Alberto Entero Conde Maite González Juarrero

MATEMÁTICAS II

Extremos y optimización de funciones TEORÍA

EXTREMOS Y OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. EXTREMOS RELATIVOS En 1º de Bachillerato, basándonos en la interpretación geométrica de la derivada, vimos que el signo de esta determinaba el crecimiento o decrecimiento de la función. Proposición Sea I un intervalo y f ( x ) una función derivable en I, entonces se verifica: •

Si f ′ ( x ) > 0 ∀x ∈ I ⇒ f ( x ) es creciente en I

•

Si f ′ ( x ) < 0 ∀x ∈ I ⇒ f ( x ) es decreciente en I

PUNTOS CRÍTICOS En el estudio del crecimiento y decrecimiento de una función, los puntos en los que la derivada se anula desempeñan un papel fundamental. Estos puntos de derivada nula, junto a aquellos del domino en los que la función no es derivable, reciben el nombre de puntos críticos de la función.

En la figura aparece la gráfica de una función derivable en ℝ y con tres puntos críticos: x = −3, x = 0 y x = 4. •

• •

En x = −3, la función pasa de ser creciente a decreciente y en él alcanza “el máximo valor de sus proximidades”. En matemáticas se dice que en x = −3, la función alcanza un máximo relativo. En x = 0 la función pasa de ser decreciente a creciente y en él alcanza “el mínimo valor de sus proximidades”. Diremos que en x = 0 la función alcanza un mínimo relativo. En x = 4 es f ' ( 4 ) = 0, pero la función es creciente tanto a la izquierda de x = 4 como a su derecha. En x = 4 no hay extremos relativos, es un punto de inflexión, que estudiaremos con mas detalle en el tema siguiente. -1-

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EXTREMOS ABSOLUTOS En la figura aparece la gráfica de f ( x ) , función f (γ )

continua en el intervalo [ a, b ]. El teorema de Weierstrass asegura que la función alcanza un máximo y un mínimo absoluto en este intervalo. En este apartado vamos a estudiar la forma de localizar estos extremos absolutos.

f (α ) f (b ) f ( β) f (a)

Los extremos absolutos pueden alcanzarse en los límites del intervalo, es decir, en x = a, x = b, o en el interior del a

α

β

γ

b

intervalo, es decir, en el abierto ( a, b ) . Si se alcanza en el interior del intervalo, además de extremo absoluto también será relativo, y en consecuencia un punto crítico.

Según el razonamiento anterior, para localizar los extremos absolutos: • Encontramos los puntos críticos. En el ejemplo son tres: γ , en el que la función no es derivable, y α y β en los que la derivada se anula. • Calculamos los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio, y comparamos los valores obtenidos. En el ejemplo: f ( a ) < f ( β ) < f ( b ) < f (α ) < f ( γ ) ⇒ La función alcanza un mínimo absoluto en x = a y un máximo absoluto en x = γ . Ejercicio resuelto Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimo relativos y absolutos de:  −1 3  →ℝ  2 , 2   x  → f ( x) = x 2 − 2 x + 2 Solución La función es continua por ser suma de funciones continuas, luego en el cerrado [ −1 2,3 2] alcanza un máximo y un mínimo absolutos. −1  2 x + 2 x + 2 si ≤x≤0   2 f ( x) = x 2 − 2 x + 2 =   x 2 − 2 x + 2 si 0 < x ≤ 3  2 −1   2 x + 2 si 2 ≤ x < 0 La función es derivable en ℝ − {0} , siendo f ′( x ) =  3 2 x − 2 si 0 < x ≤  2 Los puntos críticos son x = 0, porque en el la función no es derivable, y aquellos en los que f ′ ( x ) = 0. Podemos comprobar que la derivada, teniendo en cuenta su dominio, solo se anula para x = 1 , por lo que los extremos relativos únicamente se pueden alcanzan en 1 o en 0.

Si estudiamos el signo de f ′(x ) , obtenemos:

-2-

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-

+ −1 2

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+

0

1

−1 2

3 2

0

1

3 2

Si observamos el crecimiento y decrecimiento de la función, podemos afirmar que: en x = 0 se alcanza un máximo relativo y en x = 1 un mínimo relativo. Para estudiar los extremos absolutos, se compara los relativos con el valor que toma la función en los extremos del intervalo [ −1 2,3 2].  −1  5 f  =  2  4 La función alcanza un máximo absoluto en f (0) = 2 ⇒ x = 0, que vale 2, y un mínimo absoluto en f (1) = 1 x = 1, que vale 1 3 5 f  = 2 4

Ejercicio resuelto

e − x − 1 si x ≤ 0 Se considera la función f ( x) =  2 . Contestar razonadamente las siguientes  x + x si x > 0 preguntas. a) Es continua la función en el punto x = 0 . b) Es derivable en x = 0 . c) ¿Alcanza algún extremo? Solución ∃ f ( 0) = 0 f ( x) = lím− e − x − 1 = 0 a) xlím →0− x→0 lím+ f ( x ) = lím+ x 2 + x = 0

x→0

⇒ ∃ lím f ( x ) = 0

⇒ lím f ( x ) = f (0) ⇒ f ( x ) es continua en 0. x→0

x→0

x→0

 − e − x si x < 0 b) La función es derivable en ℝ − {0} , siendo f ′( x) =  2 x + 1 si x > 0 lím− f ′ ( x ) = lím− ( −e− x ) = −1 x →0 x →0 ⇒ La función no es derivable en x = 0 . ′ lím+ f ( x ) = lím+ ( 2 x + 1) = 1 x →0

x →0

c) f ′ ( x ) no se anula, pues −e − x ≠ 0 ∀x y 2 x + 1 ≠ 0 ∀x > 0. El único punto crítico de la función es x = 0, el estudio del signo de f ' ( x ) en

ℝ − {0} nos permite asegurar que en x = 0 se alcanza un mínimo relativo. Como además es lím f ( x ) = lím f ( x ) = ∞ , la función no está x →−∞

x →∞

acotada superiormente, el mínimo relativo es también un mínimo absoluto, siendo este el único extremo de la función.

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sig ( f ' ( x ) )

x=0

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Ejercicio resuelto Estudia los intervalos de monotonía y los extremos de f ( x) =

ln x . Como aplicación, prueba que si x

x > 0 ⇒ xe ≤ e x .

Solución En primer lugar estudiamos el domino: D f = (0, ∞ ) y la función es continua y derivable en su domino. ln x 1 − ln x ⇒ f ′( x) = . x 2 > 0 ∀x ∈ D f ⇒ sig ( f ′( x) ) = sig (1 − ln x ) f ( x) = 2 x x 1 − ln x = 0 ⇒ ln x = 1 ⇒ x = e

+ 0

0

e

e

Según esto, la función alcanza un máximo absoluto en x = e . Por definición de máximo absoluto: ln e ln x f (e) ≥ f ( x ) ∀x ∈ D f ⇔ ≥ ∀x > 0 ⇔ x ln e ≥ e ln x ∀x > 0 ⇔ ln e x ≥ ln x e ∀x > 0 ⇒ e x e x ≥ x e ∀x > 0 OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES En este apartado vamos a resolver problemas en los que una magnitud depende de una variable y se trata de averiguar para qué valor de la variable, el de la magnitud estudiada es el óptimo. Se tratará, por ejemplo, de conseguir que utilizando una cantidad de material determinado, el volumen del recipiente obtenido sea máximo; que el tiempo invertido en hacer un recorrido sea mínimo, etc. Ejercicio resuelto P

4 Km A 10 Km

B

Un hombre se encuentra en un punto P del mar con una barca, y desea trasladarse hasta un punto B de una costa rectilínea. Con la barca es capaz de navegar a una velocidad de 4 Km/h, mientras que por tierra puede avanzar a 20 Km/h. ¿En qué punto de la costa le conviene desembarcar para que el tiempo invertido en el recorrido sea mínimo?

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Solución. El tiempo invertido en hacer el recorrido, que es la magnitud a optimizar, depende de la distancia x, que determina el punto de desembarco A. El tiempo total es la suma del tiempo que está en el agua y del que está en tierra, que en cada caso es el espacio en ese medio, dividido por la velocidad correspondiente.

16 + x 2 10 − x + 4 20 Es evidente que el valor mínimo del tiempo corresponde a algún valor de x tal que 0 ≤ x ≤ 10. El problema planteado se reduce a encontrar el mínimo absoluto de la función: t ( x) =

t →ℝ [0,10] 

x  → t ( x) =

16 + x 2 10 − x + 4 20

x 16 + x 2 10 − x 1 + ⇒ t ′( x) = − 2 4 20 20 4 16 + x 1 16 2 6 x t′ ( x ) = 0 ⇔ = ⇔ 5 x = 16 + x 2 ⇒ 25 x 2 = 16 + x 2 ⇒ x = = = 2 20 24 3 3 4 16 + x t ( x) =

El mínimo absoluto se alcanza en el punto crítico o en algún extremo del dominio:  6  4 6 +5 3 29 t ( 0 ) = = 1.5 horas, t (10 ) = ≈ 2.69 horas, t  ≈ 1, 48 horas,  = 2 2 10  3  Conviene desembarcar en el punto A para el cual es x = 6 3 ≈ 0.82 Km. Ejercicio resuelto A un espejo rectangular de 30 cm. de largo y 20 de ancho se le ha roto en una esquina un trozo de forma triangular, de modo que la longitud ha disminuido 5 cm. y la anchura en 3 cm. Con la parte restante se quiere hacer un nuevo espejo con bordes paralelos a los primeros y con la mayor superficie posible. Encuentra las dimensiones del nuevo espejo. Solución Si hacemos un dibujo, enseguida nos damos cuenta que poner la magnitud a optimizar, la superficie, en función de dos variables es muy sencillo. Si designamos por “x” e “y” las dimensiones del nuevo espejo es: S ( x, y ) = xy.

20

25

y

30

x

5 3

y − 25

En bachillerato solo estudiamos las funciones que dependen de una variable, por lo que optimizar la función S ( x, y ) está fuera de los objetivos de este curso. Sin embargo, son frecuentes las situaciones en las que, como en esta, es sencillo plantear el problema utilizando dos variables. En esos casos habrá que, analizando el enunciado, encontrar una relación entre ellas para “despejar una en función de la otra”.

5 20 − x

3

Si observas la figura, hay varios triángulos semejantes en los que aparecen nuestras variables x e y. Aplicando a dos de ellos el teorema -5-

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5 ( 35 − x ) 5 y − 25 = ⇒y= . 3 20 − x 3 Llevando la relación entre x e y a la función S ( x, y ) obtenemos la superficie en función de una única variable: S ( x, y ) = xy 5 ( 35 − x ) 185 x − 5 x 2 ⇒ S x = x ⋅ = ( ) 5 ( 35 − x ) 3 3 y= 3 Por otra parte, es evidente que los “valores lógicos” de nuestra variable x están comprendidos entre 185 x − 5 x 2 17 y 20 cm. Se trata de encontrar el máximo absoluto de S ( x ) = con x ∈ [17, 20] . 3 185 x − 5 x 2 185 − 10 x S ( x) = ⇒ S′( x) 3 3 La función tiene un punto crítico en x = 35 2. Comparamos los valores que alcanza la función en el punto crítico y en los extremos del dominio:  35  6125 S (17) = 510 cm 2 , S (20) = 500 cm 2 y S   = ≈ 510.42 cm 2 2 15   El espejo de superficie máxima que podemos conseguir es el que tiene por dimensiones: 35 175 x= = 18.5 cm. e y = ≈ 29.17 cm. 2 6 de Tales tenemos que

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1. Estudia el dominio, crecimiento, máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones: 3 a) f ( x) = 2x

c) f ( x ) = x 2 ⋅ ln x

b) f ( x ) = x 2 ⋅ e − x

x −1

x2 + 2 d) f ( x ) = ln 2x −1

e) f ( x ) =

e x −1

( x + 1)

2

f) f ( x ) = esen x cos x

2. Si f ( x ) es una función definida en (0,2π ) tal que f ′( x) =

cos x , obtén los intervalos de −x

crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f ( x ) . 3. Si la curva (I) es la gráfica de la función f ( x ), ¿cuál o cuáles de las otras tres pueden ser la gráfica de f ′( x ) ? Razona la respuesta

(II)

(I)

(IV)

(III)

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4. Si la gráfica I corresponde a la curva y = f ′( x ) , ¿cuál o cuáles de la otras tres puede corresponder a y = f ( x ) ?

(I)

( II )

( IV )

( III )

¿Puede haber dos funciones distintas con la misma función derivada?, ¿en qué se diferencian dos funciones que tienen la misma derivada? 5. Sean f ( x ) y g ( x ) dos funciones tales que f '( x) = g '( x ). ¿Podemos asegurar que f ( x ) = g ( x ) ? ¿Qué se puede afirmar de las funciones f ( x ) y g ( x ) ? 6. Indicar cuál o cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas. Justifica la respuesta: a) Si f (x ) alcanza un máximo o un mínimo relativo en x = a y f es derivable en a, entonces f ′( a ) = 0 b) Si f ′( a ) = 0 , entonces f alcanza un máximo o un mínimo relativo en x = a . c) Si f (x ) alcanza un máximo o un mínimo relativo en x = a , entonces f ′( a ) = 0 7. Halla b y c para que la curva y = x 3 + bx + c tenga un mínimo relativo en el punto (0,4 ) . 8. Halla a, b y c para que la función f ( x ) = ax 2 + bx + c tenga un mínimo relativo en el punto (6,−12) y se anule en x = 8 .

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9. Halla a y b para que la función f ( x ) = a ln x + bx 2 + x tenga extremos relativos en x1 = 1 y en x2 = 2 . ¿De qué tipo son esos extremos? ex tenga un extremo único. En ese caso, ¿se 10. Halla el valor de k para que la función f ( x ) = 2 x +k trata de un máximo o un mínimo? 11. Halla los máximos y mínimos absolutos de las siguientes funciones: a) f ( x ) = ( x 2 − 1) ⋅ ( x + 1) con x ∈ [ −2,1] b) f ( x ) = 3x 4 − 8 x 3 + 6 x 2 con x ∈ [ −1 2,1 2] c) f ( x ) = x 2 − 4 x +3 con x ∈ [ −2, 4]

d) f ( x ) =

12. Halla los máximos y mínimos de la función f ( x ) = e − x 13. Halla los puntos de la curva y =

3

(x

2

2

− 4 ) con x ∈ [ −1, 3]

2

1 en los que la recta tangente tiene pendiente máxima y el 1 + x2

valor de esa pendiente. 14. Encuentra dos números cuya suma sea 24 y que el producto del cubo de uno por el cuadrado del otro sea máximo. 15. Hallar las dimensiones de un campo rectangular de 3. 600 m 2 de superficie para poder cercarlo con una valla de longitud mínima. 16. Entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 cm., ¿cuál es el de área máxima? 17. Entre los rectángulos de 4m de perímetro, determina el de diagonal mínima. 18. De una lámina rectangular de cartón, cuyas dimensiones son 6 dm. y 8 dm. respectivamente, se cortan cuadrados iguales para construir una caja sin tapa. ¿Qué dimensiones deben tener estos cuadrados para que el volumen sea máximo? 19. Se quiere cercar una zona rectangular de una finca. Uno de los lados de la parte cercada da a un camino, por lo que en ese lado se pondrá una valla de calidad superior al resto, que quedara en el interior de la finca. Si la valla que está al lado del camino cuesta 6 €/m y la de los otros lados 1 €/m. Hallar el área máxima que podemos cercar con 280 €. 20. Encuentra las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una circunferencia de 5 cm. de radio. 21. Halla las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm. y 15 cm. de altura. 22. La resistencia de una viga de sección rectangular es proporcional a la anchura y al cuadrado de la altura. Halla las dimensiones de la viga de máxima resistencia que se puede obtener de un madero de 60 cm. de diámetro. 23. Halla la base y la altura del triángulo isósceles de área máxima que podemos inscribir en una circunferencia de 12 cm. de radio. -9-

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24. Con una cuerda hacemos un recinto con la forma indicada en la figura. Si la longitud de la cuerda es 50 cm., ¿cuánto debe medir "x" para que el área del recinto encerrado sea máximo? 25. Queremos construir una caja abierta de base cuadrada y 108 litros de capacidad. Hallar las dimensiones para que el material utilizado, y en consecuencia el coste, sea mínimo. 26. En un triángulo isósceles de 12 cm. de base y 5 cm. de altura, determinar un punto sobre esta tal que la suma de sus distancias a los tres vértices sea mínima. 27. ¿Cuál es el punto de la curva 4 y = x 2 más próximo a ( 0, 4 ) ? 28. Halla los vértices de un rectángulo que se debe inscribir en la elipse

x2 y 2 + = 1 , para que su 9 4

área sea máxima. 29. Un jardinero ha de construir un parterre en forma de sector circular con un perímetro de 20 m. ¿Cuál será el radio que da el parterre de área máxima? 30. Se desea hacer un cono, recortando su superficie de una chapa circular de radio conocido R. Halla el ángulo del sector circular que hay que cortar para que el volumen del cono se máximo. 31. Las manecillas de un reloj miden 6 y 8 cm. Uniendo sus extremos se forma un triángulo. Hallar el instante entre las 12 horas y las 12 y media en el que el área del triángulo es máxima. 32. Halla el punto del suelo desde el cual se ve un segmento vertical de 3m de longitud, y cuyo extremo inferior dista 1 m. del suelo, bajo un ángulo máximo. CUESTIONES PROPUESTAS EN SELECTIVIDAD 1. Se sabe que y = f (x) e y = g (x ) son dos curvas crecientes en x = a . Analícese si la curva y = f ( x ) − g ( x ) ha de ser, entonces, creciente en x = a . Si la respuesta es afirmativa, justifíquese, en caso contrario, encuéntrese un contraejemplo. 2. Dada la función f ( x ) = ln ( x 2 + 4 x − 5) , se pide: a) Determinar el dominio de la función y las asíntotas verticales de su gráfica. b) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f ( x ) .  2x2 + 6 x 0 . b) Hallar los puntos de corte de la recta hallada en el apartado anterior con los dos ejes de coordenadas. c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos puntos hallados en b) sea mínima.

21. Dada la función f ( x ) =

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