Cap´ıtulo 5

Trigonometr´ıa plana Objetivos Familiarizar al alumno con las propiedades fundamentales de los ´angulos. Manejar las razones trigonom´etricas de un ´angulo y las relaciones que se derivan de ellas. Conocer las funciones trigonom´etricas inversas. Resolver las ecuaciones trigonom´etricas que se reducen a ecuaciones algebraicas. Construir tri´angulos a partir de tres de sus elementos.

5.1. 5.1.1.

´ Angulos Definici´ on

La trigonometr´ıa, como su nombre griego indica, es la parte de las matem´aticas que trata de la medida de los tri´angulos, en el plano en nuestro caso. Para ello, tenemos que introducir previamente el concepto de ´ angulo, que no es m´as que una medida de la apertura de un arco de circunferencia comprendido entre dos puntos. Dicha medida debe ser independiente de la escala de la circunferencia. Por ello, la medida natural de los ´angulos, α=

longitud(arco) , radio(circunferencia)

(5.1)

es una magnitud adimensional, ya que es un cociente de longitudes. No obstante, se acostumbra a asociar al ´angulo as´ı medido una unidad llamada radi´ an. As´ı un ´angulo que cubra toda la circunferencia medir´a 2π radianes, un ´angulo llano (media circunferencia) medir´a π radianes y un ´angulo recto (cuarto de circunferencia) medir´a π/2 radianes. La ventaja de esta definici´on es que la longitud de un arco de ´angulo α de una circunferencia de radio R es simplemente l = Rα. Como convenio, los ´angulos se consideran positivos (negativos) si se recorren en sentido antihorario (horario). En ese mismo sentido se numeran los 1

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

2

+




α β

−

Figura 5.1: Los ´angulos recorridos en sentido antihorario se toman positivos

cuadrantes de la circunferencia. Los ´angulos de magnitud absoluta inferior a π/2 se denominan agudos y los comprendidos entre π/2 y π se denominan obtusos. Menos natural, aunque de uso com´ un a lo largo de la historia, es medir los ´angulos en grados. Una circunferencia completa abarca 360o , con lo cual la conversi´on de grados a radianes es sencilla, ´angulo(radianes) = ´angulo(grados)

5.1.2.

π . 180

(5.2)

Propiedades geom´ etricas

Con s´olo la definici´on de ´angulo, ya podemos obtener una serie de propiedades geom´etricas importantes. Por ejemplo, ´angulos opuestos por el v´ertice o ´angulos con lados paralelos entre s´ı son iguales.

π−α α π−α α

α

α

π/2−α

π−α

π/2−α

α π−α

α

´ Figura 5.2: Angulos opuestos o ´angulos con lados paralelos o perpendiculares son iguales Lo mismo sucede con los ´angulos que tienen los lados perpendiculares entre s´ı, son iguales. La suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es π, un ´angulo llano. De esta propiedad se deduce, segmentando un pol´ıgono de n lados en n − 2 tri´angulos, la propiedad de que los ´angulos interiores de un pol´ıgono de n lados suman (n − 2)π.

´ 5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS

3

β β γ

γ

α

Figura 5.3: Los ´angulos interiores de un tri´angulo suman π

Figura 5.4: Los ´angulos interiores de un pol´ıgono de n lados suman (n − 2)π

O que un ´angulo inscrito en una circunferencia abarca la mitad que el mismo ´angulo, pero con v´ertice en el centro de la circunferencia, dividiendo el ´angulo en dos tri´angulos is´osceles.

5.2. 5.2.1.

Razones trigonom´ etricas Definici´ on

Un ´angulo se puede determinar por dos de sus razones trigonom´etricas, aunque se definen un total de seis razones (seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) entre los catetos a y b, con su signo, y la hipotenusa de tri´angulo rect´angulo definido a partir del ´angulo, b , R R cosec α = , b sin α =

a , R R sec α = , a

cos α =

b , a a cot α = . b

tan α =

(5.3)

Como se trata de cocientes de longitudes, estas magnitudes dependen exclusivamente del ´angulo, no del tama˜ no de la circunferencia. Sus nombres quedan m´as claros si trazamos sus valores, por semejanza de tri´angulos, sobre una circunferencia de radio unidad:

      

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

4

α

πα

α β

πβ

α

β

β

Figura 5.5: Un ´angulo inscrito abarca la mitad que el mismo ´angulo centrado

α

Figura 5.6: Razones trigonom´etricas

El seno es el segmento recto que cierra el ´angulo para formar un tri´angulo rect´angulo en el seno de la circunferencia. La tangente es el segmento de recta tangente a la circunferencia comprendido dentro del ´angulo. La secante es la hipotenusa que corta (secante) a la circunferencia en el tri´angulo rect´angulo con cateto tangente a esta. Las otras tres razones, coseno, cotangente y cosecante hacen referencia a las mismas magnitudes, pero para el ´angulo complementario β = π/2 − α. De ah´ı el prefijo co. Otra interpretaci´on geom´etrica, m´as u ´ til, es aquella en la que el coseno y el seno se corresponden precisamente con la proyecci´on de la hipotenusa del tri´angulo rect´angulo sobre los catetos contiguo y opuesto al ´angulo, respectivamente.

5.2.2.

Relaciones entre las razones trigonom´ etricas

Tres de estas razones son claramente las rec´ıprocas de las otras tres, cosec α =

1 , sin α

sec α =

1 , cos α

cot α =

1 , tan α

(5.4)

y otras dos se obtienen por cociente de dos razones trigonom´etricas, tan α =

sin α , cos α

cot α =

cos α , sin α

(5.5)

       

               

´ 5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS

α=

β

5

β

=

α

α

α

β

α

α

β

α

α=

β

Figura 5.7: Interpretaci´on geom´etrica de las razones trigonom´etricas

pero existen tambi´en otras m´as que se obtienen de la aplicaci´on del teorema de Pit´agoras, R2 = a2 + b2 , cos2 α + sin2 α = 1 ,

1 + tan2 α = sec2 α ,

1 + cot2 α = cosec2 α . (5.6)

Se demuestran f´acilmente, cos2 α + sin2 α 1 + tan2 α

b2 R2 a2 + 2 = 2 =1, 2 R R R sin2 α cos2 α + sin2 α 1 = = = sec2 α . = 1+ 2 2 cos α cos α cos2 α

=

Con todas estas relaciones, es sencillo expresar, salvo a lo sumo un signo, todas las razones trigonom´etricas en funci´on de una sola. La arbitrariedad en el signo se resuelve teniendo en cuenta el cuadrante en el que se ubica el ´angulo. Por ejemplo, expresemos todas las razones en funci´on del seno: sin α tan α = ± p , 1 − sin2 α

p cos α = ± 1 − sin2 α,

donde el signo del coseno es positivo (negativo) si el ´angulo pertenece al primer o al cuarto (segundo o tercer) cuadrante.

5.2.3.

Valores de las razones trigonom´ etricas

Como el segmento a es positivo en el primer y cuarto cuadrante, el segmento b lo es en el primer y segundo cuadrante y el radio es siempre positivo, tenemos la distribuci´on de signos para las razones trigonom´etricas que se indica en el cuadro. sin cos tan

I + + +

II + -

III +

IV + -

Cuadro 5.1: Signos de las razones trigonom´etricas

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

6

0 π/6 π/4 π/3 π/2

sin 0 1/2 √ √2/2 3/2 1

cos √1 √3/2 2/2 1/2 0

tan √0 3/3 √1 3 ±∞

Cuadro 5.2: Valores de las razones trigonom´etricas La obtenci´on de los valores de los razones trigonom´etricas para ´angulos sencillos no es complicado: Para el ´angulo cerrado, 0, a = R, b = 0, con lo cual sin 0 = 0, cos 0 = 1, tan 0 = 0. Para el ´angulo recto, π/2, a = 0, b = R, con lo cual sin(π/2) = 1, cos(π/2) = 0 y la tangente de π/2 no est´a definida. El ´angulo de π/4 corresponde a un tri´angulo rect´angulo is´o√sceles, la popular √ 2/2 = b, con lo cual sin(π/4) = 2/2, cos(π/4) = escuadra. Por tanto, a = √ 2/2, tan(π/4) = 1.

1

1

π/4 √2/2

π/6 π/6

π/4

π/3

1/2

√3/2

1

π/3

1/2

√2/2 Figura 5.8: Razones trigonom´etricas para π/4, π/3 y π/6 Finalmente, los ´angulos de π/6 y π/3 corresponden a un cartab´on. Por √ tanto, √ sin(π/6) = 1/2 = cos(π/3), cos(π/6) = 3/2 = sin(π/3), tan(π/6) = 3/3 = cot(π/3).

5.2.4.

Reducci´ on de razones al primer cuadrante

Las razones trigonom´etricas de los ´angulos en el resto de cuadrantes se obtienen reduciendo los ´angulos al primer cuadrante por las f´ormulas para ´angulos suplementarios, opuestos y sim´etricos. Por ejemplo, ya hemos visto que ´angulos complementarios (su suma es un ´angulo recto) intercambian sus valores de seno y coseno:

sin(π/2 − α) = cos α ,

cos(π/2 − α) = sin α ,

tan(π/2 − α) = cot α . (5.7)

Ejemplo 5.2.1 Razones trigonom´etricas de π/3 a partir de las de π/6.

 ! !

´ 5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS

α

7

π−α

β α

α

α

Figura 5.9: Razones trigonom´etricas de ´angulos complementarios y suplementarios

Estos ´angulos son complementarios, ya que π/3 + π/6 = π/2. Por tanto, √ 3 sin(π/3) = cos(π/6) = , 2

cos(π/3) = sin(π/6) =

tan(π/3) =

√

1 , 2

3.

Para ´angulos suplementarios (su suma es un ´angulo llano), s´olo cambia el signo del segmento a: sin(π − α) = sin α ,

cos(π − α) = − cos α ,

tan(π − α) = − tan α . (5.8)

Ejemplo 5.2.2 Razones trigonom´etricas de 3π/4 a partir de las de π/4. Estos ´angulos son suplementarios, ya que 3π/4 + π/4 = π. Por tanto, sin(3π/4) = sin(π/4) =

√ 2 , 2

cos(3π/4) = − cos(π/4) = −

√ 2 , 2

tan(3π/4) = −1 .

% # $ " # " %

Para ´angulos opuestos cambian los signos de ambos segmentos, a y b:

π+α

α

α

α

−α

Figura 5.10: Razones trigonom´etricas de ´angulos opuestos y sim´etricos

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

8

sin(π + α) = − sin α ,

cos(π + α) = − cos α ,

tan(π + α) = tan α ,

(5.9)

lo cual muestra que la tangente es peri´odica de periodo π. Ejemplo 5.2.3 Razones trigonom´etricas de 4π/3 a partir de las de π/3. Estos ´angulos son opuestos, ya que 4π/3 = π + π/3. Por tanto, √ 1 3 sin(4π/3) = − sin(π/3) = − , cos(4π/3) = − cos(π/3) = − , 2 2 √ tan(4π/3) = − 3 . Para ´angulos sim´etricos, cambia el signo de b: sin(−α) = − sin α , cos(−α) = cos α , tan(−α) = − tan α ,

(5.10)

lo cual muestra que el seno y la tangente son funciones impares y que el coseno es par. Ejemplo 5.2.4 Razones trigonom´etricas de 7π/4 a partir de las de π/4. Estos ´angulos son sim´etricos, ya que 7π/4 es equivalente a −π/4, sin m´as que restarle 2π. Por tanto, √ √ 2 2 , cos(7π/4) = cos(π/4) = , sin(7π/4) = − sin(π/4) = − 2 2 tan(7π/4) = −1 .

5.2.5.

Gr´ aficas de las funciones trigonom´ etricas

Todas estas funciones son peri´odicas de periodo 2π (salvo la tangente y la cotangente, que tienen periodo m´as corto, π), ya que los segmentos orientados que dan lugar a las razones no distinguen el n´ umero de vueltas enteras (m´ ultiplos de 2π) que da el ´angulo. As´ı pues, sin α = sin(α + 2nπ) ,

cos α = cos(α + 2nπ) ,

tan α = tan(α + nπ) ,

donde n es cualquier n´ umero entero. Con todos estos datos, estamos en condiciones de representar las gr´aficas de las funciones trigonom´etricas: El seno se anula en los m´ ultiplos de π y alcanza su valor m´aximo, uno, en π/2 y su valor m´ınimo, menos uno, en −π/2. Por su parte, el coseno se anula en ±π/2 y alcanza su valor m´aximo, uno, en 0 y su valor m´ınimo, menos uno, en ±π. Por tanto, la gr´afica de la tangente es siempre creciente y la funci´on se anula en los m´ ultiplos de π y no est´a definida en ±π/2. Para el resto de valores se reconstruyen las gr´aficas por periodicidad. Las gr´aficas del resto de funciones se trazan f´acilmente, teniendo en cuenta que son las rec´ıprocas de las anteriores.

) + . ( / * '( )* + )* + & , & *

´ 5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS

9

1

−π

−π/2

π/2

π

−1

Figura 5.11: Gr´aficas de las funciones seno, coseno y tangente

La cosecante, como rec´ıproca del seno, toma todos los valores, excepto los comprendidos en (−1, 1). Toma el valor uno, en π/2 y el valor menos uno, en −π/2. No est´a definida en los puntos donde se anula el seno, los m´ ultiplos de π. La secante toma asimismo todos los valores, excepto los comprendidos en (−1, 1). Toma el valor uno en cero y el valor menos uno, en ±π. No est´a definida en los puntos donde se anula el coseno, ±π/2. Finalmente, la cotangente es siempre decreciente, se anula en ±π/2 y no est´a definida en los m´ ultiplos de π.

2 84 967 12 2 2 3 6 8 6 8 3 4 5 7 5 7 0 0:;01:;7 π

π

π

π

Figura 5.12: Gr´aficas de las funciones secante, cosecante y cotangente

5.2.6.

Razones trigonom´ etricas de la suma de ´ angulos

Otro aspecto interesante es la expresi´on de las razones trigonom´etricas de la suma de dos ´angulos, sin(α + β)

= sin α cos β + cos α sin β ,

cos(α + β)

= cos α cos β − sin α sin β , tan α + tan β = , 1 − tan α tan β

tan(α + β)

(5.11)

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

10

que se extienden a restas sin m´as que cambiar β por −β, teniendo en cuenta la paridad de las funciones, sin(α − β) cos(α − β)

= =

tan(α − β)

=

sin α cos β − cos α sin β , cos α cos β + sin α sin β , tan α − tan β . 1 + tan α tan β

(5.12)

La demostraci´on de las f´ormulas del seno y del coseno del ´angulo suma son sencillas si nos fijamos en la figura, donde por sencillez se ha tomado el radio de la circunferencia igual a la unidad. En la figura podemos ver que a = cos β y que b = sin β, por lo que c = cos β cos α y d = cos β sin α. Por su parte, e = sin β cos α y f = sin β sin α. Y claramente obtenemos sin(α + β) = d + e ,

cos(α + β) = c − f ,

expresiones que se corresponden con las f´ormulas que queremos demostrar.

α

e

b α

β α

a

d

f c

Figura 5.13: Seno y coseno de suma de ´angulos Finalmente, la demostraci´on de la f´ormula de la tangente se obtiene por cociente de las anteriores, tan(α + β)

= =

sin(α + β) sin α cos β + cos α sin β = cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β sin β sin α cos α + cos β sin α sin β 1 − cos α cos β

=

tan α + tan β , 1 − tan α tan β

dividiendo numerador y denominador por cos α cos β. Ejemplo 5.2.5 Razones trigonom´etricas de π/12 a partir de las de π/4 y π/6. Observamos que π/12 = π/4 − π/6. Por tanto,

√ 2 √ sin(π/12) = sin(π/4) cos(π/6) − cos(π/4) sin(π/6) = ( 3 − 1) , 4 √ 2 √ ( 3 + 1) , cos(π/12) = cos(π/4) cos(π/6) + sin(π/4) sin(π/6) = 4 √ √ 3−1 tan(π/12) = √ =2− 3. 3+1

´ 5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS

5.2.7.

11

Razones trigonom´ etricas del ´ angulo doble

De estas relaciones es sencillo obtener la relaci´on que existe entre las razones trigonom´etricas de un ´angulo y su doble, sin m´as que tomar β = α, sin 2α = 2 sin α cos α , cos 2α = cos2 α − sin2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2 sin2 α , 2 tan α tan 2α = . 1 − tan2 α

(5.13)

Ejemplo 5.2.6 Razones trigonom´etricas de π/3 a partir de las de π/6. Claramente, π/3 = 2π/6. Por tanto, √ 3 , sin(π/3) = 2 sin(π/6) cos(π/6) = 2 3 1 1 cos(π/3) = cos2 (π/6) − sin2 (π/6) = − = , 4 4 2 √ tan(π/3) = 3 .

5.2.8.

Suma de razones trigonom´ etricas

Tambi´en son u ´ tiles las relaciones que expresan la suma y la resta de dos razones trigonom´etricas, sin A + sin B

=

sin A − sin B

=

cos A + cos B

=

cos A − cos B

=

A+B A−B cos , 2 2 A−B A+B cos , 2 sin 2 2 A+B A−B 2 cos cos , 2 2 A+B A−B sin . −2 sin 2 2 2 sin

(5.14)

La demostraci´on es sencilla si se recuerdan las expresiones (5.11-5.12). Por ejemplo, si sumamos las expresiones de la suma y diferencia de dos ´angulos, obtenemos sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β , lo cual nos sugiere que la soluci´on de nuestro problema est´a en denominar A = α + β, B = α − β, de donde despejamos α = (A + B)/2, β = (A − B)/2 y llegamos a la expresi´on buscada, sin A + sin B = 2 sin

A+B A−B cos . 2 2

La expresi´on de la resta se obtiene cambiando B por −B en la f´ormula anterior. Para las expresiones del coseno se procede de id´entica manera. Estas expresiones son u ´ tiles para obtener la suma de dos ondas sinusoidales como una u ´ nica onda.

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

12

5.2.9.

Producto de razones trigonom´ etricas

Tambi´en es u ´ til saber reducir un producto de razones trigonom´etricas a una sola, por ejemplo, a la hora de integrar, cos(α − β) − cos(α + β) , 2 sin(α + β) + sin(α − β) , sin α cos β = 2 cos(α + β) + cos(α − β) , (5.15) cos α cos β = 2 como se comprueba directamente de las identidades para el ´angulo suma. sin α sin β

5.2.10.

=

Razones trigonom´ etricas del ´ angulo mitad

Tambi´en es interesante conocer las razones trigonom´etricas de un ´angulo mitad de uno dado, r 1 − cos α , sin(α/2) = ± 2 r 1 + cos α cos(α/2) = ± , 2 sin α . (5.16) tan(α/2) = 1 + cos α Los signos depender´an del cuadrante al que corresponda el ´angulo. Para demostrarlas, partimos de la razones trigonom´etricas del ´angulo doble, aplicadas a α/2, sin α =

2 sin(α/2) cos(α/2) ,

cos α =

cos2 (α/2) − sin2 (α/2) = 2 cos2 (α/2) − 1 ,

de las cuales podemos despejar cos2 (α/2) y tan(α/2), 2

cos (α/2) = tan(α/2) =

r 1 + cos α 1 + cos α ⇒ cos(α/2) = ± , 2 2 sin α sin α sin(α/2) = = . cos(α/2) 2 cos2 (α/2) 1 + cos α

La expresi´on del seno se obtiene a partir de la del coseno y de la identidad sin2 (α/2) + cos2 (α/2) = 1. Ejemplo 5.2.7 Razones trigonom´etricas de π/12 a partir de las de π/6. Claramente, π/12 = π/6/2. Como el ´angulo est´a en el primer cuadrante, tanto seno como coseno son positivos. Por tanto, s √ √ 2− 3 2 √ sin(π/12) = = ( 3 − 1) , 4 4 s √ √ 2+ 3 2 √ = ( 3 + 1) , cos(π/12) = 4 4 √ 1 √ =2− 3. tan(π/12) = 2+ 3

´ 5.3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

5.3.

13

Funciones trigonom´ etricas inversas

Las funciones trigonom´etricas inversas son aquellas que proporcionan los ´angulos correspondientes a razones trigonom´etricas dadas. Por ello se denominan anteponiendo la palabra arco a la raz´on trigonom´etrica correspondiente, arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocosecante, arcosecante y arcocotangente. No deben confundirse con las funciones rec´ıprocas: la cosecante es la rec´ıproca del seno, pero la inversa es el arcoseno. 1 = cosec α, arcsin x = α ⇒ x = sin α . sin α La definici´on de funciones trigonom´etricas inversas presenta una notable ambig¨ uedad, ya que, recordemos, las funciones trigonom´etricas son peri´odicas. As´ı, si α verifica sin α = x, tambi´en sin(α+2nπ) = x. Adem´as, en un periodo las funciones trigonom´etricas toman dos veces todos los valores. Se tratar´ıa, pues, de funciones multivaluadas. Para eliminar esta ambig¨ uedad, restringimos la imagen de las funciones trigonom´etricas a medio periodo, de modo que sean funciones univaluadas. Para las inversas de algunas funciones impares (arcoseno, arcotangente y arcocosecante) tomamos como imagen el intervalo [−π/2, π/2], de modo que se mantenga la propiedad de imparidad. Para el resto (arcocoseno, arcosecante y arcocotangente) tomamos imagen comprendida en el intervalo [0, π]. As´ı, la funci´on arcoseno es una funci´on impar, estrictamente creciente, definida en el intervalo [−1, 1] con imagen en [−π/2, π/2], que se anula s´olo en x = 0. La funci´on arcocoseno es una funci´on positiva, estrictamente decreciente, definida en el intervalo [−1, 1] con imagen en [0, π], que se anula s´olo en x = 1. La funci´on arcotangente es una funci´on impar, estrictamente creciente, definida en toda la recta real, con imagen en (−π/2, π/2), que se anula s´olo en x = 0 y con dos as´ıntotas horizontales en y = ±π/2.

BC D< < => E ? BC D => ? @ A BC D C F< < => A π

π/2

1

−1

−π/2

Figura 5.14: Gr´aficas de las funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente Por su parte, la funci´on arcocosecante es una funci´on impar, estrictamente decreciente, definida en toda la recta real, salvo en el intervalo (−1, 1), con imagen en el intervalo [−π/2, π/2], salvo en el cero, ya que tiene una as´ıntota horizontal en y = 0. La funci´on arcosecante es una funci´on positiva, estrictamente creciente, definida en toda la recta real, salvo en el intervalo (−1, 1), con imagen en el intervalo

14

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

[0, π], salvo en el valor π/2, ya que tiene una as´ıntota horizontal en y = π/2, y que se anula en x = 1. La funci´on arcocotangente es una funci´on positiva, estrictamente decreciente, definida en toda la recta real, con imagen en (0, π), que no se anula nunca y con dos as´ıntotas horizontales en y = 0 y en y = π.

L N K G HG I J M LM N LM NSTG HI J O P I HI O P I M R QR QST π

π

π

Figura 5.15: Gr´aficas de las funciones arcosecante, arcocosecante y arcocotangente

5.4.

Ecuaciones trigonom´ etricas

Las ecuaciones trigonom´etricas son aquellas en las que aparecen las funciones trigonom´etricas y sus inversas. En general, no son resolubles anal´ıticamente. Por ejemplo, la sencilla ecuaci´on x = cos x s´olo se puede resolver num´ericamente.

1

U X Y U Z \ X ] [ VW

−1

Figura 5.16: Soluciones de la ecuaci´on x = cos x

Por ello, en esta secci´on s´olo consideraremos ecuaciones trigonom´etricas que se puedan reducir tras simplificaciones trigonom´etricas y cambios de variable a ecuaciones algebraicas, cuya soluci´on sea conocida. Dar una teor´ıa completa de las ecuaciones trigonom´etricas ser´ıa harto in´ util, ya que la casu´ıstica es enorme. Por ello es preferible abordar casos concretos, de modo que aparezcan las ideas fundamentales que subyacen a este tipo de problemas.

´ 5.4. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

15

Como filosof´ıa general, se debe tratar de reducir todos los ´angulos que aparezcan como inc´ognitas a uno solo, haciendo uso de las identidades para sumas y productos de ´angulos. Y cuando se haya logrado, si es posible, que aparezca un u ´ nico ´angulo, se tratar´a de reducir las razones trigonom´etricas a una sola, mediante las relaciones que se han establecido entre ellas. Finalmente se tomar´a la u ´ nica raz´on trigonom´etrica como inc´ognita y se resolver´a la ecuaci´on algebraica resultante. Ejemplo 5.4.1 Resolver cos x − 2 sin x cos x = 0. Esta ecuaci´on se puede factorizar como cos x(1 − 2 sin x) = 0, que tiene como soluciones las de cos x = 0 (x = π/2 + nπ), y las de sin x = 1/2 (x = π/6 + 2nπ, x = 5π/6 + 2nπ), donde n es un entero cualquiera. Por tanto, el conjunto de soluciones es   π/2 + nπ π/6 + 2nπ x= .  5π/6 + 2nπ Ejemplo 5.4.2 Resolver tan x + sec2 x − 1 = 0.

En primer lugar, reducimos a una sola raz´on, eliminando la secante mediante sec2 x = tan2 x + 1, con lo cual nos queda una ecuaci´on en la tangente tan s´olo, tan2 x + tan x = 0, que se reduce a una ecuaci´on algebraica tomando y = tan x, y 2 + y = 0 ⇔ y = −1 , 0 , que se corresponden con las soluciones x = −π/4 + nπ, nπ. Ejemplo 5.4.3 cos x + cos 2x = 0. Podemos reducir esta expresi´on por la f´ormula de la suma de dos cosenos, cos x + cos 2x = 2 cos(3x/2) cos(x/2) = 0 , que ya es sencilla de resolver, ya que las soluciones son las de cos(x/2) = 0 (x = π + 2nπ) y las de cos(3x/2) = 0 (π/3 + 2nπ/3). Como las del segundo factor incluyen a las del primero, la respuesta es x = π/3 + 2nπ/3. Tambi´en pod´ıa haberse resuelto desarrollando el coseno del ´angulo doble, cos x + cos 2x = 2 cos2 x + cos x − 1 = 0 , que es equivalente a la ecuaci´on 2y 2 + y − 1 = 0, con y = cos x. Las soluciones son y = −1, 1/2, que se corresponden con x = π + 2nπ y x = ±π/3 + 2nπ, que coinciden con las anteriores. Ejemplo 5.4.4 sin x − cos x = 1. No es conveniente expresar el seno en funci´on del coseno para reducirla a una sola raz´on, ya que se introducen radicales. Es m´as conveniente elevarla al cuadrado, 1 − cos2 x = sin2 x = (1 + cos x)2 = 1 + cos2 x + 2 cos x ,

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

16

con lo cual la ecuaci´on a resolver es cos x(1 + cos x) = 0 y las soluciones de la ecuaci´on son x = π/2 + nπ, x = π + 2nπ, es decir, resumiendo, x = π/2 + nπ/2. Este modo de resolver plantea problemas, ya que las potencias introducen soluciones esp´ ureas (si elevamos al cuadrado x = 1, obtenemos x2 = 1 y la soluci´on falsa x = −1 aparece). Por tanto, hay que comprobar que todas las soluciones lo son realmente. En nuestro caso, sin(π/2 + nπ/2) − cos(π/2 + nπ/2) = cos(nπ/2) + sin(nπ/2) , y s´olo se obtiene el valor uno para x = π + 2nπ y x = π/2 + 2πn. Finalmente, hay que resaltar que no todas las soluciones de las ecuaciones algebraicas conducen a soluciones de las ecuaciones trigonom´etricas, ya que el recorrido de las funciones trigonom´etricas est´a limitado, salvo en la tangente y en la cotangente. Ejemplo 5.4.5 2 sec2 x + sec x = 1. Esta ecuaci´on es equivalente a 2y 2 + y − 1 = 0, con y = sec x. Las soluciones de la ecuaci´on algebraica son y = −1, 1/2. Pero no hay ´angulos con secante entre menos uno y uno, con lo cual la segunda soluci´on no es aceptable. Las u ´ nicas soluciones son las correspondientes a y = −1, x = π + 2nπ.

5.5.

Resoluci´ on de tri´ angulos

5.5.1.

Teoremas del seno y del coseno

Una de las aplicaciones m´as importantes de la trigonometr´ıa es la resoluci´on de tri´angulos. Un tri´angulo tiene tres ´angulos y tres lados. Pues bien, un tri´angulo queda determinado, normalmente, si conocemos tres de sus seis elementos. Resolver un tri´angulo es obtener los otros tres elementos. Para ello, precisamos previamente conocer dos resultados que relacionan las razones trigonom´etricas de los ´angulos de un tri´angulo con sus lados. Denotaremos por a, b, c los lados del tri´angulo y por α, β, γ sus respectivos ´angulos opuestos. Teorema del seno: Los senos de los ´angulos y los lados de un tri´angulo est´an en relaci´on de proporcionalidad, b c a = = = 2R , sin α sin β sin γ

(5.17)

donde R es el radio de la circunferencia en la que se inscribe el tri´angulo. En la figura queda claro, por la relaci´on entre ´angulos inscritos y centrados, que a/2 = R sin α. Repitiendo la relaci´on para el resto de ´angulos y lados, obtenemos el resultado enunciado. Teorema del coseno: Los lados de un tri´angulo y el coseno de uno de sus ´angulos est´an relacionados por la expresi´on, c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ .

(5.18)

ba _` ^ _` ^ ca

´ DE TRIANGULOS ´ 5.5. RESOLUCION

α

17

α α

Figura 5.17: Teorema del seno

Obviamente, cuando el tri´angulo es rect´angulo, γ = π/2, recuperamos el teorema de Pit´agoras. Para demostrarlo, aplicamos el teorema de Pit´agoras al tri´angulo rect´angulo formado por la altura, el lado c y parte del lado b. La longitud de la base de este tri´angulo es b − a cos γ y la de la altura, a sin γ. Por tanto, c2

= =

(a sin γ)2 + (b − a cos γ)2 = a2 (sin2 γ + cos2 γ) + b2 − 2ab cos γ a2 + b2 − 2ab cos γ .

d f e

γ

Figura 5.18: Teorema del coseno Con estos dos resultados estamos en condiciones de resolver cualquier tri´angulo. Las soluciones que se proponen no son necesariamente las ´optimas, ya que en muchos casos se puede proceder de distintas maneras. Por ejemplo, el teorema del seno parece poco apropiado para obtener ´angulos, ya que siempre hay un ´angulo agudo y uno obtuso, α y π − α que tienen el mismo seno. Se pueden dar varios casos, seg´ un los datos de los que se disponga.

5.5.2.

Resoluci´ on de tri´ angulos

Conocidos los tres lados, a, b, c Este problema es f´acil de resolver gr´aficamente: se traza uno de los lados, a por ejemplo, y desde cada uno de los v´ertices se trazan circunferencias de radio

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

18

b y c. Donde se corten obtenemos el tercer v´ertice. Obviamente, para que haya soluci´on, es preciso que se verifique que la suma de dos de los lados sea mayor que el tercero y que la diferencia de dos lados sea menor que el tercero.

g i h β

γ

α

Figura 5.19: Construcci´on de un tri´angulo, conocidos los tres lados

Anal´ıticamente, obtenemos los ´angulos por aplicaci´on reiterada del teorema del coseno, b 2 + c2 − a 2 , 2bc

a 2 + b 2 − c2 . 2ab √ Ejemplo 5.5.1 Resolver el tri´angulo de lados a = 2, b = 1, c = 3. cos α =

cos β =

a 2 + c2 − b 2 , 2ac

cos γ =

Aplicamos el teorema del coseno para obtener los ´angulos, cos α = 0 ⇒ α =

π , 2

cos β =

√ 3 π ⇒β= , 2 6

cos γ =

1 π ⇒γ= . 2 3

Comprobamos que la suma de ´angulos es π, con lo cual tenemos la soluci´on correcta. Conocidos dos lados, a, b, y el ´ angulo comprendido entre ambos, γ Gr´aficamente est´a resuelto sin m´as que trazar los dos lados, separados por el ´angulo en cuesti´on. Anal´ıticamente se reduce al caso anterior, ya que el tercer lado, c, se obtiene por el teorema del coseno, c=

p a2 + b2 − 2ab cos γ ,

cos α =

b 2 + c2 − a 2 , 2bc

cos β =

Ejemplo 5.5.2 Resolver el tri´angulo de lados a = 1, b =

√

a 2 + c2 − b 2 . 2ac

2 y ´angulo γ = π/4.

El tercer lado y los ´angulos nos los proporciona el teorema del coseno, c=1,

√ π 2 cos α = ⇒α= , 2 4

cos β = 0 ⇒ β =

π . 2

j l k

´ DE TRIANGULOS ´ 5.5. RESOLUCION

19

β

γ

α

Figura 5.20: Construcci´on de un tri´angulo, conocidos dos lados y el ´angulo que definen

Conocidos dos lados, a, b, y un ´ angulo opuesto a uno de ellos, α Este es el caso m´as complicado de entre todos los posibles. Gr´aficamente se puede tratar de resolver trazando el lado b y el ´angulo conocido sobre uno de sus v´ertices. Esto nos da la direcci´on del lado desconocido, c. Desde el otro v´ertice del lado b debe arrancar el lado a. Para ello, trazamos una circunferencia de radio a en dicho v´ertice. Esta circunferencia puede cortar en un punto, dos o ninguno a la direcci´on del lado desconocido. Con lo cual puede haber una, dos o ninguna soluci´on a este problema.

mmo no β

γ γ

β

π−β

α

Figura 5.21: Construcci´on de un tri´angulo, conocidos dos lados y el ´angulo opuesto a uno de ellos Esta ambig¨ uedad, obviamente, se traduce en la resoluci´on anal´ıtica. Como conocemos un lado y su ´angulo opuesto, tenemos la relaci´on del teorema del seno, de donde podemos despejar el seno del ´angulo opuesto al otro lado, sin α . a Si esta magnitud, sin β, es mayor que uno, claramente no habr´a ninguna soluci´on. Si toma el valor uno, β = π/2 y el tri´angulo es rect´angulo. Si es menor que uno, habr´a dos soluciones, β, π − β, que corresponden a dos soluciones, ´angulo agudo y ´angulo obtuso (obviamente, si α es obtuso, β s´olo puede ser agudo, ya que un tri´angulo no puede tener dos ´angulos obtusos). sin β = b

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

20

El tercer ´angulo lo obtenemos aplicando que la suma de los ´angulos vale π. El tercer lado lo obtenemos, bien por el teorema del seno, bien por el teorema del coseno, γ =π−α−β ,

c=

a sin γ . sin α

Ejemplo 5.5.3 Resolver el tri´angulo de lados a = 1, b =

√ 2 y ´angulo α = π/6.

Primero obtenemos β por el teorema del seno, √ sin α 2 π 3π sin β = b = ⇒ β1 = , β2 = , a 2 4 4 lo cual proporciona dos posibilidades, un ´angulo agudo y un ´angulo obtuso. Por tanto, el tercer ´angulo puede ser, en el mismo orden, o bien γ1 = 7π/12, o bien γ2 = π/12. Finalmente, el lado c lo obtenemos por el teorema del seno, √ √ 2 √ 2 √ ( 3 + 1) , c2 = 2 sin γ2 = ( 3 − 1) , c1 = 2 sin γ1 = 2 2 con lo cual en este caso tenemos dos tri´angulos que responden a los datos del problema. Conocidos un lado, a, y dos ´ angulos Realmente, conocemos los tres ´angulos, ya que el tercero lo despejamos de la expresi´on, α + β + γ = π. Gr´aficamente, construimos el tri´angulo trazando los dos ´angulos en los v´ertices del lado conocido. Prolongando los lados definidos por los ´angulos hasta que se corten, obtenemos el tercer v´ertice.

p r q β

γ

α

Figura 5.22: Construcci´on de un tri´angulo, conocidos dos ´angulos y un lado Anal´ıticamente, obtenemos los dos lados que faltan por el teorema del seno: α+β+γ =π ,

b=

a sin β , sin α

c=

a sin γ . sin α

Ejemplo 5.5.4 Resolver el tri´angulo de lado a = 1 y ´angulos β = π/3, γ = π/4.

´ DE TRIANGULOS ´ 5.5. RESOLUCION

21

El tercer ´angulo es α = π − β − γ = 5π/12. Los lados restantes nos los proporciona el teorema del seno, √ √ √ 6( 3 − 1) b= , c= 3−1, 2 teniendo en cuenta que sin(5π/12) = cos(π/12).

su t β

γ

α

Figura 5.23: Construcci´on de un tri´angulo, conocidos sus tres ´angulos

Conocidos los tres ´ angulos Este caso presenta una notable ambig¨ uedad, ya que, como los ´angulos son magnitudes adimensionales, no tenemos ning´ un dato que proporcione informaci´on alguna sobre el tama˜ no del tri´angulo. Hay infinitos tri´angulos semejantes que son soluci´on de este problema. La relaci´on entre sus lados es la dada por el teorema del seno, a = λ sin α ,

b = λ sin β ,

c = λ sin γ ,

donde λ puede ser cualquier n´ umero positivo. Ejemplo 5.5.5 Resolver el tri´angulo de ´angulos α = π/12, β = π/4, c = 2π/3. Aplicamos el teorema del seno para obtener los ´angulos, √ √ √ 2 √ 2 3 a= ( 3 − 1)λ , b = λ, c= λ, 4 2 2 salvo una constante de escala, λ. Resumiendo los resultados anteriores, la casu´ıstica es la siguiente:

CAP´ITULO 5. TRIGONOMETR´IA PLANA

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Lados 3 2 2 1 0

´ Angulos 0 1 (interior) 1 (exterior) 2 3

Soluciones ´ Unica ´ Unica 0, 1, 2 ´ Unica Infinitas

Cuadro 5.3: Casos de resoluci´on de tri´angulos