FUNCIONES. Definición de función. Una función es una relación entre un conjunto de salida llamado dominio y un conjunto de llegada llamado codominio, tal relación debe cumplir que cada elemento del dominio se debe relacionar una vez con algún elemento del codominio.

Ejemplos.

La relación anterior de nombre f es una función, pues cumple que todos los elementos del dominio se están relacionando una vez con algún elemento del codominio.

“g” es una función, pues cumple que todos los elementos del dominio se están relacionando una vez con algún elemento del codominio. A cada elemento del dominio se le llama preimagen y a cada elemento del codominio que se relacione se le llama imagen.

El conjunto de las imágenes recibe el nombre de ámbito o rango de la función. Si representamos el dominio de la función “g” con Dg, entonces Dg = {1,2,3} De forma similar Cg = {7,8,4,10,9} y Ag = {7,8}. Prof. Jonathan Brenes

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La relación “h” no es una función, pues el 3 es un elemento del conjunto de salida que no se está relacionando. No es de importancia que el 4 del conjunto de llegada no se relacione, pues en éste conjunto pueden sobrar elementos sin relacionarse. En este ejemplo no debe utilizarse las palabras dominio y codominio pues son términos que corresponden a funciones.

La relación “f” no es una función, pues el 2 debió relacionarse una sola vez.

La forma de relacionar los elementos en una función están dados por una regla llamada criterio de la función. Ejemplo: Observe que cada elemento del dominio se relaciona con su doble; el doble de 0 es 0, el de 1 es 2, etc. Si “x” representa el valor de un elemento del dominio entonces “x” se relaciona con el número “2x” en el codominio. Lo cual se escribe , y significa que en la función cada vez que se toma un valor del se relacionará con en el . A cada elemento del ámbito se le suele representar con la letra “ . Prof. Jonathan Brenes

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Una definición más formal de una función es la siguiente. Definición: Se define una función .

como

con la condición

Otras definiciones. Par ordenado: Un par ordenado es una expresión de la forma e . Gráfico: Es el conjunto de pares ordenados, se representa con anterior el gráfico de la función anterior es.

donde

, en la función

Gráfica: Es la representación del gráfico en un plano cartesiano.

Un plano cartesiano es la intersección perpendicular de un eje

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con un eje .

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Gráfica de la función anterior.

Sin embargo hay funciones que están conformadas por infinitos puntos unos tras otros, por ejemplo.

No todas las gráficas corresponden a funciones, en la gráfica siguiente el se está relacionando dos veces, una con el y otra con el del eje .

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del eje

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Lo que está sucediendo se ve en el siguiente diagrama de Venn.

Análisis de gráficas. Dominio: Para determinar el dominio de una función desde su gráfica se debe observar cuáles números del eje abarca la gráfica. Ejemplo: El dominio de la función son todos los números desde el -4 hasta el 1.

El dominio siempre se lee en el eje de izquierda a derecha.

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Ámbito: Para determinar el ámbito se debe observar cuáles números del eje abarca la función. En la función anterior

El ámbito siempre se lee de abajo hacia arriba en el eje . Otros ejemplos.

El corchete abierto es porque el “punto abierto” (4,1) no es parte del gráfico de la función.

La flecha indica que la gráfica no tiene un origen. Los “infinitos” llevan siempre los corchetes abiertos.

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El intervalo equivale a todos los números reales.

La gráfica de ésta función está compuesta por dos segmentos disjuntos, observe que los números del eje que están entre -1 y 3 no se están relacionando.

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Intervalos de Monotonía. Consiste en determinar los intervalos del eje donde la función es estrictamente decreciente, constante o estrictamente creciente.

La monotonía se lee en el eje x de izquierda a derecha, suponga entonces que la función anterior representa un camino para una persona que camina de izquierda a derecha.

La parte que es de subida toma en cuenta los valores del eje x que van de -5 hasta el -2, tal parte es donde la función es estrictamente creciente; la parte llana toma en cuenta los valores de -2 hasta el 3, y corresponde a la parte donde la función es constante; la parte de bajada va desde el 3 hasta el 5, y es donde la función es estrictamente decreciente.

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Por lo que la función Es estrictamente creciente en Es constante en Es estrictamente decreciente en También se dice que la función es creciente en el intervalo donde no es estrictamente decreciente, y es decreciente donde la función no es estrictamente creciente. Con lo que tenemos     

es estrictamente creciente en es creciente en es constante en es estrictamente decreciente en es deciente en

Observe que los corchetes en la monotonía se utilizan siempre abiertos. Ejemplos

es estrictamente creciente en no es constante ni estrictamente decreciente, por lo que se dice que estrictamente creciente en todo su dominio.

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es

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Cálculo de Dominios y Ámbitos. Determinar el dominio para la función

tal que

.

Solución: Como el dominio es conjunto de las preimágenes, entonces la forma de resolver es idéntica a la calcular preimágenes.

Preimagen de -4.

La solución es

Preimagen de 5.

.

En orden de menor a mayor primero está

y luego 3. Además

se obtuvo de -

4 que en el Codominio aparece con el corchete abierto, por eso se debe usar abierto y 3 se obtuvo de 5 que en el codominio aparece con el corchete cerrado, por eso se debe usar cerrado.

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