GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA Unidad 1. El dibujo técnico en el plano

La geometría nos permite medir áreas y volúmenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artefactos mecánicos.

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¿QUÉ ENCONTRAREMOS EN ESTE DOCUMENTO?

Conceptos básicos ........................................................................................... 3 Para qué nos sirve la Geometría en los planos ................................................... 3 Elementos básicos y geometría plana ................................................................ 4 Procedimientos para el trazado de polígonos y elementos tangentes .................. 9 Cómo construir trazados de polígonos regulares ............................................... 9 Cómo construir trazados de elementos tangentes ........................................... 16 Escala ............................................................................................................ 20 Características dimensionales en los planos ................................................... 20 Qué es escala ................................................................................................. 21 Tipos de escala ............................................................................................... 22 Líneas utilizadas en el dibujo ........................................................................... 24 Aplicaciones de las líneas en el plano .............................................................. 24 Convensiones para líneas ocultas ................................................................... 30 Enlaces de interés .......................................................................................... 32 Dónde podemos encontrar más información.................................................... 32

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Conceptos básicos Para qué nos sirve la Geometría en los planos La geometría es un aspecto fundamental, en el cual se basan las manifestaciones de dibujo de ingeniería, a partir de ella se estructuran las expresiones gráficas que se plasman en los planos técnicos, por lo que es indispensable conocer los conceptos básicos que de ella se derivan. Para construir una representación gráfica de un objeto por medio del dibujo técnico, es muy importante conocer y dar un correcto uso a las construcciones geométricas básicas.

Se abordara de forma general los aspectos relevantes de la geometría enfocados a facilitar la interpretación de representaciones gráficas.

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Elementos básicos y geometría plana Elementos básicos El Punto

El punto se define como el mínimo lugar geométrico, el punto no pose dimensiones.

Línea recta

La línea recta se define como la trayectoria generada por un punto en movimiento en una misma dirección.

Línea curva

Si el punto en movimiento cambia continuamente de dirección la línea generada es una línea curva.

El Plano

El plano es una superficie bidimensional que carece de espesor y se limita por su largo y ancho.

Existen diferentes tipos de geometría pero en este caso estudiaremos la geometría plana.

La geometría plana se centra en el estudio de las figuras planas, que solo tienen dos dimensiones y que por lo tanto, se encuentran y operan en un plano, los elementos básicos con que se suele trabajar son los polígonos y las circunferencias.

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Polígonos Un polígono es una figura geométrica plana cerrada por segmentos de línea. Un polígono tiene los siguientes elementos: Lados, vértices, ángulos y diagonales. Los polígonos se dividen en regulares e irregulares, en los polígonos regulares todos los lados y ángulos son iguales, en caso contrario es irregular. Según el número de lados los polígonos se clasifican en:

 Descripción de algunas clases de polígonos

Triángulo

Un triángulo, es un polígono determinado por tres rectas. Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices. Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

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Clasificación de los triángulos por la longitud de los lados  Triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados).  Triángulo isósceles, si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.  Triángulo escaleno, si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Clasificación de los triángulos por la amplitud de sus ángulos  Triángulo rectángulo, si tiene un ángulo interior recto (90°).  Triángulo obtusángulo, si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°). 

Triángulo acutángulo, cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

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Algunas propiedades de los ángulos de los triángulos  Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180°.  La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.  El valor de la paralela media de un triángulo (recta que une dos puntos medios de dos

lados) es igual a la mitad del lado paralelo.  Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: Los lados de

un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos puestos.

𝑎 𝑏 𝑐 = = 𝑠𝑒𝑛 (𝛼 ) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) 𝑠𝑒𝑛(𝛾)

Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que: El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.

𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 . cos(𝛼)

𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 . cos(𝛽) 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 . cos(𝛾)

Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2

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Cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados es decir está definido por 4 segmentos de línea. Los cuadriláteros pueden tener distintas formas en función de la longitud de sus lados, pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales. Los cuadriláteros se caracterizan por que la suma de sus 4 ángulos internos es igual a 360º. Círculo y circunferencia

El circulo es una figura geométrica plana delimitada por una circunferencia de radio r, todos los puntos del circulo estar se ubican a una distancia menor o igual que r partiendo del centro como referencia. Es importante mencionar que la circunferencia es la línea que encierra el círculo. Aunque ello hace que compartan características comunes como el centro, el radio y el diámetro.

Para calcular el área de un circulo simplemente multiplicamos el cuadrado de su radio por el numero π (3,1416), aunque como existe una relación entre el radio, el diámetro y la longitud de la circunferencia el área se puede expresar en sus términos.

𝐴 = 𝜋. 𝑟 2 𝐴= 𝐴=

En función del radio (r)

𝜋 . 𝑑2 4

En función del diámetro (d), r = d/2

𝐶2 4. 𝜋

En función de la longitud de la circunferencia máxima (C), pues la longitud de dicha circunferencia es:

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Procedimientos para el trazado de polígonos y elementos tangentes Cómo construir trazados de polígonos regulares En el diseño de una máquina es posible definir las secciones de las piezas en función de alguna necesidad específica o finalidad de la pieza, esto implicará entonces que al plasmar el dibujo, este contenga múltiples secciones que se representen por medio de polígonos.

Para facilitar la interpretación de un dibujo dentro de un plano técnico y conocer como se construyen, analizaremos los procedimientos para construir algunos polígonos.

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Trazar un cuadrado longitud del lado (a) Procedimiento:

conociendo

la

1. Trace una recta AB con longitud a, como base del cuadrado. 2. Desde los extremos de A y B, trace dos perpendiculares a la recta AB. 3. Con centro en A y B trace dos arcos con radio a que corten las perpendiculares para ubicar los vértices del cuadrado. 4. Una los cuatro puntos y dibuje el cuadrado pedido.

Trazar un cuadrado conociendo su diagonal (d) Procedimiento: 1. Trazar dos rectas r y s perpendiculares entre sí. 2. Se traza la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas r y s. 3. Sobre la bisectriz se lleva la diagonal AC de longitud d. 4. Desde el punto C se trazan paralelas a las rectas r y s. 5. Utilizando estos puntos, se construye el cuadrado.

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Trazar un rectángulo conociendo la longitud de sus lados (a y b). Procedimiento: 1. Trazar dos rectas de longitud a y b con origen común en A y perpendiculares entre sí. 2. Desde el otro extremo del lado a (punto B) se traza un arco de radio b. 3. Desde el punto D (extremo del lado b) se traza un arco de radio igual al lado a. 4. Se unen los cuatro puntos y se obtiene el rectángulo.

Trazar un rombo conociendo una diagonal (d) y la longitud de su lado (a). Procedimiento: 1. Trazar una recta horizontal AC de longitud d. 2. Con centro en A y C trazar arcos con radio a, los puntos de intersección son los puntos B y D. 3. Unir los extremos de la diagonal A y C, con los puntos hallados B y D para obtener el rombo.

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Trazar un romboide, dadas las longitudes de las diagonales (a y b) y el ángulo (m) Procedimiento: 1. Dadas las diagonales a y b, y el ángulo m. 2. Trace la recta AB de longitud a, halle su centro O. 3. Trace la recta CD que pase por O y con ángulo m partiendo de la horizontal. 4. Haciendo centro en O y con radio igual a b/2 trace un arco que corte la recta CD. 5. Se trazan las rectas correspondientes que unan los puntos AC, CB, BD y DA. Trazar de un pentágono regular inscrito en una circunferencia dada Procedimiento: 1. Trazar dos rectas perpendiculares PD y OQ que pacen por el centro O. 2. Ubicar el punto medio de OQ y ubicar M, trazar la recta desde P que pase por M (recta PM). 3. Con centro en M trazar una circunferencia de radio MO que corte la recta PM, ubicar los puntos R y S. 4. Con centro en P y radios PR, PS, trazar arcos que corten la circunferencia dada para hallar los vértices del pentágono. 5. Unir los vértices pentágono.

para

dibujar

el

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Trazar un pentágono regular conociendo la longitud de su lado AB Procedimiento: 1. Trazar el lado AB y hallar su mediatriz para ubicar el punto M. 2. En uno de los extremos de la línea AB (se escoge el punto B), se traza una perpendicular de longitud AB y se halla el punto N. 3. Con centro en M y radio MN, se traza un arco y se halla el punto O. 4. Con radio MO se trazan arcos desde A y B. Se obtiene D. 5. Desde D, se traza un arco de radio AB. Se obtiene E y C. 6. Se unen los puntos A, B, C, D y E. Se obtiene el pentágono.

Trazar un Hexágono regular conociendo el lado que está inscrito en una circunferencia de radio igual al lado Procedimiento:

1. Trazar una circunferencia de radio AB. 2. Desde los puntos A y D se trazan arcos con el radio AB. 3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F obteniendo el hexágono regular.

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Trazar un heptágono conociendo la longitud de su lado AB Procedimiento:

1. Trazar de forma horizontal la recta AB. 2. Con radio AB trazar arcos con centro en A y B, hallar el punto 1. 3. Trazar dos perpendiculares a la recta AB, una que pase por 1 y la otra por B. 4. Trazar la bisectriz del ángulo formado por las líneas imaginarias A1 y AB, esta bisectriz corta la perpendicular en 2. 5. Con radio A2, trazar un arco que corte la perpendicular que pasa por 1en el punto O. 6. Desde O, con un radio AO, se traza una circunferencia. A partir de B se lleva 7 veces el lado AB. 7. Se unen todos los puntos y se obtiene el heptágono.

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Trazar un octógono longitud de su lado AB Procedimiento:

conociendo

la

1. Trazar horizontalmente el lado AB y trazar su mediatriz. 2. En el punto B, se traza perpendicular de longitud AB.

una

3. Se une el punto A con el punto 1. Corta a la mediatriz en 2. 4. Haciendo centro en O, y radio OA, se traza la circunferencia. 5. Sobre la circunferencia hallada se trazan los vértices partiendo de B. 6. Se unen todos los puntos y se obtiene el octógono.

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Cómo construir trazados de elementos tangentes

Para realizar un plano donde se incluyen contornos de superficies cilíndricas, es muy importante conocer los diferentes procedimientos para trazar las tangencias entre los elementos del dibujo, para ello se analizaran algunos ejemplos claves donde se describen los procedimientos y se describen gráficamente.

Trazar un arco tangente a las líneas AB – AC que forman un ángulo recto dado un radio R

Procedimiento 1: Procedimiento 1

1. Trace desde el punto A, un arco de radio R, que intercepte las dos líneas en el los puntos de tangencia T.

Procedimiento 2

2. Desde estos puntos de tangencia T y con radio R, trace arcos que se cortan en O. 3. Con centro en O y con radio R, Dibuje el arco tangente requerido. Procedimiento 2 (método general): 1. Dibuje líneas paralelas a una distancia R de las líneas AB y AC. 2. En el punto donde se cortan ubique el centro O. 3. Con centro en O y radio R, dibuje el arco tangente requerido.

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Trazar un arco tangente a dos líneas AB – AC que forman un ángulo agudo u obtuso dado un radio R. Ángulo agudo

Procedimiento:

1. Dibuje líneas paralelas a una distancia R de las líneas AB y AC. 2. En el punto donde se cortan ubique el centro O. Ángulo obtuso

3. Desde O construir perpendiculares a las líneas AB – AC y ubicar los puntos de tangencia T. 4. Con centro en O y radio R, dibuje el arco tangente requerido entre los puntos de tangencia.

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Trazar un arco tangente a otro arco de radio G y a una línea recta AB Procedimiento: 1. Dibuje una línea paralela distancia R de la línea AB.

a

una

2. Trace un arco con centro en O y con radio G+R, este arco debe cortar la línea paralela a AB en el punto C. 3. Trace un línea desde el punto C hasta O para ubicar el punto de tangencia T1 y trace una recta perpendicular a AB desde C para obtener le punto de tangencia T2. 4. Con centro en C y radio R, dibuje el arco tangente requerido entre los puntos de tangencia.

Trazar un arco tangente con radio R a dos arcos con centros en O y S. Procedimiento:

1. Dados dos arcos con centro en O y S, u el radio requerido R. 2. Dibuje arcos paralelos a los arcos dados con centros en O y S, a una distancia R de ellos, la intersección de los arcos C es el centro del arco requerido. 3. Dibuje las líneas CO y CS, para hallar los puntos de tangencia T. 4. Con centro en C y radio R dibuje el arco requerido entre los punto de tangencia T.

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Trazar un arco tangente envolvente de radio HK a dos arcos con centros en A y B, y con radios R y r. Procedimiento:

1. Con centro en A trace un arco de radio HK-r (HK menos r) y con centro en B trace el arco HK-R, estos arcos se cortan en el punto G. 2. Trace las líneas GA y GB y extiéndalas hasta encontrar los puntos de tangencia T. 3. Dibuje el arco requerido con centro en G y radio HK entre los puntos de tangencia.

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Escala Características dimensionales en los planos

En el proceso de creación de planos técnicos, los dibujos se plasman sobre formatos de dimensiones normalizadas, esto implica que las características dimensionales de los objetos se tengan que ajustar al tamaño de los formatos, es decir, se hace indispensable el uso de las escalas para poder representar con claridad los objetos en el papel, dado que muchas veces el objeto es muy grande y no cabe en el formato o por el contrario es muy pequeño y sobra espacio.

El instrumento que se utiliza para hacer este tipo de dimensionamiento es el escalimetro

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Qué es escala Es la relación que existe entre la dimensión lineal de un elemento representado en el dibujo y la dimensión real del mismo elemento. La escala expresa el número de veces que el dibujo se ha reducido o ampliado con respecto al tamaño natural o real del objeto; el denominador indica las partes en que se divide el total y el numerador la parte o partes que hemos tomado para plasmas el dibujo.

Escala = (Tamaño del dibujo/Tamaño del objeto)

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Tipos de escala Escala natural

La escala natural tiene una relación 1:1, es decir, las dimensiones del dibujo son las mismas dimensiones reales del elemento.

Escala de ampliación

La escala de ampliación es una escala mayor a la escala natural, las escalas de ampliación se designan de la siguiente manera X: 1, lo que indica que las medidas del dibujo son mayores a las del objeto real.

Escala de reducción

La escala de reducción es una escala menor que la escala natural, las escalas de reducción son muy comunes dada su utilidad para plasmar en los formatos dibujos de gran dimensión, su designación es 1:X, donde X representa el número de reducción.

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Indicaciones importantes •

Cuando se representa un objeto y se utiliza una escala de ampliación muy grande, se recomienda adicionar vista de tamaño natural del objeto, mostrando únicamente sus contornos, con el objetivo de ampliar la información plasmada en el dibujo.

•

En cualquier caso la escala a seleccionar depende de la complejidad del objeto a representar; esta debe ser lo suficientemente grande para permitir la interpretación clara y fácil de la información representada.

•

Cuando detalles muy finos no se pueden dimensionar completamente en la representación principal, se emplea un dibujo adyacente en una vista de detalle (o sección) y en una escala mayor para dar claridad sobre los detalles.

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Líneas utilizadas en el dibujo Aplicaciones de las líneas en el plano

En la práctica del dibujo normalizado se requiere el uso de diferentes tipos de líneas estandarizados que tienen aplicaciones específicas. Los diferentes tipos de líneas se conocen como alfabeto de líneas y difieren por las características de su trazo y espesor.

En la siguiente imagen y tabla se pueden observar los diferentes tipos de líneas empleadas en el dibujo y sus aplicaciones.

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Letra

Nombre

A

Línea visible

Descripción Línea gruesa

continua

Ejemplo

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Espesor 0,6mm

Aplicaciones Contornos visibles

Letra

Nombre

B1

Línea de cota

B2

Línea de extensión

B3

Línea de selección

Descripción

Línea fina

Espesor

Aplicaciones

0,3mm

Líneas imaginarias, de cotas, de proyección, de referencia, achurados, de sección, líneas de ejes cortos.

Espesor

Aplicaciones

0,6mm

Líneas de vistas parciales o interrumpidas, secciones

continua

Ejemplo

Letra

C

Nombre

Línea corta de interrupción

Descripción Línea continua fina a mano alzada y continua fina en zigzag.

Ejemplo

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Letra

Nombre

D

Líneas oculta

Descripción Línea segmentos

Espesor

Aplicaciones

0,3mm

Líneas ocultas o invisibles

Espesor

Aplicaciones

0,3mm

Líneas de centros o de ejes de simetría

a

Ejemplo

Letra E1

Nombre

Descripción

Línea de eje Línea fina cadena

E2

de

Línea de cadena

Ejemplo

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Letra

F

Nombre

Línea de plano de corte

Descripción

Espesor

Aplicaciones

Línea fina de cadena y con cambio de sección

0,3mm

Líneas de corte de planos

Espesor

Aplicaciones

0,3mm

Líneas de piezas adyacentes, posiciones extremas o alternas de piezas móviles.

Ejemplo

Letra

G

Nombre

Línea fantasma

Descripción Línea fina de cadena con doble guion.

Ejemplo

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Notas importantes Espesores Aunque como se mencionó, sólo se emplean dos espesores de líneas, gruesas y delgadas, estas deben guardar una relación de 2:1 y el espesor final solo lo define el tamaño del y clase de dibujo. Orden de prioridad de líneas coincidentes También es importante mencionar que en un solo dibujo se pueden encontrar diferentes tipos de líneas, es decir existe la necesidad de jerarquizar los diferentes tipos de líneas o dicho de otra forma dar orden de prioridad de las líneas coincidentes, para ello se establece el siguiente orden de prioridad:  Las líneas visibles de contornos.  Las líneas ocultas o invisibles.  Planos de corte.  Las líneas de eje y líneas de simetría.  Líneas centroide.  Líneas de proyección para cotas.

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Convenciones para líneas ocultas En el trazado de líneas ocultas existen ciertas reglas que permiten establecer cuando un trazo esta correcto o incorrecto. Para abordar el tema se empleará la siguiente figura donde se analizarán casos específicos identificados con literales en la proyección ortogonal:

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Convenciones

Descripción

A sin espacio

Las líneas ocultas deben comenzar o terminar desde las demás líneas. Es decir el primer trazo empieza justo en la línea visible.

B unión de esquinas

Las líneas que se interceptan deben formar un ángulo agudo en el punto exacto donde se interceptan.

C con espacio

Cuando una línea oculta sea continuación de una línea visible deberá comenzar con un espacio.

D unión

Cuando hay una triple unión de líneas ocultas esta intersección debe tener un punto común.

E unión

Cuando las líneas ocultas se interceptan se crea un vértice.

F comenzar el arco en una línea de eje

Los arcos de líneas ocultas comienzan su trazo desde las líneas de ejes.

G no cruzar la línea solida

Cuando una línea oculta se intercepte con una línea visible, la línea oculta se traza de tal forma que quede un espacio a cada lado de la visible, es decir no se cruzan.

H No cruzar

Las líneas ocultas no se cruzan y siempre se debe dar prioridad a la línea más cercana al observador

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Enlaces de interés Dónde podemos encontrar más información

 Geometría. http://www.escolar.com/menugeom.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa  Polígonos. http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_regular http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm  Trazados paso a paso. http://www.euskalnet.net/ibiguri/  Líneas. http://dibujotecnico.ramondelaguila.com/normalizacion/lineasnormalizadas.htm  Escala. http://es.wikipedia.org/wiki/Escala_%28cartograf%C3%ADa%29#Representaci. C3.B3n

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