Capítulo V

FUERZAS EN VIGAS Y CABLES 5.1

INTRODUCCIÓN En el presente capítulo se analiza las fuerzas internas que mantienen unidas a las distintas

partes de un elemento dado. Las fuerzas internas que analizaremos actúan en dos tipos importantes de estructuras de ingeniería: las Vigas y los Cables. Para determinar las fuerzas y los momentos internos se dibujan diagramas de cuerpo libre de partes de objetos. Al hacerlo se llega al punto de interés principal para el ingeniero de diseño: las fuerzas dentro de un objeto que determinan si éste soportará las cargas externas a las que se encuentra sometido.

5.2

VIGAS Son elementos estructurales que están diseñados para soportar cargas (concentradas y/o

distribuidas) que están aplicadas en varios puntos a lo largo del mismo. En la mayoría de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga y sólo ocasionarán corte y flexión sobre ésta. Cuando las cargas no forman un ángulo recto con la viga, también producirán fuerzas axiales en ella. Las vigas son barras prismáticas rectas y largas. El diseño de una viga para soportar de manera más efectiva las cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes: 1) determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas y 2) seleccionar la sección transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores que se determinaron en la primera parte. En la Asignatura de Mecánica de Sólidos I se estudia la primera parte del problema de diseñar vigas, la segunda parte corresponde a la Asignatura de Mecánica de Sólidos II.

5.2.1 FUERZAS Y MOMENTOS INTERNOS EN VIGAS Sea una viga AB “simplemente apoyada” como se muestra en la figura, la cual se encuentra sujeta a las fuerzas concentradas F1 y F2 , y a una carga distribuida w. Si se quiere determinar las fuerzas y momentos internos en un punto, es necesario seccionar imaginariamente la viga y cortarla en dos segmentos en ese punto. Esto hace aparecer las

74

fuerzas internas N y V (fuerza normal y fuerza cortante) y el momento de par resultante M (momento de flexión) en el DCL de cada segmento.

DCL de la viga

F2

F1

A 



C

F2

F1

B

FR

B

A

Corte imaginario

Si “cortamos” imaginariamente la viga en el punto C, quedan los segmentos de viga AC y CB, cuyos DCL se muestran a continuación. Note que en el punto C actúan la fuerza cortante (V), la fuerza normal (N) y el momento de par o momento flector M.

F1 F2 MC NC C

A

MC NC

FR

VC C

B

VC CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA “V” (FUERZA CORTANTE) Y “M” (MOMENTO FLECTOR)

La fuerza cortante “V” y el momento flector “M” en un punto dado de una viga son positivos cuando las fuerzas y los pares internos que actúan sobre los segmentos de viga, izquierdo y derecho, están dirigidos como se muestra en la figura anterior.

5.2.2 PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LA FUERZA CORTANTE Y EL MOMENTO FLECTOR EN UNA VIGA Para determinar la fuerza cortante V y el momento flector M en un punto dado C de una viga, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Dibujar un DCL para la viga completa y utilizarlo para determinar las reacciones en los apoyos de la viga. 2. Cortar la viga en el punto C y, con las cargas originales, seleccionar una de las dos porciones de la viga que se han obtenido.

75

3. Dibujar el DCL de la porción de la viga que se haya seleccionado, mostrando: a) Las cargas y las reacciones ejercidas sobre esa parte de la viga, reemplazando cada una de las cargas distribuidas por una carga concentrada equivalente. b) La fuerza cortante y el par flector que representan las fuerzas internas en C. Si se usa la parte de la viga ubicada a la izquierda de C, se aplica en C una fuerza cortante V dirigida hacia abajo y un par flector M dirigido en sentido anti horario. Si se está utilizando la porción de la viga ubicada a la derecha de C, se aplica en C una fuerza cortante V´ dirigida hacia arriba y un par flector M´ dirigido en sentido horario. 4. Escribir las ecuaciones de equilibrio para la porción de la viga que se ha seleccionado. Se resuelve la ecuación

M

C

F

y

 0 para V (fuerza cortante) y la ecuación

 0 para M (momento flector).

5. Registrar los valores de V y M con el signo obtenido para cada uno de éstos, un signo positivo para V significa que las fuerzas cortantes en C sobre cada una de las dos porciones de la viga están dirigidas como se muestra en la figura anterior; un signo negativo significa que las fuerzas cortantes tienen un sentido opuesto. De manera similar, un signo positivo para M significa que los pares flectores en C están dirigidos como se muestra en la figura anterior y un signo negativo significa que los pares flectores tienen un sentido opuesto. Además, un signo positivo para M significa que la concavidad de la viga en el punto C está dirigida hacia arriba mientras que un signo negativo significa que dicha concavidad está dirigida hacia abajo.

5.2.3 DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE MOMENTO DE FLEXIÓN Se utiliza en el análisis y diseño de vigas. Estos diagramas muestran las variaciones de V y M como función de la posición x a lo largo del eje de la viga. Para construir los diagramas de V y M para una viga, previamente debemos: a) Hacer el DCL de la viga completa y hallar las reacciones en los apoyos y los momentos de par que actúan sobre la viga. b) Hallar las ecuaciones de V y M para eso cortamos la viga las veces que sea necesario, midiendo

x

a partir del extremo izquierdo o a partir del origen de coordenadas

establecido hasta el punto de corte. En el DCL de cada segmento, V y M deben tener signo positivo.

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Ejemplo:

L F

b

a

Para el análisis de esta viga tenemos tres segmentos: 1er segmento: que va desde 0 hasta

w 0 

x1

a

2do segmento: que va desde

a hasta b

3er segmento: que va desde

b hasta L

x2 x3

Las funciones a utilizar serán válidas solamente dentro de las regiones comprendidas desde 0 hasta a para x1, desde a hasta b para x2, y desde b hasta L para x3. Nota: la fuerza normal interna (N) no se considera en el análisis porque en la mayoría de los casos las cargas aplicadas a la viga actúan en forma perpendicular al eje de la viga, por lo tanto sólo se produce una fuerza cortante interna y un momento de flexión.

5.2.4 PROCEDIMIENTO PARA

DIBUJAR LOS DIAGRAMAS DE FUERZA

CORTANTE Y DE MOMENTO FLECTOR PARA UNA VIGA Los diagramas de fuerza cortante y de momento flector se obtienen al graficar, respectivamente, V y M en función de la distancia x medida a lo largo de la viga. Sin embargo, en la mayoría de los casos sólo se necesita calcular los valores de V y M en unos cuantos puntos. 1. Para una viga que soporta únicamente cargas concentradas, se observa que: a) El diagrama de fuerza cortante consiste en segmentos de línea horizontales. Por tanto, para dibujar el diagrama de fuerza cortante de la viga sólo se necesita calcular el valor de V justo a la izquierda o justo a la derecha de los puntos donde se aplican las cargas o las reacciones. b) El diagrama de momento flector consiste de segmentos de líneas rectas oblicuas. Por tanto, para dibujar el diagrama de momento flector de la viga sólo se necesitará calcular el valor de M en los puntos donde se aplican las cargas o las reacciones. 2. Para una viga que soporta cargas uniformemente distribuidas, es necesario señalar que bajo cada una de las cargas distribuidas se tiene lo siguiente. a) El diagrama de fuerza consiste de un segmento de una línea recta oblicua. Por tanto, sólo se necesita calcular el valor de V donde empieza y termina la carga distribuida.

77

b) El diagrama de momento flector consiste de un arco de parábola. En la mayoría de los casos sólo se necesita calcular el valor de M donde empieza y termina la carga distribuida. 3. Para una viga con una carga más complicada, es necesario considerar el diagrama de cuerpo libre de una porción de la viga de longitud arbitraria x y determinar V y M como funciones de x. Es posible que se tenga que repetir este procedimiento varias veces puesto que por lo general V y M están representadas con diferentes funciones en distintas partes de la viga. 4. Cuando se aplica un par a una viga, la fuerza cortante tiene el mismo valor en ambos lados del punto de aplicación del par pero en el diagrama de momento flector presentará una discontinuidad en dicho punto, incrementándose o disminuyendo en una cantidad igual a la magnitud del par. Observe que un par se puede aplicar directamente a la viga o puede resultar a partir de la aplicación de una carga sobre un elemento curvo que está unido rígidamente a la viga. Nota.- Los diagramas de V vs x y M vs x se recomiendan dibujarlos debajo del DCL de la viga.

5.2.5 RELACIONES ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR La construcción de los diagramas de fuerza cortante y momento flector se facilita si se toman en consideración las siguientes relaciones. Representando con w la carga distribuida por unidad de longitud (la cual se supone positiva si está dirigida hacia abajo), se tiene que:

dV  w dx

;

dM V dx

o, después de integrar las ecuaciones anteriores,

VD  VC   (Área bajo la curva de carga entre C y D)

. . . (1)

M D  M C  Área bajo la curva de fuerza cortante entre C y D . . . (2) La ecuación (1) hace que sea posible dibujar el diagrama de fuerza cortante de una viga a partir de la curva que representa a la carga distribuida que actúa sobre dicha viga y del valor de V en un extremo de la misma. En forma análoga, la ecuación (2) hace que sea posible dibujar el diagrama de momento flector a partir del diagrama de fuerza cortante y del valor de M en un extremo de la viga. Sin embargo, las cargas concentradas introducen

78

discontinuidades en el diagrama de fuerza cortante y los pares concentrados implican discontinuidades en el diagrama de momento flector. Por último, a partir de la ecuación (2) se observa que los puntos de la viga donde el momento flector es máximo o mínimo son también los puntos donde la fuerza cortante es igual a cero.

5.2.6 PROCEDIMIENTO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LOS DIAGRAMAS DE V y M, A PARTIR DE LA RELACIÓN ENTRE CARGA, FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR. Pasos a seguir: 1. Dibujar un DCL para toda la viga y utilizarlo para determinar las reacciones en los

apoyos. 2. Dibujar el diagrama de fuerza cortante. Esto se puede llevar a cabo cortando la viga en

varios puntos y considerando el diagrama de cuerpo libre de una de las partes de la viga que se obtienen de esta forma. 3. Dibujar el diagrama de momento flector utilizando el siguiente procedimiento. a) Se calcula el área bajo cada porción de la curva de fuerza cortante, asignándole un

signo positivo a las áreas localizadas por encima del eje x y un signo negativo a las áreas localizadas por debajo del eje x. b) Se aplica consecutivamente la ecuación (2), comenzando a partir del extremo

izquierdo de la viga, donde M = 0 (excepto si en ese extremo se aplica un par o si la viga en voladizo con su extremo izquierdo fijo). c) Se debe tener cuidado de mostrar una discontinuidad en el diagrama de momento

flector en el punto en que se aplica un par sobre la viga, incrementando el valor de M en dicho punto en una cantidad igual a la magnitud del par, si este último tiene un sentido horario o disminuyendo el valor de M en una cantidad igual a la magnitud del par, si este último tiene un sentido anti horario. 4. Determinar la ubicación y la magnitud de Mmáx. El máximo valor absoluto del momento

flector ocurre en uno de los dos puntos en los que dM/dx = 0, esto es, en un punto donde V es igual a cero o cambia de signo. Por tanto se tiene que: a) Se determina a partir del diagrama de fuerza cortante, el valor de M en el que V cambia

de signo; esto ocurre en los puntos donde actúan cargas concentradas. b) Se determinan los puntos en los que V = 0 y los valores correspondientes de M; esto

ocurrirá bajo una carga distribuida. 5. La calidad de los dibujos de los diagramas se puede mejorar si se recuerda que en

cualquier punto dado, la pendiente de la curva V es igual a –w y la pendiente de la curva M es igual a V.

79

6. Por último, para vigas que soportan una carga distribuida que está expresada como

una función w(x), se debe recordar que la fuerza cortante V se puede obtener integrando la función –w(x) y el momento flector M puede obtenerse integrando V(x).

5.3 CABLES Son elementos flexibles capaces de soportar sólo tensión y están diseñados para soportar cargas concentradas o distribuidas. Los cables flexibles se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería, como en puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, etc. Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre ellos: 1) cables que soportan cargas concentradas y 2) cables que soportan cargas distribuidas. Los cables flexibles y las cadenas se utilizan con frecuencia para construir estructuras de soporte y para transmitir cargas de un miembro a otro. Cuando se utilizan para soportar puentes en suspensión, los cables forman el elemento principal de transporte de carga de la estructura. En el análisis de fuerzas de tales sistemas, el peso del cable en sí mismo puede despreciarse debido a que con frecuencia éste es pequeño comparado con la carga que transporta. Por otro lado, cuando los cables se utilizan como líneas de transmisión y tirantes para antenas de radio y armazones, el peso del cable puede convertirse en un factor importante y deberá incluirse en el análisis estructural.

5.3.1 CABLE SUJETO A CARGAS CONCENTRADAS Cuando un cable de peso despreciable soporta varias cargas concentradas, toma la forma de varios segmentos de una línea recta, cada uno de los cuales está sujeto a una fuerza de tensión constante. Cuando se obtienen las relaciones necesarias entre la fuerza en el cable y su pendiente, supondremos que el cable es perfectamente flexible y que éste no se puede extender. Debido a su flexibilidad, el cable no ofrece resistencia a la flexión y por lo tanto la fuerza de tensión que actúa en el cable es siempre tangente a éste a todo lo largo. Puesto que el cable no se puede extender, éste tiene una longitud constante antes y después de que se aplica la carga. Como resultado, su geometría permanece fija, y el cable o un segmento del mismo pueden tratarse como un cuerpo rígido.

80

Ejemplo de cable sujeto a fuerzas concentradas:

A h

D

H

B C

w1 a

c

b w2

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CABLES SUJETOS A CARGAS CONCENTRADAS Pasos a seguir: 1. Dibujar un DCL para todo el cable mostrando todas las cargas y las componentes horizontal y vertical de la reacción en cada uno de los apoyos. Utilizar este diagrama para escribir las ecuaciones de equilibrio correspondientes. 2. Se enfrentará una situación en la cual se tienen cuatro componentes desconocidas y sólo se cuenta con tres ecuaciones de equilibrio. Por tanto, se debe encontrar alguna información adicional, como la posición de un punto sobre el cable o la pendiente del cable en un punto dado. 3. Después que se ha identificado el punto del cable donde existe información adicional, se corta el cable en dicho punto y se dibuja el DCL correspondiente a una de las dos secciones del cable que se han obtenido de esta manera. a) Si se conoce la posición del punto donde se ha cortado el cable, escribiendo

 M  0 con respecto a dicho punto para el nuevo cuerpo libre, se obtendrá la ecuación adicional que se requiere para resolver las cuatro componentes desconocidas de las reacciones. b) Si se conoce la pendiente de la porción del cable que se ha cortado, escribiendo

F

x

0 y

F

y

 0 para el nuevo cuerpo libre, se obtendrán dos ecuaciones de

equilibrio que, junto con las tres ecuaciones originales, pueden resolverse para las cuatro componentes de reacción y para la tensión del cable en el punto donde éste fue cortado.

81

4. Para encontrar la elevación en un punto dado del cable y la pendiente y la tensión en el mismo una vez que se han encontrado las reacciones en los apoyos, se debe cortar el cable en dicho punto y dibujar un DCL para cada una de las dos secciones que se han

 M  0 con respecto al punto en cuestión se  F  0 y  F  0 se obtienen las componentes de

obtenido de esta manera. Si se escribe obtiene su elevación. Al escribir

x

y

la fuerza de tensión, a partir de las cuales se encuentra fácilmente la magnitud y dirección de esta última.

5.3.2 CABLE CON CARGAS DISTRIBUIDAS Consideremos un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga distribuida como se muestra en la figura a. En este caso el cable cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la tangente de la curva.

a)

c)

b)

Fuente: Beer – Johnston, Mecánica vectorial para ingenieros – Estática. Octava edición

Considerando el caso más general de carga distribuida, se dibuja el DCL de la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto D del cable (ver la figura b). Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión T0 en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensión T en D, la cual está dirigida a lo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuida, soportada por la porción CD del cable. Si se dibuja el triángulo de fuerzas correspondiente (ver la figura c), se obtienen las siguientes relaciones:

T cos  T0

T  T02  W 2

T sen W

tan  

W T0

82

De la primera ecuación se concluye que la componente horizontal de la fuerza de tensión T es la misma en cualquier punto y que la componente vertical de T es igual a la magnitud W de la carga medida a partir del punto más bajo. La segunda ecuación muestra que la tensión T es mínima en el punto más bajo y máxima en el punto de apoyo más elevado (cuando los puntos de apoyo están a diferente nivel).

5.3.2.1 CABLE PARABÓLICO Se denomina cable parabólico a la forma que adopta un cable flexible que soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal. Supongamos que un cable AB soporta una carga distribuida de manera uniforme a lo largo de la horizontal (ver figura a). La carga por unidad de longitud (medida en forma horizontal)

bf / ft .

se representa con w y se expresa en N/m o en y

B

A

D (x, y) C x

w y

T D

T0

y

C x/2

x/2

x

W=wx Seleccionando ejes coordenados con su origen en el punto más bajo C del cable, se encuentra que la magnitud W de la carga total soportada por el segmento del cable que se extiende desde C hasta el punto D de coordenadas x y y está dada por W = w x. De esta forma, las ecuaciones que definen la magnitud y la dirección de la fuerza en D son:

83

tan  

T  T02  w2 x 2

wx T0

Además, la distancia desde D hasta la línea de acción de la resultante W es igual a la mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D (ver la figura). Si se suman momentos con respecto a D, tenemos:

M

D

x w x  T0 y  0 2

0

y, resolviendo para y, se obtiene:

w x2 y 2T0 Ésta es la ecuación de una parábola con un eje vertical y con su vértice en el origen del sistema de

coordenadas. Por tanto, la curva formada por cables que están cargados

uniformemente a lo largo de la horizontal es una parábola. Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevación (ver figura siguiente), la distancia L entre los apoyos se conoce como el claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto más bajo se llama la flecha del cable. Si se conocen el claro y la flecha del cable y si la carga por unidad de longitud horizontal w está dada, se 2 puede encontrar la tensión mínima T0 sustituyendo x = L/2 y y = h en la ecuación y  w x

2T0

Cable parabólico

y B

A

Flecha C

yB

x

Claro xA

xB 84

Cuando los apoyos tienen elevaciones diferentes, no se conoce la posición del punto más bajo del cable y se deben determinar las coordenadas xA, yA y xB, yB de los apoyos A y B. La longitud del cable desde su punto más bajo C hasta su apoyo B se puede obtener a partir de la fórmula:

SB  

XB

0

1  (dy / dx)2 dx

2 Si se obtiene la diferencial de la ecuación y  w x se obtiene la derivada dy/dx = wx/T0 ;

2T0

sustituyendo este resultado y utilizando el teorema del binomio para expandir el radical en una serie infinita se obtiene:

sB  

xB

0

1  ( w x / T ) dx   2

2

2 0

xB

0

2

w2 x 2 w2 x 4 (1    ...) dx 2T02 8T04 4

 2 y  2 y  sB  xB 1   B    B   ...  3  xB  5  xB  y como w xB2 / 2T0  yB ,

 2  y 2 2  y 4  sB  xB 1   B    B   ...  3  xB  5  xB   La serie converge para valores de la relación yB/xB menores que 0,5; en la mayoría de los casos, dicha relación es menor y sólo es necesario calcular los dos primeros términos de la serie.

5.3.2.2 CATENARIA Se denomina catenaria a la forma que adopta un cable flexible que está sujeto a la acción de su propio peso, el cual consideramos que se haya uniformemente distribuido a lo largo del cable. Los cables flexibles de las líneas de transmisión de energía en alta tensión son un ejemplo de catenaria. También son un ejemplo de catenaria los cables flexibles de los teleféricos. Consideremos un cable flexible AB que soporta una carga uniformemente distribuida a lo largo del mismo cable (ver figura a). Los cables que cuelgan bajo la acción de su propio peso están cargados de esta forma. La carga por unidad de longitud, medida a lo largo del cable, se representa por w y se expresa en N/m o en

bf / ft . La magnitud W de la carga total

soportada por una porción del cable de longitud s que se extiende desde el punto más bajo

85

C hasta un punto D está dado por W = w s. Si se sustituye este valor de W en la ecuación

T  T02  w2 x 2

,

se obtiene la tensión en D.

T  T02  w2 s 2

y

B

D (x, y) A

s C

c O

x a)

T

ϴ ds D

dy

T

W=ws

dx ϴ

s

T0

T0 C

c) W=ws b)

Para simplificar los cálculos subsecuentes, se introduce la constante c  T0 / w denominada parámetro de la catenaria. Entonces se escribe

T0  wc ; W  w s ; T  w c 2  s 2 86

En la figura b se muestra el diagrama de cuerpo libre para la porción CD del cable. Sin embargo, este diagrama no puede utilizarse para obtener directamente la ecuación de la curva que adopta el cable puesto que se conoce la distancia horizontal desde D hasta la línea de acción de la resultante W de la carga. Para obtener dicha ecuación, primero se escribe que la proyección horizontal de un pequeño elemento de cable de longitud ds es

dx  ds cos . Se observa a partir de la figura c que cos  T0 / T y con las ecuaciones

T0  wc ; W  w s ; T  w c 2  s 2 , se escribe: dx  ds cos  

T0 w c ds ds ds   2 2 T w c s 1  s 2 / c2

Si se selecciona el origen O del sistema de coordenadas a una distancia “c” directamente por debajo del punto C (ver figura a) y se integra desde C (0, c) hasta D (x, y), se obtiene

x

s

0

s

s s   c  sen h 1   c senh 1 c 0 c  1  s2 / c2 ds

Esta ecuación, que relaciona la longitud s de la porción CD del cable y la distancia horizontal x, se puede escribir de la siguiente forma:

s  c sen h

x c

Ahora se puede obtener la relación entre las coordenadas x y y escribiendo dy/dx = tan  . Observe a partir de la figura c) que tan  

W y con las ecuaciones T0

x T0  wc ; W  w s ; T  w c 2  s 2 y s  c sen h , se escribe: c dy  dx tan  

W s x dx  dx  sen h dx T0 c c

Si se integra desde C (0 , c) hasta D (x , y) y haciendo uso de las ecuaciones:

d sen h z d cos h z  cos h z ;  sen h z dz dz se obtiene la siguiente expresión:

y c  

x

0

c

x x x    sen h dx  c cos h   c  cos h  1 c c 0 c    x y  c  c cos h  c c

87

La cual se reduce a

y  c cos h

x c

Ésta es la ecuación de una catenaria con eje vertical. La ordenada “c” del punto más bajo C recibe el nombre de parámetro de la catenaria. Elevando al cuadrado ambos lados de las ecuaciones s  c sen h

x x y y  c cos h , restándolas y tomando en cuenta la ecuación c c

cos h2 z  sen h2 z  1, se obtiene la siguiente relación:

y 2  s2  c2 Al resolver esta última ecuación para s2 y llevando este resultado a la relación

T  w c 2  s 2 , tenemos: T

 wy .

Esta ecuación nos indica que la tensión en cualquier

punto D del cable es proporcional a la distancia vertical desde D hasta la línea horizontal que representa al eje x. Cuando los apoyos A y B del cable tienen la misma elevación, la distancia L entre los apoyos recibe el nombre de claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto más bajo C se conoce como la flecha del cable. En este caso, la flecha h está dada por:

h  yA  c También se debe señalar que ciertos problemas sobre catenarias involucran ecuaciones trascendentales, las cuales deben resolverse por medio de aproximaciones sucesivas. Sin embargo cuando el cable está bastante tenso, se puede suponer que la carga está uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal y la catenaria puede reemplazarse por una parábola. Esto simplifica en gran medida la solución del problema y el error que se introduce es pequeño. Cuando los apoyos A y B tienen distintas elevaciones, no se conoce la posición del punto más bajo del cable. Entonces, el problema puede resolverse en forma similar que en el caso de los cables parabólicos, expresando que el cable debe pasar a través de los apoyos, que xA – xB = L y que yB – yA = d, donde d y L representan, respectivamente, las distancias horizontal y vertical entre los dos apoyos.

88

5.4

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZAS EN VIGAS Y CABLES

PROBLEMA Nº 1 La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.

500 bf / pie

A

C

B 3 pies

6 pies

Resolución Para resolver este problema, primero analizamos la viga completa o viga compuesta ABC (viga conformada por las vigas AB y BC) y luego una de sus partes, de esta manera determino las reacciones en los apoyos A, B y C.

Análisis de la viga completa o viga compuesta ABC

4500 bf 4,5 pies

MA R AX C A

R AY

B 3 pies

Por segunda condición de equilibrio:

 M A  9 RC  4500 (4,5)  0

6 pies

M

Totales A

0

RC

+

 M A  9 RC  20250 bf  pie

. . . (1)

89

Por primera condición de equilibrio:

F F

Y

X

R AX  0

0

R AY  RC  4500 bf

0

. . . (2)

Análisis de la viga BC

3000 bf

3 pies

RBX

3 pies C

B

RC

RBY

M

Por segunda condición de equilibrio:

Totales B

0

+ RC  1500 bf

 RC ( 6 pies )  3000 bf (3 pies )  0 Por primera condición de equilibrio:

F F

Y

0

X

RBX  0

0

RBY  RC  3000 bf

RBY  1500 bf

Reemplazando en la ecuación (1), tenemos que:

M A  6750 bf  pie

Reemplazando en la ecuación (2), tenemos que:

R AY  3000 bf

Determinación del número de cortes y análisis de segmentos de viga obtenidos Desde el extremo A de la viga compuesta hasta el extremo C, es suficiente hacer un solo corte, porque entre dichos extremos solo hay un tipo de fuerzas distribuidas y no actúan más fuerzas o momentos externos sobre esta viga. Si asumimos que el punto de “corte” es el punto D, a una distancia x del extremo A ( 0 

x  9 pies ), tenemos que:

90

(500 x) bf

MD

6750 bf  pie x/2

D A

x

VD

3000 bf

Por segunda condición de equilibrio:

M

0

Totales D

+

 M D  500 x ( x / 2)  6750  3000 x  0

M D  (3000 x  250 x 2  6750) bf  pie



VD 

dM D  (3000  500 x) bf dx

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para x  0 , tenemos:

VD  3000 bf

;

M D  6750 bf  pie

* Si evaluamos las ecuaciones del cortante y del momento flector para x  9 pies , tenemos:

VD  1500 bf

;

MD  0

Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x” (momento flector en función de la posición x) Para realizar estos diagramas se recomienda primero hacer el DCL de la viga completa y debajo de este dibujar los diagramas solicitados.

91

4500 lbf 6750 lbf.pie

1500 lbf 3000 lbf

V (lbf) 3000

+A1 x (pies)

6 0

9

-A2

-1500

M (lbf.pie)

M 2   A2

2250

x (pies) 0 6

9

M 1   A1

-6750 * De estos diagramas se observa: VMÁXIMO  3000 bf y M MÁXIMO  6750 bf  pie 92

PROBLEMA Nº 2 Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga AB que muestra la figura está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. Determine asimismo los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

6 kN

6 kN 5 kN/m

A

B 1m

1m

4m

1m

1m

Resolución Por condición del problema, la reacción del suelo sobre la viga AB está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida, por lo tanto la figura dada equivale a la que se muestra a continuación. En ella, “w” representa la reacción por unidad de longitud que ejerce el suelo sobre la viga.

4m

6 kN

6 kN

5 kN/m

A

1m

1m

1m

1m

B

w

Para resolver problemas de vigas, primero se hace el DCL de la viga completa y se hallan las reacciones en los apoyos. A continuación, se determina el número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y se hallan las ecuaciones de V y de M, en función de x, para cada uno de los segmentos de viga que resulten después de realizar los “cortes”. Finalmente se dibujan los diagramas de “V vs x” y “M vs x” a partir de las ecuaciones halladas anteriormente.

93

 DCL de la viga completa y cálculo de “w” (reacción por unidad de longitud que ejerce el suelo sobre la viga) En este diagrama de cuerpo libre,

20 kN 4 m 6 kN

6 kN

las fuerzas de

20 kN

representan

las

resultantes

A

1m

1m

1m

1m

de

y

8w

fuerzas

las

fuerzas

distribuidas que actúan sobre la

B

viga. Recuerde que estas fuerzas están aplicadas en un punto de la viga que tiene la misma dirección de la recta que pasa por el centroide del área de la figura formada por las

R =8w

fuerzas

distribuidas

(o

área

encerrada por la curva de carga). Por primera condición de equilibrio:

F

y

w  4 kN / m

8w  32 kN  0

0

 Determinación del número de “cortes” imaginarios que se deben realizar a la viga y del número de segmentos de viga que se deben analizar Analizando las fuerzas que actúan sobre la viga completa (observe su DCL) concluimos que, desde el extremo A hasta el extremo B de la viga, debemos realizar CINCO “cortes” imaginarios (puntos C, D, E, F y G en la figura siguiente).

y 1er corte 2do corte

5to corte 4to corte

3er corte

A

C

E

D

0 x 1

2 x

F

6

G

B 8

7

x (m)

x x x

Al realizar los CINCO “cortes” imaginarios y observando el lado izquierdo de cada “corte”, tenemos CINCO SEGMENTOS DE VIGA que debemos analizar. Asumiendo que el extremo A de la viga es el origen de coordenadas (ver la figura), la posición x del punto de corte viene dada por:

94

-

Para el segmento de viga AC:

0  x  1m

-

Para el segmento de viga AD:

1m  x  2 m

-

Para el segmento de viga AE:

2m  x  6m

-

Para el segmento de viga AF:

6m  x  7m

-

Para el segmento de viga AG:

7 m  x  8m

Análisis del segmento de viga AC (0 < x < 1 m) Observando el segmento de viga AC notamos que sobre el actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza cortante VC y el momento de flexión MC, como se muestra en la figura siguiente.

MC

Por segunda condición de equilibrio:

x/2

4x

Totales C

0

+

 M C  4 x( x / 2)  0

C

A

M

M C  (2 x 2 ) kN  m

VC

(Es una ecuación cuadrática)

Luego:

VC 

x

dM C  (4 x) kN dx

(Es una ecuación lineal)

Análisis del segmento de viga AD (1 m < x < 2 m) Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante VD y el momento de flexión MD (ver figura siguiente). 6 kN

Por segunda condición de equilibrio:

MD

1m

Totales D

0

 M D  6( x  1)  4 x( x / 2)  0

D

A

M

M D  (2 x 2  6 x  6) kN  m VD 4x x

Luego:

VD 

dM C  (4 x  6) kN dx

Análisis del segmento de viga AE (2 m < x < 6 m) Sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia

95

abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 5(x-2) dirigida hacia abajo, la fuerza cortante VE y el momento de flexión ME (ver figura siguiente). 5(x-2)

6 kN

ME

1m

1m

Por segunda condición de equilibrio:

A

Totales E

0

 M E  5( x  2) 2 / 2  6( x  1)  4 x( x / 2)  0

E

1 M E  ( x 2  4 x  4 ) kN  m 2

VE

4x

M

VE 

Luego:

x

dM C  ( x  4) kN dx

Análisis del segmento de viga AF (6 m < x < 7 m) En este caso, sobre este segmento de viga actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), la fuerza concentrada de 6 kN dirigida hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante VF y el momento de flexión MF (ver figura siguiente). 20 kN Por segunda condición de equilibrio:

6 kN

2m

2m

1m

A

Totales F

0

 M F  6( x  1)  20( x  4)  4 x( x / 2)  0

MF 1m

M

M F  (2 x 2  26 x  86) kN  m

F Luego:

VF

4x

VF 

x

dM C  ( 4 x  26) kN dx

Análisis del segmento de viga AG (7 m < x < 8 m) En este caso, Sobre el segmento de viga AG actúan: la resultante de las fuerzas distribuidas igual a 4x (reacción hacia arriba ejercida por el suelo sobre la viga), las dos fuerzas concentradas de 6 kN dirigidas hacia abajo, la fuerza resultante de las fuerzas distribuidas igual a 20 kN dirigida hacia abajo, la fuerza cortante VG y el momento de flexión MG (ver figura siguiente). 20 kN 6 kN 1m

2m

Por 2da condición de equilibrio:

6 kN

2m

MG

1m

1m

A

VG

Totales F

0

 M G  6( x  1)  20( x  4)  6( x  7)  4 x( x / 2)  0

G

4x

M

M G  ( 2 x 2  32 x  12 8) kN  m Luego:

VG 

dM C  (4 x  32) kN dx

x

96

 Diagramas “V vs. x” (fuerza cortante en función de la posición x) y “M vs. x” (momento flector en función de la posición x) 20 kN 6 kN

V

6 kN

kN

4

32 kN

2

6 0

1

7

4

2

8

x (m)

-2

-4

M

kN.m Parábolas

4

2

0

1

2

4

6

7

8

x (m)

De la figura se concluye que:

VMÁXIMO  4 kN

;

M MÁXIMO  4 kN  m

97

PROBLEMA Nº 3 Un cable de transmisión eléctrica de 240 m de longitud y masa por unidad de longitud 0,6 kg/m se suspende entre dos puntos que tienen la misma altura. Si la flecha es de 24 m. Calcule la tensión máxima en el cable y el claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo).

Resolución Según el enunciado se trata de un cable flexible sujeto a la acción de su propio peso, por lo tanto la forma que adopta es de una catenaria tal como se muestra en la figura siguiente: y Cable B

A 24m C

yB

c

xA

xB

x

Si consideramos que el origen del sistema de coordenadas se halla a una distancia vertical “c” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura anterior), la longitud “S” del segmento de cable CB y la coordenada “y” del punto B, vienen dados por:

S  120 m

;

y  c  24 m

Además, se cumple que:

y2  S 2  c2 Reemplazamos y y

S :

(c  24) 2 1202  c 2 Despejando “c” (parámetro de la catenaria) , obtenemos:

c  288 m 98

Cálculo de Tmax del cable: Se sabe que la tensión del cable es máxima en el punto donde el cable tiene mayor pendiente o mayor inclinación. En nuestro caso sería cualquiera de los apoyos, dado que los dos están al mismo nivel. Para calcular esta tensión máxima aplicamos la ecuación

T  w c2  S 2 Al reemplazar la carga por unidad de longitud “w”,

igual a 5,886 N (0,6 kg x 9,81 m/s2), el

parámetro “c” de la catenaria, igual a 288 m, y la longitud “S” del cable, igual a 120 m, obtenemos:

Tmáxima 1836,432 N Cálculo del claro (distancia horizontal entre los dos puntos de apoyo) De la figura se observa que el claro viene dado por la suma de las distancias xA y xB , pero como estas distancias son iguales, la suma de ambas es igual al doble de una de ellas. Además, de la ecuación de la catenaria y  c Cos h x  , despejando x obtenemos: x  c arco cos h y  c c Luego:

 288 m  24 m  y   Claro  2 xB  2 c arco cos h B   2(288 m) arco cos h  288 m  c   

Claro  233,5479 m

99

PROBLEMA Nº 4 Un cable eléctrico cuelga entre un poste y una casa. Si la masa por unidad de longitud del cable es de 2,1 kg/m, determine: a) La distancia desde la casa hasta el punto más bajo, C, del cable. b) La tensión máxima del cable. c) La longitud del cable.

Resolución Por tratarse de un cable que tiene la forma de una catenaria, elijo primero un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentre a una distancia vertical “c” debajo del punto más bajo de la catenaria (ver figura siguiente).

100

Se sabe que la ecuación de la catenaria es:

 x y  c Cos h  c Además, cuando los apoyos están a diferente nivel el cable se analiza por partes.  Para el segmento de cable AC, tenemos:

x  y A  c Cos h A  , Donde: y A  0,5  c  c  Reemplazando

( y A en m)

 0,5   1  c 

y A y despejando x A obtenemos: x A  c arco cosh

 Para el segmento de cable CB, tenemos:

x  y B  c Cos h B  , Donde: y B  1,2  c  c  Reemplazando

( y B en m)

 1,2   1  c 

y B y despejando x B obtenemos: x B  c arco cosh

De la figura dada observamos que:

x A  xB  8 m Reemplazando

x A y x B tenemos  0,5   1,2  c arco cosh  1  c arco cosh  1  8 . . . (1)  c   c 

Para resolver esta ecuación (1) tenemos dos métodos: Primer método: utilizando una calculadora programable Si utilizamos, por ejemplo, una calculadora CASIO FX – 570 PLUS, obtenemos que:

c  9,99873243 m Segundo método: por TANTEOS Para aplicar este método, primero hallo el valor referencial de “c” aplicando la ecuación de la parábola. Es decir:

w x2 y 2T0

, donde:

T0  w c

Luego, para el segmento de cable AC, tenemos:

w x A2 0,5  2 wc

xA  c 101

Para el segmento de cable CB, tenemos:

1,2 

Además:

w x B2 2 wc

xB 

c

x A  xB  8 m

Resolviendo esta ecuación obtenemos:

2,4 c

2,4 c  8 m

c  9,848598 m

A partir de este valor referencial de c ( c  9,848598 m ) hallo el verdadero valor de c. Para ello construyo la tabla siguiente, colocando como primer valor de c a este valor referencial, los demás valores que asumimos deben ser siempre mayores, hasta hallar el verdadero valor de c.

Valor referencial

c (m)

 0,5   1,2  c arco cosh  1  c arco cosh  1  c   c 

9,848598 ,

7,9388135 m

9,9

7,959815 m

resultar

10

8,0005 m

igual a

9,99

7,99645391m

8m

9,998

7,9997026 m

De la tabla se concluye que el valor que más se aproxima a

La suma debe

8 m (sin sobrepasarlo) es

7,9997026 m, por lo tanto asumimos que:

c  9,998 m NOTA.- para mayor exactitud (que la suma se aproxima mucho más a 8m) podemos agregar más decimales al valor de “c”, es decir asumir que “c” es por ejemplo

9,9985 m

, hasta

hallar su valor verdadero. En eso consiste el método de tanteos.

a) Cálculo de “ x A ” (distancia de la casa hasta el punto más bajo del cable): Se halló que:

xA  c

Reemplazando

c  9,998 m

(el valor hallado por el método de tanteos), obtenemos:

x A  3,162 m 102

b) Cálculo de la tensión máxima del cable La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo B.

Tmáxima  TB  w yB  230,69 N Donde:

y B  c  1,2 m ; siendo c  9,998 m (el valor hallado por el método de tanteos)

c) Cálculo de la longitud del cable ( sTOTAL ) Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:

s  c sen h

x c

Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del cable viene dada por:

sTOTAL  s AC  sCB  c sen h( x A / c)  c sen h( xB / c) Reemplazando x A  3,162 m ,

x B  4,838 m y

c  9,998 m

(el valor hallado por el

método de tanteos), obtenemos que:

sTOTAL  8,244 m PROBLEMA Nº 5 El cable de transmisión eléctrica tiene un peso por unidad de longitud de 15 bf / pie . Si el punto más bajo del cable debe estar al menos 90 pies sobre el suelo, determine la tensión máxima desarrollada en el cable y la longitud del cable entre A y B.

103

Resolución Por tratarse de una catenaria, primero elijo un sistema de coordenadas cuyo origen se halla a una distancia vertical “c” debajo del punto más bajo del cable (ver la figura siguiente).

C

Se sabe que la ecuación de la catenaria es:

 x y  c Cos h  c Como los apoyos están a diferente nivel, el cable se analiza por partes.  Para el segmento de cable AC, tenemos:

x  y A  c Cos h A  , Donde: y A  c  90  c  Reemplazando

( y A en pies )

 

y A y despejando x A obtenemos: x A  c arco cosh1 

90   c 

 Para el segmento de cable CB, tenemos:

x  y B  c Cos h B  , Donde: y B  c  30  c  Reemplazando

( y B en pies )

 

y B y despejando x B obtenemos: x B  c arco cosh1 

30   c 

De la figura dada observamos que:

104

x A  xB  300 pies Reemplazando

x A y x B tenemos que: 90  30    c arco cosh1    c arco cosh1    300 pies c  c   

Para resolver la ecuación anterior utilizamos una calculadora programable CASIO FX – 570 PLUS, y obtenemos que:

c  211,3054592 pies a) Cálculo de la tensión máxima del cable La tensión del cable es máxima en el punto que tiene mayor pendiente, es decir en el apoyo A.

Tmáxima  TA  w y A  4519,58188 bf Donde:

y A  c  90 pies ; siendo c  211,3054592 pies

b) Cálculo de la longitud del cable ( sTOTAL ) Para calcular la longitud del cable utilizo la ecuación siguiente:

s  c sen h

x c

Esta ecuación se aplica por separado a los segmentos de cable AC y CB, luego la longitud total del cable viene dada por:

sTOTAL  s AB  sBC  c sen h( x A / c)  c sen h( xB / c) Reemplazando:

x A  188,6932526 pies , x B  111,3067474 pies y c  211,3054592 pies , obtenemos que:

sTOTAL  331,3166362 pies

105