FUNCIÓN LINEAL

Enseñanza y aprendizaje

El Astrolabio Fotografía: Laura Pulido Diseño: Natalia Bedoya Hernández, Gimnasio Campestre.

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REVISI

oN DE TEMA

INGENIERÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA FUNCIÓN LINEAL: ANÁLISIS PRELIMINAR

Martha Lucía Acosta, Anneris Joya Vega Profesoras Departamento de Matemáticas, Gimnasio Campestre Correspondencia para las autoras:[email protected], ajoya@campestre edu.co Recibido: 23 de septiembre de 2013 Aprobado: 18 de octubre de2013



RESUMEN

SUMMARY

Esta investigación tiene como objetivo desarrollar una ingeniería didáctica acerca del concepto de función lineal en el marco de la Teoría de las situaciones didácticas. En este artículo, se presenta el marco metodológico y el correspondiente análisis preliminar que incluye un análisis histórico-epistemológico, didáctico y cognitivo del concepto de función lineal.

This research aims to develop a Didactic Engineering related to the concept of Linear Function, based on the Didactic Situations Approach. In this paper, we present the preliminary phase that includes the historical and epistemological analysis, didactic and cognitive about the linear function concept.





Palabras clave: Teoría de las Si- tuaciones Didácticas, Ingeniería Didáctica, función lineal.

Key words: Didactic Situations Approach, Didactic Engineering, linear function. Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre

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INTRODUCCIÓN Debido a las múltiples aplicaciones del concepto de función lineal en diferentes contextos reales, y a la posibilidad de conectarlo con otras disciplinas, consideramos importante plantear nuevas formas de enseñar este concepto, aprovechando las herramientas tecnológicas que el colegio ofrece para los estudiantes. Lo anterior, teniendo en cuenta que estas herramientas hacen parte del plan de estudios y que hay políticas institucionales que sugieren la necesidad de su uso. Por otra parte, la Didáctica de las Matemáticas es una disciplina científica que tiene como objeto de estudio los fenómenos que se dan en el sistema didáctico. La Didáctica de las Matemáticas permite describir las relaciones entre las componentes del sistema didáctico: saber, estudiante y profesor, con el fin de identificar las características determinantes en la evolución de los conceptos matemáticos que contribuyan en la producción, implementación y control de acciones tendientes a abordar la problemática del aprendizaje de conceptos matemáticos, para este caso, el concepto de función lineal. En particular, consideramos pertinente investigar sobre el concepto de función, pues como afirman González y Martín (2003) este concepto ha sido objeto de numerosas investigaciones en el campo de la Didáctica de la Matemática, desde enfoques muy diversos. Se pueden nombrar tanto estudios basados en la evolución histórica del concepto, como aquellos que abordan su evolución en los libros de texto (Markovits y otros citado por González y Martín, 2003), otros centrados en las dificultades que conlleva (Ruiz, 1984), en su comprensión (Tall El Astrolabio

y Vinner, 1981; Dreyfus y Vinner, 1982, 1989), o en sus formas de representación (Sierra, González, y López, 2000). Existen además numerosos artículos que proponen innovaciones para su enseñanza. Nos proponemos, como objetivo de investigación, diseñar una ingeniería didáctica para la enseñanza de la función lineal a estudiantes de sexto y séptimo grado. Para ello, realizamos un análisis del concepto de función lineal desde la perspectiva histórico-epistemológica, didáctica y cognitiva. Esta etapa preliminar se presenta en este artículo para posteriormente, proponer una secuencia de actividades que constituya la situación didáctica y el correspondiente análisis a posteriori.

ESTADO DEL ARTE A continuación, presentamos algunas investigaciones relacionadas con el concepto de función en el campo de la Didáctica de las Matemáticas, que aportan elementos teóricos y metodológicos para el desarrollo de la Ingeniería Didáctica. Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) muestran los resultados de un estudio realizado con seis estudiantes sobre ecuaciones lineales con dos variables, cuando ellos han desarrollado previamente una concepción acerca de las ecuaciones como igualdades numéricas y las letras como números por descubrir. Esta investigación está inscrita en el marco teórico y metodológico de la Teoría de Situaciones (Brousseau, 1986) y de la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1988). El problema de investigación radicó en identificar las condiciones de apropiación del Álgebra elemental en alumnos de la escuela media. En el estado del arte, Panizza, Sadovsky y Sessa (1996) consideraron los aportes de varios autores tanto en la ca-

117 racterización de la ruptura que supone el pasaje de la Aritmética al Álgebra (Vergnaud,1997; Kieran,1989; Chevallard, 1982) como en la caracterización de la actividad algebraica dada entre otros por Grugeón (1995) y Janvier (1996). Luego del análisis de las entrevistas, los autores estructuraron el trabajo sobre dos ejes: el tratamiento que hacen los alumnos del objeto y la relación que ellos establecen entre las soluciones de la ecuación y las soluciones de los sistemas lineales. Como conclusión de la investigación se observó que la ecuación lineal con dos variables no es reconocida por los alumnos como un objeto que define un conjunto de infinitos pares de números. Además, se concluyó que es necesario avanzar en el conocimiento de la relación que existe entre el aprendizaje de la noción de incógnita y el de la noción de variable para entender la compleja relación entre la aritmética y el álgebra. Sierpinska (citado por García y Montiel, 2008, pp. 12-26) realizó dos estudios acerca del concepto de función. En el primero, presenta un análisis epistemológico del concepto a partir de la revisión histórica, que busca identificar las diferencias entre el saber científico y el saber enseñado y propone cinco obstáculos epistemológicos asociados a este concepto: • Los objetos variables son aceptados en ciencias naturales o en aplicaciones, pero no en las matemáticas puras. • Las magnitudes son entidades cualitativamente deferentes de los números; la proporcionalidad es diferente de la igualdad. • Existe una fuerte creencia en el poder de las operaciones formales con las expresiones algebraicas.

• Lo más importante de la Matemática es proveerse de un cálculo poderoso que permita a los científicos resolver sus problemas. • Los objetos geométricos son tomados implícitamente como un todo que contiene en él mismo sus longitudes, su área y su volumen. De la misma manera, en este estudio Sierpinska (citado por García y Montiel, 2008) caracteriza las concepciones de los estudiantes en: concepción primitiva, concepción de razón o proporción, visión sintética, tabla numérica, expresiones algebraicas, visión analítica de la curva y relación funcional. González y Martín (2003) realizaron un estudio acerca de las dificultades y concepciones de un grupo de estudiantes de primer año de Bachillerato. La investigación se centró en realizar un diagnóstico de las dificultades que evidencian los estudiantes en la conversión entre los sistemas gráfico y simbólico de la representación de fracciones. Se realizó este estudio, en primer lugar, para identificar las dificultades de los estudiantes y así intentar mejorar su proceso de aprendizaje mediante una instrucción que atienda a éstas y, en segundo lugar, para hacer evidente la importancia de la utilización de las nuevas tecnologías en la enseñanza de las matemáticas. Los resultados de esta investigación muestran que los estudiantes tienen dificultades para relacionar los coeficientes de las ecuaciones algebraicas de las funciones con su representación gráfica; tienden a usar la representación tabular para establecer esta relación, procedimiento que los induce a cometer errores. Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre

118 De igual manera evidencian errores al relacionar la expresión algebraica de una función con la representación gráfica y tienden a usar el mismo tipo de justificación en todas sus respuestas. Las investigadoras concluyen que los errores, debidos a los cálculos que evidencian los estudiantes, están asociados al manejo que hacen de la función desde el punto de vista operativo, es decir, como un proceso y no desde un punto de vista estructural, como un objeto. Ruíz (1989) realizó un estudio sobre las concepciones de los estudiantes acerca del concepto de función. A partir de la revisión epistemológica, del análisis de textos escolares y de la elaboración y aplicación de un cuestionario identificó y caracterizó las concepciones de los estudiantes, algunas inconsistencias en el aprendizaje de este concepto y algunos obstáculos didácticos asociados. La investigadora halló inconsistencias entre la definición y los ejemplos dados por los estudiantes, entre el aspecto declarativo de sus respuestas y el aspecto argumentativo de las mismas, referidas al reconocimiento de una misma función en diferentes representaciones, entre la relación fórmula y función, y finalmente, inconsistencias entre las representaciones gráficas y algebraicas de una misma situación presentada en un contexto de variación. Como conclusiones generales se señalan algunos aspectos importantes para la enseñanza de este concepto que pueden ser considerados posteriormente en la etapa de la construcción de la secuencia de enseñanza: • Hacer estudio analítico de la variabilidad de fenómenos asociados al cambio, que les permita a los estuEl Astrolabio

diantes encontrar una significación en un contexto real. • Asociar el concepto de función a situaciones de dependencia que dieron origen a este concepto, como lo muestra la génesis histórica. • Promover el paso de la concepción proceso del concepto de función a la concepción objeto, mediante la re-contextualización de aspectos que modelen el objeto función, de tal manera que la enseñanza no se limite a la ejercitación repetitiva de procedimientos. • Estudiar, por medio de la Ingeniería Didáctica, el papel de las diferentes variables que entran en juego para facilitar la evolución de las concepciones de los estudiantes y la superación de los obstáculos didácticos o epistemológicos en el aprendizaje del concepto de función.

MARCO TEÓRICO La presente investigación se enmarca en la Didáctica de las Matemáticas francesa que, de acuerdo con Valero (1997), es considerada como una escuela. Lo anterior debido a que la comunidad de investigadores que se asocian a ella producen conocimientos que aportan tanto a los fundamentos teóricos que explican los fenómenos didácticos, como a la metodología que sustenta las acciones de los profesores en el aula. En la comunidad de investigadores y profesores de la escuela francesa se pueden identificar las siguientes características (Valero,1997, p. 2): • La didáctica sistematiza las prácticas de la enseñanza de las matemáticas

119 pues da un carácter metódico a la acción del profesor. • Los fenómenos se conciben desde una perspectiva sistémica pues se llevan a cabo dentro de un sistema didáctico, compuesto por el profesor, el estudiante, el conocimiento matemático y las relaciones que se desarrollan entre ellos. • La visión del aprendizaje y de la enseñanza se sustenta en la teoría epistemológica piagetiana, entendiendolo como una interacción entre el sujeto y un medio que le permite al sujeto realizar acciones conducentes a la construcción de un conocimiento matemático puesto en juego. • La construcción conceptual sobre el sistema didáctico se basa en las aproximaciones propuestas por Vergnaud, Chevallard y Brousseau, que se consideran complementarias. La metodología usada es la Ingeniería Didáctica implementada tanto por los investigadores para producir conocimiento acerca del sistema didáctico, como por los profesores para producir realizaciones didácticas en la clase. En particular, para el desarrollo de esta investigación, tomamos como fundamentos teóricos las siguientes construcciones conceptuales usadas por Brousseau (1986) en su Teoría de las Situaciones Didácticas: El conocimiento debe pasar por lo que llaman los epistemólogos una transposición didáctica, que consiste en aislar “ciertas nociones y propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen, su sentido, su motivación y su empleo”, (Brousseau, 1986, p.36) con miras a facilitar la enseñanza de dicho conocimiento.

El trabajo del matemático, como productor del conocimiento, consiste en despersonalizar, descontextualizar y destemporalizar los resultados. A su vez, el trabajo del alumno consiste en hacer una reproducción de la actividad científica en la que actúe, pruebe, construya modelos, conceptos y teorías. El trabajo del profesor, por su parte, consiste en recontextualizar y repersonalizar los conocimientos producidos por el matemático, simulando una microsociedad científica en su clase y dando a sus alumnos los medios para encontrar el saber cultural que se les quiere comunicar.

MARCO METODOLÓGICO De acuerdo con Artigue (1998), la Ingeniería Didáctica es una metodología que aporta tanto a la investigación en Didáctica de las Matemáticas, como al mejoramiento de las acciones en el aula de clase para la enseñanza de un determinado concepto matemático. En relación con el primer aspecto, esta metodología de investigación cuestiona la poca coherencia que puede darse cuando se concibe una misma secuencia de enseñanza para dos grupos a través de aproximaciones metodológicas diferentes, para luego realizar comparaciones cuantitativas de los resultados obtenidos por los estudiantes. En relación con el segundo aspecto, la Ingeniería Didáctica centra su estrategia en la toma de decisiones que hace el maestro-investigador para diseñar el proceso de enseñanza, práctica en la que tiene en cuenta, entre otros elementos, una teoría del aprendizaje, una teoría de la enseñanza y, además, los aspectos del concepto matemático que es pertinente enseñar, de tal manera que pueda hacer predicciones acerca del aprendizaje esperado. Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre

120 Dentro del enfoque de la Teoría de las Situaciones Didácticas (Brousseau, 1998), la Ingeniería Didáctica se constituye en una propuesta metodológica que busca, por una parte, brindar una herramienta para lograr que los profesores formulen secuencias didácticas planificadas, producto de la reflexión cuidadosa acerca del concepto matemático que se pone en juego y, por otra parte, estudiar, desde la perspectiva del investigador, el impacto de estas secuencias didácticas sobre el Sistema Didáctico a partir de su aplicación y evaluación. La Ingeniería Didáctica aborda dos cuestiones esenciales para la Didáctica de las Matemáticas: las relaciones entre la investigación y la acción en el sistema de enseñanza y el papel que conviene darle a las realizaciones didácticas en clase, dentro de las metodologías de la investigación didáctica (Michele Artigue,1998). Acerca de la primera cuestión, planteada por Artigue (1998), Chevalard (1982) precisa como problemática central de la Ingeniería Didáctica la acción sobre el sistema de enseñanza: “definir el problema de la Ingeniería Didáctica es definir, en su relación con el desarrollo actual y el porvenir de la didáctica de las Matemáticas, el problema de la acción y de los medios para la acción, sobre el sistema de enseñanza” (citado por Artigue, 1998, p.34). Sobre la segunda cuestión, Chevalard (1982) añade que las metodologías que se basan en cuestionarios, test y entrevistas deben ser complementadas con el estudio acerca del sistema didáctico, en tanto este sistema es el objeto de investigación de la Didáctica de las Matemáticas. En este mismo sentido, propone el estudio tanto sobre la enseñanza que El Astrolabio

se da a partir de la producción de una secuencia didáctica teóricamente elaborada y nutrida por otros estudios de la Didáctica de las Matemáticas, como sobre su impacto en el sistema didáctico y sobre la posibilidad de optimizar las relaciones que se dan entre los diferentes actores de este sistema. La metodología de la Ingeniería Didáctica, a diferencia de otros estudios en los cuales se comparan de forma estadística el rendimiento de grupos experimentales con un grupo control, privilegia la validación interna mediante la contrastación entre el análisis a priori y el análisis a posteriori. El proceso de la Ingeniería Didáctica considera cuatro etapas: análisis preliminar, análisis a priori, experimentación y análisis a posteriori. Análisis preliminares: El análisis preliminar considera tres dimensiones fundamentales (Artigue, 1998) • La dimensión epistemológica asociada a las características del saber matemático en juego. • La dimensión cognitiva asociada a las características cognitivas del público al cual se dirige la enseñanza. • La dimensión didáctica asociada a las características del funcionamiento del sistema de enseñanza. El análisis preliminar es un aspecto fundamental tanto en la concepción de la Situación Didáctica como en el análisis a posteriori, por la significación didáctica que aporta, que permite fundamentar las inferencias que se establecen a partir de las observaciones registradas en la fase

121 de experimentación. Del estudio riguroso de los trabajos de Brousseau (1986) y de Douady (1995), Artigue (1998) identificó algunos elementos utilizados por estos investigadores en el análisis preliminar, estos son: •El análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza. •El análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos. •El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que determinan su evolución. •El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica efectiva. Por supuesto, todo lo anterior, se realiza teniendo en cuenta los objetivos particulares de la investigación. Análisis a priori: En esta etapa se tienen en cuenta cuatro aspectos. Inicialmente se identifican las variables, luego se seleccionan los contenidos que formarán parte de la secuencia didáctica, se realiza la secuencia y, finalmente, se describe la forma en que se espera el estudiante aborde la secuencia de enseñanza. Como resultado de esta fase, se genera un conjunto de hipótesis cuya validación se pondrá en juego mediante la confrontación que se realiza entre el análisis a priori y el a posteriori. Artigue (1998) señala que el análisis a priori se presenta generalmente desde dos aspectos: una descripción de las características de la situación a-didáctica que se trabajará con los estudiantes y una predicción de las posibles actuaciones de éstos. Experimentación: En esta etapa, el profesor pone en juego la secuencia

didáctica en el aula y el observador registra información pertinente sobre lo que observa en cada uno de los elementos del sistema didáctico, como, por ejemplo, las actuaciones del profesor y del estudiante, así como cada uno de los problemas de la secuencia dicáctica. Análisis a posteriori: En esta etapa el investigador contrasta la información prevista en el análisis a priori con la información registrada en la etapa de experimentación, tanto para determinar su nivel de comprensión en relación con la actuación de cada uno de los elementos del sistema didáctico, como para determinar si el diseño de la secuencia didáctica tuvo el impacto esperado en el aprendizaje de los estudiantes.

INGENIERÍA DIDÁCTICA - ANÁLISIS PRELIMINAR El análisis preliminar para esta Ingeniería Didáctica se desarrolla desde tres dimensiones, histórica-epistemológica, didáctica y cognitiva. Análisis histórico-epistemológico de la noción de función lineal

En su tesis doctoral L´etude des conceptions de la notion de continuité d´une fonction chez éléves et les professeurs de la fin de secondarie au Maroc, El Bouazzaoui (1998) hace referencia a los tres estatus del conocimiento establecidos por Chevallard (1982): • Nociones proto-matemáticas, que los matemáticos usan pero no nombran ni definen. • Nociones para-matemáticas, que tienen un nombre y han sido objeto de negociación pero no están definidas matemáticamente. Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre

122 • Nociones matemáticas, ya construidas y definidas matemáticamente. Basadas en las nociones anteriormente expuestas, consideramos que la función lineal como objeto matemático ha evolucionado, y seguramente seguirá evolucionando, de acuerdo con las necesidades de cada época y con las interacciones con otros objetos matemáticos que le proporcionan nuevos matices al concepto. Luego de revisar los elementos históricos presentados por Boyer (2001) y Newman (1997), proponemos desde una perspectiva histórica-epistemológica, la siguiente caracterización del objeto función lineal en sus estados proto-matemático, paramatemático y matemático. Estado proto-matemático.

Los escritos más antiguos que se conocen de Matemáticas son el Papiro de Rhind y el de Moscú, escritos entre los años 2000 a.C y 1788 a.C, que corresponden a la civilización egipcia y presentan series

Papiro de Rhind. Tomado de http://www.mat. iesluisbuenocrespo.es/index.php?option=com_ wrapper&view=wrapper&Itemid=98

El Astrolabio

de números, operaciones, relaciones geométricas, cálculos de pirámides y problemas prácticos resueltos en forma aritmética o con ecuaciones lineales. En particular, se encuentra implícito el objeto función lineal en las construcciones de pirámides planteadas en el Papiro de Rhind, pues se usaba para la medición la variación de la altura con respecto a una recta oblícua. Sin embargo, el concepto estaba ligado a situaciones o problemas particulares, a soluciones puntuales no generalizadas. Estado para-matemático

En la civilización babilónica (siglos XVIII hasta VI a.C) se encuentra una manifestación explícita del objeto función, en su uso de tablas para hacer cálculos como multiplicaciones, cuadrados e interés compuesto, así como en el uso de regla de tres, en el que se vislumbra un germen de proporcionalidad. Un ejemplo particular de uso de tablas es el trabajo de Claudio Tolomeo, quien vivió en Alejandría, que utilizó tablas para tomar datos astronómicos como los ángulos y arcos que forman la intersección de la eclíptica con el meridiano y el horizonte. Además, Tolomeo encontró la variación anual de la excentricidad de la órbita de la Luna usando la hipótesis de los epiciclos. Aunque errónea, su teoría contribuyó en gran medidad a la teoría del movimiento planetario. Más ligado al objeto función lineal, está el problema de las cuerdas vibrantes y la teoría pitagórica sobre las proporciones. Los antiguos griegos, quienes cambiaron la manera de pensar, miraban más allá de la apariencia de los fenómenos, buscaban regularidades que pudieran convertirse en leyes y permitieran predecir. Con los griegos la Matemática se separa de lo pragmático y se vuelve abstracta.

123 Pitágoras encontró que hay una relación numérica entre los sonidos y la longitud de una cuerda. La relación entre la porción vibrante de una cuerda y la cuerda entera la expresó en términos de razones. La teoría pitagórica de las proporciones como técnica evidencia el uso de proporcionalidad entre cantidades conmensurables, en ello se puede notar el uso de la función lineal como herramienta para analizar cuantitativamente un fenómeno de cambio. Otro aspecto en el que se encuentra implícita la función es en el estudio de los pitagóricos sobre números figurados, en el sentido en que se trabajan regularidades, patrones numéricos y progresiones aritméticas. Sobre números figurados trabajaron también Pseusipo y Filipo (platónicos) e Hipsicles y Teón de Esmirna quienes hicieron descripciones bastante desarrolladas de las relaciones entre los tipos de números figurados. Nicómano de Gerasa (s. I d.C), en su Introducción a la aritmética, hizo un cambio radical al escribir resultados generales sobre estos números en forma de proposiciones rigurosamente demostradas. En la edad media trabajaron sobre números figurados Diofanto de Alejandría (s. III d.C) y Boecio. En el contexto de las representaciones, aunque a Hiparco de Nicea (180-125 a.C) se le atribuye la invención de un sistema de referencias en términos de longitud y latitud, es a Nicolás de Oresme (13231382) a quien se le atribuyen las primeras representaciones gráficas geométricas como forma de representar la variación. Esta representación permitió estudiar el movimiento en términos geométricos. En particular, Oresme trazó la gráfica de velocidad en función del tiempo para un móvil animado por una aceleración

uniforme, gráfica que corresponde a una función lineal. Franciscus Vieta (15401603) fue el primer matemático que usó el cálculo literal, es decir el cálculo con letras que representan no sólo incógnitas sino también datos. Vieta es considerado el inventor del álgebra simbólica. Aunque Vieta no hizo su aporte directo al objeto función lineal, es importante su aporte pues introduce la forma de representación simbólica que permitió representar clases de funciones (parámetros). Galileo Galilei (1564 – 1642) introdujo lo numérico en las representaciones gráficas de Oresme y expresó las leyes del movimiento en términos de proporcionalidad directa e indirecta. En este sentido, la función lineal empieza a asociarse a la noción de dependencia entre magnitudes más que a la de variación. Con Descartes (1592-1650) y Fermat (1601-1665) se introduce la idea de ecuación algebraica como una representación de la dependencia entre dos cantidades

Claudio Tolomeo. Tomado de http://www.summagallicana.it/ lessico/t/Tolomeo%20Caludio.htm

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124 primera vez el término función asociado aún a lo geométrico, pero independiente de la variación entre magnitudes físicas. Bernoulli (1700-1782) independizó totalmente el término función, dando la primera definición de función como expresión analítica. Además, propuso una notación para la característica y el argumento de una función. Así mismo, Leonard Euler (1707-1783) precisó aún más la noción de función, definiendo constante y variable. Euler fue el primero en utilizar la notación f(x) para designar la variable dependiente. Además, clasificó las funciones en continuas y discontinuas.

Pierre de Fermat. Tomado de http://www.portalplanetasedna.com.ar

variables y empieza a reconocerse la función como dependencia, como una relación que se expresa en forma analítica. Descartes y Fermat desarrollaron métodos para las tangentes basados en la razón entre la diferencia de los valores de la función entre dos valores próximos y la diferencia de sus abcisas. Esta es básicamente la idea de pendiente en ecuaciones lineales. Descartes introdujo un sistema de coordenadas que consiste en fijar la posición de un punto en el plano por medio de dos coordenadas, que corresponden a la distancia a dos líneas perpendiculares entre sí. Estos aportes, que relacionaron la geometría con el álgebra, influyeron notablemente en el trabajo matemático de ahí en adelante prevaleciendo el pensamiento funcional. Estado matemático

Gotfried Wilhelm von Leibniz (16461716), nacido en Alemania, introdujo por El Astrolabio

Lobachevsky (S.XIX) formuló la definición de función en términos de dependencia, denominando función de x a un número que está dado para toda x y que cambie gradualmente junto con x. Por su parte, G. Peano propuso reducir el concepto de función a la noción de relación. Russel y Whitehead desarrollaron la teoría de las relaciones. Haussdorf, en 1920, introduce el concepto de función a la teoría de conjuntos, definiendo la función como la triada (X,Y, f) donde f es un subconjunto del producto cartesiano (X x Y). En las definiciones modernas de función, las nociones de variación y de dependencia pasan a ser desplazadas por la de correspondencia. La definición de función posterior la dio Godement (1966) quien la definió como una terna f=(G, X, Y) en la cual X es el dominio, Y el codominio y G, denominado el grafo de la función, es el conjunto de los pares (x, f(x)) que verifican la función. El concepto de función sigue actualmente evolucionando y adaptándose a los cambios de paradigmas.

125 El anterior análisis histórico-epistemológico nos permitirá identificar posibles obstáculos epistemológicos, que de acuerdo con El Bouazzaoui (1998) son los obstáculos constitutivos del conocimiento y por tanto su superación es importante para la adecuada comprensión del concepto. Análisis Didáctico

El concepto de función está implícito en el plan de estudios del Gimnasio Campestre desde los primeros grados de primaria cuando se trabaja reversibilidad en estructura aditiva y multiplicativa y, de manera más simbólica, en cuarto y quinto cuando se trabaja solución de ecuaciones, nociones que sirven de base para la definición de función lineal en sexto y séptimo grado. En sexto grado, se introduce la definición de función lineal como dependencia entre dos variables y se usan las cuatro representaciones: numérica, simbólica, gráfica y retórica. En séptimo grado se continúa el trabajo con las cuatro representaciones, enfatizando en el análisis de los elementos y las características de los dos variables que se relacionan. En los cursos posteriores se profundiza el estudio de la función lineal, en octavo grado con la aplicación de transformaciones y conversiones entre sus representaciones algebraicas y la solución de sistemas de

ecuaciones lineales. En noveno grado, se trabaja sistemas de ecuaciones lineales en diferentes contextos, enfatizando en las representaciones simbólica y gráfica como un medio para analizar y resolver problemas. Con base en el plan de estudios, predecimos que, de forma similar a lo concluido por González y Martín (2003), los estudiantes al iniciar sexto grado manejan el concepto de función lineal desde una concepción operativa, como un proceso numérico o algebraico, aplicado en la solución de la ecuación y por tanto se requiere diseñar actividades con el fin de que los estudiantes manejen las funciones como un objeto, desde un punto de vista más estructural, de manera que al complementarse permitan constituir el concepto de función lineal. Consideramos que en el desarrollo de esta Ingeniería Didáctica se pueden presentar obstáculos didácticos, que tienen su fuente en la transposición didáctica efectuada durante la enseñanza de un cierto contenido y puede ser eliminado, actuando sobre las situaciones de enseñanza ( El Bouazzaoui, 1998). Algunos de los obstáculos didácticos que se pueden presentar en esta ingeniería, son los siguientes identificados por Ruiz (1984): la enseñanza se centra en técnicas algebraicas en lugar del estudio de la variable y la variabilidad en fenómenos sujetos al cambio. El uso de técnicas relacionadas con la proporcionalidad, tales como la regla de tres. Análisis cognitivo

Representaciones de función lineal. Fotografía: Laura Pulido, Gimnasio Campestre

Los resultados de investigaciones sobre las concepciones de los estudiantes acerInvestigación y Ciencia del Gimnasio Campestre

126 ca del concepto de función, muestran clasificaciones de las formas como los estudiantes se aproximan al concepto y por tanto dan cuenta de sus procesos de aprendizaje. En particular, para el desarrollo de esta investigaciones tenemos en cuenta las tipologías de concepciones acerca del concepto de función propuestas por González y Martín (2003) y por Ruiz (1984) en su tesis doctoral.

en juego una nueva concepción. Por esto, “es necesario que un problema sea verdaderamente importante, que tenga un carácter decisivo en relación con las preocupaciones del momento, para que él se interese y provoque la construcción de un nuevo conocimiento” (El Bouazzaoui, 1998, s.p).

González y Martín (2003) afirman que el análisis histórico-epistemológico realizado por Sfard (1991) acerca de las diferentes definiciones y representaciones muestra que la noción de función puede concebirse de dos formas: estructuralmente (como un objeto) u operacionalmente (como un proceso). Los autores analizan cómo la transición desde la concepción “proceso” a la concepción “objeto” relacionada con el concepto de función, es lenta y difícil. Para lograr esta transición se requieren tres fases propuesas por Sfard que permiten la evolución del continuo proceso-objeto: interiorización, condensación y reificación.

Hasta este punto de la investigación, cuyo objetivo consiste en diseñar una ingeniería didáctica para la enseñanza de la función lineal a estudiantes de sexto grado, se ha desarrollado el análisis preliminar que constituye la primera fase de la metodología de la ingeniería didáctica. Consecuentemente, en el siguiente año se usará este análisis para proponer la secuencia didáctica y se aplicará a estudiantes de sexto grado. Finalmente, se formularán conclusiones que aporten al plan de estudios de matemáticas en el Colegio, para favorecer los procesos de enseñanza y aprendizaje del concepto de función.

Por otra parte, Ruíz (1989) en su estudio sobre las concepciones de los estudiantes acerca del concepto de función, identificó y caracterizó las siguientes concepciones que evidenciaron los estudiantes: algoritmo de cálculo, expresión algebraica, gráfica, ideograma, correspondencia entre conjuntos numéricos y transformación.

LISTA DE REFERENCIAS

Es importante tener en cuenta que una concepción puede ser un obstáculo para la emergencia de una nueva concepción en una situación problema. Esta nueva situación problema debe generar un conflicto que lleve a adaptar la antigua concepción al nuevo dominio o, a poner El Astrolabio

PROYECCIÓN

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Investigación y Ciencia del Gimnasio Campestre