FUNCIONES

GAMMA Y BETA

1. LA FUNCIÓN GAMMA. PROPIEDADES

ELEMENTALES.

La función Gamma fue definida por Euler mediante

r(x) = fooo e-ttX-1dt

,

x

»O

(1)

donde la condición x>O es exigida para la convergencia de la integral. En vez de una rigurosa demostración de la convergencia, se justificará ésta mediante el siguiente razonamiento: Se tiene que e-ttx-1 ~ O cuando x ~ 00, de manera que no se esperan inconvenientes en el límite superior de la integral. Cerca del límite inferior t=O, el integrando se aproxima a tx-1 ya que e-t ~ 1. De esta manera

y para que el primer término de la derecha permanezca finito, se debe tener

x>O. De la definición (1) es fácil ver que

y

r(1/2) =

fooo e-tr1/2dt

= 2 foDO

e-u2 du

= 2 (~)

=~ 1

(Resultado conocido)

Una relación básica de la función Gamma es

I'(c

+ 1) = xr(x)

la cual se deduce a partir de (1) e integrando por part.es, como sigue:

1

(2)

r(x

+ 1)

1

00

-

e-ttX-1dt

[-~:

+x

1

00

e-ttX-1dt

O =

xr(x)

La fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de la función Gamma. Si se toma x=n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tiene que

r(n

+ 1)

nr(n) n(n - l)r(n- 1) n(n - l)(n - 2)r(n - 2)

-

n(n - l)(n - 2) ... ·1 . r(l)

esto es

r(n

+ 1) = nI

(3)

Esta última expresión puede usarse para definir 01, si se aplica para n=O, obteniéndose 01 = I'(l ) = 1 Análogamente,

para n entero positivo, se observa que

t 2

r(71,+ 1/2)

-

(71,- 1/2)r(71,- 1/2) (71,- 1/2)(71, - 3/2)r((71, - 3/2)

-

(71,- 1/2)(71, - 3/2)(71, - 5/2)

·1/2· r(I/2)

1) (271, ; 3) (271, ; 5)

(271, ;

~J1f

de donde

r(71,+ 1/2) =

1 . 3 . 5 .... (271, - 1)

2n

J1f

(4)

La función Gamma satisface

r(x)r(1 - x) =

'Tr

O p>O

,

(6)

2 FUNCION BETA. Se define la función Beta por

x>O y>O

(7)

Haciendo el cambio t = sen2() en (7), se tiene que

B(x, y)

¡-rr/2

=

Jo

2x-2

sen

()

2y-2

cos

()

·2sen()cos()d()

de donde ¡-rr/2

B(x, y) = 2 Jo

2x-l

sen

()

2y-l

cos

()

d()

x>O y>O

Si en (7) se hace u= l~t' se tiene que

B(x,y) = looo

u:l U:l X-l

(

)

y al simplificar queda 4

(

)y-l

d

(u+u1)2

(8)

rOO

(u + l)x+y

B(x, y) = Jo Tomando p=l+u

y al sustituir

ux-1

,

x>O y>O

(9)

y z=x+s] en (6), queda

esta expresión en (9), se tiene que

B(x, y)

Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene que

B(x, y)

de donde se obtiene la importante

B(

)

=

x,y

relación

x>O y>O

f(x)f(y) f(x+y)

(10)

De (10) resulta evidente que

B(y, x)

=

B(x, y)

3. FÓRMULA DE DUPLICACIÓN

DE LA FUNCIÓN GAMMA.

De acuerdo con (7) y (10)

r(x)f(y) f(x+y)

= (I tX-I(l

Jo

Para x=y, queda

, 5

(11)

_ t)y-Idt

r(x)r(x) r(2x)

Haciendo el cambio t=

I-/Ü en la integral,

2[ e -/u)

r(x)r(x) r(2x) _

0-1

se tiene que

e +/j

0-1 (

-D

U-I/2du

_1_ (I CI/2(1 _ t)X-Idt

22x-1 Jo 1

22x-1B(1/2, x)

1 r(1/2)r(x) 22x-1 r(1/2 + x) de donde resulta la llamada fórmula de duplicación

22x-Ir(x)r(x

+ 1/2) = J7[r(2x)

(12)

4. EXTENSIÓN DEL DOMINIO DE LA FUNCIÓN GAMMA. En (1) se definió la función Gamma para valores positivos de la variable x. Es posible extender el dominio de definición de r(x) para valores de x negativas, usando para ello la fórmula (2) escrita en la forma

I'(e)

=

r(x

+ 1)

(13)

x

De acuerdo con (13), I'(O) = r~l) es infinito. Mediante aplicaciones repetidas de (13), es fácil ver que I'( -1), I'{ -2), I'[ -3), .... también son infinitos. Para cualquier otro valor negativo de x, se puede calcular r(x) usando (13) cuantas veces sea necesario, hasta que I'(z + 1) tenga argumento positivo. De esta manera, juntando (1) y (13), la función r(x) queda definida para todos los valores de x, excepto x=O, -1, -2, -3, .... En la bibliografía especializada están disponibles tablas de valores de . I'{z}; además, la función Gamma está incluida en los programas de biblioteca de calculadoras y computadoras de uso científico. 6

l

r (L)

5

I

I I

I I I I I I

I I I I I I

I

I

I

'V'

4

3

2 1 1

-1

3

1

I

4

L

-1

I

I I I I

-2 -3

¡~

-4

-5

5. EJEMPLOS. Ejemplo 1. Calcular I'(G).r(5/2) y r(-3/2). Solución. Usando (3):

I'(G]= r(5 + 1) = 5! = 120.

Usando (4):

r(5/2} = [(2

+ 1/2)=

~.;vii = ~J1f.

(:O

3

Ejemplo 2. Calcular 1= Jo

JXe-x

Solución.

7

dx

(donde se ha usado la definición (1))

1=

1

VXe-x

00

o

Ejemplo

3

!Ji dx = _Y_ /1

3

3. Calcular

Solución.

r'

1= Jo a4t2Ja2

r1 t3/2(1 - t)1/2dt

6

a - a2t· 2Cl/2dt

a =2 Jo

6

a = 2B(5/2,

3/2)

(donde se ha usado la definición (7). Ahora, según (10), se tiene que 6

1 = a6 r(5/2)r(3/2) 2 r(4)

Ejemplo

= a

2

~ft· ~ft 3!

4. Calcular

1-

10o

dx

00

1+ x4

Solución.

l 8

(donde se ha usado '(9)). Según (10) y (5), se tiene que

I=! r(1/4)r(3/4) 4 I'(l )

= !r(1/4)r(1 4

roo

_ 1/4) =

~_7r_

4 se71,¡

dx

7r

1 + x4 = 2V2

1= Jo

6. OTRAS DEFINICIONES DE LA FUNCIÓN GAMMA. Definición de Gauss:

r ()x

'

= l un. x->oo

71,! 71,X

---:----:----:----:----:------:x(x + l)(x + 2) ... (x + 71,)

(14)

Definición de Weierstrass: 1

--

=

r(x)

, es la constante

xe!"

rr e00

x/n

n=l

(X)1+ .

(15)

71,

de Euler, la cual está dada por , = lím

n->oo

(Hn -In 71,)

~

0.57721566

donde H = 1+ n

111

-2 + -3 + .... +-n

7. FUNCIONES GAMMA INCOMPLETAS. Se definen las funciones Gamma incompletas por

,(x, a) =

loa e-ttX-1dt

(16)

r(x, a)

Loo e-ttX-1dt

(17)

=

Es evidente que

,(x, a)

+ I'{z , a) 9

=

I'(z)

8. EL SÍMBO;LO(A)k DE POCHHAMMER. (A)O = 1

(Ah = A(A

+ l)(A + 2) ...

'(A

10

+k

- 1) =

r(~(:t)

(18)

EJERCICIOS 1. Demostrar:

2. Calcular:

11

3. Demostrar:

12

BIBLIOGRAFÍA 1. N.N. Lebedev: SPECIAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS. Dover Publications, Ine. 2. W.W. Bell: SPECIAL FUNCTIONS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS. D. Van Nostrand Company, Ud. 3. E.D. Rainville: SPECIAL FUNCTIONS. Chelsea Publishing Company. 4.M. Spiegel: ANALISIS DE FOURIER (Serie de Compendios Shaum). Me Graw-Hill.

13