Fundamentos físicos de la topografía

Luis Muñoz Mato Licenciado en Física por la USC

Título: Fundamentos físicos de la topografía Autor: © Luis Alberto Muñoz ISBN: 978–84–8454–789–1 Depósito legal: A–920-2009 Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.ecu.fm Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma. Telf.: 965 67 19 87 C/. Cottolengo, 25 – San Vicente (Alicante) www.gamma.fm [email protected]

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A mis padres

ÍNDICE Prólogo ........................................................................................................... 7 1) Conceptos fundamentales de óptica geométrica........................................ 9 2) Prismas ópticos ........................................................................................ 19 3) Sistemas ópticos con superficies esféricas .............................................. 29 4) Sistemas ópticos centrados ...................................................................... 39 5) Limitaciones de los sistemas ópticos....................................................... 45 6) Instrumentos ópticos................................................................................ 53 7) Fluidos ..................................................................................................... 55 8) Campo eléctrico ....................................................................................... 85 9) Flujo eléctrico y teorema de Gauss.......................................................... 91 10) Potencial electrostático ........................................................................ 101 11) Condensadores..................................................................................... 105 12) Corriente eléctrica................................................................................ 113 13) Campo magnético ................................................................................ 121 Bibliografía ................................................................................................ 139

PRÓLOGO Este libro está pensado para la preparación de la asignatura “Fundamentos físicos de la ingeniería” que se imparte en la Escuela Politécnica Superior, se divide en dos partes claramente diferenciadas, una primera parte dedicada a la óptica geométrica y una segunda parte dedicada al electromagnetismo. El libro consta de una breve introducción teórica para cada tema, que da paso a la resolución de ejemplos teórico/prácticos, que suman más de 25, a lo largo de todo el volumen, además, se incluyen al final de cada parte una serie de ejercicios a realizar por el alumno, que en total, suman más de 100.

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1) CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ÓPTICA GEOMÉTRICA 1.1) Introducción Estudiaremos qué es la luz, cómo se propaga, cómo cambia de dirección y qué leyes nos simplifican su estudio. La luz es una onda electromagnética similar a las de radio, a las microondas o los rayos x. Es la parte del espectro electromagnético que impresiona nuestro sentido de la vista y nos permite ver. Su interés reside en el hecho de que es la única radiación electromagnética de la que tenemos experiencia directa los seres humanos a través de nuestros sentidos, sin necesidad de aparatos que nos la traduzcan como la TV, la radio o los teléfonos celulares. También tiene interés como la principal fuente natural de energía de la Tierra que nos proporciona el Sol gratuitamente. Desde el punto de vista psicológico entendemos el mundo que nos rodea tal y como la luz nos lo presenta. El desarrollo de las leyes físicas se ha basado en gran parte sobre los experimentos realizados con la luz; experimento de Michelson-Morley, conocimiento del universo lejano y próximo gracias a los instrumentos ópticos, visión del mundo microscópico, etc. El desarrollo por parte de los ingenieros de los sistemas de iluminación artificial ha permitido que la noche sea un periodo aprovechable, al poder imitar las condiciones de iluminación diurnas. 1.2) Índice de refracción La luz tiene una propiedad que la caracteriza junto con las demás ondas electromagnéticas. Se propaga en el vacío siempre a la misma velocidad, 300.000 km/s, dicha velocidad que se representa por la letra c. Por lo tanto la luz no se puede propagar más rápido que c nunca, pero sí puede ir más despacio cuando se propaga dentro de un medio material sólido, líquido o gas. Dentro de un medio material la velocidad de la luz es menor que c, v < c. 9

Conceptos fundamentales de óptica geométrica

Se define el índice de refracción de un medio como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de la luz en el medio. El índice de refracción se representa habitualmente por la letra n, y es un cociente sin dimensiones. c n= v 1.3) La reflexión de la luz La reflexión de la luz es el fenómeno que se produce cuando, la luz, al llegar a la superficie de separación entre dos medios con distinto índice de refracción, “rebota”, siguiendo así su propagación en el medio inicial. Teniendo en cuenta que en óptica geométrica todos los ángulos los referenciamos a la superficie normal, siendo ésta perpendicular a la superficie de separación entre los dos medios, la ley de la reflexión nos dice que el ángulo de incidencia (ángulo que forma el rayo incidente con la normal) es igual al ángulo de reflexión (ángulo que forma el rayo reflejado con la norma). 1.4) La refracción de la luz Cuando la luz llega a la superficie de separación de dos medios con distinto índice de refracción, entendemos que se produce refracción cuando la luz pasa del medio inicial caracterizado por un índice de refracción n1 al medio final, caracterizado por un índice de refracción n2. Los ángulos de incidencia y refracción se relacionan mediante la ley de Snell, según la cual:

n1 ·senθi = n2 ·senθ r 1.5) Reflexión total En la práctica, solo vamos a considerar que se produce uno de los dos fenómenos anteriores, para ello, necesitamos un criterio que nos diga en cuál de los dos casos vamos a estar, este criterio, nos lo proporciona el ángulo límite. Consideremos un rayo de luz que se propaga en un medio con un índice de refracción n1 y llega a la superficie de separación con otro medio de índice de refracción n2, tenemos dos posibilidades:

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Fundamentos físicos de la topografía

a) El rayo sufre refracción, es decir, pasa al medio con índice de refracción. Este caso se da si el ángulo de incidencia es menor que el ángulo límite. b) El rayo sufre reflexión total, es decir, rebota al llegar a la superficie de separación entre los medios de índices n1 y n2. Este caso se da en el caso de que el ángulo de incidencia sea mayor o igual que el ángulo límite. El ángulo límite se definirá, por lo tanto, en función de los índices de refracción de los dos medios como:

senθl =

n2 n1

La aplicación práctica se verá en los sucesivos ejemplos: EJEMPLO I. Calcula la desviación con la que emerge un rayo que incide horizontal en el bloque de vidrio inmerso en agua (n=1.33) de la figura: La desviación se define como el ángulo que forma el rayo que emerge del sistema con la prolongación del rayo que entró, es decir, que tendremos que calcular el ángulo con el que emerge el rayo del sistema. En primer lugar, tenemos un rayo que incide perpendicularmente sobre una de las caras del paralelepípedo, por lo tanto ese rayo pasa hacia el interior del medio sin desviarse.

1.7

60º 30º

60º

1.4

Una vez que atraviesa el medio de índice de refracción 1.7 llega a la superficie de separación entre este medio y la otra mitad del sistema, cuyo índice de refracción es 1.4, tenemos por lo tanto dos posibilidades: 11

Conceptos fundamentales de óptica geométrica

a) El rayo sufre refracción, es decir, pasa al medio con índice de refracción. Este caso se da si el ángulo de incidencia es menor que el ángulo límite b) El rayo sufre reflexión total, es decir, rebota al llegar a la superficie de separación entre los medios de índices 1.7 y 1.4. Este caso se da en el caso de que el ángulo de incidencia sea mayor o igual que el ángulo límite. Por lo tanto, necesitamos saber cuánto vale el ángulo de incidencia y el ángulo límite. El ángulo de incidencia se saca de las relaciones entre los ángulos del dibujo y es fácil deducir que su valor es 60º. Para calcular el ángulo límite usamos la definición de dicho ángulo:

sin ( Θl ) =

n2 1.4 ⇒ sin ( Θl ) = ⇒ Θl = 55.43D 1.7 n1

Por lo tanto estamos en el caso en el que el ángulo de incidencia (60º) es mayor que el ángulo límite (55.43º), por lo que el rayo sufre reflexión:

1.7

1.4

Ahora la situación que tenemos es el rayo (rojo) que llega a la superficie de separación entre el medio con índice de refracción 1.7 y el exterior, cuyo índice de refracción es 1.33, ya que el paralelepípedo se encuentra sumergido en agua, por lo tanto, las posibles situaciones que tenemos son que el rayo sufra refracción o reflexión total, para determinar cuál es el caso que se nos presenta, tenemos que comparar el ángulo de incidencia con el ángulo límite para la superficie con la que estemos tratando. El ángulo de incidencia se saca de consideraciones geométricas de la figura, es fácil ver 12

Fundamentos físicos de la topografía

que este ángulo es de 30º, y el ángulo límite para esta superficie se calcula como: sin ( Θl ) =

n2 1 ⇒ sin ( Θl ) = ⇒ Θl = 36.03D 1.7 n1

Por lo tanto, en este caso el ángulo de incidencia es menor que el ángulo límite, por lo que en la superficie de separación entre el medio con índice 1.7 y el exterior se produce un fenómeno de refracción, por lo que aplicaremos la ley de Snell para determinar el ángulo de refracción en dicha superficie:

1.7 30º Θr3

δ

n1 ·sin ( Θi 3 ) = n2 ·sin ( Θ r 3 ) ⇒ 1.7·sin ( 30 ) = 1.33·sin ( Θ r 3 )

Que da lugar a un ángulo de refracción de: Θ r 3 = 39.72D Pero lo que nos piden es la desviación, por lo que debemos restar 90º menos el ángulo de refracción en la tercera cara para poder calcular dicha desviación que viene marcada en la figura por δ, por lo tanto, el ángulo de desviación viene dado por:

δ = 90 − Θ r 3 = 90 − 39.72 = 50.28º

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Conceptos fundamentales de óptica geométrica

EJEMPLO II. En el fondo plano de un estanque de 10 cm de profundidad lleno de agua, hay un foco luminoso puntual que ilumina cierta parte del fondo por reflexión total en la superficie. Halla el radio de círculo, en el fondo, al que no llegan los rayos reflejados totalmente.

El foco luminoso emite luz hacia la superficie. Hay un rayo, al que corresponde el ángulo límite que es el último que rebota hacia el interior otra vez, todos los rayos con un ángulo menor salen a la superficie:

La zona de oscuridad vendrá determinada por los primeros rayos que rebotan, es decir, por los rayos cuyo ángulo de incidencia sobre la superficie de separación agua-aire es el ángulo límite, luego, el tratamiento que debemos hacer del problema es el siguiente:

Θi

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Fundamentos físicos de la topografía

Como el ángulo de incidencia es igual al ángulo límite, dicho ángulo lo podemos calcular como sigue:

sin ( Θl ) =

n2 1 ⇒ sin ( Θl ) = ⇒ Θl = 41.81D n1 1.5

Por lo tanto, el radio de la zona de oscuridad lo podemos encontrar resolviendo el triángulo: Θl 10 cm.

Por lo tanto, el radio de la zona de oscuridad vendrá dado por la expresión: cos ( Θl ) =

10 10 4 ⇒d = ⇒d = = 5.37cm d cos ( Θl ) cos ( 41.81D )

EJEMPLO III. Un rayo de luz incide sobre la cara vertical de un cubo de vidrio de la figura 1, de índice de refracción n=1.5 inmerso en agua (n=4/3). Si el plano de incidencia es el plano del papel, ¿cuál debe ser el ángulo incidente para que el rayo se refleje totalmente en la cara superior?

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Conceptos fundamentales de óptica geométrica

(Fig. 1)

Para que el rayo se refleje totalmente en la cara superior, en el punto en donde incide el rayo en dicha cara ha de producirse el fenómeno de la reflexión total.

Θi2

Θr2

θ Θr1 Θi1

Por lo tanto el ángulo Θi2 ha de ser igual al ángulo límite en la superficie de separación de los medios interior y exterior del cubo, es decir, sin ( Θl ) =

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n2 , n1