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Forma, espacio y medida Manual para el Formador

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El Curso de Actualización Las Matemáticas y su Enseñanza en la Escuela Secundaria II. Forma, espacio y medida; fue elaborado por la Universidad de Sonora y la Sociedad Matemática Mexicana en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública.

Autores: M en C. Ana Guadalupe del Castillo M en C. Martha Cristina Villalba G. M en C. Jorge Ruperto Vargas Castro

Supervisión Técnica y Pedagógica: Maestra Ma. Alma Díaz Barriga Ing. Alma Lucía Hernández Pérez

Diseño de portada Ricardo Muciño Mendoza

Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan todos los contribuyentes. Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra no podrá ser reproducido total ni parcialmente, ni almacenarse en sistemas de reproducción, ni transmitirse por medio alguno sin permiso de los titulares de los derechos correspondientes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a lo establecido.

Primera edición: 2009 D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, C.P. 06200, México D.F. ISBN en trámite.

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Manual para el Formador Curso: “Las Matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II” Forma, espacio y medida.

Índice de Contenidos Introducción

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SESIÓN 1 Presentación

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Descripción de: Actividad 1

Construcción de estructuras 1

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Actividad 2

Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados

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Actividad 3

Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados

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Actividad 4

Construcción de estructuras 2

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Actividad 5

Doblando papel; trazos notables

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Actividad 6

Doblado de papel. Trazo de mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo

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Actividad 7

Doblado de papel. Trazo de las alturas en un triángulo

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Actividad 8

Trazos notables con regla y compás

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Actividad 9

Trazo de mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo con regla y compás

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Actividad 10

Explorando Software de Geometría Dinámica

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Tarea 1

Descripción y Propósitos de la Lectura 1

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SESIÓN 2 Presentación

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Descripción de: Actividad 1

Adquiriendo la noción de reflexión

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Actividad 2

Iniciando matematización

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Actividad 3

Afianzando la noción de reflexión

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Actividad 4

Usando vidrio reflecta para ver las propiedades de la reflexión

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Actividad 5

Usando software de geometría dinámica para analizar la reflexión

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Actividad 6

Construyendo la definición

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Actividad 7

Validando una conjetura

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Actividad 8

Usando software de geometría dinámica para generar la rotación como composición de reflexiones

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Manual para el Formador Curso: “Las Matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II” Forma, espacio y medida.

Actividad 9

Usando software de geometría dinámica para generar la traslación como composición de reflexiones

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Actividad 10

No toda reflexión es simetría ni toda simetría es reflexión

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Actividad 11

Nuestros Materiales de trabajo

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Tarea 2

Descripción y propósitos de la Lectura 2

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SESIÓN 3 Presentación

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Descripción de: Actividad 1

Dibujos a escala: Identificar una buena imagen

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Actividad 2

Dibujos a escala: Doblar coordenadas

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Actividad 3

Medidas indirectas

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Actividad 4

¿Otros Criterios de Semejanza de Triángulos?

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Actividad 5

De las Razones a las Funciones Trigonométricas

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Actividad 6

Nuestros Materiales de Trabajo.

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Tarea 2

Descripción y propósitos de la Lectura 3

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SESIÓN 4 Presentación

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Descripción de: Actividad 1

¿Qué Significa Medir?

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Actividad 2

Área de la Palma de la Mano

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Actividad 3

Explorando Áreas en el Geoplano

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Actividad 4

Triángulos y Rectángulos

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Actividad 5

Calculando Áreas

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Actividad 6

Un Número Especial

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Actividad 7

Estimando el Área del Círculo

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Actividad 8

Adquiriendo la Noción de Volumen

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Actividad 9

Cilindros y Conos

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Actividad 10

Presentación de la Actividad Diseñada

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Recomendaciones para la evaluación iv

Manual para el Formador Curso: “Las Matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II” Forma, espacio y medida.

Introducción En este segundo curso sobre las matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria, uno de los propósitos fundamentales es ampliar y profundizar el análisis de los contenidos disciplinarios en el eje temático “Forma, Espacio y Medida” tomando en cuenta que el eje “Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico” fue el objeto de estudio del curso anterior llamado “Las Matemáticas y su Enseñanza en la Escuela Secundaria I” y que, consecuentemente, los contenidos del eje “Manejo de la información” han sido programados para un tercer curso. Es muy importante que el conductor de este espacio de formación, (ya sea en su papel de formador de instructores o en el de formador de profesores), conozca el documento denominado “Descripción del curso”, donde se expone la fundamentación bajo la cual éste ha sido elaborado, los contenidos seleccionados, cómo se organizó, las estrategias de enseñanza y aprendizaje propuestas, los productos esperados y las propuestas de evaluación con evidencias del desarrollo de las competencias docentes establecidos en los planes y programas vigentes (ésta última se reproduce al final de la presente Guía del Formador con el fin de que éste –el formador– cuente con las referencias operativas de su función en un único documento). Toda esa información complementa la que se presenta en este material que ahora tiene en sus manos, donde encontrará: a. El enunciado del contenido genérico de la sesión y la Presentación de la misma b. La relación de material didáctico de apoyo para cada actividad. c. La descripción de cada una de las actividades que conforman cada sesión, donde se incluyen propósitos y estrategias de conducción.

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Manual para el Formador Curso: “Las Matemáticas y su enseñanza en la escuela secundaria II” Forma, espacio y medida.

Es fundamental que el formador, antes de realizar la planeación de sus asesorías, realice en su totalidad las actividades propuestas en el “Material del Participante” y revise con detenimiento las sugerencias específicas que se incluyen en este documento, con el propósito de que tenga claridad en lo que se pretende con ellas. También es importante que las actividades propuestas en cada una de las sesiones de este curso se desarrollen de acuerdo a la metodología propuesta en la “Descripción del curso”, metodología acorde a la concepción que se tiene de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas en la escuela secundaria. El curso se ha organizado en cuatro sesiones, atendiendo prioritariamente la necesidad de fortalecer aspectos matemáticos que en el currículo de la escuela secundaria tienen un papel fundamental, lo cual puede también constatarse en la importancia que se le asigna en diversas evaluaciones sobre aprovechamiento escolar (ENLACE Y PISA). Se recomienda que antes de clausurar los trabajos, se promuevan las reflexiones y comentarios entre los participantes acerca de: ƒ

Lo que aprendieron: No solamente conceptos o definiciones, sino el tipo de “trabajo geométrico” que realizaron en términos de las habilidades específicas que cada tarea demandó, por ejemplo, en cuanto a la necesidad de visualizar propiedades de las construcciones hechas, junto a la capacidad de buscar estrategias y argumentos para validarlas y determinar su generalidad.

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Cómo lo aprendieron: Los procesos que cada quién tuvo que realizar para aprender. Por ejemplo, cómo usaron o relacionaron lo que ya sabían, el papel que jugaron las actividades propuestas, los materiales y el ambiente de intercambio de opiniones que se propició, entre otros.

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Cómo se les “enseñó”. El papel que jugó el (la) instructor(a). ¿Qué hizo?

Estas reflexiones, si no se tiene tiempo suficiente para comentarlas en clase, pida igualmente que se las envíen mediante correo electrónico. Si usted cuenta con un sitio web disponible, se tiene la alternativa de de abrir un foro con este tipo de preguntas.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Sesión 1 “Construcciones Geométricas” Mediante trazos, manipulaciones físicas y uso de software de geometría dinámica-, además de constituir un objeto geométrico en sí mismas, son un medio para indagar propiedades de figuras y hacer conjeturas, así como también constituir un importante recurso para fomentar la argumentación.

Presentación La comprensión de la organización espacial del mundo que vivimos requiere un aprendizaje que se puede sistematizar. El acercamiento al estudio de la Geometría en esta sesión se abordará a través de construcciones de figuras, de la manipulación de sus elementos y de la búsqueda de relaciones, que se tratarán de argumentar y verificar. Así, la finalidad de esta sesión es promover el desarrollo de habilidades propias del pensamiento geométrico y la construcción de conocimiento a través de observaciones, manipulaciones, descripciones y argumentaciones. En general el ambiente propuesto es de juego y retos utilizando materiales manipulables. En dicho ambiente, las estrategias utilizadas en cada situación pueden diferir, y en este sentido, se puede aprovechar esa diferencia (o coincidencia) para inducir las discusiones en base a argumentos que validen esas estrategias en términos de generalidad o economía. La manipulación y construcción de figuras geométricas contribuirá a un conocimiento más elaborado sobre las mismas, pasando de las nociones fundamentalmente perceptivas a la conceptualización de las formas y figuras mediante la detección de regularidades y la consideración de elementos y relaciones. Las habilidades que se busca desarrollar son de construcción de estrategias y conjeturas, así como de integración del “hacer” y “reflexionar” para poder producir argumentos propios que determinen su ámbito de validez. La sesión inicia con una secuencia que está organizada de manera que la experiencia inicial de construcción de una torre (Actividad 1), se vea impactada por los resultados que se obtendrán al analizar propiedades de

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

cuadriláteros y de triángulos (Actividades 2 y 3), de tal manera que al construir de nuevo la torre en un segundo intento (Actividad 4), se logre poner en evidencia cómo el conocimiento geométrico –en este caso la propiedad de rigidez de los triángulos–determina la estabilidad de la torre construida. En las siguientes Actividades se toma como eje el trazo de líneas especiales mediante doblado de papel para explorar, inicialmente, las propiedades de la perpendicularidad y el paralelismo relacionadas con las nociones de distancia y punto medio. Esto conduce a explorar en ese mismo ambiente de doblado de papel las propiedades de las mediatrices, medianas, bisectrices y alturas en los triángulos. El doblado de papel nos ha parecido un excelente recurso manipulable de alcances didácticos muy potentes; de nuevo, el “hacer” y “reflexionar” se tornan necesarios para poder producir argumentos propios que permiten describir los procesos llevados a cabo al producir el trazo solicitado y decidir por qué ese trazo logrado cumple efectivamente con su definición. Por otra parte, la selección misma de los trazos nos parece idónea para ratificar sus propiedades al experimentar que su comprensión permite explorarlas mediante otros recursos, como los instrumentos geométricos regla y compás, o los recursos de construcciones dinámicas en un ambiente computacional. Precisamente para lograr lo dicho al final del párrafo anterior, se introduce una actividad especial para conocer un software de geometría dinámica. Esta actividad no desvía la atención de las construcciones y nociones antes revisadas, pretendiendo solamente asegurar un punto de dominio mínimo común para explorar, en este ambiente de cómputo, las particularidades de las construcciones de los trazos que anteriormente se hicieron en papel.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Actividad 1 11 Construcción de estructuras 1 Materiales: Palillos de dientes y bombones miniatura como conectores. Descripción y propósitos. Es importante tomar en cuenta que con esta Actividad se inicia una pequeña secuencia didáctica que está organizada para que la experiencia inicial de construcción de una torre (Actividad 1), se vea impactada por los resultados que se obtendrán al analizar propiedades de cuadriláteros y de triángulos (Actividades 2 y 3), de tal manera que al construir de nuevo la torre en un segundo intento (Actividad 4), se logre poner en evidencia cómo el conocimiento geométrico –en este caso la propiedad de los triángulos que habrán identificado como útil para esta construcción- determina la estabilidad de la torre construida. Es importante señalar que el ambiente de competencia entre equipos para lograr construir la torre más alta (que se mantenga estable), uniendo palillos con bombones, en un tiempo de 15 a 20 minutos, genera mucho entusiasmo. Los participantes se sienten “fuera de clase”, es decir, están jugando a ganar utilizando su ingenio. Resulta favorable aprovechar “el fracaso” de mantener las torres erguidas y mantener el ambiente de juego (dar premios, tomar fotos, etc.). Se discute lo que funcionó mejor para lograr la mayor altura y lo que no funcionó. Las preguntas que se encuentran en el folleto de actividades para los participantes pueden servirle de guía al terminar la construcción de la torre por primera vez. Se recomienda trabajar en equipos de dos a cuatro personas que permanecerán durante toda la secuencia. Durante la construcción de las torres el instructor asume el papel de juez imparcial que otorgará o no premios, pero NO promoverá la reflexión, ni mucho menos dictaminará sobre las características geométricas de cada construcción. Puede permitir comentarios generales guiados por las preguntas del folleto. Se recomienda de nuevo NO decirles que tendrán oportunidad de reconstruirla más adelante, pues se trata de que ellos logren ver luego, por sí mismos, el beneficio de integrar el conocimiento recordado o aprendido a través de las dos actividades siguientes a ésta.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Actividad 2 Construcción de cuadriláteros dadas las medidas de sus lados

Materiales: Tiras acoplables. Estas pueden hacerse de cartoncillo, madera, plástico, etc. Tijeras y tachuelitas.

Descripción y propósitos. Cuando se aborda esta actividad 2 las torres se dejan por un lado, como si se pasara a otra cosa. En esta actividad, como en la que sigue, se da lugar a diversas situaciones en donde la observación, las conjeturas, los argumentos, las descripciones y el enunciado de definiciones y reglas cobra especial importancia. Todas estas acciones son componentes importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en particular. Para promoverlo, se puede solicitar que cada equipo lea en voz alta la regla que escribió para determinar si es posible o no construir un cuadrilátero dadas las longitudes de cuatro segmentos respectivamente y propiciar la discusión en todo el grupo sobre las diferentes maneras de enunciarla. Igualmente es conveniente promover la discusión permanente entre equipos conforme van avanzando en las actividades. Nota: Primero hay que recortar las tiras y buscar una manera conveniente de perforar (con una tachuelita) solamente donde haga falta, pues puede resultar tedioso (y doloroso) perforarlas todas.

Actividad 3 Construcción de triángulos dadas las medidas de sus lados Materiales: Tiras acoplables. Estas pueden hacerse de cartoncillo, madera, plástico, etc. Tijeras y tachuelitas (el mismo que el anterior). 6

Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Descripción y propósitos. Como se mencionó antes, esta actividad 3 es parecida a la 2 en cuanto a lo que se persigue poner en juego. Ahora se trata de analizar ciertas propiedades en la construcción de triángulos. El formato que se presenta para dicho análisis es como el anterior, y justamente por ello sirve de apoyo para hacer las comparaciones pertinentes entre algunas propiedades de cuadriláteros y triángulos. De nueva cuenta se da lugar a diversas situaciones en donde surgen acciones que son componentes importantes del pensamiento matemático en general y del geométrico en particular. Es importante por lo tanto solicitar que cada equipo, como en la actividad anterior, lea en voz alta la regla que escribió para determinar si es posible o no construir un triángulo dadas las longitudes de tres segmentos respectivamente y propiciar la discusión en todo el grupo sobre las diferentes maneras de enunciarla. Igualmente es conveniente promover la discusión permanente entre equipos conforme van avanzando en las actividades. Posiblemente se logre el ambiente para hacer conjeturas sobre extensiones de la regla obtenida para la construcción de otros polígonos.

Actividad 4 Construcción de estructuras 2 Materiales: La torre construida anteriormente en cada equipo.

Descripción y propósitos. Reconstruir la torre tiene como propósito que la propiedad de rigidez del triángulo recién experimentada en la actividad anterior, sea utilizada para garantizar la estabilidad en la construcción de la torre más alta. Es decir, es aquí en donde se verá si efectivamente las reflexiones hechas anteriormente se asumen como un conocimiento funcional para enfrentar dicho reto.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Por supuesto que usted no mencionará este propósito explícitamente, sino que simplemente pedirá a los participantes que de nuevo retomen el reto de volver a construir su torre y poder seleccionar un equipo un equipo ganador tomando en cuenta que la torre deberá mantenerse estable a pesar de su altitud. Durante la actividad 4 el trabajo al interior de cada equipo es importante, la comparación de las torres finalmente construidas de nuevo, se plantea como la situación que detone la comunicación ante el grupo de las reflexiones hechas. Las preguntas hechas en el folleto del participante pueden ser la guía para la discusión grupal una vez que se han respondido al interior del equipo. Recuerde que el ambiente es de “concurso”, se recomienda de nuevo tomar fotos a las torres finalmente construidas y, particularmente, a los ganadores. No olvide otorgar un “reconocimiento” o un premio.

Actividad 5 Doblando papel; trazos notables Materiales: Tres o cuatro hojas de papel copia (el delgadito, translúcido) para cada participante Descripción y propósitos. Las actividades se inician a partir de un segmento dibujado en una hoja de papel translúcido. Se generan estrategias adecuadas para la construcción de: el punto medio, una línea perpendicular, una línea paralela y la mediatriz del segmento dado, solamente apoyándose en el doblado del papel. La finalidad es que cada vez que una estrategia dé el resultado esperado, se argumente por qué sí funciona y si funcionaría en general. Posiblemente resulte sumamente sencilla esta actividad, pero la intención es que usted se asegure que los conceptos de perpendicularidad y paralelismo están claros. Además, las construcciones del punto medio y la mediatriz, además de la línea perpendicular al segmento que pasen por cierto punto, requieren de estrategias alternativas que deben quedar igualmente claras en su argumentación y desarrollo puesto que, además de lo práctico que resultan en el uso cotidiano cuando se carece de instrumentos geométricos, se convertirán en la herramienta básica para hacer los trazos que se requieren en la siguiente actividad.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Las propiedades o definiciones que se proporcionan están en calidad de información para dar seguimiento a las actividades que las requieren. No se pretende que se memoricen. Si el resultado de algún trazo resulta “equivocado”, se sugiere promover una discusión para asegurarse qué interpretación se le ha dado a esa definición y mediante la participación grupal se aclare lo necesario.

Actividad 6 Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo Materiales: 12 hojas de papel copia para cada participante Descripción y propósitos. En esta actividad se solicita a los participantes que tracen las tres mediatrices, medianas y bisectrices en cuatro triángulos de diferentes formas, como los que se muestran en el folleto de actividades, con la finalidad de que aseguren la funcionalidad de la estrategia de doblado de papel usada en la actividad anterior. Las acciones conducen a una situación de estudio adicional acerca de las características de los puntos de concurrencia. A juicio de usted, puede tomar la iniciativa de inducir el estudio de los que considere convenientes, mencionarlos como información, o dejar como tarea su investigación. Este punto será retomado posteriormente para ser analizado con el uso de tecnología, particularmente con software de geometría dinámica. Se sugiere que después de cada trazo se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los argumentos utilizados para conjeturar su generalidad, se logre algún acuerdo sobre la o las que se consideren más adecuadas. Como en la actividad anterior, las definiciones se proporcionan en calidad de información para dar seguimiento a las actividades que las requieren. No se pretende que se memoricen. Si el resultado de algún trazo resulta “equivocado”, se sugiere promover una discusión para asegurarse qué interpretación se le ha dado a esa definición y mediante la participación grupal se aclare lo necesario.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Actividad 7 Trazo de las alturas en un triángulo Materiales: Cuatro hojas de papel copia para cada participante Descripción y propósitos. En esta actividad se mantienen las descripciones y los propósitos análogos a la Actividad 6. Además presenta una situación en la que se induce la reflexión sobre la equivalencia de alturas en triángulos de diferentes formas pero que tienen la misma base y están trazados entre líneas paralelas

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Actividad 8 Trazos notables con regla y compás Materiales: Dos hojas tamaño carta de papel bond. Descripción y propósitos. Después de haber desarrollado la secuencia de actividades con doblado de papel, se plantea en las actividades siguientes la construcción de los mismos trazos, pero ahora utilizando regla (no graduada) y compás. El uso de estos instrumentos como herramienta de construcción conlleva experiencias que refrescan o amplían significados funcionales de los mismos. Es deseable que al hacer uso del compás, promueva usted entre los participantes la reflexión y comunicación –grupal o por equipos– sobre la característica fundamental que tiene cualquier punto de una circunferencia respecto a su centro. De esta manera asegura que efectivamente su uso para determinar distancias iguales tiene sustento. Igualmente se insiste en que después de cada trazo se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los argumentos utilizados para conjeturar su generalidad, se logre algún acuerdo sobre la o las que se consideren más adecuadas. Se recomienda que al terminar toda la actividad comenten en el grupo sobre ventajas o desventajas de utilizar como herramientas los instrumentos geométricos tomando como referencia el recurso de doblado de papel

Actividad 9 Trazo de las mediatrices, bisectrices y medianas en un triángulo con regla y compás Materiales: Dieciséis hojas tamaño carta de papel bond por participante o veinte por equipo, según decida trabajar el instructor

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

Descripción y propósitos. En esta actividad se mantienen las descripciones análogas a las descritos en la Actividad 6, pero con los propósitos orientados al uso de regla y compás enunciados en la Actividad 7. Se recomienda sin embargo, que si ya se ha consumido mucho tiempo, los trazos requeridos a cada participante, no se hagan en todos los triángulos; alternativamente puede desarrollarse de manera colaborativa entre los miembros del equipo mediante la selección de un solo triángulo por cada participante, con la condición de que estos sean diferentes para cada miembro del equipo, con el fin de que puedan comparar y, entre todos, dar respuesta a los distintos puntos de la actividad.

Actividad 10 Explorando “Software de Geometría Dinámica” Materiales: Equipo de cómputo con un programa de geometría dinámica instalado (Cabrí, Geómetra, Cinderella, GeoGebra,…) Descripción y propósitos. Estas actividades tienen la intención de llevar al estudiante a retomar algunos de los trazos ya hechos mediante doblado de papel. Particularmente las indicaciones para iniciar el uso de este tipo de software son breves puesto que se aprovecha el análisis hecho anteriormente sobre las propiedades de las medianas, mediatrices, bisectrices y alturas de los triángulos y las de los puntos de concurrencia de esos elementos. Inicialmente se dan algunas indicaciones generales de construcciones en ese ambiente de construcciones interactivas que proporciona el software de tal manera que de manera natural el participante se ve inmerso en ese ambiente de cómputo por lo que los propósitos de la lección se logran sin contratiempos.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 1

De ser posible se sugiere trabajar en una sala de cómputo para que cada participante tenga acceso a una computadora. A lo más pueden estar en parejas. El instructor promueve la socialización de los resultados obtenidos conforme avanza el desarrollo de las actividades Se sugiere que después de cada trazo se compartan, en forma grupal, las experiencias de uso de este tipo de manipulación dinámica. Que se enfatice en la posibilidad que brinda este ambiente para promover nuevas conjeturas, así como la oportunidad de rechazarlas o fortalecerlas.

Tarea Lectura 1: “Pensamiento Geométrico y Conceptos Geométricos” Van de Walle, John A. Material: Lectura 1 en Anexos. Página Descripción y Propósitos En esta lectura se presentan de forma accesible, en un contexto descriptivo de realización de actividades geométricas para el salón de clase, los conceptos geométricos que el autor considera como las guías que debieran regir la organización de contenidos geométricos de la escuela básica. Presenta además una guía teórica para explicar los niveles de razonamiento geométrico: la taxonomía propuesta por los Van Hiele. Esta última resulta sumamente interesante y funcional para los participantes pues les sería útil para identificar, en sus materiales de apoyo didáctico, los correspondientes niveles de razonamiento geométrico que pretenden promover en los estudiantes.

Los Ficheros y Planes y Programas de Matemáticas están disponibles en la dirección electrónica http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 2

Sesión 2 Transformaciones en el plano Implican el estudio de los movimientos rígidos en el plano con un enfoque sintético y las relaciones entre dichos movimientos. Observación, identificación de características espaciales, construcción y comunicación dan lugar finalmente a que el significado de las nociones implicadas adquieran el rango de definición.

Presentación En estas actividades, se presentan elementos que propician la adquisición de ciertos conceptos, no con una mentalidad estática como lo haría un dibujo, por bien hecho que esté, sino con una percepción de “vida” al propiciar, mediante una conducción didáctica adecuada, se asocie las figuras geométricas con situaciones dinámicas, de acción, de movimiento. Estos elementos importantes que dan un viro a la visión de la geometría plana, son las llamadas transformaciones geométricas en el plano, aun cuando nos restringimos en esta ocasión sólo a las llamadas isometrías; o sea, aquellas cuya imagen obtenida al aplicar una de estas transformaciones a una figura, conserva la forma y magnitudes de la figura original. Creemos que éstas serán suficientes para ilustrar la importancia de este tipo de recurso conceptual, sobre todo si, como se hará, se apoya con el uso de recursos tecnológicos como el uso de software de geometría dinámica por medio de una computadora y un cañón de proyección. Las principales de estas transformaciones son: Traslación, Rotación y Reflexión. En esta ocasión partiremos de la Reflexión y mediante el uso gráfico del concepto de composiciones de reflexiones, nos propondremos generar las demás isometrías y las relaciones cuantificables pertinentes. El instructor de esta sesión tiene “prohibido” dictar una definición de cualquiera de los conceptos involucrados, ya que uno de los grandes objetivos es que el estudiante pueda llegar, más adelante, a la elaboración de su propia definición. Otro de los grandes objetivos de esta secuencia de actividades es lograr corregir un error conceptual que se arrastra desde la primaria, y tal vez desde jardín de niños: nos referimos al

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 2

concepto de simetría, que suele identificarse con la transformación llamada reflexión y por tal motivo se piensa que la simetría sólo puede ser generada por reflexiones. Haremos ver que: “No toda simetría es una reflexión y no toda reflexión es una simetría”. Se sugiere que después de cada tarea se compartan, en forma grupal, los hallazgos obtenidos, de tal forma que se logren determinar los elementos, las propiedades y relaciones involucrados en el concepto de Reflexión.

Actividad 1 Adquiriendo la noción de reflexión Materiales: Hojas sueltas de papel bond (al menos 3 hojas) y una de papel carbón para cada uno de los participantes. Un espejo y un semiespejo (12cm x 15cm aprox.) por equipo. Un juego geométrico individual. Descripción y propósitos. En la siguiente actividad expresará las sensaciones y las ideas surgidas al observar, representar y describir las características de la imagen obtenida de un objeto al ser reflejado en un espejo, con el propósito de percibir, en un primer nivel de percepción, la noción de reflexión.

Actividad 2 Iniciando matematización Materiales: Hojas sueltas de papel bond (al menos 3 hojas) y una de papel carbón para cada uno de los participantes. Un espejo y un semi espejo (12cm x 15cm aprox.) por equipo. Un juego geométrico individual.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 2

Descripción y propósitos. En esta actividad se está iniciando un proceso de matematización del concepto de reflexión con respecto a un eje (indebidamente conocida como simetría axial); partiendo de la determinación de propiedades locales de la misma, es decir, con la ayuda de la secuencia que sigue a continuación, se pretende propiciar que el estudiante descubra y sistematice las propiedades medibles que guardan entre sí un par de puntos donde uno es el reflejo del otro con respecto a un eje dado.

Actividad 3 Afianzando lo noción de Reflexión Materiales: Sólo el material impreso proporcionado Descripción y propósitos. Esta actividad fue tomada, con leves adaptaciones, del libro de tercer año de primaria. En las cuadrículas de la primera hoja, sólo se pretende percibir y expresar gráficamente la noción de reflexión, a manera de repasar la noción de reflexión con el apoyo de la cuadrícula; en cambio, en las dos últimas gráficas de la segunda hoja, se debe poner especial atención, debido a que el eje es oblicuo a las líneas de la cuadrícula, lo que aumenta el grado de dificultad, sobre todo en la de la izquierda ya que, aunque se cuente con una regla formal, mediante el uso de pendientes, para determinar la perpendicularidad de dos rectas, no se percibe dicha estrategia en el campo concreto, se queda en los niveles abstractos. Muchos profesores de distintos niveles en el país han tenido dificultad para resolver correctamente este problema. ¿Será adecuado para tercer año de primaria donde, como ya se dijo, se encuentra actualmente ubicado?

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 2

Actividad 4 Usando vidrio reflecta para ver las propiedades de la reflexión Materiales: Se utilizan unas piezas de 12X15 Cm de un vidrio conocido comercialmente “vidrio reflecta” por tener la propiedad de reflejar una parte de la luz que incide sobre él y transparentar el resto, o sea que hace la función de un semi espejo. Descripción y propósitos. En esta actividad se pretende el doble fin de, por un lado, afianzar en otro ambiente las propiedades estudiadas de la reflexión, ya que en cierto modo se repite lo realizado con ayuda de papel y papel carbón pero con otro recurso, el uso de un semi-espejo; y por otro lado, el constatar el cumplimiento de las propiedades de la reflexión estudiadas para figuras planas, pero ahora en cuerpos en el espacio; por ejemplo, estudiar la congruencia de cuerpos en el espacio, pudiéndose estudiar propiedades físicas adicionales, como la fusión de colores.

Actividad 5 Usando Software de geometría dinámica para analizar la reflexión

Materiales: Sólo se hará uso de software de geometría dinámica mostrando en pantalla las actividades indicadas Descripción y propósitos. En esta actividad se inicia un proceso gradual de abstracción y formalización, ya que gradualmente se termina el uso de manipulaciones directas con objetos físicos, para iniciar el uso de objetos virtuales mediante la simulación de las experiencias previas en un ambiente de geometría dinámica. En este ambiente se consolidan las observaciones y posibles conjeturas vividas previamente de una

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 2

manera ágil, abriéndose la posibilidad de ampliar nuestras observaciones y tal vez obtener nuevas conjeturas y conclusiones acerca del concepto cuyo estudio nos ocupa, a saber, la transformación geométrica llamada reflexión estudiada en un contexto sintético.

Actividad 6 Construyendo la definición Materiales: Ninguno nuevo, se basa en las experiencias vividas en las actividades previas. Descripción y propósitos. En esta actividad se pretende que el estudiante haga una síntesis de las propiedades de la reflexión sistemáticamente observadas en tres contextos diferentes con el fin de asegurarnos que cuenta con los elementos suficientes como para pedirle que haga el primer intento de definir con sus propias palabras el concepto de reflexión, primero de un punto y después de una figura basada esta última en la observación sistemática de lo que sucede punto a punto.

Actividad 7 Validando una conjetura Materiales: Ninguno nuevo, se basa en las experiencias vividas en las actividades previas Descripción y propósitos. Esta actividad tiene el doble propósito de enlazar con los conceptos analizados en la Sesión 1, especialmente en lo que se refiere a doblez de papel, destacando lo referente a alguna de las conjeturas ahí surgidas y recordando que el siguiente compromiso era dar algún tipo de justificación a dichas conjeturas, sea de razonamiento plausible o formal, en términos de Polya. El segundo propósito, el central de esta actividad, es el ver cómo el uso de la reflexión y sus propiedades nos 18

Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 2

proporciona elementos que permiten construir una prueba de la conjetura elegida que además de ser formal por estar basada en el principio sólidamente establecido el de la reflexión y sus propiedades, es lo suficientemente intuitiva y visualizable que a la vez puede considerarse como un razonamiento plausible.

Actividad 8 Usando software de geometría dinámica para generar la rotación como composición de reflexiones

Materiales: Tiritas de cartulina (10 a 15 cm de largo y 1 cm de ancho), trozos de cartulina (media carta), chinches, computadora, cañón de proyección, pantalla y software de geometría dinámica.

Descripción y propósitos. En esta actividad se pretende que el estudiante descubra qué sucede si se aplican sucesivamente dos reflexiones con respecto a ejes oblicuos a partir del triángulo ABC como objeto inicial, aplicando la segunda reflexión a la primera imagen A’B’C’ de dicho triángulo, obteniendo la imagen de la imagen, el triángulo A’’B’’C’’; formalmente a esto se le llama composición de dos reflexiones con respecto a ejes oblicuos. Mediante la observación sistemática del archivo de geometría dinámica que está siendo proyectado (o en su caso construyéndose si se está en un laboratorio de cómputo) y mediante preguntas que encausen el propósito del análisis, como por ejemplo, pedir que propongan una línea recta que sirva como eje de reflexión entre el triángulo ABC y el A’’B’’C’’, inducir a que se concluya que tal eje no puede existir, basados en las propiedades ya conocidas de un par de puntos en el que uno sea reflejo del otro. La actividad con la tirita de cartulina y un triángulo adherido a un extremo; al hacer que se observe el proceso de rotación, tiene por fin el sugerir implícitamente que el resultado de la composición de reflexiones antes mencionada no es otra reflexión, sino una rotación, para pasar luego a la determinación del centro y magnitud del giro, en términos del punto de cruce y abertura de los ejes.

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Actividad 9 Usando software de geometría dinámica para generar la traslación como composición de reflexiones Materiales: Computadora, cañón de proyección, pantalla y software de geometría dinámica.

Descripción y propósitos. En esta actividad se pretende algo similar que lo analizado en la Actividad 8, sólo que ahora se refiere a ejes paralelos, por lo cual se concluirá que la composición de reflexiones de nuevo no es otra reflexión, pero tampoco una rotación por no quedar definido un centro de giro, sino una traslación que estará relacionada con la distancia existente entre los ejes de reflexión.

Actividad 10 No toda reflexión es simetría ni toda simetría es reflexión Materiales: Computadora, cañón de proyección, pantalla y software de geometría dinámica e internet.

Descripción y propósitos. En esta actividad se pretende corregir uno de los errores conceptuales que sistemáticamente se enseñan desde la educación básica (primaria y secundaria), por lo cual ha llegado a institucionalizarse. En realidad es un error doble, por un lado el error consiste en considerar a la

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simetría como una transformación y por otro pensar que la simetría sólo se relaciona con reflexión (simetría axial). En esta actividad se pretende llevar al estudiante a que descubra que: “LA SIMETRÍA NO ES UNA TRANSFORMACIÓN”, “HAY REFLEXIONES QUE NO GENERAN SIMETRÍA” Y “HAY SIMETRÍAS QUE NO SON GENERADAS POR REFLEXIONES”. Estos errores están institucionalizados casi desde jardín de niños hasta preparatoria, inclusive en los primeros años de licenciatura provocando confusiones y dificultades para comprender el concepto cuando requiere ser utilizado correctamente en algunos campos de la ciencia como el estudio de estructuras atómicas y moleculares, siendo de interés común para la Física y la Química, o la Cristalografía para los Geólogos y con mucho mayor razón en matemáticas superiores. Para consolidar la importancia de hacer un uso correcto de los conceptos, se analizará un sitio de arte donde se manifiesta el correcto uso de la simetría. En esta actividad, para relacionar con lo que hemos llamado “Nuestros materiales”, se analizarán los apartados de “El libro del Maestro” el “Fichero de Actividades” y el material impreso llamado “Geometría Dinámica” con el fin de proponer algunas secuencias didácticas alternativas en las que se haga uso correcto de las transformaciones y sobre todo de la simetría.

Actividad 11 Nuestros Materiales de Trabajo Materiales: Libro de Texto, Ficheros, Planes y Programas de Matemáticas Propósitos y Descripción En esta actividad se promueve el uso de los distintos materiales con que cuentan los participantes para el desarrollo de sus actividades en el aula. Los participantes revisarán sus libros de texto, ficheros, Planes y Programas de Matemáticas, con la finalidad de que identifiquen algunas situaciones vinculadas a los tipos de procesos estudiados en esta sesión y que influyen en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento geométrico. Se proporciona una lectura que sirva como guía teórica para organizar los contenidos según la

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taxonomía presentada por los Van Hiele, la cual está referida particularmente al análisis del tema estudiado en esta Sesión. Se sugiere que se formen equipos tanto para evaluar las actividades desarrolladas como para analizar un tema específico. Es conveniente dar a conocer al grupo la importancia que tendrá la actividad final del curso en término de su evaluación final. Esta actividad posiblemente sólo sirva como ejercicio para ir ensayando en el equipo esa tarea final del Curso. Ésta consistirá en presentar formalmente ante el grupo el diseño de una actividad o secuencia de ellas con su correspondiente planeación, estructura, contenido y fundamentación. Su descripción se hará en un procesador de textos (como Word), y la presentación en mediante diapositivas (como Power Point). La selección de la actividad final se hará con base en temas de cualquiera de las sesiones de este curso o de algún otro presente en el Plan de Estudios, pero siempre con apego a los lineamientos del enfoque didáctico que lo sustenta.

Los Ficheros y Planes y Programas de Matemáticas están disponibles en la dirección electrónica http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html.

Tarea Lectura 2: “El modelo de razonamiento de Van Hiele como marco para el aprendizaje comprensivo de la Geometría. Un ejemplo: los giros”. Gutiérrez, A. y Jaime, A. (1991). En Educación Matemática Vol. 3, pp. 49-65 Material: Lectura 2 en Anexos. Página Propósitos y Descripción En esta lectura se explica y ejemplifica el desarrollo de cada uno de los niveles de Van Hiele a través del estudio de los giros, que es una de las transformaciones básicas que se acaban de analizar en esta sesión. A diferencia de la primera lectura, en la que también se explican los niveles de Van Hiele, en ésta, el autor expone minuciosamente las fases que componen cada uno de dichos niveles.

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Sesión 3 Semejanza Escalas y Trigonometría Consiste en análisis de trazos, identificación, conjetura y validación de criterios y solución de problemas de medidas indirectas

Presentación La semejanza es uno de los conceptos fundamentales en geometría. Aunque es un término que utilizamos con frecuencia coloquialmente para indicar que hay objetos, actitudes, situaciones, etc. que se parecen, en geometría resulta ser un principio importante, y por lo tanto, para declarar que dos figuras son semejantes, dicha declaración requiere estar sólidamente fundamentada. En esta sesión se aborda inicialmente el tema mediante una noción intuitiva de lo que nos parece “una buena copia” de una figura no geométrica, para luego ir construyendo una noción más formal de semejanza entre triángulos y polígonos. Se aprovecha el proceso para analizar la suficiencia o insuficiencia de ciertas condiciones dadas para determinar la semejanza de triángulos, hacer notar cuándo se pueden generalizar y cuándo restringir sólo a cierto tipo de ellos. Este principio de semejanza, una vez establecido y analizado, se tratará particularmente en triángulos rectángulos, lo que permitirá abordar posteriormente las razones trigonométricas para, finalmente, a partir del análisis de la condición de semejanza que valida el valor constante de esas razones, se canalice la atención hacia las particularidades de la variación de dichas razones cuando varía el ángulo agudo de referencia. Así, mediante el estudio de las características de esta relación de variación se intenta que los participantes logren formular un significado más rico sobre las funciones trigonométricas. La propuesta de actividades se caracteriza por una fuerte dosis de análisis sobre conocimientos y significados anteriores. Sin embargo, se buscó que las situaciones que se proponen para ello se fortalezcan en el hacer, construir, medir, calcular, observar, conjeturar, validar y argumentar. Así, las cinco Actividades que integran la sesión van incorporando propuestas en las que se busca que la discusión –en pequeños equipos y luego ante el grupo– de los procesos llevados a cabo y los resultados obtenidos esté siempre presente. Las

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conjeturas deberán siempre ser sometidas a verificación mediante construcciones adecuadas y argumentaciones cada vez mejor estructuradas. La utilización de instrumentos apropiados para hacer trazos convenientes está presente en una gran cantidad de las situaciones específicas que componen las actividades. Es sumamente importante para el instructor detectar que el uso de dichos instrumentos sea adecuado y que se indiquen estrategias de uso argumentando los principios geométricos que las respaldan. Podemos enunciar los propósitos de desarrollar habilidades y formas de pensar enunciadas antes, se concretan en esta sesión de semejanza y trigonometría mediante acciones que buscan: •

Enriquecer la noción de semejanza geométrica y su relación con la proporcionalidad.

•

Explorar el significado de semejanza de triángulos a través del análisis de condiciones mínimas necesarias como una forma de razonamiento propio de la geometría y del pensamiento matemático en general.

•

Resolver problemas de medición indirecta a través de experiencias de campo; primero utilizando como herramienta de solución la semejanza y posteriormente la trigonometría.

•

Explorar algunas ideas básicas de la trigonometría: Las razones trigonométricas derivadas de la semejanza de triángulos rectángulos y las funciones trigonométricas como la variación de esas razones en dependencia del ángulo agudo referido.

Actividad 1 Dibujos a Escala: Identificar una buena imagen Materiales: Posiblemente una regla graduada o un compás Descripción y propósitos. Esta actividad en la que inicialmente se presentan figuras no geométricas y después algunos rectángulos y triángulos, tiene como propósito que los participantes exploren las características que consideran importantes para reconocer una figura semejante.

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En un principio, las cuatro reproducciones que se presentan de la figura original “se parecen”, sin embargo, una de ellas se considerará la mejor. El propósito es que se dé la oportunidad a los participantes de explorar haciendo mediciones libremente, y después, cada uno exponga en su equipo qué medidas tomaron o en qué si fijaron para decidir cuál es “la mejor copia”. Posiblemente algunos comenten que hicieron medidas relativas de algunas partes de la figura, o bien que se fijaron en los ángulos. Lo fundamental es que tomen en cuenta el importante papel que juegan la proporcionalidad y la congruencia de ángulos cuando se trata de reproducir figuras semejantes. Mediante exploración en los rectángulos y triángulos que se presentan posteriormente, habrá que decidir qué tipo de características es suficiente para decidir sobre la semejanza y qué estrategia de cálculo, medición o construcción es la apropiada para verificarla.

Actividad 2 Dibujos a Escala: Doblar coordenadas Materiales: Ninguno adicional al folleto del participante Descripción y propósitos. Se trata de continuar con la noción de escala como medio para obtener una figura semejante a la original. En esta ocasión hay dos variantes, la primera es que la escala produce una figura mayor que la original (una dilatación), y la segunda consiste en que no se proporcionan medidas de los lados sino coordenadas de los vértices de la “cabeza del gato”. Por ello, el problema de “doblar las longitudes” de cada lado del polígono provocará diferentes estrategias. Lo que sucede con la relación entre las coordenadas de los vértices del polígono original y el dilatado al doble, es motivo de observación y verificación de la proporcionalidad en el caso general de “doblar coordenadas”. Enseguida se provoca la reflexión sobre lo que sucederá con otros factores de dilatación de distancias y se solicita la validación de lo declarado. 25

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Posiblemente algunos participantes no recuerden la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos del plano cartesiano. No hay impedimento en recordarla, antes bien, es una buena ocasión para validarla haciendo uso del teorema de Pitágoras. Si éste fuera el caso, se recomienda que usted, como instructor, asegure dar significado visual a la notación (x2-x1) y (y2-y1) en el trazo que representa la distancia entre los puntos P1 y P2, en el plano cartesiano.

Actividad 3 Medidas indirectas. Materiales: Para el Instructor: Un espejo, cinta métrica. Para los Participantes: Juego geométrico (por participante), cinta adhesiva, cartoncillo, popote, alfiler, un cordel de unos seis metros de largo (por equipo). Algunas varillas o palitos de madera largos para hacer señalizaciones (seis por equipo).

Descripción y propósitos. Esta actividad consta de dos situaciones de medición indirecta, esto es, situaciones en las que se debe calcular la medida que interesa, basándose en medidas directas que es posible realizar, y en las que la estrategia de solución conveniente implica el uso de triángulos rectángulos semejantes. En la primera se trata de encontrar por qué funciona el truco del espejo; esto induce a hacer trazos que conduzcan a una construcción apropiada de triángulos semejantes. En la segunda el reto es calcular una medida inalcanzable que obliga a hacer un registro de medidas de una construcción geométrica propuesta y que deberán tomarse directamente mediante instrumentos como cinta de medir y un “teodolito casero”. Algunas recomendaciones. En el caso de este truco del espejo, que consiste en “adivinar” la estatura hp de un participante, usted deberá colocar el espejo en el suelo en un punto C. Luego pedirá a algún participante que se coloque a cierta distancia del espejo, en el punto D, y alineada con ellos deberá colocarse usted; su posición A se determinará una vez que usted vea a través del espejo el borde de la cabeza del 26

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participante. Ambas medidas horizontales deberán ser registradas; para ello se sugiere que usted ya haya marcado y medido en el piso la distancia dp desde el espejo hasta la posición que tomará el participante. Igualmente, se sugiere tenga una graduación apropiada desde el espejo hasta la posible posición que usted tomará (distancia di ). Además usted tomará en cuenta su propia estatura considerando que la altura hi que realmente interviene en el cálculo es la que llega hasta el nivel de sus ojos

hi hp

di

espejo

dp

Medir y calcular. Descripción y propósitos. Es conveniente que usted adapte la situación que se propone en el folleto a la ubicación en la que se encuentre trabajando. Pudiera ser que la distancia inalcanzable sea un edificio, un árbol o un poste relativamente cercano, pero que no permita tomar medidas directamente. La construcción del teodolito casero descrita en el material del participante conlleva un ejercicio útil para utilizar el transportador en la medida de ángulos que a la vez requieren ser trazados directamente en el campo, a fin fijar puntos entre los que sí es posible medir directamente la distancia entre ellos. El hecho de contar con la medida directa de dos ángulos y la distancia entre sus vértices, hace posible utilizar el criterio ALA para trazar en papel un triángulo semejante en el que sea posible medir el lado correspondiente al que interesa calcular. Al establecer la proporción que los involucra, se tiene la posibilidad de calcular la medida de dicho lado. Por ejemplo, los trazos de triángulos semejantes pudieran ser como sigue: 27

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O bien, pudiera suceder que algún equipo decidiera trazar directamente, en el campo o en su esquema, un triángulo semejante haciendo uso del principio de congruencia de ángulos opuestos por el vértice, y haciendo prolongaciones de las señalizaciones hechas:

Lo importante es que se llegue al trazo de triángulos semejantes, ya sea utilizando el transportador o el principio de congruencia de ángulos. Inclusive, si alguien utiliza la estrategia “del albañil” para marcar tanto el ángulo recto inicial como el correspondiente para la construcción del el triángulo semejante, es conveniente permitir su uso; únicamente se recomienda que argumenten su validez. Hacer 12 nudos en un cordel a distancias iguales para formar un triángulo rectángulo de 3, 4 y 5 partes iguales en sus lados.

Longitud conocida

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Actividad 4 ¿Otros Criterios de Semejanza de Triángulos? Materiales: Juego geométrico por participante. Se recomienda que el instructor tenga uno para uso en el pintarrón o bien un software de geometría dinámica

Descripción y propósitos. Esta actividad requiere que usted promueva la discusión de las observaciones que hagan los diferentes equipos conforme avanza la solución de cada punto. La intención es que se reflexione cuidadosamente en la determinación de criterios mínimos que garanticen la construcción de triángulos semejantes. Es una ocasión muy conveniente para observar, deducir, conjeturar y verificar. Es importante que usted permita la indagación independiente. Debemos considerar que muchos profesores – y los textos– que solamente toman en cuenta los criterios de AAA, ALA, LLL y LAL refiriéndose a la congruencia de ángulos y la proporcionalidad de lados. Primero se solicita reconocer y validar el criterio AA, y luego, tomando en cuenta que es válido LAL, se cuestiona sobre LLA y ALL. En este último cuestionamiento es común que algunos compañeros piensen, e incluso expresen que son válidos pues sucede algo análogo a “el orden de los factores no altera no altera el producto”; usted por lo tanto deberá hacer notar la falacia: esa es una propiedad de la operación producto entre números reales que no se puede extender de manera absoluta a otro tipo de relaciones u operaciones. Por lo dicho, es mejor que hagan intentos de construcciones y conjeturen la validez a través de lo que logren observar. Ya que hayan discutido suficientemente, usted podrá mostrar la construcción hecha con software de geometría, o construir ante todos la que se muestra en la figura que sigue. En ella se contradice el caso ALL (está hecho para congruencia pero usted puede reconstruirlo usando lados proporcionales):

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Finalmente, ALL se explora para un ángulo diferente en el mismo triángulo de referencia. Usted puede aprovechar para extraer las conjeturas sobre los posibles casos particulares en los que sí sea válido el criterio.

Actividad 5 De las razones a las funciones trigonométricas Materiales: Para el Instructor: Archivos de Geometría Dinámica (Geogebra) con las Actividades T1,T2 y T3. Para el participante: Calculadora científica. Descripción y propósitos. El propósito es que los participantes logren articular la semejanza con la trigonometría y una vez logrado esto, se articulen las razones trigonométricas con las funciones trigonométricas. Esto es, que se justifique inicialmente el valor constante de las razones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo rectángulo mediante la razón de proporcionalidad entre triángulos semejantes. Una vez que se determina dicha articulación, la actividad evoluciona para que el participante encuentre 30

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qué es lo que debe variar para que dichas razones varíen. La naturaleza de esa variación para cada una de las distintas razones genera una función trigonométrica cuyo estudio inicial se propone mediante el análisis de sus representaciones gráficas. Esta intención se desprende de la evidencia existente sobre la forma en que es presentado el tema de trigonometría en gran cantidad de textos: Se determina de inicio que las relaciones entre lados y ángulos agudos en los triángulos rectángulos tienen un nombre especial (seno, coseno y tangente); se introducen llamándolas indistintamente razones o funciones, y a partir de ello se hacen ejercicios de cálculos para algunos triángulos y, en el mejor de los casos, se presentan como aplicaciones algunos problemas de medición indirecta. Algo semejante sucede en el posterior tratamiento de las funciones trigonométricas como modelos de variación periódica. La actividad T1 que usted mostrará al grupo y que es el soporte para desarrollar los puntos propuestos a los participantes (hasta el inciso d), se le proporciona como un archivo; está desarrollada con el software Geogebra que tiene la ventaja de ser gratuito y portable. Consiste en mostrar inicialmente los valores de las razones indicadas en la tabla cuando se marcan puntos en una circunferencia unitaria cada 30°. Se le recomienda que la revise y vaya siguiendo la actividad propuesta a los participantes. De esta manera usted tendrá tiempo de planear sus posibles intervenciones para lo que conviene enfatizar y aclarar. Se dará cuenta que el valor de las razones aparece aproximado a dos decimales y que NO se les da nombre a dichas razones. La intención es que sean los mismos participantes quienes determinen el nombre –que ya conocen–, una vez que se haya hecho la justificación de su uso mediante la semejanza, lo cual se desarrolla en otros incisos más adelante y con el apoyo de la actividad T2, que se sigue a la que aquí se está describiendo. Observaciones 1 Ahora, en la actividad del Geogebra T2, usted podrá variar el radio de la circunferencia de manera que tome los valores indicados en la tabla que deberán llenar los participantes. Note que el ángulo inicialmente se fija en 30° pues es precisamente aquí en donde se intenta rescatar la justificación de la constancia de cada razón trigonométrica mediante la semejanza de los triángulos rectángulos. Luego, usted podrá revisar la construcción análoga para otros valores de ángulos según lo soliciten los participantes y den así respuesta a lo que se solicita en la tabla del inciso g. 31

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Observaciones 2. Finalmente, en la actividad del Geogebra T3, usted podrá mostrar la construcción de las funciones trigonométricas que corresponden a las razones analizadas. Conceda tiempo necesario para que se asegure de que el trazo de la gráfica corresponde puntualmente a los valores analizados anteriormente. Usted podría cuestionar anticipadamente sobre qué características generales pudieran tener cada una de ellas y solicitar argumentos (valores del rango, del dominio, si es periódica cómo se comportaría la gráfica, etc). Lo importante es que se establezca la articulación entre la gráfica de la función y las razones que le dieron origen.

Actividad 6 Nuestros materiales de trabajo Materiales: Libro de Texto, Ficheros, Planes y Programas de Matemáticas. Descripción y propósitos. En esta actividad se promueve el uso de los distintos materiales con que cuentan los participantes para el desarrollo de sus actividades en el aula. Los participantes revisarán sus libros de texto, ficheros, Planes y Programas de Matemáticas, con la finalidad de que identifiquen algunas situaciones vinculadas a los tipos de procesos estudiados en esta sesión y que influyen en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento geométrico. Los Ficheros y Planes y Programas de Matemáticas están disponibles en la dirección electrónica http://www.reformasecundaria.sep.gob.mx/matematicas/recdidactico.html. Recomendación: Se sugiere que los equipos formados en la sesión anterior para realizar una actividad similar a ésta se mantengan. Como en la anterior, también el análisis que aquí realicen servirá como ejercicio para avanzar el lo que será su tarea final del curso 32

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Si el tiempo lo permite pueden hacer breves presentaciones frente al grupo para compartir los análisis realizados. Igualmente servirá como ejercicio de preparación para la Presentación Final.

Tarea Lectura 3: “Perspectivas en la Enseñanza de la Geometría para el Siglo XXI” Mammana, C. y Villani, V. (1998) Materiales: Lectura 3 en Anexos. Página Descripción y propósitos. En esta lectura los autores presentan una serie de cuestionamientos muy importantes sobre lo que actualmente se entiende por Geometría, para qué se estudia, en qué estado se encuentra en relación con la educación, y su relación con el uso de tecnologías y herramientas educativas en general. Luego, de manera consistente con todo lo anterior, se exponen planteamientos igualmente importantes sobre aspectos clave y retos para el futuro. Consideramos que esta visión de expertos interesados en los aspectos educativos de la geometría, es necesario conocerla como profesionales de la educación.

Recomendación: Habrá que tener en cuenta que solamente queda una sesión más, y que la tarea final deberá estar lista para entonces. Por esta razón usted podría solicitar un pequeño resumen de esta lectura por escrito para ser entregado posteriormente. Es decir, pueden enviárselo por correo electrónico estableciendo de antemano una fecha límite para su recepción. Usted decide si lo incluye en el portafolio de evidencias.

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Sesión 4 “Medición” Su estudio comprende el desarrollo de habilidades para medir, estimar, calcular y justificar fórmulas.

Presentación Este material se compone de una secuencia de actividades cuya finalidad es promover la reflexión sobre lo que significa medir, identificando algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud, superficie y volumen. Se utilizarán, de inicio, unidades no estándar, para posteriormente dar paso a la discusión sobre las convenciones establecidas en la determinación de unidades de medición. Las actividades están diseñadas para mostrar una manera de construir el concepto de medición de forma significativa, ayudando a los participantes a establecer estrategias de cálculo y/o propuestas de algoritmos para la determinación de perímetros, áreas y volúmenes. Se insiste en evitar el uso de fórmulas preestablecidas a cambio de que sus estrategias los lleven a establecer una regla general que podemos llamar fórmula, y que en este caso cobra sentido. En pocas palabras, hemos de procurar siempre que los procedimientos heurísticos precedan a todo formalismo. Así, el cubrir totalmente una superficie con una figura conocida estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del área de una superficie, así como el visualizar, manipular y contar arreglos tridimensionales de cubos, estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del volumen de un cuerpo. Una vez establecidas las reglas para el cálculo del área de un cierto tipo de superficies (como podría ser un rectángulo) y entendiendo el área como la medida del espacio encerrado en una figura plana, y mediante la descomposición de una figura en otra a manera de rompecabezas, se podrán establecer reglas para la determinación del área de otro tipo de figuras. Algo similar puede hacerse para la determinación de longitudes y volúmenes. En el caso de la determinación de volúmenes, una estrategia acorde con estas ideas es utilizar el llenado de recipientes para comparar el volumen de dos cuerpos, entendiendo éste como la medida del espacio ocupado por un sólido. El objetivo general de los materiales es promover la reflexión sobre los que significa medir a la vez que se promueve el desarrollo de habilidades de construcción de estrategias y conjeturas, así como de integración del “hacer” y “reflexionar” para poder producir argumentos propios que determinen su ámbito de validez.

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Entre los objetivos específicos podemos mencionar: •

Identificar algunas propiedades medibles de objetos geométricos, como longitud, superficie y volumen.

•

Explorar el uso de unidades de medición no estándar y discutir las convenciones establecidas para la determinación de unidades de medición estándar.

•

Expresar argumentos que justifiquen la validez de sus estrategias de cálculo y/o propuestas de algoritmos para la determinación de perímetros, áreas y volúmenes.

•

Establecer reglas generales a partir de sus estrategias, expresadas como fórmulas.

•

Llevar a los profesores la experiencia de hacer geometría en el sentido que lo marca el enfoque curricular:

•

Explorar y reflexionar acerca de las perspectivas en la enseñanza de la Geometría.

Actividad 1 ¿Qué significa medir? Materiales: Un juego por participante de los triángulos rectángulos que se muestran a continuación. Se recomienda algún material colorido y rígido. Para el éxito de la actividad, la reproducción de los tres triángulos debe hacerse de tal manera que con todos ellos se cubra exactamente la superficie del cuadrado que aparece en el manual del participante.

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Descripción y propósitos. Con esta actividad se pretende que los profesores vivan la experiencia de comparar áreas y perímetros de algunas figuras geométricas sin utilizar instrumentos graduados, para dar inicio a la reflexión acerca de lo que significa medir. El material se reparte para trabajar individualmente, aunque pueden estar en equipos de dos a cuatro personas. El instructor promueve la discusión grupal en cada actividad. Se sugiere que conforme avanzan en la actividad, se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los resultados expresados se establezca la diferencia entre el medir y el calcular.

Actividad 2 Área de la palma de la mano Materiales: Varias retículas regulares impresas: una cuadrada, una triangular y una hexagonal. Los cuadrados, triángulos y hexágonos de las retículas deben medir un centímetro por lado. También se necesitará una retícula con cuadrados de un milímetro de lado. Descripción y propósitos. Con esta actividad se pretende que los profesores midan el área de una figura plana irregular utilizando distintas unidades de medición y promover la reflexión acerca de las características deseables para la determinación de una unidad de medición. También se promueve la reflexión sobre la determinación de unidades de medición para mejorar la estimación del área de una figura dada. El material se reparte para trabajar en equipos de tres personas. La idea es que cada profesor-participante utilice una retícula diferente para realizar la actividad marcada en el punto 1. El instructor promueve la discusión grupal en cada actividad. Se sugiere que conforme avanzan en la actividad, se compartan, en forma grupal, las estrategias utilizadas, de tal forma que a partir de los resultados expresados se discuta sobre la conveniencia de utilizar las unidades de medición presentadas.

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Actividad 3 Explorando áreas en el geoplano Materiales: Un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en las hojas de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica. Descripción y propósitos. El propósito de esta actividad es la de explorar la determinación de áreas de polígonos irregulares que pueden construirse en un geoplano. Se promueve el uso de material manipulable, aunque también se presentan alternativas, en caso de no contar con éste. Se trabaja primero individualmente y se discuten los resultados en equipos de dos a cuatro personas. Finalmente, el instructor promueve la discusión grupal. Se sugiere que se comparta, en forma grupal, las estrategias utilizadas para la determinación del área de las figuras dadas, así como de la construcción de los polígonos solicitados.

Actividad 4 Triángulos y rectángulos Materiales: Un geoplano y ligas de colores. En su defecto, puede utilizar los puntos marcados en las hojas de trabajo, o bien, puede utilizar un geoplano simulado con un software de geometría dinámica. Descripción y propósitos. El propósito de esta actividad es la de explorar la determinación de áreas de triángulos y otros polígonos irregulares que pueden construirse en un geoplano, a través de la construcción de rectángulos. Se promueve el uso de material manipulable, aunque también se presentan alternativas, en caso de no contar con éste. Se trabaja primero individualmente y se discuten los resultados en equipos de dos a cuatro personas. Finalmente, el instructor promueve la discusión grupal. Se sugiere que se comparta, en forma grupal, las estrategias utilizadas para la determinación del área de las figuras dadas, así como de la construcción de los polígonos solicitados.

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Actividad 5 Calculando áreas Materiales: Un juego de dos o tres hojas de papel bond y tijeras por participante. Software de geometría dinámica. Descripción y propósitos. El propósito de esta actividad es la de establecer estrategias de cálculo y/o propuestas de algoritmos para la determinación de áreas de algunos polígonos conocidos. Se insiste en evitar el uso de fórmulas preestablecidas a cambio de que sus estrategias los lleven a establecer una regla general que podemos llamar fórmula, y que en este caso cobra sentido. En pocas palabras, hemos de procurar siempre que los procedimientos heurísticos precedan a todo formalismo. Se presta especial atención al cálculo de áreas de polígonos regulares y su relación con la apotema de los mismos, para tratar de identificar y corregir concepciones erróneas. Al igual que en las actividades anteriores, se trabaja primero individualmente y se discuten los resultados en equipos de dos a cuatro personas. Finalmente, el instructor promueve la discusión grupal. Se sugiere que se comparta, en forma grupal, las estrategias utilizadas para la determinación del área de las figuras dadas, así como la reflexión sobre el establecimiento de las fórmulas de manera significativa.

Actividad 6 Un número especial Materiales: Se requieren varios círculos, en distintos tamaños, y una tira extendida de papel milimétrico de por lo menos medio metro de largo. El perímetro de los círculos utilizados no debe exceder la longitud de la tira de papel milimétrico. Descripción y propósitos. El propósito de esta actividad es la de construir de manera significativa una aproximación al número π y establecer su utilidad para el cálculo del perímetro de un círculo. Los resultados se expresan en términos de una fórmula, la cual cobra sentido a través de la actividad realizada.

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Sesión 4

El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas. Finalmente, el instructor promueve la discusión grupal. Se sugiere que se compartan, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.

Actividad 7 Estimando el área del círculo Materiales: Se requieren varios círculos del mismo tamaño, divididos regularmente en sectores circulares, y cada círculo debe tener un número distinto de divisiones. Se recomienda dividir un círculo en 8 sectores regulares, otro en 12 y otro en 16, por lo menos.

Descripción y propósitos. El propósito de esta actividad es la de estimar el área de varios círculos transformándolos en una figura plana que asemeja un paralelogramo cuya área puede calcularse por un algoritmo conocido, como se vio en la actividad 5 (A5). Los resultados se generalizan y expresan en términos de una fórmula, la cual cobra sentido a través de la actividad realizada. El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas, pero se sugiere que se compartan, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.

Actividad 8 Adquiriendo la noción de volumen Materiales: Se requieren varios cubos de colores del mismo tamaño. Se pueden comprar paquetes de cubitos, los cuales generalmente, tienen 1.5 cm de lado. También deberá construirse una cajita, que pueda ser medida con un número exacto de cubitos: se recomienda un arreglo de 2x3x4 cubitos, lo que requerirá que las medidas de la cajita sean de 3x4.5x6 cms. También será necesario contar con un semiespejo, una barrita de plastilina, una cajita y vasos cilíndricos de distintos diámetros. Descripción y propósitos.

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El propósito de esta actividad es la de construir el concepto de volumen de manera significativa. Así, el visualizar, manipular y contar arreglos tridimensionales de cubos, estará en el centro de la discusión del concepto y determinación del volumen de un cuerpo. Primeramente, se trabajará con prismas rectangulares y después se tratará de generalizar estos resultados a prismas arbitrarios, cilindros y cuerpos con secciones transversales paralelas y congruentes. Finalmente, se utilizará el desplazamiento de líquidos para estimar el volumen de una esfera y se establecerá una relación para el cálculo del mismo, a partir de la fórmula del volumen de un cilindro, la cual se discute en una etapa previa de la actividad. Al igual que en actividades anteriores, el material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas, pero se sugiere que se compartan, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.

Actividad 9 Cilindros y Conos Materiales: Se requiere un cilindro sin tapa, arroz o algún polvo liviano, un cono circular recto sin tapa de igual base y altura que el cilindro, un prisma y una pirámide de igual base y altura. Éstos pueden construirse con cartulina. Descripción y propósitos. El propósito de esta actividad es la determinación de volúmenes a través del llenado de recipientes y la comparación del volumen de dos cuerpos, entendiendo éste como la medida del espacio ocupado por un sólido. El material se reparte para trabajar en equipos de dos a cuatro personas. Finalmente, el instructor promueve la discusión grupal. Se sugiere que se comparta, en forma grupal, los hallazgos obtenidos.

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Actividad 10 Presentación de una Actividad Diseñada Propósitos y Descripción Como se les comentó desde un principio, esta actividad consiste en que los participantes, por equipos, hagan una breve presentación del diseño de su Actividad. Servirá como parte importante de su evaluación final dado que se considera la concreción de las diversas reflexiones que se han llevado a cabo durante el desarrollo del curso. Enfatice que no deben exceder los 10 minutos en la presentación. Recuerde que si tiene cinco equipos, se consumirá fácilmente una hora entre las presentaciones y los preparativos de cada equipo. Se les debe recordar que la descripción completa del diseño deberá redactarse en un archivo de texto (como en Word) y éste será entregado a usted únicamente en formato electrónico, pues de esta manera le servirá como evidencia del trabajo realizado por los participantes, fácil de distribuir a quienes coordinan el curso. Igualmente recomendable es que le envíen o entreguen el archivo electrónico de la presentación (en Power Point o similar). Los aspectos que debe incluir la descripción están enunciados en la siguiente sección

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Manual para el Formador Forma Espacio y Medida Recomendaciones para la Evaluación

Recomendaciones para la evaluación 1 En lo que respecta a las estrategias de evaluación del desempeño de los participantes se recomienda dar seguimiento puntual a los procesos de solución; a las formas de interacción y comunicación; al uso adecuado de materiales manipulables, instrumentos geométricos y software de geometría dinámica, así como la autoevaluación y co-evaluación tanto de procesos como de resultados. Para que esto sea efectivo, en primer término será necesaria la asistencia regular a las sesiones presenciales, por lo que se sugiere que la acreditación del curso esté sujeta a un mínimo del 80% de asistencia a dichas sesiones. Los aspectos arriba señalados están relacionados con los procesos, las actitudes y los valores. Para realizar un juicio de valor, se sugiere tener en cuenta las siguientes categorías: a. Insuficiente. No participa y/o impide la participación de los demás. b. Regular. Participa, pero solamente a solicitud y con limitaciones conceptuales o comunicativas. c. Satisfactoria. Participa en forma activa; generalmente con pertinencia. d. Excelente. Participa en forma activa, más allá de lo solicitado y da pie a la participación de los demás En caso de que la participación en una de las primeras sesiones sea clasificada como Insuficiente por el formador, éste podrá hacer las observaciones pertinentes, a fin de que el docente-alumno tenga la opción de hacer un esfuerzo por mejorarla. El curso no podrá acreditarse si en dos sesiones o más su participación es considerada como Insuficiente. Portafolios de Evidencias de Aprendizaje. Se espera que el desarrollo del curso vaya generando productos que serán conservados por el formador en un portafolio de evidencias que serán valoradas durante y al final del curso. Estos Estas recomendaciones forman parte del documento “Descripción del Curso” en donde se encuentran descritas y se relacionan con las competencias docentes. 1

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productos deberán entregarse por el profesor-estudiante en la fecha inmediatamente posterior a la reunión presencial donde hayan sido discutidas. Aunque la puntualidad de la entrega es un aspecto que el formador tendrá que tomar en cuenta en la evaluación, el formador podrá rechazar las tareas que a su juicio no cumplan con los requisitos mínimos establecidos, de tal forma que pueda dar oportunidad al profesor estudiante, o en su caso al equipo de profesores-estudiantes, de que los haga de nuevo. El portafolio de evidencias estará integrado por productos que dan seguimiento, por una parte, a los resultados del trabajo por sesión desarrollado en el folleto de actividades [1], y por otro, a la forma en que los procesos de reflexión y discusión se concretan a través del diseño de una Actividad Didáctica cuya presentación se hará al final de la última sesión, la cual, por sus características, se considera como la tarea integradora del curso. 1. Copias fotostáticas de las soluciones dadas a las actividades propuestas en el Folleto del Participante en cada sesión (En total deberán ser cuatro). La entrega de la copia correspondiente a cada sesión se hará en la sesión posterior. La copia de las actividades resueltas durante la última sesión se entregará al formador en una fecha acordada con él. 2. El archivo electrónico que contenga la presentación en diapositivas de la Actividad Didáctica diseñada por equipos, que deberá presentarse al final del Curso. 3. El archivo electrónico de texto en donde se describan las siguientes características de la Actividad Didáctica diseñada: •

Grado escolar al que está dirigido.

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Competencias disciplinares que promueve.

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Conceptos matemáticos que involucra.

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Metodología propuesta para su instrumentación.

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Materiales didácticos que requiere.

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Se sugiere que el Formador haga una clasificación cualitativa de las tareas desarrolladas por los participantes, clasificando los trabajos según la calidad de los mismos en las categorías siguientes: a. Insuficiente. El trabajo no cumple con los requisitos mínimos solicitados. b. Regular. Cumple con los requisitos mínimos, pero presenta limitaciones. c. Satisfactorio. Cumple a plenitud con todos los requisitos solicitados. d. Excelente. Satisface todas las exigencias y además hace consideraciones y planteamientos bien elaborados, más allá de los solicitados. En caso de que alguno de los productos sea clasificado como Insuficiente por el formador, éste podrá regresar el producto con las observaciones pertinentes, a fin de que el profesor-estudiante tenga la opción de hacer una versión mejorada del producto en la fecha que le sea indicada para integrarla al Portafolio de Evidencias. El curso no podrá aprobarse si más del 20% de los productos solicitados para el Portafolio de Evidencias es considerado como faltante o insuficiente.

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Referencias Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio. (2008-2009). Lineamientos de

participación de las Instituciones de Educación Superior en la conformación y desarrollo del Catálogo Nacional de Formación Continua y Superación Profesional de Maestros de Educación Básica en Servicio

SEP (2004). El Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal. SEP (2006). Educación Secundaria. Matemáticas. Programas de estudio. México

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