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y = f(x)

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Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica. En matemáticas, cuando existe una relación de dependencia entre dos magnitudes se dice que se puede expresar una magnitud en función de la otra. FUNCIÓN es una relación entre 2 variables, de manera que a cada valor de la primera, le corresponde UNO Y SÓLO UN ÚNICO valor de la segunda. Si para un valor de x hay 2 ó más valores de y, entonces NO es una función. VARIABLE INDEPENDIENTE es la magnitud que se fija previamente; es la x. VARIABLE DEPENDIENTE es la magnitud que se calcula a partir de la variable independiente; es la y. Porque en la función, el valor de y depende del de x. La representación de los pares de valores (x,y) relacionados forman la GRÁFICA de una función. El DOMINIO de una función, Dom f o D(f), es el conjunto formado por todos los valores de la variable independiente, la x, para los cuales existe la función, es decir, para los cuales hay un f(x). Dicho de otro modo, es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente, x, para los cuales hay valores de y, la variable dependiente. El RECORRIDO o IMAGEN de una función es el conjunto de todos los valores que obtenemos en la función para los diferentes valores de su dominio. Es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente, y. EJES CARTESIANOS. En un gráfico, los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro cuadrantes. El eje vertical es el de la Y, y se llama eje de ordenadas; y el horizontal, el de la X, que se llama eje de abcisas. Se cortan en el origen, punto (0,0); es decir, donde (x=0, y=0) Cada punto en el plano tiene 2 valores, uno para la x, el primero, y el segundo para la y  (x,y) La EXPRESIÓN ANALÍTICA de una función es la ecuación que relaciona algebraicamente las dos variables: x, independiente, e y, dependiente. TASA DE VARIACIÓN Una función es continua en los puntos de un intervalo si su gráfica no presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo. Se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Los puntos donde la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones se llaman puntos de discontinuidad. La TASA DE VARIACIÓN, TV, de una función f(x) en un intervalo [a,b] es el aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable independiente del valor a al valor b: TV[a,b] = f(b) - f(a) ¡ATENCIÓN! Una función siempre se mira de izquierda a derecha. Una función es creciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es positiva. Es decir, si cuando aumenta la variable independiente x, también aumenta la dependiente y. Es decir, si TV[a,b]>o

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Una función es decreciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es negativa. Es decir, si al aumentar la variable independiente x disminuye la variable independiente y. Es decir, si TV[a,b]0, la función es creciente, según va de izquierda a derecha va subiendo (creciendo). Por el contrario, si m es negativa, m0, la recta cortará al eje de ordenadas Y por encima del de abcisas X; y viceversa. En el gráfico anterior, tiene pendiente positiva, ya que “va subiendo”. Las funciones de la forma y = (parte proporcional) + (parte fija) son funciones lineales y=mx+n, siendo mx es la parte proporcional y n la parte fija. Son muy habituales en la vida cotidiana, así como en economía, medicina, ciencias… LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA y=mx Es el caso particular en que n=0.

Las funciones de la forma y=mx se llaman de proporcionalidad directa.2 Su gráfica es una recta que SÍ pasa por el origen, punto (0,0) La constante de proporcionalidad es m, que es la pendiente de la recta. Si es positiva o negativa, ocurre lo mismo que en el caso anterior de función afín. En este gráfico, vemos una función que pasa por el punto (0,0), y con pendiente negativa. 2

Las funciones de PROPORCIONALIDAD INVERSA se verán también más adelante, y son del tipo =k/ . Su gráfica es una rama hiperbólica.

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LA FUNCIÓN CONSTANTE y=k Es el caso particular en que m=0. Como m es la pendiente, si m vale cero, la pendiente es cero; es decir, y=n es una recta horizontal, paralela al eje de abcisas (el de la X). Corta al eje vertical de ordenadas en el punto (0,n). En este gráfico, vemos que la función pasa por el punto (0,-40), y al ser constante, lógicamente no tiene pendiente. La función es: y=-40; y vale -40 para CUALQUIER valor de x. CASO en que x=k Las rectas de ecuación x=k NO son funciones, porque a un valor de x no le corresponde un único valor de y. Sus gráficas son rectas paralelas al eje de ordenadas, el de la Y. En este caso, tenemos por ejemplo x=20, que NO es una función, sino una asíntota.

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CÁLCULO DE UNA RECTA EN 2 CASOS DISTINTOS:

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE Es el caso en que de una recta conocemos un punto (x,y) y su pendiente m. En este caso, escribimos su ecuación como:

x0 e y0 son el punto que conocemos, así como la pendiente m. No hay sustituir esos valores en la ecuación, y ya la tenemos.

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ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR 2 PUNTOS: En este caso, necesitamos hallar la pendiente m y el término independiente n. La pendiente se puede calcular gráficamente, o calculándola. En cualquier caso la pendiente es la variación de la y entre la variación de la x: Gráficamente, calculamos cuántos cuadraditos ha aumentado o disminuido la y, y lo dividimos por los cuadraditos que ha aumentado o disminuido la x. ¡Atención! Signos: cuando disminuye, hemos de anteponer el signo menos. Cálculo: punto 1  punto 2  Ya tenemos la pendiente m. ¿Cómo calculamos n? Muy fácil: n es el punto del eje de ordenadas (vertical) en que la recta le corta. Si está por encima del eje de abcisas (horizontal), n será positiva; y si está por debajo, negativa. En el caso particular de que pasase por el punto (0,0), entonces sería una función de proporcionalidad directa, donde n=0. Por ejemplo: En el caso de 2 funciones lineales, podemos tener que sean: a. RECTAS PARALELAS Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente, m; es decir, en las funciones: y1=m1x+n1 y2=m2x+n2

m1=m2

y1=mx+n1 y2=mx+n2

b. RECTAS SECANTES Dos rectas que se cortan se llaman secantes; y el punto de corte se llama punto de intersección. Dos rectas son secantes tienen, obviamente, distintas pendientes m. Las coordenadas del punto de intersección de dos rectas secantes son la solución gráfica de un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. c. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son opuestas e inversas a la vez: y1=m1x+n1 y2=m2x+n2

FUNCIONES CUADRÁTICAS La gráfica de una función cuadrática es una parábola, siendo su ecuación:

Cuanto mayor es a, más cerrada es la parábola.

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Si a>0  la parábola es abierta hacia arriba. Si a0) o baja (si q0) o a la izquierda (si p0, la función es decreciente. Si k