Cap´ıtulo 8 Funci´ on inversa y funci´ on impl´ıcita Aplicaciones localmente inyectivas y aplicaciones abiertas. Inversi´ on local de aplicaciones diferenciables. Funciones impl´ıcitas. Cambio de variable y t´ecnicas de c´alculo con funciones inversas e impl´ıcitas. El objetivo del c´alculo diferencial es el estudio del comportamiento local de una funci´on en el entorno de un punto. Si la aproximaci´on local de primer orden proporcionada por la diferencial tiene cierta propiedad, cabe esperar que la funci´on tambi´en tenga esa propiedad localmente. Resultados de este tipo son los que se tratan en este cap´ıtulo al estudiar la inversi´on local de aplicaciones diferenciables y la existencia de funciones definidas impl´ıcitamente. Si f : Ω → F es diferenciable en a ∈ Ω y su diferencial df(a) : E → F es una aplicaci´on lineal invertible cabe esperar que f sea localmente invertible en a, lo que significa que existe alg´ un entorno U ⊂ Ω de a tal que f|U tiene inversa. Los resultados de naturaleza local que conciernen al teorema de la funci´on inversa los presentamos desdoblados en dos tipos de resultados: Los que garantizan la inyectividad local y los que aseguran que la aplicaci´on es abierta y con ello la continuidad de la inversa. Despu´es de estudiar la diferenciabilidad de las funciones inversas se introducen los C m -difeomorfismos, que son los cambios de variable naturales en problemas de c´alculo diferencial donde intervienen funciones de clase C m . Los problemas de existencia de funciones definidas impl´ıcitamente se enmarcan en el siguiente planteamiento: Dado un sistema de m = n − k ecuaciones con n inc´ognitas g1 (x1 , · · · , xn ) = 0; g2 (x1 , · · · , xn ) = 0;

gm (x1 , · · · , xn ) = 0;

se trata de resolverlo localmente con el fin de expresar, en el entorno de un punto, a las m variables xk+1 , xk+2 · · · xn en funci´on de las restantes variables x1 , x2 , · · · xk . Los resultados que sobre este asunto se exponen aqu´ı son versiones no lineales de resultados bien conocidos en el ´ambito lineal. En ellos se asume que la diferencial de cierta aplicaci´on cumple la hip´otesis del caso lineal y se demuestra, bajo las condiciones naturales, que esta propiedad se transmite localmente a la funci´on. Este cap´ıtulo finaliza exponiendo con detalle las t´ecnicas de c´alculo con funciones definidas impl´ıcitamente, y en particular con funciones inversas. Finalmente se 181

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consideran los problemas de cambio de variable en el contexto del c´alculo diferencial. Con varios ejemplos se explica la t´ecnica sistem´atica para realizarlos y se aplica para resolver algunas ecuaciones funcionales sencillas. Los teoremas de la funci´on inversa y de la funci´on impl´ıcita intervienen en el siguiente cap´ıtulo para establecer la equivalencia de las diferentes formas de definir las subvariedades diferenciables de Rn . Como tema complementario directamente relacionado con el material de este cap´ıtulo el lector interesado puede ver en el ap´endice H las nociones de dependencia e independencia funcional, otro asunto interesante para el que son esenciales los teoremas de la funci´on inversa y de la funci´on impl´ıcita. Las demostraciones que se ofrecen aqu´ı para estos teoremas son de naturaleza finito dimensional. No obstante, hay otras t´ecnicas m´as generales que permiten extenderlos al caso de aplicaciones entre espacios normados completos arbitrarios.

8.1.

Aplicaciones con inversa local

Para que una funci´on f : Ω → Rn , definida en un abierto Ω ⊂ Rn , se pueda invertir localmente en a ∈ Ω, hay que encontrar un entorno abierto U de a tal que f|U sea inyectiva y abierta. Esta segunda propiedad garantizar´a que f(U) = V es abierto y la continuidad de la inversa (f|U )−1 : V → U. Comenzamos obteniendo condiciones suficientes para la inyectividad local. Aplicaciones localmente inyectivas. El siguiente ejemplo muestra que la hip´otesis de que la diferencial df(a) sea inyectiva no garantiza que f|U sea inyectiva en alg´ un entorno U de a: Ejemplo 8.1 La funci´on f : R → R, definida por f (x) = x/2+x2 sen(1/x) si x 6= 0, f (0) = 0, es derivable en todo x ∈ R y f ′ (0) 6= 0, luego su diferencial h → f ′ (0)h es inyectiva. Sin embargo f no es inyectiva en los intervalos de la forma (−ǫ, ǫ) porque en ellos no es estrictamente mon´otona (ya que f ′ (1/(nπ)) = 1/2 − (−1)n ) y por lo tanto f ′ cambia de signo en estos intervalos) En este ejemplo se aprecia que la discontinuidad de f ′ en x = 0 es la que permite que f no sea inyectiva en los entornos de 0. Para impedir situaciones como esta, en la proposici´on 8.2 y en el teorema de la funci´on inversa 8.13 interviene la hip´otesis de que la diferencial df(x) exista en un entorno de a, y sea continua en a. Veremos que con esta hip´otesis, en el caso finito dimensional, el problema de la inversi´on local tiene soluci´on satisfactoria y se consigue una inversa local, definida y continua en un entorno de b = f(a), que resulta de clase C m si f es de clase C m . En lo que sigue, si f : Ω → Rn est´a definida en un abierto Ω ⊂ Rn y en el punto a ∈ Ω existen todas las derivadas parciales Di fj (a), 1 ≤ i, j ≤ n, escribiremos det f ′ (a) = det [Di fj (a)] para denotar el valor del determinante de la matriz Jacobiana en el punto a.

182

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Proposici´ on 8.2 Sea f : Ω → Rn diferenciable en un abierto Ω ⊂ Rn con derivadas parciales continuas en a ∈ Ω. Si det f ′ (a) 6= 0 entonces existe B(a, r) ⊂ Ω tal que f|B(a,r) es inyectiva. Dem: La funci´on h(z1 , z2 , · · · , zn ) = det[Di fk (zk )], est´a definida en n

Ωn ⊂ Rn × · · · ×Rn = Rn

2

Como las funciones Di fk son continuas en a se sigue que h es continua en (a, a · · · , a). Es claro que h(a, a, · · · a) = det f ′ (a) 6= 0, y si suponemos que det f ′ (a) 6= 0, la continuidad de h en (a, a, · · · , a) permite asegurar que existe un entorno de (a, a · · · a), de la forma n V = B(a, r)× · · · ×B(a, r) ⊂ Ωn tal que h(z1 , z2 , · · · zn ) 6= 0 si (z1 , z2 , · · · zn ) ∈ V . Demostramos a continuaci´on que si x, y ∈ B(a, r), y f(x) = f(y), entonces x = y. Como el segmento [x, y] = {tx+ (1 −t)y : 0 ≤ t ≤ 1} est´a contenido en B(a, r) ⊂ Ω, para k ∈ {1, 2, · · · n}, est´an definidas la funciones reales de variable real ϕk (t) = fk (z(t)) donde z(t) = tx+(1−t)y. En virtud de la regla de la cadena estas funciones son derivables en [0, 1], con derivada ϕ′k (t)

′

= dfk (z(t))z (t) = dfk (z(t))(x − y) =

n X j=1

Dj fk (z(t))(xj − yj )

Seg´ un el teorema del valor medio existe θk ∈ (0, 1) tal que 0 = fk (x) − fk (y) = ϕk (1) − ϕk (0) = ϕ′k (θk ) es decir, los puntos zk = z(θk ) verifican n X j=1

Dj fk (zk )(xj − yj ) = ϕ′k (θk ) = 0

Como zk = z(θk ) ∈ [x, y] ⊂ B(a, r), podemos asegurar que det[Di fk (zk )] 6= 0. Entonces, considerando n X j=1

Dj fk (zk )(xj − yj ) = 0, 1 ≤ k ≤ n

como un sistema lineal en las inc´ognitas xj − yj , cuyo determinante no es nulo, se concluye que xj − yj = 0 para 1 ≤ j ≤ n, es decir, x = y. Obs´ervese que el resultado que se obtiene con la proposici´on 8.2 es de naturaleza local. La raz´on de esto se debe a que las propiedades de la diferencial, que aproxima localmente a la funci´on en un punto, s´olo pueden propiciar propiedades de la funci´on de tipo local. El siguiente ejemplo muestra que, en general, con la proposici´on 8.2 no se pueden conseguir un resultado de tipo global 183

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Ejemplo 8.3 La aplicaci´on f : R2 → R2 , definida por f(x, y) = ex (cos y, sen y), es localmente inyectiva en todo punto, pero no es globalmente inyectiva aunque su diferencial df(a) lo es en todo punto a ∈ R2 . El lector que s´olo est´e interesado en la demostraci´on del teorema de la funci´on inversa puede omitir el siguiente resultado que completa el que acabamos de obtener. Teorema 8.4 Sea f : Ω → Rn diferenciable en un abierto Ω ⊂ Rk , con derivadas parciales continuas en a ∈ Ω. Si k ≤ n y df(a) : Rk → Rn es inyectiva (e.d si la matriz jacobiana f ′ (a) = (Di fj (a))1≤i≤k,1≤j≤n tiene rango k) entonces existe una bola abierta B(a, r) ⊂ Ω tal que f|B(a,r) es inyectiva. Dem: Despu´es de la proposici´on 8.2 s´olo tenemos que considerar el caso k < n. Como la matriz f ′ (a) = (Di fj (a))1≤i≤k,1≤j≤n tiene rango k suponemos, para simplificar la notaci´on, que no es nulo el determinante de la matriz (Di fj (a))1≤i≤k,1≤j≤k . Entonces la funci´on g(x) = (f1 , f2 , · · · fk ) cumple que det g′ (a) 6= 0, y con la proposici´on 8.2 se obtiene una bola abierta abierta B(a, r) ⊂ Ω tal que g|B(a,r) es inyectiva lo que implica que f|B(a,r) tambi´en lo es Ejemplo 8.5 La aplicaci´on f : R2 → R3 definida por f(x, y, z) = (x + y, x2 − y, y 4) es localmente inyectiva en cada punto (x, y) 6= (−1/2, 0) ya que la matriz Jacobiana   1 2x 0 1 −1 4y 3 tiene rango dos en todo (x, y) 6= (−1/2, 0). El punto (−1/2, 0), donde el rango de la matriz es 1, no tiene ning´ un entorno sobre el que f sea inyectiva: Basta observar que para todo ǫ > 0 se cumple f(−1/2 + ǫ, −ǫ) = f(−1/2 − ǫ, +ǫ). Aplicaciones abiertas. Recordemos que una transformaci´on espacios topol´ogicos se dice que es abierta cuando transforma abiertos en abiertos, lo que equivale a que transforma cada entorno de un punto de su dominio en un entorno del punto imagen. El siguiente lema proporciona un ingrediente b´asico para la demostraci´on del teorema de la aplicaci´on abierta. Lema 8.6 Sea f : B → Rn una aplicaci´ on continua, donde B = B(a, r) ⊂ Rn una bola abierta para la norma eucl´ıdea. Se supone que i) Para cada x ∈ B(a, r) existen las derivadas Di fk (x), 1 ≤ i, k ≤ n, y det f ′ (x) 6= 0. ii) f (a) 6= f (x) si kx − ak2 = r. Entonces existe ρ > 0 tal que B(f(a), ρ) ⊂ f(B(a, r)). Dem: La funci´on continua x → kf(x) − f(a)k2 alcanza un m´ınimo absoluto sobre el compacto Sr = {x : kx − ak2 = r}, luego existe z ∈ Sr tal que M = m´ın{kf(x) − f(a)k2 : kx − ak2 = r} = kf(z) − f(a)k2 184

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Seg´ un la hip´otesis ii), f(z) 6= f(a), y as´ı podemos asegurar que M > 0. Vamos a demostrar que con ρ = M/2 se cumple la inclusi´on B(f(a), ρ) ⊂ f(B(a, r)). Dado y ∈ B(f(a), ρ), la funci´on continua h(x) = kf(x) − yk2 alcanza en un punto e del compacto B el m´ınimo absoluto m´ın{h(x) : kx − ak2 ≤ r} = h(e) Si kx − ak2 = r se cumple h(x) > h(e), ya que h(x) = kf(x) − yk2 = kf(x) − f(a) − (y − f(a))k2 ≥ ≥ kf(x) − f(a)k2 − ky − f(a)k2 ≥ M − ρ = ρ > kf(a) − yk2 = h(a) ≥ h(e) y podemos asegurar as´ı que e ∈PB(a, r). En definitiva, en la bola abierta B(a, r), la funci´on diferenciable h(x)2 = nj=1 (fj (x) − yj )2 alcanza un m´ınimo (absoluto) en e ∈ B(a, r), y por lo tanto Dk h2 (e) = 0 para 1 ≤ k ≤ n, es decir 2

n X j=1

(fj (e) − yj )Dk fj (e) = 0

Por hip´otesis det[Dk fj (e)] = det f ′ (e) 6= 0, luego el sistema homog´eneo de ecuaciones lineales asociado a la matriz Dk fj (e) s´olo tiene la soluci´on trivial. Por lo tanto fj (e) − yj = 0 para cada 1 ≤ j ≤ n, y queda demostrado que y = f(e) ∈ f(B(a, r)). Proposici´ on 8.7 Sea f : Ω → Rn continua e inyectiva en un abierto Ω ⊂ Rn tal que en cada x ∈ Ω existen las derivadas parciales Di fk (x), 1 ≤ i, k ≤ n, y det f ′ (x) 6= 0. Entonces f es abierta, es decir, f(V ) es abierto para cada abierto V ⊂ Ω. Dem: Dado a ∈ V , sea r > 0 tal que B(a, r) ⊂ V . Sobre la bola cerrada B(a, r) se satisfacen las hip´otesis del lema 8.6, luego existe ρ > 0 tal que B(f(a), ρ) ⊂ f(B(a, r)) ⊂ f(V ) Obs´ervese que en la proposici´on 8.7 no se ha supuesto que f sea de clase C 1 . Para funciones de clase C 1 el resultado proporcionado por esta proposici´on queda cubierto por el siguiente teorema, donde no se supone que la funci´on sea inyectiva. Teorema 8.8 [Aplicaci´on abierta] Si f : Ω → Rn es de clase C 1 (Ω) en un abierto Ω ⊂ Rn y det f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ Ω entonces f es abierta. Dem: Si U ⊂ Ω es abierto y a ∈ U, aplicando la proposici´on 8.2, se obtiene una bola abierta Ba ⊂ U, centrada en a, tal que f|S on Ba es inyectiva. En virtud de la proposici´ 8.7 cada f(Ba ) es abierto, luego f(U) = a∈U f(Ba ) es abierto.

nota: En el ejercicio resuelto 8.19 se muestra que el teorema 8.8 sigue valiendo con 185

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una hip´otesis m´as d´ebil: Basta suponer que f es diferenciable en cada x ∈ Ω y que det f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ Ω. El lector que s´olo est´e interesado en el teorema de la funci´on inversa tambi´en puede omitir el siguiente teorema y su corolario, que completan el resultado anterior. Teorema 8.9 Sea f : Ω → Rm de clase C 1 en un abierto Ω ⊂ Rn , donde m ≤ n y a ∈ Ω. Si df(a) : Rn → Rm es sobreyectiva (e.d si la matriz jacobiana f ′ (a) es de rango m) y A ⊂ Ω es entorno de a entonces f(A) es entorno de f(a). M´ as a´ un, a posee un entorno abierto U ⊂ Ω tal que f|U es abierta. Dem: Como el caso n = m ya ha sido demostrado en el teorema 8.8, s´olo tenemos que considerar el caso m < n. Suponemos, para simplificar el la notaci´on, que no se anula el determinante ∆(a) de la matriz cuadrada (Di fj (a))1≤i,j≤m . Como el determinante ∆(x) de la matriz (Di fj (x))1≤i,j≤m es una funci´on continua de x podemos asegurar que existe B(a, r) ⊂ A tal que ∆(x) 6= 0 para cada x ∈ B(a, r). Si consideramos la funci´on auxiliar g : Ω → Rn , definida por g(x1 , x2 , · · · , xn ) = (f1 (x1 , · · · xn ), f2 (x1 , · · · xn ) · · · , fm (x1 , · · · xn ), xm+1 , · · · xn ) es f´acil comprobar que det g′ (x) = ∆(x). Como la funci´on g es de clase C 1 (Ω) y det g′ (x) 6= 0 para todo x ∈ B(a, r), con el teorema 8.8 obtenemos que g es abierta sobre U = B(a, r). Como la proyecci´on π : Rn → Rm , π(x1 , x2 , · · · , xm , xm+1 , · · · xn ) = (x1 , x2 , · · · , xm ) transforma abiertos en abiertos se sigue que f|U = π ◦ g|U : U → Rm es abierta, luego f(U) es un subconjunto abierto de Rm contenido en f(A), y por lo tanto f(A) es entorno de f(a). Corolario 8.10 Sea f : Ω → Rm de clase C 1 en un abierto Ω ⊂ Rn , donde m ≤ n. Si Si df(x) : Rn → Rm es sobreyectiva en todo punto x ∈ Ω (e.d. si la matriz jacobiana f ′ (x) es de rango m en cada x ∈ Ω) entonces f es abierta. Dem: Es consecuencia directa del teorema 8.9 ya que se cumplen sus hip´otesis en cada punto a ∈ Ω . Funciones inversas. Teorema de inversi´ on local. Antes de demostrar el teorema de inversi´on local demostraremos dos resultados preliminares que nos dicen que, bajo las hip´otesis naturales, cuando una funci´on f tiene inversa continua las propiedades de diferenciabilidad de f las hereda la inversa. Teorema 8.11 Sea f : A → B una biyecci´ on entre dos abiertos A, B ⊂ Rn tal que f es diferenciable en a ∈ A y su inversa g : B → A es continua en b = f(a). Si det f ′ (a) 6= 0 entonces g = f −1 : B → A es diferenciable en b = f(a) y su diferencial dg(b) es la inversa de la aplicaci´ on lineal df(a). 186

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Dem: La diferencial L = df(a) es una aplicaci´on lineal L : Rn → Rn que satisface f(a + h) − f(a) = L(h) + khk ǫ(h)donde l´ım ǫ(h) = 0 h → 0 En lo que sigue suponemos definido ǫ(0) = 0 de modo que ǫ(h) es continua en h = 0 y cumple la igualdad anterior incluso en el caso h = 0. Si k ∈ Rn , con b + k ∈ B, entonces el incremento h = g(b + k) − g(b) ∈ Rn cumple que a + h ∈ A y adem´as k = f(a + h) − f(a), luego k = L(h) + khk ǫ(h) La aplicaci´on lineal L tiene inversa porque det(L) = det f ′ (a) 6= 0, y aplicando L−1 a los dos miembros de la u ´ ltima igualdad resulta L−1 (k) = h + khk L−1 (ǫ(h)) y sustituyendo h = g(b + k) − g(b) se obtiene g(b + k) − g(b) = L−1 (k) − khk L−1 (ǫ(h)) En la f´ormula anterior, y en lo que sigue, se considera siempre que h es funci´on de k, es decir, se supone efectuada la sustituci´on h = g(b + k) − g(b). Obs´ervese que el incremento h = g(b + k) − g(b) tiende hacia 0 cuando k → 0 porque g es continua en b. Se sigue que ǫ(h) tambi´en tiende hacia ǫ(0) = 0 cuando k tiende hacia 0. Para demostrar que g es diferenciable en b, con dg(b) = L−1 , basta ver que khk L−1 (ǫ(h)) = o(kkk) Como L−1 es continua y ǫ(h) tiende hacia 0 cuando k tiende hacia 0, existe δ > 0 tal que kkk < δ ⇒ kL−1 (ǫ(h))k < 1/2, luego

−1

L (k) = h + khk L−1 (ǫ(h)) ≥ khk − khk L−1 (ǫ(h)) ≥ 1 khk 2

Entonces, cuando kkk < δ, se cumple





2 khk L−1 (ǫ(h)) ≤ 2 L−1 (k) L−1 (ǫ(h)) ≤ kkk L−1 kǫ(h)k

y se sigue de esta desigualdad que khk kL−1 (ǫ(h))k / kkk tiende hacia 0 cuando k tiende hacia 0.

´ n. En el teorema anterior la hip´otesis det g′(a) 6= 0 es crucial para observacio conseguir la diferenciabilidad de g√en b = f (a): La funci´on f (x) = x3 es derivable en a = 0 pero su inversa g(x) = 3 x, que es continua en b = 0, no es derivable en este punto. Teorema 8.12 Sea f : A → B una biyecci´ on entre dos abiertos A, B ⊂ Rn , diferenciable en cada x ∈ A con det f ′ (x) 6= 0. Si la inversa g = f −1 : B → A es continua, entonces es diferenciable en cada y ∈ B. Si f es de clase C m (A) entonces g es de clase C m (B). 187

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Dem: Por lo que se acaba de demostrar en el teorema 8.11 la inversa g : B → A es diferenciable en cada y ∈ B y su diferencial es dg(y) = [df(g(y))]−1 , es decir, la matriz jacobiana de g′ (y) se obtiene invirtiendo la matriz jacobiana f ′ (x) y sustituyendo luego x = g(y). Para demostrar que g es de clase C m (B) cuando f es de clase C m (A) consideramos el espacio M formado por las matrices cuadradas n × n de n´ umeros reales, n2 que se supone identificado con R dotado de la topolog´ıa usual. Con esta topolog´ıa la aplicaci´on det : M → R que asocia a cada matriz M ∈ M su determinante es continua y por lo tanto el conjunto de las matrices invertibles Γ = {M ∈ M : det(M) 6= 0} es un subconjunto abierto en M. La aplicaci´on Inv : Γ → Γ que asocia a cada matriz M = (mij ) ∈ Γ su matriz inversa Inv(M) = M −1 es de clase C ∞ (basta tener en cuenta que cada elemento de la matriz inversa M −1 es una funci´on racional de las variables mij cuyo denominador det[mij ] 6= 0 no se anula). Si f es de clase C 1 , como g′ se obtiene componiendo las aplicaciones continuas g

f′

Inv

g′ : B −→ A −→ Γ −→ Γ obtenemos que g′ es continua, lo que significa que g es de clase C 1 . Razonado por inducci´on sobre m se demuestra que g es de clase C m si f lo es: Ya hemos visto que el resultado es cierto para m = 1. Si f es de clase C m y el resultado se supone cierto para funciones de clase C m−1 , esta hip´otesis de inducci´on conduce a que g es de clase C m−1 . Como f ′ tambi´en es de clase C m−1 , y lo mismo le ocurre a Inv resulta que g′ es la composici´on de tres aplicaciones de clase C m−1 . La proposici´on 7.4 permite concluir que g′ es de clase C m−1 , lo que significa que g es de clase C m . Teorema 8.13 [Funci´on inversa] Sea f : Ω → Rn diferenciable en un abierto Ω ⊂ Rn y a ∈ Ω un punto donde las derivadas Di fj , 1 ≤ i, j ≤ n son continuas. Si det f ′ (a) 6= 0, existen abiertos A ⊂ Ω, B ⊂ Rn , con a ∈ A, b = f(a) ∈ B, verificando i) f|A es inyectiva y f(A) = B. ii) g = (f|A )−1 : B → A es diferenciable en B. Si f es de clase C m (A) entonces g sea de clase C m (B). Dem: La hip´otesis sobre las derivadas parciales garantiza que la funci´on x → det f ′ (x) es continua en a, luego la condici´on det f ′ (a) 6= 0 permite asegurar que existe B(a, ρ) ⊂ Ω tal que det f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ B(a, ρ). Seg´ un la proposici´on 8.2 existe una bola abierta A = B(a, r) ⊂ B(a, ρ) tal que f|A es inyectiva. En el abierto A la funci´on f cumple las hip´otesis de la proposici´on 8.7 luego f|A es abierta, es decir B = f (A) es abierto y f transforma cada abierto U ⊂ A en un abierto V = f (U) ⊂ B, lo que significa que la inversa g = (f|A )−1 : B → A de la aplicaci´on inyectiva f|A es continua en B. Queda establecido as´ı que los abiertos A = B(a, r), 188

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B = f(A) cumplen i), y que la inversa g : B → A es continua. Como det f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ A ⊂ B(a, ρ), con el teorema 8.12 se concluye que g es de diferenciable en cada y ∈ B, y de clase C m (B) si f es de clase C m (A). Cuando f : U → V es una biyecci´on de clase C m entre dos abiertos U, V ⊂ Rn y su inversa g = f −1 : V → U tambi´en es de clase C m se dice que f es un difeomorfismo de clase C m (o un C m -difeomorfismo) entre los abiertos U y V . En este caso se dice que U y V son C m -difeomorfos. Corolario 8.14 Sea f : U → V una biyecci´ on de clase C m , entre dos abiertos, U, V ⊂ Rn . Una condici´on necesaria y suficiente para que f sea un C m -difeomorfismo es que para todo x ∈ U sea det f ′ (x) 6= 0. Dem: La condici´on es suficiente: En un entorno B de cada b = f(a) ∈ V la inversa g de f coincide con la inversa local de f proporcionada por el teorema de la funci´on inversa 8.13, que es de clase C m , luego g es de clase C m (V ). La condici´on es necesaria: Dado x ∈ U, por hip´otesis f es diferenciable en x y g es diferenciable en y = f(x). Como g(f(x)) = x para todo x ∈ U, en virtud de la regla de la cadena dg(y) ◦ df(x) = I (identidad), luego la aplicaci´on lineal df(x) es invertible y por lo tanto det f ′ (x) 6= 0.

8.2.

Funciones impl´ıcitas

El problema de la funci´on impl´ıcita, en su forma m´as simple, se plantea en los siguientes t´erminos: Si g es una funci´on real de dos variables reales definida en un abierto Ω ⊂ R2 , se considera la ecuaci´on g(x, y) = 0. Si no es vac´ıo el conjunto de sus soluciones S = {(x, y) ∈ Ω : g(x, y) = 0}, se trata de decidir cu´ando y en qu´e sentido esta ecuaci´on determina a la variable y como funci´on de la variable x, es decir, bajo qu´e condiciones queda definida una funci´on y = f (x) tal que g(x, f (x)) = 0. Esto ocurrir´a con seguridad cuando S = {(x, y) ∈ Ω : g(x, y) = 0} sea la gr´afica de una funci´on f : A → R, definida en A = π1 (Ω). En este caso, la funci´on f , que asigna a cada x ∈ A la u ´ nica soluci´on y de la ecuaci´on g(x, y) = 0 se dice que est´a definida impl´ıcitamente por dicha ecuaci´on. Esto es lo que ocurre, por ejemplo, con g(x, y) = x2 + y 2 − 1,√ que define en el abierto Ω = {(x, y) ∈ R : y > 0}, la funci´on impl´ıcita f (x) = 1 − x2 , con dominio A = (−1, +1). Es raro que se presente una situaci´on tan sencilla como la anterior pues puede ocurrir que la ecuaci´on g(x, y) = 0 no tenga soluci´on, o que el conjunto de sus soluciones se reduzca a un punto (p.e. si g(x, y) = x2 + y 2). A´ un suponiendo que este no es el caso, puede ocurrir que para algunos valores x ∈ A = π1 (S) la ecuaci´on g(x, y) = 0 tenga varias o infinitas soluciones. En estos casos, para que quede determinada una funci´on impl´ıcita f : A → R, ser´a preciso considerar alguna condici´on adicional que garantice que para cada x ∈ A hay un u ´ nico y que satisface la ecuaci´on g(x, y) = 0 y la condici´on propuesta. 189

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Las condici´on adicional que se suele proponer para determinar una funci´on impl´ıcita es de tipo local: Dado un punto (a, b) ∈ S se trata de encontrar un entorno A × B ⊂ Ω de (a, b) con la propiedad de que para cada x ∈ A haya un u ´ nico y ∈ B que sea soluci´on de la ecuaci´on g(x, y) = 0 de modo que S ∩ (A × B) es la gr´afica de una funci´on f : A → B. En este caso se suele decir que f es la funci´on impl´ıcita que A × B determina en la ecuaci´on g(x, y) = 0. En el caso particular que estamos considerando la interpretaci´on geom´etrica de la hip´otesis que habr´a que considerar para garantizar la existencia de funci´on impl´ıcita es sencilla y natural: En el plano se tiene una curva S de ecuaci´on g(x, y) = 0 que se pretende expresar, en un entorno A × B de (a, b) ∈ S, en la forma expl´ıcita habitual, como gr´afica de una funci´on real de variable real f : A → B. Para ello debemos descartar los puntos (a, b) de la curva donde hay tangente vertical porque en ellos puede ocurrir que sea imposible despejar localmente a la variable y como funci´on impl´ıcita de la variable x. Un ejemplo t´ıpico de esta situaci´on lo proporciona la circunferencia C = {(x, y) : x2 + y 2 − 1 = 0} cuando se considera el punto (a, b) = (1, 0): En todo entorno A × B de (1, 0), por peque˜ no que sea, es imposible expresar C ∩(A×B) como la gr´afica de una funci´on f : A → B. Este ejemplo revela, en el caso de funciones de dos variables reales, el papel que desempe˜ na la hip´otesis D2 g(a, b) 6= 0 para conseguir que la ecuaci´on g(x, y) = 0 defina, en un entorno de (a, b), a la variable y como funci´on impl´ıcita de la variable x. M´as generalmente, dado un sistema de m ecuaciones con n > m inc´ognitas g1 (x1 , x2 , · · · xk , xk+1 , · · · xn ) = 0 g2 (x1 , x2 , · · · xk , xk+1 , · · · xn ) = 0 ................................................... gm (x1 , x2 , · · · xk , xk+1 , · · · xn ) = 0 del que se conoce una soluci´on particular (a1 , a2 , · · · , an ), se plantea el problema an´alogo de estudiar cuando es posible despejar localmente m = n − k variables, por ejemplo (xk+1 , · · · xn ) en funci´on de las restantes (x1 , x2 , · · · xk ). En lo que sigue, si k ∈ {1, 2, · · · n − 1}, y m = n − k, conviene considerar Rn identificado con Rk × Rm , y as´ı un elemento gen´erico de Rn se escribir´a en la forma (x, y) con x = (x1 , x2 , · · · xk ) ∈ Rk , y = (y1 , y2 , · · · ym ). Con estos convenios de notaci´on, usando notaci´on vectorial, g = (g1 , g2 , · · · , gm ), x = (x1 , · · · xk ), y = (xk+1 , · · · xn ), a = (a1 , · · · ak ), b = (ak+1 , · · · an ), el problema de existencia de funci´on impl´ıcita se plantea as´ı: Dada la ecuaci´on g(x, y) = 0, de la que se conoce una soluci´on particular g(a, b) = 0, se trata de estudiar cuando es posible despejar localmente, en un entorno de (a, b), a la variable vectorial y en funci´on de la variable vectorial x. Definici´ on 8.15 Si g : Ω → Rm est´ a definida en un abierto Ω ⊂ Rk ×Rm y (a, b) ∈ Ω es un punto que cumple g(a, b) = 0, se dice que la ecuaci´ on g(x, y) = 0 define, m en un entorno de (a, b), a la variable y ∈ R como funci´ on impl´ıcita de la variable x ∈ Rk si ocurre lo siguiente: Existe un entorno abierto A de a, y un entorno abierto 190

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B de b, tales que A × B ⊂ Ω, y para cada x ∈ A hay un u ´nico y = f(x) ∈ B que verifica g(x, f(x)) = 0. En este caso se dice que f : A → B es la funci´ on impl´ıcita que A × B determina en la ecuaci´ on g(x, y) = 0. Seg´ un esta definici´on existir´a funci´on impl´ıcita cuando se pueda garantizar la existencia de un entorno abierto A × B ⊂ Ω de (a, b) tal que {(x, y) ∈ A × B : g(x, y) = 0} sea la gr´afica de alguna funci´on f : A → B. Antes de formular y demostrar el teorema de existencia de funciones impl´ıcitas 8.16 una sencilla reflexi´on preliminar revelar´a el papel que desempe˜ na la hip´otesis central de este teorema (la no anulaci´on, en el punto correspondiente, del jacobiano de g respecto a las variables que se desean despejar). En el caso particularmente simple de que las ecuaciones sean lineales gi (x1 , x2 , · · · xk , xk+1 , · · · xn ) =

k X

aij xj +

j=1

n X

j=k+1

aij xj , 1 ≤ i ≤ n − k

para poder resolver el sistema respecto a las variables xk+1 , xk+2 · · · xn sabemos que hay que requerir que la matriz cuadrada {ai,k+j : 1 ≤ i, j ≤ m} tenga determinante no nulo. En este caso, si g : Rk × Rm → Rm es la aplicaci´on lineal de componentes (g1 · · · gm ), fijado x ∈ Rk , la diferencial de la aplicaci´on af´ın y → gx (y) = g(x, y) es una aplicaci´on lineal invertible L : Rm → Rm ya que el determinante de su matriz (aik+j )1≤i,j≤m) no es nulo. Cuando el sistema no es lineal, para que quede defina una funci´on impl´ıcita en un entorno de (a, b) se deber´a reemplazar la condici´on anterior por la condici´on de que la matriz cuadrada (Dk+i gj (a, b))1≤i,j≤m tenga determinante no nulo, lo que significa que la funci´on parcial ga : y → g(a, y) tiene en b una diferencial invertible. De un modo heur´ıstico e intuitivo podemos pensar as´ı: Si g es diferenciable en (a, b) y su diferencial L = dg(a, b) tiene la propiedad de que en la ecuaci´on L(x, y) = 0 se puede despejar a y en funci´on x, cabe esperar que ocurra lo mismo en la ecuaci´on original g(x, y) = 0, despu´es de restringir esta ecuaci´on a un entorno suficientemente peque˜ no de (a, b). Como la ecuaci´on lineal L(x, y) = 0 se escribe en forma de sistema lineal n X Di gj (a, b)xi = 0; 1 ≤ j ≤ m i=1

la no anulaci´on del determinante de la matriz (Dk+i gj (a, b))1≤i,j≤m es la hip´otesis que permite despejar en este sistema lineal a las variables (xk+1 , · · · , xn ) en funci´on de las variables (x1 , x2 , · · · , xk ). Esta es la hip´otesis crucial que interviene en el teorema de la funci´on impl´ıcita. Teorema 8.16 Sea g : Ω → Rm una funci´ on de clase C p (Ω), (p ≥ 1q1) definida en un abierto Ω ⊂ Rk × Rm y (a, b) ∈ Ω un punto que satisface g(a, b) = 0. Si el determinante jacobiano de las componentes de g respecto a las variables (y1 , y2 · · · ym ) no se anula en el punto (a, b) D(g1 , g2 , · · · gm ) (a, b) 6= 0 D(y1 , y2, · · · ym ) 191

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entonces la ecuaci´on g(x, y) = 0 define, en un entorno de (a, b), a la variable y = (y1 , y2 , · · · ym ) como funci´on impl´ıcita de la variable x = (x1 , x2 , · · · xk ), es decir existe A × B ⊂ Ω, entorno abierto de (a, b), tal que para cada x ∈ A hay un u ´nico y = f(x) ∈ B que verifica g(x, y) = 0. La funci´ on impl´ıcita f : A → B es de clase C p (A) Dem: La funci´on G : Ω → Rk × Rm , definida por G(x, y) = (x, g(x, y)) es de clase C p (Ω) y verifica D(g1 , g2 , · · · gm ) det G′ (a, b) = (a, b) 6= 0 D(y1, y2 , · · · ym ) Aplicando a la funci´on G el teorema de la funci´on inversa 8.13, se obtienen abiertos U, V ⊂ Rn con (a, b) ∈ U y G(a, b) = (a, 0) ∈ V , tales que G|U : U → V es una biyecci´on con inversa F : V → U de clase C p . No hay inconveniente suponer que U = A0 × B0 , donde A0 es un entorno abierto de a, y B0 un entorno abierto de b. En lo que sigue, para cada (u, v) ∈ V escribimos F(u, v) = (F1 (u, v), F2 (u, v)) con F1 (u, v) ∈ Rk , F2 (u, v) ∈ Rm . Como G deja fijas las primeras variables (x1 , x2 , · · · xk ), lo mismo le ocurre a su inversa F, luego F1 (u, v) = u. Para cada (u, v) ∈ V se cumple (u, v) = G(F(u, v)) = G(u, F2 (u, v)) = (u, g(u, F2 (u, v)) luego g(u, F2 (u, v)) = v para cada (u, v) ∈ V . Entonces la funci´on f : A → Rm , definida en A = {x ∈ Rk : (x, 0) ∈ V } por f(x) = F2 (x, 0) cumple que g(x, f(x)) = 0 para todo x ∈ A. Obs´ervese que A es un entorno abierto de a (porque la funci´on x → (x, 0) es continua y (a, 0) ∈ V ). Adem´as, A ⊂ A0 y f(A) ⊂ B0 , ya que x ∈ A ⇒ (x, 0) ∈ V ⇒ F(x, 0) = (x, f(x)) ∈ U = A0 × B0 Con B = B0 se cumple que f(A) ⊂ B, y g(x, f(x)) = 0 para todo x ∈ A. Para concluir la demostraci´on basta ver que para cada x ∈ A hay un u ´ nico y ∈ B que verifica g(x, y) = 0. Efectivamente, si y ∈ B y g(x, y) = 0 se cumple G(x, y) = (x, g(x, y)) = (x, 0), G(x, f(x)) = (x, g(x, f(x))) = (x, 0) Entonces, teniendo en cuenta que G|U es inyectiva, y que los puntos (x, y), (x, f(x) pertenecen a A × B ⊂ A0 × B0 = U se concluye que y = f(x). Finalmente f es de clase C p (A) porque F es de clase C p (V ). nota: En el teorema 8.16 se ha supuesto para simplificar la notaci´on, la hip´otesis apropiada para obtener a las u ´ ltimas m variables como funciones impl´ıcitas de las k primeras. An´alogamente, si (i1 , i2 , · · · , im ) es un subconjunto de {1, 2, · · · n}, con m elementos y se supone que D(g1 , g2 , · · · gm ) (p) 6= 0 D(xi1 , xi2 , · · · xim )

entonces la ecuaci´on vectorial g(x1 , x2 , · · · , xn ) = 0 define, en un entorno de p, a las variables (xi1 , xi2 , · · · xim ) como funciones impl´ıcitas de las restantes. 192

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8.3.

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C´ alculo con funciones impl´ıcitas e inversas

Derivadas parciales de funciones impl´ıcitas. En las condiciones del teorema 8.16 cuando g es de clase C p , aunque no se conozca una f´ormula expl´ıcita para la funci´on impl´ıcita f es posible calcular sus derivadas parciales sucesivas (hasta las de orden p) en el punto concreto (a, b). Para simplificar la exposici´on del m´etodo consideremos el caso particular n = 4 y k = 2, denotando (x, y, u, v) a las variables de la funci´on g. Si f1 , f2 son las componentes de la funci´on impl´ıcita: f : A → B en lo que sigue resultar´a c´omodo designarlas con la notaci´on m´as flexible u(x, y) = f1 (x, y), v(x, y) = f2 (x, y). Para todo (x, y) ∈ A se cumple g1 (x, y, u(x, y), v(x, y)) = 0,

g2 (x, y, u(x, y), v(x, y)) = 0.

Derivando las dos ecuaciones respecto a la variable x y respecto a la variable y se obtienen las identidades i), ii), iii), iv). i) ii)

∂g1 ∂g1 + ux + ∂x ∂u ∂g2 ∂g2 + ux + ∂x ∂u

∂g1 vx = 0; ∂v ∂g2 vx = 0; ∂v

iiii) iv)

∂g1 ∂g1 + uy + ∂y ∂u ∂g2 ∂g2 + uy + ∂y ∂u

∂g1 vy = 0; ∂v ∂g2 vy = 0; ∂v

donde las derivadas parciales de g1 y g2 se suponen evaluadas (x, y, u(x, y), v(x, y)), y las derivadas parciales ux , uy , vx , vy en el punto (x, y). Cuando (x, y) = a se tiene (u(a), v(a)) = b y si las ecuaciones i), ii) se particularizan en el punto p = (a, b) resulta i’)

∂g1 ∂g1 ∂g1 (p) + (p)ux (a) + (p)vx (a) = 0; ∂x ∂u ∂v

ii’)

∂g2 ∂g2 ∂g2 (p) + (p)ux (a) + (p)vx (a) = 0; ∂x ∂u ∂v

Este sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc´ognitas ux (a), vx (a), con deter1 ,g2 ) minante D(g (p) 6= 0, permite calcular los valores ux (a), vx (a). An´alogamente, D(u,v) usando las ecuaciones iii) y iv), se pueden calcular uy (a) y vy (a). Si suponemos que p ≥ 2 podemos seguir derivando respecto a x y respecto a y las identidades i), ii), iii) y iv). Para calcular, en el punto a, las derivadas parciales segundas uxx , uxy , uyy , vxx , vxy , vyy , se derivan las identidades i), ii), iii) y iv) respecto a las variables x e y, se particulariza el resultado para (x, y) = a, (u, v) = b y se obtienen sistemas de ecuaciones lineales que permiten calcular los valores particulares de estas derivadas segundas. As´ı por ejemplo, derivando i) y ii) respecto a x  2  ∂ 2 g1 ∂ 2 g1 ∂ 2 g1 ∂ g1 ∂ 2 g1 ∂ 2 g1 ∂g1 a) + ux + vx + + 2 ux + vx ux + uxx + 2 ∂x ∂u∂x ∂v∂x ∂x∂u ∂ u ∂v∂u ∂u  2  ∂ g1 ∂ 2 g1 ∂ 2 g1 ∂g1 + + ux + 2 vx vx + vxx = 0 ∂x∂v ∂u∂v ∂ v ∂v 193

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 2  ∂ 2 g2 ∂ 2 g2 ∂ g2 ∂ 2 g2 ∂ 2 g2 ∂g2 ∂ 2 g2 b) + ux + vx + + 2 ux + vx ux + uxx + 2 ∂x ∂u∂x ∂v∂x ∂x∂u ∂ u ∂v∂u ∂u  2  ∂ g2 ∂ 2 g2 ∂ 2 g2 ∂g2 + + ux + 2 vx vx + vxx = 0 ∂x∂v ∂u∂v ∂ v ∂v donde las derivadas parciales de g1 y g2 est´an evaluadas en (x, y, u(x, y), v(x, y)), y las derivadas parciales de u y v est´an evaluadas en (x, y). Sustituyendo (x, y) = a, (u, v) = b, (x, y, u, v) = p, y utilizando los valores ya calculados ux (a), vx (a) se llega a un sistema lineal de dos ecuaciones con dos 1 ,g2 ) inc´ognitas uxx (a), vxx (a), que tiene determinante D(g (p) 6= 0, y su soluci´on D(u,v) proporciona las derivadas segundas uxx (a), vxx (a). Procediendo en forma similar, derivando las identidades i) y ii) respecto a la variable y, al particularizar el resultado en el punto p, se llega a otro sistema lineal, con el mismo determinante no nulo, que permite calcular uxy (a), vxy (a) (estos valores tambi´en se pueden calcular derivando respecto a x las identidades iii) y iv), sustituyendo luego (x, y, u, v) = p y resolviendo el correspondiente sistema lineal). Finalmente uyy (b), vyy (b) se calculan con el mismo m´etodo, derivando respecto a y las identidades iii) y iv). Cuando p ≥ 3 se puede continuar con el procedimiento: Se deriva respecto a x y respecto a y cada una de las identidades obtenidas en la etapa anterior, se particulariza el resultado en el punto p y se resuelven luego los correspondientes sistemas lineales de dos ecuaciones con dos inc´ognitas, cuyo determinante siempre es el mis1 ,g2 ) (p) 6= 0. mo, D(g D(u,v) Derivadas parciales de funciones inversas. En las condiciones del teorema 8.12, cuando f es de clase C m , aunque no se conozca una f´ormula expl´ıcita para la funci´on inversa g tambi´en es posible calcular sus derivadas parciales sucesivas (hasta las de orden m) en un punto concreto b = f(a). La t´ecnica que acabamos de exponer para calcular derivadas parciales de funciones impl´ıcitas tambi´en se puede utilizar ahora ya que una inversa local de la funci´on y = f(x) se puede considerar como funci´on impl´ıcita definida por la ecuaci´on g(x, y) = 0, donde g(x, y) = f(x) − y. Como conviene adquirir destreza en estas t´ecnicas de c´alculo insistimos con ella en el contexto de las funciones inversas. Para simplificar la exposici´on lo hacemos en el caso particular n = 2. Si f1 , f2 son las componentes de f, se suele decir que las ecuaciones u = f1 (x, y), v = f2 (x, y) establecen una transformaci´on de un abierto A del plano de las variables (x, y) sobre un abierto B del plano de las variables (u, v). La funci´on inversa g, transforma cada (u, v) ∈ B en el punto (x, y) ∈ A dado por x = g1 (u, v), y = g2 (u, v). En lo que sigue designamos las componentes de g con la notaci´on m´as c´omoda x(u, v) = g1 (u, v), y(u, v) = g2 (u, v). Para todo (u, v) ∈ B se cumple f1 (x(u, v), y(u, v)) = u,

f2 (x(u, v), y(u, v)) = v.

Derivando las dos ecuaciones respecto a la variable u y respecto a la variable v se obtienen las identidades i), ii), iii), iv). 194

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∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1 xu + yu = 1; iiii) xv + yv = 0; ∂x ∂y ∂x ∂y ∂f2 ∂f2 ∂f2 ∂f2 ii) xu + yu = 0; iv) xv + yv = 1; ∂x ∂y ∂x ∂y donde las derivadas parciales de f1 y f2 se suponen evaluadas en (x(u, v), y(u, v)), y las derivadas parciales xu , yu en (u, v). Sustituyendo los valores (u, v) = b, (x(u, v), y(u, v)) = a las ecuaciones i),ii) se concretan en ∂f1 ∂f1 (a)xu (b) + (a)yu (b) = 1 i’) ∂x ∂y i)

∂f2 ∂f2 (a)xu (b) + (a)yu (b) = 0 ∂x ∂y Este sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc´ognitas xu (b), yu (b), con determinante det f ′ (a) 6= 0, permite calcular los valores xu (b), yu (b). An´alogamente, usando las ecuaciones iii) y iv), se pueden calcular xv (b) y yv (b). Si suponemos que m ≥ 2 podemos seguir derivando respecto a u y respecto a v las identidades i), ii), iii) y iv). Para calcular las derivadas parciales segundas xuu (b), yuu (b) se derivan las identidades i) y ii) respecto a la variable u y se obtiene  2   2  ∂ f1 ∂ 2 f1 ∂f1 ∂ f1 ∂ 2 f1 ∂f1 a) xu + yu xu + xuu + xu + yu yu + yuu = 0 2 2 ∂x ∂y∂x ∂x ∂x∂y ∂y ∂y  2   2  ∂ f2 ∂ 2 f2 ∂f2 ∂ f2 ∂ 2 f2 ∂f2 xu + yu xu + xuu + xu + yu yu + yuu = 0 b) 2 2 ∂x ∂y∂x ∂x ∂x∂y ∂y ∂y donde las derivadas parciales de f1 y f2 est´an evaluadas en (x(u, v), y(u, v)), y las derivadas parciales xu , yu , xuu , yuu est´an evaluadas en (u, v). Sustituyendo (u, v) = b, (x(u, v), y(u, v)) = a, y utilizando los valores ya calculados xu (b), yu (b) se obtiene un sistema lineal de determinante det f ′ (a) 6= 0 cuya soluci´on proporciona las derivadas segundas xuu (b), yuu (b). An´alogamente, si se derivan las identidades i) y ii) respecto a la variable v, y se concreta el resultado en el punto b, resulta otro sistema lineal, con determinante det f ′ (a) 6= 0, que permite calcular xuv (b), yuv (b) (los valores xvu (b) = xuv (b), yvu (b) = yuv (b) tambi´en se pueden obtener derivando respecto a u las identidades iii) y iv), sustituyendo luego (u, v) = b y resolviendo el correspondiente sistema lineal). Finalmente xvv (b), yvv (b) se calculan usando el mismo m´etodo, empezando con las derivadas parciales respecto a v de las identidades iii) y iv). Cuando m ≥ 3 se puede continuar con el procedimiento. As´ı por ejemplo, para calcular las derivadas terceras ∂3y ∂3x (b), yuuv (b) = (b) xuuv (b) = ∂v∂u2 ∂v∂u2 habr´ıa que derivar las identidades a), b) respecto a la variable v, sustituir en el resultado los valores, en el punto b, de las funciones x(u, v), y(u, v) y de sus derivadas parciales primeras y segundas (calculados en las etapas anteriores) y resolver finalmente un sistema lineal, cuyo determinante seguir´a siendo det f ′ (a) 6= 0. ii’)

195

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8.4.

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Cambio de variable en el c´ alculo diferencial

Dado un C m -difeomorfismo P : U → Ω entre dos abiertos U, Ω ⊂ Rn cada punto x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Ω es la imagen de un u ´ nico u = (u1 , u2 , · · · , un ) y se suele decir que (u1 , u2, · · · , un ) son las coordenadas curvil´ıneas de x = P(u) en el sistema de coordenadas curvil´ıneas asociado a P. Ejemplos t´ıpicos son las coordenadas polares en el plano, y tambi´en las coordenadas cil´ındricas y las coordenadas esf´ericas del espacio R3 . En el plano R2 las coordenadas polares son las asociadas a P(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). En el espacio R3 las coordenadas cil´ındricas son las asociadas a P(r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) y las coordenadas esf´ericas las asociadas a P(ρ, θ, ϕ) = (ρ cos ϕ cos θ, ρ cos ϕ sin θ, ρ sin ϕ) En cada caso se supone P definida en un abierto U sobre el que es inyectiva. Dada una funci´on f : Ω → R de la variable x ∈ Ω si efectuamos la sustituci´on x = P(u) se obtiene la expresi´on F = f ◦ P de la funci´on f en t´erminos de las coordenadas curvil´ıneas (u1 , u2, · · · un ) ∈ U. Aunque desde el punto de vista formal F y f son funciones distintas, sin embargo, desde el punto de vista de las posibles aplicaciones e interpretaciones conviene considerarlas como diferentes expresiones anal´ıticas de la misma aplicaci´on, que surgen al adoptar distintos sistemas de coordenadas curvil´ıneas para representar num´ericamente los puntos de su dominio. As´ı, de acuerdo con este convenio se suele decir que F (u1 , u2, · · · , un ) es la expresi´on anal´ıtica de f en el sistema de coordenadas curvil´ıneas asociado a P. En esta situaci´on, un problema que se plantea con frecuencia en el c´alculo diferencial es el de calcular las derivadas parciales sucesivas de f , en un punto gen´erico, en t´erminos de las derivadas parciales de la nueva funci´on F . Cuando conocemos expl´ıcitamente las ecuaciones (f´ormulas) para la funci´on inversa P−1 el c´alculo se puede hacer f´acilmente usando la regla de la cadena ya que f = F ◦ P−1 . Sin embargo, ocurre a menudo que no se conocen f´ormulas expl´ıcitas para la inversa, o se conocen pero son engorrosas de manejar. Para abordar este asunto exponemos a continuaci´on, en el caso particular de los cambios de variable a coordenadas polares, una t´ecnica sistem´atica que se puede aplicar, con modificaciones obvias, a otros casos. Sea f (x, y) una funci´on real de dos variables reales definida en un abierto Ω ⊂ R2 . Efectuando la sustituci´on x = r cos θ, y = r sen θ, se obtiene la expresi´on de f en coordenadas polares: F (r, θ) = f (r cos θ, r sen θ) es decir F = f ◦P, donde P : R2 → R2 es la transformaci´on P(r, θ) = (r cos θ, r sen θ). Se supone que Ω = P(U), donde U ⊂ R2 es un abierto tal que g = P|U es inyectiva (lo que lleva impl´ıcito que (0, 0) 6∈ Ω). As´ı se puede asegurar que las coordenadas polares (r, θ) de un punto (x, y) ∈ Ω quedan un´ıvocamente determinadas 196

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por la condici´on (r, θ) ∈ U, lo que permite recuperar f a partir de F con el cambio de variable inverso (r, θ) = P−1(x, y). Si suponemos que f es diferenciable en Ω, en virtud de la regla de la cadena aplicada a la composici´on F = f ◦ P, se tendr´a que las derivadas parciales fx , fy deben satisfacer el sistema lineal Fr = cos θfx + sen θfy , Fθ = −r sen θfx + r cos θfy cuyo determinante es r > 0 (ya que (0, 0) 6∈ Ω). Resolviendo el sistema se obtienen fx = cos θFr −

sen θ cos θ Fθ , fy = sen θFr + Fθ r r

Vemos as´ı que la regla para calcular fx consiste en aplicar el operador diferencial A = cos θ

sen θ ∂ ∂ − ∂r r ∂θ

a la funci´on que resulta de expresar f en coordenadas polares. An´alogamente, la regla para calcular fy consiste en aplicar el operador diferencial B = sen θ

∂ cos θ ∂ + ∂r r ∂θ

a la funci´on que resulta de expresar f en coordenadas polares. Ejemplo 8.17 El operador de Laplace en coordenadas polares Se trata de expresar en coordenadas polares la laplaciana ∆f = fxx + fyy de una funci´on f que es dos veces diferenciable en un abierto Ω ⊂ R2 . Para obtener fxx en coordenadas polares debemos aplicar el operador A a la expresi´on de fx en coordenadas polares obtenida arriba, es decir    ∂ sen θ ∂ sen θ fxx = cos θ − cos θFr − Fθ ∂r r ∂θ r Efectuando las operaciones indicadas se obtiene fxx = (cos2 θ)Frr +

sen2 θ sen2 θ F − αF + βF + Fr θθ θr θ r2 r

donde

2 sen θ cos θ 2 sen θ cos θ , β= . r r2 Aplicando el operador B a la expresi´on de fy en coordenadas polares se obtiene:    ∂ cos θ ∂ cos θ fyy = sen θ + sen θFr + Fθ ∂r r ∂θ r α=

197

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y efectuando los c´alculos se llega a fyy

cos2 θ cos2 θ = (sen θ)Frr + Fθθ + αFθr − βFθ + Fr r2 r 2

donde α y β son los mismos valores que aparecieron en el c´alculo de fxx . Sumando las expresiones obtenidas para fxx y fyy se obtiene la f´ormula para el operador de Laplace ∆f en coordenadas polares: ∆(f ) =

∂2F 1 ∂F 1 ∂2F + + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ2

Una funci´on f : Ω → R que satisface la ecuaci´on de Laplace ∆f = 0 se dice que es arm´onica. Usando el c´alculo anterior es f´acil ver que son arm´onicas las funciones que en coordenadas polares se expresan en la forma r n cos nθ, r n sen nθ. Ejemplo 8.18 Ecuaci´on de la cuerda vibrante La ecuaci´on en derivadas parciales ∂2f 1 ∂2f = 2 2 ∂x2 α ∂t llamada ecuaci´on de onda unidimensional fue considerada por John Bernoulli alrededor de 1727 y varios a˜ nos despu´es por Jean Le Ron d’Alembert al estudiar el movimiento de una cuerda vibrante: f (x, t) representa el desplazamiento vertical de un punto de abscisa x en el instante t de una cuerda que vibra. Con un cambio de variable lineal x = Au + Bv, t = Cu + Dv la funci´on f (x, t) se transforma en F (u, v) = f (Au + Bv, Cu + Dv). Usando la regla de la cadena se obtiene Fuv = ABfxx + (AD + BC)fxt + CDftt La expresi´on anterior se simplifica eligiendo A, B, C, D de modo que se anule el coeficiente de fxt . Esto se consigue con A = B = 1/2, y C = −D = 1/(2α). As´ı, con el cambio de variable 1 1 (u − v) x = (u + v), y = 2 2α se obtiene 1 ∂2f 4Fuv = fxx − 2 2 α ∂t y la ecuaci´on del enunciado se transforma en Fuv = 0 cuyas soluciones son las funciones de la forma F (u, v) = ϕ(u) + ψ(v), donde ϕ, ψ son funciones de una variable real dos veces derivables. Deshaciendo el cambio de variable con la sustituci´on u = x + αt, v = x − αt, se llega a que las soluciones de la ecuaci´on original son las funciones de la forma f (x, t) = ϕ(x + αt) + ψ(x − αt)

198

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8.5.

G. Vera

Ejercicios resueltos

Con el siguiente ejercicio se mejora el teorema de la aplicaci´on abierta expuesto en 8.8: Ejercicio 8.19 Sea f : Ω → Rn diferenciable en x ∈ Ω con det f ′ (x) 6= 0, y δ(x) = −1 1 kdf(x)−1 k . 2 Demuestre que existe ρ(x) > 0 tal que B(x, ρ(x)) ⊂ Ω y ky − xk < ρ(x) ⇒ kf(y) − f(x)k ≥ δ(x) ky − xk Deduzca de ello que si f : Ω → Rn es diferenciable en un abierto Ω ⊂ Rn y det f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ Ω entonces f es abierta. Demuestre tambi´en que f −1 (b) es un conjunto discreto para cada b ∈ Rn . ´n solucio Por la diferenciabilidad de f en x existe ρ(x) > 0 tal que B(x, ρ(x)) ⊂ Ω y ky − xk < ρ(x) ⇒ kf(y) − f(x) − df(x)(y − x)k < δ(x) ky − xk Como T = df(x) es lineal y det T 6= 0, dado v = T (u) se verifica



−1 kuk ≤ T −1 (v) ≤ T −1 kvk , luego kT (u)k ≥ T −1 kuk As´ı se obtiene que

kf(y) − f(x)k ≥ kdf(x)(y − x)k − kf(y) − f(x) − df(x)(y − x)k ≥

−1 ≥ df(x)−1 ky − xk − δ(x) ky − xk = δ(x) ky − xk

Sea V ⊂ Ω abierto y a ∈ V . Seg´ un a) cualquier bola B(a, r) ⊂ V , de radio 0 < r < ρ(a) cumple la condici´on f(a) 6∈ f(∂[B(a, r)]) y con el lema 8.6 se obtiene que f(V ) ⊃ f(B(a, r)) es entorno de f(a). Finalmente, si a ∈ f −1 (b), en virtud de la implicaci´on establecida 0 < kx − ak < ρ(a) ⇒ f(x) 6= b, es decir, B(a, ρ(a)) ∩ f −1 (b) = {a} luego f −1 (b) es un conjunto discreto. Ejercicio 8.20 Sea f : Rn → Rn una aplicaci´ on diferenciable tal que existe C > 0 verificando: kf(x) − f(y)k ≥ C kx − yk para cada x, y ∈ Rn . Demuestre que det f ′ (x) 6= 0 para todo x ∈ Rn y deduzca de ello que f(Rn ) = Rn . ´n solucio Demostraremos la primera afirmaci´on por reducci´on al absurdo. Si para alg´ un a ∈ Rn ocurriese que det f ′ (a) = 0, entonces la diferencial df(a) no ser´ıa inyectiva y existir´ıa u ∈ Rn , u 6= 0 con df(a)u = 0. Seg´ un la definici´on de diferencial f(a + h) − f(a) = df(a)h + khk ρ(h) 199

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donde l´ımh → 0 ρ(h) = 0. Como df(a) se anula sobre los vectores h ∈ {tu : t ∈ R}, para estos vectores se cumplir´ıa la desigualdad C khk ≤ kf(a + h) − f(a)k = khk kρ(h)k luego C ≤ kρ(tu)k, lo que es absurdo porque l´ımt → 0 ρ(tu) = 0. La condici´on del enunciado implica que f es inyectiva, y con la proposici´on 8.7 se obtiene que f es abierta, luego f(Rn ) es un subconjunto abierto no vac´ıo de Rn . Entonces, en virtud de la conexi´on de Rn , basta demostrar que el conjunto F = f(Rn ) es cerrado para concluir que f(Rn ) = Rn . Dado y ∈ F existe una sucesi´on yk ∈ f(Rn ) convergente hacia y. Cada yk es de la forma yk = f(xk ) para alg´ un xk ∈ Rn . La desigualdad C kxp − xq k ≤ kf(xp ) − f(xq )k = kyp − yq k v´alida para cada p, q ∈ N implica que (xk ) es una sucesi´on de Cauchy en Rn y por lo tanto convergente hacia un punto x = l´ımk xk . En virtud de la continuidad f(x) = l´ım f(xk ) = l´ım yk = y k

k

luego y ∈ f(Rn ), y queda demostrado que f(Rn ) es cerrado. Un procedimiento alternativo para demostrar que f(Rn ) = Rn , sin utilizar la proposici´on 8.7, es el siguiente: Se comienza demostrando que F = f(Rn ) es cerrado y luego se usa un resultado bien conocido de la topolog´ıa de Rn que afirma que la distancia de un punto p ∈ Rn a un cerrado F = f(Rn ), d(p, F ) = inf{d(p, y) : y ∈ F } se alcanza en alg´ un b = f(a) ∈ F (v´ease el ejercicio 3.8.6 d)). Aplicando esta propiedad con la distancia eucl´ıdea d2 (x, y) = kx − yk2 podemos afirmar que ky − pk22 alcanza en F un m´ınimo absoluto en alg´ un punto b = f(a). Esto significa que g(x) = kf(x) − pk22 =

n X j=1

(fj (x) − pj )2

alcanza un m´ınimo absoluto en a ∈ Rn , luego para k ∈ {1, 2, · · · n} se cumple 0 = Dk g(a) = 2

n X j=1

(fj (a) − pj )Dk fj (a)

Es decir fj (a) − pj , 1 ≤ j ≤ n, es soluci´on del sistema lineal homog´eneo cuya matriz Dk fj (a) tiene determinante no nulo. La u ´ nica soluci´on de este sistema lineal es la n trivial, luego p = f(a) ∈ f(R ). Como p ∈ Rn era arbitrario, queda demostrado que f(Rn ) = Rn . Ejercicio 8.21 Mediante un cambio de variable a coordenadas polares encuentre las funciones f : Ω → R, diferenciables en Ω = R2 \ {(0, 0)} que satisfacen la ecuaci´on xfx (x, y) + yfy (x, y) + 2(x2 + y 2) = 0 200

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´n solucio 2 Si F (r, θ) = f (r cos θ, pr sen θ), la ecuaci´on se transforma en rFr − 2r = 0. En los 2 2 ´ ltima ecuaci´on es equivalente a Fr = 2r, puntos de Ω es r = x + y > 0, y la u 2 luego F (r, θ) = r + g(θ) donde g es cualquier funci´on peri´odica de periodo 2π. Se sigue que las soluciones de la ecuaci´on propuesta son las funciones de la forma

f (x, y) = x2 + y 2 + G(x, y) donde G : Ω → R es una funci´on diferenciable que se mantiene constante sobre cada semirrecta que surge de 0 (pues G(r cos θ, r sen θ) = g(θ) s´olo depende de θ). Obs´ervese que si G tiene esta propiedad, para todo t > 0 y todo (x, y) ∈ Ω se cumple G(tx, ty) = G(x, y). Derivando respecto a t se obtiene que para todo t > 0 se verifica xD1 G(tx, ty) + yD2G(tx, ty) = 0, y en particular, xD1 G(x, y) + yD2G(x, y) = 0. Con esta igualdad, que se satisface en todo (x, y) ∈ Ω, es inmediato comprobar que f (x, y) = x2 + y 2 + G(x, y) satisface la ecuaci´on propuesta. Ejercicio 8.22 Sea A = {(u, v) : v > 0}, B = {(x, y) : y > 0} y g : A → B la aplicaci´on definida por g(u, v) = (x, y) donde x = (u2 + v 2 )/2, y = u/v. Compruebe que g establece un C ∞ -difeomorfismo entre A y B y obtenga las ecuaciones de la transformaci´on inversa g−1 : B → A. Utilice el cambio de variable (x, y) = g(u, v) para encontrar las funciones diferenciables f : B → R que satisfacen la ecuaci´on 2xfx − y(1 + y 2 )fy = 0. ´n solucio g es inyectiva sobre A: Si g(u, v) = g(s, t) con v > 0 y t > 0 se cumple, u/v = s/t, u2 + v 2 = s2 + t2 . Si c = u/v resulta (1 + c2 )v 2 = (1 + c2 )t2 , luego v = t, y u = s. g(A) = B: Basta ver que para cada (x, y) ∈ B el sistema de dos ecuaciones u2 + v 2 = 2x, u/v = y tiene una u ´ nica soluci´on (u, v) ∈ A. Como 2x = v 2 (1 + y 2 ) resulta r r 2x 2x v= ; u=y . 2 1+y 1 + y2 Como g es de clase C ∞ y en todo (u, v) ∈ A es det g′ (u, v) = −(u2 + 1)/v 2 6= 0, en virtud del corolario 8.14 podemos asegurar que g es un C ∞ -difeomorfismo. Con el cambio de variable propuesto f se transforma en F (u, v) = f (g(u, v)) y usando la regla de la cadena para el c´alculo de las derivadas parciales 1 Fu = fx xu + fy yu = ufx + fy ; v

Fv = fx xv + fy yv = vfx −

u fy . v2

Resolviendo el sistema se obtiene fx =

uFu + vFv , u2 + v 2

fy =

vFu − uFv 2 v u2 + v 2

luego 2xfx = uFu + vFv ;

  u u2 u2 y(1 + y )fy = 1 + 2 fy = uFu − Fv ; v v v 2

201

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G. Vera

Restando miembro estas igualdades 2xfx − y(1 + y 2 )fy =

u2 + v 2 Fv v

Obtenemos as´ı que la ecuaci´on del enunciado equivale a Fv = 0 cuyas soluciones son las funciones de la forma F (u, v) = ϕ(u) donde ϕ es una funci´on derivable de una variable real. Deshaciendo el cambio de variable se concluye que las soluciones de la ecuaci´on propuesta son las funciones de la forma  r  2x f (x, y) = ϕ y y2 + 1 donde ϕ es una funci´on derivable. Se deja al cuidado del lector la comprobaci´on de que las funciones de este tipo son soluciones de la ecuaci´on propuesta. Ejercicio 8.23 Sea g : R3 → R una funci´ on de clase C 2 tal que g(1, 1, 0) = 0 y ∇g(1, 1, 0) = (2, 0, 0), y sea x = ϕ(y, z) la funci´ on impl´ıcita de clase C 2 definida por la ecuaci´on g(x, y, z) = 0 en un entorno del punto (1, 1, 0). Compruebe que (1, 0) es un punto estacionario de la funci´on F (y, z) = ϕ(y, z)2 + y 2 z 2 y obtenga valores de A = D11 ϕ(1, 0), B = D12 ϕ(1, 0) y C = D22 ϕ(1, 0) para los que se pueda asegurar que F presenta en (1, 0) un m´ınimo relativo. ´n solucio La funci´on impl´ıcita x = ϕ(y, z) est´a definida en un entorno de (1, 0) y verifica ϕ(1, 0) = 1. Comprobemos en primer lugar que (1, 0) es un punto estacionario de F : Derivando respecto a las variables y, z, en la identidad g(ϕ(y, z), y, z) ≡ 0 se obtiene D1 g(ϕ(y, z), y, z)ϕy (y, z) + D2 g(ϕ(y, z), y, z) ≡ 0; D1 g(ϕ(y, z), y, z)ϕz (y, z) + D3 g(ϕ(y, z), y, z) ≡ 0 Sustituyendo y = 1, z = 0, x = ϕ(1, 0) = 1, y teniendo en cuenta que D1 g(1, 1, 0) = 2, D2 g(1, 1, 0) = 0, D3 g(1, 1, 0) = 0, resulta ϕy (1, 0) = ϕz (1, 0) = 0. Ahora podemos calcular las derivadas parciales primeras y segundas de F : Fy (y, z) = 2ϕ(y, z)ϕy (y, z) + 2yz 2 ; Fz (y, z) = 2ϕ(y, z)ϕz (y, z) + 2y 2 z;

[∗]

Sustituyendo y = 1, z = 0, ϕ(1, 0) = 1, ϕy (1, 0) = ϕz (1, 0) = 0, se obtiene que Fy (1, 0) = 0, Fz (1, 0) = 0, luego (1, 0) es un punto estacionario de F . Volviendo a derivar en [∗] respecto a las variables y, z se llega a Fyy (y, z) = 2ϕy (y, z)2 + 2ϕ(y, z)ϕyy (y, z) + 2z 2 = 0; Fzy (y, z) = 2ϕy (y, z)ϕz (y, z) + 2ϕ(y, z)ϕzy (y, z) + 4yz = 0 Fzz (y, z) = 2ϕz (y, z)2 + 2ϕ(y, z)ϕzz (y, z) + 2y 2 = 0; Sustituyendo y = 1, z = 0, ϕ(1, 0) = 1,, ϕy (1, 0) = ϕz (1, 0) = 0, se llega a Fyy (1, 0) = 2A, Fyz (1, 0) = 2B, Fzz (1, 0) = 2C + 2 202

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G. Vera

luego F presentar´a un m´ınimo relativo en el punto (1, 0) cuando se verifique A > 0;

y

2A 2B = 4[A(1 + C) − B 2 ] > 0 2B 2C + 2

Ejercicio 8.24 [Unicidad de funciones impl´ıcitas] Sea g : Ω → Rm continua en un abierto Ω ⊂ Rk × Rm , tal que S = {(x, y) ∈ Ω : g(x, y) = 0} no es vac´ıo y cada (x0 , y0 ) ∈ S posee un entorno abierto U × V donde la ecuaci´ on g(x, y) = 0 define una funci´on impl´ıcita f : U → V . Se supone que en un abierto conexo G ⊂ Rk hay definidas dos funciones impl´ıcitas continuas ϕ, Ψ : G → Rm , (es decir, dos funciones continuas con gr´ afica contenida en S). Si a ∈ G y Ψ(a) = ϕ(a) demuestre que Ψ = ϕ. Muestre con un ejemplo que el resultado es falso cuando G no es conexo. ´n solucio El conjunto G0 = {x ∈ G : ϕ(x) = Ψ(x)} no es vac´ıo, pues a ∈ G0 . Como G es conexo basta demostrar que G0 es un subconjunto abierto y cerrado de G, con su topolog´ıa relativa, para concluir que G = G0 . En virtud de la continuidad de ϕ y Ψ, el conjunto G0 es cerrado relativo a G. Veamos que tambi´en es abierto: Por hip´otesis, para cada x0 ∈ G0 el punto (x0 , ϕ(x0 )) ∈ S posee un entorno U × V donde la ecuaci´on g(x, y) = 0 define una funci´on impl´ıcita f : U → V . Como V es un entorno de ϕ(x0 ) = Ψ(x0 ), y las funciones ϕ, Ψ son continuas en x0 , podemos suponer que el entorno U de x0 se ha elegido de modo que ϕ(U) ⊂ V y Ψ(U) ⊂ V . Necesariamente ϕ|U y Ψ|U coinciden en U con la funci´on impl´ıcita f, luego U es un entorno abierto de x0 contenido en G0 . El siguiente ejemplo muestra que el resultado es falso cuando G0 no es conexo: g(x, y) = x2 + y 2 − 1, G = (−1, 0) ∪ (0, 1), Es claro que las funciones ϕ, ψ : G → R definidas √ por - ϕ(x) = √1 − x2 si x ∈ G. √ - ψ(x) = 1 − x2 si −1 < x < 0, ψ(x) = − 1 − x2 si 0 < x < 1, son distintas y ambas satisfacen las condiciones del enunciado.

203

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8.6.

G. Vera

Ejercicios propuestos

♦ 8.6.1 Sea f : Ω → Rn una aplicaci´ on diferenciable definida en un abierto convexo n Ω ⊂ R . Demuestre que la condici´ on n X

Di fj (x)hi hj > 0

para todo

i,j=1

x∈Ω

y todo h ∈ Rn \ {0}

implica que f es inyectiva. (Indic: Si f (x) = f (y) con h = y − x 6= 0, aplique el teorema del valor medio a ϕ(t) = hf (x + th) − f (x) | hi, en [0, 1]). ♦ 8.6.2 Demuestre que la funci´on f : R3 → R3 , definida por f(x, y, z) = (z cos xy, z sen xy, x + z) admite inversa local en un entorno abierto A de a = (1, 0, 1). Si g = (f|A )−1 y b = f(a), obtenga dg(b). ♦ 8.6.3 Demuestre que la aplicaci´ on f : R3 → R3 , f(x, y, z) = (x3 , y 2 − z 2 , yz) es abierta pero no es inyectiva. ♦ 8.6.4 Estudie los puntos donde es localmente inyectiva las funci´on g : R2 → R3 definid por g(x, y) = (x + y, (x + y)2, (x + y)3). ♦ 8.6.5 Para las transformaciones consideradas en los ejercicios 1.5.6,1.5.7, 1.5.8, 1.5.9 estudie su comportamiento local y global: Sobre qu´e abiertos son inyectivas, abiertas, difeomorfismos..) ♦ 8.6.6 Sea f : R2 → R2 definida por f(x, y) = (x+h(y), y+h(x)) donde h : R → R es derivable con derivada continua y |h′ (t)| ≤ c < 1 para todo t ∈ R. Demuestre que f(R2 ) = R2 y que f establece un C 1 -difeomorfismo de R2 sobre R2 . ♦ 8.6.7 Demuestre que g(x, y) = (x − a cos y, y − a cos x), con 0 < a < 1, es inyectiva y abierta. ♦ 8.6.8 Sea f : A → Rk de clase C 2 en un abierto A ⊂ Rn , con n ≥ k, tal que para cada x ∈ A los vectores ∇f1 (x), ∇f2 (x), · · · ∇fk (x) son linealmente independientes y sea ϕ : B → R definida y continua en B = f(A). Demuestre que B es abierto y que ϕ presenta un extremo relativo en b = f(a) si y s´olo si F = ϕ ◦ f presenta un extremo relativo del mismo tipo en a ∈ A. ♦ 8.6.9 Sea F(x) = ∇f (x) donde f : Ω → R es de clase C k (k ≥ 2) en un abierto Ω ⊂ Rn . a) Dado a ∈ Ω, obt´enga una condici´ on (C) que garantice que F posee una inversa 1 local G, de clase C , definida en un entorno abierto de b = F (a). 204

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G. Vera

b) Obtenga dh(x), donde h(x) = h x | F(x) i − f (x). c) Si se cumple (C) demuestre que G se deduce de g = h ◦ G : B → Rn de la misma forma que F se deduce de f . ♦ 8.6.10 Sea f : R2 → R de clase C 2 de la que se conoce f (0, 0) = 0, D1 f (0, 0) = 0, D2 f (0, 0) = 1, D11 f (0, 0) = 1, D12 f (0, 0) = 1, D22 f (0, 0) = 2. R f (x,y) t2 Demuestre que la ecuaci´on 0 e dt = 0 define, en un entorno de (0, 0), a la variable y como funci´on impl´ıcita de la variable x. ♦ 8.6.11 Compruebe que la siguiente funci´ on es de clase C 1 . f (x, y) = xy log(x2 + y 2 ) + y si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0 Demuestre que existe un entorno abierto U de (1, 0) y una funci´ on 1 g : U → R, de clase C (U), tal que g(1, 0) = 2 y f (xy, g(x, y) − 2x) = 0;

xD1 g(x, y) − yD2 g(x, y) = 2x para todo (x, y) ∈ U

♦ 8.6.12 Sea g : R2 → R de clase C 2 tal que g(b/a, c/a) = 0 y D2 g(b/a, c/a) 6= 0, (a 6= 0). Demuestre que existe un entorno abierto A ⊂ R2 de (a, b), donde hay definida una u ´nica funci´on f : A → R, de clase C 2 (A), verificando: f (a, b) = c,

y

g(y/x, f (x, y)/x)) = 0 para todo (x, y) ∈ A.

Demuestre que f satisface la ecuaci´ on: xD1 f (x, y) + yD2f (x, y) = f (x, p y). Con un cambio de variable a coordenadas polares obtenga que f (x, y)/ x2 + y 2 s´olo depende de y/x. ♦ 8.6.13 Sea ψ : R −→ R una funci´ on de clase C 1 tal que ψ(0) = 0 y ψ ′ (0) = 1. Dados tres n´ umeros reales a, b y c 6= 0, demuestre que existe un entorno U ⊂ R2 de (0, 0) y una funci´on g : U −→ R de clase C 1 que para todo (x, y) ∈ U se cumplen las dos condiciones siguientes:
2
a) x2 + y 2 + g(x, y) = ψ ax + by + cg(x, y)

b) cy − bg(x, y) D1 g(x, y) + ag(x, y) − cx D2 g(x, y) = bx − ay Calcule D1 g(0, 0) y D2 g(0, 0). 2

♦ 8.6.14 Compruebe que la ecuaci´ on z 3 + 2z + ez−x−y + x + y 2 − cos(x − y + z) = 0 define, en un entorno de (0, 0, 0), a la variable z como funci´ on impl´ıcita de las variables x, y. Demuestre que la funci´ on impl´ıcita z = f (x, y), definida en un entorno de (0, 0), presenta un m´aximo relativo en (0, 0). ♦ 8.6.15 Compruebe que la ecuaci´ on xyz + sen(z − 6) − 2(x + y + x2 y 2) = 0 define, en un entorno de (1, 1, 6), una funci´ on impl´ıcita z = f (x, y) que presenta un m´ınimo relativo en (1, 1). ♦ 8.6.16 Compruebe que la ecuaci´ on sen z + (1 + x2 )y + z + y 2 − 2y = 0 define, en un entorno de (0, 1, 0), una funci´on impl´ıcita z = f (x, y) que verifica f (0, 1) = 1. Estudie si f presenta un extremo local en (0, 1). 205

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♦ 8.6.17 Compruebe que la ecuaci´ on x3 + y 3 + z 3 + x + y − z = 4 define, en un entorno de p = (1, 1, 1), una funci´ on impl´ıcita z = f (x, y) con la propiedad de que en un entorno de a = (1, 1) la gr´afica de f queda por debajo de su plano tangente en p. ♦ 8.6.18 Justifique que la ecuaci´ on x3 + 3z 2 + 8xy 2 −3y 3 z = 2 define en un entorno de p = (−1, 0, 1) una funci´on impl´ıcita z = f (x, y). Demuestre que en un entorno de a = (−1, 0) la gr´afica de f queda por encima de su plano tangente en p. ♦ 8.6.19 Sea g(x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 + x2 + y 2 + z 2 + x + y − z. Compruebe que en un entorno de p = (1, 1, 1), la ecuaci´ on g(x, y, z) = 7 define, una funci´ on impl´ıcita z = f (x, y). Obtenga el polinomio de Taylor de grado 2, de f en el punto (1, 1). Si M = {(x, y, z) ∈ R3 : g(x, y, z) = 7} demuestre que p posee un entorno Vp tal que M ∩ Vp queda a un lado del plano tangente a M en p. ♦ 8.6.20 Compruebe que las ecuaciones x cos y + y cos z + z cos x = π; x2 + y 2 + z 2 − xy = π 2 definen, en un entorno de (x0 , y0, z0 ) = (0, 0, π), a las variables y, z como funciones impl´ıcitas de x: (y, z) = (f1 (x), f2 (x)). Calcule las derivadas fi′ (0) , fi′′ (0) , i = 1, 2. ♦ 8.6.21 Compruebe que las ecuaciones yt + ext + exy = 3; y x − y + t = 1 definen en un entorno de (x0 , y0 , t0 ) = (0, 1, 1) a las variables x, y como funciones impl´ıcitas de la variable t. Si x = f (t) y = g(t) son las funciones impl´ıcitas, calcule las derivadas f ′ (1),g ′(1), f ′′ (1), g ′′(1). √ ♦ 8.6.22 Compruebe que en un entorno de (x0 , y0 , u0, v0 ) = ( 2, 0, 1, −1), el sistema de ecuaciones 2uv + x2 − y 2 = 0,

u2 − v 2 + 2xy = 0

define a las variables (u, v) como funciones impl´ıcitas de las variables (x, y). Demuestre que la funci´on impl´ıcita (u, v) = f(x, y) es invertible en un entorno √ U de ( 2, 0). Si g es la inversa de f|U , obtenga dg((1, −1)). ♦ 8.6.23 Compruebe que en un entorno de (1, 1, 1, 1) el sistema de ecuaciones x2 + y 2 − u − v 2 = 0, x2 − y 2 + u3 − v 3 = 0 define funciones funciones impl´ıcitas (u, v) = f(x, y), (x, y) = g(u, v). Explique la relaci´on que hay entre las matrices f ′ (1, 1) y g′(1, 1) y calcule una de ellas. ♦ 8.6.24 Determine los valores de a ∈ R para los que el sistema xz 3 + yu + ax = 1, 2xy 3 + u2 z + ay = a define, en un entorno de (0, 1) una funci´ on impl´ıcita (x, y) = ϕ(z, u) que cumple ϕ(0, 1) = (0, 1) y estudie si ϕ es localmente invertible en (0, 1). 206

´lisis Matema ´tico II Lecciones de Ana

G. Vera

♦ 8.6.25 Compruebe que las ecuaciones xz 3 + y 2 u3 = 1; 2xy 3 + u2 z = 0 definen, en un entorno de (x0 , y0 , z0 , u0 ) = (0, 1, 0, 1), a las variables x, y como funciones impl´ıcitas de las variables z, u. Si x = g1 (z, u), y = g2 (z, u) son las funciones impl´ıcitas, definidas en un entorno de (0, 1), demuestre que existe un entorno abierto de (0, 1), donde g = (g1 , g2 ) es invertible con inversa indefinidamente derivable. ♦ 8.6.26 Obtenga el gradiente de una funci´ on diferenciable f : R3 → R en t´erminos de las coordenadas cil´ındricas, x = r cos θ, y = r sen θ, z = t, y de las coordenadas esf´ericas, x = ρ cos ϕ cos θ, y = ρ cos ϕ sen θ, z = ρ sen ϕ. ♦ 8.6.27 Efectuando el cambio de variable x = (u+v)/2, y = (u−v)/2 obtenga la forma general de las funciones de clase C 2 , f : R2 → R, que satisfacen la ecuaci´on en derivadas parciales ∂2f ∂2f ∂2f + − 2 =0 ∂x2 ∂y 2 ∂x∂y ♦ 8.6.28 Utilizando el cambio de variable x = v, y = uv obtenga las funciones f de clase C 2 en Ω = {(x, y) : x > 0} que verifican x2 D11 f (x, y) + 2xyD12 f (x, y) + y 2 D22 f (x, y) = 0, para todo (x, y) ∈ Ω ♦ 8.6.29 Utilizando el cambio de variable x = (u2 + v 2 )/2, y = u/v obtenga las funciones f : Ω → R de clase C 2 en Ω = {(x, y) : x > 0} que verifican 2xyD1 f (x, y) + (1 + y 2 )D2 f (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ Ω ♦ 8.6.30 Usando el cambio de variable x = u2 + v 2 , y = u + v obtenga las funciones f : Ω → R de clase C 2 en Ω = {(x, y) : 2x > y 2 } que verifican 2(y 2 − x2 )D11 f (x, y) + 2yD12 f (x, y) + D22 f (x, y) = y 2 − x2 para todo (x, y) ∈ Ω ♦ 8.6.31 Dado el abierto A = {(x, y) : 0 < x < y}, justifique la existencia de un abierto B ⊂ R2 tal que para cada f ∈ C 1 (A) existe una u ´nica F ∈ C 1 (B) que verifica : f (x, y) = F (x + y, xy) para todo (x, y) ∈ A. Demuestre que son equivalentes i) D1 f (x, y) − D2 f (x, y) + 3(x − y)f (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ A. ii) D2 F (u, v) = 3F (u, v) para todo (u, v) ∈ B.

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