primera es ahora: 1 q (g A + m cos(h)) − g2 2

Ã

!2

∂ A ∂x

= cte

En el caso de que m− > 0 la soluci´on es de la forma Cte + m f (x) y f(x) puede encontrase en forma cerrada y calcularse su a´ rea, que podria entenderse como una carga ”renormalizada” qr y que es funci´on del cociente entre g y m. Se obtiene: qr =

mπ

³ ´2/3 3 2

³

g Gamma − 23

´

= 1.024

m g

En el Ap´endice II se presenta un c´alculo num´erico de las dos soluciones estacionarias con K1 = 0 y densidad de carga sim´etrica, una por debajo y otra por encima de la constante a la que tiende la densidad de carga. Como comprobaci´on cruzada se calcula a partir de la soluci´on num´erica el valor de la constante del movimiento y se compara con su valor real. La carga ”renormalizada” no es la misma para las dos soluciones. Estas soluciones est´aticas localizadas (salvo una renormalizaci´on) pueden ponerse en movimiento a una velocidad menor que la de la luz mediante una transformaci´on de Lorentz, que para eso las ecuaciones de Maxwell Dirac en el gauge de Lorenz son manifiestamente covariantes.

27

8 Evolucio´ n temporal de estados iniciales con masa, tanto de carga finita como de carga infinita. El c´alculo num´erico de la evoluci´on temporal de las ecuaciones de Maxwell Dirac en una dimensi´on espacial y una temporal es tremendamente complicado, pues como se ha visto en el caso sin masa, en que hay soluciones en forma cerrada, el potencial A1 crece linealmente con t, y las fases de los spinores oscilan cada vez m´as r´apidamente. En el caso de masa no nula, si la carga es finita, lo esperable es que la evoluci´on de un estado inicial localizado evolucione a esparcirse por todo el espacio. En el caso de un estado inicial con densidad de carga tendiendo a la misma constante en el infinito y tal que la integral de la diferencia entere la densidad de carga del estado inicial y la constante a la cual tiende en ±∞ sea finita (carga ”renormalizada” finita) no seria de extra˜nar que una situaci´on inicial evolucionara con un comportamiento tipo solit´on, hacia una descomposici´on en soluciones est´aticas puestas en movimiento. El c´alculo num´erico directo es tremendamente complicado por las r´apidas oscilaciones de las funciones que hemos visto en la soluci´on en forma cerrada del caso sin masa, pero si es abordable calcular num´ericamente en el caso de que m− > 0, tanto en el caso de carga finita, como en el de carga infinita. La forma de hacer el limite cuando m− > 0 es muy similar al utilizado para las soluciones estacionarias: se plantea la evoluci´on temporal para el m´odulo y la fase de cada componente del spinor. Utilizamos la la representaci´on de Weyl de las matrices de Dirac y las ecuaciones para el m´odulo ρ y la fase Φ de cada componente del spinor y para los potenciales electromagn´eticos A+ = A0 + A1 A− = A0 − A1 , en coordenadas de cono de luz (ξ = t + x, η = t − x), quedan asi: ∂ξ ρu ∂η ρv ∂ξ Φu ∂η Φu

= = = =

m ρv sin(Φv − Φu ) −m ρv sin(Φv − Φu ) g A+ − m cos(Φv − Φu ) g A− − m cos(Φv − Φu )

(56)

La ecuaci´on para los potenciales electromagn´eticos y el gauge Lorenz quedan igual: (∂μ ∂ μ )Aμ = g j μ , ∂μ Aμ = 0 En el Ap´endice III aparecen algunas figuras de evoluci´on temporal de condiciones iniciales localizadas y de otras con densidad de carga constante. En el caso de una condici´on inicial localizada quieta, la evoluci´on no es la por mi esperada, sino que evoluciona a dos picos que se mueven a izquierda y derecha y cuyo tama˜no no disminuye y cuya forma se conserva muy parecida.

28

En el caso en el que la condici´on inicial es una densidad de carga constante, la evoluci´on temporal da un pico negativo en el origen y dos picos iguales separ´andose sim´etricamente a izquierda y derecha. Las formas parecen corresponder a las de las soluciones estacionarias de masa tendiendo a cero, yendo una positiva hacia cada lado y qued´andose dos sumadas en reposo en el centro Las velocidades de desplazamiento parecen ser 1 (la de la luz), pero esto no es de extra˜nar pues estamos en el limite de masa tendiendo a cero. Puede verse como en la evoluci´on temporal se empiezan a presentar fallos num´ericos evidentes (aparecen picos muy agudos que no corresponden a las oscilaciones de las soluciones) para tiempos a partir de 17 en el caso de las condiciones iniciales con carga finita, y a partir de t = 10 para las condiciones iniciales de densidad de carga constante.

29

9 Conclusiones, comentarios y cuestiones abiertas La causa de los fallos en las demostraciones son el no darse cuenta de que, si la carga no es nula, el campo el´ectrico es una funci´on mon´otona no decreciente. Podrian plantearse una renormalizaci´on y definirse espacios funcionales como clases de equivalencia de funciones con crecimiento polin´omico en el infinito, dado este crecimiento en infinito cuando la carga es constante o la densidad de carga es constante. La soluciones estacionarias con carga tendiendo a cte en ± ∞ parecen pedir esa ”renormalizaci´on” de los espacios funcionales. Tambi´en pueden plantearse las soluciones en espacios con normas del tipo kk∞, μ donde con la letra μ indicamos una regularizaci´on con un t´ermino exponencial multiplicativo que haga tender a cero en infinito a funciones con crecimientos polin´omicos . En el caso de la referencia [13] parece que en la soluci´on que proponen los autores para las ecuaciones sin masa falta una funci´on arbitraria. En la referencia [14] en que resuelven las ecuaciones sin masa sin ninguna condici´on de gauge, obtienen un resultado en el que afirman que el campo electromagn´etico est´a localizado y movi´endose a la velocidad de la luz, lo cual me parece extra˜no. En la referencia [10] se obtiene una soluci´on en forma cerrada para el caso con masa y las funciones son singulares, del tipo 1/(t − x). Hay algo que me sorprende con las soluciones estacionarias, y que seguro que es una trivialidad que se me ha escapado. Si se reabsorben las constantes g y m con cambios de variable y se conocen las soluciones del sistema con g = m = 1, se pueden deducir, deshaciendo los cambios de variable, las soluciones para sistemas con g 6= 1, m 6= 1 y, sin embargo, no soy capaz de pasar de la soluci´on para masa tendiendo a cero, que la conozco en forma cerrada a la soluci´on para m = 1. He comprobado que reescalando solo g y resolviendo num´ericamente para m 0. Sospecho que ser´a porque uno de los cambios de variables es pasar de x a x/m. El abordaje num´erico directo de la evoluci´on temporal general me parece tremendamente problem´atico por las oscilaciones de frecuencia creciente con el tiempo de la fase. Ya es muy dificil en el caso de hacerlo con m− > 0 , y adem´as el caso de m− > 0 puede dar resultados no generales, pues puede dar movimientos a velocidad de la luz simplemente por ser m− > 0. Es muy posible que, tanto para ver si las soluciones que parten de condiciones iniciales de carga finita se aplanan o no, como para ver si hay un comportamiento tipo solitones en los datos iniciales con densidad de carga tendiendo a constante, tenga que ser necesario el acudir a m´etodos num´ericos. Entonces podrian plantearse las ecuaciones con cambios de variables en t y x de tal forma que la frecuencia de las oscilaciones fuera constante, para poder utilizar intervalos num´ericos fijos en las variables. Hay una ventaja, y es que como el caso sin masa se puede resolver en forma cerrada

30

y presenta tambi´en comportamientos oscilatorios, es un buen test para comprobar la fiabilidad de los m´etodos num´ericos que se planteen.

31

10 Referencias [1] J. D. Bjorken, S. D. Drell Relativistic Quantum Mechanics McGraw-Hill, Inc. (1964). [2] J. D. Bjorken, S. D. Drell Relativistic Quantum Fields McGraw-Hill, Inc. (1964). [3] M. Reed, Abstract non-linear wave equations. Lecture Notes in Mathematics 507 (1976). [4] M. Red and B. Simon Methods of Modern Mathematical Physics. Academic Press. Inc. (1980). [5] J. D. Jackson, Classical electrodynamics. Academic Press (1999). [6] H. Galic, Fun and frustration with hydrogen in a 1+1 dimension. American Journal of Physics, Vol 56, Issue 4, pp. 312-317 (1988). [7] J. M. Chadam Global solutions of the Cauchy problem for the (classical) coupled Maxwell-Dirac equations in one space dimension, J. Functional Analysis 13 (1973),pp. 173-184., [8] R. T. Glassey and J. M. Chadam, Properties of the solutions of the Cauchy problem for the (classical) coupled Maxwell-Dirac equations in one space dimension. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 43, No. 2. (Apr, 1974), pp. 373-378. [9] V. Delgado Global Solutions of the Cauchy Problem for the (Classical) Coupled Maxwell-Dirac and Other Nonlinear Dirac Equations in One Space Dimension, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 69, No. 2. (May, 1978), pp. 289-296. [10] A. Das, General solutions of Maxwell-Dirac equations in 1+1-dimensional spacetime and a spatially confined solution, Journal of Mathematical Physics,Vol. 34, No. 2. (Sept, 1993), pp. 3986-3999. [11] V. Delgado, Ph. D. Thesis, Universidad Complutense de Madrid . (Editorial de la Universidad Complutense de Madrid Deposito Legal M-7253-1980). [12] A. Bachelot, Global Cauchy problem for semilinear hyperbolic systems with non- local interations: Applications to Dirac equations. J. Math. Pures Appl. 86 (2006),pp. 201-236.

32

[13] F.J. Carbajo, E. S´anchez-Velasco. General solution of the classical Schwinger model. American Journal of Physics – September 1983 – Volume 51, Issue 9, pp. 845-847 [14] W.I. Fushchych, R.Z. Zhdanov, Symmetries of Nonlinear Dirac Equations, Kyiv, Mathematical Ukraina Publishers, 1997, ISSN 966-02-0144-3, 384

33

Apéndice I Evolución temporal por las ecuaciones de Maxwell - Dirac sin masa de un estado inicial con carga e y en reposo 1

Gaussx_, _   







x2 2 2

2

x2 2 2

2 

PlotGaussx, 1, x,  5, 5 0.4

0.3

0.2

0.1

-4

j0t_, x_ 



2





1 2

4

 Gaussx  t, 1  Gaussx  t, 1

 2

1

2

-2

tx2

 2





1 2

tx2

2

 j017, x  x 



 Efieldt_, x_  FullSimplify

1 2

1 4

  Erf

tx 2

  Erf

tx 2



  j0t,      j0t,     x





x

34 2

Maxwell1plus1masa0Gaus.nb

j1t_, x_   t Efieldt, x j0t_, x_  x Efieldt, x



1

 



1 2

tx2

2 

4

1

 



1 2



tx2

2





4



1 2



1 2

tx2

2 

tx2

Nota: Aquí j0 y j1son los contravariantes y A0 y A1 son covariantes, mientras que en el trabajo tanto para j como para A utilizo los valores covariantes, de ahí la diferencia de signo enj1 en la ecuación de conservación de la carga y en la definición de E

2 

FullSimplifyt j0t, x  x j1t, x 0

FullSimplifyt j1t, x  x j0t, x 0 FullSimplifyt Efieldt, x  j1t, x 0 FullSimplifyx Efieldt, x  j0t, x 0

Aplust_, x_   Efield, x  t     t

0

1







1 2

tx2

4





1 2

tx2



1 2

2

t  x Erf

tx



2

1 2

3 t  x Erf

tx



2

Aminust_, x_    Efield, x  t     t

0



1 4







1 2

tx2



2



1 2

tx2



1 2

 3 t  x Erf

tx

  t  x Erf

2

FullSimplifyt Aplust, x  x Aplust, x  Efieldt, x 0 FullSimplifyt Aminust, x  x Aminust, x  Efieldt, x 0

tx 2



35 Maxwell1plus1masa0Gaus.nb

A0t_, x_  A1t_, x_ 

1 2 1 2

1

1

2

4 1







1 2

 Aplust, x  Aminust, x  Aplust, x  Aminust, x

tx2

1

2

4 1



1 2

tx2









1 2

tx2





tx2

1 2







1 2

tx2





1 2

tx2







1 2

tx2

4



1



tx2

1 2



 3 t  x Erf



1 2

tx

3 t  x Erf

tx

t  x Erf

1

tx



  t  x Erf

tx

 3 t  x Erf



2 1 2

2

 

2

2

2

2

tx 2

1

2

2 

t  x Erf

2

2 

1 2

2

4

1



tx

3 t  x Erf

tx

 

2

  t  x Erf

tx

2



2

FullSimplifyt A0t, x  x A1t, x FullSimplifyt A1t, x  x A0t, x  Efieldt, x 0 0 Fiut_, x_   Aplus, x  t     t

0

Fivt_, x_   Aminus, x  t     t

0

 t  2  



1 2

tx2





1 2

tx2



  t  x Erf 

8 1t

2 x2

t  2   2 1

tx2

1

 2

tx2

  t

2 x2

8

tx 2

  t  x Erf

 t  x Erf 

FullSimplifyt Fiut, x  x Fiut, x  Aplust, x FullSimplifyt Fivt, x  x Fivt, x  Aminust, x 0 0

tx 2

tx 2



  t  x Erf

tx 2



3

36 4

Maxwell1plus1masa0Gaus.nb

Plotj01, x, j03, x, j05, x, x,  10, 10 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

-10

-5

5

10

5

10

5

10

Plotj11, x, j13, x, j15, x,  0.5, x,  10, 10

0.4 0.2

-10

-5 -0.2 -0.4

PlotEfield1, x, Efield3, x, Efield5, x, x,  10, 10

1.0 0.5

-10

-5 -0.5 -1.0

37 Maxwell1plus1masa0Gaus.nb

Plot A01, x, A03, x, A05, x, x,  10, 10

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

-10

-5

5

10

5

10

5

10

Plot A11, x, A13, x, A15, x, x,  10, 10 6 4 2

-10

-5 -2 -4 -6

Plot Fiu1, x, Fiu3, x, Fiu5, x, x,  10, 10 15 10 5

-10

-5 -5 -10 -15

5

38 6

Maxwell1plus1masa0Gaus.nb

Plot CosFiv1, x  Fiu1, x, CosFiv3, x  Fiu3, x  2, CosFiv5, x  Fiu5, x  4, CosFiv7, x  Fiu7, x  6, CosFiv9, x  Fiu9, x  8, x,  13, 13 8

6

4

2

-10

-5

5

LimitFullSimplifyEfieldt, x, x   LimitFullSimplifyEfieldt, x, x     2 

 2

LimitFullSimplifyA0t, x, x   LimitFullSimplifyA0t, x, x    0 0

LimitFullSimplifyA1t, x, x   LimitFullSimplifyA1t, x, x    t 2 

t 2

LimitFullSimplifyFiut, x, x   LimitFullSimplifyFiut, x, x     t2 4 

 t2 4

10

39 Maxwell1plus1masa0Gaus.nb

LimitFullSimplifyFivt, x, x   LimitFullSimplifyFivt, x, x    

 t2 4

 t2 4

7

40

Apéndice I Evolución temporal por las ecuaciones de Maxwell - Dirac sin masa de un estado inicial con densidad de carga constante (simulada por una gausiana muy ancha frente al rango de abscisas representado) y en reposo 1

Gaussx_, _   







x2 2 2

2

x2 2 2

2 

PlotGaussx, 100, 1, x,  10, 10 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-10

j0t_, x_ 

 2

5





100

20 000

 2



10 

10

 Gaussx  t, 100  Gaussx  t, 100  10

tx2

 j017, x  x 

5

-5





100

tx2 20 000

2

41 2

Maxwell1plus1masa0Cte.nb

Efieldt_, x_  FullSimplify

1 2

5 2

  Erf

tx

  Erf

2

100

  j0t,      j0t,     

x



x



tx 2

100

j1t_, x_   t Efieldt, x j0t_, x_  x Efieldt, x



5



 

2

5



2



tx2

50





50



20 000

 2

20 000

2

50

tx2



20 000

 2

tx2





tx2 20 000

2

50

FullSimplifyt j0t, x  x j1t, x 0

FullSimplifyt j1t, x  x j0t, x 0 FullSimplifyt Efieldt, x  j1t, x 0 FullSimplifyx Efieldt, x  j0t, x 0

Aplust_, x_   Efield, x  t     t

0

5

 100  



tx2 20 000





tx2

  t  x Erf

2

20 000



4

tx 100

  3 t  x Erf

2



tx 100

2

Aminust_, x_    Efield, x  t     t

0



5 4

 100  



tx2 20 000





tx2

2

20 000



  3 t  x Erf

tx 100

  t  x Erf

2

FullSimplifyt Aplust, x  x Aplust, x  Efieldt, x 0 FullSimplifyt Aminust, x  x Aminust, x  Efieldt, x 0

tx 100

2



42 Maxwell1plus1masa0Cte.nb

1

A0t_, x_  A1t_, x_ 

2 1 2

1



2

5

 Aplust, x  Aminust, x  Aplust, x  Aminust, x

 100  



tx2



20 000



tx2

2

20 000



4

5

 100  

tx2



20 000



tx2



2

20 000



4

1 2

5

 100  



tx2 20 000





tx2

2

20 000



4

5

 100  



tx2 20 000





tx2

2

20 000



4

  3 t  x Erf

tx 100

100

  3 t  x Erf

tx

  3 t  x Erf

2

  t  x Erf

  t  x Erf

tx 100

100

  3 t  x Erf

2

 

2

tx 100

2

FullSimplifyt A0t, x  x A1t, x FullSimplifyt A1t, x  x A0t, x  Efieldt, x 0 0 Fiut_, x_   Aplus, x  t     t

0

Fivt_, x_   Aminus, x  t     t

0

5  t 100

2





tx2 20 000





tx2 20 000



  t  x Erf 4

5 4

 t 100 



tx2 20 000





tx2

2

20 000



tx 100

2

0

tx 100

2



 t  x Erf

tx 100

  t  x Erf

2

FullSimplifyt Fiut, x  x Fiut, x  Aplust, x FullSimplifyt Fivt, x  x Fivt, x  Aminust, x 0

  t  x Erf

tx 100

2





2

tx

2

100

2

100

tx

 

tx

2

100   t  x Erf

  t  x Erf

tx





3

43 4

Maxwell1plus1masa0Cte.nb

Plotj01, x, j03, x, j05, x, 0, x,  10, 10 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02

-10

-5

5

10

5

10

5

10

Plotj11, x, j13, x, j15, x, x,  10, 10

0.0004 0.0002

-10

-5 -0.0002

-0.0004

PlotEfield1, x, Efield3, x, Efield5, x, x,  10, 10 1.0

0.5

-10

-5 -0.5

-1.0

44 Maxwell1plus1masa0Cte.nb

Plot A01, x, A03, x, A05, x, x,  10, 10

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-10

-5

5

10

5

10

5

10

Plot A11, x, A13, x, A15, x, x,  10, 10

4 2

-10

-5 -2 -4

Plot Fiu1, x, Fiu3, x, Fiu5, x, x,  10, 10

10 5

-10

-5 -5 -10

5

45 6

Maxwell1plus1masa0Cte.nb

Plot Fiv1, x, Fiv3, x, Fiv5, x, x,  10, 10

10 5

-10

5

-5

10

-5 -10

Plot CosFiv1, x  Fiu1, x, CosFiv3, x  Fiu3, x  2, CosFiv5, x  Fiu5, x  4, CosFiv7, x  Fiu7, x  6, CosFiv9, x  Fiu9, x  8, x,  13, 13 8

6

4

2

-10

-5

5

10

46

Apéndice I Evolución temporal por las ecuaciones sin masa que no son las de Maxwell -Dirac de un estado inicial con densidad de carga constante y en reposo 1

Gaussx_, _   







x2 2 2

2

x2 2 2

2 

PlotGaussx, 1, 1, x,  10, 10 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

-10

j0t_, x_  1



2

5

-5





1 2

tx2

 2 

2

10

Gausst  x, 1  Gausst  x, 1 



1 2

tx2

2

 j01, x  x 



 Efieldt_, x_  FullSimplify

1 2

1 4

  Erf

tx 2

  Erf

tx 2



  j0t,      j0t,     x





x

47 2

NoMaxwell1plus1masa0.nb

j0t_, x_  x Efieldt, x j1t_, x_   t Efieldt, x 1

 



1 2

tx2

2 

4



1

 



tx2

1 2



2

1 2

tx2

2 





4





1 2

tx2

2 

FullSimplifyt j0t, x  x j1t, x 0

FullSimplifyt j1t, x  x j0t, x 0 FullSimplifyt Efieldt, x  j1t, x 0 FullSimplifyx Efieldt, x  j0t, x 0

A0t_, x_  A1t_, x_ 

1 2 1 2

1

 t Erf

t

0

xt

j0,     

xt

  t

0

tx

8   2  

 

xt

j1,     

xt

  Erf

tx

2 

1 2

2

tx2





1 2





tx2

8

 x Erf

tx 2

  Erf

tx 2



FullSimplifyt,t A0t, x  x,x A0t, x  j0t, x FullSimplifyt,t A1t, x  x,x A1t, x  j1t, x

0 0 FullSimplifyt A0t, x  x A1t, x FullSimplifyt A1t, x  x A0t, x  Efieldt, x  



1 2

tx2

2  



1 2

tx2





1 2

tx2

t

tx2

t

2 



1 2

 2

2

1 4

  Erf

tx 2

  Erf

tx 2





48 NoMaxwell1plus1masa0.nb

Plotj01, x, j03, x, j05, x, x,  7, 7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

-6

-4

-2

2

4

6

2

4

6

2

4

6

Plotj11, x, j13, x, j15, x, x,  7, 7

0.4 0.2

-6

-4

-2 -0.2 -0.4

PlotEfield1, x, Efield3, x, Efield5, x, x,  7, 7

1.0 0.5

-6

-4

-2 -0.5 -1.0

3

49 4

NoMaxwell1plus1masa0.nb

Plot A01, x, A03, x, A05, x, x,  7, 7

3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

-6

-4

-2

2

4

6

2

4

6

Plot A11, x, A13, x, A15, x, x,  7, 7 2

1

-6

-4

-2

-1

-2

LimitFullSimplifyEfieldt, x, x   LimitFullSimplifyEfieldt, x, x     2 

 2

LimitFullSimplifyA0t, x, x   LimitFullSimplifyA0t, x, x    0 0

LimitFullSimplifyA1t, x, x   LimitFullSimplifyA1t, x, x    0 0

50

Apéndice II: Solución estacionaria inferior m 

1  1

Paridad

u0  1

v0  0



kp0  0



 m u02  v02  1  kp0 2    2    0 k0   2 2   u0  v0

Integral primera igual a cero



k0  1



u02  v02k0  mu02  v02  12 kp02  0

Comprobación T  7

10 us ( t)  0

8

vs ( t)  0

 us( t) 2vs( t) 2  1 u02v02  0

6

0 kps ( t)

4

0 ks ( t)

 us( t) 2vs( t) 2  ks( t) m  us( t) 2vs( t) 2  1  kps( t) 2

2

2

0 2

0

2

4

6

8

1

t

10 us ( t)  0

8

vs ( t)  0

 us( t) 2vs( t) 2  1 u02v02  0

6

0 kps ( t)

4

0 ks ( t)

 us( t) 2vs( t) 2  ks( t) m  us( t) 2vs( t) 2  1  kps( t) 2

2

2

0 2 8

6

4 t

2

0

51

Apéndice II: Solución estacionaria superior m 

1  1

Paridad

u0  0

v0  1



Integral primera igual a cero

kp0  0



 m u02  v02  1  kp02    2    0 k0   2 2   u0  v0



k0  1



u02  v02k0  mu02  v02  12 kp02  0

Comprobación T  7

1 us ( t )  0 vs ( t )  0

 us( t ) 2 vs ( t ) 2  1 u02 v0 2  0

0.5

0 kps ( t ) 0 ks ( t )

 us( t ) 2 vs ( t ) 2  ks( t ) m  us( t ) 2vs ( t ) 2  1  kps ( t ) 2

0

2

 0.5

0

2

4 t

6

8

1

1 us ( t )  0 vs ( t )  0

 us( t ) 2 vs ( t ) 2  1 u02 v0 2  0

0.5

0 kps ( t ) 0 ks ( t )

 us( t ) 2 vs ( t ) 2  ks( t ) m  us( t ) 2vs ( t ) 2  1  kps ( t ) 2

0

2

 0.5 8

6

4 t

2

0

52

Apéndice III Evolución temporal por las ecuaciones de Maxwell - Dirac con masa de un estado inicial con carga finita y en reposo tf  0 2.0

1.5

1.0

0.5

-20

-10

10

20

10

20

tf  1 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

53 2

GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  2

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

10

20

10

20

tf  3

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

tf  4

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

54 GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  5

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

10

20

10

20

tf  6

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

tf  7

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

3

55 4

GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  8

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

10

20

10

20

tf  9

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

tf  10

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

56 GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  11

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

10

20

tf  12

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

tf  13 Plotrougx ^ 2  rovgx ^ 2, 1, x,  Tmax, Tmax

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

5

57 6

GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  14

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

10

20

10

20

tf  15

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

tf  16

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

58 GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  17

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

10

-10

20

tf  18 Plotrougx ^ 2  rovgx ^ 2, 1, x,  Tmax, Tmax

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

10

20

tf  19

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

7

59 8

GaussianasSIN BASEQuietaFiguras.nb

tf  20

1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-20

-10

10

20

60

Apéndice III Evolución temporal por las ecuaciones de Maxwell - Dirac con masa de un estado inicial con densidad de carga constante y en reposo tf = 0

0.010

0.005

-15

-10

-5

5

10

15

5

10

15

-0.005

-0.010

tf  1 0.015 0.010 0.005

-15

-10

-5 -0.005 -0.010

61 2

BaseConstanteFiguras.nb

tf  2 0.02 0.01

-15

-10

-5

5

10

15

5

10

15

5

10

15

-0.01 -0.02 -0.03

tf  3 0.02

0.01

-15

-10

-5 -0.01

-0.02

-0.03

tf  4

0.01

-15

-10

-5 -0.01

-0.02

62 BaseConstanteFiguras.nb

tf  5

0.01

-15

-10

-5

5

10

15

5

10

15

5

10

15

-0.01

-0.02

tf  6

0.01

-15

-10

-5

-0.01

-0.02

tf  7 0.01

-15

-10

-5

-0.01

-0.02

3

63 4

BaseConstanteFiguras.nb

tf  8 0.01

-15

-10

-5

5

10

15

5

10

15

5

10

15

-0.01

-0.02

tf  9 0.01

-15

-10

-5

-0.01

-0.02

tf  10 0.01

-15

-10

-5

-0.01

-0.02

64 BaseConstanteFiguras.nb

tf  11 0.04 0.03 0.02 0.01

-15

-10

-5

5

10

15

5

10

15

5

10

15

-0.01 -0.02

tf  12

0.03 0.02 0.01

-15

-10

-5 -0.01 -0.02

tf  13 0.03 0.02 0.01 -15

-10

-5 -0.01 -0.02 -0.03 -0.04

5

65 6

BaseConstanteFiguras.nb

tf  14

0.04

0.02

-15

-10

-5

5

10

15

5

10

15

5

10

15

-0.02

tf  15 0.04 0.03 0.02 0.01 -15

-10

-5 -0.01 -0.02

tf  16 0.04

0.02

-15

-10

-5

-0.02

-0.04