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FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS GUIA DE APRENDIZAJE NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS: CRITERIOS DE EVALUACION:
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO 4 1 CAMPOS VECTORIALES, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA 4 HORAS Vectores e integrales múltiples La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. CALCULO, JAMES STEWART CALCULO, THOMAS FINNEY
TEMA: CAMPOS VECTORIALES, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA
CAMPOS
CONSERVATIVOS,
OBJETIVO -
Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de los campos vectoriales, el rotacional y la divergencia.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 2 HORAS TEMATICA CAMPOS VECTORIALES, CAMPOS CONSERVATIVOS, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA Un campo vectorial en tres dimensiones es una función F cuyo dominio D es un subconjunto de R 3 , y cuyo contradominio es un subconjunto de V3 . Si ( x, y, z ) D , entonces F ( x, y, z) M ( x, y, z)i N ( x, y, z) j P( x, y, z)k , donde M, N y P son funciones escalares de tres variables y cuyo contradominio constituye un subconjunto de V3 . Un campo vectorial en dos dimensiones es una función F cuyo dominio D es un subconjunto de R 2 , y cuyo contradominio es un subconjunto de V2 . Si ( x, y) D , entonces F ( x, y) M ( x, y)i N ( x, y) j , donde M y N son funciones escalares de dos variables y cuyo contradominio constituye un subconjunto de
2
V2 . Por ejemplo, podemos representar la velocidad V ( x, y, z ) de un fluido mediante un vector dibujado en cada punto ( x, y, z ) del dominio del fluido, y la colección de vectores que resulta es un campo de velocidades. Para hacerse una idea visual de un campo vectorial, se dibujan vectores V ( x, y, z ) en forma de flechas, en puntos seleccionados de D. Un diagrama de este tipo es la gráfica del campo. EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo F ( x, y) yi xj , para esto hallamos el valor de F en varios puntos: F (3,4) 4i 3 j ; F (1,2) 2i j ; F (1,0) 0i 1 j ; F (0,1) i 0 j
Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATICA: Se utilizo los comandos Automatic, PlotPoints->15, Frame->True, ScaleFunction>(.5#&)]
Gráfica del campo vectorial F ( x, y) yi xj Parece que cada vector es tangente a un circulo con centro en el origen. Para confirmar esto, tomamos el producto punto del vector de posición xi yj con el vector F ( x, y) yi xj el cual da cero. Observe que el radio del circulo es igual a la magnitud del vector F ( x, y) yi xj . La gráfica de un campo vectorial suministra información interesante sobre las propiedades del campo. Por ejemplo supongamos que F representa la velocidad de un fluido compresible, por ejemplo un gas, en un punto (x , y) del plano. Entonces F asigna un vector velocidad a cada punto (x , y) del plano, y la gráfica de F es una imagen del flujo del gas. Para un flujo constante como F ( x, y) 5i 3 j , Y un flujo circular como F ( x, y) 5 yi 3xj tenemos las siguientes gráficas:
3
F ( x, y) 5i 3 j
F ( x, y) 5 yi 3xj
EJEMPLO. La siguiente gráfica representa el campo vectorial de flujo del aire.
Campo vectorial de flujo del aire EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo F ( x, y, z) 0i 0 j zk , para esto hallamos el valor de F en varios puntos: F (3,4,1) 0i 0 j k ; F (1,2,3) 0i 0 j 3k ; F (1,0,0) 0i 0 j 0k ; F (0,1,5) 0i 0 j 5k . Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATICA: Se utilizo los comandos Automatic, PlotPoints->8, Frame->True, VectorHeads->True, AxesLabel->{x,y,z}];
F ( x, y, z) 0i 0 j zk El campo vectorial anterior se puede graficar a mano gracias a la sencillez de su formula, pero resulta prácticamente imposible trazar a mano la mayor parte
4 de los campos vectoriales tridimensionales y es necesario emplear un sistema algebraico de computo. EJEMPLOS
y x z i j k z z 4 Nótese que las formulas de los dos primeros campos vectoriales tienen formulas semejantes, pero los vectores de la segunda figura, en general, apuntan en la dirección negativa del eje Y, porque su segunda componente es siempre –2. Si el campo vectorial de la tercera figura representara un campo de velocidades, entonces el movimiento de una partícula seria hacia arriba, en forma de espiral alrededor del eje Z, y, visto desde arriba, en el sentido de las manecillas del reloj.
F ( x, y, z) yi zj xk
F ( x, y, z) yi 2 j xk
F ( x, y, z )
EJERCICIOS 1. Dibuje algunos vectores representantes del campo vectorial dado (A) F ( x, y) xi yj ; (B) F ( x, y) x 2 i yj ; (C) F ( x, y) yi xj ; (D) F ( x, y, z) i 2 j 3k ; (E) F ( x, y, z) i 2 j zk ; (F) F ( x, y, z) xi yj 3k ; (G) F ( x, y, z) xi yj zk . CAMPO DE VARIACION INVERSA AL CUADRADO DE LA DISTANCIA Sea r xi yj zk el vector de posición de un punto k ( x, y, z ) . Se dice que un campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la c distancia sí F ( x, y, z ) 2 u donde c es un escalar y u es un vector unitario r r que tiene la misma dirección que r y esta dada por u . r EJEMPLO Describamos el campo F ( x, y, z )
c r
2
u con c < 0.
5
r c( xi yj zk ) c cr y r xi yj zk entonces F ( x, y, z ) 2 u = 3 = 3 r r r 2 2 2 2 (x y z ) Observamos que F ( x, y, z ) es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de Como u
F ( x, y, z ) es hacia el origen. Además F ( x, y, z )
c
la magnitud de F es 2 r inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto k ( x, y, z ) al origen. Esto significa que cuando el punto k ( x, y, z ) se aleja del origen, la longitud del vector asociado F ( x, y, z ) disminuye. En la figura siguiente se indican algunos vectores típicos de este campo.
La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m Mm localizada en k ( x, y, z ) es F ( x, y, z ) G 2 u donde G es la constante de r r gravitación universal, r es el vector de posición del punto k ( x, y, z ) y u . r También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulombs) se encuentra en el origen, entonces la fuerza F ( x, y, z ) que ejerce sobre otra carga q (en coulombs) localizada en k ( x, y, z ) r Qq es F ( x, y, z ) c 2 u donde c es una constante, u y r xi yj zk . r r Observe que la ley de coulomb tiene la misma forma que la ley de gravitación universal de Newton. CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO (independencia del camino) Si w f ( x, y, z) , entonces el gradiente de la función w f ( x, y, z) , w f x ( x, y, z)i f y ( x, y, z) j f z ( x, y, z )k es un campo vectorial. Por un teorema anterior la dirección del vector w en cualquier punto k ( x, y, z ) es normal a la superficie de nivel S de f que pasa por k ( x, y, z ) , además la magnitud de w es igual a la razón máxima de cambio de f en el punto
6 k ( x, y, z ) . Se dice que un campo vectorial F ( x, y, z ) es un campo vectorial conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir, si F ( x, y, z) f ( x, y, z) para una función f. Si F ( x, y, z ) es conservativo, entonces la función f es una función de potencial para F ( x, y, z ) , y w f ( x, y, z) se llama potencial en el punto k ( x, y, z ) .
EJEMPLO Comprobemos que el campo vectorial F ( x, y) 2 xyi x 2 j es conservativo y tiene potencial escalar f ( x, y) x 2 y . En efecto f 2 xyi x 2 j el cual coincide con F. Una región D se llama conexa si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa.
Sea F ( x, y) M ( x, y)i N ( x, y) j donde M y N tienen primeras derivadas parciales continuas en una región D abierta y simplemente conexa, entonces M N F ( x, y) M ( x, y)i N ( x, y) j es conservativo en D, si y solo si y x EJEMPLO Dado el campo vectorial F ( x, y) (e x sen y y)i (e x cos y x 2) j
M N luego F es y x conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que f F , observemos que debe ser M ( x, y) f x ( x, y) y N ( x, y) f y ( x, y) hacemos una Sea M (e x sen y y) y N (e x cos y x 2) , entonces
integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como constante: f ( x, y) M ( x, y)dx (e x sen y y)dx e x sen y yx c( y) , como también debe ser f y N ( x, y) calculamos la derivada parcial con respecto a y,
x dc (e sen y yx c( y )) e x cos y x igualando a y dy dc N ( x, y) e x cos y x 2 y despejando tenemos dy dc dc e x cos y x e x cos y x 2 así 2 integrando hallamos que dy dy c( y) 2 y c , luego f ( x, y) e x sen y xy 2 y c . Cualquier función de esta
así obtenemos: f y ( x, y )
7 familia es un potencial f ( x, y) e x sen y xy 2 y
escalar
de
F,
luego
podemos
tomar
EJERCICIO 2. Demuestre que todo campo vectorial del tipo de variación inversa al cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo. 3. Demuestre que el campo vectorial F es conservativo y halle un potencial escalar f. (A) F ( x, y) 2 xyi x 2 j
(B) F ( x, y) (2 x y)i ( y 2 x) j
(C) F ( x, y) (2Cos 2 x e x (Cosxy ySenxy ))i ( xe x Senxy ) j
j k . Si actúa x y z sobre una función escalar f, da como resultado el gradiente de f. Definimos el operador diferencial vectorial i
grd f f
f f f i jk k x y z
ROTACIONAL DE F F una Sea función vectorial en tres dimensiones dada por F ( x, y, z) M ( x, y, z)i N ( x, y, z) j P( x, y, z)k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. El Rotacional de F esta dado por P N M P N M rotF XF ( )i ( )j( )k y z z x x y
Se usará el símbolo rotF XF para denotar el vector rotF ( x, y, z ) o XF ( x, y, z ) , asociado a (x, y, z).
La formula para rotF ( x, y, z ) se puede considerar como el desarrollo de un determinante con respecto al primer renglón. i rot F XF x M
j y N
k z P
EJEMPLO Encontremos el rotacional de F ( x, y, z ) xy 2 z 4 i (2 x 2 y z ) j y 3 z 2 k
i rot F XF x xy 2 z 4
j y 2x 2 y z
k (3 y 2 z 2 1)i 4 xy 2 z 3 j (4 xy 2 xyz 4 )k z y3z 2
8 Si F es el campo de velocidades en un fluido (liquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces rotF XF da información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto k ( x, y, z ) alrededor del cual el fluido gira, entonces rotF XF coincide con el eje de rotación y se puede emplear para describir las propiedades rotacionales del campo. INTERPRETACION FISICA DEL ROTACIONAL
Si un fluido se mueve en una región del plano xy, se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto k ( x, y, z ) en el que se coloca la rueda con aspas en la dirección de su eje. El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea F ( x, y, z) M ( x, y, z)i N ( x, y, z) j P( x, y, z)k la velocidad de un fluido incompresible y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del liquido: Alrededor del eje x es proporcional a (
P N ) y z
Alrededor del eje y es proporcional a (
M P ) z x
Alrededor del eje z es proporcional a (
N M ) x y
Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por rotF XF . Si rotF XF =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es irrotacional.
9 DIVERGENCIA DE F Sea F ( x, y, z) M ( x, y, z)i N ( x, y, z) j P( x, y, z)k donde M, N y P tienen derivadas parciales en alguna región. La Divergencia de F esta dado por M N p DivF F x y z Se usa el símbolo F para la divergencia por que la formula puede establecerse tomando lo que parece ser el producto escalar de y F .
EJEMPLO Encontremos la divergencia F ( x, y, z ) xy 2 z 4 i (2 x 2 y z ) j y 3 z 2 k
DivF F
( xy 2 z 4 ) (2 x 2 y z ) ( y 3 z 4 ) y 2 z 4 2x 2 2 y 3 z x y z
Si F es el campo de velocidades en un fluido, entonces DivF F da información acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Si DivF 0 en un punto k ( x, y, z ) entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que hay un sumidero en k ( x, y, z ) . Si DivF 0 , entonces la masa fluye desde el punto y se dice que hay una fuente en k ( x, y, z ) . La condición DivF 0 es característica de los fluidos incompresibles. EJERCICIOS Sea f una función escalar y F una función vectorial. Probar que 4. fF f F f F 5. F G F G 6. F G F G 7. fF f F f F 8. F G F G G F En un campo vectorial, F ( x, y, z) M ( x, y, z)i N ( x, y, z) j P( x, y, z)k , donde M, N y P son funciones escalares de tres variables pueden definirse limites, continuidad, derivadas parciales e integrales múltiples usando las componentes de F ( x, y, z) M ( x, y, z)i N ( x, y, z) j P( x, y, z)k tal como se hizo para las funciones vectoriales de una variable. EJERCICIOS Halle la divergencia y el rotacional de: 09. F ( x, y) Senxi Cosyj 10. F ( x, y) x 2 i y 2 j z 2 k 11. F ( x, y, z) ( x y)i ( y z) j ( z x)k 12.
F ( x, y, z ) e xy i e xz j e yz k en (3,2,0)
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FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS GUIA DE APRENDIZAJE NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS:
CRITERIOS DE EVALUACION:
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO 4 2 INTEGRALES DE LINEA 4 HORAS Integrales múltiples, Campos vectoriales, campos conservativos, rotacional y divergencia. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. CALCULO, JAMES STEWART CALCULO, THOMAS FINNEY
TEMA: INTEGRALES DE LINEA OBJETIVO -
Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de las integrales de linea.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 2 HORAS TEMATICA INTEGRALES DE LINEA O INTEGRALES CURVILINEAS Definición de Integral curvilínea. Para construir modelos matemáticos de ciertas nociones físicas, como trabajo o potencial, hay que generalizar el concepto original de integral considerando límites de sumas cuyos sumandos dependen de una cierta forma de una curva, llamada camino de integración. Esto nos lleva al concepto de integral curvilínea, que es realmente la integración a lo largo de una curva en el espacio. Comenzamos definiendo la integral curvilínea de una función f sobre una curva C con respecto a x. Las integrales correspondientes respecto de y o de z se definen de manera análoga. Una curva C de ecuaciones paramétricas R(t ) x(t )i y(t ) j z(t )k se llama lisa en el intervalo t1 t t 2
si las tres derivadas x ' (t ) , y ' (t ) y z ' (t ) son
11 continuas y no se anulan simultáneamente en ningún punto t del intervalo. Más generalmente, C es lisa a trozos si se puede descomponer en un numero finito de partes lisas. Se dice que C es orientable si es posible definir una dirección sobre C cuando t crece. Supongamos que C es una porción de una curva lisa a trozos, orientable, que comienza en p p0 y termina en q p n . Supongamos que se hace una partición de C en n trozos mediante los puntos P0 , P1 , P2 ,..., Pk 1 , Pk , ..., Pn 1 , Pn y sean ( xk , y k , z k ) las coordenadas del punto Pk , finalmente para k=1, 2, 3,
...,n elijamos arbitrariamente un punto Pk ( x k , y k , z k ) en el arco que va de Pn 1 hasta Pk , y sean xk xk xk 1 , y k y k y k 1 , y, z k z k z k 1 . Al mayor x k lo llamaremos la x - norma de la partición y la designaremos por x . Se pueden definir de manera análoga, la y – norma y la z – norma. Para una
n
función escalar dada f formamos la suma S f ( P k ) x k y se define la k 1
integral curvilínea
C
n
fdx Lim f ( P k )xk siempre y cuando exista este limite. x 0
k 1
De manera análoga se define:
C
n
fdy Lim f ( P k )y k , y, y 0
k 1
C
n
fdz Lim f ( P k )z k z 0
k 1
Propiedades de las integrales curvilíneas Sea f una función escalar dada, definida con respecto a x en una curva lisa a trozos y orientada C. Entonces se verifican las siguientes propiedades: Regla del múltiplo constante:
kfdx k C
C
fdx , donde k es una constante.
12
(f
Regla de la suma:
1
C
f 2 )dx f1dx f 2 dx , donde f 1 y f 2 son funciones C
C
escalares definidas respecto de x en C. Regla de la dirección opuesta: fdx fdx , donde –C designa a la C
C
misma curva C recorrida en sentido opuesto. Regla de subdivisión: fdx fdx fdx , donde C esta subdividida en C
C1
C2
subarcos C1 y C 2 con C C1 C2 y C1 C2 . Esta propiedad se generaliza a un número finito de subdivisiones. Las integrales de la forma
C
gdy ,o, hdz gozan de las mismas propiedades. C
Demostración: La demostración se sigue directamente de la definición de integral curvilínea y de las propiedades de los limites. Calculo de integrales curvilíneas en paramétricas: En la practica casi nunca se calcula la integral fdx mediante la definición. En lugar de eso C
observamos que, si la función integrando f ( x, y, z ) es continua en C y si C se puede representar en paramétricas por la función vectorial R(t ) x( y)i y(t ) j z(t )k en la que existe la derivada y es distinta de cero para b dx todo a t b , entonces fdx f ( x(t ), y(t ), z (t )) dt . De manera análoga, si C a dt g y h son continuas en C, b b dy dz C gdy a g ( x(t ), y(t ), z(t )) dt dt , y, C hdz a h( x(t ), y(t ), z(t )) dt dt Estas formulas nos permiten convertir las integrales curvilíneas en integrales de riemann ordinarias, que pueden ser calculadas por los métodos conocidos. Se tiene el mismo resultado independientemente de la parametrización de C elegida. EJEMPLO Sea C el trozo de la parábola y x 2 desde (0,0) a (2,4). Hallemos y
(x C
2
(x C
2
y)dx
y)dy
Sol: Hacemos, x t luego y t 2 , en el intervalo 0 t 2 . Como que
C
Ahora
2
( x 2 y)dx = t (t 2 ) 2
0
dy 2t , así dt
EJERCICIO 1. Calcule
xe C
yz
C
dxdt dt 2 t dt 163
dx 1 se tiene dt
2
2
0
dy dt 2t dt
( x 2 y) t t 2 2
0
2
2
0
2
.2t 16
dz donde C es la curva de ecuaciones paramétricas
x t , y t , z t para 1 t 2 .
13 INTEGRALES CURVILINEAS DE CAMPOS VECTORIALES Vamos a estudiar ahora que se entiende por calcular una integral curvilínea de un campo vectorial. Sea F ( x, y, z) f ( x, y, z)i g ( x, y, z) j h( x, y, z)k un campo vectorial, y sea C la curva definida por las paramétricas R(t ) x(t )i y(t ) j z(t )k , designamos a la integral de F sobre C por
F dR C
y la definimos, así:
F dR = C
C
b dx dy dz fdx gdy hdz f x(t ), y(t ), z (t ) g x(t ), y(t ), z (t ) hx(t ), y(t ), z (t ) dt a dt dt dt
EJEMPLO Calculemos
F dR , C
donde F ( y 2 z 2 )i (2 yz ) j x 2 k y C es la curva de
ecuaciones paramétricas x t 2 , y 2t , z t para 0 t 1 .
F dR 6t 3 8t 2 t 4 dt , luego
1
3 2 4 F dR (6t 8t t )dt C
0
EJEMPLO Sea, F xy 2 i x 2 yj , calculemos la integral
119 30
F dR entre los puntos 0,0, 2,4 C
sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el arco de la parábola y x 2 que une esos puntos. (a). La recta que pasa por los dos puntos tiene como ecuación y 2 x , luego una parametrización es x t , y 2t para 0 t 2 , así R(t ) ti 2tj y dR dti 2dtj , 2
F dR 8t C
3
0
luego
F 4t 3i 2t 3 j
y
F dR 4t 3 dt 4t 3 dt
y
dt 32
(b). La parábola y 2 x se parametriza por x t , y t 2 para 0 t 2 , así R(t ) ti t 2 j , luego F xy 2 i x 2 yj t 5i t 4 j y F dR t 5 dt 2t 5 dt 3t 5 dt y 2
F dR 3t C
0
5
dt 32
14 En este ejemplo hemos visto que el valor de la integral es el mismo para los dos caminos. Además se puede demostrar que, para F xy 2 i x 2 yj la integral
F dR
curvilínea
C
es la misma para cualquier camino que una 0,0, con, 2,4 .
OJO, que esto no es cierto para cualquier F, pero cuando es cierto decimos que la integral curvilínea es independiente del camino. EJEMPLO Calculemos
( ydx xdy ) donde C es el camino cerrado de la siguiente figura C
El camino cerrado se describe mejor usando tres ecuaciones distintas, C1 , C2 , C3 . Sea F yi xj de tal manera que F dR ydx xdy , luego
F dR = F dR + F dR + F dR C
C1
C2
C3
.
Sobre C1 , la parametrización es x Cost, y Sent R(t ) (Cost )i (Sent ) j
para 0 t
dR (Sentd )i (Costdt ) j ,
y
F yi xj (Sent )i (Cost ) j y así
Sobre
0
C1
C1
C2
2 0 t 1 , luego 0
x 0, y 1 t
para
1
F dR = 0 0 0
C2
F dR = F dR + F dR + F dR C
, luego luego
Sobre C 3 , la parametrización es, x t , y 0 para 0 t 1 y donde
2
2 2 F dR = 2 (Sen tdt Cos tdt ) 2 dt
C 2 , la parametrización es
R(t ) (1 t ) j y dR dtj y así
C3
.=
2
00
F dR =0 C3
de
2
EJERCICIO 2. Calcule F dR donde F yi xj y C es la semicircunferencia superior C
x y 1 recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj desde 1,0, hasta 1,0 2
2
15 3. Sea, F (5x y)i xj , calculemos la integral
F dR entre C
los puntos
0,0, 2,1 sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el segmento rectilíneo desde 0,0hasta0,1 seguido del segmento rectilíneo desde 0,1hasta2,1 . Calculo del trabajo mediante integrales curvilíneas Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales curvilíneas es el cálculo del trabajo. Recordemos que si un objeto se mueve sobre una línea recta un desplazamiento R en presencia de un campo de fuerzas constante F, el trabajo efectuado es, F R . El caso en que la fuerza F no es constante y el objeto se mueve sobre una curva lisa C requiere atención adicional. Supongamos que C esta parametrizada R(t ) y orientada en el sentido del movimiento. Se hace una partición de C por puntos P0 , P1 ,..., Pn , como se muestra en la siguiente figura:
Para k 1,2,..., n sea Qk un punto elegido arbitrariamente en el k – esimo subarco Ck (Con extremos Pk 1 y p k ) y sea Fk el valor del campo de fuerzas F en Qk . Si la longitud del subarco Ck es muy pequeña, F será, aproximadamente constante, con valor Fk sobre Ck y el desplazamiento del objeto a lo largo de Ck estará aproximado por el vector secante Rk que va desde Pk 1 hasta p k entonces el trabajo realizado por la fuerza cuando el
Rk ) t sumando los t trabajos a lo largo de todos los subarcos tenemos una estimación del trabajo total realizado por F cuando el objeto se mueve sobre C. Cuando t 0 , el valor limite de esta suma es la integral de F dR / dt , es decir: objeto recorre C k se puede aproximar por Wk = ( Fk
W
n R Lim Fk k t t 0 k 1 t 0
t =
C
F
dR dt = F dR C dt
Aquí F es un campo continuo de fuerza en un dominio D.
16
EJEMPLO un objeto se mueve en el campo de fuerzas F y 2i 2( x 1) yj , en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el punto (2,0) , sobre el camino elíptico x 2 4 y 2 4 hasta (2,0) y luego vuelve al punto (2,0) moviéndose sobre el eje x. Vamos a calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el objeto:
Sea C el camino total descrito por el objeto. El Trabajo total W que realiza F sobre el objeto al desplazarse este sobre C esta dado por la integral F dR . C
Dividimos C en dos partes C1 (elipse) y C 2 (segmento del eje x). Se parametriza la curva C1 así: x 2Cost, y Sent 0 t . Así R(t ) (2Cost )i (Sent ) j y dR(t ) (2Sentdt )i (Costdt ) j . Sustituyendo tenemos, F (Sen 2 t )i (4CostSent 2Sent ) j , Así W1 F dR = C1
0
(2Sen 3t 4Cos 2 tSent 2SentCost )dt 0
La curva C 2 tiene como ecuación y 0 luego, sobre ella, F 0 , y por tanto, W2 F dR 0 , por consiguiente, W W1 W2 0 0 0 C2
EJERCICIO 4. Se da un campo de fuerzas plano por la expresión F ( x 2 y 2 )i 2 xyj . Halle el trabajo total realizado por esta fuerza al mover un punto material en sentido contrario a las manecillas del reloj por el perímetro del cuadrado de vértices (0,0), (2,0), (2,2), (0,2)
Calculo de integrales curvilíneas respecto de la longitud de arco Las integrales curvilíneas de la forma
F dR C
se pueden expresar a menudo de
dR es un vector tangente ds unitario a la curva C en el punto P( x, y, z ) donde S es el parámetro longitud de dR arco. Tenemos que F dR = F ds F Tds . C C C ds En particular, el trabajo realizado por un campo de fuerzas F sobre un objeto que se mueve sobre una curva C se puede expresar en la forma W F dR F Tds . Esta integral se llama integral curvilínea de la
otras formas. Por ejemplo recordemos que T
C
C
componente tangencial de F y se puede escribir también en la forma
17
C
f ( x, y, z )ds . Existirá la integral si f es continua en C y si C es lisa a trozos,
con longitud finita. Se puede obtener una formula para calcular esta integral curvilínea observando que, si R(t ) x(t )i y(t ) j z(t )k , entonces
dR dx dy dz dx dy dz ds i j k ( )2 ( )2 ( )2 de tal forma que dt dt dt dt dt dt dt dt ds C f ( x, y, z)ds C f ( x, y, z) dt dt . Así si f es continua sobre la curva lisa C y C esta definida por R(t ) x(t )i y(t ) j z(t )k donde a t b , entonces b
f ( x, y, z )ds f ( x(t ), y(t ), z (t )) ( x ' (t )) 2 ( y ' (t )) 2 ( z ' (t )) 2 dt
C
a
EJEMPLO Hallemos ( x y 2 z )ds donde C es la curva en paramétricas dada por C
x t , y 2t , z t 1, para0 t 1 . dx dy dz Como 1 , 2, 1, dt dt dt
tenemos que
(x y
2
C
1
z )ds (t (2t ) 2 (t 1)) (1) 2 (2) 2 (1) 2 dt 0
1 6. 3
EJERCICIO 5. Calcular
t 0 4 6. Calcular 0t
( x y)ds C
( xy C
2
donde C viene dado por R(t ) (Cos 2 t )i (Sen 2 t ) j con
)ds donde C viene dado por R(t ) (Cos t )i (Sen t ) j con
2
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS Recuérdese que, en virtud del teorema fundamental del calculo si la derivada f es continua en a x b , entonces
b
a
'
b
d [ f ( x)] f ' ( x)dx f (b) f (a) a
El siguiente teorema es una generalización para las integrales curvilíneas: Sea F un campo vectorial conservativo en la región D y sea f una función potencial escalar de F , es decir, tal que f F . Entonces, si C es una curva lisa a trozos contenida completamente en D, con punto inicial P y final Q, se tiene F dR f (Q) f ( P) C
Por tanto, la integral
F dR es independiente del camino. C
Demostración
18 Probaremos este teorema en el caso en que la curva C sea lisa en D, dejando el caso mas general, en que C es lisa a trozos, como ejercicio. Supongamos que C esta definida por la función vectorial R(t ) x(t )i y(t ) j para a t b , P R(a) , Q R(b) . Como F ( x, y) f ( x, y) f x ( x, y)i f y ( x, y) j tenemos que:
F dR C
b
a
F
b dR dx dy dt [ f x ( x, y) f y ( x, y) ]dt a dt dt dt
d [ f ( x(t ), y (t )]dt regla de la cadena al revés dt = f ( x(b), y(b)) f ( x(a), y(a)) teorema fundamental del calculo. f ( R(b)) f ( R(a)) f (Q) f ( P)
=
b
a
EJEMPLO Hallemos F dR donde F (e x Seny y)i (e x Cosy x 2) j y C es el camino C
dado por R(t ) (t 3 Sen
t
t )i ( Cos( )) j . para 0 t 1 . 2 2 2 2
El calculo de esta integral por métodos parametricos es difícil y tedioso. Primero veamos que el campo vectorial F ( x, y) (e x sen y y)i (e x cos y x 2) j
es conservativo y hallemos una
función potencial:
M N luego F es y x conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que f F , observemos que debe ser M ( x, y) f x ( x, y) y N ( x, y) f y ( x, y) hacemos una Sea M (e x sen y y) y N (e x cos y x 2) , entonces
integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como f ( x, y) M ( x, y)dx (e x sen y y)dx e x sen y yx c( y) , como constante: también debe ser f y N ( x, y) calculamos la derivada parcial con respecto a y,
x dc (e sen y yx c( y )) e x cos y x igualando a y dy dc N ( x, y) e x cos y x 2 y despejando dy
así obtenemos: f y ( x, y )
dc dc e x cos y x 2 así 2 integrando hallamos que dy dy c( y) 2 y c , luego f ( x, y) e x sen y xy 2 y c . Cualquier función de esta familia es un potencial escalar de F, luego podemos tomar f ( x, y) e x sen y xy 2 y . En virtud del teorema fundamental de las integrales curvilíneas, el valor de esta integral solo depende de los valores de f en los extremos del camino C. Naturalmente hay que comprobar que se satisfacen las hipótesis del teorema para F y C. tenemos e x cos y x
19
En el extremo para t 0 se tiene que R(0) 0i [( )Cos( )] j 0i 0 j , 2 2 0 f (0,0) e Sen0 0 0 0 En el extremo correspondiente a t 1 se tiene que
R(1) [ Sen ]i [( )Cos ] j i j 2 2 2
3 f (1, ) e1 Sen 2 e 2 2 2 2 2 Aplicamos ahora el teorema fundamental de las integrales curvilíneas:
F dR f (Q) f ( P) C
3 3 -0= e f (1, ) - f (0,0) = e 2 2 2
EJERCICIO 7. Demuéstrese que no se realiza trabajo cuando, en un campo conservativo de fuerzas, se hace recorrer a un objeto un circuito cerrado, partiendo de un punto y finalizando en el mismo.
TEOREMA DE LA CURVA CERRADA PARA UN CAMPO CONSERVATIVO El campo vectorial continuo F es conservativo en una región D abierta y conexa si y solo si F dR 0 para toda curva cerrada C, lisa a trozos, contenida en C
D. Demostración
F dR es independiente del camino en la región D abierta y conexa, entonces F dR 0 para toda curva cerrada C, lisa a trozos, Si una integral curvilínea
C
C
contenida en D. En efecto, si P y Q son dos puntos del camino y CT es el camino de P a Q por la parte de arriba y C B es el camino de Q a P por la parte
F dR F dR y F dR F dR + F dR = F dR - F dR =0 Recíprocamente, si F dR 0 para toda curva cerrada C en D, de abajo, se debe tener CT
CB
CT
C
(termine la demostración). Resumiendo:
C
CT
CB
CT
20 Supongamos que F ( x, y, z ) tiene derivadas parciales primeras continuas en una región abierta y conexa D y sea C una curva lisa a trozos en D. Las condiciones siguientes son equivalentes: I.
F dR es independiente del camino en D C
II. F es conservativo, es decir, F f , para una cierta función f definida en D III.
F dR 0 para todo camino cerrado C que encierra solo puntos de D. C
EJEMPLO Demuestre que F ( xy 2 )i ( x 2 y) j es conservativo y calcule
C
xy 2 dx x 2 ydy
para la curva:
y 1 x 2 , y x ; P( Hallemos las derivadas cruzadas es conservativo y
C
2 2 , ) , Q(1,0) 2 2
2 ( xy 2 ) 2 xy , ( x y ) 2 xy por lo tanto F y x
xy 2 dx x 2 ydy =0.
EJERCICIO 8. Demuestre que F ( xy 2 )i ( x 2 y) j es conservativo y calcule para la curva:
C
xy 2 dx x 2 ydy
21
(a).
y 1 x 2 , P(
2 2 , ) , Q(1,0) 2 2
(b).
P(
2 2 , ) , Q(1,0) 2 2
El ejemplo y el ejercicio anteriores sirve para mostrar que la integral curvilínea es cero si el campo F es conservativo y el camino es cerrado. Además, si la curva no es cerrada, entonces el valor de la integral es independiente de los caminos indicados. FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS GUIA DE APRENDIZAJE NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS:
CRITERIOS DE EVALUACION:
BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO 4 3 TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE STOKES 4 HORAS Integrales múltiples, Campos vectoriales, campos conservativos, divergencia, e integrales curvilíneas. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. CALCULO, JAMES STEWART CALCULO, THOMAS FINNEY
TEMA: TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE STOKES OBJETIVO -
Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar los teoremas de green, divergencia y stokes.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 4 HORAS TEMATICA TEOREMA DE GREEN Sea D una región simplemente conexa con un borde C liso a trozos y orientado positivamente. Sí el campo vectorial F ( x, y) M ( x, y)i N ( x, y) j Es continuamente diferenciable en D tenemos que N M C (Mdx Ndy) D ( x y )dA
22 Demostración Una región estándar es una región en que ninguna recta vertical ni horizontal corta a la frontera en mas de dos puntos. Vamos a demostrar primero el teorema de Green para regiones estándar y luego indicaremos como tratar el caso general. Supongamos que D es una región estándar con borde C. Comenzamos M dxdy Mdx . demostrando que D y C Como D es una región estándar, la frontera C se compone de una porción inferior C L y una porción superior CU que son las gráficas de dos funciones
f1 ( x), f 2 ( x) respectivamente, en un cierto intervalo a x b . En esta situación podemos calcular la integral doble por integración iterada: M D y dxdy
CU
M D y dydx
b
a
(
f2 ( x)
f1 ( x )
Mdx Mdx = ( Mdx Mdx) Mdx ; C L
C L
CU
N dxdy Ndy , por lo tanto D x C
C
b b M dy )dx = M ( x, f 2 ( x))dx M ( x, f1 ( x)dx = a a y
C
D
(
Análogamente
tenemos
que
N M N M )dA dxdy dxdy = D x D y x y
Ndy (M )dx (Mdx Ndy) . Esto concluye la demostración en el caso de C
C
una región estándar.
Si D es una región no estándar, se puede descomponer en un numero finito de subregiones estándar mediante cortes horizontales y verticales, se aplica entonces a cada una de estas la demostración para regiones estándar y se suman los resultados. Las integrales curvilíneas sobre los cortes cancelan a pares, y después de las cancelaciones la única integral curvilínea que eventualmente permanece es la extendida a la frontera exterior C. Por tanto N M C (Mdx Ndy) D ( x y )dA
23
EJEMPLO Comprobemos que se verifica el teorema de Green para la integral curvilínea, ydx xdy , donde C es la curva cerrada de la figura. Primero calculamos la C
integral directamente. La curva C consta del segmento C1 del eje x desde (-1,0) hasta (1,0) seguido de la semicircunferencia C 2 desde (1,0) hasta retornar a (1,0). Parametrizamos esas dos curvas:
C1 x t , y 0 ; 1 t 1 C 2 x Coss, y Sens ; 0 s
( ydx xdy )
Así: 1
1
C
C1
( ydx xdy ) ( ydx xdy ) C2
0
0
=
(0dt t 0) (Sens (Sensds) Coss(Coss)ds) = ( Sen 2 s Cos 2 s)ds
Ahora calculemos esa misma integral utilizando el teorema de Green. Observese que la curva frontera es simple y M y , N x , luego F ( x, y) yi xj es continuamente diferenciable. El dominio D esta definido por las relaciones, 0 y 1 x 2 , 1 x 1 . Aplicamos ahora el teorema de Green: 1 1 x 2 x ( y) ( ydx xdy ) ( ) dA C D x y 1 0 2dydx 1 2 AREA DEL SEMICIRCULO= 2( ) (1) 2 2
EJERCICIO 1. Halle el trabajo realizado por la fuerza F ( x, y) ( x xy 2 )i 2( x 2 y y 2 Seny ) j sobre un objeto que recorre el camino cerrado en el plano una vez , dibujado en la siguiente figura:
24
AREA COMO UNA INTEGRAL CURVILINEA Sea D una región plana simplemente conexa con borde C liso a trozos. El área 1 A de la región D es igual a la integral A ( ydx xdy ) 2 C Demostración Sea F ( x, y) y)i xj . Como F es continuamente diferenciable en D, se puede aplicar el teorema de Green. 1 c( ydx xdy ) D ( x ( x) y ( y))dA D2dA luego A 2 C ( ydx xdy ) EJEMPLO
x2 y2 1 tiene área igual a ab a2 b2 Las ecuaciones paramétricas de la elipse son x aCost, y bSent , 0 t 2 1 1 2 A ( ydx xdy ) = ((bSent )(aSentdt ) (aCost )(bCostdt )) = ab 2 C 2 0 Demostremos que la elipse
EJERCICIO 2. Calcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: él circulo x 2 y 2 4 3. Calcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: el trapecio de vértices, (0,0), (4,0), (0,3), (1,3) . Forma alternativa del teorema de Green El teorema de Green se puede expresar de una forma que se generaliza facilmente a 3 . Para ello debe observarse que, si F ( x, y) M ( x, y)i N ( x, y) j , entonces
25 i j k N M N M )i ( )j( )k = ( rot F XF z z x y x y z M N 0 Así podemos escribir el enunciado del teorema de Green en la forma F dR (rotF k )dA . Cuando generalicemos este resultado lo llamaremos C
D
el teorema de Stokes. FORMULA INTEGRAL Sea F ( x, y) M ( x, y)i N ( x, y) j sobre una región D con borde C liso a trozos. Entonces
C
F Nds divFdA , donde N es el vector normal unitario a C hacia D
afuera. En efecto, sea C definida por R(s) x(s)i y(s) j ; el vector tangente unitario T a C es: T x ' (s)i y ' (s) j , así el unitario normal hacia fuera es Aplicando el teorema de Green N y ' (s)i x ' (s) j . b b dy dx ' ' C F Nds a (Mi Nj ) ( y (s)i x (s) j)ds a (M ds N ds )ds C ( Ndx Mdy) M N ( )dxdy divFdA . Cuando generalicemos este resultado lo D x D y llamaremos el teorema de la divergencia. EJERCICIO 4. Un Astronauta esta atrapado en una habitación alienígena sujeto a un campo del lado oscuro de la fuerza, de ecuación xy 3 xy 2 2 Suponiendo que el F ( x, y) ( ye 2 xy )i ( xe 3x y Cosy) j . astronauta esta en (0,0) y la puerta de salida esta en el (5,4). Halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar. INTEGRALES DE SUPERFICIES
Una superficie es lisa si tiene un plano tangente en todo punto y es lisa a trozos si consta de un numero finito de piezas que son superficies lisas. Por ejemplo una esfera es lisa y un cubo es liso a trozos, porque consta de seis caras lisas y dos caras adyacentes se cortan en una arista, donde la superficie no es lisa.
26 Una superficie es orientable si es lisa con un vector normal unitario N que varia continuamente con el punto. Una superficie cerrada es la que limita un sólido. La región encerrada por S se llama el interior y la otra se llama el exterior. La normal N es una normal hacia fuera si apunta hacia el exterior; si apunta hacia el interior es una normal hacia adentro. No nos interesaran superficies lisas a trozos con una sola cara, como la banda de mobius, que se obtiene retorciendo media vuelta una tira de papel y pegando los extremos. De ahora en adelante la palabra superficie significara superficie orientable lisa a trozos. Sea S un conjunto de puntos de 3 . Un punto frontera de S en un punto P tal que cualquier esfera de centro P contiene puntos de S y puntos que no están en S. La frontera de S es el conjunto de todos sus puntos frontera. El conjunto S es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. Una región sólida es acotada si esta contenida en una esfera. Vamos ahora a definir la integral de superficie de una función escalar g. Supongamos que g esta definida y es continua sobre una superficie S. Se hace una partición de S en n subregiones y designamos por S k el área de la kesima de ellas. Sea Pk* un punto arbitrariamente elegido en la subregion kn
esima, para k=1,2,...,n
Se forma la suma
g (P k 1
* k
)S k y se toma el limite
cuando la mayor S k tiende a cero. Si este limite existe se llama integral de superficie de g sobre S, y se designa por
S
g ( x, y, z )dS . Cuando una superficie
se proyecta en el plano xy en una región R xy y S se representa por z f ( x, y)
f x2 f y2 1dAxy , donde dAxy es dxdy o dydx o rdrd si dAxy
, entonces dS
esta dada en coordenadas polares, Así Si S es una superficie definida por z f ( x, y) y R xy su proyección en el plano. Si f , f x , f y , son continuas en R xy y g es continua en S, entonces la integral de superficie de g sobre S es:
S
g ( x, y, z )dS = g ( x, y, f ( x, y))( ( f x ( x, y)) 2 ( f y ( x, y)) 2 1)dAxy Rxy
Si tomamos g=1, la integral da el área de la superficie: A. Superficie =
dS S
EJEMPLO Calculemos la del plano
S
g ( x, y, z )dS donde g ( x, y, z ) xz 2 x 2 3xy y S es la porción
2x 3 y z 6
Rxy : 0 x 1;
que se proyecta sobre el cuadrado unidad
0 y 1.
En la ecuación del plano despejamos z: z 6 2 x 3 y y f y ( x, y) 3 , luego dS (2) 2 (3) 2 1dAxy 14dAxy , por tanto
f x ( x, y) 2 ,
27
S
g ( x, y, z )dS = ( xz 2 x 2 3xy ) 14dAxy =
Rxy
S
1 1
( x(6 2 x 3 y) 2 x 3xy ) 14dydx 14 6 xdydx = 6 14 xdydx 3 14 2
Rxy
0 0
Una aplicación útil de la integrales de superficie es la de hallar el centro de masa de una lamina delgada cuya forma es la de una superficie S, como muestra la figura: Supongamos que ( x, y, z ) es la densidad (masa por unidad de área) en un punto ( x, y, z ) de la lamina, entonces la masa total, m de la lamina viene dada por una integral doble, que es la siguiente: m ( x, y, z )dS S
Si designamos por C ( x, y, z ) al centro de masa de la lamina, se tiene: 1 1 1 x x ( x, y, z )dS , y y ( x, y, z )dS , z z ( x, y, z )dS S S m m m S
EJEMPLO Hallemos la masa de una lamina de densidad ( x, y, z) z que tiene la forma del hemisferio z a 2 x 2 y 2 . Comenzamos calculando dS 1
zx
1
1 2 1 (a x 2 y 2 ) 2 (2 x) ; z y (a 2 x 2 y 2 ) 2 (2 y ) ; dS z x2 z y2 1dAxy = 2 2
1 2
a(a x y ) dAxy . 2
2
2
Así
la
masa
del
hemisferio 1
S
esta
dada
por
1
m ( x, y, z )dS = zdS = (a 2 x 2 y 2 ) 2 a(a 2 x 2 y 2 ) 2 dAxy = a 3 S
S
Rxy
INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES Muchas aplicaciones de las integrales de superficie necesitan de la integral de la componente normal, de un campo vectorial F dado, es decir, de una integral de la forma F NdS , donde N es el unitario normal exterior (hacia afuera) de S
la superficie S.. Consideremos el ejemplo siguiente:
28 EJEMPLO
Calculemos
F NdS S
donde F xyi zj ( x y)k y S es la región triangular
del plano x+y+z=1 contenida en el primer octante. Supóngase que N es la normal que apunta en sentido opuesto al origen. Sea, g ( x, y) z 1 x y . Entonces g x 1, g y 1 y el unitario normal buscado 1 (1)i (1) j k 1 (i j k ) . Luego, F N ( xy z x y) , luego es N = 2 2 3 3 (1) (1) 1
FN
1 1 ( xy 1 x y x y ) = ( xy 1) ,y dS g x2 g y2 1dAxy = 3dAxy 3 3
La pieza que necesitamos del rompecabezas antes de calcular la integral es hallar la proyección de S sobre el plano xy. En la figura vemos que es una región triangular, que designamos por T como el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que, para todo x, entre 0 y 1, la y varia entre 0 y 1-x, finalmente 1 1 x 1 13 tenemos que F NdS = ( xy 1) 3dA xy = ( xy 1)dydx = T S 0 0 24 3 SUPEFICIES EN PARAMETRICAS Si una superficie S se define parametricamente por la función vectorial R(u, v) x(u, v)i y(u, v) j z(u, v)k en la región D del plano uv, el área de S
esta dada por
D
Ru Rv dudv , entonces si f es continua en D, la integral de
superficie de f sobre D esta dada por
S
f ( x, y, z )dS
D
f ( R) R u R v dudv
EJEMPLO Calculemos
( x y z)dS S
donde S es la superficie definida en paramétricas
por R(u, v) (2u v)i (u 2v) j (u 3v)k , 0 u 1,
0v2
Si entonces Como R xi yj zk , x 2u v, y u 2v, z u 3v . f ( x, y, z) x y z tenemos que f ( R) 2u v u 2v u 3v . También Ru 2i j k , Rv i 2 j 3k , tenemos que tenemos:
29
i Ru Rv 2
j 1
k 1 5i 5 j 5k .
( x y z)dS =
Así
S
1 2 3
f ( x, y, z )dS
S
f ( R) R u R v dudv =
D
2 1
0
(4u 2v)(5 0
3dudv) = 40 3
EJERCICIOS 5. Calcule la integral dada, donde S es el hemisferio x 2 y 2 4 con z 0
( x 2 y)dS , (c). ( x y ) zdS Calcule la integral ( x y )dS donde S es la superficie limitada por arriba
(a). 6.
zdS , S
(b).
2
S
2
S
2
2
S
por el hemisferio z 1 x 2 y 2 y por abajo0 por el plano z=0. 7. Calcular, (a).
F NdS S
y suponga que N es la normal hacia fuera.
F xi 2 yj 3zk y S es la parte del plano 15x 12 y 3z 6 que yace
sobre el cuadrado unidad 0 x 1,
0 y 1
(b). F x 2 i y 2 j z 2 k y S es el trozo del plano z y 1 que esta dentro del cilindro x 2 y 2 1 8. Calcule
( x y S
2
z )dS
donde
S
es
la
superficie
definida
por
es
la
superficie
definida
por
R(u, v) u 2 i vj uk , 0 u, v 1
9. Calcule
( x S
2
y z )dS
donde
S
R(u, v) ui u 2 j vk , 0 u 2 , 0 v 1 10. Halle la masa de la lamina homogénea que tiene la forma de la superficie S:
(a). S es la superficie z=10-2x-y, con z 0,
y0
(b). S es la superficie z= 1 x 2 y 2 , con z 0 (c). S es el triángulo con vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) EL TEOREMA DE STOKES El teorema de Green se puede enunciar así,
C
F dR (rotF k )dA . Donde A A
es la región plana limitada por la curva cerrada C. El teorema de stokes es una generalización de este resultado a superficies con borde en 3 . ORIENTACION COMPATIBLE. La superficie S queda a la izquierda de alguien que camine sobre la curva C en el sentido contrario a las de las agujas del reloj. Es decir la orientación de la curva cerrada C trazada sobre la superficie orientable S es compatible con la orientación de S si la orientación de C es la del sentido contrario a las agujas del reloj respecto de la normal hacia fuera de la superficie. Si se apunta el pulgar derecho hacia la normal hacia fuera, los dedos se curvaran en el sentido de una curva C de orientación compatible.
30 Sea S una superficie orientada con vector normal unitario N y supongamos que S tiene un borde C, que es una curva cerrada, lisa a trozos, cuya orientación es compatible con la de S. Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable en S se verifica que:
C
F dR (rotF N )dS S
DEMOSTRACION (ejercicio para el lector) Interpretación física del teorema de Stokes Recordemos que la densidad de fluido es el campo vectorial, F V , donde V es la velocidad de un fluido con densidad . La densidad del fluido mide el volumen de fluido que cruza la superficie S por unidad de tiempo y se llama también el flujo de F a través de S. Supongamos que la superficie S esta en la región en la que el fluido fluye. Si N es el unitario normal a S, entonces F N es la componente del flujo en dirección normal a S.- Entonces la masa del fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo en la dirección normal a la superficie esta dada por una integral de superficie, que se llama una integral de flujo. y esta dada por
F NdS S
Si V es el campo de velocidades del flujo de un fluido, entonces rot V mide la tendencia del fluido a rotar o formar remolinos. Normalmente si el fluido fluye a través de la superficie S, la tendencia rotacional variara de punto a punto en la superficie y la integral de superficie (rotV N )dS medirá la tendencia rotatoria S
acumulada sobre toda la superficie S. El teorema de stokes nos dice que esta tendencia rotatoria acumulada es igual a la integral curvilínea, V dR . Para interpretar esta integral curvilínea C
recuérdese que se puede escribir en la forma,
V Tds , C
en función del
parámetro longitud de arco s y el vector unitario tangente T a la curva. Así la integral curvilínea suma la componente tangencial del campo de velocidades V sobre el borde C y es razonable interpretar V Tds como una medida de la C
circulación del fluido sobre C. Lo que esto quiere decir, (rotV N )dS V Tds donde el miembro de la izquierda mide la tendencia S
C
acumulada de un fluido a hacer remolinos a través de una superficie S y el de la derecha mide la circulación de un fluido a lo largo de una curva C. En física y otras áreas aplicadas se usa el teorema de stokes como una herramienta para enunciar propiedades generales.
31 Test de campo conservativo Si F y Rot F son continuos en la región simplemente conexa D, entonces F es conservativo en D si y solo si rot F=0 en D.
(rotV N ) S
En efecto, Si F es conservativo, sea f una función potencial escalar o sea tal que F f , entonces por las propiedades de la rotacional rotF F f 0 . Recíprocamente, si rot F = 0 sea C la curva borde de la superficie lisa S, el teo de stokes dice
C
F dR (rotF N )dS 0dS 0 S
S
luego la integral es independiente del camino y F debe ser conservativo.5 EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Sea D una región del espacio limitada por una superficie orientable lisa y cerrada S. Si F es un campo vectorial continuo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en D. Entonces
F NdS divFdV S
D
donde N es el unitario normal hacia afuera a la superficie S. DEMOSTRACION (ejercicio para el lector) Aplicaciones del teorema de la divergencia Si F(x,y,z) es la tasa de flujo por unidad de área la integral de superficie F NdS representa la tasa neta de flujo hacia fuera por unidad de volumen. S
Esta es la razón del nombre de divergencia, porque,
F NdS divFdV . S
D
La integral de la izquierda es una integral de flujo y así determina el flujo total de fluido a través de la superficie S por unidad de tiempo. La integral de la derecha mide el mismo flujo de fluido calculando el fluido hacia fuera de pequeños cubos. EJERCICIOS 3 11. Sea, F ( ) y 2 i 2 xyj yzk , donde S es el triángulo de vértices (1,0,0), 2 (0,1,0), y, (0,0,1) que esta contenido en el plano x+y+z=1 recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba. Compruebe que se verifica el teorema de stokes. 1 12. Calcule ( y 2 dx zdy xdz ) donde C es la curva intersección del plano C 2 x+z=1 y el elipsoide, x 2 2 y 2 z 2 1, orientada en el sentido de las manecillas del reloj, tal como se ve desde el origen.
32 13. Demuestre que el campo vectorial F yzi xzj xzk es conservativo en 3 14. Calcule
(rotF N )dS S
donde F xi y 2 j ze xy k y S es la porción de la
superficie z 1 x 2 2 y 2 con z 0 15. Sea F 2 xi 3 yj 5zk y sea S el hemisferio z 9 x 2 y 2 , junto con el disco x 2 y 2 9 en el plano xy. Compruebe que se verifica el teorema de la divergencia. 16. Calcule F NdS donde F x 2 i xyj x 3 y 3 k y S es la superficie del S
tetraedro formado por el primer octante cortado por el plano x+y+z=1, con unitario normal N hacia afuera.