FILTROS Definición y aplicaciones de los Filtros. Un filtro es una red de dos puertos cuyo objeto es dejar pasar a la salida un conjunto de frecuencias, eliminando o atenuando las frecuencias restantes. En circuitos de comunicaciones se usan los filtros para sintonización de canales, eliminación de ruido e interferencias, supresión de frecuencias (por ejemplo la señal piloto de 19 KHz de FM estéreo). En circuitos de audio se usan para controles de tono, circuito de “loudness”, ecualizadores y redes separadoras de frecuencia para altavoces. Frecuencias de corte de un filtro. Son las frecuencias en que la ganancia en dB (de potencia, voltaje o corriente) es igual a la ganancia máxima en dB menos 3 dB. En estas frecuencias la ganancia de potencia es igual a ½ del valor máximo, y la ganancia de voltaje o corriente corresponde la ganancia máxima dividida por

2.

Las frecuencias de corte dividen al eje de frecuencias en intervalos alternados en que la ganancia es mayor o igual a la de las frecuencias de corte, e intervalos en que la ganancia es menor a la de las frecuencias de corte. Bandas pasantes y rechazadas de un filtro. Ancho de banda. • Las bandas pasantes de un filtro se definen como las gamas de frecuencia en que la ganancia (de potencia, voltaje o corriente) es mayor o igual a la ganancia máxima en dB menos 3 dB. • Las bandas rechazadas son aquellas en que la ganancia (de potencia, voltaje o corriente) es menor que la ganancia máxima en dB menos 3 dB.

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• El ancho de banda de un filtro es el ancho de su banda pasante, y se calcula restando la frecuencia superior menos la frecuencia inferior del intervalo correspondiente a la banda pasante. Clasificación de los filtros. Filtro pasa-bajas

Filtro pasa-altas

Frecuencia de corte: f0

Frecuencia de corte: f0

Banda pasante: f ≤ f 0 .

Banda pasante: f ≥ f 0 .

Filtro pasa-bajas ideal:

Filtro pasa-altas ideal:

1, si f ≤ f 0 H( f ) =  0, si f > f 0

0, si f ≤ f 0 H( f ) =  1, si f > f 0

H(f) 1

H(f) 1 f

0

0

f0

f f0

Filtro pasa-banda

Filtro rechaza-banda

Frecuencias de corte: f1 y f2

Frecuencias de corte: f1 y f2

Banda pasante: f1 ≤ f ≤ f 2

Banda rechazada: f1 < f < f 2

Fltro pasa-banda ideal:

Filtro rechaza-banda ideal:

0, si f <  H ( f ) = 1, si f1 ≤  0, si f >

f1 f ≤ f2 f2

H(f) 1 0

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1, si f ≤ f1  H ( f ) = 0, si f1 < f < f 2  1, si f ≥ f 2 H(f) 1

f f1

0

f2

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f f1 f 2

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FILTROS DE PRIMER ORDEN. • Tienen sólo un elemento almacenador de energía. • Tienen una sola frecuencia de corte, por lo que sólo pueden ser pasa-bajas o pasa-altas. • Tienen una atenuación de 20 dB/década en la banda rechazada. Configuraciones de filtros pasa-bajas y pasa-altas de primer orden Filtros pasa-bajas RL serie

Filtros pasa-altas RC serie

L + Vi

C R

−

+ Vi −

+ Vo −

RC paralelo + Vi C −

R

R

RL paralelo + Vi L −

+ Vo −

RC activo (ganancia unitaria)

R

+ Vi −

C

+ Vo −

RC activo (ganancia unitaria)

− R

+ Vo −

− + Vo −

C + Vi −

+ R

Vo −

• La frecuencia de corte de todos los filtros RC es ω0 = 1 / (RC ). • La frecuencia de corte de todos los filtros RL es ω0 = R / L . • La impedancia de entrada de los circuitos paralelo puede ser nula.

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Configuraciones de filtros pasa-bajas y pasa-altas activos de primer orden (II) RC activo inversor

RC activo inversor R2

R2 R1 + Vi

C − + Vo

−

R1

C

−

+ Vi

− + Vo

−

−

ω0 = 1 / (R2C )

ω0 = 1 / (R1C )

RC activo no inversor

RC activo no inversor R2

R2 R1

R1

−

− C + Vi −

R

+ Vo −

R + Vi −

+ Vo

C

−

ω0 = 1 / (RC )

ω0 = 1 / (RC )

• La ganancia máxima de los filtros activos inversores es GV = − R2 / R1 . • La ganancia máxima de los filtros activos no inversores es GV = 1 + R2 / R1 .

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Filtros pasa-banda y rechaza-banda de primer orden. Se pueden construir filtros pasa-banda o elimina-banda de primer orden combinando un filtro pasa-bajas y uno pasa-altas de primer orden. • Filtro pasa-banda: o La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas debe ser la frecuencia superior del pasa-banda. o La frecuencia de corte del filtro pasa-altas debe ser la frecuencia inferior del pasa-banda. Opción 2

Opción 1 Filtro pasa-bajas f0=f 2

Filtro pasa-altas f0=f 1

Filtro pasa-altas f0=f1

Filtro pasa-bajas f0=f 2

• Filtro rechaza-banda: o La frecuencia de corte del filtro pasa-bajas debe ser la frecuencia inferior del rechaza-banda. o La frecuencia de corte del filtro pasa-altas debe ser la frecuencia superior del rechaza-banda. Filtro pasa-bajas f0=f1 Sumador Filtro pasa-altas f0=f2

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FILTROS DE SEGUNDO ORDEN. • Incorporan dos elementos almacenadores de energía. En el caso de filtros pasivos, es necesario que haya un condensador y un inductor. • Pueden tener una o dos frecuencias de corte, por lo que pueden realizarse todos los tipos básicos de filtro. • Tienen una atenuación de 40 dB/década en la banda rechazada. Circuitos resonantes. En circuitos pasivos de segundo orden es factible encontrar una frecuencia a la cual los efectos capacitivo e inductivo se contrarrestan, quedando el circuito puramente resistivo. A esta condición se le denomina resonancia, a la frecuencia a la cual ocurre la resonancia se le denomina frecuencia de resonancia. Circuito resonante RLC serie. C

L

+ Vi −

R

+ Vo −

• Impedancia equivalente: Z eq = R + j (X L − X C ) = R + j (ωL − 1 /(ωC ) ) • Frecuencia de resonancia: ω 0 = 1/ LC • A la frecuencia de resonancia: Z eq = R

I = V/R

VR = V

VL = jV X L / R

VC = − jV X C / R

Z eq es mínimo, I es máximo, VR es máximo • A frecuencias distintas a la de resonancia: Z eq > R ⇒ I (ω ) < I (ω0 ) ⇒ VR (ω ) < VR (ω0 ) = V

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• Si se toma la salida del circuito en la resistencia, el circuito se comporta como un filtro pasa-banda. Frecuencias de corte y ancho de banda • Frecuencias de corte: VR = V / 2 ⇒ Z eq = 2 R ⇒ ωL − 1 /(ωC ) = ± R

Resolviendo, se tiene:

ω2 =

R 2C 2 + 4 LC + RC 2 LC

ω1 =

R 2C 2 + 4 LC − RC 2 LC

Nótese que ω1 ⋅ ω 2 = ω0 2 . • Ancho de banda: AB = ω 2 − ω1 = R / L . Factor de calidad Q • El factor de calidad Q de un filtro pasabanda resonante es una medida de cuán selectivo es el filtro, y se define como: Q=

ω0 AB

• Para el filtro resonante RLC serie, Q es: Q=

ω0 1 L X (ω0 ) = = AB R C R

• Cuando Q>>1, se tiene ω 2 ≈ ω0 + AB / 2 y ω1 ≈ ω0 − AB / 2 . Circuito resonante RLC paralelo.

I

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C L

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R

+ Vo −

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• Admitancia equivalente: Yeq = G + j (BC − BL ) = 1/ R + j (ωC − 1/(ωL) ) • Frecuencia de resonancia: ω 0 = 1/ LC • A la frecuencia de resonancia: Yeq = 1 / R

V = IR

IR = I

I L = − jI B L / G

I C = jI BC / G

Yeq es mínimo, V es máximo, I R es máximo • A frecuencias distintas a la de resonancia: Yeq > 1 / R ⇒ V (ω ) < V (ω0 ) = IR

• El circuito se comporta como un filtro pasa-banda. Frecuencias de corte y del ancho de banda • Frecuencias de corte: I R = I / 2 ⇒ Yeq = 2 / R ⇒ ωC − 1 /(ωL) = ±1 / R

Resolviendo, se tiene: L2 / R 2 + 4 LC + L / R ω2 = 2 LC

L2 / R 2 + 4 LC − L / R ω1 = 2 LC

Nótese que ω1 ⋅ ω 2 = ω0 2 . • Ancho de banda: AB = ω 2 − ω1 = 1 / RC . Factor de calidad Q • Para el filtro resonante RLC paralelo, su factor de calidad es: Q=

ω0 C B(ω0 ) =R = AB L G

• Cuando Q>>1, se tiene ω 2 ≈ ω0 + AB / 2 y ω1 ≈ ω0 − AB / 2 .

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FILTROS PASA-BAJAS DE SEGUNDO ORDEN (O SUPERIOR). Filtro pasa-bajas pasivo. • Se parte del filtro canónico con valores tabulados de L y C para R=1 Ω y

ω0=1 rad/s. La tabla de filtros más usada corresponde a la aproximación Butterworth, que tiene respuesta máximamente plana en la banda pasante. L1 + Vi −

L2 C1

L3 C2

C3

R=1 Ω

+ Vo −

• Se aplica escalamiento de impedancia y de frecuencia para obtener un filtro con R ≠ 1 Ω y ω0 ≠ 1 rad/seg. Escalamiento de impedancia (o magnitud). • Consiste en transformar los valores de las impedancias del filtro canónico referido a R=1 Ω a cualquier valor de R’, sin alterar la respuesta de frecuencia del filtro. También puede usarse para transformar los valores de las impedancias de un filtro diseñado para una resistencia R a cualquier otro valor de resistencia R’. • Las fórmulas para escalamiento de impedancia son: K m = R' / R

L' = K m L

C '= C / K m

Escalamiento de frecuencia. • Consiste en transformar los valores de las impedancias del filtro canónico referido a ω0 = 1 rad/seg a cualquier valor de ω0 ' , sin alterar la impedancia del filtro. También puede usarse para transformar los valores de las impedancias de un filtro diseñado para una frecuencia ω0 a cualquier otro valor de frecuencia ω0 ' .

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• Las fórmulas para escalamiento de frecuencia son: K f = ω0 ' / ω 0

L'= L / K f

C '= C / K f

Escalamiento combinado de impedancia y frecuencia. K m = R' / R

K f = ω0 ' / ω 0

L'= (K m / K f )L C '= C / (K m K f

)

Filtro pasa-bajas activo. • Se elige una configuración estándar, y se calculan los componentes con las fórmulas del filtro, o se aplica escalamiento para transformar un filtro prediseñado en un filtro que cumpla con los requerimientos. FILTROS PASA-ALTAS DE SEGUNDO ORDEN (O SUPERIOR). Filtro pasa-altas pasivo. • Se parte del filtro canónico pasa-bajas con valores tabulados de L y C para R=1 Ω y ω0=1 rad/s. • Se transforman los condensadores en inductores y viceversa, mediante las fórmulas: L'= 1 / C

C '= 1 / L

• Se aplica escalamiento de impedancia y de frecuencia para obtener un filtro con R ' ≠ 1 Ω y ω0 ' ≠ 1 rad/seg. Las fórmulas combinadas son: K m = R' / R

K f = ω0 ' / ω 0

L'= K m / (K f C ) C '= 1 / (K m K f L )

Filtro pasa-altas activo. • Se elige una configuración estándar, y se calculan los componentes con las fórmulas del filtro, o se aplica escalamiento para transformar un filtro prediseñado en un filtro que cumpla con los requerimientos.

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