Matemáticas II Funciones Función: A un elemento de A solo le corresponde uno de B, pero a uno de B le pueden corresponder dos o más de A. Alumnos Calificación A 90 B. C 80 D. E 70 X: Variable independiente. Es una variable que puede tomar cualquier valor y que existe por sí sola Y: Variable dependiente. Es una variable que necesita de otra para existir Dominio: Posibles valore que puede tomar X Rango: Valores que toma Y al sustituir los valores en la función del rango de X M = 50n + 10 Variable dependiente: m Variable independiente: n Dominio: [1, 100] Rango: [60, 5010] Función Lineal: F(x) = mx + b Para graficar una función lineal se requieren por lo menos de dos puntos. Ésta se compone por valores de la pendiente, que es la inclinación de la línea, y de b, que son los puntos de desfasamiento de la gráfica. m = pendiente b = ordenada al origen f(x) = 2x − 4

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Pendiente de La recta: La pendiente es la relación que hay entre las diferencias de X y Y Siguiendo con la gráfica anterior, su pendiente se calcularía tomando dos puntos : (2,0) y (0, −4). Así: Tipos de Pendientes: Positiva

Sistema de Ecuaciones: Un sistema de ecuaciones es un par ordenado que satisface todas las ecuaciones del sistema. Es decir, es una solución a dos o más ecuaciones lineales. Consistente Inconsistente

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Solución No tiene solución Dependiente

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Tiene un número infinito de soluciones Sin tener que ver las gráficas, podemos saber a cual de los anteriores tipos de sistema pertenece un conjunto de funciones, de la siguiente manera: Consistente: Si son diferentes m y b Inconsistente: Si m es igual, pero la b es diferente Dependiente: Iguales m y b Ecuaciones lineales de 3¬ orden. Al tener tres funciones que cuenten con tres variables iguales, se solucionan por medio del método de sustitución, de eliminación o de discriminantes. Esto nos sirve para encontrar los valores de cada una de las variables: Sustitución: 2(4) + y = 20, y = 20 − 8, y = 12 −(4) + 4(12) + 2z = 24, z = (24 + 4 − 48)/2 z = −10 Eliminación Se tienen 3 ecuaciones. Se elimina una variable, para al final tener dos ecuaciones nuevas. Luego, con esas dos ecuaciones, se elimina otra variable, para tener el resultado de una de las tres variables. Ya con el resultado de una de las variables, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones para conocer el valor de las 4

variables restantes. Determinantes: En este sistema, se utilizan los coeficientes de las variables de las ecuaciones, para así obtener el valor de las mismas. Se acomodan siguiendo el orden de X, Y, Z, R, y el valor resultante de la variable será: X = Dx/D, Y = Dy/D Z= Dz/D. 6

10 15 6 9 12 D 2 3 5 6 10 15 6 9 12 X = Dx/D, 3800 10 15 3300 9 12 Dx 1200 3 5 3800 10 15 3300 9 12 Y = Dy/D 6 3800 15 6 3300 12 Dy 2 1200 5 6 3800 15 6 3300 12 Z= Dz/D 6 10 3800 6 9 3300 Dz 2 3 1200 6 10 3800 6 9 3300

Números Complejos: Un número complejo es la expresión: a + bi , en donde i es un número imaginario. Ningún número, al multiplicarse por sí mismo, da como resultado un número negativo, a excepción de los números imaginarios. Todos los números imaginarios tienen cono factor común , a quien se le llama unidad imaginaria, y se representa con la letra i. Función Cuadrática: F(x) = ax2 + bx + c Su gráfica es una parábola, con su vértice en h, k. Hay varias formas de representar una función cuadrática: 5

Forma estándar. Fórmula General: Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas con Lineales. y=5−x x2 + y2 = 37 x2 + (5 − x)2 = 37 x2 + 25 −10x + x2 = 37 2x2 −10x − 12 = 0 x2 − 5x − 6 = 0 (x − 6)(x + 1) x = 6 y = −1 x = −1 y = 6 Función Racional:

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Asíntota: línea que nunca toca la hipérbola • Si el denominador es igual a 0, entonces la asíntota vertical está en x = a • Si n < m, entonces el eje de x es una asíntota horizontal • Si n = m, entonces la asíntota es horizontal en Y = (an)/(am) • Si n > m, entonces la gráfica no tiene una asíntota horizontal F(x) = x / (x2 − 2x) F(x) = 1 / (x − 2) Asíntota horizontal = eje x Asíntota vertical = x = 2 Función Logaritmo: Propiedades de los logaritmos: Logb1 = 0 b0 =1 Logbb = 1 b1 = b Logb0 = No existe bno existe =0 Y=½x Log2 16 = 4 24 = 16 Log4 8 = 3/2 43/2 = 8 Función Seccionada

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f(x) = {0 si x<= 1, 2 si x> 1 f(x) = {−1 si x< −1, x si 1<= x< 1, x>1 D(f) = R D(f) = ( R(f) = {0,2} R(f) = [−1, 1] 8

Valor Absoluto Su rango siempre será mayor que cero |3x+2| 1 − x2 4 5 6 2 3 5 1 3 4

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