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Fractales

La geometría tradicional euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, lineas, planos y volúmenes. Sin embargo las formas encontradas en la naturaleza como montañas, franjas costeras, nubes, ríos, hojas de árboles, copos de nieve y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descritos en la geometría tradicional. La geometría fractal trata de proveer una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Estas poseen a veces una remarcable invariancia bajo los cambios de escala, propiedad que caracteriza a los fractales. El matemático francés Benoit Mandelbrot acuño la palabra fractal en la década de los años 70 derivándola de adjetivo latín fractus. El correspondiente verbo latino: frangere, significa romper, crear fragmentos irregulares. 1.- Reseña histórica Los fractales fueron concebidos aproximadamente en 1890 por el francés Henrí Poincaré. Sus ideas fueron extendidas más tarde por dos matemáticos también franceses Gastón Juliá y Pierre Fatuo, hacia 1918. Los trabajos realizados en este campo quedaron detenidos en los años 20. El estudio de los fractales fue renovado a partir de 1974 en IBM y fue fuertemente impulsado por el desarrollo de la computadora digital. El doctor Mandelbrot de la Universidad de Yale, es considerado el padre de la geometría fractal, realizó incontable experimentos en computadoras. En su honor uno de los conjuntos que él investigó lleva su nombre. Otro científicos matemáticos, como Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron también en esta área, explorando más la matemática que sus aplicaciones. Desde la década del 70 este campo ha estado en la vanguardia de los matemáticos contemporáneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la Universidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matemática con la ayuda de computadoras modernas. 2.- Concepto de fractal El fractal es matemáticamente, una figura geométrica compleja y detallada en estructura a cualquier nivel de magnificación. A menudo los fractales son semejantes a si mismo, esto es, poseen la propiedad de que cada pequeña porción del fractal puede ser visualizada como una réplica a escala reducida del todo. Existen muchas estructuras matemáticas que son fractales: el triángulo de Sierpinsky, la curva de Koch, el conjunto Mandelbrot, los conjuntos de Juliá entre otros. La característica que fue decisiva para llamarlos fractales es su dimensión fraccionaria, no tienen uno dos o tres como la mayoría de los objetos a los cuales estamos acostumbrados, los fractales tienen usualmente una dimensión que no es entera, ni uno ni dos, pero generalmente entre ellos por ejemplo: 1,55 3.- Dimensión topológica y dimensión fractal Como vimos anteriormente para poder hablar de fractales es necesario establecer primero lo que significa la dimensión topológica y lo que significa la dimensión fractal.

fractal-2 Desde el punto de vista topológico sabemos que la circunferencia y un segmento rectilíneo son la misma curva y encierran el mismo tipo de superficie (pues es posible transforma una en la otra mediante un deformación continua es decir, sin que sea preciso someter a ninguna de las dos a manipulaciones “no topológicas”) Desde un punto de vista métrico no son la misma curva ya que la circunferencia encierra un área finita el círculo, y el segmento a pesar de ser finito, no encierra con su borde un área finita. Aparece aquí, entonces, una característica moderna de las matemáticas: intentar clasificar los objetos por lo que se conserva, por los invariantes, y analizar, por otra parte, qué ocurre con lo que no se conserva, cómo hay que analizarlo, qué hay que hacer con ello, cómo integrarlo en el mundo de los entes matemáticos. Analicemos brevemente lo que significa la dimensión topológica, que es un término que introdujo Henri Poincaré para discernir sobre cuestiones de este tipo. La definición inductiva dada por Poincaré al introducir este concepto fue la siguiente: conjunto vacío: punto: segmento: cuadrado: cubo:

dimensión topológica: dimensión topológica: dimensión topológica: dimensión topológica: dimensión topológica:

D D D D D

= = = = =

-1 0 1 2 3

Otra definición de la dimensión topológica de un objeto geométrico la dio K. Devlin en 1988. Es la definición por el movimiento: En una curva solo podemos movernos en una dirección, adelante o hacia atrás. En una superficie podemos ir adelante, atrás, a derecha, a izquierda. En un volumen podemos movernos, además, hacia arriba, hacia abajo. La curva tiene una dimensión, la superficie tiene dos dimensiones y el volumen tiene tres dimensiones. Una definición distinta de dimensión topológica es la definición por semejanza, llamada también de autosemejanza, que sugirió Felix Hausdorff en 1919, readaptada posteriormente por Besicovich (dimensión de Hausdorff-Besicovich): Si al obtener desde un ente H, N entes iguales, semejantes al original, con razón de semejanza r, entonces la dimensión topológica de H es el número real D que verifica: N . r D = 1 LogN O sea, Log N + D. Log r = 0. Por tanto: D = 1 Log ( ) r Veamos como obtener la definición de Hausdorff-Besicovich mediante la medición de un segmento AB del que se obtienen N subsegmentos iguales, cuya razón de semejanza con AB es r, despreciando el resto del segmento. 3.1.- Segmento – Dimensión 1 1

⎛1⎞ N.r = 1 ⇒ 2.⎜ ⎟ = 1 ⎝2⎠ D

r

r

N = 2 partes,

razón r = 1/N ⇒ r = ½ de donde N . r1 = 1

fractal-3 La media total del segmento AB es la suma de la medida de todos los subsegmentos iguales: N . r D = 1 ⇒ log N + D. log r = 0 ⇒ D =

log N − log r

Por tanto: D =

log N log 2 = =1 ⎛ 1 ⎞ log 2 log⎜ ⎟ ⎝r⎠

3.2.- Un cuadrado: Dimensión: D = 2. 2

Lo dividimos, en 4 cuadrados iguales. N = 4. r = ½. De donde

N.r = 1 ⇒ D

⎛1⎞ 4.⎜ ⎟ = 1 ⎝2⎠

; D=2 D=

log N log 4 = =2 ⎛ 1 ⎞ log 2 log⎜ ⎟ ⎝r⎠

3.3.- Un cubo: Dimensión: D = 3. 3

N.r = 1 ⇒ D

Lo dividimos, en 8 cubos iguales. N = 8. r = ½. ;

D=

⎛1⎞ 4.⎜ ⎟ = 1 ; D = 3 ⎝2⎠

log N log 8 = =3 ⎛ 1 ⎞ log 2 log⎜ ⎟ ⎝r⎠

La dimensión topológica en el sentido de Poincaré o de Devlin coincide en general con la dimensión por semejanza de Hausdorff-Besicovich. Pero hay ciertos objetos geométricos en los que no ocurre así. A estos objetos geométricos los denominaremos, usando la terminología de Benoit Mandelbrot, Fractales. Diremos que la dimensión definida por Poincaré o Devlin es su Dimensión Topológica y que la dimensión por semejanza de Hausdorff-Besicovich es su Dimensión Fractal. 4.- Fractales:

Se llama Fractal a un ente geométrico que tiene una dimensión por semejanza, dimensión fractal, estrictamente mayor que su dimensión topológica. En general, un fractal tiene tantos puntos como todo el espacio tridimensional y tiene tal estructura que cada una de sus partes, observada con una lente de aumento adecuada, reproduce en cierto sentido el conjunto generador de partida (autosemejanza).

fractal-4 Entendemos por Geometría Fractal a la parte de la matemática que estudia la generación, dimensionalidad y aplicación práctica de los fractales.

Veamos a continuación algunos fractales básicos: El Intervalo de Cantor, la Curva de Koch (copo de nieve), El Conjunto de Besicovich, El estuche triangular de Sierpinski y el Fractal aritmético de Sierpinski. 4.1.- El Intervalo de Cantor: (Polvos o peine de Cantor).

Es un intervalo de números reales, del cual se obtienen dos intervalos semejantes dividiendo el intervalo inicial en tres partes iguales. Se elimina la parte central, con lo que aparecen dos intervalos semejantes al primero, con razón de semejanza 1/3. Es decir, N = 2, r = 1/3. La reiteración ad infinitum del proceso permite reducir a polvo el intervalo generador (polvo de Cantor). La dimensión fractal es: D=

log N log 2 = = 0,630905 ⎛ 1 ⎞ log 3 log⎜ ⎟ ⎝r⎠

Este fractal, el primero que se conoce, fue tratado por Cantor al emprender un análisis riguroso de la dimensión fuera de un sistema de coordenadas de la dimensión de el conjunto de puntos reales que se compone de todos los puntos del eje x, como existen lagunas irracionalesentre cualquier par de puntos racionales podria suponerse que el conjunto de puntos tiene dimensión cero, al existir espacios entre sus puntos que hacen que el conjunto no sea continuo. Al estudia la longitud 1 2 4 1 2 2 total de los segmentos suprimidos + + + ... = (1 + + ( ) 2 + .... = , de donde realizando la 3 9 27 3 3 3 suma geométrica se deduce que la longitud es igual a 1. Sin embargo todavía quedan puntos en el conjunto C. Hoy en día este fractal de Cantor se considera un Subfractal dado que su dimensión es menor que la topológica.

fractal-5 4.2.-Curva de Koch (copo de nieve):

Es un segmento con un quiebro en su parte central, cuya longitud es igual al resto del segmento. Este segmento en cada paso aumenta tercio de longitud . Como se observa, de cada uno de los cuatro segmentos que constituyen la curva se obtiene otra semejante con razón de semejanza 1/3. Es decir la longitud de la curva que ocupa el espacio inicial va aumentando en cada paso su longitud de forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior Luego, es N = 4, r = 1/3. Dimensión fractal: D=

log N log 4 = = 1,26181 ⎛ 1 ⎞ log 3 log⎜ ⎟ ⎝r⎠

fractal-6 4.3.- El Estuche Triangular de Sierpinski:

Es un triángulo equilátero sobre el que se traza otro triángulo interior uniendo los puntos medios de sus lados. Aparece un triángulo central, que se elimina, y otros tres triángulos iguales entre sí y semejantes al original con razón 1/2. O sea, es N = 3, r = 1/2 Dimensión fractal: D =

log N log 3 = = 1,5849 ⎛ 1 ⎞ log 2 log⎜ ⎟ ⎝r⎠

A medida que se repite el proceso en el Estuche de Sierpinski, los triángulos negros van aumentando y los triángulos blancos disminuyendo en superficie. En el infinito, la superficie total del triángulo será la suma de las superficies de los triángulos negros, mientras que los triángulos blancos tienden a tener superficie total nula. 4.4.- El Fractal Aritmético de Sierpinski:

Este fractal es en realidad una modalidad del Estuche de Sierpinski. Consideremos el triangulo de Tartaglia o de Pascal, constituido por números naturales de forma que la fila n-sima sean los números ⎛n⎞ n! ⎜⎜ ⎟⎟ = , ⎝ k ⎠ n!.(n − k )!

(k = 0,..., n) o sea, es el triángulo infinito expresado por: 1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 ... ... ... ... ... ...

en este triángulo, como se ve, cada número es la suma de los dos que quedan sobre él en la fila anterior. El Fractal Aritmético de Sierpinski aparece cuando se nos ocurre colocar un cero donde hay un número par, y un 1 donde hay un número impar, con lo cual resulta:

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1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 Como sabemos que los triángulos blancos, formados aquí por ceros, tienden al área total del triángulo, y el área de los triángulos negros, formados por unos, tiende a cero, podemos deducir una propiedad aritmética importante del triángulo de Pascal, a partir de su carácter fractal: Casi todos los números del triángulo de Pascal son pares. Y esto resulta ser un ejemplo de aplicación elemental del concepto de fractal. 5.- Propiedades características del fractal:

• • • •

El fractal tiene detalles en escalas arbitrariamente pequeñas ; posee una estructura fina. Se estima que el fractal por su irregularidad es muy dificultosos para definirlo desde el punto de vista de la geometría euclídea La dimensión fractal es generalmente mayor que la topológica, en algunos casos como el peine de Cantor es menor. En muchos caso el fractal esta dado en forma recursiva.

6.- Fractal geométrico:

Se denomina fractal geométrico a la figura que consiste en un motivo idéntico que se repite en escala cada vez más pequeña. El ejemplo más simple es la estructura de árbol donde cada rama vertical se desdobla en dos en cada nivel y las longitudes de las ramas se dividen por dos. Siendo el tronco inicial de longitud 1 la expresión del árbol será la siguiente. (1).(1) + (2).(1/2) + (4).(1/4) + (8).(1/8) + ........ La autosemejanza es evidente en este caso, pues cada rama vertical, puede ser considerada como el tronco de un árbol que es la copia en escala de la figura completa. Además toda la figura queda confinada en un triángulo rectángulo.