Nivel: Bachillerato

Tema: OPTIMIZACIÓN

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NÚMEROS. N1. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 120, tales que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. N2. Expresa el número 90 como suma de tres enteros positivos de modo que el 2º sea doble que el 1º y su producto sea máximo. Determina el valor de dicho producto. N3. Descompón el número 14 en suma de tres números reales positivos tales que uno de ellos sea el doble del otro, y la suma de los cuadrados de los tres sea la menor posible. N4. Dos números no negativos suman 40. ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar la suma del cubo del 1º más el triple del cuadrado del 2, y cuánto valen los número en dicho caso? N5. Halla un número cuya suma con 25 veces su inverso sea mínima. N6. Dado r > 0, prueba que entre todos los números positivos x e y tales que x2+y2=r, la suma x+y es máxima cuando x=y. N7. Dado S>0, prueba que entre todos los números positivos x e y tales que x+y=S, la suma x2+y2 es mínima cuando x=y. n

N8. Dados n números reales a1 ,a 2 ...a n . Demuestra que la suma

∑(x − a ) k =1

k

2

es mínima

cuando x es la media aritmética de a1 ,a 2 ...a n . FIGURAS PLANAS: RECTÁNGULOS. R1. Un jardinero dispone de 120 metros de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en 5 lotes iguales con vallas paralelas a uno de los lados. ¿Qué dimensiones deberá tener el terreno para que el área sea la mayor posible? (Haz un dibujo de la situación) R2. Encuentra de entre todos los rectángulos de perímetro 2p el que tiene diagonal mínima. R3. Para la construcción de una ventana en el vestíbulo de una sala de conciertos se duda en la forma: como un cuadrado, como un círculo o con forma de un cuadrado con un semicírculo en su parte superior. Determina las dimensiones de la ventana si se desea que tenga la máxima superficie y se exige que el perímetro tenga 16 metros. R4. Se quiere construir un marco para una ventana de 6 m2 de superficie. El metro lineal del tramo horizontal cuesta 24 € y el del tramo vertical 36 €. Calcula las dimensiones que debe tener la ventana para que el coste del marco sea mínimo. ¿Cuál sería el coste? R5. Un granjero dispone de 300 € para cercar una porción rectangular de terreno adyacente a un río, usando a éste como un lado del área cercada (construirá tres cercas). El coste de la cerca paralela al río es de 5 € por metro instalado, y el de la cerca para cada uno de los dos lados restantes es de 3 € por metro instalado. Calcula las dimensiones del área máxima que pueda ser cercada. R6 De todos los rectángulos de área 100 dm2, halla las dimensiones del que tenga la diagonal mínima. R7. Demuestra que entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado es el de perímetro mínimo. R8. Un granjero tiene L metros de alambre para cercar un terreno de pasto rectangular adyacente a un muro de piedra. ¿Qué dimensiones darán el área máxima al terreno cercado? R9. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular de área A adyacente a un muro de piedra. ¿Qué dimensiones exigen la mínima cantidad de alambre de la cerca? Departamento de Matemáticas Julio Fernando García Vicente

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R10. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Demuestra que entre todos los cuadrados inscritos en el cuadrado dado, el de área mínima tiene de longitud L 2 2 . R11. Cada lado de un cuadrado tiene una longitud L. Halla el tamaño del cuadrado de área máxima que puede circunscribirse al cuadrado dado. R12. Se quiere construir el marco de una ventana rectangular de 8 metros cuadrados. El metro lineal de tramos horizontal cuesta 2,5 €, mientras que el metro lineal de tramos vertical cuesta 5 €. Determina las dimensiones de la ventana para que el coste sea mínimo. ¿Cuánto cuesta el marco? FIGURAS PLANAS: TRIÁNGULOS. T1. En un triángulo isósceles de 12 cm de base y 10 cm de altura se inscribe un rectángulo, de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales. ¿Qué dimensiones tendrá el rectángulo de área máxima? T2. De todos los triángulos de 10 cm de hipotenusa, ¿cuál es el que mayor área tiene y cuánto mide ésta? T3. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10, halla las dimensiones de aquel cuya área sea máxima. T4. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima? T5. Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a es lado de 5 cm. Encuentra un punto sobre la altura de modo que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima. T6. Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es 1, halla el mayor valor de 2a+b. T7. Un triángulo isósceles está inscrito en una circunferencia de radio R. Suponiendo el ángulo α en el vértice, comprendido entre 0 y π/2, tal como se indica en la figura. ¿Cuál α es el triángulo de perímetro mínimo?

T8. Determina las dimensiones del triángulo isósceles de área máxima inscrito en una circunferencia de radio 12 cm. FIGURAS PLANAS: CÍRCULOS. C1. Se considera un círculo de radio r. Probar que el rectángulo de área máxima inscrito en el círculo dado es un cuadrado. Considerando el círculo inscrito en dicho cuadrado, calcular el cociente entre las áreas de los dos círculos. C2. En una circunferencia de radio R se traza la tangente en un punto cualquiera C y una cuerda AB paralela a dicha tangente. Obtenemos así un triángulo ABC, cuya área queremos que sea la mayor posible. Demuestra que, para ello, la distancia de C a la cuerda debe ser 3/2 del radio. C3. En una semicircunferencia de diámetro AB = 2R se traza una cuerda CD paralela a AB. a) ¿Cuál debe ser la longitud de esa cuerda para que el área del trapecio ABCD sea máxima? b) Sea E el punto medio del arco CD y construyamos el pentágono ACEDB. Calcula la longitud de la cuerda CD para que el área del pentágono sea máxima. Departamento de Matemáticas Julio Fernando García Vicente

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C4. Inscribe en una circunferencia dada el cuadrilátero de mayor área que tenga dos lados paralelos, uno el doble de largo que el otro (Lewis Carroll). FIGURAS PLANAS: VARIOS. V1. Halla las dimensiones de un rectángulo de perímetro 60 cm de modo que el cilindro engendrado al girar en torno a uno de sus lados tenga volumen máximo. V2. Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de radio R, ¿cuál es el de área máxima? V3. Determina las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en una semicircunferencia de 40 cm de diámetro. V4. Con un alambre de 1m de longitud se quiere construir un cuadrado y un triángulo equilátero. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que tengan área mínima? V5. Demuestra que entre todos los rectángulos de área dada, el cuadrado tiene el círculo circunscrito mínimo. V6. Halla el trapecio de mayor área que puede inscribirse en un semicírculo, teniendo la base inferior en el diámetro. V7. Una ventana tiene la forma de semicírculo montado sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal transparente, mientras que el semicírculo es de cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de área transparente. El perímetro total (exterior) de la ventana es fijo. Hallar las proporciones de la ventana que proporcionen FIGURAS SÓLIDAS. E1. Se desean construir cajas de embalaje en forma de prisma cuadrangular recto de modo que la suma de las tres dimensiones sea 72. ¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la capacidad de las cajas sea máxima? E2. De todas los botes cilíndricos de capacidad 1 litro, ¿cuál tiene superficie mínima? E3. Halla el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R en cada uno de los casos siguientes: • el volumen del cilindro es máximo, • el área lateral del cilindro es máxima. E4. Se considera una caja sin tapadera (consta de cuatro caras laterales y el fondo). Sabiendo que el fondo es un cuadrado y conociendo que el área total (de las cinco caras) es de 12 cm2, hallar sus dimensiones para que tenga la mayor capacidad posible. E5. Queremos diseñar un envase cuya forma sea un prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral empleamos un material y para la base empleamos otro material de doble precio. Halla las dimensiones (arista básica y lateral) para que su precio sea mínimo. E6. Halla el volumen máximo de que puede engendrar un triángulo rectángulo cuyos catetos suman 12 al girar en torno de uno de sus catetos. E7. Un carpintero recibe una plancha cuadrada de 81 cm2 de superficie con el encargo de construir una caja de base cuadrada, sin tapa, que tenga la mayor capacidad posible. ¿Qué dimensiones debe tener la caja? E8. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y capacidad máxima, ¿cuáles deben ser su radio y altura? E9. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8 dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que la superficie exterior sea mínima. E10. En un cuadrado de lado 10 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 50 cm2. ¿Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor posible? Departamento de Matemáticas Julio Fernando García Vicente

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E11. Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que el precio sea el menor posible. E12. Calcula la generatriz y el radio que debe tener un bote cilíndrico de área total 150 cm2 para que su volumen sea máximo. E13. Si de un disco de radio R quitamos un sector circular, podemos construir un vaso cónico. Determina el sector circular que debemos quitar para que el volumen del vaso sea máximo. E14. Entre todos los cilindros circulares rectos de área lateral dada, demuestra que la menor esfera circunscrita tiene el radio igual al radio del cilindro multiplicado por 2 . E15. Dado un cono circular recto de radio R y altura H. Halla el radio y la altura del cilindro circular recto de mayor área lateral que pueda inscribirse en el cono. E16. Halla las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que pueda inscribirse en un cono circular recto de radio R y altura H. E17. Calcula el área y el radio del cono de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. E18. Un cilindro se ha obtenido haciendo girar un rectángulo alrededor del eje OX, y todo el rectángulo está comprendido entre la curva y = x ( x 2 + 1) y el eje OX. Halla el

cilindro de volumen máximo. E19. Un trozo de madera de 12 dm de largo tiene forma de tronco de cono circular recto de diámetros 4 dm y (4+h) dm en sus bases, con h>0. Determina, en función de h, el volumen del mayor cilindro circular recto que se puede cortar con ese trozo de madera, de modo que su eje coincida con el eje del tronco de cono. RECTAS Y FUNCIONES. F1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,2) y corta a los ejes de coordenadas determinando, en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. x 2 y2 + = 1 . Deduce la posición del F2. El punto P = (x, y) recorre la elipse de ecuación 25 9 punto P para la que su distancia al origen de coordenadas O = (0, 0) sea máxima. Ídem para que sea mínima. 1 F3. Calcula el punto de la curva y = en el que la pendiente de la recta tangente 1+ x2 sea máxima. F4. De todas las rectas que pasan por el punto (1, 2), encuentra las que determinan con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área máxima. 1 F5..Dada la función f : [1,e ] → \ definida por f (x) = + ln x , determina cuáles de las x rectas tangentes a la gráfica de f tiene la máxima pendiente. F6. Dentro del triángulo limitado por loe ejes OX y OY y la recta r: 2x+y=8, se inscribe un rectángulo de vértices (a, 0), (0, 0), (a, b) y (0, b). Determina el punto (a, b) al que corresponde el rectángulo de área máxima. F7. Sea x > 0, si f(x)=5x2+Ax−5, siendo A una constante positivo. Halla el menor valor de A para que f(x) ≥ 24 para todo x > 0.

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MISCELÁNEA O1. Una persona amante de las matemáticas desea donar sus 3600 libros a dos bibliotecas, A y B. Sus instrucciones son que los lotes se hagan de modo que el producto del número de libros destinados a la biblioteca A por el cubo de los libros destinados a B sea máximo. Determina la cantidad de libros destinados a cada biblioteca. O2. Deseamos comprar 18 ordenadores y en el mercado sólo hay de 2 tipos. Sabemos que el beneficio que podemos obtener de su uso está dado por el producto del número de ordenadores de un tipo que se compra por el cuadrado del otro número de ordenadores que se adquiere. Determinar el número de ordenadores de cada tipo que debemos adquirir para que el beneficio sea máximo. O3. Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora (de longitud despreciable) dirigiéndose ambas al punto de corte; sus velocidades son 60 km/h y 120 km/h y han salido simultáneamente de estaciones situadas, respectivamente a 40 y 30 km del punto de corte. Halla la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo que pasa desde que inician su recorrido. Halla el valor mínimo de dicha distancia. O4. Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista en el tema señala que, dada la estructura de la empresa, sólo puede optar por dos tipos de alarmas: del tipo A o del tipo B. Además, afirma que la seguridad de la empresa se puede expresar como el producto entre e número de alarmas del tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas del tipo B. ¿Cuántas alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad? O5. El valor, en millones de €, de una empresa en función del tiempo t viene dado por f(t)=9−(t−2)2, 0