34=100 жинлэлт шаардлагатай. 6. 7 ба 11 минутын 2 элсэн цаг байв. Хэрэв өндгийг 15 мин чанаж болдог бол эдгээр 2 элсэн цагийг ашиглан өндгийг хэрхэн болгох вэ? Бодолт. 15 1127 байх учраас 11 минут ба 7 минутын хоёр элсэн цагийг зэрэг тавина. Ингээд 7 минутын элсэн цаг дуусахад өндгөө чанаж эхэлнэ. Дараа нь 11 минутын элсэн цаг дуусахад дахин 11 минутын элсэн цагийг дахин эргүүлж тавина. 7. 11 бөмбөлөгний хоёр радио идэвхтэй дурын хэсэг тэдгээрт ядаж нэг радио идэвхит бөмбөлөг байгааг мэдэж болно. (Харин тэдгээрийн радио идэвхитэй вэ гэдгийг мэдэж чадахгүй)Долоон удаагийн шалгалтаар бүх радио идэвхитэй бөмбөлөгнүүдийг олж болох уу?

Хариу: Болно. Тус бүр нь 2 шаартай 5 бүлэгт хуваая. Нэг шаар үлдэнэ. 5 бүлгийг шалгана. 8. 1,2,3,4....555гр жинтэй туухайнуудыг жингээрээ тэнцүү гурван хэсэгт хуваа Бодолт. n,n 1,n 2,n 3,n 4,n 5,n 6,n 7,n 8 жинтэй есөн туухайг жингээрээ тэнцүү гурван хэсэгт 1. n,n 4,n 8 2. n 1,n 5,n 6 3. n 2,n 3,n 7 хувааж болно. Дээрх ёсоор 1,2,3,...,549=61*9 жинтэй туухайнуудыг жингээрээ тэнцүү гурван хэсэгт хувааж болно. Үлдсэн 550,551,552,553,554,555грамм жинтэй туухайнуудыг лараах байдлаар жингээрээ тэнцүү. 1.550 ба 555 2. 551 ба 554 3. 552 ба 553 гурван хэсэгт хувааж болно. 9. 127 жирхэг цаасан төгрөгийг 7н түрүүвчинд түрүүвчнүүдийг онгойлгож харахгүйгээр 1-127 хүртэлх төгрөгийг гаргаж болохоор байрлуулж болох уу? Хариу: 1,2,4,8,16,32,64 10. Хоёр хүүхэд тоглоом тоглов. 1-р хүүхэд 1-1000 хооронд нэг тоо санав. Харин 2-р хүүхэд тэр тоог олохын тулд асуулт асуух ба нэгдүгээр хүүхэд асуултанд тийм эсвэл үгүй гэж хариулах бол хоёрдугаар хүүхэд хэдэн асуулт асууж нэгдүгээр хүүхдийн санасан тоог олох вэ? Асуулт бүрээрээ өгөгдсөн тоог 2 дахин багасгана. Хариу: 10 11. Алтан зоостой уутнуудын дунд нэг уут нь хуурамч зоостой байв.Жинхэнэ ба хуурамч зооснуудыг гаднаас нь хараад ялгах боломжгүй. Жинхэнэ зооснууд 20 грамм,хуурамч зооснууд 15 грамм жинтэй.Çүүтэй жин ашиглан ямар уутанд хуурамч зоос байгааг нэг удаагийн жинлэлтээр хэрхэн олох вэ? 12. Хоёр улаан ,хоёр шар,хоёр ногоон туухайнууд байв.Хос бүрийн нэг нь хүнд нэг нь хөнгөн зоос байв.Хэрэв бүх хүнд туухайнуудын бүх жин ижил мөн бүх хөнгөн туухайнуудын жин ижил бол хоёр удаа жинлэн хос бүрийн хүнд туухайнуудыг ол. 13. 12 зоосны нэг нь хуурамч зоос байв.Хуурамч зоос нь жинхэнээсээ жингээрээ зөрөөтэй байв.(гэхдээ хүнд хөнгөн нь мэдэгдэхгүй) Туухайгүй тавган жин ашиглан 3 удаа жинлэн хуурамч зоосыг олж, хуурамч зоос нь жинхэнэ зоосноос хүнд эсвэл хөнгөн эсэхийг тогтоо. 14. Буудалд аялагч ирэв.Буудалд нэг хоноход нэг цагираг төлдөг бол а)Тэрээр 7 ширхэг хоорондоо холбоотой цагирагтай бол 7 хонохын тулд холбоосыг хичнээн удаа таслах вэ?

б) Хоорондоо холбоотой 100 ширхэг цагирагтай бол 100 хонохын тулд холбоосыг хичнээн удаа таслах вэ? А. Хариу: 2 удаа хуваана. 1,2 ба 4 цагирагтай байхад 1-ээс 7хүртэлх дурын тоог гаргаж болно. Б. Дээрх аргаар бодох боломжтой. 15. Дөрвөн ширхэг зоос байв. Туухайгүй тавган жин ашиглан таван удаа жинлэж зооснуудыг өсөх эрэмбээр байрлуулаарай. Бодолт. 1-ийг 2-той, 3-ийг 4-тэй жинлэе. Дараа нь хоёр хөнгөнийг нь жинлээд хамгийн хөнгөн зоосыг, хоёр хүндийг нь жинлээд хамгийн хүнд зоосыг олно. Дараа нь үлдсэн хоёрыг нь жинлэнэ. 16. 1,2,3,4,...,101 грамм жинтэй туухайнуудаас 19 граммын туухайг авав.Үлдсэн 100 туухайг жин болон туухайнуудынх нь тоо тэнцүү байхаар хоёр хэсэгт хуваа. Бодолт. Эхний хэсэгт 101гр ба 1гр жинтэй хоёр туухайг, хоёр дахь хэсэгт 100гр ба 2гр жинтэй хоёр туухайг. Дараа нь эхний хэсэгт 99гр ба 3гр жинтэй хоёр туухайг, хоёр дахь хэсэгт 94гр ба 4гр жинтэй туухайнуудыг байрлуулна. Гэх мэтчилэн 18гр б 84гр жинтэй туухайнууд хоёр дахь хэсэгт ортол үргэлжлүүнэ. Дараа нь 19гр жинтэй туухай байхгүй учир цаашид 83гр ба 20гр жинтэй туухайнуудыг эхний хэсэгт, 82гр ба 21гр жинтэй туухайнуудыг хоёр дахь хэсэгт оруулна. Гэх мэтчилэн хамгийн сүүлийн хос 52гр ба 51гр жинтэй туухайнуудыг хоёр дахь хэсэгт ортол үргэлжлүүлэхэд бодлогын нөхцөл биелнэ. 17. Жинхэнэ 1,2,3,5 коïейкийн зэс зооснууд харгалзан 1,2,3,5 грамм жинтэй байдаг.1,2,3,5 коïейкийн зооснуудын нэг нь хуурамч ба жинхэнээсээ жингээрээ ялгаатай байв.Туухайгүй тавган жин ашиглан хуурамч коïейкийг хэрхэн олох вэ? 18. 201 зоосны дотор 50 хуурамч зоос байв.Хуурамч зоос нь жинхэнээсээ нэг граммын зөрөөтэй (хүнд эсвэл хөнгөн ) байдаг байв.Нэг зоосыг сонгон авч жин хэмжүүр( жин нь тухайн зүйлийн жинг заадаг) ашиглан нэг удаа жинлэн сонгон авсан зоос хуурамч эсвэл жинхэнэ аль нь болохыг тогтоогоорой. 19. 6 зоосны хоёр нь бусдаасаа хөнгөн хуурамч зоос байв. Гурван удаагийн жинлэлтээр хуурамч зооснуудыг хэрхэн олох вэ? 20.1,2,3,4,5...99,100 гэх бүхэл граммаар илэрхийлэгдэх зүйлсийг жинлэж чаддаг байхын тулд хамгийн багадаа хичнээн граммын хэдэн туухай хэрэгтэй вэ?

тэмдэг тавих ба хамгийн сүүлд нийлбэр нь тэгш гарвал1-р тоглогч, сондгой гарвал 2-р тоглогч хожих бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно. 1-ээс 20 хүртлэх тоонууд дотор 10-тэгш, 10-сондгой тоо байх учир нэмэх ба хасах тэмдгээс үл хамааран ямагт тэгш тоо гарна. Иймд I-р тоглогч хожно. 4. Øатрын хөлөг дээр хоёр тоглогч ээлжлэн бие биенээ заналхийлэхгүйгээр тэрэг тавих ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон тоглогч хожигдох бол аль нь хожих вэ? Бодолт. II дахь тоглогч хожно.Нийт 8 тэрэг тавих боломжтой. Хэрвээ 7 эсвэл түүнээс бага тэрэг тавибал тэрэг тавиагүй мөр ба багана олдоно. Иймд тэдгээрийн огтолцол дээр тэрэг тавих боломжтой.

5. Ñамбар дээр 10 ширхэг нэг ба 10 ширхэг хоёрын тоо бичив. Хоёр тоглогч ээлжлэн хоёр тоо дарж тоглоно.Хэрэв дарагдсан хоёр тоо ижил бол хоёрыг, өөр бол нэгийг бичнэ.Хамгийн сүүлд 1 үлдвэл нэгдүгээр тоглогч, 2 үлдвэл хоёрдугаар тоглогч хожих бол аль нь хожих вэ? Бодолт. II дахь тоглогч хожно. Ñамбарт бичигдсэн тоонуудын нийлбэр үйлдэл бүрийн дараа хэрхэн өөрчлөгдөхийг сонирхоё.Үйлдэл бүрийн дараа самбарт бичигдсэн тоонуудын нийлбэр тэгшээр өөрчлөгдөнө. 6. Ñамбар дээр 25 ба 36 гэсэн хоёр тоо бичив. Аливаа хоёр тооны ихээс нь багыг хасаж гарсан тоог нэмж бичих ба нэг тоог давтаж бичихгүй. Хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Бодлогонд өгөгдсөн нөхцөлөөр 1-ээс 36 хүртэлх натурал тоонуудыг гаргах боломжтой.Ийм учраас 34 үйлдэл шаардлагатай .Иймд хоёр дахь тоглогч хожно. 7. Хоёр тоглогч ээлжлэн а)9х10 б)10х12 в)9х11 нүдэн хүснэгтийн ямар нэгэн дарагдаагүй нүд байгаа мөр эсвэл баганыг дарж тоглоно. Хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ? Бодолт. а)Эхлэн тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч 9x9 квадрат үүсгэнэ.Дараа нь квадратын диагоналийн хувьд тэгш хэмтэйгээр гүйцэтгэх замаар хожно. ( Диагоналийн хувьд тэгш хэмтэй гэдэг нь :мөр дарвал эсрэг тоглогч багана дарна.Нийт 9 9 18 үйлдэл хийнэ.) б) Хоёр дахь тоглогч хожно.Тэрээр эсрэг тоглогчийнхоо хийсэн үйлдлийг тэгш өнцөгтийн төвийн хувьд тэгш хэмтэйгээр дагаж гүйцэтгэнэ. 8. Øатрын хөлөг дээр хоёр тоглогч ээлжлэн бие биендээ заналхийлэхгүйгээр тэмээ тавих ба (тэмээний өнгө ижил) хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно. Хоёр дахь тоглогч эсрэг тоглогчийнхоо хийсэн үйлдлийг шатрын хөлгийг хоёр ижил хэсэгт хуваах хэвтээ шулууны хувьд тэгш хэмтэйгээр гүйцэтгэнэ. 9. Øатрын хөлөг дээр хоёр тоглогч ээлжлэн бие биендээ заналхийлэхгүйгээр морь тавих ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ?

Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно. ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно. 10.9x9 дээр хоёр тоглогч ээлжлэн бие биендээ заналхийлэхгүйгээр ноён тавих ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Эхлээд самбарын голд нэг ноён тавина. Дараа нь эсрэг тоглогчийнхоо тавьсан ноёнтой самбарын төвийн хувьд тэгш хэмтэйгээр тавих замаар тоглоно. 11.Øатрын хөлөг дээр хоёр тоглогч ээлжлэн бие биендээ заналхийлгүйгээр ба тавьсан нүдэндээ ахиж тавихгүйгээр а. тэмээ б. тэрэг нүүлгэх ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ? 12. 10x10 гэсэн самбарт хоёр тоглогч ээлжлэн 1x2 даалуу тавьж тоглоно. Давхарлахгүйгээр тавих ба хамгийн сүүлчийн үйлдэл хийсэн нь хожих бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно.Ñамбарын төвийн хувьд тэгш хэмтэйгээр тавина. 13.11x11 хүснэгтийн 1x1 нүд бүрт нэг нэг даам байв. Багана эсвэл мөрийн дагуу зэрэгцээ орших хэдэн ч даамуудыг эсвэл нэг даам авч тоглох ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно.Хоёр дахь тоглогч эсрэгтоглогчийнхоо хийсэн үйлдлийг диагоналийн хувьд тэгш хэмтэй давтан хийх замаар хожно. 14. Тус бүр нь 7,7- чулуутай хоёр хэсэг байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн нэг бүлгийн чулуунаас дурын тооны чулуу авна.Хамгийн сүүлчийн чулууг авсан тоглогч хожих бол зөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч аль хэсгээс нь хичнээн чулуу авна. Хоёр дахь тоглогч нөгөө хэсгээс нь төчнөөн чулуу авах дүрэм баримтлан тоглосоор хожно. 15. Тус бүр нь 30;20 чулуутай хоёр хэсэг байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн нэг бүлгийн чулуунаас дурын тооны чулуу авч тоглох ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ?

Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч эхлээд эхний хэсгээс 10-ийг авна.Дараа нь өмнөх бодлоготой ижил. 16.Тойрог дээр 20 цэг байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн хоорондоо огтлолцохгүйгээр диагональ татах ба хамгийн сүүлд үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдох бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Öэгүүдийг зөв 20 өнцөгтийн оройнууд гэж үзэж болно.Îройнуудыг 1-ээс 20 хүртэлх тоогоор дугаарлая.Эхлээд 1 ба 11 цэгүүдийг холбож хоёр ижил хагас тойрогт хуваана.Дараа нь холбосон диагоналийн хувьд хоёр дахь тоглогчийн татсан диагональтай тэгш хэмтэй диагональ татах замаар тоглосоор хожно. 17.9x9 самбар дээр хоёр тоглогч ээлжлэн Х, Î тавьж тоглоно.Эхлэн тоглогч X-ыг, хоёр дахь тоглогч O-ыг бичнэ.9х9 самбар дүүрсний дараа хичнээн мөр хичнээн багананд X-ээс Î-нь олон байгааг тоолж I тоглогч оноо авна.Хичнээн мөр хичнээн багананд Î-нь Х-ээс олон байгааг тоолж II тоглогч оноо авна.Хэн нь олон оноо авч хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Эхлээд төвд нь Х-ийг бичнэ. Дараа нь төвийн хувьд тэгш хэмтэй тавих замаар тоглоно. 18. Øатрын хөлөгийн а1 дээр тэрэг байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн тэрэгийг баруун эсвэл дээш нь дурын нүдэнд шилжүүлнэ. h8 дээр түрүүлж аваачсан нь хожих бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно.Хожихын тулд үйлдэл бүрээрээ a1- ээс h8 -ийг холбосон диагональ дээр байрлуулна. 19. Øатрын хөлгийн c1 дээр бэрс байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн бэрсийг баруун тийш эсвэл дээш нь эсвэл диагоналийн дагуу (баруун тийш дээшээ чиглэлээр) дурын нүдэнд шилжүүлнэ.h8 дээр түрүүлж аваачсан нь хожих бол аль нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч -оор тэмдэглэсэн нүдэнд бэрсийг шилжүүлэх замаар тоглосоор хожно. 20. Øатрын хөлгийн a1 дээр ноён байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн ноёныг баруун тийш нэг нүд эсвэл дээш нь нэг нүд эсвэл диагоналийн дагуу (баруун дээш) нэг нүд шилжүүлнэ.h8 дээр түрүүлж аваачсан нь хожих бол аль нь хожих вэ? .

Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Элэн тоглогч ноёныг үйлдэл бүрээрээ -оор тэмдэглэсэн нүднүүдэд шилжүүлэх замаар тоглосоор хожино. 21. Øатрын хөлгийн a1 дээр морь байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн морийг 2 нүд баруун нэг нүд дээш ба доош,эсвэл хоёр дээш ба нэг нүд баруун эсвэл зүүн тийшээ нүүнэ. Үйлдэл хийх боломжгүй болсон тоглогч хожигдоно. Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно.Хоёр дахь тоглогч нүүдэл бүртээ морийг -оор тэмдэглэсэн нүдэнд шилжүүлэх дүрэм баримтлан тоглоно. 22. 20 ба 21 чихэртэй хоёр хэсэг байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн хэсгүүдээс нэгийг нь идээд нөгөөг нь тэнцүү байх албагүй хоёр хэсэгт хуваана.Үйлдэл хийх боломжгүй болсон тоглогч хожигдоно.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч өөрийн ээлж бүртээ сондгой чихэртэй хэсгийг нь идээд үлдсэн тэгш чихэртэй хэсгийг нь хоёр сондгой чихэртэй хэсгүүдэд хуваана.Тэгвэл хоёр дахь хүн идсэний үлдсэн хэсгийг хуваахад нэг тэгш чихэртэй хэсэг нэг сондгой чихэртэй хэсэг үлдэнэ. 23. 1х20-хүснэгтийн хоёр захад нэг нэг даам байрлаж байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн даамнуудыг байрлаж байгаа байрлалынх нь эсрэг чигт нэг эсвэл 2 нүдээр шилжүүлнэ.(Даамыг бие биен дээгүүр нь давуулж нүүхгүй) Үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдоно. Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Хоёр дахь тоглогч хожно.Үйлдэл бүртээ эсрэг тоглогч нь нэг нүд шилжүүлбэл хоёр нүд,эсрэг тоглогч нь хоёр нүд шилжүүлбэл нэг нүд шилжүүлэх замаар хожно. 24. Хайрцганд 300 ширхэг шүдэнз байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн хайрцганд байгаа чүдэнзний тооны хагасаас ихгүйг авч тоглоно. Үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдоно.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч өөрийн ээлжиндээ чүдэнзний тоог хэлбэрийн тоо гаргахыг зорино.Жнь:Эхлэн тоглогч 255-ийг үлдээхийн тулд 45-ыг авна. 25. Тоглоом 60 гэсэн тооноос эхэлнэ.Хоёр тоглогч ээлжлэн тоог түүний дурын хуваагчаар нь багасгана.Хэн түрүүлж 0-ийг гаргасан нь хожино.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожино.Тэрээр үйлдэл бүртээ тоог 1-ээр багасгаж сондгой тоо үүсгэнэ.(Дурын сондгой тоо 1-д хуваагдана.) Хоёр дахь

тоглогч сондгой тооны хуваагч сондгой тоо байх тул тэгш тоо үүсгэнэ.Гэх мэтчилэн цаашид үргэлжлүүлнэ. 26. А. 101 ба 201 Б. 100 ба 201 ширхэг чулуутай хоёр хэсэг байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн нэг хэсгийнх нь чулууны тоог нөгөө хэсгийнх нь чулууны тооны хуваагчаар багасгана.Хамгийн сүүлчийн чулууг авсан нь хожно.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. a) хоёр дахь тоглогч хожно b)Эхлэн тоглогч хожно.Эхлэн тоглогч эхлээд тэгш хэсгээс нь 1- ийг авна.Дараа нь үйлдэл бүрийнхээ төгсгөлд хоёр сондгой тоотой хэсгийг үлдээнэ. 27. 7 ба 5 чулуутай хоёр хэсэг байв.Хоёр тоглогч ээлжлэн нэг хэсгээс дурын тооны чулуу эсвэл хоёр хэсгээс ижил тооны чулуу авна.Үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдоно. Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Бодолт нь 19-р бодлоготой ижил.Бэрс c1 дээр байсан гэе.Бэрс дээшээ нүүнэ гэдэг нь нэгдүгээр хэсгээс дурын тооны чулуу,бэрс баруун тийш нүүнэ гэдэг нь хоёрдугаар хэсгээс дурын тоонычулуу,бэрс диагоналийн дагуу нүүнэ гэдэг нь хоёр хэсгээс ижил тооны чулуу авна гэсэн үг. 28. Хоёр хэсэгт 7, 7 чулуу байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн нэг хэсгээс нь нэгийг эсвэл 2 хэсгээс нь нэг нэг чулуу авна.Үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдоно. Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Ноён c1 дээр байсан гэе.Ноён дээшээ явна гэдэг нь эхний хэсгээс нэг чулуу авах,ноён баруун тийш явна гэдэг нь хоёрдугаар хэсгээс нэг чулуу авах,ноён диагоналийн дагуу нүүнэ гэдэг нь хоёр хэсгээс нэг нэг чулуу авна гэж ойлгож болно. 29. 11;11 чулуутай хоёр хэсэг байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн нэг хэсгээс нь хоёр ба нөгөө хэсгээс нь нэгийг авна. Үйлдэл хийх боломжгүй болсон нь хожигдоно. Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.. Эхлэн тоглогч 1-хэсгээс 1-ийг, 2-хэсгээс 2- ийг авсны дараа ( 10, 9) үлдэнэ. Дараа нь хоёр дахь тоглогчтой тэгш хэмтэй аваад байхад 2-дугаар тоглогчийн ээлжинд (1, 0) үлдэнэ. Иймд 2- дугаар тоглогч авч чадахгүй тул эхлэн тоглогч хожно.

30. Тоглоом 0 - тооноос эхлэнэ.Хоёр тоглогч ээлжлэн байгаа тоон дээр 1-ээс 9 хүртэлх тоонуудаас дурын нэг тоог нэмнэ.Хэн түрүүлж 100- гаргасан нь хожино.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Хоёр дахь тоглогч 10-хүртэл гүйцээх дүрэм баримтлан тоглосоор хожино. 31. Тоглоом 1-ээс эхэлнэ.Хоёр тоглогч ээлжлэн үүссэн тоог 2-оос 9 хүртэлх тоонуудын аль нэгээр нь үржүүлнэ.Хэн түрүүлж 1000-аас их тоо гаргасан нь хожино.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Төгсгөлөөс нь хөөж бодúё. Эхлэн тоглогч 999,998,...,112-тоонууд дээр аваачиж чадвал хожно. Хэрвээ эхлэн тоглогч 111,110...,56- тоонууд дээр аваачвал хожигдоно. Öаашид үргэлжлүүлбэл эхлэн тоглогч 55,54,...,7 тоонууд дээр аваачвал хожно. Эхлэн тоглогч 6,5,4- тоонууд дээр аваачвал хожигдоно. Эхлэн тоглогч 1,2,3-тоонууд дээр аваачвал хожно. 32. Тоглоом 2- тооноос эхэлнэ. Хоёр тоглогч ээлжлэн байгаа тооноос бага дурын тоог уг тоон дээр нэмэх ба хэн түрүүлж 1000 гаргасан нь хожно.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ. Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр эхлэн тоглогч 999,998,..,501 тоонууд дээр очиж чадвал хожино. Харин 500 дээр очвол хожигдох,499,498,...,251 тоонууд дээр очиж чадвал хожих,250 тоон дээр очвол хожигдох ,249,...,126 тоонуудад очвол хожих,125 дээр очвол хожигдох,124,...,63 тоонууд дээр очвол хожих,62 дээр очвол хожигдох ,61,...,32 тоонууд дээр очвол хожих,31 дээр очвол хожигдох,30,...,16 тоонууд дээр очвол хожих,15 дээр очвол хожигдох,14,...,8 тоонууд дээр очвол хожих,7 дээр очвол хожигдох ,6,5,4 тоонууд дээр очвол хожих,3 дээр очвол хожигдох ба 2 дээр очвол хожино. 33. Тоглоом 1000- тооноос эхлэнэ.Хоёр тоглогч ээлжлэн үүссэн тооноос бага 2-ийн зэрэгт болох дурын тоог уг тооноос хасна.Хэн түрүүлж 0 гаргасан нь хожно.Çөв тогловол хэн нь хожих вэ? Бодолт. Эхлэн тоглогч хожно.Эхлээд 1-ийг хасч 999-ийг үүсгэнэ.Дараа нь үйлдэл бүрээрээ 1эсвэл 2-ийг хасч 3-д хуваагддаг тоо үүсгэнэ. Èнâариант áодлоãо 1. ÓÛÓ овогтны цагаан толгой Ó; Û гэсэн хоёр үсэгтэй.Энэ хэлний онцлог нь ямар нэгэн үгнээс зэрэгцэн орших ÓÛ үсгийг хасвал тухайн үгийн утга өөрчлөгдөхгүй.Ìөн ÛÓ болон ÓÓÛÛ гэсэн дэс дараалсан үсгүүдийг ямар нэгэн

1)- байхыг тооцвол). Ñамбарт бичигдсэн бүх тоонуудыг 1-ээр нэмэгдүүлсэн тоонуудын үржвэрийг авч үзнэ. 12.Ñамбарт 1-ээс 6 хүртэлх тоог бичив. Дурын хоёр тоог сонгон авч нэгэн зэрэг нэгийг нэмэх үйлдэл зөвшөөрөгдсөн бол энэ үйлдлийн тусламжтайгаар бүх тоог тэнцүү болгож болох уу? Хариу: болохгүй. Үйлдэл бүрийн дараа самбарт бичигдсэн тоонуудын нийлбэр сондгой байна. 5. Øирээн дээр 16 ширхэг стакан дараалан байрлана.Түүний 15 нь доош харж үлдсэн нэг нь дээш харж байрласан байв.Нэг удаагийн үйлдлээр дурын дөрвөн ширхэг стаканы байрлалыг эсрэгээр нь сольж болно. Тэгвэл энэ үйлдлийн тусламжтайгаар бүх стаканыг ижил байрлалтай болгож болох уу? Хариу: болохгүй. Дээш харсан стаканы тоо ямагт сондгой байна. 6. Ñамбарт 1-ээс 37 хүртэлх тоог бичив. Нэг удаагийн үйлдлээр дурын хоёр тоог арилган оронд нь тэдгээрийн ялгаврыг бичнэ. Энэ үйлдлийг 36 удаа давтан хийхэд нэг тоо үлдэнэ.Энэ тоо 0 байж болох уу? Хариу: болохгүй.Тоонуудын нийлбэрийн тэгш сондгой нь өөрчлөгдөхгүй.

7. Алин хэмээх хотод 13 шар, 15 саарал, 17 улаан өнгөтэй өнгөө хувиргах чадвартай хамелеон амьдардаг байв. Хэрэв хоёр өөр өнгийн хамелеон уулзвал хоёул нэгэн зэрэг 3 дахь өөр өнгөнд хувирна. (Жишээлбэл шар ба саарал өнгийн хамелеонууд уулзвал хоёул улаан өнгөтэй болно). Энэ үйлдлийн тусламжтай бүх хамелеон ижил өнгөтэй болж болох уу? Хариу: болохгүй. Øар, саарал, улаан өнгөтэй хамелеонуудын тоог х, у ба z гэж тэмдэглэе.Тэгвэл уулзалт бүрийн дараа x-y, y-z ба z-x-хэмжигдэхүүнүүд 3-аар багасна эсвэл 3- аар нэмэгдэнэ.Ийм учраас дээрх хэмжигдэхүүнүүдийн нэг нь ч 0-тэй тэнцэхгүй. 8. Тус бүр нь хоорондоо 10 метр зайтай 6 ширхэг гацуур байв. Гацуур бүр дээр шувуу суусан ба дурын шувуу аль нэг модон дээр очиж суувал мөн аль нэг шувуу эсрэг чиглэлд мөн төчнөөн метр явах бол: a. Энэ үйлдлийн тусламжтайгаар бүх шувуу нэг модон дээр сууж болох уу? б. Хэрэв 7 шувуу 7 мод байсан бол яах вэ? Бодолт. a).Хариу болохгүй. б).болно.Øувуу сууж байгаа гацуурнуудын дугааруудын нийлбэр инвариант байна. 9. Тойргийг 6 секторт хуваав.Ñектор бүр дээр муур сууж байв. Дурын хоёр муур нэгэн зэрэг хөрш хэсэг рүүгээ шилжиж болох бол энэ үйлдлийн тусламжтайгаар бүх муур нэг хэсэгт байрлаж болох уу? Бодолт. Хариу болохгүй.1, 3 ба 5 секторуудад байрлаж байгаа муурнуудын тоо зөвхөн 2-оор өөрчлөгдөх боломжтой. 10. 10х10 шатрын хөлөг дээр тэмээ байсан ба (1; 3) гэсэн нүүдэл хийдэг.ªөрөөр хэлбэл:эхлээд хөрш нүдэндээ шилжээд дараа нь ïерïендикуляр чиглэлд гурван нүд шилжинэ.(морь (1;2) гэсэн нүүдэл хийдэг)Энэ үйлдлээр тэмээ хөрш нүдэндээ шилжиж болох уу? Хариу: болохгүй. Тэмээ байрлаж байгаа нүдний өнгө нь инвариант. 11.102х102 хүснэгтийг 1х4 хэмжээтэй дүрсүүдээр бүтээж болох уу? Бодолт. Дурын 1х4-хүснэгт 4 өөр өнгөөр будагдсан байхаар 102х102- хүснэгтийн 1х1-нүднүүдийг 4 өөр өнгөөр будна 4. Тэгш өнцөгт хэлбэртэй хайрцагны ёроолыг 1х4 ба 2х2 хэмжээтэй ïлитануудаар хучив. Гэтэл нэг ширхэг 2х2 хэмжээтэй ïлитка гээгдсэн ба түүний оронд 1х4 хэмжээтэйг авав.Тэгвэл хайрцагны ёроолыг хучиж болох уу?

Бодолт. ªмнөх бодлогын бодолттой ижил. 13.Иван хаанд 2 эрдмийн илд байдаг.Эхний илд нь Горыныч могойны 21 толгойг,нөгөөх нь 4 толгойг цавчиж чадна.1985 толгой нэмж ургадаг,анх 100 толгойтой байсан Горыныч могойг Иван хаан бүх толгойг нь цавчиж чадах уу?(Анхаар: Хэрэв Горыныч могойд 3 толгой үлдвэл өөр сэлэмээр цавчиж болохгүй) Бодолт. болохгүй. Толгойнуудын тоог 7-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь инвариант. 14. Диллий ба Даллий хэмээх хоёр улс байв. Эдгээр нь харгалзан диллер ба даллер гэх мөнгөний нэгжтэй. Диллийд нэг диллерийг арван даллераар, Даллийд нэг даллерийг арван диллерээр сольдог. Нэг диллертэй эхэлж байгаа санхүүч нэг улсаас нөгөөд очиж мөнгөө солиулсаар түүний диллерийн тоо даллерийн тоотой хэзээ ч тэнцэхгүй гэж батал. . Хариу: болохгүй. Түүнд х-диллер, у-даллер байсан гэе.Тэгвэл (х-у)-ийг 11-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь инвариант. 15. Ìөнгө сольдог автомат машин нэг зоосыг таван зоосоор сольдог. Түүний тусламжтайгаар зоосон мөнгийг 26 зоосоор сольж болох уу? Бодолт. болохгүй. Ìөнгөний тооны тэгш сондгой нь өөрчлөгдөхгүй. 16. Гурван хэвлэгч машин байв. I нь a b тоонуудаас a b,b тоонуудыг, II нь a,b тоонуудаас a b,b тоонуудыг, III нь a,b тоонуудаас b, a тоог гаргадаг бол эдгээр машинуудын тусламжтайгаар: a) (21; 12)-оос (31; 13)-ыг b) (2007; 1963)-аас (10; 11)-ийг гаргаж болох уу? Бодолт. a).болохгүй б).болно хэвлэгчид оруулсан (a,b)-тоонуудын ХИÅХ-нь өөрчлөгдөхгүй 17. Ñамбарт 8 n тоо бичигдсэн байв. Нэг удаад уг тооны циôрүүдийн нийлбэрийг олно. Энэ үйлдлийг нэг оронтой тоо гартал үргэлжлүүлнэ. N=1989 байсан бол хамгийн сүүлд ямар тоо үлдсэн бэ? Хариу: 8

9-д хуваахад гарах үлдэгдэл нь өөрчлөгдөхгүй. 18. Ñтаканд a; b; c гэсэн гурван төрлийн амёб байв. Хэрэв хоёр өөр төрлийн амёб тааралдвал нийлж гурав дахь төрлийн амёбыг үүсгэнэ. Энэ үйлдлийн тусламжтайгаар хамгийн сүүлд нэг төрлийн нэг ширхэг амёб үлдэнэ. Хэрэв а =20 ширхэг b=21 ширхэг c=22 ширхэг байсан бол хамгийн сүүлд ямар төрлийн амёб үлдсэн бэ? Хариу: Б-төрлийн амеб үлдэнэ. Х-төрлийн амебын тоог N(x)-гэж тэмдэглье. N(a)-N(b), N(b)-N(c), N(c)-N(a)-ялгавруудын тэгш сондгой нь үл өөрчлөгдөнө. 19. Нэгэн явуулын худалдаачинд 24 ширхэг шижир алт, 26 ховор сувд, 25 ягаан болор байв. Êортес хотод алт ба сувдыг болроор, Тотонаков хотод сувд ба болорыг алтаар, Ìонтес хотод алт ба болорыг сувдаар сольдог байв. Худалдаачин хотуудын хооронд явж энэ үйлдлийн тусламжтайгаар хамгийн сүүлд нэг үнэт зүйлтэй үлдэв. Тэр аль төрлийн үнэт зүйл вэ? Хариу: ягаан болор бодолт өмнөх бодлоготой ижил. 20. Тойргийг зургаан секторт хуваав. Тэдгээрт цагийн зүүний дагуу 1;0;1;0;0;0-тоонуудыг байрлуулав. Дурын хөрш хоёр секторын тоонууд дээр нэгэн зэрэг нэгийг нэмнэ. Энэ үйлдлийн тусламжтайгаар сектор бүр дэх тоонуудыг тэнцүү болгож болох уу? Хариу: болохгүй Тэгш ба сондгой секторууд дээр байрлах тоонуудын ялгавар инвариант байна. 21. 1,2,3,...,98,99,100 хүртэлх тоонуудыг самбарт цувуулан бичив.Дурын A тооны хөрш хоёрын байрыг сольж болно.Энэ үйлдлийн тусламжтайгаар 100;99;98;97.......3;2;1 тоонуудыг гаргаж чадах уу? Хариу: болохгүй 100-тоо ямар ч шилжүүлэлтээр үргэлж тэгш дугаартай байранд байрлана.Ийм учраас 100-нь 1-р байранд шилжиж болохгүй. 22. Êубын оройнууд дээр 7 ширхэг тэг, 1ширхэг нэгийн циôрийг байрлуулав. Дурын ирмэгийн төгсгөлүүд дээрх хоёр тоог нэгэн зэрэг нэгээр нэмэгдүүлж болно. Энэ үйлдлийн тусламжтай a) Бүх тоог тэнцүү болгож болох уу? b) Бүх тоог 3-т хуваагддаг болгож болох уу? Хариу: болохгүй.

1 ээс багагүй элементтэй бүлэг олдоно. б. 6-н даамыг таван нүдэнд байрлуулахад хоёр эсвэл түүнээс олон даамтай нүд олдоно. 1. Хайрцагт хар цагаан өнгийн хоёр төрлийн бөмбөлгүүд байв. Хайрцгаас хамгийн багадаа хичнээн бөмбөлөг авахад нэг өнгийн хоёр бөмбөлөг заавал авах вэ? Хариу: 3 бөмбөлөг 2. Дурын хөлбөмбөгийн багт 7 хоногийн ижил гаригт төрсөн 2 тамирчин олдохыг батал. (хөлбөмбөгийн 11 тамирчинтай) Хариу: 7 хоногийн өдрүүдийг тор, тоглогчдыг туулай болгоё. 11 71 4 байх тул ижил өдөр төрсөн хоёр тоглогч олдоно. 3. Дурын бүхэл 11 тооны дотроос ялгавар нь 10-д хуваагдах 2 тоо олдохыг батал.

9=45>44 болж зөрчилд хүрнэ. Иймд болохгүй. 9. 21 хүн 200 мөөг түүв. Тэдгээрээс ижил тооны мөөг түүсэн хоёр хүн олдохыг батал. Хариу: ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно.

10. ßмар нэгэн дугуйланд явдаг хүмүүсийн үсний ширхэгийн тоо ялгаатай. Дурын хүний үсний ширхэгийн тооноос хүмүүсийн тоо олон. Ìөн яг 100 ширхэг үстэй хүн байхгүй бол хамгийн олондоо хичнээн хүн дугуйланд явдаг вэ? Хариу: 100 101-хүн байсан гэж үзье. Хүн бүр 101-ээс бага үстэй ба 100 үстэй хүн байх байхгүй учир ( 100 боломжтой) Үсний тоог тор хүмүүсийн тоог туулай болгоё. Иймд ижил үстэй хоёр хүн олдох учир зөрчил үүснэ. 11. Харанхуй өрөөнд 10 хос хар,10 хос хүрэн гуталнууд байв.Нэг өнгийн хос гуталтай болохын тулд хамгийн цөөндөө хичнээн гутал авах хэрэгтэй вэ?(Харанхуйд баруун ба зүүн хөлийн гутал мөн өнгийг нь ялгаж чадахгүй) Хариу: 21 20-гутал авахад боломжгүй болохыг жишээгээр үзүүлье. Жишээ нь:10-хар зүүн 10-хүрэн зүүн гутал авахад бодлогын нөхцөл биелэхгүй.21-хүрэлцээтэй болохыг баталúя. Гутлын өнгийг тор болгоё тэгвэл нэг өнгийн 11-ээс багагүй тооны гутал олдоно.Тэдгээр нь бүгд баруун эсвэл Бүгд зүүн байх боломжгүй.Éимд нэг өнгийн хос гутал олдоно. 12. Дурын бүхэл 2010 тоо бичив. Тэдгээрээс ялгавар нь 2009-д хуваагддаг хоёр тоо олдохыг батал. Бодолт. ªгөгдсөн тоонуудыг туулай, өгөгдсөн тоонуудыг 2009-д хуваахад гарах үлдэгдлийг тор болгоё. 13.11111....100.....0000 хэлбэрийн 2009-д хуваагддаг тоо олдохыг батал. Бодолт. 1,11,111,1111, . . . ., 111.....1111 -тоонуудыг авч үзье. Эдгээр тоонуудыг 2009-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг хоёр тоо олдоно.Иймд эдгээрийн ялгавар 2009-д хуваагдана. 14.Çааланд 30 хүн байв. Эдгээрээс хэсэг хүмүүс нь бие биеэ таньдаг бол ижил тооны танилтай 2 хүн олдохыг батал. Бодолт. Танилын тоог тор болгоё.Тэгвэл 0-ээс 29-хүртэл 30 тортой болно.0 ба 29-торнуудад нэгэн зэрэг хүн байх боломжгүй. Иимд нийт торны тоо 29 болно.Дирихлейн зарчмаар 30 хүнийг 29торонд хийхэд дор хаяж хоёр хүнтэй нэг тор олдоно.ªөрөөр хэлбэл ижил тооны танилтай хоёр хүн олдоно. 15. 10 баг тойргоор тоглов. Тэмцээний аль ч үед ижил тооны тоглолт хийсэн 2 баг олдохыг батал.

1 гэдгээс ижил байх хоёр нийлбэр олдоно. 17.100 натурал тоог нэг мөрөнд цувуулан бичив. Нэг эсвэл хэд хэдэн дараалан байрласан тооны нийлбэр 100-д хуваагдахыг батал. Бодолт. 1, 1 2 1 2 100 a a a ,.....a a ... a -тоонуудыг авч үзье. Хэрвээ эдгээр тоонуудын аль нэг нь 100-д хуваагддаг гэж үзвэл бодлого бодогдоно. Иймд эдгээр тоонуудын аль нь ч 100-д хуваагдаггүй гэж үзье. Дээрх тоонуудыг 100-д хуваахад 1,2,3,4,5,. . . . .,99-үлдэгдэлүүд өгнө. (эдгээр үлдэгдлүүдийг тор болгоё) 99-торонд 100-тоог хийхэд 100-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг 2 тоо олдоно.Тэдгээр тоонуудын ялгавар 100-д хуваагдана. 18. 5х5 хэмжээтэй хүснэгтийн нүд бүрт нэг нэг хорхой буþу нийт 25 хорхой байрлаж байв. Дараа нь хорхой бүр хөрш нүдрүүгээ (ерөнхий талтай хоёр нүдийг хөрш гэнэ) шилжинэ. Тэгвэл ядаж нэг нүд хоосон үлдэхийг батал. Бодолт. 5х5 хүснэгтийг шатрын хөлөг шиг будúя. Нийт хар ба цагаан нүдний тоог сонирхож үзнэ. 19. 3-ын зэрэгтүүд дотроос ялгавар нь 1000-д хуваагдах 2 тоо олдохыг батал. Бодолт. 2 3 1001 3,3 ,3 ,... 3 -тоонуудыг авч үзье. Эдгээр тоонуудыг 1000-д хуваахад ижил үлдэгдэл өгдөг хоёр тоо олдоно. 20. Дурын 23 бүхэл тооноос нийлбэр эсвэл ялгаварнь 23-д хуваагдах 2 тоо олдохыг батал. Хариу: 23-д хуваахад:1ба 22 үлддэг тоонуудыг эхний торонд 2ба 21үлддэг тоонуудыг хоёр дахь торонд, . . .11 ба 12үлддэг тоонуудыг 11дэх торонд 12-р торонд 23-д хуваагддаг тоонуудыг хийе.Хэрвээ нэг торонд хоёр тоо орвол тэдгээрийн нийлбэр эсвэл ялгавар нь 23-д хуваагдана.

21.Дурын 52 бүхэл тооноос квадратуудын ялгавар нь 100-д хуваагдах 2 тоо ямагт олдохыг батал. Бодолт. ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр 1 ба 99, 2 ба 98 гэх мэтчилэн торнууд байгуулна. 22. Хайрцагт 3н өөр размерын тус бүр нь зуу зуун ширхэг байх нийт 300 гутал байв. Тэдгээрээс дор хаяж 50н хос гутал олдохыг батал. 23. 20н ширхэг туухайнуудын нийт жин 1 тн-оос хэтрэхгүй. Эдгээрээс нийлбэр жингүүд нь тэнцүү байх үл огтолцох 2 бүлэг олдохыг батал. Бодолт. 20-туухайнаас 2 . 1000000 20 -ялгаатай дэд олонлог зохионо.Харин эдгээр дэд олонлогуудын жин 1000000граммаас хэтрэхгүй (өөрөөр хэлбэл 1тонноос) Иймээс жин нь ижил байх хоёр дэд олонлог олдоно.Хоёуланд нь зэрэг байх туухайнуудыг орхивол жин нь тэнцүү хоёр үл огтлолцох дэд олонлогууд олдоно. 24. 2 оронтой 10н тооноос нийлбэр нь ижил байх үл огтолцох 2 бүлгийг сонгож болохыг батал. Хариу: ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно. 25. 1м талтай квадрат хэлбэртэй хивсийг хорхой нүхлэн гарахад 51 нүх гарсан байв.( Нүхийг цэг гэж ойлгоно.) 13аас доошгүй нүхтэй 50см талтай квадрат олдохыг батал. Бодолт. 1х1 метр квадратыг 50х50 см талуудтай дөрвөн квадратад хуваая.50х50 см талуудтай дөрвөн квадратыг тор болгон авúя. 51 412 3 учраас13-аас доошгүй нүхтэй 50см талтай кв олдоно. 26. 1м талтай квадрат хэлбэртэй хивсийг хорхой нүхлэн гарахад 51 нүх гарсан байв. 3аас багагүй нүхтэй 20см талтай квадрат олдохыг батал. Бодолт. ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно. 27. 1м талтай квадрат хэлбэртэй хивсийг хорхой нүхлэн гарахад 15 нүх гарсан байв. Нэг ч нүхгүй 12,5 см радиустай дугуй олдохыг батал. Бодолт. 25см талуудтай квадратуудыг авч үзье. 28. 8х8 хэмжээтэй нүдэн хүснэгтийн дурын гурван нүднээс тогтох булан хэлбэрийн дүрсийг авахад бүх нүд нь будагдсан эсвэл бүх нүд нь будагдаагүй байхаар хамгийн ихдээ шатрын хөлгийн хичнээн нүдийг будах вэ?

Хариу: 32 29. Øатрын хөлөг дээр 31 даам байрлуулав. Даам байрлаагүй 3 нүднээс тогдох булан хэлбэрийн дүрс олдохыг батал. Бодолт. ªмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно. 30. Çөв 20 өнцөгтийн 9 оройг тэмдэглэв. Тэмдэглэгдсэн цэгүүд дээр оройтой адил хажуут гурвалжин олдохыг батал. Бодолт. Çөв таван өнцөгт үүсгэх хорин оройг авч үзье. Тэмдэглэсэн есөн оройгоос гурваас цөөнгүй орой нэг бүлэгт орно.Тэдгээр нь адил хажуут гурвалжин үүсгэнэ.(Çөв таван өнцөгтийн дурын гурван орой) 31. ßмар нэгэн шулууныг улаан ба цэнхэр будгаар будав. Төгсгөлүүд нь ба дундаж нь ижил өнгийн будгаар будагдсан хэрчим олдохыг батал. Бодолт. Дурын гурван цэгийг сонгон авúя.Тэдгээрийн хоёр нь ижил өнгөтэй буþу цагаан өнгөтэй байг.Êоординатын шулуун оруулúя. Öагаан өнгөтэй цэгүүд нь 0 ба1-цэгүүд байсан гэе. Хэрэв хоёр цэг цагаан өнгөтэй байвал хариу (0, 2)-хэрчим болно. Хэрвээ 1-цагаан өнгөтэй бол (-1, 1)-хэрчим хариу болно. Хэрвээ 0, 5-цагаан өнгөтэй бол (0, 1)-хэрчим хариу, хэрэв 0,5хар байвал (-1,2)-хэрчим хариу болно. 32. Дурын 2n өнцөгтөд нэг ч талтайгаа ïараллель биш байх диагональ олдохыг батал. Бодолт. 2n-өнцөгтийн диогналийн тоо 2 3 2 2 2 3 n n n n өгөгдсөн талуудтай ïараллель диогналуудын тоо n-2-оос хэтрэхгүй.Иймээс талуудтай нь ïараллель бүх диогналийн тоо 2n n 2 -оос хэтрэхгүй. 2n n 2 n 2n 3 учраас талуудын аль нэгэнтэй ïараллель биш диогналь олдоно. 33. 6х6 хүснэгтийг 1х2-гэсэн далуунуудад хуваав.ßмарч даалууг огтолдоггүй босоо эсвэл хэвтээ шулуун татаж болно гэж батал. Бодолт. Эсрэгээс нь шулуун татаж болдоггүй гэж үзье.Øулуун бүр даалууг огтолдог бол тэгш ширхэг огтлох нь тодорхой.Иймд хэвтээ босоо 10-н шулуун дор хаяж хорин даалууг огтлох ёстой.Гэтэл нэг даалууг зөвхөн нэг л удаа огтолно.18-н даалуу байгаа тул зөрчил үүснэ.Энэ зөрчил нь шулуун татаж болно гэдгийг хэлнэ.

34. 5х4 хэмжээтэй хүснэгтийг хоёр өнгөөр будав. 3 мөр ба 3 баганыг сонгож авахад огтлолцлолд нь байх бүх есөн нүд нь ижил өнгөтэй байх 3 мөр ба 3 багана олдохыг батал. Бодолт. Ихэнх нүд нь цагаан өнгөтэй (өөрөөр хэлбэл 3,4эсвэл 5) байх мөрийг цагаан мөр гэж нэрлэе.Үүнтэй адилаар ихэнх нүд нь хар өнгөтэй нүдийг хар мөр гэж нэрлэе. 35. Øатрын хөлөг дээр бие биеэ заналхийлгэхгүйгээр хамгийн ихдээ хичнээн ноён байрлуулах вэ? Хариу: 16. Хүснэгтийг 2х2 хэмжээтэй квадратуудад хуваая. Нэг квадратад нэгээс олон ноён байрлахгүй нь ойлгомжтой. 36. Дорж Бат Болд ба Даваа нар 70 банана идсэний дараа нь тус бүрд нь хэсэг банана үлдэв. Дорж бүх хүн тус бүрээс их банана идсэн. Харин Бат Болд хоёр 45 банана идсэн бол Даваа хэдэн банана идсэн вэ? 37.ßмар нэгэн зөв гурвалжинг түүнээс хэмжээгээрээ жижиг хоёр гурвалжингаар хучиж болохгүйг батал. 38.Øатрын хөлөг дээр тэмлэглэсэн нүднүүдийн дунд хөрш нүд байхгүй байхаар хамгийн олондоо хичнээн нүдийг тэмдэглэж болох вэ? 39. 10х10 дээр “далайн дайн”-нэртэй тоглоом тоглов. Энэ хүснэгтэнд дөрвөн шумбагч онгоц зурах ба бүх онгоцыг хамгийн багадаа хэдэн удаа буудаж сөнөөх вэ? (шумбагч онгоц 1х4 байна) 40. Дугуй ширээнд овгийн төлөөлөгчид бүхий 33 хүн сууж байв.Энд А,Б,Â,Г овгууд байсан ба А,Г хоёр зэрэгцэж суугаагүй, Â,Б хоёр нэгэн зэрэг суугаагүй бол нэг овгийн хоёр төлөөлөгч зэрэгцэж суугаагүйг батал.

13-2-6-4=20 учир гаргаж болно. / 8,3,12,1,10,6 7,2,12,1,10,6 7,2,14,3,10,6 5,2,14,3,10,4 5,2,14,6,13,4 4. Ñамбарт бичигдсэн тоог 2-оор үржих эсвэл сүүлийн циôрийг нь арилгах хоёр үйлдэл өгөгдөв.Эдгээр үйлдлүүдийн тусламжтайгаар 456 тооноос 14 тоог гаргаж чадах уу? Xариу áолно. 456,45,90,9,18,36,72,7,14 5. Ñамбарт арван ширхэг 1, арван ширхэг 0 бичигдсэн байв. Хоёр тоглогч ээлжлэн дурын хоёр циôрийг арилгаж хэрвээ арилгасан циôрүүд ижил байвал 2-ыг, хэрвээ арилгасан циôрүүд ялгаатай бол 1-ийг бичнэ. Хамгийн сүүлд самбарт үлдсэн тоо 1 байвал эхний тоглогч, 2 байвал хоёр дахь тоглогч хожно. Хэрхэн тоглох вэ?

m3 , ( k,n,m харин n 1000000 ) байг. k 1000 , m 100 байх нь илэрхий. Ийм учраас өгөгдсөн хэлбэрт бичиж болох тоонуудын тоо 10.100=1000 -аас ихгүй байна. 8. Хавтгайн бүх цэгүүдийг хар ба цагаан өнгийн аль нэгээр будав.Ижил өнгийн оройтой адил хажуут гурвалжин ямагт олдоно гэдгийг батал. Хариу: Çөв таван өнцөгт авч үзье. Таван оройгоос ижил өнгөтэй байх гурван орой олдоно. Тэдгээр оройнуудыг холбоход адил хажуут гурвалжин ямагт үүснэ. 9. Бүх тоонуудын үржвэр ба аль ч дөрвөн тооных нь үржвэр эерэг байх 51 тоо өгөгдөв. Тоо бүрийг эерэг гэж батал. Хариу: 1 2 3 5 1 1 2 3 4 5 6 7 8 4 9 5 0 5 1 1 1 .... ..... a a a a a a a a a a a a a a a a a бүх тоонуудыг дээрхийн адилаар бичиж болно.

499)=9993 11. 100 100 11...1122....22 тоог дэс дараалсан хоёр бүхэл тооны үржвэр болохыг батал. Хариу áолно. 100 100 100 100 100 100 1...1122...22 11...11 10 2 33...3333...34 12. Нийлбэр нь тэдгээрийн ХБÅХ-тай тэнцүү байх 100 натурал тоо оршин байх уу? а) Ижил тоонууд байж болно. б) Бүх тоонууд ялгаатай Хариу áолно. а. 1,1,1....,1,2,.......24,5,6 89 8 нийлбэр нь 120 б. 2 97 99 98 1,2 ,....,2 ,2 ,3,3 2 тоонуудын нийлбэр 99 3 2 13. 1007, 10017, 100117,..., 10011...17 хэлбэрийн бүх тоонууд 53-д хуваагдахыг батал. Хариу: Çэрэгцээ орших хоёр тооны ялгавар 9010...0 байна. ө/х: 901=53.17 ба 1007=53.19 учир бүх тоонууд 53-д хуваагдана. 14. 81 11.....11 тоог 81-д хуваагдана гэж батал. Хариу: ªгөгдсөн тоог 9 11....11 тоонд хуваахад 10...01...01...01 (8 ширхэг тэг, 9 ширхэг нэг) хэлбэрийн тоо гарна. Энэ тоо 9- д хуваагдана. 15. Êвадратын дөрвөн буланд 1,2,3,4 тоонуудыг ямар нэг дарааллаар бичив.Үүнтэй ижилхэн хэсэг квадратыг дээр дээрээс нь давхарлаж өрөв.Булан

b2 нь 11-д хуваагддаг бол a2 - b 2 нь мөн 11-д хуваагдана гэдгийг батал. Хариу: 2 2 2 2 2 a 9ab b 11ab a 2ab b a b . ба 2 a b нь 11-д хуваагдах учир a b нь 11-д хуваагдана.Гэтэл a b a ba b 2 2 гэж задарна. 18. 1,1,2,3,7,22... дараалал өгөгдөв.Дарааллын гишүүн бүр нь өмнөх хоёр гишүүнийхээ үржвэр дээр нэгийг нэмсэнтэй тэнцэнэ.Тэгвэл дараалын нэг ч гишүүн 4-дхуваагдахгүй болохыг батал. Хариу: Дарааллын дэс дараалсан b ба e нь тэгш a,c,d нь сондгой байх a,b,c,d,e таван тоог авч үзье.Тэгвэл 1 2 2 e cd ab c b a c болох ба ab2c нь 4-д хуваагдана,мөн ba c нь 4-д хуваагдах учир е нь 4-д хуваагдахгүй. 19. Дэс дараалсан сондгой n натурал тоонуудын нийлбэр (n>1 үед) зохиомол тоо болохыг батал Хариу: . 1 2 ... 2 1 2 1 2 .. 1 1 n a n a a a n n a n n a n n , энд a дурын сондгой натурал тоо

y болох ба 2x нь y-д хуваагдана гэж гарна. Гэвч 2x

1 нь 5-д хуваагдахгүй учир 6k -1 нь 5e -д хуваагдана.Энэ тохиолдолд e=1 байх ганц боломжтой .e=1-ийг (*)-д орлуулбал 62k=6 болох ба энэ нөхцөлийг хангах k-натурал тоо олдохгүй.5e -6 2k=9 байх боломжгүй.Óчир нь: 5e -нь 3-д хуваагдахгүй. Иймд e=2, k=1 байх үед хариу 11 гарна. 27. Бүхэл тоон см урттай 11 хэрчим өгөгдсөн бөгөөд тэдгээрийн хамгийн урт нь 88 см. Эдгээр хэрчмүүд дотор гурвалжин үүсгэх гурван хэрчим олдоно гэж батал. Бодолт: Эсрэгээс нь олддоггүй гэж үзье. 1 1 x 1 x1 x2 ....x11 88 см байх ёстой. 1 2 3 x , x , x 2 1 x хэрчмүүдээр гурвалжин байгуулж болдоггүй байхын тулд x3 2 байна. 2 3 4 x , x , x хэрчмүүдээр гурвалжин байгуулж болдоггүй байхын тулд 4 2 3 x x x буþу 3 x4 байна. Үүнийг цаашид үргэлжлүүлбэл 89 x11 болж зөрчилд хүрнэ. Иймд өгөгдсөн хэрчмүүд дотроос гурвалжин үүсгэж болох гурван хэрчим олдоно. 28. 6х6 квадратад 1х3 хэмжээтэй дүрсийг дахин нэмж байрлуулж болдоггүй байхаар хамгийн багадаа хэдэн дүрсийгбайрлуулж болох вэ? Хариу: 7

7)2 тоонуудыг оруулна.1000:8=125 байх тул дээрх аргаар хоёр тэнцүү хэсэгт хувааж болно. 32. 1998 тоог хоёр натурал тооны квадратуудын ялгавар хэлбэртэй бичиж болох уу?

z-нь 27-д хуваагдана гэж гарна. Хэрвээ x, y, z - бүхэл тоонууд нь 3-д хуваахад ялгаатай үлдэгдэл өгдөг бол (x-y)(y-z)(z-x) нь 3-т

т энэ хоёр тохиолдлыг тойргийн дагуу байрлуулахад зөрчилд хүрнэ. 41. Êартон цаасаар хийсэн хэдэн ижил гурвалжин байв.Гурвалжин бүрийн оройнууд дээр 1,2,3 гэсэн тоонуудыг бичив.Гурвалжнуудыг ижил, тал ижил өнцгөөр тохируулан давхарлан тавьсаны дараа орой бүр дэх харгалзах тоонуудын нийлбэр 55 байж болох уу? Хариу: Болохгүй

)2 нь q-д хуваагдана 2 2 2 2 2 2 b ac b a b c q b a b c 2b a b c q q болох ба 2 a b c -нь q-д хуваагдах учир

m=0 байх ёстой. Эдгээрээс m=a гэж гарах тул бодлогын нөхцөлд зөрчинө. 48. Çурагт үзүүлснээр 4х4 хүснэгтэнд 1-16 хүртэлх тоог бичив. Аль нэг мөрөнд орших бүх тоогоор нэгээр нэмэгдүүлэх эсвэл аль нэг багана дахь бүх тоог нэгээр хорогдуулах үйлдэл зөвшөөрөгджээ. Хэдэн үйлдлийн дараа эхний хүснэгтээс хоёр дахь хүснэгтийг гаргаж болох уу? Хариу áолно. Эхний мөрийг есөн удаа нэгээр нэмэгдүүлнэ.Дараа нь хоёр дахь мөрийг зургаан удаа нэгээр, гурав дахь мөрийг гурван удаа нэгээр нэмэгдүүлнэ. Дараа нь эхний баганаас есөн удаа нэгийг хасах, хоёр дахь баганаас зургаан удаа

y тоо нь бүхэл тооны квадрат болохгүй. 51. Тоо бүрийн эхний циôр нь дараагийнхаа тооны эхний циôртэй адилхан байхаар тэгээр төгсөхгүй бүх гурван оронтой натурал тоонуудыг дараалуулан байрлуулж болох уу? Хариу: Бичиж болно Эхлээд 9-өөр эхэлсэн 9-өөр төгссөн бүх тоонуудыг бичье. 909,919,...,999 901,109,902,209,903,309,..., 906,609,907,709,908,809 911,119,912,219,913,319,..., 916,619,917,719,918,819 ... 991,199,992,299,993,399,..., 996,699,997,799,998 899 -тоог үлдээгээд дараах тоонуудыг бичье. 808,818,..., 888,898 801,108,..., 807,708 ... 891,198,..., 897 798 -тоог үлдээгээд 7-оор эхэлсэн,7-оор төгссөн тоонуудыг бичье.Дээрхийн адилаар 1-ээр эхэлсэн 1-ээр төгссөн тоонуудыг бичихэд бичигдээгүй үлдсэн тоонуудыг дараах байдлаар бичихэд бодлогын нөхцөл биелнэ.101,111,...,191ба192,293,394,...,798,899

52. nxn - хүснэгтийн (n-сондгой) нүд бүрт -1 эсвэл 1 тоонуудыг дурын аргаар байрлуулав.Багана бүрийн доор уг баганан дахь тоонуудын үржвэрийг ,мөр бүрийн харалдаа баруун талд уг мөрөн дэх тоонуудын үржвэрийг бичив.Үүссэн үржвэрүүдийн 2n ширхэг нийлбэр тэгтэй тэнцэхгүй болохыг батал. Хариу: 1 2 3 p , p , p -мөр бүрийн дагуу орших тоонуудын үржвэр, q q qn , ,.... 1 2 -багана бүрийн дагуу орших тоонуудын үржвэрийг тэмдэглэе.Хүснэгт дэх тоонуудын үржвэрийг хоёр аргаар тооцоолúё. p p pn q q qn .... ..... 1 2 1 2 байна. Эндээс p p pn , ,... 1 2 ба q q qn , .... 1 2 тоонуудын дунд байх (-1)-ийн тоо ижил байна.Иймд p p pn q q qn , ,.... , , ,..... 1 2 1 2 тоонуудын дунд байх (-1)-ийн тоо тэгш,мөн 1-ийн тоо нь тэгш байна.Гэтэл n-сондгой учир p p pn q q qn ... ... 1 2 1 2 нийлбэр тэгтэй тэнцэхгүй.Óчир нь :дээрх нийлбэрт сондгой тооны (-1),сондгой тооны 1 байхад хүрч зөрчилд хүрнэ. 53. n m -бутархайгаас m n n m n n m n , , бутархайнуудыг үүсгэхийг зөвшөөрнө.ªгөгдсөн үйлдлээр 2 1 бутархайгаас 91 67 бутархайг үүсгэж чадах уу? Хариу: Үүсгэж чадна 4 5 5 4 5 19 19 5 19 24 24 19 24 67 67 24 67 91 91 67 2 1 1 2 1 4 4 1 54. Хоёр хэсэг чихэр байв.Эхний хэсэг 20 чихэртэй, хоёр дахь хэсэг 21 чихэртэй.Хоёр тоглогч ээлжиндээ аль нэг хэсгийг нь идээд үлдсэн хэсгийг нь (тэнцүү байх албагүй ) хоёр хэсэгт хуваана.Үйлдэл хийх боломжгүй болсон тоглогч хожигдоно. Хариу: Эхлэн тоглогч хожно. Эхлэн тоглогч 21 чихэртэй хэсгийг идээд үлдсэнийг нь хоёр сондгой тооны чихэртэй хэсгүүдэд хуваах дүрэм баримтлан тоглоно.(дурын хоёр сондгой хэсэгт хуваана.) 55. 1х20 хүснэгтийн зүүн талын эхний гурван нүдэнд гурван хүү байв.Хоёр тоглогч өөрийн ээлжиндээ аль нэг хүүг баруун талын хөрш сул нүдэнд нүүх, баруун талын хөрш нүд сул биш бол түүний баруун талын нүдэнд нүүх нүүдэл зөвшөөрөгдсөн.Нүүдэлгүй болсон нь хожигдоно.

Хоёр дахь тоглогч хожно Эхний тоглогч нүүх бүрд нэг сул нүд үүснэ.Тэр нүдэнд хоёр дахь тоглогч хүүгээ нүүх дүрэм баримтлан тоглосоор хожно. 56. Хэрэв a,b,c -нь 28a 30b 31c 365 байх эерэг тоонууд бол a b c 12 болохыг батал. Хариу: a b c 11 байг.Тэгвэл 28a 30b 31c 1131 341 болж зөрчилд хүрнэ. a b c 13 байг. Тэгвэл 28a 30b 31c 13 28 364 болох ба a=13, b=c=0 байх ганц тохиолдолд тэнцэлдээ хүрнэ.Бусад бүх тохиолдолд 28a 30b 31c 366 57. Ñамбарт n- тоо бичигдсэн .n- тоог 2n-4, 3n-8, 8-n тоонуудын аль нэгээр солихыг зөвшөөрнө.Тэгвэл 41 тооноос эхэлж 10000000 -аас их 10000020 тооноос бага тоог гарган авч чадах уу? Хариу: 41 37 1 4 учир a 37k 4 хэлбэрийн тоон дээрх үйлдлийг хиихэд инвариант болохыг батал. 58. Øатрын хөлөг өгөгдөв.a) аль нэг багана эсвэл аль нэг мөрний бүх нүднүүдийг эсрэг өнгөөр нь будах b) 2х2 квадратын бүх нүдийг эсрэг өнгөөр нь будах үйлдлийн тусламжтайгаар хөлгийг ганц хар нүдтэй болгож чадах уу? Хариу: а. болохгүй б. 2х2 квадрат дотор к ширхэг хар нүд байсан бо 4-к ширхэг цагаан нүд байна. Будсаны дараа хар нүдний тоо 4-к-к=4-2к тэгш тоогоор өөрчлөгдөнө. Иймд болохгүй. 59. Ном 1,2,...,30 хуудастай 30 үлгэрээс бүрдэнэ.Үлгэр эхний хуудаснаас эхлэх ба үлгэр бүр шинэ хуудаснаас эхэлдэг.Хамгийн ихдээ хичнээн үлгэр сондгой дугаартай хуудаснаас эхлэх вэ? Хариу: Ñондгой дугаартай үлгэр бүрийн дараагийн үлгэрийн эхний хуудасны тэгш, сондгой нь өөрчлөгдөнө. Иймээс 14-өөс багагүй тооны үлгэрийн эхний хуудасны тэгш, сондгой өөрчлөгдөнө. / Ñондгой хуудастай 15 үлгэрийн нэг нь номны хамгийн ард байрлаж болно/. Иймд 7-оос багагүй үлгэр тэгш тоотой дугаараас 23-аас ихгүй үлгэр сондгой тоотой дугаартай хуудаснаас эхэлж

3 тоог гарган авч чадах уу? Хариу: xy x y 3 x 1y 1 2 байх учраас 1.x x 1, 2.x 1 x 2, 3.y y 1, 4.y 1, x 2 y 1x 2 5.y 1x 2 y 1x 21 61. 100 цэгээр тойргийг 100 тэнцүү нумуудад хуваав.Хуваалтын цэгүүд дээр 76 улаан, 24 хөх нийт 100 даам байрлуулав. a) диаметрийн төгсгөл болох хоёр улаан b) квадратын орой болох дөрвөн улаан цэг олдохыг батал. Хариу: а. ªгөдсөн 100 даамыг нэг диаметрийн төгсгөл болох хоёр цэгүүдээр 50 хосод хуваана. Хөх өнгийн даам 24 байгаа учир хөх өнгийн даам хамгийн ихдээ 24 хосод орно. Иймээс төгсгөлүүд нь ижил улаан өнгөтэй байх диаметр олдоно. б. Бүх даамыг ямар нэг даамнаас эхлэн цагийн зүүний дагуу 1-ээс 100 хүртэлх тоогоор дугаарлая. 1,26,51,ба 76 дугаартай даамнуудаар тойргийг дөрвөн тэнцүү нумнндад хуваана. Эдгээр дөрвөн орой нь квадратын орой болох учир 1 n,26 n,51 n,76 n /энд n=1,2,3,...,24/ нийт 25 квадрат үүсгэж болно. Иймээс хөх өнгийн даам хамгийн ихдээ 24 квадратад орох учир бүх орой нь улаан байх квадрат олдоно. 62. Дурын арван хэрчмийн дотроос гурвалжин байгуулжболох гурван хэрчим ямагт олдох уу? Хариу: ßмагт олдохгүй. 1,1,2,3,5,8,13,21,34 ба 55 урттай хэрчмүүдийн аль ч гурвыг авахад гурвалжин үүсэхгүй.

G)=6M болох тул M нь 5-д хуваагдана.M ба M-A тоонууд

нь 5-д хуваагдах учир A нь 5-д хуваагдана. Үүнтэй адилхан бусад тоонууд нь 5- д хуваагдана. 67. Ïетя Ìиша хоёр дараах тоглоомоор тоглов.Ïетя аль нэг гартаа 10-тын мөнгө, үлдсэн гартаа 15-тын мөнгө атгана.Дараа нь зүүн гар дахь мөнгөө 4,10,12 эсвэл 26 дахин,баруун гар дахь мөнгөө 7,13,21 эсвэл 35 дахин өсгөнө.Дараа нь үүссэн хоёр үржвэрийг нэмээд гарсан үр дүнг нь Ìишад хэлнэ.Ìиша нийлбэрийг мэдсэнээр Ïетягийн аль гарт нь 10-тын мөнгө байгааг хэлж чадах уу? Хариу: Ïетя зүүн гар дахь мөнгөө тэгш тоогоор ,баруун гар дахь мөнгөө сондгой тоогоор үржүүлнэ.Иймд эхний үржвэр ямагт тэгш .Иймээс хоёр үржигдэхүүнүүдийн нийлбэрийн тэгш сондгойтой хоёр дах үржвэрийн тэгш сондгой нь ижил байна.Хэрвээ Ïетя хоёр үржигдэхүүнүүдийн нийлбэр сондгой гэвэл баруун гарт нь 15-тын мөнгө,харин тэгш тоо хэлбэл баруун гарт нь 10-тын мөнгө байна. 68. Ñамбар дээр 100-аас бага А тоо байв.Нэг үйлдлээр А тоог 2А эсвэл 3А болгож чадна.Хэдэн үйлдэл хийсний дараа 251424 болсон байв.Тийм бол А тоог ол. Хариу: Төгсгөлөөс нь хөөж хариуг олоход 97 тоо гарна. 69. nхn хэмжээтэй(n>100) хүснэгтийн (n-1) ширхэг нүдэнд 1-ийн циôр ,бусад нүднүүдэд нь 0 бичигдсэнбайв.Хүснэгтйин ямар нэг нүдийг сонгон дараах хоёр үйлдлийн аль нэгийг хийнэ. a) сонгосон нүдэн дэх тооноос нэгийг хасна. b) сонгосон нүдтэй нэг мөр нэг баганы дагуу орших тоонууд дээр нэгийг нэмнэ. ªгөгдсөн үйлдлийн тусламжтайгаар хүснэгтийн бүх тоонуудыг ижил болгож чадах уу? Хариу: Болоõã¿é Гурван нүдэнд нь 0, нэг нүдэнд нь 1 бичигдсэн 2х2 хүснэгт олдоно гэдгийг батал. Хэд хэдэн үйлдлийн дараа хүснэгт үүссэн гэе. D a d b c-ийг 3-д хуваахад гарах үлдэгдэл өөрчлөгдөхгүй гэдгийг батал. /инвариант/

70. 1см урттай 6 ширхэг саваа,2см урттай 3 ширхэг саваа,3см урттай 6 ширхэг саваа,4см урттай 5 ширхэг саваануудаар квадрат үүсгэж болох уу? Ñаваануудыг хугалж, бие биентэй нь давхардуулан тавьж болохгүй. Хариу: Болоõã¿é Ïериметр нь 50см байх учир тал нь бүхэл тоо байх боломжгүй. Ийм учраас квадрат үүсгэж болохгүй. 71. Анхны тоо ялгаатай хоёр хуваагчтай байна. (нэг ба өөртөө хуваагдана.) Харин ямар тоо ялгаатай гурван хуваагчтай байх вэ? Бодолт: Дурын m тоо нь 1 ба m гэсэн хоёр хуваагчтай байна. Хэрвээ m тоо нь m1 гэсэн хуваагчтай байвал m1 m тоо нь мөн m хуваагчтай болно. Иймд m тоо ялгаатай гурван хуваагчтай байхын тулд 1 1 m m m байхад хүрнэ. Эндээс 2 m m1 / m -анхны тоо/. Иймд анхны тооны квадрат байх тоо ялгаатай гурван гурван хуваагчтай байна. 72. Êвадратыг хэсэг бүр нь бусад гурван хэсэгтэйгээ тодорхой хэрчмээр хиллэдэг байхаар дөрвөн хэсэгт хувааж болох уу? Хариу: Болно 73. Ñав дүүрэн устай байв.Энэхүү савтай усыг гурван өөр торхонд тэнцүү хэмжээтэйгээр хийв.Тэгэхэд эхний торхонд нь устай, хоёр дахь торхонд нь устай, гурав дахь торхонд нь устай болжээ.Ñав ба торхнууд нь бүхэл тоон литр ус агуулах бол савны хамгийн бага утгыг ол. Бодолт: Торх бүрт савны 3 1 -тэй тэнцүү хэмжээний устай болсон. Иймд эхний торхны багтаамж нь савны 3 2 2 1 : 3 1 -тай тэнцүү, хоёр дахь торхны багтаамж нь савны 2 1 3 2 : 3 1 -тай тэнцүү, гурав дахь торхны багтаамж нь савны 9 4 4 3 : 3 1 тай тэнцэнэ. Ñавны багтаамж нь бүхэл тоо байх ба 2,3 ба 9 тоонуудад хуваагдах учир 18 литр байна.

74. 4,7,12,21,38,... тоонуудыг бичсэн зүй тогтлыг олоорой. Бодолт: Тоо бүр нь өмнөх тоогоо 2-оор үржүүлээд үржвэрээс өмнөх тооныхоо байрлалын дугаарыг хасна. 75. 10,8,11,9,12,10,13,... тоонуудыг бичсэн зүй тогтлыг олоорорй. Бодолт: Ñондгой дугаартай байрлал дээр 10,11,12,13,... тэгш дугаартай байрлал дээр 8,9,10,... тоонууд байрлана. 76. Çураг дээр арван ширхэг кубыг ïирамид хэлбэрээр байрлуулав.Êуб бүр нь шинэ кубуудтай хиллэдэг байхаар кубуудыг ïирамид хэлбэрээр байрлуул. Бодолт: Голын нүдэнд 1 байхад дахин 17 байрлуулалт гарна. Голын нүдэнд 1, 7 эсвэл 10 байх боломжтой учир нийт 3*18=54 байрлуулалт гарна. 77. 1 г,2г,3г,...,101г жинтэй туухайнуудаас 19г жинтэй тухайг хасаад үлдсэн 100 туухайг 50;50-иар нь жин нь тэнцүү байх хоёр хэсэгт хувааж болох уу? Хариу Болно. Эхний хэсэгт 101г ба 1г жинтэй хоёр туухайг ,хоёр дахь хэсэгт 100г ба 2г жинтэй хоёр туухайг,дараа нь эхний хэсэгт 99г ба 3г,хоёр дахь хэсэгт 98г ба 4г жинтэй туухайнуудыг оруулна.Энэ мэтчилэн хоёр дахь хэсэгт 84г ба 18г жинтэй туухайнуудыг байрлуулúя.Ингэхэд хэсэг бүрт 18 туухайтай болно.Îдоо эхний хэсэгт 83г ба 20г,хоёр дахь хэсэгт 82г ба 21г жинтэй туухайнуудыг оруулна.Дээрхийн адилаар үргэлжлүүлэхэд хамгийн сүүлчийн 52г ба51г жинтэй туухайнуудыг хоёр дахь хэсэгт оруулахад бодлогын нөхцөл биелнэ. 78. Гурван дэлгүүр 1990 ном авав.Эхний дэлгүүр 3 өдөрт авсан номныхоо харгалзан 2 1 , 11 1 , 37 1 -ийг, хоёр дахь дэлгүүр 3 1 , 9 1 , 57 1 -ийг, гурав дахь дэлгүүр 10 1 , 30 1 , 25 1 -ийг тус тус зарав.Дэлгүүр бүр хэдэн ном авсан бэ? Бодолт: Эхний дэлгүүрийн авсан ном хамгийн багадаа ХБÅХ(37,11,2)=814 ,хоёр дах дэлгүүрийн авсан ном хамгийн багадаа ХБÅХ(57,9,3)=171,гурав дахь дэлгүүрийн авсан ном хамгийн багадаа ХБÅХ(25,30,10)=150-тай тэнцэнэ.Эхний

c=2ac эсвэл 5a=(2a-1)c болно.Ñүүлийн тэнцэтгэл 2a-1=5 эсвэл c=5 байх хоёр боломжтой.Хэрэв c=5 бол b=10 болж зөрчилд хүрнэ.Иймд 2a-1=5 , a=3 болно.Эндээс c=3 b=6 болох ба хариу 36

b болох ба c=9 ,b=8 болно.Иймд хариу 198 87. дүрсийн оройнууд дээр 1-ээс 7 хүртэлх натурал тоонуудыг орой бүр дэх тоонууд нь харилцан ялгаатай,дөрвөн өнцөгт бүрийн оройнууд дээрх тоонуудын нийлбэр 14 байхаар байрлуулж болох уу? Хариу: Болно

12=24 тул 1,2,3,6,12,24 тоонууд хангана... гэх мэтчилэн аль ч 8 тооных нь нийлбэр үлдсэн тоонууддаа хуваагдана гэвэл 48.2=96, 96.2=192 болох ба 1,2,3,6,12,24,48,96,192 тоонууд бодлогын нөхцөлийг хангана. 91. 4х2008 хэмжээтэй хөлгийг 1х2 болон 2х1 хэмжээтэй 4016 тэгш өнцөгтүүдэд хувааж,тэгш өнцөгт бүрийн нэг диогоналийг татахдаа ямар ч хоёр диогональ ерөнхий төгсгөл цэггүй байхаар зохицуулж болох уу? Хариу: Болно

9=45 Çэрэгцээ орших гурван тоонуудаар 9 нийлбэр үүснэ. Эдгээр нийлбэрт тоо бүр гурав гурван удаа орох учир үүссэн 9 тооны нийлбэр 3. 45 болно.Гэтэл

1. 26=40 8. Øилэн саванд нэг амёб байв.Ñекунт тутамд дараах хоёр өөрчлөлтийн аль нэг нь явагдана.Ñаванд байгаа амёбуудын хэд хэд нь тус бүр нь 6 болж

a=2009a болно. 2009a=20092009 Эндээс a=20092008 байхад бодлогын нөхцөл биелнэ. 15. 8x8 хэмжээтэй шатрын хөлгийн нүдний аль ч гурван төв нэг шулууны дагуу оршдоггүй байхаар 16 нүдний төвүүдийг нь тэмдэглэж болох уу? Хариу: боломжит нэг хариуг үзүүлэв. 16. 14x14 хэмжээтэй нүдэн хүснэгтийг 2x5 ба 3x9 хэмжээтэй тэгш өнцөгтүүдэд хувааж болох уу?

27n=196 тэгшитгэлийг бүхэл тоон олонлогт бодоход шилжинэ.Çүүн тал нь хамгийн багадаа n=8 байхад 6-аар төгсөнө.Гэтэл 27.8=216 буþу зүүн тал нь баруун талаасаа их болно. Иймд боломжгүй. 17. 2x5 хэмжээтэй хүснэгтэнд 1-ээс 10 хүртэлх тоонуудыг бичив.Дараа нь мөр бүрийн ба багана бүрийн дагуу орших тоонуудынх нь нийлбэрийг олов.Тэгэхэд гарсан 7 нийлбэрт хамгийн олондоо хичнээн анхны тоо байх вэ? Хариу: 6 Хэрвээ бүх 7 нийлбэр анхны тоо байвал тус бүр 5 тооноос тогтох хоёр нийлбэр хоёулаа анхны тоо байх ба тоо бүр нь 5 -аас их байна.Хоёулаа 5-аас их анхны тоо байхын тулд нийлбэр тус бүр нь анхны тоо байна.(Óчир нь: Тэгш анхны тоо зөвхөн 2) Тэдгээр нийлбэрүүдийг хооронд нь нэмэхэд тэгш тоо гарна.Гэтэл дээрх хоёр тооны нийлбэр нь 1-ээс 10 хүртэлх тоонуудын нийлбэртэй буþу 55- тай тэнцэнэ.Иймээс өгөгдсөн нийлбэрүүдийн дунд 6-аас олонгүй тооны анхны тоо байна.Нийт 6 анхны тоо байх жишээ үзүүлье. 18. N-натурал тооны бүх зэрэгцээ орших хоёр циôрүүдийнх нь нийлбэрийг бодож үзье.(Жнь:N=35207-тооны хувьд ,8,7,2,7 тоонууд гарна) Эдгээр нийлбэрүүд нь 1-ээс 9 хүртэлх бүх тоонууд гардаг бол хамгийн бага N тоог ол. Бодолт: N=1021324354 ßлгаатай 9 нийлбэр гарахын тулд N-тоо хамгийн багадаа арван оронтой тоо байна. Ийм учраас 1,2,3,4,...,8,9 нийлбэрүүд зөвхөн нэг нэг удаа тааралдах хамгийн бага арван оронтой тоог олох ёстой.Хоёр арван оронтой тооны аль эхний циôр нь бага байх тоо бага тоо байх учир N-тооны эхний циôр 1,хоёр дахь циôр 0 байна.1 -нийлбэр гарсан учир гурав дахь тоо нь 2 ... гэх мэтчилэн цаашид үргэлжлүүлнэ. 19. Нэг нь 8-д хуваагддаг, хоёр нь7-д хуваагддаг, гурав нь 6-д,..,долоо нь 2-д хуваагддаг найман натурал тоо оршин байх уу? Хариу Îршин байхгүй Бодлогын нөхцөлийг хангах найман натурал тоо оршин байдаг гэе.Тэгвэл бодлогын нөхцөлөөс нэг нь 2-т хуваагдахгүй, хоёр нь гуравт хуваагдахгүй гэсэн үг.Авч үзэж буй тоонуудын дунд 2 ба 3-т хуваагддаг (ө/х: 6-д хуваагддаг) 5-аас цөөнгүй тоо байгаа гэсэн үг. Гэтэл бодлогын нөхцөл ёсоор 6-д хуваагддаг 3 тоо байх ёстой. Энэ зөрчил нь бодлогын нөхцөлийг хангах тоонууд байхгүйг нотолно. 20. Êвадратын хичнээн хэсэг нь зурааслагдсан бэ?

210 байгааг анхаарúя. 1-ээс эхлэн хоёр дахь тоо бүрийг дарж явсаар 955 тоо дарúя. Үүний дараа тойрог дээр 210 тоо үлдэх ба эхний тоо нь а1=1911 болно. Иймд дээр үзүүлсэн ёсоор а1=1911-ээс эхлэн 10 удаа тойрог дарсны дараа а1=1911 тоо үлдэнэ. 24. 75x75 хэмжээтэй хүснэгтийг хэлбэрийн дүрсүүдэд хувааж болох уу? Хариу: Болоõã¿é Хүснэгтийг шатрын хөлөг шиг будúя.Хэрвээ 75x75 хүснэгтийг өгөгдсөн дүрсүүдэд хувааж болдог байхын тулд хар ба цагаан нүднүүдийнх нь тооны зөрөө 3-д хуваагдах ёстой.75x75 хүснэгтийг шатрын хөлөг шиг будахад хар ба цагаан нүдний тооны зөрөө 1 байна. Иймд хувааж болохгүй.

9=28 ,түүний өмнө циôрүүдийнх нь нийлбэр 27 байх тоонууд байрлана.Тийм 4 тоо байгаа: 999,1899,1989,1998 эдгээрээс 1998 нь хамгийн их тоо буþу 1999-р байранд байрлана. 27. 8x8 хэмжээтэй хүснэгтийн нүднүүдийг гурван өнгөөр будав.Ижил өнгөөр будагдсан гурван нүднээс тогтох булан хэлбэрийн дүрс байхгүй байв. (2x2квадратын нэг нүдийг авахад гурван нүднээс тогтох булан хэлбэрийн дүрс үүснэ.)Ìөн бүх нүд нь өөр өнгөөр будагдсан гурван нүднээс тогтох булан хэлбэрийн дүрс байхгүй бол ижил өнгөөр будагдсан нүднүүдийн тоо тэгш болохыг батал. Бодолт: Дурын 2x2 квадратыг авч үзье.Бодлогын нөхцөлийг хангахын тулд 2x2 квадрат бүрд нүднүүд нь хоёр хоёроороо ижил өнгөөр будагдана.8x8 хүснэгт нь 2x2 хэмжээтэй 16 квадратад хуваагдана.Иймд эдгээр квадрат бүрд эхний өнгөөр будагдсан нүд байхгүй эсвэл хоёр байна.Иймээс эхний өнгөөр будагдсан нүдний тоо тэгш. Үүнтэй ижилхэн хоёр ба гурав дахь өнгөөр будагдсан нүднүүдийн тоо тэгш байна. 28. 8x8 хэмжээтэй шатрын хөлөг өгөгдөв.Нэг удаагийн үйлдлээр дурын нүдний өнгийг түүнтэй хөрш аль нэг нүдний өнгөөр солино.Энэ үйлдлийн тусламжтайгаар шатрын хөлгийн бүх нүдний өнгийг эсрэгээр нь өөрчилж чадах уу?(Åрөнхий талтай хоёр нүдийг хөрш гэнэ) Хариу: Болоõã¿é Бүх нүдний өнгийг эсрэгээр нь өөрчилж чаддаг гэж үзье. Ñүүлчийн нэг нүднээс бусдыг нь эсрэгээр нь сольсон гэе.Үлдсэн нүдтэй хөрш нүднүүд нь бүгд өнгөө эсрэгээрээ сольсон байх ёстой.Иймд үлдсэн нэг нүдийг эсрэг өнгөөр нь сольж чадахгүй.

29. Êубын талсууд дээр 1-ээс 6 хүртэлх циôрүүдийг бичив.Åрөнхий ирмэгтэй хоёр талс дээр хөрш хоёр циôр бичигдсэн гэдгийг батал. Бодолт: 2- гэсэн циôр бичигдсэн талсыг авч үзье.Түүнтэй ерөнхий ирмэгтэй дөрвөн талсыг улаанаар,ерөнхий ирмэггүй нэг талсыг нь хөх өнгөөр будúя.2- циôрийн хоёр хөрш нь 1 ба 3 циôрүүд болно.1 ба 3-ын зөвхөн нэг нь хөх талс дээр байрлаж болох ба нөгөө нь заавал улаан талс дээр байрлана.Иймд ерөнхий ирмэгтэй хоёр талс дээр хөрш хоёр циôр бичигдэнэ. 30. 81 зоосны дунд нэг хуурамч зоос байв.Хуурамч зоос жинхэнэ зоосноос хөнгөн.Тавган жингийн тусламжтайгаар 4 удаа жинлэж хуурамч зоосыг илрүүл. Бодолт: Çооснуудыг тус бүртээ 27 зоостой гурван хэсэгт хуваая.Эхний хоёр хэсгийг жинлэе.Хэрвээ жин тэнцэж байвал гурав дахь хэсэгт хуурамч зоос байна.Хэрвээ жин тэнцэхгүй байвал хөнгөн хэсэгт нь хуурамч зоостой.Дараа нь хуурамч зоостой 27 зоосыг ес,есөн зоостой гурван хэсэгт хуваана.Дараа нь мөн хуурамч зоостой хэсгийг нь гурав,гурван зоостой гурван хэсэгт хуваана.Дараа нь мөн хуурамч зоостой хэсгийг нь нэг нэг зоостой гурван хэсэгт хувааж хуурамч зоосыг нь олно. 31. 79 зоосны дунд нэг хуурамч зоос байв.Хуурамч зоос жинхэнэ зоосноос хөнгөн Тавган жинийн тусламжтайгаар 4-өөс олонгүй удаа жинлэж хуурамч зоосыг олоорой. Бодолт: Çооснуудыг 27, 27 ба 25 ширхэг зоостой гурван хэсэгт хуваая.Хуурамч зоос 27 зоостой хэсэт байвал өмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно.Хэрэв хуурамч зоос 25 зоостой хэсэгт байвал зооснуудыг 9,9 ба 7 зоостой гурван хэсэгт хуваана.Хуурамч зоос 9 зоостой хэсэгт байвал өмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно.Хэрвээ хуурамч зоос 7 зоостой хэсэгт байвал зооснуудыг 3,3 ба 1 зоостой гурван хэсэгт хуваана.Хэрвээ 3 зоостой хэсэгт хуурамч зоос байвал өмнөх бодлоготой ижилхэнээр бодно.Хэрэв гурав гурван зоостой хоёр хэсэг хоорондоо тэнцэж байвал үлдсэн нэг зоос хуурамч зоос болно. 32. Öэцэг 8 дэлбээтэй .Хөрш дэлбээнүүд дээрх тоонуудынх нь зөрөө 5 эсвэл 7 байхаар 25-аас хэтрэхгүй ялгаатай найман натурал тоонуудыг цэцгийн дэлбээнүүд дээр байрлуул 33. Дурын хөрш хоёр тооных нь зөрөө 4 эсвэл 7 байхаар 5x5 хүснэгтийн нүднүүдэд ялгаатай натурал тоонуудыг бичиж болох уу? (Нэг багана эсвэл нэг мөрөнд зэрэгцээ оршиж байгаа тоонуудыг хөрш тоонууд гэнэ)Их тооноос нь багыг нь хасаж ялгаварыг олно. 34. Ìөр ба багана бүрийн дагуу сондгой тооны нүд агуулж байхаар 9 ширхэг доминог (ө/х: 1x2 хэмжээтэй 9 ширхэг тэгш өнцөгт) 10x10 хэмжээтэй хүснэгтэнд байрлуулж болох уу?Давхардуулж байрлуулж болохгүй. Хариу: Болоõã¿é